Kami tidak memilih matematika profesinya, dan dia memilih kita.

Matematikawan Rusia Yu.I. Manin

Persamaan Modulo

Masalah yang paling sulit untuk dipecahkan dalam matematika sekolah adalah persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modul. Untuk berhasil memecahkan persamaan tersebut, perlu untuk mengetahui definisi dan sifat dasar dari modul. Secara alami, siswa harus memiliki keterampilan untuk memecahkan persamaan jenis ini.

Konsep dasar dan properti

Modulus (nilai absolut) dari bilangan real dilambangkan dan didefinisikan sebagai berikut:

Properti sederhana dari modul mencakup hubungan berikut:

Catatan, bahwa dua sifat terakhir berlaku untuk setiap derajat genap.

Juga, jika , dimana , maka dan

Properti modul yang lebih kompleks, yang dapat digunakan secara efektif dalam menyelesaikan persamaan dengan modul, dirumuskan dengan teorema berikut:

Teorema 1.Untuk fungsi analitik apa pun dan ketidaksetaraan

Teorema 2. Kesetaraan sama dengan ketidaksetaraan.

Teorema 3. Persamaan setara dengan pertidaksamaan.

Pertimbangkan contoh tipikal untuk memecahkan masalah dengan topik "Persamaan", berisi variabel di bawah tanda modul.

Menyelesaikan Persamaan dengan Modulus

Metode yang paling umum dalam matematika sekolah untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus adalah metode, berdasarkan ekspansi modul. Metode ini generik, namun, dalam kasus umum, penerapannya dapat menyebabkan perhitungan yang sangat rumit. Dalam hal ini, siswa juga harus menyadari, metode dan teknik yang lebih efisien untuk memecahkan persamaan tersebut. Secara khusus, perlu memiliki keterampilan untuk menerapkan teorema, diberikan dalam artikel ini.

Contoh 1 Memecahkan persamaan. (satu)

Keputusan. Persamaan (1) akan diselesaikan dengan metode "klasik" - metode perluasan modul. Untuk melakukan ini, kami mematahkan sumbu numerik titik dan interval dan pertimbangkan tiga kasus.

1. Jika , maka , , , dan persamaan (1) berbentuk . Ini mengikuti dari sini. Namun, di sini , sehingga nilai yang ditemukan bukan akar dari persamaan (1).

2. Jika , maka dari persamaan (1) kita peroleh atau .

Dari dulu akar persamaan (1).

3. Jika , maka persamaan (1) berbentuk atau . Perhatikan bahwa.

Menjawab: , .

Saat menyelesaikan persamaan berikut dengan modul, kami akan secara aktif menggunakan properti modul untuk meningkatkan efisiensi penyelesaian persamaan tersebut.

Contoh 2 selesaikan persamaannya.

Keputusan. Sejak dan maka itu mengikuti dari persamaan. Dalam kasus ini, , , dan persamaannya menjadi. Dari sini kita mendapatkan. Namun , jadi persamaan aslinya tidak memiliki akar.

Jawaban: tidak ada akar.

Contoh 3 selesaikan persamaannya.

Keputusan. Dari dulu . Jika kemudian , dan persamaannya menjadi.

Dari sini kita dapatkan.

Contoh 4 selesaikan persamaannya.

Keputusan.Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk yang setara. (2)

Persamaan yang dihasilkan termasuk ke dalam persamaan tipe .

Dengan memperhatikan Teorema 2, kita dapat menyatakan bahwa persamaan (2) ekuivalen dengan pertidaksamaan . Dari sini kita dapatkan.

Menjawab: .

Contoh 5 Memecahkan persamaan.

Keputusan. Persamaan ini memiliki bentuk. Jadi , sesuai dengan Teorema 3, di sini kita memiliki ketidaksetaraan atau .

Contoh 6 selesaikan persamaannya.

Keputusan. Mari kita asumsikan itu. Sebagai , maka persamaan yang diberikan mengambil bentuk persamaan kuadrat, (3)

di mana . Karena persamaan (3) memiliki akar positif tunggal lalu . Dari sini kita mendapatkan dua akar persamaan asli: dan .

Contoh 7 selesaikan persamaannya. (4)

Keputusan. Karena persamaansetara dengan kombinasi dua persamaan: dan , maka ketika memecahkan persamaan (4) perlu mempertimbangkan dua kasus.

1. Jika , maka atau .

Dari sini kita peroleh , dan .

2. Jika , maka atau .

Dari dulu .

Menjawab: , , , .

Contoh 8selesaikan persamaannya . (5)

Keputusan. Sejak dan , maka . Dari sini dan dari Persamaan (5) maka dan , yaitu. di sini kita memiliki sistem persamaan

Namun, sistem persamaan ini tidak konsisten.

Jawaban: tidak ada akar.

