Artikel ini adalah tentang pecahan biasa. Di sini kita akan berkenalan dengan konsep pecahan dari keseluruhan, yang akan membawa kita ke definisi pecahan biasa. Selanjutnya, kita akan membahas notasi yang diterima untuk pecahan biasa dan memberikan contoh pecahan, katakanlah tentang pembilang dan penyebut pecahan. Setelah itu, kita akan memberikan definisi pecahan yang benar dan salah, pecahan positif dan negatif, dan juga mempertimbangkan posisi bilangan pecahan pada sinar koordinat. Sebagai kesimpulan, kami mencantumkan tindakan utama dengan pecahan.

Navigasi halaman.

Bagian dari keseluruhan

Pertama kami perkenalkan berbagi konsep.

Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki beberapa objek yang terdiri dari beberapa bagian yang benar-benar identik (yaitu, sama). Untuk kejelasan, Anda dapat membayangkan, misalnya, sebuah apel dipotong menjadi beberapa bagian yang sama, atau jeruk, yang terdiri dari beberapa irisan yang sama. Masing-masing bagian yang sama yang membentuk keseluruhan benda disebut bagian dari keseluruhan atau hanya berbagi.

Perhatikan bahwa sahamnya berbeda. Mari kita jelaskan ini. Katakanlah kita memiliki dua apel. Mari kita potong apel pertama menjadi dua bagian yang sama, dan apel kedua menjadi 6 bagian yang sama. Jelas bahwa bagian apel pertama akan berbeda dengan bagian apel kedua.

Tergantung pada jumlah bagian yang membentuk keseluruhan objek, bagian ini memiliki nama sendiri. Mari kita analisis berbagi nama. Jika objek terdiri dari dua bagian, salah satunya disebut satu bagian kedua dari keseluruhan objek; jika objek terdiri dari tiga bagian, maka salah satunya disebut sepertiga bagian, dan seterusnya.

Satu ketukan detik memiliki nama khusus - setengah. Sepertiga disebut ketiga, dan satu empat kali lipat - perempat.

Untuk singkatnya, berikut ini berbagi sebutan. Satu bagian kedua ditetapkan sebagai atau 1/2, sepertiga bagian - sebagai atau 1/3; seperempat bagian - suka atau 1/4, dan seterusnya. Perhatikan bahwa notasi dengan batang horizontal lebih sering digunakan. Untuk mengkonsolidasikan materi, mari berikan satu contoh lagi: entri menunjukkan seratus enam puluh tujuh dari keseluruhan.

Konsep bagian secara alami meluas dari objek ke besaran. Misalnya, salah satu ukuran panjang adalah meteran. Untuk mengukur panjang kurang dari satu meter, pecahan meter dapat digunakan. Jadi Anda dapat menggunakan, misalnya, setengah meter atau sepersepuluh atau seperseribu meter. Bagian dari kuantitas lain diterapkan dengan cara yang sama.

Pecahan biasa, definisi dan contoh pecahan

Untuk menggambarkan jumlah saham digunakan pecahan biasa. Mari kita beri contoh yang memungkinkan kita mendekati definisi pecahan biasa.

Biarkan jeruk terdiri dari 12 bagian. Setiap bagian dalam hal ini mewakili satu per dua belas dari seluruh jeruk, yaitu . Mari kita nyatakan dua ketukan sebagai , tiga ketukan sebagai , dan seterusnya, 12 ketukan sebagai . Masing-masing entri ini disebut pecahan biasa.

Sekarang mari kita berikan seorang jenderal definisi pecahan biasa.

Definisi pecahan biasa yang disuarakan memungkinkan kita untuk membawa contoh pecahan biasa: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Dan inilah catatannya tidak sesuai dengan definisi pecahan biasa yang disuarakan, yaitu, mereka bukan pecahan biasa.

Pembilang dan penyebut

Untuk memudahkan, dalam pecahan biasa kita bedakan pembilang dan penyebut.

Definisi.

Pembilang pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli m.

Definisi.

Penyebut pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli n.

Jadi, pembilangnya terletak di atas bilah pecahan (di sebelah kiri garis miring), dan penyebutnya berada di bawah bilah pecahan (di sebelah kanan garis miring). Sebagai contoh, mari kita ambil pecahan biasa 17/29, pembilang pecahan ini adalah angka 17, dan penyebutnya adalah angka 29.

Masih membahas makna yang terkandung dalam pembilang dan penyebut pecahan biasa. Penyebut pecahan menunjukkan berapa banyak bagian yang terdiri dari satu item, pembilangnya, pada gilirannya, menunjukkan jumlah bagian tersebut. Misalnya, penyebut 5 dari pecahan 12/5 berarti satu benda terdiri dari lima bagian, dan pembilang 12 berarti diambil 12 bagian tersebut.

Bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1

Penyebut pecahan biasa bisa sama dengan satu. Dalam hal ini, kita dapat berasumsi bahwa objek tidak dapat dibagi, dengan kata lain, itu adalah sesuatu yang utuh. Pembilang pecahan seperti itu menunjukkan berapa banyak item yang diambil. Jadi, pecahan biasa dalam bentuk m/1 memiliki arti bilangan asli m. Ini adalah bagaimana kita membuktikan persamaan m/1=m .

Mari kita tulis ulang persamaan terakhir seperti ini: m=m/1 . Persamaan ini memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan asli m sebagai pecahan biasa. Misalnya, angka 4 adalah pecahan 4/1, dan angka 103498 adalah pecahan 103498/1.

Jadi, setiap bilangan asli m dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa dengan penyebut 1 sebagai m/1 , dan setiap pecahan biasa berbentuk m/1 dapat diganti dengan bilangan asli m.

Bilah pecahan sebagai tanda pembagian

Representasi objek asli dalam bentuk n bagian tidak lebih dari pembagian menjadi n bagian yang sama. Setelah item dibagi menjadi n bagian, kita dapat membaginya secara merata di antara n orang - masing-masing akan menerima satu bagian.

Jika kita awalnya memiliki m objek identik, yang masing-masing dibagi menjadi n bagian, maka kita dapat membagi m objek ini secara merata di antara n orang, dengan memberi setiap orang satu bagian dari masing-masing m objek. Dalam hal ini, setiap orang akan memiliki m bagian 1/n, dan m bagian 1/n memberikan pecahan biasa m/n. Jadi, pecahan biasa m/n dapat digunakan untuk menyatakan pembagian m item di antara n orang.

Jadi kami mendapatkan hubungan eksplisit antara pecahan biasa dan pembagian (lihat gagasan umum tentang pembagian bilangan asli). Hubungan ini dinyatakan sebagai berikut: Bilah pecahan dapat dipahami sebagai tanda pembagian, yaitu, m/n=m:n.

Dengan bantuan pecahan biasa, Anda dapat menulis hasil pembagian dua bilangan asli yang pembagiannya tidak dilakukan oleh bilangan bulat. Misalnya, hasil membagi 5 apel dengan 8 orang dapat ditulis sebagai 5/8, yaitu masing-masing akan mendapatkan lima per delapan apel: 5:8=5/8.

