Mari kita ingat dulu definisi solusi sistem persamaan dua variabel.

Definisi 1

Sepasang bilangan disebut penyelesaian sistem persamaan dengan dua variabel jika, ketika disubstitusikan ke dalam persamaan, diperoleh persamaan yang benar.

Berikut ini, kita akan mempertimbangkan sistem dua persamaan dengan dua variabel.

Ada empat cara dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan: metode substitusi, metode penambahan, metode grafis, metode manajemen variabel baru. Mari kita lihat metode ini dengan contoh spesifik. Untuk menjelaskan prinsip penggunaan tiga metode pertama, kita akan mempertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui:

Metode substitusi

Metode substitusi adalah sebagai berikut: salah satu dari persamaan ini diambil dan $y$ dinyatakan dalam $x$, kemudian $y$ disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, dari mana variabel $x.$ ditemukan. Setelah itu, kita dapat dengan mudah menghitung variabel $y.$

Contoh 1

Mari kita nyatakan dari persamaan kedua $y$ dalam bentuk $x$:

Substitusi ke persamaan pertama, cari $x$:

\ \ \

Temukan $y$:

Menjawab: $(-2,\ 3)$

Metode penambahan.

Pertimbangkan metode ini dengan sebuah contoh:

Contoh 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Kalikan persamaan kedua dengan 3, kita mendapatkan:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Sekarang mari kita tambahkan kedua persamaan bersama-sama:

\ \ \

Temukan $y$ dari persamaan kedua:

\[-6-y=-9\] \

Menjawab: $(-2,\ 3)$

Catatan 1

Perhatikan bahwa dalam metode ini perlu untuk mengalikan satu atau kedua persamaan dengan angka sedemikian rupa sehingga ketika menambahkan salah satu variabel "menghilang".

cara grafis

Metode grafiknya adalah sebagai berikut: kedua persamaan sistem ditampilkan pada bidang koordinat dan titik perpotongannya ditemukan.

Contoh 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Mari kita nyatakan $y$ dari kedua persamaan dalam bentuk $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Mari kita menggambar kedua grafik pada bidang yang sama:

Gambar 1.

Menjawab: $(-2,\ 3)$

Bagaimana cara memperkenalkan variabel baru

Kami akan mempertimbangkan metode ini dalam contoh berikut:

Contoh 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \kanan .\]

Larutan.

Sistem ini setara dengan sistem

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ Baik.\]

Misalkan $2^x=u\ (u>0)$ dan $3^y=v\ (v>0)$, kita peroleh:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan metode penambahan. Mari kita tambahkan persamaan:

\ \

Kemudian dari persamaan kedua, kita mendapatkan bahwa

Kembali ke penggantian, kami memperoleh sistem persamaan eksponensial baru:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Kita mendapatkan:

\[\kiri\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \kanan.\]

Lebih dapat diandalkan daripada metode grafis yang dibahas dalam paragraf sebelumnya.

Metode Pergantian

Kami menggunakan metode ini di kelas 7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Algoritma yang dikembangkan di kelas 7 ini cukup cocok untuk menyelesaikan sistem dua persamaan (tidak harus linier) dengan dua variabel x dan y (tentu saja, variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain, yang tidak masalah). Sebenarnya, kami menggunakan algoritma ini di paragraf sebelumnya, ketika masalah angka dua digit mengarah ke model matematika, yang merupakan sistem persamaan. Kami memecahkan sistem persamaan di atas dengan metode substitusi (lihat contoh 1 dari 4).

Algoritma untuk menggunakan metode substitusi ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel x, y.

1. Nyatakan y dalam bentuk x dari satu persamaan sistem.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan alih-alih y ke dalam persamaan lain dari sistem.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.
4. Substitusikan secara bergantian setiap akar persamaan yang ditemukan pada langkah ketiga alih-alih x ke dalam ekspresi y melalui x yang diperoleh pada langkah pertama.
5. Tuliskan jawaban dalam bentuk pasangan nilai (x;y) yang ditemukan berturut-turut pada langkah ketiga dan keempat.

4) Substitusikan secara bergantian setiap nilai y yang ditemukan ke dalam rumus x \u003d 5 - Zy. Jika kemudian
5) Pasangan (2; 1) dan solusi dari sistem persamaan yang diberikan.

Jawaban: (2; 1);

Metode penjumlahan aljabar

Metode ini, seperti metode substitusi, sudah tidak asing lagi bagi Anda dari kursus aljabar kelas 7, di mana metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Kami mengingat esensi metode dalam contoh berikut.

Contoh 2 Memecahkan sistem persamaan

Kami mengalikan semua suku persamaan pertama sistem dengan 3, dan membiarkan persamaan kedua tidak berubah:
Kurangi persamaan kedua sistem dari persamaan pertama:

Sebagai hasil penjumlahan aljabar dari dua persamaan sistem asal, diperoleh persamaan yang lebih sederhana dari persamaan pertama dan kedua dari sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih sederhana ini, kita berhak mengganti persamaan apa pun dari sistem yang diberikan, misalnya, yang kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan digantikan oleh sistem yang lebih sederhana:

Sistem ini dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Dari persamaan kedua, kita menemukan Substitusi ekspresi ini alih-alih y ke dalam persamaan pertama sistem, kita peroleh

Tetap mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam rumus

Jika x = 2 maka

Jadi, kami telah menemukan dua solusi untuk sistem:

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Anda berkenalan dengan metode memperkenalkan variabel baru ketika memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel dalam kursus aljabar kelas 8. Inti dari metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah sama, tetapi dari sudut pandang teknis ada beberapa fitur yang akan kita bahas dalam contoh berikut.

Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan variabel baru Kemudian persamaan pertama dari sistem dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih sederhana: Mari selesaikan persamaan ini terhadap variabel t:

Kedua nilai ini memenuhi kondisi , dan karena itu merupakan akar dari persamaan rasional dengan variabel t. Tapi itu berarti baik dari mana kita menemukan bahwa x = 2y, atau
Jadi, dengan menggunakan metode memasukkan variabel baru, kami berhasil, seolah-olah, untuk "meratakan" persamaan pertama dari sistem, yang penampilannya cukup kompleks, menjadi dua persamaan yang lebih sederhana:

x = 2 tahun; y - 2x.