Contoh 9 selesaikan persamaannya. (6)

Keputusan. Jika kita menunjuk dan dari persamaan (6) kita peroleh

Atau . (7)

Karena persamaan (7) memiliki bentuk , persamaan ini ekuivalen dengan pertidaksamaan . Dari sini kita dapatkan. Sejak , maka atau .

Menjawab: .

Contoh 10selesaikan persamaannya. (8)

Keputusan.Menurut Teorema 1, kita dapat menulis

(9)

Dengan memperhatikan persamaan (8), kami menyimpulkan bahwa kedua pertidaksamaan (9) berubah menjadi persamaan, yaitu. ada sistem persamaan

Namun, menurut Teorema 3, sistem persamaan di atas setara dengan sistem pertidaksamaan

(10)

Memecahkan sistem pertidaksamaan (10) kita peroleh . Karena sistem pertidaksamaan (10) setara dengan persamaan (8), persamaan aslinya memiliki akar tunggal .

Menjawab: .

Contoh 11. selesaikan persamaannya. (11)

Keputusan. Membiarkan dan , maka persamaan (11) menyiratkan kesetaraan .

Dari sini dapat disimpulkan bahwa dan . Jadi, di sini kita memiliki sistem ketidaksetaraan

Solusi dari sistem pertidaksamaan ini adalah dan .

Menjawab: , .

Contoh 12.selesaikan persamaannya. (12)

Keputusan. Persamaan (12) akan diselesaikan dengan metode perluasan modul secara berurutan. Untuk melakukan ini, pertimbangkan beberapa kasus.

1. Jika , maka .

1.1. Jika , maka dan , .

1.2. Jika kemudian . Namun , begitu dalam kasus ini persamaan (12) tidak memiliki akar.

2. Jika , maka .

2.1. Jika , maka dan , .

2.2. Jika , maka dan .

Menjawab: , , , , .

Contoh 13selesaikan persamaannya. (13)

Keputusan. Karena ruas kiri persamaan (13) adalah non-negatif, maka dan . Dalam hal ini, , dan persamaan (13)

mengambil bentuk atau .

Diketahui persamaan setara dengan kombinasi dua persamaan dan , penyelesaian yang kita peroleh, . Sebagai , maka persamaan (13) memiliki satu akar.

Menjawab: .

Contoh 14 Memecahkan sistem persamaan (14)

Keputusan. Sejak dan , maka dan . Oleh karena itu, dari sistem persamaan (14) diperoleh empat sistem persamaan:

Akar dari sistem persamaan di atas adalah akar dari sistem persamaan (14).

Menjawab: ,, , , , , , .

Contoh 15 Memecahkan sistem persamaan (15)

Keputusan. Dari dulu . Dalam hal ini, dari sistem persamaan (15) kami memperoleh dua sistem persamaan

Akar dari sistem persamaan pertama adalah dan , dan dari sistem persamaan kedua kita peroleh dan .

Menjawab: , , , .

Contoh 16 Memecahkan sistem persamaan (16)

Keputusan. Ini mengikuti dari persamaan pertama sistem (16) bahwa .

Dari dulu . Perhatikan persamaan kedua dari sistem. Sejauh, kemudian , dan persamaannya menjadi, , atau .

Jika kita substitusikan nilainyake persamaan pertama sistem (16), maka , atau .

Menjawab: , .

Untuk studi yang lebih dalam tentang metode pemecahan masalah, terkait dengan solusi persamaan, berisi variabel di bawah tanda modul, Anda dapat menyarankan tutorial dari daftar literatur yang direkomendasikan.

1. Kumpulan tugas matematika untuk pelamar ke universitas teknik / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Dunia dan Pendidikan, 2013. - 608 hal.

2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: tugas dengan kompleksitas yang meningkat. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 hal.

3. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: metode non-standar untuk memecahkan masalah. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 hal.

Apakah Anda memiliki pertanyaan?

Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Tochilkina Julia

Makalah ini menyajikan berbagai metode untuk memecahkan persamaan dengan modulus.

Unduh:

Pratinjau:

Institusi pendidikan anggaran kota

"Sekolah Menengah No. 59"

Persamaan Modulo

Karya abstrak

dilakukan siswa kelas 9

MBOU "Sekolah Menengah No. 59", Barnaul

Tochilkina Julia

Pengawas

Zakharova Ludmila Vladimirovna,

guru matematika

MBOU "Sekolah Menengah No. 59", Barnaul

Barnaul 2015

pengantar

Saya kelas sembilan. Tahun ajaran ini saya harus lulus sertifikasi akhir untuk mata kuliah di sekolah dasar. Untuk mempersiapkan ujian, kami membeli koleksi Matematika D. A. Maltsev. Kelas 9 Melihat melalui koleksi, saya menemukan persamaan yang tidak hanya berisi satu, tetapi juga beberapa modul. Guru menjelaskan kepada saya dan teman sekelas saya bahwa persamaan seperti itu disebut persamaan "modul bersarang". Nama ini tampak tidak biasa bagi kami, dan solusinya pada pandangan pertama, agak rumit. Ini adalah bagaimana topik untuk pekerjaan saya "Persamaan dengan modulus" muncul. Saya memutuskan untuk mempelajari topik ini lebih dalam, terutama karena ini akan berguna bagi saya ketika lulus ujian di akhir tahun ajaran dan saya pikir saya akan membutuhkannya di kelas 10 dan 11. Semua hal di atas menentukan relevansi topik yang saya pilih.