Pecahan biasa yang sama dan tidak sama, perbandingan pecahan

Tindakan yang cukup alami adalah perbandingan pecahan biasa, karena jelas bahwa 1/12 buah jeruk berbeda dengan 5/12, dan 1/6 buah apel sama dengan 1/6 buah apel lainnya.

Sebagai hasil dari membandingkan dua pecahan biasa, salah satu hasil diperoleh: pecahan sama atau tidak sama. Dalam kasus pertama kita memiliki pecahan biasa yang sama, dan yang kedua pecahan biasa yang tidak sama. Mari kita berikan definisi pecahan biasa yang sama dan tidak sama.

Definisi.

setara, jika persamaan a d=b c benar.

Definisi.

Dua pecahan biasa a/b dan c/d tidak sama, jika persamaan a d=b c tidak terpenuhi.

Berikut adalah beberapa contoh pecahan yang sama. Misalnya, pecahan biasa 1/2 sama dengan pecahan 2/4, karena 1 4=2 2 (jika perlu, lihat aturan dan contoh perkalian bilangan asli). Untuk kejelasan, Anda dapat membayangkan dua apel identik, yang pertama dipotong menjadi dua, dan yang kedua - menjadi 4 bagian. Jelaslah bahwa dua perempat apel adalah 1/2 bagian. Contoh lain dari pecahan biasa yang sama adalah pecahan 4/7 dan 36/63, serta pasangan pecahan 81/50 dan 1620/1000.

Dan pecahan biasa 4/13 dan 5/14 tidak sama, karena 4 14=56, dan 13 5=65, yaitu, 4 14≠13 5. Contoh lain dari pecahan biasa yang tidak sama adalah pecahan 17/7 dan 6/4.

Jika, ketika membandingkan dua pecahan biasa, ternyata tidak sama, maka Anda mungkin perlu mencari tahu pecahan biasa mana yang lebih kecil lain, dan yang lagi. Untuk mengetahuinya digunakan aturan membandingkan pecahan biasa yang intinya adalah membawa pecahan yang dibandingkan ke penyebut yang sama kemudian membandingkan pembilangnya. Informasi terperinci tentang topik ini dikumpulkan dalam artikel perbandingan pecahan: aturan, contoh, solusi.

bilangan pecahan

Setiap pecahan adalah rekor bilangan pecahan. Artinya, pecahan hanyalah "kulit" dari bilangan pecahan, penampilannya, dan seluruh beban semantik terkandung tepat dalam bilangan pecahan. Namun, untuk singkatnya dan kenyamanan, konsep pecahan dan bilangan pecahan digabungkan dan disebut pecahan. Di sini tepat untuk memparafrasekan pepatah terkenal: kami mengatakan pecahan - yang kami maksud adalah bilangan pecahan, kami mengatakan bilangan pecahan - yang kami maksud adalah pecahan.

Pecahan pada balok koordinat

Semua bilangan pecahan yang bersesuaian dengan pecahan biasa memiliki tempat uniknya sendiri pada , yaitu, ada korespondensi satu-satu antara pecahan dan titik-titik pada sinar koordinat.

Untuk mencapai titik yang sesuai dengan fraksi m / n pada sinar koordinat, perlu untuk menunda m segmen dari titik asal ke arah positif, yang panjangnya 1 / n unit segmen. Segmen tersebut dapat diperoleh dengan membagi satu segmen menjadi n bagian yang sama, yang selalu dapat dilakukan dengan menggunakan kompas dan penggaris.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan titik M pada sinar koordinat, yang sesuai dengan pecahan 14/10. Panjang ruas dengan ujung di titik O dan titik terdekatnya yang ditandai dengan garis kecil adalah 1/10 dari satuan ruas. Titik dengan koordinat 14/10 dihilangkan dari titik asal oleh 14 segmen tersebut.

Pecahan yang sama sesuai dengan bilangan pecahan yang sama, yaitu, pecahan yang sama adalah koordinat titik yang sama pada sinar koordinat. Misalnya, satu titik sesuai dengan koordinat 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 pada sinar koordinat, karena semua pecahan yang ditulis adalah sama (terletak pada jarak setengah segmen satuan, ditunda dari titik asal ke arah positif).

Pada sinar koordinat horizontal dan lurus, titik yang koordinatnya merupakan pecahan besar terletak di sebelah kanan titik yang koordinatnya merupakan pecahan kecil. Demikian pula titik dengan koordinat yang lebih kecil terletak di sebelah kiri titik dengan koordinat yang lebih besar.

Pecahan yang tepat dan tidak tepat, definisi, contoh

Di antara pecahan biasa, ada pecahan wajar dan pecahan tak wajar. Pembagian ini pada dasarnya memiliki perbandingan pembilang dan penyebut.

Mari kita berikan definisi tentang pecahan biasa biasa dan tidak wajar.

Definisi.

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, yaitu jika m

Definisi.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya, yaitu jika m≥n, maka pecahan biasa tersebut tidak wajar.

Berikut adalah beberapa contoh pecahan biasa: 1/4 , , 32 765/909 003 . Memang, di setiap pecahan biasa yang ditulis, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya (jika perlu, lihat artikel perbandingan bilangan asli), jadi menurut definisinya benar.

Dan berikut adalah contoh pecahan biasa: 9/9, 23/4,. Memang, pembilang dari pecahan biasa yang pertama ditulis sama dengan penyebutnya, dan pada pecahan yang tersisa pembilangnya lebih besar dari penyebutnya.

Ada juga definisi pecahan biasa dan pecahan biasa berdasarkan perbandingan pecahan dengan satu.

Definisi.

benar jika kurang dari satu.

Definisi.

Pecahan biasa disebut salah, jika sama dengan satu atau lebih besar dari 1 .

Jadi pecahan biasa 7/11 benar, karena 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , dan 27/27=1 .

Mari kita pikirkan bagaimana pecahan biasa dengan pembilang lebih besar dari atau sama dengan penyebutnya layak mendapatkan nama seperti itu - "salah".

Mari kita ambil pecahan biasa 9/9 sebagai contoh. Pecahan ini berarti bahwa sembilan bagian dari suatu objek diambil, yang terdiri dari sembilan bagian. Artinya, dari sembilan saham yang tersedia, kita bisa membuat satu topik utuh. Artinya, pecahan tak wajar 9/9 pada dasarnya memberikan benda utuh, yaitu 9/9=1. Secara umum, pecahan biasa dengan pembilang sama dengan penyebut menunjukkan satu benda utuh, dan pecahan seperti itu dapat diganti dengan bilangan asli 1.

Sekarang perhatikan pecahan biasa 7/3 dan 12/4. Cukup jelas bahwa dari tujuh pertiga ini kita dapat membuat dua objek utuh (satu objek utuh adalah 3 bagian, kemudian untuk menyusun dua objek utuh kita membutuhkan 3 + 3 = 6 bagian) dan masih akan ada sepertiga bagian. Artinya, pecahan biasa 7/3 pada dasarnya berarti 2 item dan bahkan 1/3 bagian dari item tersebut. Dan dari dua belas perempat kita dapat membuat tiga objek utuh (tiga objek dengan masing-masing empat bagian). Artinya, pecahan 12/4 pada dasarnya berarti 3 benda utuh.

