Secara umum, masalah ini patut mendapat perhatian khusus, tetapi semuanya sederhana di sini: pada sudut derajat, baik sinus dan kosinusnya positif (lihat gambar), lalu kita ambil tanda plus.
Sekarang coba, berdasarkan di atas, untuk menemukan sinus dan cosinus dari sudut: dan
Anda dapat menipu: khususnya untuk sudut dalam derajat. Karena jika salah satu sudut segitiga siku-siku sama dengan derajat, maka yang kedua sama dengan derajat. Sekarang formula yang sudah dikenal mulai berlaku:
Kemudian sejak, lalu dan. Sejak, kemudian dan. Dengan derajat, itu bahkan lebih sederhana: jadi jika salah satu sudut segitiga siku-siku sama dengan derajat, maka yang lain juga sama dengan derajat, yang berarti segitiga tersebut sama kaki.
Jadi kakinya sama. Jadi sinus dan cosinusnya sama.
Sekarang temukan diri Anda menurut definisi baru (melalui x dan y!) sinus dan kosinus sudut dalam derajat dan derajat. Tidak ada segitiga untuk menggambar di sini! Mereka terlalu datar!
Anda seharusnya mendapatkan:
Anda dapat menemukan tangen dan kotangen sendiri menggunakan rumus:
Perhatikan bahwa Anda tidak dapat membagi dengan nol!
Sekarang semua nomor yang diterima dapat diringkas dalam tabel:
Berikut adalah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut-sudut tersebut saya seperempat. Untuk kenyamanan, sudut diberikan dalam derajat dan radian (tetapi sekarang Anda tahu hubungan di antara mereka!). Perhatikan 2 garis putus-putus dalam tabel: yaitu, kotangen nol dan garis singgung derajat. Ini bukan kecelakaan!
Secara khusus:
Sekarang mari kita generalisasikan konsep sinus dan kosinus ke sudut yang sepenuhnya berubah-ubah. Saya akan mempertimbangkan dua kasus di sini:
- Sudut berkisar dari derajat
- Sudut lebih besar dari derajat
Secara umum, saya memutar jiwa saya sedikit, berbicara tentang "cukup semua" sudut. Mereka juga bisa negatif! Tetapi kami akan mempertimbangkan kasus ini di artikel lain. Mari kita fokus pada kasus pertama terlebih dahulu.
Jika sudutnya terletak pada 1 kuartal, maka semuanya jelas, kami telah mempertimbangkan kasus ini dan bahkan menggambar tabel.
Sekarang biarkan sudut kita lebih besar dari derajat dan tidak lebih dari. Ini berarti terletak di kuartal ke-2 atau ke-3 atau ke-4.
Bagaimana keadaan kita? Ya, persis sama!
Mari kita pertimbangkan bukannya sesuatu seperti ini...
... seperti ini:
Artinya, perhatikan sudut berbaring di kuartal kedua. Apa yang bisa kita katakan tentang dia?
Titik yang merupakan titik perpotongan sinar dan lingkaran masih memiliki 2 koordinat (tidak ada yang gaib kan?). Ini adalah koordinat dan
Apalagi koordinat pertama negatif, dan koordinat kedua positif! Ini berarti bahwa di sudut kuartal kedua, kosinusnya negatif, dan sinusnya positif!
Menakjubkan, bukan? Sebelumnya, kita belum pernah menjumpai kosinus negatif.
Ya, dan pada prinsipnya hal ini tidak mungkin terjadi jika kita menganggap fungsi trigonometri sebagai rasio sisi-sisi segitiga. Omong-omong, pikirkan sudut mana yang memiliki kosinus yang sama? Dan mana yang memiliki sinus?
Demikian pula, Anda dapat mempertimbangkan sudut di semua tempat lainnya. Saya hanya mengingatkan Anda bahwa sudut dihitung berlawanan arah jarum jam! (seperti yang ditunjukkan pada gambar terakhir!).
Tentu saja, Anda dapat menghitung ke arah lain, tetapi pendekatan ke sudut seperti itu akan sedikit berbeda.
Berdasarkan alasan di atas, adalah mungkin untuk menempatkan tanda-tanda sinus, cosinus, tangen (sebagai sinus dibagi cosinus) dan kotangen (sebagai cosinus dibagi sinus) untuk keempat perempat.
Tapi sekali lagi saya ulangi, tidak ada gunanya menghafal gambar ini. Semua yang perlu Anda ketahui:
Mari kita sedikit berlatih dengan Anda. Teka-teki yang sangat sederhana:
Cari tahu apa tanda besaran berikut:
Mari kita periksa?
- derajat - ini adalah sudut, lebih besar dan lebih kecil, yang berarti terletak di 3 perempat. Gambarlah sudut mana saja dalam 3 perempat dan lihat jenis y yang dimilikinya. Ini akan menjadi negatif. Kemudian.
derajat - sudut 2 perempat. Sinusnya positif dan cosinusnya negatif. Ditambah dibagi minus adalah minus. Cara.
derajat - sudut, lebih besar dan lebih kecil. Jadi dia terletak di 4 perempat. Setiap sudut kuartal keempat "X" akan positif, yang berarti - Kami bekerja dengan radian dengan cara yang sama: ini adalah sudut dari kuartal kedua (sejak dan. Sinus dari kuartal kedua adalah positif.
.
, ini adalah sudut kuarter keempat. Ada kosinus yang positif.
- sudut kuarter keempat lagi. Kosinusnya positif dan sinusnya negatif. Maka garis singgung akan kurang dari nol:
Mungkin Anda kesulitan menentukan seperempat dalam radian. Dalam hal ini, Anda selalu dapat mencapai derajat. Jawabannya tentu saja akan sama persis.
Sekarang saya ingin membahas secara singkat hal lain. Mari kita mengingat kembali identitas trigonometri dasar.
Seperti yang saya katakan, dari sini kita dapat mengekspresikan sinus melalui kosinus atau sebaliknya:
Pilihan tanda hanya akan dipengaruhi oleh kuartal di mana sudut alfa kita berada. Untuk dua rumus terakhir, ada banyak tugas dalam ujian, misalnya, ini adalah:
Tugas
Temukan jika dan.
Sebenarnya, ini adalah tugas untuk seperempat! Lihat bagaimana itu diselesaikan:
Keputusan
Karena, maka kita substitusikan nilainya di sini, maka. Sekarang terserah yang kecil: berurusan dengan tandanya. Apa yang kita butuhkan untuk ini? Ketahui di kuartal mana sudut kita berada. Sesuai dengan kondisi masalah: . Kuartal berapa ini? Keempat. Apa tanda kosinus di kuadran keempat? Kosinus di kuadran keempat adalah positif. Kemudian tinggal kita memilih tanda plus sebelumnya. , kemudian.
Saya tidak akan memikirkan tugas-tugas seperti itu sekarang, Anda dapat menemukan analisis terperinci mereka di artikel "". Saya hanya ingin menunjukkan kepada Anda pentingnya tanda ini atau itu fungsi trigonometri tergantung pada kuartal.
Sudut lebih besar dari derajat
Hal terakhir yang ingin saya perhatikan dalam artikel ini adalah bagaimana menangani sudut yang lebih besar dari derajat?
Apa itu dan dengan apa Anda bisa memakannya agar tidak tersedak? Mari kita ambil, katakanlah, sebuah sudut dalam derajat (radian) dan berlawanan arah jarum jam darinya ...
Dalam gambar, saya menggambar spiral, tetapi Anda mengerti bahwa sebenarnya kita tidak memiliki spiral: kita hanya memiliki lingkaran.
Jadi di mana kita dapatkan jika kita mulai dari sudut tertentu dan melewati seluruh lingkaran (derajat atau radian)?
Kemana kita akan pergi? Dan kita akan sampai di sudut yang sama!
Hal yang sama, tentu saja, berlaku untuk sudut lainnya:
Mengambil sudut sewenang-wenang dan melewati seluruh lingkaran, kita akan kembali ke sudut yang sama.
