Pada artikel ini, kami akan memperkenalkan konsep akar bilangan. Kami akan bertindak secara berurutan: kami akan mulai dengan akar kuadrat, dari situ kami akan melanjutkan ke deskripsi akar pangkat tiga, setelah itu kami akan menggeneralisasi konsep akar dengan mendefinisikan akar derajat ke-n. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberikan contoh akar dan memberikan penjelasan dan komentar yang diperlukan.

Akar kuadrat, akar kuadrat aritmatika

Untuk memahami definisi akar suatu bilangan, dan akar kuadrat pada khususnya, seseorang harus memiliki . Pada titik ini, kita akan sering menjumpai pangkat dua dari suatu bilangan - kuadrat suatu bilangan.

Mari kita mulai dengan definisi akar kuadrat.

Definisi

Akar kuadrat dari adalah bilangan yang kuadratnya a.

Untuk membawa contoh akar kuadrat, ambil beberapa angka, misalnya, 5 , 0.3 , 0.3 , 0 , dan kuadratkan, kita mendapatkan angka masing-masing 25 , 0.09 , 0.09 dan 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 dan 0 2 =0 0=0 ). Maka dengan definisi di atas, 5 adalah akar kuadrat dari 25, 0,3 dan 0,3 adalah akar kuadrat dari 0,09, dan 0 adalah akar kuadrat dari nol.

Perlu dicatat bahwa tidak untuk sembarang bilangan a ada , yang kuadratnya sama dengan a . Yaitu, untuk setiap bilangan negatif a, tidak ada bilangan real b yang kuadratnya sama dengan a. Memang, persamaan a=b 2 tidak mungkin untuk setiap a negatif , karena b 2 adalah bilangan non-negatif untuk b . Dengan demikian, pada himpunan bilangan real tidak ada akar kuadrat dari bilangan negatif. Dengan kata lain, pada himpunan bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dan tidak memiliki arti.

Ini mengarah pada pertanyaan logis: "Apakah ada akar kuadrat dari a untuk a non-negatif apa pun"? Jawabannya iya. Alasan untuk fakta ini dapat dianggap sebagai metode konstruktif yang digunakan untuk menemukan nilai akar kuadrat.

Kemudian muncul pertanyaan logis berikut: "Berapa jumlah semua akar kuadrat dari bilangan non-negatif yang diberikan a - satu, dua, tiga, atau bahkan lebih"? Inilah jawabannya: jika a adalah nol, maka satu-satunya akar kuadrat dari nol adalah nol; jika a suatu bilangan positif, maka jumlah akar kuadrat dari bilangan a sama dengan dua, dan akar-akarnya adalah . Mari kita buktikan ini.

Mari kita mulai dengan kasus a=0 . Mari kita tunjukkan bahwa nol memang akar kuadrat dari nol. Ini mengikuti persamaan nyata 0 2 =0·0=0 dan definisi akar kuadrat.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol. Mari kita gunakan cara sebaliknya. Mari kita asumsikan bahwa ada beberapa bilangan bukan nol b yang merupakan akar kuadrat dari nol. Maka kondisi b 2 =0 harus dipenuhi, yang tidak mungkin, karena untuk sembarang b bukan nol, nilai ekspresi b 2 adalah positif. Kami telah sampai pada kontradiksi. Ini membuktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol.

Mari kita beralih ke kasus di mana a adalah bilangan positif. Di atas kami mengatakan bahwa selalu ada akar kuadrat dari setiap bilangan non-negatif, misalkan b adalah akar kuadrat dari a. Katakanlah ada bilangan c , yang juga merupakan akar kuadrat dari a . Kemudian, menurut definisi akar kuadrat, persamaan b 2 =a dan c 2 =a valid, sehingga b 2 c 2 =a−a=0, tetapi karena b 2 c 2 =( b−c) ( b+c) , lalu (b−c) (b+c)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan berlaku sifat-sifat tindakan dengan bilangan real hanya mungkin jika b−c=0 atau b+c=0 . Jadi bilangan b dan c sama atau berlawanan.

Jika kita berasumsi bahwa ada suatu bilangan d, yang merupakan akar kuadrat lain dari bilangan a, maka dengan penalaran yang sama dengan yang telah diberikan, terbukti bahwa d sama dengan bilangan b atau bilangan c. Jadi, jumlah akar kuadrat dari bilangan positif adalah dua, dan akar kuadrat adalah bilangan yang berlawanan.

Untuk kenyamanan bekerja dengan akar kuadrat, akar negatif "dipisahkan" dari akar positif. Untuk tujuan ini, ia memperkenalkan definisi akar kuadrat aritmatika.

Definisi

Akar kuadrat aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Untuk akar kuadrat aritmatika dari angka a, notasi diterima. Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika. Itu juga disebut tanda radikal. Oleh karena itu, Anda sebagian dapat mendengar "root" dan "radikal", yang berarti objek yang sama.

Bilangan di bawah tanda akar kuadrat aritmatika disebut nomor akar, dan ekspresi di bawah tanda akar - ekspresi radikal, sedangkan istilah "bilangan radikal" sering diganti dengan "ekspresi radikal". Misalnya, dalam notasi, angka 151 adalah bilangan radikal, dan dalam notasi, ekspresi a adalah ekspresi radikal.

Saat membaca, kata "aritmatika" sering dihilangkan, misalnya, entri dibaca sebagai "akar kuadrat dari tujuh koma dua puluh sembilan ratus." Kata "aritmatika" diucapkan hanya ketika mereka ingin menekankan bahwa kita berbicara tentang akar kuadrat positif dari suatu bilangan.

Mengingat notasi yang diperkenalkan, berikut dari definisi akar kuadrat aritmatika bahwa untuk setiap bilangan non-negatif a .