Contoh yang dipertimbangkan membawa kita pada kesimpulan berikut: pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli, ketika pembilang dibagi seluruhnya dengan penyebut (misalnya, 9/9=1 dan 12/4=3), atau jumlah dari bilangan asli dan pecahan biasa, jika pembilangnya tidak habis dibagi oleh penyebutnya (misalnya, 7/3=2+1/3 ). Mungkin inilah tepatnya pecahan yang tidak pantas mendapatkan nama seperti itu - "salah".

Yang menarik adalah representasi dari pecahan biasa sebagai jumlah bilangan asli dan pecahan biasa (7/3=2+1/3). Proses ini disebut ekstraksi bagian bilangan bulat dari pecahan tak wajar, dan memerlukan pertimbangan tersendiri dan lebih hati-hati.

Perlu juga dicatat bahwa ada hubungan yang sangat erat antara pecahan biasa dan bilangan campuran.

pecahan positif dan negatif

Setiap pecahan biasa sesuai dengan bilangan pecahan positif (lihat artikel bilangan positif dan negatif). Artinya, pecahan biasa adalah pecahan positif. Misalnya, pecahan biasa 1/5, 56/18, 35/144 adalah pecahan positif. Ketika perlu untuk menekankan kepositifan suatu pecahan, maka tanda plus ditempatkan di depannya, misalnya, +3/4, +72/34.

Jika Anda meletakkan tanda minus di depan pecahan biasa, maka entri ini akan sesuai dengan bilangan pecahan negatif. Dalam hal ini, seseorang dapat berbicara tentang pecahan negatif. Berikut adalah beberapa contoh pecahan negatif: 6/10 , 65/13 , 1/18 .

Pecahan positif dan negatif m/n dan m/n adalah bilangan berlawanan. Misalnya, pecahan 5/7 dan 5/7 adalah pecahan yang berlawanan.

Pecahan positif, seperti bilangan positif pada umumnya, menunjukkan peningkatan, pendapatan, perubahan beberapa nilai ke atas, dll. Pecahan negatif sesuai dengan biaya, hutang, perubahan nilai apa pun ke arah penurunan. Misalnya, pecahan negatif -3/4 dapat diartikan sebagai hutang, yang nilainya 3/4.

Pada pecahan negatif berarah horizontal dan kanan terletak di sebelah kiri titik acuan. Titik-titik garis koordinat yang koordinatnya merupakan pecahan positif m/n dan pecahan negatif m/n terletak pada jarak yang sama dari titik asal, tetapi pada sisi yang berlawanan dari titik O .

Di sini perlu disebutkan pecahan dalam bentuk 0/n. Pecahan ini sama dengan angka nol, yaitu 0/n=0 .

Pecahan positif, pecahan negatif, dan pecahan 0/n bergabung membentuk bilangan rasional.

Tindakan dengan pecahan

Satu tindakan dengan pecahan biasa - membandingkan pecahan - telah kami pertimbangkan di atas. Empat aritmatika lagi didefinisikan operasi pecahan- penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan. Mari kita bahas masing-masing.

Esensi umum dari tindakan dengan pecahan mirip dengan esensi dari tindakan yang sesuai dengan bilangan asli. Mari kita menggambar analogi.

Perkalian pecahan dapat dianggap sebagai tindakan di mana pecahan ditemukan dari pecahan. Untuk memperjelas, mari kita ambil contoh. Misalkan kita memiliki 1/6 apel dan kita perlu mengambil 2/3 darinya. Bagian yang kita butuhkan adalah hasil perkalian pecahan 1/6 dan 2/3. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa (yang dalam kasus tertentu sama dengan bilangan asli). Selanjutnya kami sarankan untuk mempelajari informasi artikel perkalian pecahan - aturan, contoh, dan solusi.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: buku teks untuk 5 sel. institusi pendidikan.
• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Bagian dari suatu satuan atau beberapa bagiannya disebut pecahan biasa atau pecahan biasa. Banyaknya bagian yang sama yang dibagi menjadi satu disebut penyebut, dan jumlah bagian yang diambil disebut pembilang. Pecahan ditulis sebagai:

Dalam hal ini, a adalah pembilangnya, b adalah penyebutnya.

Jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka pecahan tersebut lebih kecil dari 1 dan disebut pecahan biasa. Jika pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, maka pecahannya lebih besar dari 1, maka pecahan tersebut disebut pecahan biasa.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan sama, maka pecahan tersebut sama.

1. Jika pembilangnya dapat dibagi dengan penyebutnya, maka pecahan ini sama dengan hasil bagi pembagian:

Jika pembagian dilakukan dengan sisa, maka pecahan tak wajar ini dapat direpresentasikan dengan bilangan campuran, misalnya:

Maka 9 adalah hasil bagi tidak lengkap (bagian bilangan bulat dari bilangan campuran),
1 - sisa (pembilang bagian pecahan),
5 adalah penyebutnya.

Untuk mengubah bilangan campuran menjadi pecahan, kalikan bagian bilangan bulat dari bilangan campuran dengan penyebut dan tambahkan pembilang dari bagian pecahan tersebut.

Hasil yang diperoleh akan menjadi pembilang dari pecahan biasa, dan penyebutnya akan tetap sama.

Tindakan dengan pecahan

Ekspansi pecahan. Nilai suatu pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.
Misalnya:

Pengurangan pecahan. Nilai suatu pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya dibagi dengan bilangan yang sama bukan nol.
Misalnya:

Perbandingan pecahan. Dari dua pecahan dengan pembilang yang sama, yang lebih besar adalah yang penyebutnya lebih kecil:

Dari dua pecahan yang penyebutnya sama, pecahan yang pembilangnya lebih besar adalah:

Untuk membandingkan pecahan yang memiliki pembilang dan penyebut yang berbeda, perlu untuk memperluasnya, yaitu membawanya ke penyebut yang sama. Perhatikan, misalnya, pecahan berikut:

Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Jika penyebut pecahan sama, maka untuk menjumlahkan pecahan, perlu untuk menambahkan pembilangnya, dan untuk mengurangkan pecahan, perlu untuk mengurangi pembilangnya. Jumlah atau selisih yang dihasilkan akan menjadi pembilang hasilnya, sedangkan penyebutnya akan tetap sama. Jika penyebut pecahan berbeda, Anda harus terlebih dahulu mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama. Saat menambahkan bilangan campuran, bagian bilangan bulat dan pecahannya ditambahkan secara terpisah. Saat mengurangkan bilangan campuran, pertama-tama Anda harus mengubahnya menjadi bentuk pecahan biasa, kemudian mengurangkan satu sama lain, dan sekali lagi membawa hasilnya, jika perlu, ke dalam bentuk bilangan campuran.

Perkalian pecahan. Untuk mengalikan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya secara terpisah dan membagi produk pertama dengan yang kedua.

Pembagian pecahan. Untuk membagi angka dengan pecahan, Anda perlu mengalikan angka itu dengan kebalikannya.