Apa berikutnya? Dan kemudian masing-masing dari dua persamaan sederhana yang diperoleh harus dipertimbangkan secara bergantian dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 \u003d 3, yang belum kita ingat. Dengan kata lain, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian dua sistem persamaan:

Penting untuk menemukan solusi untuk sistem pertama, sistem kedua, dan memasukkan semua pasangan nilai yang dihasilkan dalam jawaban. Selesaikan sistem persamaan pertama:

Mari kita gunakan metode substitusi, terutama karena semuanya sudah siap di sini: kita substitusikan ekspresi 2y alih-alih x ke dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan

Karena x \u003d 2y, kami menemukan masing-masing x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Dengan demikian, dua solusi untuk sistem yang diberikan diperoleh: (2; 1) dan (-2; -1). Selesaikan sistem persamaan kedua:

Mari kita gunakan metode substitusi lagi: kita substitusikan ekspresi 2x sebagai ganti y dalam persamaan kedua sistem. Mendapatkan

Persamaan ini tidak memiliki akar, yang berarti bahwa sistem persamaan tidak memiliki solusi. Jadi, hanya solusi dari sistem pertama yang harus dimasukkan dalam jawaban.

Jawaban: (2; 1); (-2;-1).

Metode pengenalan variabel baru saat menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel digunakan dalam dua versi. Opsi pertama: satu variabel baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang terjadi pada contoh 3. Opsi kedua: dua variabel baru diperkenalkan dan digunakan secara bersamaan di kedua persamaan sistem. Ini akan menjadi kasus dalam contoh 4.

Contoh 4 Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan dua variabel baru:

Kami belajar itu kemudian

Ini akan memungkinkan kita untuk menulis ulang sistem yang diberikan dalam bentuk yang lebih sederhana, tetapi sehubungan dengan variabel baru a dan b:

Karena a \u003d 1, maka dari persamaan a + 6 \u003d 2 kita menemukan: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Jadi, untuk variabel a dan b, kami mendapat satu solusi:

Kembali ke variabel x dan y, kita memperoleh sistem persamaan

Kami menerapkan metode penambahan aljabar untuk menyelesaikan sistem ini:

Sejak itu dari persamaan 2x + y = 3 kita menemukan:
Jadi, untuk variabel x dan y, kami mendapat satu solusi:

Mari kita akhiri bagian ini dengan diskusi teoretis yang singkat namun cukup serius. Anda telah memperoleh beberapa pengalaman dalam memecahkan berbagai persamaan: linier, kuadrat, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ide utama untuk memecahkan persamaan adalah untuk secara bertahap berpindah dari satu persamaan ke persamaan lainnya, lebih sederhana tetapi setara dengan yang diberikan. Pada bagian sebelumnya, kami memperkenalkan gagasan kesetaraan untuk persamaan dengan dua variabel. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.

Definisi.

Dua sistem persamaan dengan variabel x dan y disebut ekuivalen jika memiliki solusi yang sama atau jika kedua sistem tidak memiliki solusi.

Ketiga metode (substitusi, penambahan aljabar, dan pengenalan variabel baru) yang telah kita bahas di bagian ini sepenuhnya benar dari sudut pandang ekivalensi. Dengan kata lain, dengan menggunakan metode ini, kami mengganti satu sistem persamaan dengan yang lain, lebih sederhana, tetapi setara dengan sistem aslinya.

Metode grafis untuk memecahkan sistem persamaan

Kita telah mempelajari bagaimana menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang umum dan dapat diandalkan seperti metode substitusi, penjumlahan aljabar, dan pengenalan variabel baru. Dan sekarang mari kita ingat metode yang telah Anda pelajari di pelajaran sebelumnya. Artinya, mari kita ulangi apa yang Anda ketahui tentang metode solusi grafis.

Metode penyelesaian sistem persamaan secara grafis adalah konstruksi grafik untuk setiap persamaan tertentu yang termasuk dalam sistem ini dan berada pada bidang koordinat yang sama, dan juga di mana diperlukan untuk menemukan titik potong dari grafik tersebut. . Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah koordinat titik ini (x; y).

Harus diingat bahwa adalah umum untuk sistem persamaan grafis untuk memiliki satu solusi yang benar, atau jumlah solusi yang tak terbatas, atau tidak memiliki solusi sama sekali.

Sekarang mari kita lihat lebih dekat masing-masing solusi ini. Jadi, sistem persamaan dapat memiliki solusi unik jika garis, yang merupakan grafik persamaan sistem, berpotongan. Jika garis-garis ini sejajar, maka sistem persamaan seperti itu sama sekali tidak memiliki solusi. Dalam kasus kebetulan grafik langsung dari persamaan sistem, maka sistem seperti itu memungkinkan Anda untuk menemukan banyak solusi.

Nah, sekarang mari kita lihat algoritma untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan 2 tidak diketahui menggunakan metode grafis:

Pertama, pertama-tama kita buat grafik persamaan ke-1;
Langkah kedua adalah memplot grafik yang berhubungan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu menemukan titik potong grafik.
Dan sebagai hasilnya, kami mendapatkan koordinat setiap titik persimpangan, yang akan menjadi solusi untuk sistem persamaan.

Mari kita lihat metode ini secara lebih rinci dengan sebuah contoh. Kami diberikan sistem persamaan yang harus diselesaikan:

Menyelesaikan Persamaan

1. Pertama, kita akan membuat grafik dari persamaan ini: x2+y2=9.

Tetapi perlu dicatat bahwa grafik persamaan ini akan menjadi lingkaran yang berpusat di titik asal, dan jari-jarinya akan sama dengan tiga.

2. Langkah selanjutnya adalah memplot persamaan seperti: y = x - 3.

Dalam hal ini, kita harus membuat garis dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).

3. Mari kita lihat apa yang kita dapatkan. Kita lihat bahwa garis memotong lingkaran di dua titik A dan B.

Sekarang kita sedang mencari koordinat titik-titik tersebut. Kita lihat bahwa koordinat (3;0) berhubungan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) berhubungan dengan titik B.

Dan apa yang kita dapatkan sebagai hasilnya?

Bilangan (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh pada perpotongan garis lurus dengan lingkaran merupakan penyelesaian tepat dari kedua persamaan sistem tersebut. Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa angka-angka ini juga merupakan solusi dari sistem persamaan ini.

Artinya, jawaban dari solusi ini adalah angka: (3;0) dan (0;−3).

Sistem pemecahan persamaan aljabar linier (SLAE) tidak diragukan lagi topik yang paling penting dari kursus aljabar linier. Sejumlah besar masalah dari semua cabang matematika direduksi menjadi sistem penyelesaian persamaan linier. Faktor-faktor ini menjelaskan alasan untuk membuat artikel ini. Materi artikel dipilih dan disusun sehingga dengan bantuannya Anda dapat

• pilih metode optimal untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier Anda,
• mempelajari teori metode yang dipilih,
• selesaikan sistem persamaan linier Anda, dengan mempertimbangkan secara rinci solusi dari contoh dan masalah yang umum.