Objektif :

1. Pertimbangkan berbagai metode untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus.
2. Belajar memecahkan persamaan yang mengandung tanda nilai absolut menggunakan berbagai metode

Untuk mengerjakan topik, tugas-tugas berikut dirumuskan:

Tugas:

1. Untuk mempelajari materi teoretis dengan topik "Modulus bilangan real."
2. Pertimbangkan metode untuk memecahkan persamaan dan mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dengan memecahkan masalah.
3. Menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam menyelesaikan berbagai persamaan yang mengandung tanda modulus di sekolah menengah

Objek studi:metode untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus

Subjek studi:persamaan modulo

Metode penelitian:

Teoretis : studi literatur tentang topik penelitian;

Internet - informasi.

Analisis informasi yang diperoleh dalam studi literatur; hasil yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan dengan modulus dengan berbagai cara.

Perbandingan cara memecahkan persamaan, subjek rasionalitas penggunaannya dalam menyelesaikan berbagai persamaan dengan modul.

"Kami mulai berpikir ketika kami menabrak sesuatu." Paul Valerie.

1. Konsep dan definisi.

Konsep "modulus" banyak digunakan di banyak bagian kursus matematika sekolah, misalnya, dalam mempelajari kesalahan absolut dan relatif dari suatu bilangan perkiraan; dalam geometri dan fisika, konsep vektor dan panjangnya (modulus vektor) dipelajari. Konsep modul digunakan dalam kursus matematika, fisika, dan ilmu teknik yang lebih tinggi yang dipelajari di lembaga pendidikan tinggi.

Kata "modul" berasal dari kata Latin "modulus", yang berarti "ukuran" dalam terjemahan. Kata ini memiliki banyak arti dan digunakan tidak hanya dalam matematika, fisika, dan teknologi, tetapi juga dalam arsitektur, pemrograman, dan ilmu pasti lainnya.

Diyakini bahwa istilah itu diusulkan untuk digunakan oleh Kots, seorang mahasiswa Newton. Tanda modul diperkenalkan pada abad ke-19 oleh Weierstrass.

Dalam arsitektur, modul adalah unit ukuran awal yang ditetapkan untuk struktur arsitektur tertentu.

Dalam rekayasa, ini adalah istilah yang digunakan di berbagai bidang teknologi, yang berfungsi untuk menunjukkan berbagai koefisien dan besaran, misalnya, modulus elastisitas, modulus ikatan ...

Dalam matematika, modulus memiliki beberapa arti, tetapi saya akan memperlakukannya sebagai nilai mutlak suatu bilangan.

definisi1 : Modulus (nilai absolut) dari bilangan real sebuah bilangan itu sendiri disebut jika sebuah 0, atau sebaliknya - dan jika sebuah modulus nol adalah nol.

Saat memecahkan persamaan dengan modul, akan lebih mudah untuk menggunakan properti modul.

Pertimbangkan bukti dari 5,6,7 properti.

Pernyataan 5. Kesetaraan benar jika av 0.

Bukti. Memang, setelah mengkuadratkan kedua bagian persamaan ini, kita mendapatkan, a+v ²=│ a ²+2│ ab +│ hingga ²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av + b², dari mana av │ = av

Dan persamaan terakhir akan berlaku untuk av 0.

Pernyataan 6. Persamaan a-c =│ a +│ c benar bila av 0.

Bukti. Untuk membuktikannya, cukup dengan persamaan

a + di =│ a +│ di ganti dengan - di, lalu a (- di) ≥0, dari mana av 0.

Pernyataan 7. Persamaan a +│ dalam = a + dalam dilakukan pada a 0 dan b 0.

Bukti . Mempertimbangkan empat kasus a 0 dan b 0; a 0 dan b sebuah di 0; sebuah di a 0 dan b 0.

(a-c) dalam 0.

Interpretasi geometris

|a| adalah jarak pada garis koordinat dari titik dengan koordinat sebuah , ke asal koordinat.

|-a| |a|

A 0 a x

Interpretasi geometris dari makna |a| dengan jelas menegaskan bahwa |-a|=|a|

Jika sebuah 0, maka pada garis koordinat terdapat dua titik a dan -a yang berjarak sama dari nol, yang modulnya sama.

Jika a=0, maka pada garis koordinat |a| diwakili oleh titik 0.