Desimal adalah hasil pembagian satu per sepuluh, seratus, seribu, dst. bagian. Pertama, bagian bilangan bulat dari angka ditulis, kemudian titik desimal ditempatkan di sebelah kanan. Digit pertama setelah titik desimal berarti jumlah persepuluh, yang kedua - jumlah perseratus, yang ketiga - jumlah perseribu, dll. Angka setelah titik desimal disebut tempat desimal.

Sebagai contoh:

Properti Desimal

Properti:

• Pecahan desimal tidak berubah jika nol ditambahkan ke kanan: 4,5 = 4,5000.
• Pecahan desimal tidak berubah jika nol yang terletak di akhir pecahan desimal dihilangkan: 0,0560000 = 0,056.
• Desimal bertambah pada 10, 100, 1000, dan seterusnya. kali, jika Anda memindahkan titik desimal ke satu, dua, tiga, dll. posisi ke kanan: 4,5 45 (pecahan telah meningkat 10 kali).
• Desimal dikurangi dengan 10, 100, 1000, dst. kali, jika Anda memindahkan titik desimal ke satu, dua, tiga, dll. posisi ke kiri: 4,5 0,45 (fraksi telah berkurang 10 kali).

Desimal periodik berisi kelompok angka yang berulang tak terhingga yang disebut periode: 0.321321321321…=0,(321)

Operasi dengan desimal

Penjumlahan dan pengurangan desimal dilakukan dengan cara yang sama seperti penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, Anda hanya perlu menuliskan tempat desimal yang sesuai satu di bawah yang lain.
Sebagai contoh:

Perkalian pecahan desimal dilakukan dalam beberapa tahap:

• Kami mengalikan desimal sebagai bilangan bulat, tanpa memperhitungkan titik desimal.
• Aturan berlaku: jumlah tempat desimal dalam produk sama dengan jumlah tempat desimal di semua faktor.

Misalnya:

Jumlah bilangan desimal dari faktor-faktor tersebut adalah: 2+1=3. Sekarang Anda perlu menghitung 3 digit dari akhir angka yang dihasilkan dan meletakkan titik desimal: 0,675.

Pembagian desimal. Membagi desimal dengan bilangan bulat: jika pembagiannya kurang dari pembagi, maka Anda perlu menulis nol di bagian bilangan bulat dari hasil bagi dan meletakkan titik desimal setelahnya. Kemudian, tanpa memperhitungkan titik desimal dari dividen, tambahkan digit berikutnya dari bagian pecahan ke bagian bilangan bulatnya dan bandingkan lagi bagian bilangan bulat yang dihasilkan dari dividen dengan pembagi. Jika angka baru lebih kecil dari pembagi, operasi harus diulang. Proses ini diulang sampai dividen yang dihasilkan lebih besar dari pembagi. Setelah itu, pembagian dilakukan seperti untuk bilangan bulat. Jika dividen lebih besar atau sama dengan pembagi, pertama-tama kita membagi bagian bilangan bulatnya, menulis hasil pembagian dalam hasil bagi dan menempatkan titik desimal. Setelah itu, pembagian berlanjut, seperti dalam kasus bilangan bulat.

Membagi satu pecahan desimal menjadi yang lain: pertama, titik desimal dalam pembagian dan pembagi ditransfer dengan jumlah tempat desimal di pembagi, yaitu, kami membuat pembagi bilangan bulat, dan tindakan yang dijelaskan di atas dilakukan.

Untuk mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa, perlu untuk mengambil angka setelah koma sebagai pembilangnya, dan mengambil pangkat ke-k dari sepuluh sebagai penyebutnya (k adalah jumlah tempat desimal). Bagian bilangan bulat bukan nol dipertahankan dalam pecahan biasa; bagian bilangan bulat nol dihilangkan.
Sebagai contoh:

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi desimal, pembilangnya harus dibagi dengan penyebutnya sesuai dengan aturan pembagian.

Persentase adalah seperseratus unit, misalnya: 5% berarti 0,05. Rasio adalah hasil bagi membagi satu nomor dengan yang lain. Proporsi adalah persamaan dua rasio.

Sebagai contoh:

Properti utama dari proporsi: produk dari anggota ekstrem dari proporsi sama dengan produk dari anggota tengahnya, yaitu, 5x30 = 6x25. Dua besaran yang saling bergantung disebut proporsional jika perbandingan besaran-besaran tersebut tidak berubah (koefisien proporsionalitas).

Dengan demikian, operasi aritmatika berikut terungkap.
Sebagai contoh:

Himpunan bilangan rasional termasuk bilangan positif dan negatif (utuh dan pecahan) dan nol. Definisi bilangan rasional yang lebih tepat, yang diadopsi dalam matematika, adalah sebagai berikut: suatu bilangan disebut rasional jika dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa yang tidak dapat direduksi dari bentuk :, di mana a dan b adalah bilangan bulat.

Untuk bilangan negatif, nilai mutlak (modulus) adalah bilangan positif yang diperoleh dengan mengubah tandanya dari "-" menjadi "+"; untuk bilangan positif dan nol, bilangan itu sendiri. Untuk menentukan modulus suatu bilangan, digunakan dua garis lurus, di dalamnya tertulis bilangan tersebut, misalnya: |–5|=5.

Sifat nilai mutlak

Biarkan modulus dari suatu bilangan diberikan , yang propertinya valid:

Sebuah monomial adalah produk dari dua atau lebih faktor, yang masing-masing adalah angka, atau huruf, atau kekuatan huruf: 3 x a x b. Koefisien paling sering disebut hanya faktor numerik. Mononomial dikatakan serupa jika mereka sama atau hanya berbeda dalam koefisien. Derajat suatu monomial adalah jumlah pangkat semua hurufnya. Jika ada yang serupa di antara jumlah monomial, maka jumlahnya dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Operasi ini disebut pemaksaan suku-suku sejenis atau kurung.

Polinomial adalah jumlah aljabar dari monomial. Derajat polinomial adalah yang terbesar dari derajat monomial yang termasuk dalam polinomial yang diberikan.

Berikut ini adalah rumus perkalian singkatan:

Metode pemfaktoran:

Pecahan aljabar adalah ekspresi dari bentuk , di mana A dan B dapat berupa angka, monomial, polinomial.

Jika dua ekspresi (numerik dan alfabetik) dihubungkan dengan tanda "=", maka keduanya dikatakan membentuk persamaan. Kesetaraan sejati apa pun, berlaku untuk semua nilai numerik yang dapat diterima dari huruf-huruf yang termasuk di dalamnya, disebut identitas.

Persamaan adalah persamaan literal yang berlaku untuk nilai-nilai tertentu dari huruf-huruf penyusunnya. Huruf-huruf ini disebut tidak diketahui (variabel), dan nilainya, di mana persamaan yang diberikan menjadi identitas, disebut akar persamaan.

Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya. Dua atau lebih persamaan dikatakan ekuivalen jika memiliki akar-akar yang sama.

• nol adalah akar persamaan;
• Persamaan hanya memiliki jumlah akar yang terbatas.