Deskripsi singkat tentang materi artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi yang diperlukan, konsep, dan memperkenalkan beberapa notasi.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan metode untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan yang memiliki solusi unik. Pertama, mari kita fokus pada metode Cramer, kedua, kami akan menunjukkan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan seperti itu, dan ketiga, kami akan menganalisis metode Gauss (metode penghapusan variabel yang tidak diketahui secara berurutan). Untuk mengkonsolidasikan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan berbagai cara.

Setelah itu, kami melanjutkan ke penyelesaian sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, di mana jumlah persamaan tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau matriks utama sistem merosot. Kami merumuskan teorema Kronecker-Capelli, yang memungkinkan kami untuk menetapkan kompatibilitas SLAE. Mari kita menganalisis solusi sistem (dalam hal kompatibilitasnya) menggunakan konsep dasar minor dari sebuah matriks. Kami juga akan mempertimbangkan metode Gauss dan menjelaskan secara rinci solusi dari contoh.

Pastikan untuk memikirkan struktur solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen. Mari kita berikan konsep sistem solusi fundamental dan tunjukkan bagaimana solusi umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem solusi fundamental. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami mempertimbangkan sistem persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier, serta berbagai masalah, yang dalam penyelesaiannya muncul SLAE.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui (p mungkin sama dengan n ) dalam bentuk

Variabel tidak diketahui, - koefisien (beberapa bilangan real atau kompleks), - anggota bebas (juga bilangan real atau kompleks).

Bentuk SLAE ini disebut koordinat.

PADA bentuk matriks sistem persamaan ini memiliki bentuk ,
di mana - matriks utama sistem, - matriks-kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks-kolom anggota bebas.

Jika kita menambahkan ke matriks A sebagai (n + 1)-kolom kolom matriks suku bebas, maka kita mendapatkan apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linier. Biasanya, matriks yang diperbesar dilambangkan dengan huruf T, dan kolom anggota bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom lainnya, yaitu,

Dengan memecahkan sistem persamaan aljabar linier disebut seperangkat nilai variabel yang tidak diketahui , yang mengubah semua persamaan sistem menjadi identitas. Persamaan matriks untuk nilai yang diberikan dari variabel yang tidak diketahui juga berubah menjadi identitas.

Jika sistem persamaan memiliki setidaknya satu solusi, maka itu disebut persendian.

Jika sistem persamaan tidak memiliki solusi, maka disebut tidak cocok.

Jika SLAE memiliki solusi unik, maka itu disebut yakin; jika ada lebih dari satu solusi, maka - tidak pasti.

Jika suku bebas semua persamaan sistem sama dengan nol , maka sistem tersebut disebut homogen, jika tidak - heterogen.

Solusi sistem dasar persamaan aljabar linier.

Jika jumlah persamaan sistem sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka kita akan memanggil SLAE seperti itu dasar. Sistem persamaan seperti itu memiliki solusi unik, dan dalam kasus sistem homogen, semua variabel yang tidak diketahui sama dengan nol.

Kami mulai mempelajari SLAE seperti itu di sekolah menengah. Ketika menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu variabel yang tidak diketahui dalam hal yang lain dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian mengambil persamaan berikutnya, menyatakan variabel yang tidak diketahui berikutnya dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan metode penjumlahan, yaitu mereka menambahkan dua atau lebih persamaan untuk menghilangkan beberapa variabel yang tidak diketahui. Kami tidak akan membahas metode ini secara rinci, karena mereka pada dasarnya adalah modifikasi dari metode Gauss.

Metode utama untuk menyelesaikan sistem dasar persamaan linier adalah metode Cramer, metode matriks dan metode Gauss. Mari kita urutkan.

Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer.

Mari kita selesaikan sistem persamaan aljabar linier

di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem berbeda dari nol, yaitu .

Membiarkan menjadi determinan matriks utama sistem, dan adalah determinan matriks yang diperoleh dari A dengan mengganti 1, 2, …, n kolom masing-masing ke kolom anggota bebas:

Dengan notasi seperti itu, variabel yang tidak diketahui dihitung dengan rumus metode Cramer sebagai . Ini adalah bagaimana solusi dari sistem persamaan aljabar linier ditemukan dengan metode Cramer.

Contoh.

Metode Cramer .

Larutan.

Matriks utama sistem memiliki bentuk . Hitung determinannya (jika perlu, lihat artikel):

Karena determinan matriks utama sistem berbeda dengan nol, sistem memiliki solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode Cramer.

Tulis dan hitung determinan yang diperlukan (determinan diperoleh dengan mengganti kolom pertama pada matriks A dengan kolom anggota bebas, determinan - dengan mengganti kolom kedua dengan kolom anggota bebas, - dengan mengganti kolom ketiga matriks A dengan kolom anggota bebas ):

Menemukan variabel yang tidak diketahui menggunakan rumus :

Menjawab:

Kerugian utama dari metode Cramer (jika bisa disebut kerugian) adalah rumitnya menghitung determinan ketika jumlah persamaan sistem lebih dari tiga.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks (menggunakan matriks terbalik).

Biarkan sistem persamaan aljabar linier diberikan dalam bentuk matriks , di mana matriks A berdimensi n kali n dan determinannya bukan nol.

Karena , maka matriks A dapat dibalik, yaitu ada matriks terbalik . Jika kita mengalikan kedua bagian persamaan dengan di sebelah kiri, maka kita mendapatkan rumus untuk mencari matriks kolom dari variabel yang tidak diketahui. Jadi kami mendapatkan solusi dari sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks.

Contoh.

Memecahkan Sistem Persamaan Linier metode matriks.

Larutan.

Mari kita tulis ulang sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Karena

maka SLAE dapat diselesaikan dengan metode matriks. Dengan menggunakan matriks terbalik, solusi untuk sistem ini dapat ditemukan sebagai .

Mari kita bangun matriks invers menggunakan matriks komplemen aljabar dari elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Tetap menghitung - matriks variabel yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks terbalik pada kolom matriks anggota gratis (jika perlu, lihat artikel):

Menjawab:

atau dalam notasi lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama dalam mencari solusi sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks adalah rumitnya mencari matriks invers, terutama untuk matriks kuadrat berorde lebih tinggi dari ketiga.

Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Gauss.

Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem n persamaan linier dengan n variabel yang tidak diketahui
determinan matriks utama yang berbeda dari nol.