Apa yang akan diberikannya kepada kita? Begini caranya: jika, maka
Dari mana kita akhirnya mendapatkan:
Untuk bilangan bulat apa pun. Ini berarti bahwa sinus dan cosinus adalah fungsi periodik dengan periode.
Dengan demikian, tidak ada masalah dalam menemukan tanda sudut sewenang-wenang sekarang: kita hanya perlu membuang semua "seluruh lingkaran" yang sesuai dengan sudut kita dan mencari tahu di perempat mana sudut yang tersisa terletak.
Misalnya, untuk menemukan tanda:
Kami memeriksa:
- Dalam derajat sesuai dengan waktu dalam derajat (derajat):
derajat tersisa. Ini adalah sudut perempat keempat. Ada sinus negatif, jadi - . derajat. Ini adalah sudut kuartal ke-3. Ada cosinus negatif. Kemudian
- . . Sejak itu - sudut kuarter pertama. Ada kosinus yang positif. Kemudian karena
- . . Karena, maka sudut kita terletak di kuarter kedua, di mana sinus positif.
Kita dapat melakukan hal yang sama untuk tangen dan kotangen. Namun, pada kenyataannya, lebih mudah dengan mereka: mereka juga merupakan fungsi periodik, hanya periodenya 2 kali lebih sedikit:
Jadi, Anda memahami apa itu lingkaran trigonometri dan untuk apa lingkaran itu.
Tapi kami masih memiliki banyak pertanyaan:
- Apa itu sudut negatif?
- Cara menghitung nilai fungsi trigonometri pada sudut-sudut ini
- Cara menggunakan nilai fungsi trigonometri yang diketahui dari kuartal 1 untuk mencari nilai fungsi di kuartal lain (apakah Anda benar-benar perlu menjejalkan tabel?!)
- Bagaimana cara menggunakan lingkaran untuk menyederhanakan penyelesaian persamaan trigonometri?
TINGKAT TENGAH
Nah, pada artikel kali ini kita akan terus mempelajari lingkaran trigonometri dan membahas beberapa hal berikut ini:
- Apa itu sudut negatif?
- Bagaimana cara menghitung nilai fungsi trigonometri pada sudut-sudut ini?
- Bagaimana cara menggunakan nilai fungsi trigonometri yang diketahui dari kuartal pertama untuk mencari nilai fungsi di kuartal lain?
- Apa sumbu tangen dan sumbu kotangen?
Kami tidak membutuhkan pengetahuan tambahan, kecuali keterampilan dasar bekerja dengan lingkaran unit (artikel sebelumnya). Baiklah, mari kita ke pertanyaan pertama: apa itu sudut negatif?
Sudut negatif
Sudut negatif dalam trigonometri diletakkan pada lingkaran trigonometri ke bawah dari awal, ke arah gerakan searah jarum jam:
Mari kita ingat bagaimana kita sebelumnya memplot sudut pada lingkaran trigonometri: Kami pergi dari arah positif sumbu berlawanan arah jarum jam:
Kemudian pada gambar kami sebuah sudut yang sama dengan dibangun. Demikian pula, kami membangun semua sudut.
Namun, tidak ada yang melarang kita untuk pergi dari arah positif sumbu searah jarum jam.
Kami juga akan mendapatkan sudut yang berbeda, tetapi mereka sudah negatif:
Gambar berikut menunjukkan dua sudut yang sama besar dalam nilai mutlak tetapi berlawanan tanda:
Secara umum, aturan tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
- Kami pergi berlawanan arah jarum jam - kami mendapatkan sudut positif
- Kami pergi searah jarum jam - kami mendapatkan sudut negatif
Secara skematis, aturannya ditunjukkan pada gambar ini: 
Anda dapat mengajukan pertanyaan yang cukup masuk akal kepada saya: ya, kita membutuhkan sudut untuk mengukur nilai sinus, kosinus, tangen, dan kotangen.
Jadi apakah ada perbedaan ketika kita memiliki sudut positif, dan ketika kita memiliki sudut negatif? Saya akan menjawab Anda: sebagai aturan ada.
Namun, Anda selalu dapat mengurangi penghitungan fungsi trigonometri dari sudut negatif ke penghitungan fungsi dalam sudut positif.
Perhatikan gambar berikut:
Saya menggambar dua sudut, mereka sama dalam nilai absolut tetapi memiliki tanda yang berlawanan. Perhatikan untuk setiap sudut sinus dan kosinusnya pada sumbu.
Apa yang Anda dan saya lihat? Dan inilah yang:
- Sinus berada di sudut dan berlawanan tanda! Lalu jika
- Kosinus sudut dan bertepatan! Lalu jika
- Dari dulu:
- Dari dulu:
Jadi, kita selalu dapat menyingkirkan tanda negatif di dalam fungsi trigonometri apa pun: baik dengan menghancurkannya, seperti pada kosinus, atau dengan menempatkannya di depan fungsi, seperti pada sinus, tangen, dan kotangen.
Omong-omong, ingat apa nama fungsinya, di mana untuk setiap yang dapat diterima itu benar: ?
Fungsi seperti itu disebut ganjil.
Dan jika untuk setiap diperbolehkan itu terpenuhi: ? Dalam hal ini, fungsinya disebut genap.
Jadi, kami baru saja menunjukkan bahwa:
| Sinus, tangen, dan kotangen adalah fungsi ganjil, sedangkan cosinus genap. |
Jadi, seperti yang Anda pahami, tidak ada perbedaan apakah kita mencari sinus dari sudut positif atau negatif: berurusan dengan minus sangat sederhana. Jadi kita tidak perlu tabel terpisah untuk sudut negatif.
Di sisi lain, Anda harus mengakui, akan sangat mudah, hanya mengetahui fungsi trigonometri sudut dari seperempat pertama, untuk dapat menghitung fungsi serupa untuk sisa seperempat. Bisakah itu dilakukan? Tentu saja Anda bisa! Anda memiliki setidaknya 2 cara: yang pertama adalah membangun segitiga dan menerapkan teorema Pythagoras (ini adalah bagaimana Anda dan saya menemukan nilai fungsi trigonometri untuk sudut utama dari kuartal pertama), dan yang kedua - mengingat nilai-nilai fungsi untuk sudut pada kuartal pertama dan beberapa aturan sederhana, dapat menghitung fungsi trigonometri untuk semua kuartal lainnya. Cara kedua akan menghemat banyak kerumitan dengan segitiga dan dengan Pythagoras, jadi saya melihatnya lebih menjanjikan:
Jadi, metode ini (atau aturan) disebut - rumus reduksi.
Cast formula
Secara kasar, rumus-rumus ini akan membantu Anda untuk tidak mengingat tabel seperti itu (omong-omong, ini berisi 98 angka!):
jika Anda ingat yang ini (hanya 20 angka):
Artinya, Anda tidak dapat repot dengan 78 angka yang sama sekali tidak perlu! Mari, misalnya, kita perlu menghitung. Jelas bahwa tidak ada hal seperti itu di meja kecil. Apa yang kita lakukan? Dan inilah yang:
Pertama, kita membutuhkan pengetahuan berikut:
- Sinus dan kosinus memiliki periode (derajat), mis.
Tangen (kotangen) memiliki titik (derajat)
bilangan bulat apa saja
- Sinus dan tangen adalah fungsi ganjil, dan cosinus genap:
Kami telah membuktikan pernyataan pertama dengan Anda, dan validitas yang kedua telah ditetapkan baru-baru ini.
Aturan casting yang sebenarnya terlihat seperti ini:
- Jika kita menghitung nilai fungsi trigonometri dari sudut negatif, kita membuatnya positif menggunakan sekelompok rumus (2). Sebagai contoh:
- Kami membuang untuk sinus dan cosinus periodenya: (dalam derajat), dan untuk garis singgung - (derajat). Sebagai contoh:
- Jika "sudut" yang tersisa kurang dari derajat, maka masalahnya terpecahkan: kami mencarinya di "tabel kecil".