Akar kuadrat dari bilangan positif a ditulis menggunakan tanda akar kuadrat aritmatika sebagai dan . Misalnya, akar kuadrat dari 13 adalah dan . Akar kuadrat aritmatika dari nol adalah nol, yaitu . Untuk bilangan negatif a, kami tidak akan menambahkan arti pada entri sampai kami mempelajarinya bilangan kompleks. Misalnya, ekspresi dan tidak ada artinya.

Berdasarkan definisi akar kuadrat, sifat-sifat akar kuadrat terbukti, yang sering digunakan dalam praktik.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita perhatikan bahwa akar kuadrat dari suatu bilangan adalah solusi dari bentuk x 2 =a terhadap variabel x .

akar pangkat tiga dari

Definisi akar pangkat tiga dari nomor a diberikan dengan cara yang mirip dengan definisi akar kuadrat. Hanya itu didasarkan pada konsep kubus angka, bukan persegi.

Definisi

Akar pangkat tiga dari bilangan yang kubusnya sama dengan a disebut

Ayo bawa contoh akar pangkat tiga. Untuk melakukan ini, ambil beberapa angka, misalnya, 7 , 0 , 2/3 , dan pangkat tiga: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Kemudian, berdasarkan definisi akar pangkat tiga, kita dapat mengatakan bahwa angka 7 adalah akar pangkat tiga dari 343, 0 adalah akar pangkat tiga dari nol, dan 2/3 adalah akar pangkat tiga dari 8/27.

Dapat ditunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan a, tidak seperti akar kuadrat, selalu ada, dan tidak hanya untuk a non-negatif, tetapi juga untuk sembarang bilangan real a. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan metode yang sama yang kami sebutkan saat mempelajari akar kuadrat.

Selain itu, hanya ada satu akar pangkat tiga dari bilangan a yang diberikan. Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Untuk melakukannya, pertimbangkan tiga kasus secara terpisah: a adalah bilangan positif, a=0 dan a adalah bilangan negatif.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa untuk a positif, akar pangkat tiga dari a tidak boleh negatif atau nol. Memang, misalkan b adalah akar pangkat tiga dari a , maka menurut definisi kita dapat menulis persamaan b 3 =a . Jelas bahwa persamaan ini tidak mungkin benar untuk b negatif dan untuk b=0, karena dalam kasus ini b 3 =b·b·b masing-masing akan menjadi bilangan negatif atau nol. Jadi akar pangkat tiga dari bilangan positif a adalah bilangan positif.

Sekarang misalkan selain bilangan b ada satu akar pangkat tiga lagi dari bilangan a, mari kita nyatakan c. Maka c3 =a. Oleh karena itu, b 3 c 3 =a−a=0 , tetapi b 3 c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ini adalah rumus perkalian yang disingkat perbedaan kubus), dari mana (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan hanya mungkin jika b−c=0 atau b 2 +b c+c 2 =0 . Dari persamaan pertama kita memiliki b=c , dan persamaan kedua tidak memiliki solusi, karena ruas kirinya adalah bilangan positif untuk sembarang bilangan positif b dan c sebagai jumlah dari tiga suku positif b 2 , b c dan c 2 . Ini membuktikan keunikan akar pangkat tiga dari bilangan positif a.

Untuk a=0, satu-satunya akar pangkat tiga dari a adalah nol. Memang, jika kita berasumsi bahwa ada bilangan b , yang merupakan akar pangkat tiga bukan nol dari nol, maka persamaan b 3 =0 harus berlaku, yang hanya mungkin jika b=0 .

Untuk a negatif , seseorang dapat berargumen serupa dengan kasus untuk a positif . Pertama, kita tunjukkan bahwa akar pangkat tiga dari bilangan negatif tidak bisa sama dengan bilangan positif atau nol. Kedua, kami berasumsi bahwa ada akar pangkat dua kedua dari angka negatif dan menunjukkan bahwa itu pasti akan bertepatan dengan yang pertama.

Jadi, selalu ada akar pangkat tiga dari sembarang bilangan real a, dan hanya satu.

Ayo berikan definisi akar pangkat tiga aritmatika.

Definisi

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a Bilangan tak negatif yang kubusnya sama dengan a disebut

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a dilambangkan sebagai , tandanya disebut tanda akar pangkat tiga, bilangan 3 dalam notasi ini disebut indikator akar. Angka di bawah tanda akar adalah nomor akar, ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal.

Meskipun akar pangkat tiga aritmatika didefinisikan hanya untuk bilangan non-negatif a, akan lebih mudah untuk menggunakan entri di mana bilangan negatif berada di bawah tanda akar pangkat tiga aritmatika. Kita akan memahaminya sebagai berikut: , di mana a adalah bilangan positif. Sebagai contoh, .

Kita akan berbicara tentang sifat-sifat akar pangkat tiga dalam artikel umum sifat-sifat akar.

Menghitung nilai akar pangkat tiga disebut mengekstrak akar pangkat tiga, tindakan ini dibahas dalam artikel mengekstrak akar: metode, contoh, solusi.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita katakan bahwa akar pangkat tiga dari a adalah solusi dari bentuk x 3 =a.

Akar ke-n, akar aritmatika dari n

Kami menggeneralisasi konsep akar dari angka - kami memperkenalkan penentuan akar ke-n untuk n.

Definisi

akar ke-n dari a adalah bilangan yang pangkat ke-n sama dengan a.

Dari definisi ini jelas bahwa akar derajat pertama dari angka a adalah angka itu sendiri, karena ketika mempelajari derajat dengan indikator alami, kami mengambil 1 = a.