Definisi 2: Persamaan dengan modulus adalah persamaan yang memuat variabel di bawah tanda nilai mutlak (di bawah tanda modulus). Misalnya: |x +3|=1

Definisi 3: Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya, atau membuktikan bahwa tidak ada akar.

2. Metode solusi

Dari definisi dan sifat modul, metode utama untuk menyelesaikan persamaan dengan modul adalah sebagai berikut:

1. "Memperluas" modul (yaitu menggunakan definisi);
2. Menggunakan makna geometris modul (properti 2);
3. Metode solusi grafis;
4. Penggunaan transformasi setara (properti 4.6);
5. Substitusi variabel (ini menggunakan properti 5).
6. metode interval.

Saya memecahkan sejumlah besar contoh, tetapi dalam pekerjaan saya, saya menyajikan kepada Anda hanya beberapa, menurut pendapat saya, contoh khas diselesaikan dengan berbagai cara, karena sisanya saling menduplikasi dan untuk memahami bagaimana menyelesaikan persamaan dengan a modulus, tidak perlu mempertimbangkan semua contoh yang diselesaikan.

SOLUSI PERSAMAAN | f(x)| = sebuah

Perhatikan persamaan | f(x)| = a, dan R

Persamaan semacam ini dapat diselesaikan dengan mendefinisikan modulus:

Jika sebuah sebuah maka persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Jika a = 0, maka persamaan tersebut ekivalen dengan f(x)=0.

Jika a>0, maka persamaan tersebut ekuivalen dengan himpunan

Contoh. Selesaikan persamaan |3x+2|=4.

Keputusan.

|3x+2|=4, lalu 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

Jawaban: -2;2/3.

SOLUSI PERSAMAAN MENGGUNAKAN SIFAT GEOMETRI MODUL.

Contoh 1 Selesaikan persamaan /x-1/+/x-3/=6.

Keputusan.

Menyelesaikan persamaan ini berarti menemukan semua titik seperti itu pada sumbu numerik Ox, yang masing-masing jumlah jaraknya ke titik-titik dengan koordinat 1 dan 3 sama dengan 6.

Tidak ada titik di garistidak memenuhi syarat ini, karena jumlah jarak yang ditentukan adalah 2. Di luar segmen ini, ada dua titik: 5 dan -1.

1 1 3 5

Jawaban: -1;5

Contoh 2 Selesaikan persamaan |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Keputusan.

Tunjukkan x 2 + x-5 \u003d a, lalu / a / + / a-4 /=10. Mari kita cari titik-titik pada sumbu Ox sehingga untuk masing-masing titik tersebut jumlah jarak ke titik-titik dengan koordinat 0 dan 4 sama dengan 10. Kondisi ini dipenuhi oleh -4 dan 7.

3 0 4 7

Jadi x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 Jawaban: -4; -2; satu; 3.

SOLUSI PERSAMAAN | f(x)| = | g(x)|.

1. Sejak | a |=|b |, jika a=b, maka persamaan bentuk | f(x)| = | g(x )| sama dengan agregat

Contoh 1.

Selesaikan persamaan | x–2| = |3 - x |.

Keputusan.

Persamaan ini setara dengan dua persamaan:

x - 2 \u003d 3 - x (1) dan x - 2 \u003d -3 + x (2)

2 x = 5 -2 = -3 - salah

X = 2.5 persamaan tidak memiliki solusi.

Jawaban: 2.5.

Contoh 2

Selesaikan persamaan |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Keputusan.

Karena kedua ruas persamaan tidak negatif, makakuadrat adalah transformasi yang setara:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 atau 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Jawaban: -3; 3; 11/3.

SOLUSI PERSAMAAN VIEW | f(x)| = g(x).

Perbedaan antara persamaan ini dan| f(x)| = di sisi kanan juga merupakan variabel. Dan itu bisa positif dan negatif. Oleh karena itu, Anda perlu memastikan bahwa itu non-negatif, karena modulus tidak boleh sama dengan angka negatif (properti№1 )

1 cara

Solusi persamaan | f(x)| = g(x ) direduksi menjadi himpunan solusi persamaandan memeriksa validitas pertidaksamaan g(x )>0 untuk nilai yang ditemukan dari yang tidak diketahui.

2 cara (menurut definisi modul)

Sejak | f(x)| = g (x) jika f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) jika f(x)

Contoh.

Selesaikan Persamaan |3 x –10| = x - 2.

Keputusan.

Persamaan ini setara dengan kombinasi dua sistem:

O t e t: 3; 4.

SOLUSI PERSAMAAN FORM |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Solusi dari persamaan jenis ini didasarkan pada definisi modul. Untuk setiap fungsi f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) perlu dicari daerah asal definisi, nol dan titik diskontinuitasnya yang membagi daerah umum definisi menjadi interval-interval, yang masing-masing fungsi f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) simpan tanda mereka. Selanjutnya, dengan menggunakan definisi modul, untuk setiap daerah yang ditemukan, kita memperoleh persamaan yang harus diselesaikan pada interval tertentu. Metode ini disebut "metode interval»

Contoh.