Jenis utama persamaan aljabar:

Persamaan linier memiliki ax + b = 0:

• jika a x 0, ada akar tunggal x = -b/a;
• jika a = 0, b 0, tidak ada akar;
• jika a = 0, b = 0, akarnya adalah sembarang bilangan real.

Persamaan xn = a, n N:

• jika n adalah bilangan ganjil, memiliki akar real yang sama dengan a/n untuk sembarang a;
• jika n bilangan genap, maka untuk 0, n memiliki dua akar.

Transformasi identik dasar: penggantian satu ekspresi dengan yang lain, identik sama dengan itu; transfer istilah persamaan dari satu sisi ke sisi lain dengan tanda yang berlawanan; perkalian atau pembagian kedua bagian persamaan dengan ekspresi yang sama (bilangan) selain nol.

Persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui adalah persamaan dengan bentuk: ax+b=0, di mana a dan b adalah bilangan yang diketahui, dan x adalah nilai yang tidak diketahui.

Sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui memiliki bentuk:

Dimana a, b, c, d, e, f diberi nomor; x,y tidak diketahui.

Angka a, b, c, d - koefisien untuk yang tidak diketahui; e, f - anggota bebas. Solusi untuk sistem persamaan ini dapat ditemukan dengan dua metode utama: metode substitusi: dari satu persamaan kami mengungkapkan salah satu yang tidak diketahui melalui koefisien dan yang lainnya tidak diketahui, dan kemudian kami mensubstitusikannya ke dalam persamaan kedua, menyelesaikan persamaan terakhir , pertama-tama kita temukan satu yang tidak diketahui, kemudian kita substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama dan temukan yang kedua yang tidak diketahui; metode penambahan atau pengurangan satu persamaan dari yang lain.

Operasi dengan akar:

Akar aritmatika derajat ke-n dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang pangkat ke-n sama dengan a. Akar aljabar derajat ke-n dari suatu bilangan adalah himpunan semua akar dari bilangan tersebut.

Bilangan irasional, tidak seperti bilangan rasional, tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa yang tidak dapat direduksi dalam bentuk m/n, di mana m dan n adalah bilangan bulat. Ini adalah angka dari tipe baru yang dapat dihitung dengan presisi apa pun, tetapi tidak dapat diganti dengan angka rasional. Mereka mungkin muncul sebagai hasil pengukuran geometris, misalnya: rasio panjang diagonal persegi dengan panjang sisinya sama.

Persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar derajat kedua ax2+bx+c=0, di mana a, b, c diberikan koefisien numerik atau alfabet, x tidak diketahui. Jika kita membagi semua suku dari persamaan ini dengan a, sebagai hasilnya kita mendapatkan x2+px+q=0 - persamaan tereduksi p=b/a, q=c/a. Akarnya ditemukan dengan rumus:

Jika b2-4ac>0 maka ada dua akar yang berbeda, b2-4ac=0 maka ada dua akar yang sama; b2-4ac Persamaan yang mengandung modul

Jenis utama persamaan yang mengandung modul:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, di mana f(x), g(x), fk(x), gk(x) diberikan fungsi.

Dalam matematika, pecahan adalah bilangan yang terdiri dari satu atau lebih bagian (pecahan) suatu satuan. Menurut bentuk penulisannya, pecahan dibagi menjadi biasa (misalnya \frac (5) (8)) dan desimal (misalnya, 123,45).

Definisi. Pecahan biasa (atau pecahan sederhana)

Pecahan biasa (sederhana) adalah bilangan dalam bentuk \pm\frac(m)(n) di mana m dan n adalah bilangan asli. Bilangan m disebut pembilang pecahan ini, dan bilangan n adalah penyebut.

Garis miring horizontal atau ke depan menunjukkan tanda pembagian, yaitu \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

Pecahan biasa dibagi menjadi dua jenis: benar dan tidak tepat.

Definisi. Pecahan wajar dan pecahan biasa

benar Suatu pecahan disebut jika modulus pembilangnya lebih kecil dari modulus penyebutnya. Misalnya, \frac(9)(11) , karena 9

Salah Suatu pecahan disebut jika modulus pembilangnya lebih besar atau sama dengan modulus penyebutnya. Pecahan seperti itu adalah bilangan rasional, modulo lebih besar dari atau sama dengan satu. Contohnya adalah pecahan \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Selain pecahan biasa, ada notasi lain untuk suatu bilangan, yang disebut pecahan campuran (mixed number). Pecahan seperti itu tidak biasa.

Definisi. Pecahan campuran (campuran bilangan)

pecahan campuran disebut pecahan ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan biasa dan dipahami sebagai jumlah dari bilangan ini dan pecahan. Misalnya, 2\frac(5)(7)

(ditulis sebagai bilangan campuran) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (tidak ditulis sebagai pecahan biasa)

Pecahan hanyalah representasi dari suatu bilangan. Angka yang sama dapat berkorespondensi dengan pecahan yang berbeda, baik biasa maupun desimal. Mari kita bentuk tanda persamaan dua pecahan biasa.

Definisi. Tanda persamaan pecahan

Kedua pecahan \frac(a)(b) dan \frac(c)(d) adalah setara, jika a\cdot d=b\cdot c . Misalnya, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) karena 2\cdot12=3\cdot8

Properti utama pecahan mengikuti dari tanda yang ditentukan.

Properti. Sifat dasar pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama yang tidak sama dengan nol, maka akan diperoleh pecahan yang sama dengan bilangan tersebut.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Dengan menggunakan sifat dasar pecahan, Anda dapat mengganti pecahan tertentu dengan pecahan lain yang sama dengan pecahan tersebut, tetapi dengan pembilang dan penyebut yang lebih kecil. Substitusi ini disebut reduksi pecahan. Misalnya, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (di sini pembilang dan penyebutnya dibagi pertama dengan 2, kemudian dengan 2 lagi). Suatu pecahan dapat diperkecil jika dan hanya jika pembilang dan penyebutnya bukan bilangan koprima. Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah koprima, maka pecahan tersebut tidak dapat diperkecil, misalnya \frac(3)(4) adalah pecahan yang tidak dapat diperkecil.

Aturan untuk pecahan positif:

Dari dua pecahan dengan penyebut yang sama semakin besar pecahan yang pembilangnya lebih besar. Misalnya \frac(3)(15)

Dari dua pecahan dengan pembilang yang sama semakin besar adalah pecahan yang penyebutnya lebih kecil. Misalnya, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Untuk membandingkan dua pecahan dengan pembilang dan penyebut yang berbeda, Anda perlu mengubah kedua pecahan tersebut agar penyebutnya sama. Transformasi ini disebut pengurangan pecahan ke penyebut yang sama.

Kita akan memulai pembahasan kita tentang topik ini dengan mempelajari konsep pecahan secara keseluruhan, yang akan memberi kita pemahaman yang lebih lengkap tentang arti pecahan biasa. Mari kita berikan istilah utama dan definisinya, pelajari topik dalam interpretasi geometris, mis. pada garis koordinat, dan juga tentukan daftar tindakan dasar dengan pecahan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bagian dari keseluruhan

Bayangkan sebuah objek yang terdiri dari beberapa bagian yang benar-benar sama. Misalnya, itu bisa berupa jeruk, yang terdiri dari beberapa irisan identik.