Inti dari metode Gauss terdiri dari pengecualian berturut-turut dari variabel yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikeluarkan dari semua persamaan sistem, mulai dari yang kedua, kemudian x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari yang ketiga, dan seterusnya, sampai hanya variabel yang tidak diketahui x n tetap dalam persamaan terakhir. Proses transformasi persamaan sistem untuk eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gauss langsung. Setelah proses maju metode Gauss selesai, x n ditemukan dari persamaan terakhir, x n-1 dihitung dari persamaan kedua dari belakang menggunakan nilai ini, dan seterusnya, x 1 ditemukan dari persamaan pertama. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut metode Gauss terbalik.

Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.

Kami akan mengasumsikan bahwa , karena kami selalu dapat mencapai ini dengan mengatur ulang persamaan sistem. Kami mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, mulai dari yang kedua. Untuk melakukannya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan kedua sistem, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ketiga, dan seterusnya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Dengan demikian, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kami bertindak serupa, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Untuk melakukannya, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan ketiga sistem, tambahkan kedua dikalikan dengan persamaan keempat, dan seterusnya, tambahkan kedua dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana . Dengan demikian, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita lanjutkan ke eliminasi x 3 yang tidak diketahui, sambil bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perjalanan langsung dari metode Gauss sampai sistem mengambil bentuk

Mulai saat ini, kita mulai kebalikan dari metode Gauss: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperoleh dari x n kita menemukan x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita menemukan x 1 dari persamaan pertama.

Contoh.

Memecahkan Sistem Persamaan Linier metode Gauss.

Larutan.

Mari kita singkirkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem. Untuk melakukan ini, ke kedua bagian persamaan kedua dan ketiga, kami menambahkan bagian yang sesuai dari persamaan pertama, dikalikan dengan dan dengan, masing-masing:

Sekarang kami mengecualikan x 2 dari persamaan ketiga dengan menambahkan ke bagian kiri dan kanannya bagian kiri dan kanan dari persamaan kedua, dikalikan dengan:

Pada ini, jalur maju dari metode Gauss selesai, kami memulai jalur sebaliknya.

Dari persamaan terakhir dari sistem persamaan yang dihasilkan, kami menemukan x 3:

Dari persamaan kedua kita peroleh .

Dari persamaan pertama kami menemukan variabel yang tidak diketahui yang tersisa dan ini melengkapi kebalikan dari metode Gauss.

Menjawab:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Dalam kasus umum, jumlah persamaan sistem p tidak bertepatan dengan jumlah variabel yang tidak diketahui n:

SLAE tersebut mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi. Pernyataan ini juga berlaku untuk sistem persamaan yang matriks utamanya adalah persegi dan degenerasi.

Teorema Kronecker-Capelli.

Sebelum menemukan solusi untuk sistem persamaan linier, perlu untuk menetapkan kompatibilitasnya. Jawaban atas pertanyaan ketika SLAE kompatibel, dan ketika tidak kompatibel, memberikan Teorema Kronecker-Capelli:
untuk sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p dapat sama dengan n ) agar konsisten, perlu dan cukup bahwa pangkat matriks utama sistem sama dengan pangkat matriks yang diperluas, yaitu, Rank( A)=Peringkat(T) .

Mari kita perhatikan penerapan teorema Kronecker-Cappelli untuk menentukan kompatibilitas sistem persamaan linier sebagai contoh.

Contoh.

Cari tahu apakah sistem persamaan linear memiliki solusi.

Larutan.

. Mari kita gunakan metode membatasi anak di bawah umur. Minor orde kedua berbeda dari nol. Mari kita bahas anak di bawah umur tingkat ketiga yang mengelilinginya:

Karena semua minor orde ketiga yang berbatasan sama dengan nol, pangkat matriks utama adalah dua.

Pada gilirannya, pangkat matriks yang diperbesar sama dengan tiga, karena minor dari orde ketiga

berbeda dari nol.

Lewat sini, Rang(A) , oleh karena itu, menurut teorema Kronecker-Capelli, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linier asli tidak konsisten.

Menjawab:

Tidak ada sistem solusi.

Jadi, kita telah belajar untuk menetapkan inkonsistensi sistem menggunakan teorema Kronecker-Capelli.

Tetapi bagaimana menemukan solusi SLAE jika kompatibilitasnya ditetapkan?

Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep basis minor suatu matriks dan teorema pangkat suatu matriks.

Minor orde tertinggi dari matriks A, selain nol, disebut dasar.

Dari definisi basis minor, urutannya sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks A bukan nol, mungkin ada beberapa minor dasar; selalu ada satu minor dasar.

Sebagai contoh, perhatikan matriks .

Semua minor orde ketiga dari matriks ini sama dengan nol, karena elemen-elemen baris ketiga matriks ini adalah jumlah elemen-elemen baris pertama dan kedua yang bersesuaian.

Minor berikut dari orde kedua adalah dasar, karena bukan nol

Anak di bawah umur tidak dasar, karena mereka sama dengan nol.

Teorema peringkat matriks.

Jika pangkat suatu matriks orde p oleh n adalah r, maka semua elemen baris (dan kolom) dari matriks yang tidak membentuk basis minor terpilih diekspresikan secara linear dalam elemen-elemen baris (dan kolom yang bersesuaian) ) yang membentuk basis minor.

Apa yang diberikan teorema peringkat matriks kepada kita?

Jika, dengan teorema Kronecker-Capelli, kami telah menetapkan kompatibilitas sistem, maka kami memilih setiap minor dasar dari matriks utama sistem (urutannya sama dengan r), dan mengecualikan dari sistem semua persamaan yang tidak membentuk minor dasar yang dipilih. SLAE yang diperoleh dengan cara ini akan setara dengan yang asli, karena persamaan yang dibuang masih berlebihan (menurut teorema peringkat matriks, persamaan tersebut adalah kombinasi linier dari persamaan yang tersisa).

Akibatnya, setelah membuang persamaan sistem yang berlebihan, dua kasus dimungkinkan.

Jika jumlah persamaan r dalam sistem yang dihasilkan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka akan pasti dan satu-satunya solusi dapat ditemukan dengan metode Cramer, metode matriks atau metode Gauss.

Contoh.

.

Larutan.

Peringkat matriks utama sistem sama dengan dua, karena minor dari orde kedua berbeda dari nol. Peringkat matriks yang diperluas juga sama dengan dua, karena satu-satunya minor dari orde ketiga sama dengan nol

dan minor dari orde kedua yang dipertimbangkan di atas berbeda dari nol. Berdasarkan teorema Kronecker-Capelli, seseorang dapat menyatakan kompatibilitas sistem persamaan linier asli, karena Rank(A)=Rank(T)=2 .