Selesaikan persamaan |x-2|-3|x+4|=1.

Keputusan.

Mari kita cari titik di mana ekspresi submodul sama dengan nol

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Mari kita pecahkan garis bilangan menjadi interval x

Solusi persamaan direduksi menjadi solusi tiga sistem:

Jawaban: -15, -1.8.

METODE GRAFIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN YANG MENGANDUNG TANDA MODUL.

Cara grafis untuk menyelesaikan persamaan adalah perkiraan, karena akurasinya tergantung pada segmen satuan yang dipilih, ketebalan pensil, sudut di mana garis berpotongan, dll. Tetapi metode ini memungkinkan Anda untuk memperkirakan berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan tertentu.

Contoh. Selesaikan secara grafis persamaan |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Keputusan. Mari kita buat grafik fungsi dalam satu sistem koordinat

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| dan y=9.

Untuk membangun grafik, perlu untuk mempertimbangkan fungsi ini pada setiap interval (-∞; 2); [ 3/2 ; )

Jawaban: (- ; 4/3] [ 3/2 ; )

Kami juga menggunakan metode transformasi ekuivalen dalam menyelesaikan persamaan | f(x)| = | g(x)|.

PERSAMAAN DENGAN "MODUL KOMPLEKS"

Jenis persamaan lainnya adalah persamaan dengan modulus "kompleks". Persamaan tersebut termasuk persamaan yang memiliki "modul dalam modul". Persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan berbagai metode.

Contoh 1

Selesaikan persamaan ||||x| – |–2| -1| –2| = 2.

Keputusan.

Menurut definisi modul, kami memiliki:

Mari selesaikan persamaan pertama.

1. ||| x |–2| -1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Mari selesaikan persamaan kedua.

1. ||| x | –2| -1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 dan | x | = 1,

x = 3; x = 1.

O n e t: 1; 3; 7.

Contoh 2

Selesaikan persamaan |2 – |x + 1|| = 3.

Keputusan.

Mari selesaikan persamaan dengan memasukkan variabel baru.

Biarkan | x + 1| = y , maka |2 – y | = 3, maka

Mari kita lakukan substitusi terbalik:

(1) | x + 1| = -1 - tidak ada solusi.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; 4.

Contoh3 .

Berapa banyak akar persamaan | 2 | x | -6 | = 5 - x?

Keputusan. Mari selesaikan persamaan menggunakan skema ekivalensi.

Persamaan | 2 | x | -6 | = 5 -x setara dengan sistem:

Modulus adalah nilai absolut dari ekspresi. Untuk setidaknya entah bagaimana menunjuk sebuah modul, biasanya menggunakan tanda kurung lurus. Nilai yang diapit tanda kurung genap adalah nilai yang diambil modulo. Proses penyelesaian modul apa pun terdiri dari membuka tanda kurung langsung yang sama, yang disebut tanda kurung modular dalam bahasa matematika. Pengungkapan mereka terjadi sesuai dengan sejumlah aturan tertentu. Juga, dalam urutan penyelesaian modul, ada juga kumpulan nilai dari ekspresi-ekspresi yang ada dalam tanda kurung modul. Dalam kebanyakan kasus, modul diperluas sedemikian rupa sehingga ekspresi yang merupakan submodul mendapatkan nilai positif dan negatif, termasuk nilai nol. Jika kita mulai dari properti modul yang ditetapkan, maka dalam prosesnya berbagai persamaan atau ketidaksetaraan dari ekspresi asli dikompilasi, yang kemudian perlu diselesaikan. Mari kita cari tahu bagaimana menyelesaikan modul.

Proses solusi

Penyelesaian modul dimulai dengan menulis persamaan awal dengan modul. Untuk menjawab pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan persamaan dengan modulus, Anda harus membukanya sepenuhnya. Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, modul diperluas. Semua ekspresi modular harus dipertimbangkan. Penting untuk menentukan pada nilai apa dari jumlah yang tidak diketahui yang termasuk dalam komposisinya, ekspresi modular dalam tanda kurung menghilang. Untuk melakukan ini, cukup dengan menyamakan ekspresi dalam kurung modular menjadi nol, dan kemudian menghitung solusi dari persamaan yang dihasilkan. Nilai yang ditemukan harus dicatat. Dengan cara yang sama, Anda juga perlu menentukan nilai semua variabel yang tidak diketahui untuk semua modul dalam persamaan ini. Selanjutnya, perlu untuk menangani definisi dan pertimbangan semua kasus keberadaan variabel dalam ekspresi ketika mereka berbeda dari nilai nol. Untuk melakukan ini, Anda perlu menuliskan beberapa sistem pertidaksamaan yang sesuai dengan semua modul dalam pertidaksamaan asli. Pertidaksamaan harus disusun sedemikian rupa sehingga mencakup semua nilai yang tersedia dan mungkin untuk variabel yang ditemukan pada garis bilangan. Maka Anda perlu menggambar untuk visualisasi garis angka yang sama ini, di mana untuk meletakkan semua nilai yang diperoleh di masa depan.