Di atas, kami mempertimbangkan kasus khusus dari akar derajat ke-n untuk n=2 dan n=3 - akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Artinya, akar kuadrat adalah akar derajat kedua, dan akar pangkat tiga adalah akar pangkat tiga. Untuk mempelajari akar derajat ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., akan lebih mudah untuk membaginya menjadi dua kelompok: kelompok pertama - akar derajat genap (yaitu, untuk n=4, 6 , 8, ...), kelompok kedua - akar derajat ganjil (yaitu, untuk n=5, 7, 9, ... ). Ini disebabkan oleh fakta bahwa akar derajat genap mirip dengan akar kuadrat, dan akar derajat ganjil mirip dengan akar kubik. Mari kita berurusan dengan mereka secara bergantian.

Mari kita mulai dengan akar-akarnya, yang pangkatnya adalah bilangan genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kita katakan, mereka mirip dengan akar kuadrat dari bilangan a. Artinya, akar pangkat genap dari bilangan a hanya ada untuk a non-negatif. Selain itu, jika a=0, maka akar dari a adalah tunggal dan sama dengan nol, dan jika a>0, maka ada dua akar yang berderajat genap dari bilangan a, dan keduanya merupakan bilangan yang berlawanan.

Mari kita membenarkan pernyataan terakhir. Misalkan b adalah akar dari suatu derajat genap (kita nyatakan sebagai 2·m, di mana m adalah suatu bilangan asli) dari a. Misalkan ada sebuah bilangan c - akar lain 2 m dari a . Maka b 2 m c 2 m =a−a=0 . Tetapi kita mengetahui bentuk b 2 m c 2 m = (b c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), maka (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa b−c=0 , atau b+c=0 , atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua persamaan pertama berarti bahwa angka b dan c sama atau b dan c berlawanan. Dan persamaan terakhir hanya berlaku untuk b=c=0 , karena sisi kirinya berisi ekspresi yang non-negatif untuk b dan c apa pun sebagai jumlah dari bilangan non-negatif.

Adapun akar-akar derajat ke-n untuk n ganjil, mirip dengan akar pangkat tiga. Artinya, akar suatu derajat ganjil dari bilangan a ada untuk sembarang bilangan real a, dan untuk bilangan tertentu a adalah unik.

Keunikan akar pangkat ganjil 2·m+1 dari bilangan a dibuktikan dengan analogi dengan pembuktian keunikan akar pangkat tiga dari a . Hanya di sini alih-alih kesetaraan a 3 b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) persamaan bentuk b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Ekspresi dalam kurung terakhir dapat ditulis ulang sebagai b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c))))). Misalnya, untuk m=2 kita memiliki b 5 c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif, hasil kali keduanya adalah bilangan positif, maka ekspresi b 2 +c 2 +b·c , yang berada di dalam tanda kurung dengan derajat penyatuan tertinggi, adalah positif sebagai jumlah dari positif angka. Sekarang, pindah berturut-turut ke ekspresi dalam tanda kurung dari derajat bersarang sebelumnya, kami memastikan bahwa mereka juga positif sebagai jumlah dari bilangan positif. Sebagai hasilnya, kita memperoleh persamaan b 2 m+1 c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 hanya mungkin bila b−c=0 , yaitu bila bilangan b sama dengan bilangan c .

Saatnya berurusan dengan notasi akar derajat ke-n. Untuk ini, diberikan penentuan akar aritmatika derajat ke-n.

Definisi

Akar aritmatika derajat ke-n dari bilangan non-negatif a disebut bilangan non-negatif, pangkat ke-n sama dengan a.

dengan dan bilangan asli n 2 .

Bilangan kompleks Z ditelepon akarn– c, jika Z n = c.

Temukan semua nilai akar n– derajat dari bilangan kompleks dengan. Biarlah c=| c|·(karena Arg c+ saya· dosa Argdengan), sebuah Z = | Z|·(denganos Arg Z + saya· dosa Arg Z) , di mana Z akar n- derajat dari bilangan kompleks dengan. Maka itu harus = c = | c|·(karena Arg c+ saya· dosa Argdengan). Oleh karena itu berikut ini
dan n· Arg Z = Argdengan
Arg Z =
(k=0,1,…) . Karena itu, Z =
(karena
+ saya· dosa
), (k=0,1,…) . Sangat mudah untuk melihat bahwa salah satu nilai
, (k=0,1,…) berbeda dari salah satu nilai yang sesuai
,(k = 0,1,…, n-1) ke banyak 2π. Jadi , (k = 0,1,…, n-1) .

Contoh.

Hitung akar dari (-1).

, jelas sekali |-1| = 1, argumen (-1) = π

-1 = 1 (karena π + saya· dosa π )

, (k = 0, 1).

= saya

Gelar dengan eksponen rasional arbitrer

Ambil bilangan kompleks arbitrer dengan. Jika sebuah n bilangan asli, maka dengan n = | c| n ·(denganos nArgdengan +saya· dosa nArgdengan)(6). Rumus ini juga berlaku dalam kasus n = 0 (c≠0)
. Biarlah n < 0 dan n Z dan c 0, kemudian

dengan n =
(cos nArgdengan+aku berdosa nArgdengan) = (cos nArgdengan+ saya berdosa nArgdengan) . Jadi, rumus (6) berlaku untuk sembarang n.

Mari kita ambil bilangan rasional , di mana q bilangan asli, dan R adalah bilangan bulat.

Kemudian di bawah derajat c r mari kita pahami angkanya
.

Kami mengerti ,

(k = 0, 1, …, q-1). Nilai-nilai ini q potongan, jika fraksi tidak dikurangi.

Kuliah 3 Batas barisan bilangan kompleks

Fungsi bernilai kompleks dari argumen natural disebut barisan bilangan kompleks dan dilambangkan (dengan n ) atau dengan 1 , dengan 2 , ..., dengan n . dengan n = n + b n · saya (n = 1,2, ...) bilangan kompleks.

dengan 1 , dengan 2 , … - anggota barisan; dengan n - anggota biasa

Bilangan kompleks dengan = sebuah+ b· saya ditelepon limit barisan bilangan kompleks (c n ) , di mana dengan n = n + b n · saya (n = 1, 2, …) , di mana untuk setiap

, itu untuk semua n > N ketidaksetaraan
. Barisan yang memiliki limit berhingga disebut konvergen urutan.