Sebagai dasar minor, kami mengambil . Ini dibentuk oleh koefisien persamaan pertama dan kedua:


Persamaan ketiga dari sistem tidak berpartisipasi dalam pembentukan minor dasar, jadi kami mengecualikannya dari sistem berdasarkan teorema peringkat matriks:


Jadi kita telah memperoleh sistem dasar persamaan aljabar linier. Mari kita selesaikan dengan metode Cramer:


Menjawab:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jika jumlah persamaan r dalam SLAE yang dihasilkan lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui n, maka kita meninggalkan suku-suku yang membentuk minor dasar di bagian kiri persamaan, dan memindahkan suku-suku yang tersisa ke bagian kanan persamaan dari sistem dengan tanda yang berlawanan.

Variabel yang tidak diketahui (ada r dari mereka) yang tersisa di sisi kiri persamaan disebut utama.

Variabel yang tidak diketahui (ada n - r dari mereka) yang berakhir di sisi kanan disebut Gratis.

Sekarang kita asumsikan bahwa variabel bebas yang tidak diketahui dapat mengambil nilai arbitrer, sedangkan r variabel utama yang tidak diketahui akan diekspresikan dalam variabel bebas yang tidak diketahui dengan cara yang unik. Ekspresinya dapat ditemukan dengan menyelesaikan SLAE yang dihasilkan dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Mari kita ambil contoh.

Contoh.

Memecahkan Sistem Persamaan Aljabar Linier .

Larutan.

Tentukan pangkat matriks utama sistem tersebut dengan metode anak di bawah umur berbatasan. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor orde pertama bukan nol. Mari kita mulai mencari minor orde kedua bukan nol yang mengelilingi minor ini:


Jadi kami menemukan minor bukan nol dari orde kedua. Mari kita mulai mencari minor yang berbatasan bukan nol dari orde ketiga:


Dengan demikian, pangkat matriks utama adalah tiga. Pangkat matriks yang diperbesar juga sama dengan tiga, yaitu sistemnya konsisten.

Minor bukan nol yang ditemukan dari orde ketiga akan diambil sebagai yang dasar.

Agar lebih jelas, kami menunjukkan elemen-elemen yang membentuk basis minor:


Kami meninggalkan istilah yang berpartisipasi dalam minor dasar di sisi kiri persamaan sistem, dan mentransfer sisanya dengan tanda yang berlawanan ke sisi kanan:


Kami memberikan variabel bebas yang tidak diketahui x 2 dan x 5 nilai arbitrer, yaitu, kami mengambil , di mana adalah angka arbitrer. Dalam hal ini, SLAE mengambil bentuk


Kami memecahkan sistem dasar persamaan aljabar linier yang diperoleh dengan metode Cramer:


Akibatnya, .

Dalam jawabannya, jangan lupa untuk menunjukkan variabel bebas yang tidak diketahui.

Menjawab:

Dimana angka arbitrer.

Meringkaskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, pertama-tama kita cari kompatibilitasnya menggunakan teorema Kronecker-Capelli. Jika rank dari matriks utama tidak sama dengan rank dari matriks yang diperluas, maka kita simpulkan bahwa sistem tersebut tidak konsisten.

Jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas, maka kita memilih minor dasar dan membuang persamaan sistem yang tidak berpartisipasi dalam pembentukan minor dasar yang dipilih.

Jika orde dari basis minor sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka SLAE memiliki solusi unik, yang dapat ditemukan dengan metode apa pun yang kita ketahui.

Jika urutan minor dasar lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka di sisi kiri persamaan sistem kita meninggalkan suku dengan variabel utama yang tidak diketahui, memindahkan suku yang tersisa ke ruas kanan dan memberikan nilai arbitrer​ ke variabel bebas yang tidak diketahui. Dari sistem persamaan linier yang dihasilkan, kami menemukan variabel utama yang tidak diketahui dengan metode Cramer, metode matriks atau metode Gauss.

Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Dengan menggunakan metode Gauss, seseorang dapat menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier jenis apa pun tanpa penyelidikan awal untuk kompatibilitasnya. Proses pengecualian berturut-turut dari variabel yang tidak diketahui memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang kompatibilitas dan inkonsistensi SLAE, dan jika ada solusi, itu memungkinkan untuk menemukannya.

Dari sudut pandang pekerjaan komputasi, metode Gaussian lebih disukai.

Lihat deskripsi rinci dan contoh yang dianalisis dalam artikel Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Merekam solusi umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem dasar solusi.

Pada bagian ini, kita akan fokus pada sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen gabungan yang memiliki jumlah solusi tak terbatas.

Mari kita berurusan dengan sistem homogen pertama.

Sistem keputusan mendasar Sistem homogen dari p persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui adalah himpunan (n – r) solusi bebas linier dari sistem ini, di mana r adalah orde dari basis minor dari matriks utama sistem.

Jika kita menetapkan solusi bebas linier dari SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) adalah matriks kolom berdimensi n oleh 1 ) , maka solusi umum dari sistem homogen ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor sistem fundamental solusi dengan koefisien konstanta arbitrer 1 , 2 , …, (n-r), yaitu, .

Apa yang dimaksud dengan solusi umum sistem homogen persamaan aljabar linier (oroslau)?

Artinya sederhana: rumus mendefinisikan semua solusi yang mungkin dari SLAE asli, dengan kata lain, mengambil set nilai konstanta arbitrer C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , sesuai dengan rumus kita akan mendapatkan salah satu solusi dari SLAE homogen asli.

Jadi, jika kita menemukan sistem solusi fundamental, maka kita dapat menetapkan semua solusi dari SLAE homogen ini sebagai .

Mari kita tunjukkan proses membangun sistem dasar solusi untuk SLAE homogen.

Kami memilih minor dasar dari sistem persamaan linier asli, mengecualikan semua persamaan lain dari sistem, dan mentransfer ke sisi kanan persamaan sistem dengan tanda yang berlawanan semua istilah yang mengandung variabel bebas yang tidak diketahui. Mari kita beri variabel bebas yang tidak diketahui nilai 1,0,0,…,0 dan hitung variabel utama yang tidak diketahui dengan menyelesaikan sistem dasar persamaan linier yang dihasilkan dengan cara apa pun, misalnya, dengan metode Cramer. Dengan demikian, X (1) akan diperoleh - solusi pertama dari sistem fundamental. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui gratis 0,1,0,0,…,0 dan menghitung yang tidak diketahui utama, maka kita mendapatkan X (2) . Dan seterusnya. Jika kita memberikan variabel bebas yang tidak diketahui nilai 0,00,…,0,1 dan menghitung variabel utama yang tidak diketahui, maka kita mendapatkan X (n-r) . Ini adalah bagaimana sistem dasar solusi dari SLAE homogen akan dibangun dan solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem persamaan aljabar linier yang tidak homogen, solusi umumnya direpresentasikan sebagai:

Mari kita lihat contoh.