Hampir semuanya sekarang bisa dilakukan secara online. Modul ini tidak terkecuali dengan aturan. Anda dapat menyelesaikannya secara online di salah satu dari banyak sumber daya modern. Semua nilai variabel yang ada pada modul nol tersebut akan menjadi kendala khusus yang akan digunakan dalam proses penyelesaian persamaan modular. Dalam persamaan asli, diperlukan untuk memperluas semua tanda kurung modular yang tersedia, sambil mengubah tanda ekspresi sehingga nilai variabel yang diinginkan bertepatan dengan nilai-nilai yang terlihat pada garis bilangan. Persamaan yang dihasilkan harus diselesaikan. Nilai variabel, yang akan diperoleh selama penyelesaian persamaan, harus diperiksa terhadap batasan yang ditetapkan oleh modul itu sendiri. Jika nilai variabel sepenuhnya memenuhi kondisi, maka itu benar. Semua akar yang akan diperoleh selama penyelesaian persamaan, tetapi tidak sesuai dengan kendala, harus dibuang.

Kalkulator matematika online ini akan membantu Anda menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan dengan modul. Program untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan modul tidak hanya memberikan jawaban untuk masalah, itu mengarah solusi terperinci dengan penjelasan, yaitu menampilkan proses mendapatkan hasil.

Program ini dapat bermanfaat bagi siswa SMA dalam persiapan menghadapi ujian dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum UN Unified State, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.

|x| atau abs(x) - modul x

Masukkan persamaan atau pertidaksamaan dengan moduli

Memecahkan persamaan atau pertidaksamaan

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

Anda menonaktifkan JavaScript di browser Anda.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...

Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.

Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan dan pertidaksamaan dengan modul

Dalam kursus aljabar sekolah dasar, Anda dapat memenuhi persamaan dan ketidaksetaraan paling sederhana dengan modul. Untuk menyelesaikannya, Anda dapat menerapkan metode geometris berdasarkan fakta bahwa \(|x-a| \) adalah jarak pada garis bilangan antara titik x dan a: \(|x-a| = \rho (x;\; a ) \). Misalnya, untuk menyelesaikan persamaan \(|x-3|=2 \), Anda perlu mencari titik pada garis bilangan yang berjarak 2 dari titik 3. Ada dua titik: \(x_1=1 \) dan \(x_2=5 \) .

Menyelesaikan pertidaksamaan \(|2x+7|

Tetapi cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan ketidaksetaraan dengan modul terkait dengan apa yang disebut "ekspansi modul menurut definisi":
jika \(a \geq 0 \), maka \(|a|=a \);
jika \(a Sebagai aturan, persamaan (persamaan) dengan modul direduksi menjadi satu set persamaan (pertidaksamaan) yang tidak mengandung tanda modul.

Selain definisi di atas, pernyataan berikut digunakan:
1) Jika \(c > 0 \), maka persamaan \(|f(x)|=c \) ekuivalen dengan himpunan persamaan: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\kanan.\)
2) Jika \(c > 0 \), maka pertidaksamaan \(|f(x)| 3) Jika \(c \geq 0 \), maka pertidaksamaan \(|f(x)| > c \) adalah ekuivalen dengan himpunan pertidaksamaan : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Jika kedua bagian pertidaksamaan \(f(x) CONTOH 1. Selesaikan persamaan \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Jika \(x-1 \geq 0 \), maka \(|x-1| = x-1 \) dan persamaan yang diberikan menjadi
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Panah kanan x^2 +2x -8 = 0 \).
Jika \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Panah kanan x^2 -2x -4 = 0 \).
Dengan demikian, persamaan yang diberikan harus dipertimbangkan secara terpisah di masing-masing dari dua kasus yang ditunjukkan.
1) Biarkan \(x-1 \geq 0 \), mis. \(x \geq 1 \). Dari persamaan \(x^2 +2x -8 = 0 \) kita menemukan \(x_1=2, \; x_2=-4\). Kondisi \(x \geq 1 \) hanya dipenuhi oleh nilai \(x_1=2\).
2) Biarkan \(x-1 Jawaban: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

CONTOH 2. Selesaikan persamaan \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

Cara pertama(ekspansi modul menurut definisi).
Berdebat seperti pada Contoh 1, kami menyimpulkan bahwa persamaan yang diberikan harus dipertimbangkan secara terpisah dalam dua kondisi: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) atau \(x^2-6x+7