- Jika tidak, kami mencari di kuartal mana sudut kami berada: itu akan menjadi kuartal ke-2, ke-3 atau ke-4. Kami melihat tanda fungsi yang diinginkan di kuartal. Ingat tanda ini!
- Nyatakan sudut dalam salah satu bentuk berikut:
(jika pada kuartal kedua)
(jika pada kuartal kedua)
(jika pada kuartal ketiga)
(jika pada kuartal ketiga)
(jika pada kuartal keempat)sehingga sudut yang tersisa lebih besar dari nol dan lebih kecil dari derajat. Sebagai contoh:
Pada prinsipnya, tidak masalah di mana dari dua bentuk alternatif untuk setiap kuartal Anda mewakili sudut. Ini tidak akan mempengaruhi hasil akhir.
- Sekarang mari kita lihat apa yang kita dapatkan: jika Anda memilih untuk merekam melalui atau derajat plus minus sesuatu, maka tanda fungsinya tidak akan berubah: Anda hanya menghapus atau dan menuliskan sinus, kosinus atau tangen dari sudut yang tersisa. Jika Anda memilih untuk merekam melalui atau derajat, maka ubah sinus ke kosinus, kosinus ke sinus, tangen ke kotangen, kotangen ke tangen.
- Kami menempatkan tanda dari paragraf 4 di depan ekspresi yang dihasilkan.
Mari kita tunjukkan semua hal di atas dengan contoh:
- Menghitung
- Menghitung
- Temukan-di-arti ini you-ra-sama-nia:
Mari kita mulai secara berurutan:
- Kami bertindak sesuai dengan algoritma kami. Pilih jumlah bulatan bulat untuk:
Secara umum, kami menyimpulkan bahwa keseluruhan ditempatkan di sudut 5 kali, tetapi berapa banyak yang tersisa? Kiri. Kemudian
Nah, kelebihannya sudah kita buang. Sekarang mari kita berurusan dengan tandanya. terletak di 4 kuarter. Sinus kuartal keempat memiliki tanda minus, dan saya tidak boleh lupa untuk memasukkannya ke dalam jawabannya. Selanjutnya, kami menyajikan menurut salah satu dari dua rumus paragraf 5 aturan pengurangan. Aku akan memilih:
Sekarang kita melihat apa yang terjadi: kita memiliki kasus dengan derajat, lalu kita membuangnya dan mengubah sinus menjadi cosinus. Dan letakkan tanda minus di depannya!
derajat adalah sudut pada kuartal pertama. Kami tahu (Anda berjanji kepada saya untuk belajar meja kecil!!) artinya:
Kemudian kita mendapatkan jawaban akhir:
Menjawab:
- semuanya sama, tetapi bukannya derajat - radian. Tidak apa-apa. Hal utama yang harus diingat adalah
Tapi Anda tidak bisa mengganti radian dengan derajat. Ini masalah selera Anda. Saya tidak akan mengubah apa pun. Saya akan mulai lagi dengan membuang seluruh lingkaran:
Kami membuang - ini adalah dua lingkaran utuh. Tinggal menghitung. Sudut ini berada di kuarter ketiga. Kosinus kuartal ketiga negatif. Jangan lupa untuk memberi tanda minus pada jawaban Anda. dapat dibayangkan sebagai. Sekali lagi, kami mengingat aturan: kami memiliki kasus angka "bilangan bulat" (atau), maka fungsinya tidak berubah:
Kemudian.
Menjawab: . - . Anda perlu melakukan hal yang sama, tetapi dengan dua fungsi. Saya akan sedikit lebih singkat: dan derajat adalah sudut dari kuartal kedua. Kosinus kuartal kedua memiliki tanda minus, dan sinus memiliki tanda plus. dapat direpresentasikan sebagai: tetapi bagaimana, maka
Kedua kasus adalah "setengah dari keseluruhan". Kemudian sinus menjadi kosinus, dan kosinus menjadi sinus. Selain itu, ada tanda minus di depan kosinus:
Menjawab: .
Sekarang berlatih sendiri dengan contoh-contoh berikut:
Dan berikut adalah solusinya:
Pertama, hilangkan minus dengan memindahkannya di depan sinus (karena sinus adalah fungsi ganjil !!!). Kemudian perhatikan sudut-sudutnya:Kami membuang bilangan bulat lingkaran - yaitu, tiga lingkaran ().
Tinggal menghitung: .
Kami melakukan hal yang sama dengan sudut kedua:Hapus bilangan bulat bilangan bulat - 3 lingkaran () lalu:
Sekarang kita berpikir: di kuartal berapa sudut yang tersisa terletak? Dia "tidak mencapai" segalanya. Lalu apa itu seperempat? Keempat. Apa tanda kosinus kuartal keempat? Positif. Sekarang mari kita bayangkan. Karena kami mengurangi dari bilangan bulat, kami tidak mengubah tanda kosinus:
Kami mengganti semua data yang diterima ke dalam rumus:
Menjawab: .
Standar: kami menghapus minus dari kosinus, menggunakan fakta bahwa.
Masih menghitung cosinus derajat. Mari kita hilangkan seluruh lingkaran: . KemudianKemudian.
Menjawab: .- Kami bertindak seperti pada contoh sebelumnya.
Karena Anda ingat bahwa periode garis singgung (atau) tidak seperti kosinus atau sinus, yang 2 kali lebih besar, maka kami akan menghapus bilangan bulat.
derajat adalah sudut pada kuartal kedua. Garis singgung kuartal kedua negatif, maka jangan lupakan "minus" di akhir! dapat ditulis sebagai. Tangen berubah menjadi kotangen. Akhirnya kita mendapatkan:
Kemudian.
Menjawab: .
Yah, ada sangat sedikit yang tersisa!
Sumbu garis singgung dan sumbu kotangen
Hal terakhir yang ingin saya bahas di sini adalah pada dua sumbu tambahan. Seperti yang telah kita bahas, kita memiliki dua sumbu:
- Sumbu - sumbu kosinus
- Sumbu - sumbu sinus
Faktanya, kita sudah kehabisan sumbu koordinat, bukan? Tapi bagaimana dengan garis singgung dan kotangen?
Sungguh, bagi mereka tidak ada interpretasi grafis?
Sebenarnya, Anda bisa melihatnya di gambar ini:
Secara khusus, dari gambar-gambar ini kita dapat mengatakan yang berikut:
- Tangen dan kotangen memiliki tanda yang sama di perempat
- Mereka positif di kuarter 1 dan 3
- Mereka negatif di kuarter 2 dan 4
- Tangen tidak didefinisikan dalam sudut
- Kotangen tidak didefinisikan dalam sudut
Untuk apa lagi gambar-gambar ini? Anda akan belajar di tingkat lanjutan, di mana saya akan memberi tahu Anda bagaimana Anda dapat menyederhanakan solusi persamaan trigonometri dengan bantuan lingkaran trigonometri!
TINGKAT LANJUT
Pada artikel ini, saya akan menjelaskan caranya lingkaran satuan (lingkaran trigonometri) berguna untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
Saya dapat menyoroti dua kasus yang berguna:
- Sebagai jawaban, kami tidak mendapatkan sudut "indah", tetapi bagaimanapun kami harus memilih akarnya
- Jawabannya adalah terlalu banyak rangkaian akar
Anda tidak memerlukan pengetahuan khusus, kecuali pengetahuan tentang topik:
Saya mencoba menulis topik "persamaan trigonometri" tanpa menggunakan lingkaran. Banyak yang tidak akan memuji saya untuk pendekatan seperti itu.
Tapi saya lebih suka formulanya, jadi apa yang bisa Anda lakukan. Namun, dalam beberapa kasus, formula saja tidak cukup. Contoh berikut memotivasi saya untuk menulis artikel ini:
Selesaikan persamaan:
Baiklah kalau begitu. Memecahkan persamaan itu sendiri mudah.