Definisi 1

Bagikan keseluruhan atau bagikan adalah masing-masing bagian yang sama yang membentuk keseluruhan objek.

Jelas, sahamnya bisa berbeda. Untuk menjelaskan pernyataan ini dengan jelas, bayangkan dua apel, salah satunya dipotong menjadi dua bagian yang sama, dan yang kedua menjadi empat. Jelas bahwa ukuran bagian yang dihasilkan untuk apel yang berbeda akan bervariasi.

Saham memiliki nama sendiri, yang tergantung pada jumlah saham yang membentuk keseluruhan subjek. Jika suatu item memiliki dua bagian, maka masing-masing akan didefinisikan sebagai satu bagian kedua dari item ini; ketika suatu benda terdiri dari tiga bagian, maka masing-masing sepertiganya, dan seterusnya.

Definisi 2

Setengah- satu bagian kedua dari subjek.

Ketiga- sepertiga dari subjek.

Perempat- seperempat dari subjek.

Untuk mempersingkat catatan, notasi berikut untuk bagian diperkenalkan: setengah - 1 2 atau 1/2 ; ketiga - 1 3 atau 1/3 ; seperempat bagian 1 4 atau 1/4 dan seterusnya. Entri dengan batang horizontal lebih sering digunakan.

Konsep bagian secara alami berkembang dari objek ke besaran. Jadi, Anda dapat menggunakan pecahan meter (sepertiga atau seperseratus) untuk mengukur benda kecil, sebagai salah satu satuan panjang. Bagian dari kuantitas lain dapat diterapkan dengan cara yang sama.

Pecahan umum, definisi dan contoh

Pecahan biasa digunakan untuk menggambarkan jumlah bagian. Pertimbangkan contoh sederhana yang akan membawa kita lebih dekat ke definisi pecahan biasa.

Bayangkan sebuah jeruk, terdiri dari 12 irisan. Setiap bagian kemudian akan menjadi - satu per dua belas atau 1 / 12. Dua bagian - 2/12; tiga bagian - 3 / 12, dll. Semua 12 bagian atau bilangan bulat akan terlihat seperti ini: 12 / 12 . Setiap entri yang digunakan dalam contoh adalah contoh pecahan biasa.

Definisi 3

pecahan biasa adalah catatan bentuk m n atau m / n , di mana m dan n adalah sembarang bilangan asli.

Menurut definisi ini, contoh pecahan biasa dapat menjadi entri: 4 / 9, 1134, 91754. Dan entri ini: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 bukan pecahan biasa.

Pembilang dan penyebut

Definisi 4

pembilang pecahan biasa m n atau m / n adalah bilangan asli m .

penyebut pecahan biasa m n atau m / n adalah bilangan asli n .

Itu. pembilang adalah angka di atas batang pecahan biasa (atau di sebelah kiri garis miring), dan penyebut adalah angka di bawah batang (di sebelah kanan garis miring).

Apa yang dimaksud dengan pembilang dan penyebut? Penyebut pecahan biasa menunjukkan berapa banyak bagian yang terdiri dari satu item, dan pembilangnya memberi kita informasi tentang berapa banyak bagian tersebut yang dipertimbangkan. Misalnya, pecahan biasa 7 54 menunjukkan kepada kami bahwa objek tertentu terdiri dari 54 bagian, dan untuk pertimbangan kami mengambil 7 bagian tersebut.

Bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1

Penyebut pecahan biasa bisa sama dengan satu. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa objek (nilai) yang ditinjau tidak dapat dibagi-bagi, adalah sesuatu yang utuh. Pembilang dalam pecahan seperti itu akan menunjukkan berapa banyak item yang diambil, mis. pecahan biasa dari bentuk m 1 memiliki arti bilangan asli m . Pernyataan ini berfungsi sebagai pembenaran untuk persamaan m 1 = m .

Mari kita tulis persamaan terakhir seperti ini: m = m 1 . Ini akan memberi kita kesempatan untuk menggunakan bilangan asli apa pun dalam bentuk pecahan biasa. Misalnya, bilangan 74 adalah pecahan biasa dari bentuk 74 1 .

Definisi 5

Setiap bilangan asli m dapat ditulis sebagai pecahan biasa, di mana penyebutnya adalah satu: m 1 .

Pada gilirannya, setiap pecahan biasa dalam bentuk m 1 dapat diwakili oleh bilangan asli m .

Bilah pecahan sebagai tanda pembagian

Representasi objek yang diberikan di atas sebagai n bagian tidak lebih dari pembagian menjadi n bagian yang sama. Ketika sebuah objek dibagi menjadi n bagian, kami memiliki kesempatan untuk membaginya secara merata di antara n orang - semua orang mendapat bagiannya.

Dalam kasus ketika kita awalnya memiliki m objek yang identik (masing-masing dibagi menjadi n bagian), maka m objek ini dapat dibagi rata di antara n orang, memberikan masing-masing satu bagian dari masing-masing m objek. Dalam hal ini, setiap orang akan memiliki m bagian 1 n , dan m bagian 1 n akan memberikan pecahan biasa m n . Oleh karena itu, pecahan biasa m n dapat digunakan untuk menyatakan pembagian m item di antara n orang.

Pernyataan yang dihasilkan membuat hubungan antara pecahan biasa dan pembagian. Dan hubungan ini dapat dinyatakan sebagai berikut: : adalah mungkin untuk mengartikan garis pecahan sebagai tanda pembagian, yaitu. m/n=m:n.

Dengan bantuan pecahan biasa, kita dapat menulis hasil pembagian dua bilangan asli. Misalnya, membagi 7 apel dengan 10 orang akan ditulis sebagai 7 10: setiap orang akan mendapatkan tujuh persepuluh.

Pecahan biasa yang sama dan tidak sama

Tindakan logisnya adalah membandingkan pecahan biasa, karena jelas bahwa, misalnya, 1 8 sebuah apel berbeda dengan 7 8 .

Hasil dari membandingkan pecahan biasa dapat berupa: sama atau tidak sama.

Definisi 6

Pecahan Biasa Setara adalah pecahan biasa a b dan c d , yang persamaannya benar: a d = b c .

Pecahan biasa yang tidak sama- pecahan biasa a b dan c d , yang persamaannya: a · d = b · c tidak benar.

Contoh pecahan yang sama: 1 3 dan 4 12 - karena persamaan 1 12 \u003d 3 4 benar.

Dalam hal ternyata pecahan tidak sama, biasanya juga perlu untuk mengetahui pecahan mana yang lebih kecil dan mana yang lebih besar. Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, pecahan biasa dibandingkan dengan membawanya ke penyebut yang sama dan kemudian membandingkan pembilangnya.

bilangan pecahan

Setiap pecahan adalah catatan bilangan pecahan, yang sebenarnya hanyalah “kulit”, visualisasi dari beban semantik. Tapi tetap saja, untuk kenyamanan, kami menggabungkan konsep pecahan dan bilangan pecahan, secara sederhana - pecahan.