Dalil.

Agar barisan bilangan kompleks (dengan n ) (dengan n = n + b n · saya) konvergen ke bilangan dengan = sebuah+ b· saya, perlu dan cukup untuk kesetaraanlim sebuah n = sebuah, lim b n = b.

Bukti.

Kami akan membuktikan teorema berdasarkan pertidaksamaan ganda berikut:

, di mana Z = x + kamu· saya (2)

Membutuhkan. Biarlah lim(dengan n ) = dengan. Mari kita tunjukkan bahwa persamaan lim sebuah n = sebuah dan lim b n = b (3).

Jelas (4)

Sebagai
, Kapan n → ∞ , maka dari ruas kiri pertidaksamaan (4) bahwa
dan
, Kapan n → ∞ . oleh karena itu persamaan (3) berlaku. Kebutuhan telah terbukti.

Kecukupan. Sekarang biarkan persamaan (3) bertahan. Ini mengikuti dari persamaan (3) bahwa
dan
, Kapan n → ∞ , oleh karena itu, karena ruas kanan pertidaksamaan (4), menjadi
, Kapan n→∞ , cara lim(dengan n )=s. Kecukupan telah terbukti.

Jadi, soal kekonvergenan barisan bilangan kompleks setara dengan kekonvergenan dua barisan bilangan real, oleh karena itu, semua sifat dasar limit barisan bilangan real berlaku untuk barisan bilangan kompleks.

Misalnya, untuk barisan bilangan kompleks, kriteria Cauchy valid: urutan bilangan kompleks (dengan n ) konvergen, perlu dan cukup bahwa untuk setiap

, bahwa untuk apapunn, m > Nketidaksetaraan
.

Dalil.

Misalkan suatu barisan bilangan kompleks (dengan n ) dan (z n ) konvergen masing-masing ke dengan danz, maka persamaanlim(dengan n z n ) = c z, lim(dengan n · z n ) = c· z. Jika diketahui secara pasti bahwaztidak sama dengan 0, maka persamaan
.

Artikel ini adalah kumpulan informasi terperinci yang berhubungan dengan topik sifat-sifat akar. Mempertimbangkan topik, kita akan mulai dengan properti, mempelajari semua formulasi dan memberikan bukti. Untuk mengkonsolidasikan topik, kami akan mempertimbangkan sifat-sifat derajat ke-n.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Properti Akar

Kita akan berbicara tentang properti.

1. Properti bilangan yang dikalikan sebuah dan b, yang direpresentasikan sebagai persamaan a · b = a · b . Ini dapat direpresentasikan sebagai pengganda, positif atau sama dengan nol a 1 , a 2 , … , a k sebagai 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. dari pribadi a: b = a: b, a 0, b > 0, dapat juga ditulis dalam bentuk ini a b = a b ;
3. Properti dari kekuatan angka sebuah dengan eksponen genap a 2 m = a m untuk bilangan berapapun sebuah, misalnya, properti dari kuadrat angka a 2 = a .

Dalam salah satu persamaan yang disajikan, Anda dapat menukar bagian sebelum dan sesudah tanda hubung, misalnya, persamaan a · b = a · b ditransformasikan sebagai a · b = a · b . Sifat persamaan sering digunakan untuk menyederhanakan persamaan kompleks.

Pembuktian sifat-sifat pertama didasarkan pada definisi akar kuadrat dan sifat-sifat pangkat dengan eksponen alami. Untuk membuktikan sifat ketiga, perlu mengacu pada definisi modulus suatu bilangan.

Pertama-tama, perlu dibuktikan sifat-sifat akar kuadrat a · b = a · b . Menurut definisi, perlu untuk mempertimbangkan bahwa a b adalah angka, positif atau sama dengan nol, yang akan sama dengan a b selama konstruksi menjadi persegi. Nilai dari ekspresi a · b adalah positif atau sama dengan nol sebagai produk dari bilangan non-negatif. Sifat derajat bilangan yang dikalikan memungkinkan kita untuk menyatakan persamaan dalam bentuk (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Dengan definisi akar kuadrat a 2 \u003d a dan b 2 \u003d b, maka a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Dengan cara yang sama, seseorang dapat membuktikannya dari produk k pengganda a 1 , a 2 , … , a k akan sama dengan produk dari akar kuadrat dari faktor-faktor ini. Memang, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Dari persamaan ini didapat bahwa a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Mari kita lihat beberapa contoh untuk memperkuat topik.

Contoh 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 dan 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0. 2 (1).

Kita perlu membuktikan sifat-sifat akar kuadrat aritmatika dari hasil bagi: a: b = a: b, a 0, b > 0. Properti ini memungkinkan Anda untuk menulis persamaan a: b 2 = a 2: b 2 , dan a 2: b 2 = a: b , sedangkan a: b adalah bilangan positif atau sama dengan nol. Ungkapan ini akan menjadi buktinya.

Misalnya, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 dan 30, 121 = 30, 121.

Pertimbangkan properti akar kuadrat dari kuadrat suatu angka. Persamaan dapat ditulis sebagai a 2 = a Untuk membuktikan sifat ini, perlu diperhatikan secara rinci beberapa persamaan untuk sebuah 0 dan di sebuah< 0 .

Jelas, untuk a 0, persamaan a 2 = a benar. Pada sebuah< 0 persamaan a 2 = - a akan benar. Sebenarnya, dalam hal ini a > 0 dan (− a) 2 = a 2 . Kita dapat menyimpulkan bahwa a 2 = a , a 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 2

5 2 = 5 = 5 dan - 0 .36 2 = - 0.36 = 0.36 .