Penggantian terbalik:
Oleh karena itu, persamaan awal kami setara dengan empat persamaan paling sederhana! Apakah kita benar-benar perlu menuliskan 4 rangkaian akar:
Pada prinsipnya, ini bisa dihentikan. Tetapi hanya tidak untuk pembaca artikel ini, yang mengklaim sebagai semacam "kompleksitas"!
Mari kita pertimbangkan dulu deret akar pertama. Jadi, kita ambil lingkaran satuan, sekarang mari kita terapkan akar-akar ini ke lingkaran (secara terpisah untuk dan untuk):
Perhatikan: sudut apa yang muncul di antara sudut dan? Ini adalah sudut. Sekarang mari kita lakukan hal yang sama untuk rangkaian: .
Di antara akar persamaan, sudut c diperoleh lagi. Sekarang mari kita gabungkan kedua gambar ini:
Apa yang kita lihat? Dan kemudian, semua sudut antara akar kita sama. Apa artinya?
Jika kita mulai dari sudut dan mengambil sudut yang sama (untuk bilangan bulat apa pun), maka kita akan selalu mengenai salah satu dari empat titik di lingkaran atas! Jadi 2 seri akar:
Dapat digabungkan menjadi satu:
Sayangnya, untuk rangkaian akar:
Argumen-argumen ini tidak lagi valid. Buatlah gambar dan pahami mengapa demikian. Namun, mereka dapat digabungkan seperti ini:
Maka persamaan asli memiliki akar:
Yang merupakan jawaban yang cukup singkat dan ringkas. Dan apa yang dimaksud dengan singkat dan padat? Tentang tingkat literasi matematika Anda.
Ini adalah contoh pertama di mana penggunaan lingkaran trigonometri memberikan hasil yang bermanfaat.
Contoh kedua adalah persamaan yang memiliki "akar jelek".
Sebagai contoh:
- Memecahkan persamaan.
- Temukan akarnya yang termasuk dalam celah.
Bagian pertama tidak sulit.
Karena Anda sudah akrab dengan topik ini, saya akan membiarkan diri saya singkat dalam perhitungan saya.
lalu atau
Jadi kami menemukan akar persamaan kami. Tidak ada yang rumit.
Lebih sulit untuk menyelesaikan bagian kedua dari tugas, tidak tahu persis sama dengan arccosine dari minus seperempat (ini bukan nilai tabular).
Namun, kita dapat menggambarkan rangkaian akar yang ditemukan pada lingkaran satuan:
Apa yang kita lihat? Pertama, gambar tersebut menjelaskan kepada kita apa yang membatasi letak arccosine:
Interpretasi visual ini akan membantu kami menemukan akar yang termasuk dalam segmen: .
Pertama, nomor itu sendiri masuk ke dalamnya, lalu (lihat gbr.).
juga termasuk dalam segmen tersebut.
Dengan demikian, lingkaran satuan membantu menentukan batas sudut "jelek" yang mana.
Anda harus memiliki setidaknya satu pertanyaan lagi: Tapi bagaimana dengan garis singgung dan kotangen?
Bahkan, mereka juga memiliki kapaknya sendiri, meskipun memiliki tampilan yang sedikit spesifik:
Jika tidak, cara menanganinya akan sama dengan sinus dan cosinus.
Contoh
Sebuah persamaan diberikan.
- Selesaikan persamaan ini.
- Tunjukkan akar-akar persamaan ini yang termasuk dalam interval.
Keputusan:
Kami menggambar lingkaran satuan dan menandai solusi kami di atasnya:
Dari gambar tersebut dapat dipahami bahwa:
Atau bahkan lebih: sejak, maka
Kemudian kami menemukan akar-akar yang termasuk dalam segmen tersebut.
, (sebagai)
Saya serahkan kepada Anda untuk memastikan bahwa persamaan kita tidak memiliki akar lain yang termasuk dalam interval.
RINGKASAN DAN FORMULA DASAR
Alat utama trigonometri adalah lingkaran trigonometri, itu memungkinkan Anda untuk mengukur sudut, menemukan sinus, cosinus, dan sebagainya.
Ada dua cara untuk mengukur sudut.
- Melalui derajat
- Melalui radian
Dan sebaliknya: dari radian ke derajat:
Untuk menemukan sinus dan cosinus suatu sudut, Anda perlu:
- Gambarlah sebuah lingkaran satuan dengan pusat bertepatan dengan titik sudut.
- Temukan titik potong sudut ini dengan lingkaran.
- Koordinat "x"-nya adalah kosinus dari sudut yang diinginkan.
- Koordinat "permainannya" adalah sinus dari sudut yang diinginkan.
Cast formula
Ini adalah rumus yang memungkinkan Anda untuk menyederhanakan ekspresi kompleks dari fungsi trigonometri.
Rumus ini akan membantu Anda untuk tidak mengingat tabel seperti itu:
Meringkas
Anda belajar bagaimana membuat trigonometri universal memacu.
Anda telah belajar untuk memecahkan masalah lebih mudah dan lebih cepat dan, yang paling penting, tanpa kesalahan.
Anda menyadari bahwa Anda tidak perlu menjejalkan tabel apa pun dan secara umum hanya ada sedikit yang perlu dijejalkan!
Sekarang saya ingin mendengar dari Anda!
Apakah Anda berhasil menangani topik yang rumit ini?
Apa yang kamu suka? Apa yang tidak Anda sukai?
Mungkin Anda menemukan kesalahan?
Tulis di komentar!
Dan semoga sukses ujiannya!
Pada lingkaran trigonometri, selain sudut dalam derajat, kami mengamati.
Lebih lanjut tentang radian:
Radian didefinisikan sebagai nilai sudut busur yang panjangnya sama dengan jari-jarinya. Jadi, karena kelilingnya adalah 
, maka jelas bahwa radian cocok dengan lingkaran, yaitu
1 rad 57.295779513° 57°17′44.806″ 206265″.
Semua orang tahu bahwa radian adalah
Jadi, misalnya, , a . Begitulah cara kami Pelajari cara mengubah radian menjadi sudut.
Sekarang sebaliknya ayo ubah derajat ke radian.
Katakanlah kita perlu mengkonversi ke radian. Akan membantu kami. Kami melanjutkan sebagai berikut:
Karena, radian, maka isi tabel:
Kami berlatih untuk menemukan nilai sinus dan cosinus dalam lingkaran
Mari kita perjelas berikut ini.
Nah, ada baiknya jika kita diminta untuk menghitung, katakanlah, - biasanya tidak ada kebingungan di sini - semua orang mulai melihat lingkaran terlebih dahulu.
Dan jika mereka diminta untuk menghitung, misalnya, ... Banyak, tiba-tiba, mulai tidak mengerti di mana mencari nol ini ... Seringkali mereka mencarinya di asal. Mengapa?
1) Mari kita setuju sekali dan untuk semua! Apa yang muncul setelahnya atau adalah argumen=sudut, dan sudut kita adalah pada lingkaran, jangan mencarinya pada sumbu x!(Hanya saja titik individu jatuh pada lingkaran dan sumbu ...) Dan nilai sinus dan kosinus itu sendiri - kami mencari di sumbu!
2) Dan banyak lagi! Jika kita berangkat dari titik awal berlawanan arah jarum jam(arah utama melewati lingkaran trigonometri), lalu kita sisihkan nilai positif dari sudut, sudut meningkat saat kita bergerak ke arah itu.
Jika kita berangkat dari titik awal searah jarum jam, lalu kita sisihkan nilai negatif sudutnya.
Contoh 1
Temukan nilai.
Keputusan:
Kami menemukan di lingkaran. Kami memproyeksikan titik ke sumbu sinus (yaitu, kami menggambar tegak lurus dari titik ke sumbu sinus (oy)).
Kami tiba di 0. Oleh karena itu, .
Contoh 2
Temukan nilai.
Keputusan:
Kami menemukan pada lingkaran (kami melewati berlawanan arah jarum jam dan banyak lagi). Kami memproyeksikan titik ke sumbu sinus (dan itu sudah terletak pada sumbu sinus).