1) Jika \(x^2-6x+7 \geq 0 \), maka \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) dan persamaan yang diberikan menjadi \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Panah kanan 3x^2-23x+30=0 \). Memecahkan persamaan kuadrat ini, kita mendapatkan: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Mari kita cari tahu apakah nilai \(x_1=6 \) memenuhi kondisi \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Untuk melakukan ini, kami mengganti nilai yang ditunjukkan ke dalam pertidaksamaan kuadrat. Kami mendapatkan: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), mis. \(7 \geq 0 \) adalah pertidaksamaan yang benar. Oleh karena itu, \(x_1=6 \) adalah akar dari persamaan yang diberikan.
Mari kita cari tahu apakah nilai \(x_2=\frac(5)(3) \) memenuhi kondisi \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Untuk melakukan ini, kami mengganti nilai yang ditunjukkan ke dalam pertidaksamaan kuadrat. Kami mendapatkan: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), mis. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) adalah pertidaksamaan yang tidak valid. Jadi \(x_2=\frac(5)(3) \) bukan akar dari persamaan yang diberikan.

2) Jika \(x^2-6x+7 Nilai \(x_3=3\) memenuhi kondisi \(x^2-6x+7 Nilai \(x_4=\frac(4)(3) \) tidak tidak memenuhi kondisi \ (x^2-6x+7 Jadi, persamaan yang diberikan memiliki dua akar: \(x=6, \; x=3 \).

Cara kedua. Diberikan persamaan \(|f(x)| = h(x) \), maka untuk \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\kanan. \)
Kedua persamaan ini diselesaikan di atas (dengan metode pertama untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan), akarnya adalah sebagai berikut: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). Kondisi \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) dari empat nilai ini hanya dipenuhi oleh dua: 6 dan 3. Oleh karena itu, persamaan yang diberikan memiliki dua akar: \(x=6, \; x=3 \ ).

Cara ketiga(grafis).
1) Mari kita plot fungsi \(y = |x^2-6x+7| \). Pertama kita buat parabola \(y = x^2-6x+7\). Kami memiliki \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafik fungsi \(y = (x-3)^2-2 \) dapat diperoleh dari grafik fungsi \(y = x^2 \) dengan menggesernya 3 satuan skala ke kanan (pada sumbu x) dan 2 unit skala ke bawah ( sepanjang sumbu y). Garis lurus x=3 adalah sumbu parabola yang kita minati. Sebagai titik kontrol untuk plot yang lebih akurat, lebih mudah untuk mengambil titik (3; -2) - bagian atas parabola, titik (0; 7) dan titik (6; 7) simetris terhadapnya relatif terhadap sumbu dari parabola.
Untuk membuat grafik fungsi sekarang \(y = |x^2-6x+7| \), Anda harus membiarkan bagian parabola yang dibangun tidak berubah yang terletak tidak di bawah sumbu x, dan mencerminkan bagian dari parabola yang terletak di bawah sumbu x terhadap sumbu x.
2) Mari kita plot fungsi linier \(y = \frac(5x-9)(3) \). Lebih mudah untuk mengambil poin (0; –3) dan (3; 2) sebagai titik kontrol.

Penting bahwa titik x = 1,8 dari perpotongan garis lurus dengan sumbu absis terletak di sebelah kanan titik perpotongan kiri parabola dengan sumbu absis - ini adalah titik \(x=3-\sqrt (2) \) (karena \(3-\sqrt(2 ) 3) Dilihat dari gambar, grafik berpotongan di dua titik - A (3; 2) dan B (6; 7).Mengganti absis titik-titik ini x \u003d 3 dan x \u003d 6 dalam persamaan yang diberikan, kami memastikan bahwa kedua nilai lain memberikan kesetaraan numerik yang benar.Jadi, hipotesis kami dikonfirmasi - persamaan memiliki dua akar: x \u003d 3 dan x \u003d 6. Jawab: 3; 6.

Komentar. Metode grafis, dengan segala keanggunannya, tidak terlalu dapat diandalkan. Dalam contoh yang dipertimbangkan, itu bekerja hanya karena akar persamaan adalah bilangan bulat.

CONTOH 3. Selesaikan persamaan \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Cara pertama
Ekspresi 2x–4 menjadi 0 di titik x = 2, dan ekspresi x + 3 di titik x = –3. Kedua titik ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: \(x

Pertimbangkan interval pertama: \((-\infty; \; -3) \).
Jika x Pertimbangkan interval kedua: \([-3; \; 2) \).
Jika \(-3 \leq x Pertimbangkan interval ketiga: \( Jawab: panjang celah adalah 6.№3 . Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan jumlah solusi bilangan bulat: 2 + x - x 2 = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 0 x 2 - x - 2 0 [- 1; 2] Jawaban: 4 solusi utuh.№4 . Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan akar terbesar:
4 - x -
= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1,2 \u003d
≈ 1,4

Jawab: x = 3.