Sifat terbukti akan membantu membenarkan a 2 m = a m , dimana sebuah- nyata, dan m-bilangan asli. Memang, properti eksponensial memungkinkan kita untuk mengganti derajat 2 m ekspresi (pagi) 2, maka a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Contoh 3

3 8 = 3 4 = 3 4 dan (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

Sifat-sifat akar ke-n

Pertama, Anda perlu mempertimbangkan properti utama dari akar derajat ke-n:

1. Properti dari produk angka sebuah dan b, yang positif atau sama dengan nol, dapat dinyatakan sebagai persamaan a b n = a n b n , sifat ini berlaku untuk hasil kali k angka a 1 , a 2 , … , a k sebagai 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. dari bilangan pecahan memiliki sifat a b n = a n b n , dimana sebuah adalah setiap bilangan real yang positif atau sama dengan nol, dan b adalah bilangan real positif;
3. Untuk apa saja sebuah dan bilangan genap n = 2 m a 2 m 2 m = a benar, dan untuk ganjil n = 2 m 1 persamaan a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a terpenuhi.
4. Sifat ekstraksi dari a m n = a n m , dimana sebuah- angka berapa pun, positif atau sama dengan nol, n dan m adalah bilangan asli, properti ini juga dapat direpresentasikan sebagai . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Untuk setiap a non-negatif dan arbitrer n dan m, yang alami, seseorang juga dapat mendefinisikan kesetaraan yang adil a m n · m = a n ;
6. properti gelar n dari kekuatan angka sebuah, yang positif atau sama dengan nol, dalam bentuk m, didefinisikan oleh persamaan a m n = a n m ;
7. Properti perbandingan yang memiliki eksponen yang sama: untuk setiap bilangan positif sebuah dan b seperti yang sebuah< b , pertidaksamaan a n< b n ;
8. Properti perbandingan yang memiliki angka yang sama di bawah akar: jika m dan n- bilangan asli itu m > n, lalu di 0 < a < 1 pertidaksamaan a m > a n valid, dan untuk a > 1 saya< a n .

Persamaan di atas valid jika bagian sebelum dan sesudah tanda sama dengan dibalik. Mereka dapat digunakan dalam bentuk ini juga. Ini sering digunakan selama penyederhanaan atau transformasi ekspresi.

Pembuktian sifat-sifat akar di atas didasarkan pada definisi, sifat-sifat derajat, dan definisi modulus suatu bilangan. Sifat-sifat ini harus dibuktikan. Tapi semuanya beres.

1. Pertama-tama, kita akan membuktikan sifat-sifat akar derajat ke-n dari hasil kali a · b n = a n · b n . Untuk sebuah dan b , yang adalah positif atau nol , nilai a n · b n juga positif atau sama dengan nol, karena merupakan konsekuensi dari perkalian bilangan non-negatif. Sifat hasil kali daya alami memungkinkan kita untuk menulis persamaan a n · b n n = a n n · b n n . Menurut definisi akar n derajat a n n = a dan b n n = b , maka a n · b n n = a · b . Kesetaraan yang dihasilkan adalah persis apa yang diperlukan untuk dibuktikan.

Properti ini terbukti sama untuk produk k faktor: untuk bilangan tak negatif a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n 0 .

Berikut adalah contoh penggunaan properti root n pangkat dari hasil kali: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 dan 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Mari kita buktikan sifat-sifat akar hasil bagi a b n = a n b n . Pada sebuah 0 dan b > 0 kondisi a n b n ≥ 0 terpenuhi, dan a n b n n = a n n b n n = a b .

Mari kita tunjukkan contoh:

Contoh 4

8 27 3 = 8 3 27 3 dan 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Untuk langkah selanjutnya, perlu dibuktikan sifat-sifat derajat ke-n dari bilangan ke derajat n. Kami menyatakan ini sebagai persamaan a 2 m 2 m = a dan a 2 m - 1 2 m - 1 = a untuk setiap real sebuah dan alami m. Pada sebuah 0 kita mendapatkan a = a dan a 2 m = a 2 m , yang membuktikan persamaan a 2 m 2 m = a , dan persamaan a 2 m - 1 2 m - 1 = a jelas. Pada sebuah< 0 kita mendapatkan masing-masing a = - a dan a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Transformasi terakhir dari angka tersebut valid sesuai dengan properti derajat. Inilah yang membuktikan persamaan a 2 m 2 m \u003d a, dan a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a akan benar, karena - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m dianggap ganjil derajat - 1 untuk nomor berapa pun c , positif atau sama dengan nol.

Untuk menggabungkan informasi yang diterima, pertimbangkan beberapa contoh menggunakan properti:

Contoh 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 dan (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Mari kita buktikan persamaan berikut a m n = a n · m . Untuk melakukan ini, Anda perlu mengubah angka sebelum tanda sama dengan dan setelahnya di tempat a n · m = a m n . Ini akan menunjukkan entri yang benar. Untuk sebuah , yang positif atau sama dengan nol , dari bentuk a m ​​n adalah bilangan positif atau sama dengan nol. Mari kita beralih ke properti menaikkan kekuatan menjadi kekuatan dan definisinya. Dengan bantuan mereka, Anda dapat mengubah persamaan dalam bentuk a m ​​n n · m = a m n n m = a m m = a . Ini membuktikan properti yang dipertimbangkan dari root dari root.

Properti lain terbukti serupa. Betulkah, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Misalnya, 7 3 5 = 7 5 3 dan 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Mari kita buktikan sifat berikut a m n · m = a n . Untuk melakukan ini, perlu untuk menunjukkan bahwa n adalah bilangan yang positif atau sama dengan nol. Ketika dipangkatkan n m adalah saya. Jika nomor sebuah positif atau nol, maka n derajat dari antara sebuah adalah bilangan positif atau sama dengan nol Selain itu, a n · m n = a n n m , yang harus dibuktikan.

Untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh, pertimbangkan beberapa contoh.

1. Mari kita buktikan sifat berikut - sifat akar pangkat dari bentuk a m ​​n = a n m . Jelas bahwa pada sebuah 0 derajat a n m adalah bilangan non-negatif. Apalagi dia n-derajat sama dengan saya, memang, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ini membuktikan properti yang dipertimbangkan dari gelar.

Misalnya, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Kita perlu membuktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif sebuah dan B sebuah< b . Perhatikan pertidaksamaan a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию sebuah< b . Oleh karena itu, n< b n при sebuah< b .

Misalnya, kami memberikan 12 4< 15 2 3 4 .

1. Pertimbangkan properti root n- gelar. Pertama, pertimbangkan bagian pertama dari pertidaksamaan. Pada m > n dan 0 < a < 1 benar a m > a n . Misalkan a m a n . Properti akan menyederhanakan ekspresi menjadi a n m · n a m m · n . Kemudian, menurut sifat-sifat derajat dengan eksponen alami, pertidaksamaan a n m n m n a m m n m n dipenuhi, yaitu, a n a m. Nilai yang didapat pada m > n dan 0 < a < 1 tidak cocok dengan sifat-sifat di atas.

Dengan cara yang sama, seseorang dapat membuktikan bahwa m > n dan a > 1 kondisi a m< a n .

Untuk mengkonsolidasikan properti di atas, pertimbangkan beberapa contoh spesifik. Pertimbangkan ketidaksetaraan menggunakan nomor tertentu.

Contoh 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Skrip pelajaran di kelas 11 dengan topik:

Akar ke-n dari bilangan real. »

Tujuan pelajaran: Pembentukan pada siswa dari pandangan holistik dari akar n-th derajat dan akar aritmatika derajat n, pembentukan keterampilan komputasi, keterampilan penggunaan sadar dan rasional dari sifat-sifat akar dalam memecahkan berbagai masalah yang mengandung radikal. Untuk memeriksa tingkat penguasaan pertanyaan topik oleh siswa.

Subjek:ciptakan kondisi yang bermakna dan organisasional untuk asimilasi materi pada topik " Ekspresi numerik dan alfabet » pada tingkat persepsi, pemahaman dan hafalan primer; untuk membentuk kemampuan untuk menerapkan informasi ini saat menghitung akar derajat ke-n dari bilangan real;

Metasubjek: mempromosikan pengembangan keterampilan komputasi; kemampuan menganalisis, membandingkan, menggeneralisasi, menarik kesimpulan;

Pribadi: untuk menumbuhkan kemampuan untuk mengungkapkan sudut pandang seseorang, mendengarkan jawaban orang lain, mengambil bagian dalam dialog, membentuk kemampuan untuk kerjasama yang positif.

Hasil yang direncanakan.

Subjek: dapat menerapkan sifat-sifat akar derajat ke-n dari bilangan real dalam proses situasi nyata saat menghitung akar, menyelesaikan persamaan.

Pribadi: untuk membentuk perhatian dan akurasi dalam perhitungan, sikap menuntut terhadap diri sendiri dan pekerjaan seseorang, untuk menumbuhkan rasa saling membantu.

Jenis pelajaran: pelajaran belajar dan konsolidasi utama pengetahuan baru

Motivasi kegiatan belajar:

Kebijaksanaan Timur mengatakan: "Anda bisa membawa kuda ke air, tetapi Anda tidak bisa membuatnya minum." Dan tidak mungkin memaksa seseorang untuk belajar dengan baik jika dia sendiri tidak berusaha untuk belajar lebih banyak, tidak memiliki keinginan untuk bekerja pada perkembangan mentalnya. Bagaimanapun, pengetahuan hanyalah pengetahuan ketika diperoleh dengan upaya pemikiran seseorang, dan bukan dengan ingatan saja.

Pelajaran kita akan diadakan di bawah moto: "Kita akan menaklukkan puncak apa pun jika kita berjuang untuk itu." Selama pelajaran, Anda dan saya perlu memiliki waktu untuk mengatasi beberapa puncak, dan Anda masing-masing harus mengerahkan semua upaya Anda untuk menaklukkan puncak ini.

“Hari ini kita memiliki pelajaran di mana kita harus berkenalan dengan konsep baru: “Akar derajat ke-n” dan belajar bagaimana menerapkan konsep ini pada transformasi berbagai ekspresi.

Tujuan Anda adalah untuk mengaktifkan pengetahuan yang ada berdasarkan berbagai bentuk pekerjaan, berkontribusi pada studi materi dan mendapatkan nilai bagus.
Kami mempelajari akar kuadrat dari bilangan real di kelas 8. Akar kuadrat terkait dengan fungsi tampilan kamu=x 2. Teman-teman, apakah Anda ingat bagaimana kami menghitung akar kuadrat, dan properti apa yang dimilikinya?
a) survei individu:

ekspresi apa ini

apa itu akar kuadrat

apa itu akar kuadrat aritmatika

daftar sifat-sifat akar kuadrat

b) bekerja berpasangan: hitung.