Kami jatuh ke -1 di sepanjang sumbu sinus.
Perhatikan bahwa di belakang titik "tersembunyi" adalah titik-titik seperti (kita bisa pergi ke titik yang ditandai searah jarum jam, yang berarti muncul tanda minus), dan banyak lagi lainnya.
Seseorang dapat membuat analogi berikut:
Bayangkan sebuah lingkaran trigonometri sebagai treadmill stadion.
Bagaimanapun, Anda dapat berakhir di titik "Bendera", saya mulai berlawanan arah jarum jam, berlari, katakanlah, 300 m, atau lari, katakanlah, 100 m searah jarum jam (kami menganggap panjang trek adalah 400 m).
Dan Anda juga dapat berakhir di titik "Bendera" (setelah "mulai") dengan berlari, katakanlah, 700 m, 1100 m, 1500 m, dll. berlawanan arah jarum jam. Anda dapat mencapai Flag Point dengan berlari sejauh 500m atau 900m, dst. searah jarum jam dari awal.
Perluas treadmill stadion secara mental menjadi garis angka. Bayangkan di mana pada baris ini, misalnya, nilai 300, 700, 1100, 1500, dll. Kita akan melihat titik-titik pada garis bilangan, yang berjarak sama satu sama lain. Mari kita berbalik. Titik-titik “menempel” menjadi satu.
Begitu pula dengan lingkaran trigonometri. Di balik setiap titik ada banyak titik lain yang tak terhingga.
Misalkan sudut , , , , dll. ditampilkan sebagai titik tunggal. Dan nilai sinus, cosinus di dalamnya, tentu saja, sama. (Apakah Anda memperhatikan bahwa kami menambahkan/mengurangi atau? Ini adalah periode untuk fungsi sinus dan kosinus.)
Contoh 3
Temukan nilai.
Keputusan:
Mari kita ubah ke derajat untuk kesederhanaan.
(nanti, ketika Anda terbiasa dengan lingkaran trigonometri, Anda tidak perlu mengubah radian menjadi derajat):
Kami akan bergerak searah jarum jam dari titik Ayo setengah lingkaran () dan banyak lagi
Kami memahami bahwa nilai sinus bertepatan dengan nilai sinus dan sama dengan
Perhatikan bahwa jika kita mengambil, misalnya, atau, dll., maka kita akan mendapatkan nilai sinus yang sama.
Contoh 4
Temukan nilai.
Keputusan:
Namun, kita tidak akan mengonversi radian ke derajat, seperti pada contoh sebelumnya.
Artinya, kita harus pergi berlawanan arah jarum jam setengah lingkaran dan seperempat setengah lingkaran lagi dan memproyeksikan titik yang dihasilkan ke sumbu kosinus (sumbu horizontal).
Contoh 5
Temukan nilai.
Keputusan:
Bagaimana cara menggambar pada lingkaran trigonometri?
Jika kita lulus atau, setidaknya, kita masih akan berakhir pada titik yang kita tentukan sebagai "mulai". Oleh karena itu, Anda dapat langsung menuju ke suatu titik pada lingkaran
Contoh 6
Temukan nilai.
Keputusan:
Kita akan berakhir pada satu titik (akan membawa kita ke titik nol). Kami memproyeksikan titik lingkaran ke sumbu kosinus (lihat lingkaran trigonometri), kami masuk. yaitu
Lingkaran trigonometri - di tangan Anda
Anda sudah mengerti bahwa hal utama adalah mengingat nilai fungsi trigonometri dari kuartal pertama. Di perempat yang tersisa, semuanya serupa, Anda hanya perlu mengikuti tanda-tandanya. Dan saya harap Anda tidak akan melupakan "tangga rantai" dari nilai-nilai fungsi trigonometri. 
Bagaimana menemukan nilai tangen dan kotangen sudut utama.
Setelah itu, setelah berkenalan dengan nilai-nilai dasar tangen dan kotangen, kamu bisa lulus
Pada template lingkaran kosong. Kereta!
Sederhananya, ini adalah sayuran yang dimasak dalam air sesuai dengan resep khusus. Saya akan mempertimbangkan dua komponen awal (salad sayuran dan air) dan hasil akhir - borscht. Secara geometris, ini dapat direpresentasikan sebagai persegi panjang di mana satu sisi menunjukkan selada, sisi lain menunjukkan air. Jumlah dari kedua sisi ini akan menunjukkan borscht. Diagonal dan luas persegi panjang "borscht" semacam itu adalah konsep matematika murni dan tidak pernah digunakan dalam resep borscht.
Bagaimana selada dan air berubah menjadi borscht dalam hal matematika? Bagaimana jumlah dua segmen berubah menjadi trigonometri? Untuk memahami ini, kita membutuhkan fungsi sudut linier.
Anda tidak akan menemukan apa pun tentang fungsi sudut linier di buku teks matematika. Tetapi tanpa mereka tidak akan ada matematika. Hukum matematika, seperti hukum alam, bekerja baik kita tahu mereka ada atau tidak.
Fungsi sudut linier adalah hukum penjumlahan. Lihat bagaimana aljabar berubah menjadi geometri dan geometri berubah menjadi trigonometri.
Apakah mungkin dilakukan tanpa fungsi sudut linier? Anda bisa, karena matematikawan masih mengelola tanpa mereka. Trik matematikawan terletak pada kenyataan bahwa mereka selalu memberi tahu kita hanya tentang masalah yang dapat mereka selesaikan sendiri, dan tidak pernah memberi tahu kita tentang masalah yang tidak dapat mereka selesaikan. Lihat. Jika kita mengetahui hasil penjumlahan dan satu suku, kita menggunakan pengurangan untuk mencari suku lainnya. Semuanya. Kami tidak tahu masalah lain dan kami tidak dapat menyelesaikannya. Apa yang harus dilakukan jika kita hanya mengetahui hasil penjumlahan dan tidak mengetahui kedua suku tersebut? Dalam hal ini, hasil penjumlahan harus didekomposisi menjadi dua suku menggunakan fungsi sudut linier. Selanjutnya, kita sendiri yang memilih apa yang bisa menjadi satu suku, dan fungsi sudut linier menunjukkan apa yang seharusnya menjadi suku kedua agar hasil penjumlahan tepat seperti yang kita butuhkan. Mungkin ada jumlah tak terbatas dari pasangan istilah seperti itu. Dalam kehidupan sehari-hari, kita melakukannya dengan sangat baik tanpa menguraikan jumlah; pengurangan sudah cukup bagi kita. Tetapi dalam studi ilmiah tentang hukum alam, perluasan jumlah menjadi istilah bisa sangat berguna.
Hukum penjumlahan lain yang tidak suka dibicarakan oleh matematikawan (trik lain mereka) mengharuskan suku-suku memiliki satuan ukuran yang sama. Untuk selada, air, dan borscht, ini mungkin satuan berat, volume, biaya, atau satuan ukuran.
Angka tersebut menunjukkan dua tingkat perbedaan untuk matematika. Tingkat pertama adalah perbedaan bidang angka, yang ditunjukkan sebuah, b, c. Inilah yang dilakukan ahli matematika. Tingkat kedua adalah perbedaan luas unit pengukuran, yang ditunjukkan dalam tanda kurung siku dan ditunjukkan dengan huruf kamu. Inilah yang dilakukan fisikawan. Kita dapat memahami tingkat ketiga - perbedaan dalam ruang lingkup objek yang dijelaskan. Benda yang berbeda dapat memiliki jumlah satuan ukuran yang sama. Betapa pentingnya hal ini, dapat kita lihat pada contoh trigonometri borscht. Jika kita menambahkan subskrip ke notasi yang sama untuk satuan pengukuran objek yang berbeda, kita dapat mengatakan dengan tepat kuantitas matematis apa yang menggambarkan objek tertentu dan bagaimana perubahannya dari waktu ke waktu atau sehubungan dengan tindakan kita. surat W Saya akan menandai air dengan huruf S Saya akan menandai salad dengan surat itu B- borsch. Inilah yang akan terlihat seperti fungsi sudut linier untuk borscht.