Contoh.

Temukan sistem solusi fundamental dan solusi umum sistem homogen persamaan aljabar linier .

Larutan.

Pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen selalu sama dengan pangkat matriks yang diperluas. Mari kita cari pangkat matriks utama dengan metode fringing minor. Sebagai minor orde pertama bukan nol, kita ambil elemen a 1 1 = 9 dari matriks utama sistem. Temukan minor pembatas bukan nol dari orde kedua:

Sebuah minor dari orde kedua, berbeda dari nol, ditemukan. Mari kita pergi melalui anak di bawah umur tingkat ketiga yang berbatasan dengannya untuk mencari yang bukan nol:

Semua minor yang berbatasan dari orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks utama dan tambahan adalah dua. Mari kita ambil minor dasar. Untuk kejelasan, kami mencatat elemen sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga dari SLAE asli tidak berpartisipasi dalam pembentukan minor dasar, oleh karena itu, dapat dikecualikan:

Kami membiarkan suku-suku yang mengandung faktor-faktor yang tidak diketahui utama di ruas kanan persamaan, dan memindahkan suku-suku dengan variabel bebas yang tidak diketahui ke ruas kanan:

Mari kita membangun sistem dasar solusi untuk sistem persamaan linier homogen asli. Sistem dasar solusi SLAE ini terdiri dari dua solusi, karena SLAE asli berisi empat variabel yang tidak diketahui, dan urutan minor dasarnya adalah dua. Untuk menemukan X (1), kami memberikan variabel bebas yang tidak diketahui nilai x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, kemudian kami menemukan yang tidak diketahui utama dari sistem persamaan
.

Sistem persamaan banyak digunakan dalam industri ekonomi dalam pemodelan matematika dari berbagai proses. Misalnya, ketika memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, rute logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam bidang matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linier adalah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang perlu dicari penyelesaiannya. Barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan sejati atau membuktikan bahwa barisan itu tidak ada.

Persamaan Linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang tidak diketahui, yang nilainya harus dicari, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan.
Memecahkan persamaan dengan memplot grafiknya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya adalah solusi dari polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling sederhana adalah contoh sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, di mana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Memecahkan sistem persamaan - itu berarti menemukan nilai-nilai seperti itu (x, y) di mana sistem menjadi kesetaraan sejati, atau untuk menetapkan bahwa tidak ada nilai x dan y yang cocok.

Sepasang nilai (x, y), yang ditulis sebagai koordinat titik, disebut solusi sistem persamaan linier.

Jika sistem memiliki satu solusi umum atau tidak ada solusi, mereka disebut setara.

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol. Jika bagian kanan setelah tanda "sama dengan" memiliki nilai atau dinyatakan dengan fungsi, sistem seperti itu tidak homogen.

Jumlah variabel bisa lebih dari dua, maka kita harus berbicara tentang contoh sistem persamaan linier dengan tiga variabel atau lebih.

Dihadapkan dengan sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui, tetapi tidak demikian. Jumlah persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabel, bisa ada sejumlah besar variabel yang berubah-ubah.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada cara analitis umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu, semua metode didasarkan pada solusi numerik. Kursus matematika sekolah menjelaskan secara rinci metode seperti permutasi, penambahan aljabar, substitusi, serta metode grafis dan matriks, solusi dengan metode Gauss.

Tugas utama dalam mengajar metode pemecahan adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritme solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah untuk menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi untuk memahami prinsip-prinsip penerapan metode tertentu.

Solusi dari contoh sistem persamaan linier kelas 7 program sekolah pendidikan umum cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat rinci. Dalam setiap buku teks tentang matematika, bagian ini diberikan perhatian yang cukup. Solusi contoh sistem persamaan linier dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari secara lebih rinci di kursus pertama lembaga pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan metode substitusi

Tindakan metode substitusi ditujukan untuk mengekspresikan nilai dari satu variabel melalui yang kedua. Ekspresi disubstitusikan ke persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk variabel tunggal. Tindakan diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita beri contoh sistem persamaan linier kelas 7 dengan metode substitusi:

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu untuk mendapatkan satu variabel Y dalam persamaan ke-2 . Solusi dari contoh ini tidak menyebabkan kesulitan dan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir adalah memeriksa nilai yang diperoleh.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan substitusi. Persamaan bisa rumit dan ekspresi variabel dalam hal yang tidak diketahui kedua akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Ketika ada lebih dari 3 yang tidak diketahui dalam sistem, solusi substitusi juga tidak praktis.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaian menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem dengan metode penjumlahan, penjumlahan suku demi suku dan perkalian persamaan dengan berbagai bilangan dilakukan. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dengan satu variabel.

Penerapan metode ini membutuhkan latihan dan pengamatan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode penjumlahan dengan jumlah variabel 3 atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar berguna jika persamaan mengandung pecahan dan bilangan desimal.

Algoritma tindakan solusi:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan beberapa angka. Sebagai hasil dari operasi aritmatika, salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
2. Tambahkan istilah ekspresi yang dihasilkan dengan istilah dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
3. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 dari sistem untuk menemukan variabel yang tersisa.

Metode solusi dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem perlu menemukan solusi untuk tidak lebih dari dua persamaan, jumlah yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode ini digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan sehubungan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Dapat dilihat dari contoh bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat direduksi menjadi trinomial kuadrat standar. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Penting untuk mencari nilai diskriminan dengan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah pengali polinomial. Dalam contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan lebih kecil dari nol, maka hanya ada satu solusi: x= -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penambahan.

Sebuah metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk sistem dengan 3 persamaan. Metode ini terdiri dari plotting grafik dari setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva akan menjadi solusi umum sistem.

Metode grafik memiliki sejumlah nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linier secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik dibangun untuk setiap baris, nilai variabel x dipilih secara acak: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai y ditemukan: 3 dan 0. Titik-titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulang untuk persamaan kedua. Titik potong garis adalah solusi dari sistem.

Dalam contoh berikut, Anda perlu mencari solusi grafis untuk sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, sistem tidak memiliki solusi, karena grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang panjangnya.

Sistem dari Contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun, menjadi jelas bahwa solusi mereka berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah sistem memiliki solusi atau tidak, selalu perlu untuk membangun grafik.

Matriks dan varietasnya

Matriks digunakan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linear. Matriks adalah jenis tabel khusus yang diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks dikatakan bujur sangkar jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Suatu matriks dengan satuan sepanjang salah satu diagonalnya dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks terbalik adalah matriks seperti itu, ketika dikalikan dengan yang asli menjadi satu unit, matriks seperti itu hanya ada untuk kuadrat asli.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, koefisien dan anggota bebas dari persamaan ditulis sebagai bilangan matriks, satu persamaan adalah satu baris matriks.