-

2. Memperbarui pengetahuan dan menciptakan situasi masalah: Selesaikan persamaan x 4 =1. Bagaimana kita bisa menyelesaikannya? (Analitis dan grafis). Mari kita selesaikan secara grafis. Untuk melakukan ini, dalam satu sistem koordinat, kami membuat grafik fungsi y \u003d x 4 garis lurus y \u003d 1 (Gbr. 164 a). Mereka berpotongan di dua titik: A (-1;1) dan B(1;1). Absis titik A dan B, mis. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, adalah akar dari persamaan x 4 \u003d 1.
Berdebat dengan cara yang sama, kami menemukan akar persamaan x 4 \u003d 16: Sekarang mari kita coba selesaikan persamaan x 4 \u003d 5; ilustrasi geometris ditunjukkan pada gambar. 164 b. Jelas bahwa persamaan memiliki dua akar x 1 dan x 2, dan angka-angka ini, seperti dalam dua kasus sebelumnya, saling berlawanan. Tetapi untuk dua persamaan pertama, akarnya ditemukan tanpa kesulitan (mereka juga dapat ditemukan tanpa menggunakan grafik), dan ada masalah dengan persamaan x 4 \u003d 5: menurut gambar, kami tidak dapat menunjukkan nilainya \ u200b\u200bdari akar, tetapi kami hanya dapat menetapkan bahwa satu akar terletak di titik kiri -1, dan yang kedua - di sebelah kanan titik 1.

x 2 \u003d - (baca: "akar keempat dari lima").

Kami berbicara tentang persamaan x 4 \u003d a, di mana a 0. Dengan keberhasilan yang sama, kita dapat berbicara tentang persamaan x 4 \u003d a, di mana a 0, dan n adalah bilangan asli apa pun. Misalnya, memecahkan secara grafis persamaan x 5 \u003d 1, kami menemukan x \u003d 1 (Gbr. 165); menyelesaikan persamaan x 5 "= 7, kami menetapkan bahwa persamaan tersebut memiliki satu akar x 1, yang terletak pada sumbu x sedikit di sebelah kanan titik 1 (lihat Gambar 165). Untuk bilangan x 1, kami memperkenalkan notasi.

Definisi 1. Akar derajat ke-n dari bilangan non-negatif a (n = 2, 3.4, 5, ...) adalah bilangan non-negatif yang, jika dipangkatkan n, menghasilkan bilangan a.

Bilangan ini dilambangkan, bilangan a disebut bilangan akar, dan bilangan n adalah indeks akar.
Jika n = 2, maka mereka biasanya tidak mengatakan "akar pangkat dua", tetapi mengatakan ""akar kuadrat". Dalam hal ini, mereka tidak menulis. Ini adalah kasus khusus yang Anda pelajari secara khusus di kelas 8. mata kuliah aljabar kelas.

Jika n \u003d 3, maka alih-alih "akar derajat ketiga" mereka sering mengatakan "akar kubus". Kenalan pertama Anda dengan akar pangkat tiga juga terjadi di kursus aljabar kelas 8. Kami menggunakan akar pangkat tiga dalam kursus aljabar kelas 9.

Jadi, jika a 0, n= 2,3,4,5,…, maka 1) 0; 2) () n = a.

Secara umum, =b dan b n =a - hubungan yang sama antara bilangan non-negatif a dan b, tetapi yang kedua dijelaskan dalam bahasa yang lebih sederhana (menggunakan simbol yang lebih sederhana) daripada yang pertama.

Operasi pencarian akar bilangan non-negatif biasanya disebut ekstraksi akar. Operasi ini adalah kebalikan dari menaikkan ke daya yang sesuai. Membandingkan:

Perhatikan lagi: hanya angka positif yang muncul di tabel, karena ini ditentukan dalam definisi 1. Dan meskipun, misalnya, (-6) 6 \u003d 36 adalah persamaan yang benar, beralihlah dari itu ke notasi menggunakan akar kuadrat, mis. menulis apa yang Anda tidak bisa. Menurut definisi - angka positif, jadi = 6 (dan bukan -6). Dengan cara yang sama, meskipun 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, melewati tanda-tanda akar, kita harus menulis \u003d 2 (dan pada saat yang sama -2).

Terkadang ungkapan itu disebut radikal (dari kata Latin gadix - "root"). Di Rusia, istilah radikal cukup sering digunakan, misalnya, "perubahan radikal" berarti "perubahan radikal". Ngomong-ngomong, penunjukan akarnya mengingatkan pada kata gadix: simbolnya adalah huruf bergaya r.

Operasi ekstraksi akar juga ditentukan untuk bilangan akar negatif, tetapi hanya dalam kasus eksponen akar ganjil. Dengan kata lain, persamaan (-2) 5 = -32 dapat ditulis ulang dalam bentuk ekuivalennya sebagai =-2. Di sini definisi berikut digunakan.

Definisi 2. Akar derajat ganjil n dari bilangan negatif a (n = 3,5, ...) adalah bilangan negatif yang jika dipangkatkan n menghasilkan bilangan a.

Angka ini, seperti dalam definisi 1, dilambangkan dengan , angka a adalah angka akar, angka n adalah indeks akar.
Jadi, jika a, n=,5,7,…, maka: 1) 0; 2) () n = a.

Jadi, akar genap masuk akal (yaitu, didefinisikan) hanya untuk ekspresi radikal non-negatif; akar ganjil masuk akal untuk ekspresi radikal apa pun.

5. Konsolidasi primer pengetahuan:

1. Hitung: No No 33.5; 33.6; 33,74 33,8 secara lisan a) ; b) ; di) ; G) .

d) Tidak seperti contoh sebelumnya, kami tidak dapat menentukan nilai pasti dari angka tersebut. Hanya jelas bahwa itu lebih besar dari 2, tetapi kurang dari 3, karena 2 4 \u003d 16 (ini kurang dari 17), dan 3 4 \u003d 81 (ini lebih dari 17). Perhatikan bahwa 24 jauh lebih dekat dengan 17 daripada 34, jadi ada alasan untuk menggunakan perkiraan tanda sama dengan:
2. Temukan nilai dari ekspresi berikut.

Letakkan huruf yang sesuai di sebelah contoh.

Sedikit informasi tentang ilmuwan besar. René Descartes (1596-1650) Bangsawan Prancis, matematikawan, filsuf, ahli fisiologi, pemikir. Rene Descartes meletakkan dasar-dasar geometri analitik, memperkenalkan sebutan huruf x 2 , y 3 . Semua orang tahu koordinat Cartesian yang mendefinisikan fungsi dari suatu variabel.