Jika kita mengambil sebagian air dan sebagian salad, bersama-sama menjadi satu porsi borscht. Di sini saya sarankan Anda beristirahat sejenak dari borscht dan mengingat masa kecil Anda yang jauh. Ingat bagaimana kita diajari menyatukan kelinci dan bebek? Itu perlu untuk menemukan berapa banyak hewan yang akan muncul. Lalu apa yang diajarkan kepada kita? Kami diajari untuk memisahkan unit dari angka dan menambahkan angka. Ya, nomor apa pun dapat ditambahkan ke nomor lain apa pun. Ini adalah jalan langsung menuju autisme matematika modern - kami tidak mengerti apa, tidak jelas mengapa, dan kami sangat memahami bagaimana ini berhubungan dengan kenyataan, karena tiga tingkat perbedaan, matematikawan hanya beroperasi pada satu. Akan lebih tepat untuk mempelajari cara berpindah dari satu unit pengukuran ke unit pengukuran lainnya.
Dan kelinci, dan bebek, dan binatang kecil dapat dihitung berkeping-keping. Satu unit pengukuran umum untuk objek yang berbeda memungkinkan kita untuk menjumlahkannya. Ini adalah masalah versi anak-anak. Mari kita lihat masalah serupa untuk orang dewasa. Apa yang Anda dapatkan ketika Anda menambahkan kelinci dan uang? Ada dua kemungkinan solusi di sini.
Pilihan pertama. Kami menentukan nilai pasar kelinci dan menambahkannya ke uang tunai yang tersedia. Kami mendapatkan nilai total kekayaan kami dalam bentuk uang.
Opsi kedua. Anda dapat menambahkan jumlah kelinci ke jumlah uang kertas yang kita miliki. Kami akan mendapatkan jumlah barang bergerak dalam potongan.
Seperti yang Anda lihat, hukum penjumlahan yang sama memungkinkan Anda mendapatkan hasil yang berbeda. Itu semua tergantung pada apa yang sebenarnya ingin kita ketahui.
Tapi kembali ke borscht kami. Sekarang kita dapat melihat apa yang akan terjadi untuk nilai sudut yang berbeda dari fungsi sudut linier.
Sudutnya nol. Kami punya salad tapi tidak ada air. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht juga nol. Ini tidak berarti sama sekali bahwa nol borscht sama dengan nol air. Nol borsch juga bisa di salad nol (sudut kanan).
Bagi saya pribadi, ini adalah bukti matematis utama dari fakta bahwa . Nol tidak mengubah angka saat ditambahkan. Ini karena penambahan itu sendiri tidak mungkin jika hanya ada satu suku dan suku kedua tidak ada. Anda dapat menghubungkan ini sesuka Anda, tetapi ingat - semua operasi matematika dengan nol ditemukan oleh matematikawan itu sendiri, jadi buang logika Anda dan dengan bodohnya menjejalkan definisi yang ditemukan oleh matematikawan: "pembagian dengan nol tidak mungkin", "bilangan berapa pun dikalikan dengan nol sama dengan nol", "di belakang titik nol" dan omong kosong lainnya. Cukup untuk mengingat sekali bahwa nol bukanlah angka, dan Anda tidak akan pernah memiliki pertanyaan apakah nol adalah bilangan asli atau bukan, karena pertanyaan seperti itu umumnya kehilangan semua makna: bagaimana seseorang dapat menganggap angka yang bukan angka . Ini seperti menanyakan warna apa yang harus dikaitkan dengan warna yang tidak terlihat. Menambahkan nol ke angka seperti melukis dengan cat yang tidak ada. Mereka melambaikan kuas kering dan memberi tahu semua orang bahwa "kami telah melukis". Tapi saya sedikit menyimpang.
Sudutnya lebih besar dari nol tetapi kurang dari empat puluh lima derajat. Kami memiliki banyak selada, tetapi sedikit air. Hasilnya, kami mendapatkan borscht yang tebal.
Sudutnya empat puluh lima derajat. Kami memiliki jumlah air dan selada yang sama. Ini adalah borscht yang sempurna (semoga para juru masak memaafkan saya, ini hanya matematika).
Sudutnya lebih besar dari empat puluh lima derajat tetapi kurang dari sembilan puluh derajat. Kami memiliki banyak air dan sedikit selada. Dapatkan borscht cair.
Sudut kanan. Kami memiliki air. Hanya kenangan yang tersisa dari selada, saat kami terus mengukur sudut dari garis yang pernah menandai selada. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht adalah nol. Kalau begitu, tunggu dan minum air selagi tersedia)))
Di Sini. Sesuatu seperti ini. Saya dapat menceritakan kisah-kisah lain di sini yang akan lebih dari pantas di sini.
Kedua sahabat itu memiliki saham mereka dalam bisnis yang sama. Setelah pembunuhan salah satu dari mereka, semuanya beralih ke yang lain.
Munculnya matematika di planet kita.
Semua cerita ini diceritakan dalam bahasa matematika menggunakan fungsi sudut linier. Di lain waktu saya akan menunjukkan kepada Anda tempat sebenarnya dari fungsi-fungsi ini dalam struktur matematika. Sementara itu, mari kembali ke trigonometri borscht dan pertimbangkan proyeksi.
Sabtu, 26 Oktober 2019
Rabu, 7 Agustus 2019
Mengakhiri percakapan tentang , kita perlu mempertimbangkan himpunan tak hingga. Mengingat bahwa konsep "tak terhingga" bekerja pada matematikawan, seperti ular boa pada kelinci. Kengerian yang bergetar dari ketidakterbatasan membuat matematikawan kehilangan akal sehat. Berikut ini contohnya:
Sumber aslinya berada. Alfa menunjukkan bilangan real. Tanda sama dengan dalam ekspresi di atas menunjukkan bahwa jika Anda menambahkan angka atau tak terhingga ke tak terhingga, tidak ada yang akan berubah, hasilnya akan menjadi tak terhingga yang sama. Jika kita mengambil himpunan bilangan asli tak terbatas sebagai contoh, maka contoh yang dipertimbangkan dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Untuk membuktikan kasus mereka secara visual, matematikawan telah menemukan banyak metode berbeda. Secara pribadi, saya melihat semua metode ini sebagai tarian dukun dengan rebana. Intinya, mereka semua sampai pada kenyataan bahwa beberapa kamar tidak ditempati dan tamu baru menetap di dalamnya, atau bahwa beberapa pengunjung dibuang ke koridor untuk memberi ruang bagi para tamu (sangat manusiawi). Saya mempresentasikan pandangan saya tentang keputusan seperti itu dalam bentuk cerita fantastis tentang si Pirang. Apa alasan saya berdasarkan? Memindahkan jumlah pengunjung yang tidak terbatas membutuhkan waktu yang tidak terbatas. Setelah kami mengosongkan kamar tamu pertama, salah satu pengunjung akan selalu berjalan di sepanjang koridor dari kamarnya ke kamar berikutnya hingga akhir zaman. Tentu saja, faktor waktu dapat diabaikan dengan bodohnya, tetapi ini sudah termasuk dalam kategori "hukum tidak ditulis untuk orang bodoh". Itu semua tergantung pada apa yang kita lakukan: menyesuaikan kenyataan dengan teori matematika atau sebaliknya.
Apa itu "hotel tak terbatas"? Infinity inn adalah penginapan yang selalu kosong berapapun jumlahnya, tidak peduli berapa banyak kamar yang ditempati. Jika semua kamar di lorong tak berujung "untuk pengunjung" ditempati, ada lorong tak berujung lain dengan kamar untuk "tamu". Akan ada jumlah tak terbatas dari koridor seperti itu. Pada saat yang sama, "hotel tak terbatas" memiliki jumlah lantai tak terbatas dalam jumlah bangunan tak terbatas di planet dengan jumlah tak terbatas di alam semesta dalam jumlah tak terbatas yang diciptakan oleh jumlah Dewa yang tak terbatas. Para ahli matematika, di sisi lain, tidak dapat melepaskan diri dari masalah sehari-hari yang dangkal: Tuhan-Allah-Buddha selalu hanya satu, hotelnya satu, koridornya hanya satu. Jadi matematikawan mencoba untuk menyulap nomor seri kamar hotel, meyakinkan kita bahwa adalah mungkin untuk "mendorong yang tidak didorong".