Baris matriks disebut bukan nol jika setidaknya satu elemen baris tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabel berbeda, maka perlu untuk memasukkan nol di tempat yang tidak diketahui yang hilang.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Ini berarti bahwa koefisien variabel x hanya dapat ditulis dalam satu kolom, misalnya yang pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya di kolom kedua.

Saat mengalikan matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan angka.

Opsi untuk menemukan matriks terbalik

Rumus untuk mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 adalah matriks invers dan |K| - penentu matriks. |K| tidak harus sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi.

Determinan mudah dihitung untuk matriks dua kali dua, hanya perlu mengalikan elemen secara diagonal satu sama lain. Untuk opsi "tiga per tiga", ada rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom sehingga nomor kolom dan baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan untuk mengurangi entri yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar variabel dan persamaan.

Dalam contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriks adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Solusi sistem dengan metode Gauss

Dalam matematika yang lebih tinggi, metode Gauss dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses menemukan solusi untuk sistem disebut metode penyelesaian Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel dari sistem dengan sejumlah besar persamaan linier.

Metode Gaussian sangat mirip dengan solusi substitusi dan penambahan aljabar, tetapi lebih sistematis. Dalam kursus sekolah, solusi Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk membawa sistem ke bentuk trapesium terbalik. Dengan transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - dengan 3 dan 4 variabel, masing-masing.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah untuk kelas 7, contoh solusi Gaussian dijelaskan sebagai berikut:

Seperti dapat dilihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Solusi dari salah satu persamaan akan memungkinkan Anda untuk menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5, yang disebutkan dalam teks, menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan yang setara, maka sistem yang dihasilkan juga akan setara dengan yang asli.

Metode Gauss sulit dipahami oleh siswa sekolah menengah, tetapi merupakan salah satu cara yang paling menarik untuk mengembangkan kecerdasan anak-anak yang belajar di program studi lanjutan di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan perhitungan pencatatan, biasanya dilakukan hal-hal berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks bersesuaian dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka Romawi menunjukkan jumlah persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menuliskan matriks yang digunakan untuk bekerja, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan terus melakukan operasi aljabar yang diperlukan hingga hasilnya tercapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu diagonalnya adalah 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat perhitungan dengan jumlah kedua sisi persamaan.

Notasi ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan mendaftar banyak hal yang tidak diketahui.

Aplikasi gratis dari metode solusi apa pun akan membutuhkan perawatan dan sejumlah pengalaman. Tidak semua metode diterapkan. Beberapa cara untuk menemukan solusi lebih disukai di bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pembelajaran.

Materi artikel ini ditujukan untuk pengenalan pertama dengan sistem persamaan. Di sini kami memperkenalkan definisi sistem persamaan dan solusinya, dan juga mempertimbangkan jenis sistem persamaan yang paling umum. Seperti biasa, kami akan memberikan contoh penjelasan.

Navigasi halaman.

Apa itu sistem persamaan?

Kami akan secara bertahap mendekati definisi sistem persamaan. Pada awalnya, kami hanya akan mengatakan bahwa itu nyaman untuk diberikan, dengan menunjukkan dua poin: pertama, jenis catatan, dan, kedua, makna yang tertanam dalam catatan ini. Mari kita membahasnya secara bergantian, dan kemudian menggeneralisasikan alasannya ke dalam definisi sistem persamaan.

Mari kita memiliki beberapa dari mereka di depan kita. Sebagai contoh, mari kita ambil dua persamaan 2 x+y=−3 dan x=5 . Kami menulisnya satu di bawah yang lain dan menyatukannya dengan tanda kurung kurawal di sebelah kiri:

Catatan semacam ini, yang merupakan beberapa persamaan yang disusun dalam kolom dan disatukan di sebelah kiri dengan tanda kurung kurawal, adalah catatan sistem persamaan.

Apa arti catatan seperti itu? Mereka mendefinisikan himpunan semua solusi persamaan sistem tersebut, yang merupakan solusi dari setiap persamaan.

Tidak ada salahnya untuk menggambarkannya dengan kata lain. Misalkan beberapa solusi dari persamaan pertama adalah solusi dari semua persamaan lain dari sistem. Dan catatan sistem juga menunjuk mereka.

Sekarang kita siap untuk menerima definisi sistem persamaan secara memadai.

Definisi.

Sistem persamaan disebut catatan, yang merupakan persamaan yang terletak satu di bawah yang lain, disatukan di sebelah kiri oleh tanda kurung kurawal, yang menunjukkan himpunan semua solusi persamaan yang secara simultan merupakan solusi untuk setiap persamaan sistem.

Definisi serupa diberikan dalam buku teks, tetapi tidak diberikan untuk kasus umum, tetapi untuk dua persamaan rasional dalam dua variabel.

Jenis utama

Jelas bahwa ada banyak persamaan yang berbeda tak terhingga. Secara alami, ada juga banyak sistem persamaan yang dikompilasi menggunakan mereka. Oleh karena itu, untuk kenyamanan mempelajari dan bekerja dengan sistem persamaan, masuk akal untuk membaginya menjadi kelompok-kelompok sesuai dengan karakteristik yang sama, dan kemudian melanjutkan untuk mempertimbangkan sistem persamaan tipe individu.

Subdivisi pertama menunjukkan dirinya dengan jumlah persamaan yang termasuk dalam sistem. Jika ada dua persamaan, maka kita dapat mengatakan bahwa kita memiliki sistem dua persamaan, jika ada tiga, maka sistem tiga persamaan, dll. Jelas bahwa tidak masuk akal untuk berbicara tentang sistem satu persamaan, karena dalam kasus ini, sebenarnya, kita berurusan dengan persamaan itu sendiri, dan bukan dengan sistem.

Pembagian berikutnya didasarkan pada jumlah variabel yang terlibat dalam penulisan persamaan sistem. Jika ada satu variabel, maka kita berurusan dengan sistem persamaan dengan satu variabel (mereka juga mengatakan dengan satu variabel yang tidak diketahui), jika ada dua, maka dengan sistem persamaan dengan dua variabel (dengan dua variabel yang tidak diketahui), dll. Sebagai contoh, adalah sistem persamaan dengan dua variabel x dan y .