Semua bilangan pecahan, seperti bilangan lainnya, memiliki lokasi uniknya sendiri pada sinar koordinat: ada korespondensi satu-satu antara pecahan dan titik pada sinar koordinat.

Untuk menemukan titik pada sinar koordinat, yang menunjukkan pecahan m n , perlu untuk menunda m segmen ke arah positif dari titik asal koordinat, yang panjangnya masing-masing akan menjadi 1 n pecahan dari unit segmen. Segmen dapat diperoleh dengan membagi satu segmen menjadi n bagian yang identik.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan titik M pada sinar koordinat, yang sesuai dengan pecahan 14 10 . Panjang segmen, yang ujungnya adalah titik O dan titik terdekat yang ditandai dengan goresan kecil, sama dengan 1 10 fraksi unit segmen. Titik yang sesuai dengan fraksi 14 10 terletak pada jarak 14 segmen tersebut dari titik asal.

Jika pecahannya sama, mis. mereka sesuai dengan nomor pecahan yang sama, maka pecahan ini berfungsi sebagai koordinat titik yang sama pada sinar koordinat. Misalnya, koordinat dalam bentuk pecahan yang sama 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 sesuai dengan titik yang sama pada sinar koordinat, yang terletak pada jarak sepertiga segmen satuan, ditunda dari asal ke arah positif.

Prinsip yang sama bekerja di sini seperti halnya dengan bilangan bulat: pada sinar koordinat horizontal yang diarahkan ke kanan, titik yang sesuai dengan fraksi besar akan ditempatkan di sebelah kanan titik yang sesuai dengan fraksi yang lebih kecil. Dan sebaliknya: titik, yang koordinatnya merupakan pecahan yang lebih kecil, akan terletak di sebelah kiri titik, yang sesuai dengan koordinat yang lebih besar.

Pecahan yang tepat dan tidak tepat, definisi, contoh

Pembagian pecahan menjadi benar dan tidak tepat didasarkan pada perbandingan pembilang dan penyebut dalam pecahan yang sama.

Definisi 7

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Artinya, jika pertidaksamaan m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya. Artinya, jika pertidaksamaan tak terdefinisi benar, maka pecahan biasa m n tidak wajar.

Berikut adalah beberapa contohnya: - pecahan biasa:

Contoh 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Pecahan tak wajar:

Contoh 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Dimungkinkan juga untuk memberikan definisi pecahan biasa dan pecahan biasa, berdasarkan perbandingan pecahan dengan satuan.

Definisi 8

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang kurang dari satu.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan biasa yang sama dengan atau lebih besar dari satu.

Misalnya, pecahan 8 12 benar, karena 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , dan 14 14 = 1 .

Mari kita berpikir lebih dalam mengapa pecahan yang pembilangnya lebih besar dari atau sama dengan penyebutnya disebut "tidak wajar".

Pertimbangkan pecahan biasa 8 8: ini memberitahu kita bahwa 8 bagian dari suatu benda yang terdiri dari 8 bagian diambil. Jadi, dari delapan bagian yang tersedia, kita dapat menyusun objek keseluruhan, yaitu. fraksi yang diberikan 8 8 pada dasarnya mewakili seluruh objek: 8 8 \u003d 1. Pecahan yang pembilang dan penyebutnya sama sepenuhnya menggantikan bilangan asli 1.

Perhatikan juga pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya: 11 5 dan 36 3 . Jelas bahwa pecahan 11 5 menunjukkan bahwa kita dapat membuat dua benda utuh darinya dan masih akan ada seperlimanya. Itu. pecahan 11 5 adalah 2 objek dan 1 5 lagi darinya. Pada gilirannya, 36 3 adalah pecahan, yang pada dasarnya berarti 12 benda utuh.

Contoh-contoh ini memungkinkan untuk menyimpulkan bahwa pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli (jika pembilangnya habis dibagi dengan penyebutnya tanpa sisa: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) atau jumlah bilangan asli dan a pecahan biasa (jika pembilangnya tidak habis dibagi oleh penyebutnya tanpa sisa: 11 5 = 2 + 1 5). Ini mungkin mengapa pecahan seperti itu disebut "tidak wajar".

Di sini juga, kita menemukan salah satu keterampilan angka yang paling penting.

Definisi 9

Mengekstrak bagian bilangan bulat dari pecahan biasa adalah pecahan biasa yang ditulis sebagai jumlah dari bilangan asli dan pecahan biasa.

Perhatikan juga bahwa ada hubungan yang erat antara pecahan biasa dan bilangan campuran.

pecahan positif dan negatif

Di atas kami mengatakan bahwa setiap pecahan biasa sesuai dengan bilangan pecahan positif. Itu. pecahan biasa adalah pecahan positif. Misalnya, pecahan 5 17 , 6 98 , 64 79 adalah positif, dan ketika perlu untuk menekankan "kepositifan" suatu pecahan, itu ditulis menggunakan tanda tambah: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Jika kita menetapkan tanda minus ke pecahan biasa, maka catatan yang dihasilkan akan menjadi catatan bilangan pecahan negatif, dan dalam hal ini kita berbicara tentang pecahan negatif. Misalnya, - 8 17 , - 78 14 dst.

Pecahan positif dan negatif m n dan - m n adalah bilangan berlawanan, misalnya pecahan 7 8 dan - 7 8 berlawanan.

Pecahan positif, seperti bilangan positif pada umumnya, berarti penambahan, perubahan ke atas. Pada gilirannya, pecahan negatif sesuai dengan konsumsi, perubahan arah penurunan.

Jika kita perhatikan garis koordinat, kita akan melihat bahwa pecahan negatif terletak di sebelah kiri titik acuan. Titik-titik yang sesuai dengan pecahan, yang berlawanan (m n dan - m n), terletak pada jarak yang sama dari titik asal koordinat O, tetapi di sisi yang berlawanan.

Di sini kita juga berbicara secara terpisah tentang pecahan yang ditulis dalam bentuk 0 n . Pecahan seperti itu sama dengan nol, mis. 0 n = 0 .

Meringkas semua hal di atas, kita telah sampai pada konsep bilangan rasional yang paling penting.

Definisi 10

Angka rasional adalah himpunan pecahan positif, pecahan negatif dan pecahan berbentuk 0 n .

Tindakan dengan pecahan

Mari kita daftar operasi dasar dengan pecahan. Secara umum, esensinya sama dengan operasi yang sesuai dengan bilangan asli

1. Perbandingan pecahan - kami membahas tindakan ini di atas.
2. Penjumlahan pecahan - hasil penjumlahan pecahan biasa adalah pecahan biasa (dalam kasus tertentu, dikurangi menjadi bilangan asli).
3. Pengurangan pecahan adalah tindakan, kebalikan dari penambahan, ketika pecahan yang tidak diketahui ditentukan dari satu pecahan yang diketahui dan jumlah pecahan yang diberikan.
4. Perkalian pecahan - tindakan ini dapat digambarkan sebagai menemukan pecahan dari pecahan. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa (dalam kasus tertentu, sama dengan bilangan asli).
5. Pembagian pecahan adalah kebalikan dari perkalian, ketika kita menentukan pecahan yang diperlukan untuk mengalikan pecahan yang diberikan untuk mendapatkan produk dua pecahan yang diketahui.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Bagian dari suatu unit dan direpresentasikan sebagai \frac(a)(b).