Saya akan mendemonstrasikan logika penalaran saya kepada Anda menggunakan contoh himpunan bilangan asli tak terhingga. Pertama, Anda perlu menjawab pertanyaan yang sangat sederhana: berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada - satu atau banyak? Tidak ada jawaban yang benar untuk pertanyaan ini, karena kami sendiri yang menemukan angka, tidak ada angka di Alam. Ya, Alam tahu cara menghitung dengan sempurna, tetapi untuk ini dia menggunakan alat matematika lain yang tidak kita kenal. Seperti yang dipikirkan Alam, saya akan memberi tahu Anda lain kali. Karena kami menemukan angka, kami sendiri yang akan memutuskan berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada. Pertimbangkan kedua opsi, sebagaimana layaknya seorang ilmuwan sejati.
Opsi satu. "Mari kita diberi" satu set bilangan asli, yang terletak dengan tenang di rak. Kami mengambil set ini dari rak. Itu saja, tidak ada bilangan asli lain yang tersisa di rak dan tidak ada tempat untuk mengambilnya. Kami tidak dapat menambahkan satu ke set ini, karena kami sudah memilikinya. Bagaimana jika Anda benar-benar ingin? Tidak masalah. Kita bisa mengambil satu unit dari set yang sudah kita ambil dan mengembalikannya ke rak. Setelah itu, kita dapat mengambil satu unit dari rak dan menambahkannya ke sisa yang kita miliki. Hasilnya, kita kembali mendapatkan himpunan bilangan asli tak terhingga. Anda dapat menulis semua manipulasi kami seperti ini:
Saya telah menulis operasi dalam notasi aljabar dan notasi teori himpunan, mendaftar elemen himpunan secara rinci. Subskrip menunjukkan bahwa kita memiliki satu-satunya himpunan bilangan asli. Ternyata himpunan bilangan asli akan tetap tidak berubah hanya jika satu dikurangi dan yang sama ditambahkan.
Opsi dua. Kami memiliki banyak set bilangan asli tak terbatas yang berbeda di rak. Saya tekankan - BERBEDA, terlepas dari kenyataan bahwa mereka praktis tidak dapat dibedakan. Kami mengambil salah satu dari set ini. Kemudian kita mengambil satu dari himpunan bilangan asli lainnya dan menambahkannya ke himpunan yang telah kita ambil. Kita bahkan dapat menjumlahkan dua himpunan bilangan asli. Inilah yang kami dapatkan:
Subskrip "satu" dan "dua" menunjukkan bahwa elemen-elemen ini termasuk dalam himpunan yang berbeda. Ya, jika Anda menambahkan satu ke himpunan tak terbatas, hasilnya juga akan menjadi himpunan tak terbatas, tetapi tidak akan sama dengan himpunan aslinya. Jika satu himpunan tak hingga ditambahkan ke himpunan tak hingga lainnya, hasilnya adalah himpunan tak hingga baru yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan pertama.
Himpunan bilangan asli digunakan untuk menghitung dengan cara yang sama seperti penggaris untuk pengukuran. Sekarang bayangkan Anda telah menambahkan satu sentimeter ke penggaris. Ini sudah akan menjadi garis yang berbeda, tidak sama dengan aslinya.
Anda dapat menerima atau tidak menerima alasan saya - ini adalah urusan Anda sendiri. Tetapi jika Anda pernah mengalami masalah matematika, pikirkan apakah Anda berada di jalan penalaran yang salah, diinjak oleh generasi ahli matematika. Bagaimanapun, kelas matematika, pertama-tama, membentuk stereotip pemikiran yang stabil dalam diri kita, dan baru kemudian mereka menambah kemampuan mental kita (atau sebaliknya, mereka membuat kita kehilangan kebebasan berpikir).
pozg.ru
Minggu, 4 Agustus 2019
Saya sedang menulis sebuah postscript untuk sebuah artikel tentang dan melihat teks yang luar biasa ini di Wikipedia:
Kita membaca: "... dasar teoretis yang kaya dari matematika Babel tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi seperangkat teknik yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti."
Wow! Seberapa pintar kita dan seberapa baik kita bisa melihat kekurangan orang lain. Apakah lemah bagi kita untuk melihat matematika modern dalam konteks yang sama? Sedikit memparafrasekan teks di atas, secara pribadi saya mendapatkan yang berikut:
Dasar teori matematika modern yang kaya tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi satu set bagian yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti.
Saya tidak akan pergi jauh untuk mengkonfirmasi kata-kata saya - ia memiliki bahasa dan konvensi yang berbeda dari bahasa dan konvensi banyak cabang matematika lainnya. Nama yang sama dalam cabang matematika yang berbeda dapat memiliki arti yang berbeda. Saya ingin mencurahkan seluruh siklus publikasi untuk kesalahan yang paling jelas dari matematika modern. Sampai jumpa lagi.
Sabtu, 3 Agustus 2019
Bagaimana cara membagi himpunan menjadi himpunan bagian? Untuk melakukan ini, Anda harus memasukkan satuan ukuran baru, yang ada di beberapa elemen himpunan yang dipilih. Pertimbangkan sebuah contoh.
Semoga kita memiliki banyak TETAPI terdiri dari empat orang. Himpunan ini dibentuk atas dasar "orang" Mari kita tentukan unsur-unsur himpunan ini melalui huruf sebuah, subskrip dengan nomor akan menunjukkan nomor urut setiap orang dalam himpunan ini. Mari kita perkenalkan unit pengukuran baru "karakteristik seksual" dan tunjukkan dengan huruf b. Karena karakteristik seksual melekat pada semua orang, kami mengalikan setiap elemen himpunan TETAPI pada jenis kelamin b. Perhatikan bahwa kumpulan "orang" kita sekarang telah menjadi kumpulan "orang dengan jenis kelamin". Setelah itu, kita dapat membagi karakteristik seksual menjadi laki-laki bm dan wanita bw karakteristik jenis kelamin. Sekarang kita dapat menerapkan filter matematis: kita memilih salah satu dari karakteristik seksual ini, tidak peduli yang mana laki-laki atau perempuan. Jika ada pada seseorang, maka kami mengalikannya dengan satu, jika tidak ada tanda seperti itu, kami mengalikannya dengan nol. Dan kemudian kami menerapkan matematika sekolah biasa. Lihat apa yang terjadi.
Setelah perkalian, pengurangan dan penataan ulang, kami mendapat dua himpunan bagian: himpunan bagian laki-laki bm dan sebagian dari wanita bw. Kira-kira dengan cara yang sama para matematikawan bernalar ketika mereka menerapkan teori himpunan dalam praktik. Tetapi mereka tidak memberi tahu kami detailnya, tetapi memberi kami hasil akhir - "banyak orang terdiri dari subset pria dan subset wanita." Tentu, Anda mungkin memiliki pertanyaan, seberapa benar penerapan matematika dalam transformasi di atas? Saya berani meyakinkan Anda bahwa sebenarnya transformasi dilakukan dengan benar, itu cukup untuk mengetahui pembenaran matematis aritmatika, aljabar Boolean, dan bagian matematika lainnya. Apa itu? Lain waktu akan saya ceritakan.
Adapun superset, dimungkinkan untuk menggabungkan dua himpunan menjadi satu superset dengan memilih unit pengukuran yang ada dalam elemen dari dua himpunan ini.