Ini mengacu pada jumlah semua variabel berbeda yang terlibat dalam catatan. Mereka tidak harus sekaligus dimasukkan dalam catatan setiap persamaan, cukup untuk memilikinya dalam setidaknya satu persamaan. Sebagai contoh, adalah sistem persamaan dengan tiga variabel x, y, dan z. Pada persamaan pertama, variabel x hadir secara eksplisit, sedangkan y dan z implisit (dapat diasumsikan bahwa variabel-variabel ini memiliki nol), dan pada persamaan kedua, x dan z hadir, dan variabel y tidak terwakili secara eksplisit. Dengan kata lain, persamaan pertama dapat dilihat sebagai , dan yang kedua sebagai x+0 y−3 z=0 .

Poin ketiga di mana sistem persamaan berbeda adalah bentuk persamaan itu sendiri.

Di sekolah, pembelajaran sistem persamaan dimulai dengan sistem dua persamaan linier dalam dua variabel. Artinya, sistem tersebut merupakan dua persamaan linier. Berikut adalah beberapa contoh: dan . Pada mereka, dasar-dasar bekerja dengan sistem persamaan dipelajari.

Ketika memecahkan masalah yang lebih kompleks, seseorang juga dapat menemukan sistem tiga persamaan linier dengan tiga yang tidak diketahui.

Selanjutnya di kelas 9, persamaan non-linier ditambahkan ke sistem dua persamaan dengan dua variabel, untuk sebagian besar seluruh persamaan tingkat kedua, lebih jarang - derajat yang lebih tinggi. Sistem ini disebut sistem persamaan nonlinier; jika perlu, jumlah persamaan dan yang tidak diketahui ditentukan. Mari kita tunjukkan contoh sistem persamaan nonlinier seperti itu: dan .

Dan kemudian dalam sistem ada juga, misalnya,. Mereka biasanya disebut hanya sistem persamaan, tanpa menentukan persamaan yang mana. Di sini perlu dicatat bahwa paling sering mereka hanya mengatakan tentang sistem persamaan "sistem persamaan", dan penyempurnaan ditambahkan hanya jika perlu.

Di sekolah menengah, sebagai materi yang dipelajari, persamaan irasional, trigonometri, logaritma dan eksponensial menembus ke dalam sistem: , , .

Jika Anda melihat lebih jauh ke dalam program kursus pertama universitas, maka penekanan utama adalah pada studi dan solusi sistem persamaan aljabar linier (SLAE), yaitu persamaan, di bagian kiri yang polinomialnya derajat pertama, dan di sebelah kanan - beberapa angka. Tetapi di sana, tidak seperti sekolah, bukan dua persamaan linier dengan dua variabel yang sudah diambil, tetapi sejumlah persamaan yang berubah-ubah dengan jumlah variabel yang berubah-ubah, seringkali tidak sesuai dengan jumlah persamaan.

Apa solusi dari sistem persamaan?

Istilah "penyelesaian sistem persamaan" secara langsung mengacu pada sistem persamaan. Sekolah memberikan definisi penyelesaian sistem persamaan dengan dua variabel :

Definisi.

Memecahkan sistem persamaan dengan dua variabel sepasang nilai variabel ini disebut, yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan yang benar, dengan kata lain, yang merupakan solusi untuk setiap persamaan sistem.

Misalnya, sepasang nilai variabel x=5 , y=2 (dapat ditulis sebagai (5, 2) ) adalah solusi untuk sistem persamaan menurut definisi, karena persamaan sistem, ketika x= 5 , y=2 disubstitusikan menjadi persamaan numerik sebenarnya masing-masing 5+2=7 dan 5−2=3. Tetapi pasangan nilai x=3 , y=0 bukanlah solusi untuk sistem ini, karena ketika nilai-nilai ini disubstitusikan ke dalam persamaan, yang pertama akan berubah menjadi persamaan yang salah 3+0=7 .

Definisi serupa dapat dirumuskan untuk sistem dengan satu variabel, serta untuk sistem dengan tiga, empat, dll. variabel.

Definisi.

Memecahkan sistem persamaan dengan satu variabel akan ada nilai variabel yang merupakan akar dari semua persamaan sistem, yaitu, yang mengubah semua persamaan menjadi persamaan numerik yang sebenarnya.

Mari kita ambil contoh. Pertimbangkan sistem persamaan dengan satu variabel t dalam bentuk . Bilangan 2 adalah solusinya, karena (−2) 2 =4 dan 5·(−2+2)=0 keduanya adalah persamaan numerik yang sebenarnya. Dan t=1 bukan solusi sistem, karena substitusi nilai ini akan menghasilkan dua persamaan yang salah 1 2 =4 dan 5·(1+2)=0 .

Definisi.

Solusi dari sistem dengan tiga, empat, dll. variabel disebut triple, quadruple, dll. nilai variabel, masing-masing, yang mengubah semua persamaan sistem menjadi persamaan sejati.

Jadi, menurut definisi, tiga kali lipat nilai variabel x=1 , y=2 , z=0 adalah solusi untuk sistem , karena 2 1=2 , 5 2=10 dan 1+2+0=3 adalah persamaan numerik yang benar. Dan (1, 0, 5) bukan solusi untuk sistem ini, karena ketika nilai-nilai variabel ini disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, yang kedua berubah menjadi persamaan yang salah 5 0=10, dan yang ketiga satu juga 1+0+5=3 .

Perhatikan bahwa sistem persamaan mungkin tidak memiliki solusi, mungkin memiliki sejumlah solusi yang terbatas, misalnya, satu, dua, ..., atau mungkin memiliki banyak solusi. Anda akan melihat ini saat Anda mempelajari topik lebih dalam.

Dengan mempertimbangkan definisi sistem persamaan dan solusinya, kita dapat menyimpulkan bahwa solusi sistem persamaan adalah perpotongan dari himpunan solusi dari semua persamaannya.

Untuk menyimpulkan, berikut adalah beberapa definisi terkait:

Definisi.

tidak cocok jika tidak memiliki solusi, jika tidak, sistem disebut persendian.

Definisi.

Sistem persamaan tersebut disebut tidak pasti jika memiliki banyak solusi, dan yakin, jika memiliki sejumlah solusi yang terbatas, atau tidak memiliki solusi sama sekali.

Istilah-istilah ini diperkenalkan, misalnya, dalam buku teks, tetapi jarang digunakan di sekolah, lebih sering terdengar di lembaga pendidikan tinggi.

Bibliografi.

1. Aljabar: buku pelajaran untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-17. - M. : Pendidikan, 2008. - 240 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-17, tambahkan. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-13, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 11. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A.G. Kurosh. Kursus aljabar yang lebih tinggi.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometri analitik: Buku Teks: Untuk universitas. – edisi ke-5. – M.: Sains. Fizmatlit, 1999. - 224 hal. – (Kursus matematika tinggi dan fisika matematika). – ISBN 5-02-015234 – X (Edisi 3)