3 . Selesaikan persamaan: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Keputusan: a) Jika = -2, maka y = -8. Faktanya, kita harus pangkat tiga untuk kedua bagian dari persamaan yang diberikan. Kita peroleh: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Berdebat seperti pada contoh a), kita naikkan kedua ruas persamaan ke pangkat keempat. Kita peroleh: x=1.

c) Di sini tidak perlu dinaikkan ke pangkat keempat, persamaan ini tidak memiliki solusi. Mengapa? Karena, menurut definisi 1, akar pangkat genap adalah bilangan non-negatif.
Ada beberapa tugas untuk perhatian Anda. Ketika Anda menyelesaikan tugas-tugas ini, Anda akan mempelajari nama dan nama belakang ahli matematika yang hebat. Ilmuwan ini pada tahun 1637 adalah orang pertama yang memperkenalkan tanda akar.

6. Ayo istirahat.

Kelas mengangkat tangannya - ini adalah "waktu".

Kepala menoleh - itu "dua".

Tangan ke bawah, lihat ke depan - ini adalah "tiga".

Tangan diputar lebih lebar ke samping pada "empat",

Menekan mereka ke tangan Anda dengan kekuatan adalah "lima".

Semua orang perlu duduk - ini adalah "enam".

7. Pekerjaan mandiri:

opsi: 2 opsi:

b.3. b) 12 -6.

2. Selesaikan persamaan: a) x 4 \u003d -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 \u003d -3; b) 0,3x 9 - 2,4 \u003d 0;

c) = -2; c)= 2

8. Pengulangan: Tentukan akar persamaan = - x. Jika persamaan memiliki lebih dari satu akar, tulis akar yang lebih kecil dalam jawaban.

9. Refleksi: Apa yang Anda pelajari dalam pelajaran? Apa yang menarik? Apa yang sulit?

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Sifat-sifat akar derajat ke-n. Teorema"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10-11 "Logaritma"

Sifat-sifat akar derajat ke-n. Teorema

Kawan, kami terus mempelajari akar tingkat ke-n dari bilangan real. Seperti hampir semua objek matematika, akar derajat ke-n memiliki beberapa sifat, hari ini kita akan mempelajarinya.
Semua properti yang kami pertimbangkan diformulasikan dan dibuktikan hanya untuk nilai non-negatif dari variabel yang terkandung di bawah tanda akar.
Dalam kasus eksponen akar ganjil, mereka juga berlaku untuk variabel negatif.

Teorema 1. Akar ke-n dari hasil kali dua bilangan non-negatif sama dengan hasil kali akar ke-n dari bilangan-bilangan ini: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ kuadrat[n]( b) $ .

Mari kita buktikan teoremanya.
Bukti. Kawan, untuk membuktikan teorema, mari kita perkenalkan variabel baru, tunjukkan:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Kita perlu membuktikan bahwa $x=y*z$.
Perhatikan bahwa identitas berikut juga berlaku:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Maka identitas berikut juga berlaku: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Derajat dua bilangan non-negatif dan eksponennya sama, maka alas dari derajat itu sendiri sama. Oleh karena itu $x=y*z$, itulah yang harus dibuktikan.

Teorema 2. Jika $a≥0$, $b>0$ dan n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, maka persamaan berikut berlaku: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Artinya, akar ke-n dari hasil bagi sama dengan hasil bagi dari akar-akar ke-n.

Bukti.
Untuk membuktikannya, kami menggunakan skema yang disederhanakan dalam bentuk tabel:

Contoh menghitung akar ke-n

Contoh.
Hitung: $\sqrt(16*81*256)$.
Keputusan. Mari gunakan Teorema 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Contoh.
Hitung: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Keputusan. Mari kita nyatakan ekspresi radikal sebagai pecahan tak wajar: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Mari gunakan Teorema 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Contoh.
Menghitung:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Keputusan:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ kuadrat(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Teorema 3. Jika $a≥0$, k dan n adalah bilangan asli lebih besar dari 1, maka persamaannya benar: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Untuk meningkatkan akar ke kekuatan alami, cukup untuk meningkatkan ekspresi radikal ke kekuatan ini.

Bukti.
Mari kita pertimbangkan kasus khusus untuk $k=3$. Mari kita gunakan Teorema 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Hal yang sama dapat dibuktikan untuk kasus lain. Guys, buktikan sendiri untuk kasus $k=4$ dan $k=6$.

Teorema 4. Jika $a≥0$ b n,k adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, maka persamaannya benar: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Untuk mengekstrak akar dari akar, cukup dengan mengalikan eksponen akar.

Bukti.
Mari kita buktikan lagi secara singkat menggunakan tabel. Untuk membuktikannya, kami menggunakan skema yang disederhanakan dalam bentuk tabel:

Contoh.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Teorema 5. Jika indeks akar dan ekspresi akar dikalikan dengan bilangan asli yang sama, maka nilai akar tidak akan berubah: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Bukti.
Prinsip pembuktian teorema kita sama seperti pada contoh-contoh lain. Mari kita perkenalkan variabel baru:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (menurut definisi).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (menurut definisi).
Kami menaikkan persamaan terakhir ke pangkat p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Telah mendapatkan:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Yaitu, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, yang harus dibuktikan.

Contoh:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (dibagi 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (dibagi 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (dikalikan 3).

Contoh.
Jalankan tindakan: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Keputusan.
Eksponen dari akar-akarnya adalah bilangan yang berbeda, jadi kita tidak bisa menggunakan Teorema 1, tetapi dengan menerapkan Teorema 5 kita bisa mendapatkan eksponen yang sama.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (dikalikan 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (dikalikan 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Tugas untuk solusi independen

1. Hitung: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Hitung: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Hitung:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Sederhanakan:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Lakukan tindakan: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.