Seperti yang Anda lihat, satuan pengukuran dan matematika umum membuat teori himpunan ketinggalan zaman. Tanda bahwa semuanya tidak beres dengan teori himpunan adalah bahwa matematikawan telah menemukan bahasa dan notasi mereka sendiri untuk teori himpunan. Para matematikawan melakukan apa yang pernah dilakukan para dukun. Hanya dukun yang tahu bagaimana "dengan benar" menerapkan "pengetahuan" mereka. "Pengetahuan" ini mereka ajarkan kepada kita.
Akhirnya, saya ingin menunjukkan kepada Anda bagaimana matematikawan memanipulasi .
Senin, 7 Januari 2019
Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:
Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa penipuan itu.
Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, ini terlihat seperti perlambatan waktu hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.
Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."
Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, tampilannya seperti ini:
Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.
Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.
Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:
Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.
Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.
Saya akan menunjukkan prosesnya dengan sebuah contoh. Kami memilih "padat merah dalam jerawat" - ini adalah "keseluruhan" kami. Pada saat yang sama, kita melihat bahwa hal-hal ini dengan busur, dan ada tanpa busur. Setelah itu, kami memilih bagian dari "keseluruhan" dan membentuk satu set "dengan busur". Beginilah cara dukun memberi makan diri mereka sendiri dengan mengikat teori himpunan mereka dengan kenyataan.
Sekarang mari kita lakukan sedikit trik. Mari kita ambil "padat dalam jerawat dengan busur" dan satukan "keseluruhan" ini dengan warna, memilih elemen merah. Kami mendapat banyak "merah". Sekarang pertanyaan rumit: apakah set yang diterima "dengan busur" dan "merah" adalah set yang sama atau dua set yang berbeda? Hanya dukun yang tahu jawabannya. Lebih tepatnya, mereka sendiri tidak tahu apa-apa, tetapi seperti yang mereka katakan, biarlah.
Contoh sederhana ini menunjukkan bahwa teori himpunan sama sekali tidak berguna dalam kenyataan. Apa rahasianya? Kami membentuk satu set "jerawat padat merah dengan busur". Pembentukan terjadi menurut empat unit pengukuran yang berbeda: warna (merah), kekuatan (padat), kekasaran (dalam tonjolan), dekorasi (dengan busur). Hanya satu set unit pengukuran yang memungkinkan untuk menggambarkan objek nyata secara memadai dalam bahasa matematika. Berikut tampilannya.
Huruf "a" dengan indeks yang berbeda menunjukkan unit pengukuran yang berbeda. Dalam tanda kurung, unit pengukuran disorot, yang menurutnya "keseluruhan" dialokasikan pada tahap awal. Unit pengukuran, yang dengannya himpunan dibentuk, dikeluarkan dari tanda kurung. Baris terakhir menunjukkan hasil akhir - sebuah elemen dari himpunan. Seperti yang Anda lihat, jika kita menggunakan satuan ukuran untuk membentuk himpunan, maka hasilnya tidak bergantung pada urutan tindakan kita. Dan ini adalah matematika, dan bukan tarian dukun dengan rebana. Dukun dapat "secara intuitif" sampai pada hasil yang sama, berdebat dengan "kejelasan", karena unit pengukuran tidak termasuk dalam gudang "ilmiah" mereka.
Dengan bantuan satuan pengukuran, sangat mudah untuk memecahkan satu atau menggabungkan beberapa himpunan menjadi satu superset. Mari kita lihat lebih dekat aljabar dari proses ini.
Pada artikel ini, kami akan menganalisis dengan sangat rinci definisi lingkaran numerik, mencari tahu properti utamanya dan mengatur angka 1,2,3, dll. Tentang cara menandai angka lain pada lingkaran (misalnya, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) mengerti .
Lingkaran angka sebut lingkaran dengan jari-jari satuan, yang titik-titiknya sesuai dengan diatur menurut aturan sebagai berikut:
1) Titik asal berada di titik paling kanan lingkaran;
2) Berlawanan arah jarum jam - arah positif; searah jarum jam - negatif;
3) Jika kita plot jarak \(t\) pada lingkaran ke arah positif, maka kita akan sampai ke titik dengan nilai \(t\);
4) Jika kita plot jarak \(t\) pada lingkaran dalam arah negatif, maka kita akan sampai ke titik dengan nilai \(–t\).
Mengapa lingkaran disebut bilangan?
Karena ada nomornya. Dalam hal ini, lingkaran mirip dengan sumbu angka - pada lingkaran, serta pada sumbu, untuk setiap angka ada titik tertentu.
Mengapa tahu apa itu lingkaran angka?
Dengan bantuan lingkaran numerik, nilai sinus, cosinus, garis singgung, dan kotangen ditentukan. Oleh karena itu, untuk mengetahui trigonometri dan lulus ujian dengan poin 60+, sangat penting untuk memahami apa itu lingkaran angka dan bagaimana menempatkan titik di atasnya.
Apa arti kata "... dari radius satuan ..." dalam definisi?
Ini berarti jari-jari lingkaran ini adalah \(1\). Dan jika kita membuat lingkaran seperti itu yang berpusat di titik asal, maka lingkaran itu akan berpotongan dengan sumbu di titik \(1\) dan \(-1\).
Tidak perlu menggambarnya kecil, Anda dapat mengubah "ukuran" divisi di sepanjang sumbu, maka gambar akan lebih besar (lihat di bawah).
Mengapa radiusnya tepat satu? Lebih mudah, karena dalam hal ini, saat menghitung keliling menggunakan rumus \(l=2πR\), kita mendapatkan:
Panjang lingkaran bilangan adalah \(2π\) atau kira-kira \(6,28\).
Dan apa yang dimaksud dengan "... titik-titik yang sesuai dengan bilangan real"?
Seperti disebutkan di atas, pada lingkaran angka untuk bilangan real apa pun, pasti akan ada "tempatnya" - titik yang sesuai dengan angka ini.
Mengapa menentukan asal dan arah pada lingkaran bilangan?
Tujuan utama dari lingkaran angka adalah agar setiap angka secara unik menentukan titiknya. Tetapi bagaimana Anda bisa menentukan di mana harus mengakhiri jika Anda tidak tahu harus menghitung dari mana dan ke mana harus bergerak?
Di sini penting untuk tidak membingungkan titik asal pada garis koordinat dan lingkaran angka - ini adalah dua sistem referensi yang berbeda! Juga, jangan bingung \(1\) pada sumbu \(x\) dan \(0\) pada lingkaran - ini adalah titik pada objek yang berbeda.
Poin apa yang sesuai dengan angka \(1\), \(2\), dll?
Ingat, kita berasumsi bahwa jari-jari lingkaran bilangan adalah \(1\)? Ini akan menjadi segmen tunggal kami (dengan analogi dengan sumbu angka), yang akan kami tempatkan pada lingkaran.
Untuk menandai titik pada lingkaran angka yang sesuai dengan angka 1, Anda harus melakukan perjalanan dari 0 dengan jarak yang sama dengan jari-jari ke arah positif.
Untuk menandai sebuah titik pada lingkaran yang sesuai dengan angka \(2\), Anda harus menempuh jarak yang sama dengan dua jari-jari dari titik asal, sehingga \(3\) adalah jarak yang sama dengan tiga jari-jari, dst.
Melihat gambar ini, Anda mungkin memiliki 2 pertanyaan:
1. Apa yang akan terjadi ketika lingkaran "berakhir" (yaitu kita membuat lingkaran penuh)?
Jawaban: ayo pergi ke babak kedua! Dan ketika yang kedua selesai, kita akan pergi ke yang ketiga dan seterusnya. Oleh karena itu, jumlah angka yang tak terbatas dapat diterapkan pada lingkaran.
2. Dimana angka negatifnya?
Jawaban: di sana! Mereka juga dapat diatur, menghitung dari nol jumlah jari-jari yang diperlukan, tetapi sekarang dalam arah negatif.
Sayangnya, sulit untuk menentukan bilangan bulat pada lingkaran bilangan. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa panjang lingkaran numerik tidak akan menjadi bilangan bulat: \(2π\). Dan di tempat yang paling nyaman (di titik persimpangan dengan sumbu) juga tidak akan ada bilangan bulat, tetapi pecahan