Pembilang pecahan (a)- angka di atas garis pecahan dan menunjukkan jumlah bagian di mana unit itu dibagi.

Penyebut pecahan (b)- nomor di bawah garis pecahan dan menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi unit.

Sembunyikan tampilan

Sifat dasar pecahan

Jika ad=bc , maka dua pecahan \frac(a)(b) dan \frac(c)(d) dianggap setara. Misalnya, pecahan akan sama dengan \frac35 dan \frac(9)(15), karena 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) dan \frac(24)(14), karena 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Dari definisi persamaan pecahan dapat disimpulkan bahwa pecahan akan sama dengan \frac(a)(b) dan \frac(am)(bm), karena a(bm)=b(am) adalah contoh yang jelas dari penggunaan sifat asosiatif dan komutatif perkalian bilangan asli dalam aksi.

Cara \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- terlihat seperti ini sifat dasar pecahan.

Dengan kata lain, kita mendapatkan pecahan yang sama dengan yang diberikan dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut pecahan asli dengan bilangan asli yang sama.

Pengurangan pecahan adalah proses penggantian pecahan, di mana pecahan baru sama dengan aslinya, tetapi dengan pembilang dan penyebut yang lebih kecil.

Merupakan kebiasaan untuk mereduksi pecahan berdasarkan sifat utama pecahan.

Sebagai contoh, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(pembilang dan penyebutnya habis dibagi 3); fraksi yang dihasilkan dapat dikurangi lagi dengan membagi 5, yaitu. \frac(15)(20)=\frac 34.

pecahan tak tereduksi adalah pecahan dari bentuk \frac 34, dimana pembilang dan penyebutnya relatif bilangan prima. Tujuan utama dari pengurangan pecahan adalah untuk membuat pecahan tidak dapat direduksi.

Membawa pecahan ke penyebut yang sama

Mari kita ambil dua pecahan sebagai contoh: \frac(2)(3) dan \frac(5)(8) dengan penyebut yang berbeda 3 dan 8 . Untuk membawa pecahan ini ke penyebut yang sama dan pertama kalikan pembilang dan penyebut pecahan \frac(2)(3) oleh 8 . Kami mendapatkan hasil berikut: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Kemudian kalikan pembilang dan penyebut pecahan \frac(5)(8) oleh 3 . Kami mendapatkan sebagai hasilnya: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Jadi, pecahan asli direduksi menjadi penyebut yang sama 24.

Operasi aritmatika pada pecahan biasa

Penjumlahan pecahan biasa

a) Dengan penyebut yang sama, pembilang pecahan pertama ditambahkan ke pembilang pecahan kedua, sehingga penyebutnya tetap sama. Seperti yang terlihat pada contoh:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Dengan penyebut yang berbeda, pecahan disederhanakan terlebih dahulu menjadi penyebut yang sama, dan kemudian pembilangnya ditambahkan sesuai dengan aturan a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Pengurangan pecahan biasa

a) Dengan penyebut yang sama, kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, biarkan penyebutnya tetap sama:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Jika penyebut pecahan berbeda, maka pecahan tersebut disederhanakan terlebih dahulu menjadi penyebut yang sama, kemudian ulangi langkah seperti pada paragraf a).

Perkalian pecahan biasa

Perkalian pecahan mengikuti aturan berikut:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

yaitu, kalikan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Sebagai contoh:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Pembagian pecahan biasa

Pecahan dibagi dengan cara berikut:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

itu pecahan \frac(a)(b) dikalikan dengan pecahan \frac(d)(c).

Contoh: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Bilangan timbal balik

Jika ab=1 , maka bilangan b adalah nomor terbalik untuk nomor a.

Contoh: untuk angka 9, kebalikannya adalah \frac(1)(9), sebagai 9 \cdot \frac(1)(9)=1, untuk nomor 5 - \frac(1)(5), sebagai 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

desimal

Desimal adalah pecahan biasa yang penyebutnya 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Sebagai contoh: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

Dengan cara yang sama, angka yang salah dengan penyebut 10 ^ n atau angka campuran ditulis.

Sebagai contoh: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Dalam bentuk pecahan desimal, setiap pecahan biasa dengan penyebut yang merupakan pembagi dari kekuatan tertentu dari angka 10 diwakili.

Contoh: 5 adalah pembagi dari 100 jadi pecahannya \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

Operasi aritmatika pada pecahan desimal

Menambahkan desimal

Untuk menambahkan dua pecahan desimal, Anda perlu mengaturnya sehingga angka yang sama dan koma di bawah koma muncul di bawah satu sama lain, dan kemudian menambahkan pecahan sebagai angka biasa.

Pengurangan desimal

Ini bekerja dengan cara yang sama seperti penambahan.

perkalian desimal

Saat mengalikan angka desimal, cukup dengan mengalikan angka yang diberikan, mengabaikan koma (sebagai bilangan asli), dan dalam jawaban yang diterima, koma di sebelah kanan memisahkan digit sebanyak yang ada setelah titik desimal di kedua faktor secara total .

Mari kita lakukan perkalian 2,7 dengan 1,3. Kami memiliki 27 \cdot 13=351 . Kami memisahkan dua digit dari kanan dengan koma (angka pertama dan kedua memiliki satu digit setelah titik desimal; 1+1=2). Hasilnya, kita mendapatkan 2.7 \cdot 1.3=3.51 .

Jika hasilnya lebih sedikit digit daripada yang diperlukan untuk dipisahkan dengan koma, maka nol yang hilang ditulis di depan, misalnya:

Untuk mengalikan dengan 10, 100, 1000, dalam pecahan desimal, pindahkan koma 1, 2, 3 digit ke kanan (jika perlu, sejumlah nol ditetapkan ke kanan).

Misalnya: 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 .

Pembagian desimal

Pembagian pecahan desimal dengan bilangan asli dilakukan dengan cara yang sama seperti membagi bilangan asli dengan bilangan asli. Sebuah koma di pribadi ditempatkan setelah pembagian bagian bilangan bulat selesai.

Jika bagian bilangan bulat dari dividen lebih kecil dari pembagi, maka jawabannya adalah bilangan bulat nol, misalnya:

Pertimbangkan untuk membagi desimal dengan desimal. Katakanlah kita perlu membagi 2.576 dengan 1.12. Pertama-tama, kami mengalikan dividen dan pembagi pecahan dengan 100, yaitu, kami memindahkan koma ke kanan dalam dividen dan pembagi dengan karakter sebanyak yang ada di pembagi setelah titik desimal (dalam contoh ini , dua). Maka Anda perlu membagi pecahan 257.6 dengan bilangan asli 112, yaitu, masalahnya direduksi menjadi kasus yang sudah dipertimbangkan:

Itu terjadi bahwa pecahan desimal akhir tidak selalu diperoleh saat membagi satu angka dengan angka lainnya. Hasilnya adalah desimal tak terbatas. Dalam kasus seperti itu, pergi ke pecahan biasa.

2.8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).