Latihan: №12. Selesaikan persamaan, dalam jawaban tunjukkan seluruh akar: x 2 + 6x + 8 = x 2 + 6x + 8 №13. Selesaikan persamaan, dalam jawaban tunjukkan jumlah solusi bilangan bulat: 13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan bilangan bulat yang bukan akar persamaan:

Bagian 5. Persamaan bentuk F(x)│= G(x)│

Karena kedua sisi persamaan adalah non-negatif, penyelesaiannya mencakup pertimbangan dua kasus: ekspresi submodular sama atau berlawanan tanda. Oleh karena itu, persamaan awal ekuivalen dengan kombinasi dua persamaan: F(x)│= │ G(x)│
Contoh: №1. Selesaikan persamaan, dalam jawaban tunjukkan seluruh akar: x + 3│ \u003d 2x - 1│
Jawaban: akar bilangan bulat x = 4.№2. Selesaikan persamaan: │ x - x 2 - 1│ \u003d 2x - 3 - x 2
Jawab: x = 2.№3 . Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan produk dari akar:




Akar persamaan 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1,2 \u003d - 1±√5 / 4 Jawaban: hasil kali akar-akarnya adalah 0,25. Latihan: №15 . Selesaikan persamaan, dalam jawaban tunjukkan seluruh solusi: x 2 - 3x + 2│ \u003d x 2 + 6x - 1│ №16. Selesaikan persamaan, dalam jawaban tunjukkan akar yang lebih kecil: 5x - 3│=│7 - x│ №17 . Selesaikan persamaan, dalam jawaban tulis jumlah akarnya:

Bagian 6. Contoh penyelesaian persamaan non-standar

Di bagian ini, kami mempertimbangkan contoh persamaan non-standar, di mana solusi yang nilai absolut dari ekspresi diungkapkan oleh definisi. Contoh:

№1. Pecahkan persamaan, dalam jawaban tunjukkan jumlah akarnya: x x│- 5x - 6 \u003d 0
Jawab: jumlah akar-akarnya adalah 1 №2. . Selesaikan persamaan, dalam jawaban tunjukkan akar yang lebih kecil: x 2 - 4x
- 5 = 0
Jawaban: akar kecil x = - 5. №3. Selesaikan persamaan:

Jawab: x = -1. Latihan: №18. Selesaikan persamaan dan tulis jumlah akar-akarnya: x 3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Selesaikan persamaan: x 2 - 3x \u003d

№20. Selesaikan persamaan:

Bagian 7. Persamaan bentuk F(x)│+│G(x)│=0

Sangat mudah untuk melihat bahwa di sisi kiri persamaan jenis ini, jumlah dari kuantitas non-negatif. Oleh karena itu, persamaan awal memiliki solusi jika dan hanya jika kedua suku secara simultan sama dengan nol. Persamaan tersebut setara dengan sistem persamaan: F(x)│+│ G(x)│=0
Contoh: №1 . Selesaikan persamaan:
Jawab: x = 2. №2. Selesaikan persamaan: Jawab: x = 1. Latihan: №21. Selesaikan persamaan: №22 . Selesaikan persamaan, dalam jawaban tulis jumlah akarnya: №23 . Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan jumlah solusi:

Bagian 8. Persamaan bentuk

Untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, metode interval digunakan. Jika diselesaikan dengan ekspansi modul secara berurutan, maka kita dapatkan n set sistem, yang sangat rumit dan tidak nyaman. Pertimbangkan algoritma metode interval: 1). Temukan Nilai Variabel X, di mana setiap modul sama dengan nol (nol ekspresi submodul):
2). Nilai yang ditemukan ditandai pada garis bilangan, yang dibagi menjadi interval (jumlah interval, masing-masing, sama dengan n+1 ) 3). Tentukan dengan tanda apa setiap modul terungkap pada setiap interval yang diperoleh (saat membuat solusi, Anda dapat menggunakan garis bilangan, menandai tanda di atasnya) 4). Persamaan asli setara dengan himpunan n+1 sistem, di mana masing-masing keanggotaan variabel ditunjukkan X salah satu interval. Contoh: №1 . Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan akar terbesar:
satu). Mari kita cari nol dari ekspresi submodul: x = 2; x = -3 2). Kami menandai nilai yang ditemukan pada garis bilangan dan menentukan dengan tanda apa setiap modul terungkap pada interval yang diperoleh:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- tidak ada solusi Persamaan memiliki dua akar. Jawaban: akar terbesar adalah x = 2. №2. Selesaikan persamaan, tulis seluruh akar dalam jawaban:
satu). Mari kita cari nol dari ekspresi submodul: x = 1,5; x = - 1 2). Kami menandai nilai yang ditemukan pada garis bilangan dan menentukan dengan tanda apa setiap modul terungkap pada interval yang diperoleh: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
Sistem terakhir tidak memiliki solusi, oleh karena itu, persamaan memiliki dua akar. Saat menyelesaikan persamaan, Anda harus memperhatikan tanda “-” di depan modul kedua. Jawaban: akar bilangan bulat x = 7. №3. Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan jumlah akar: 1). Mari kita cari nol dari ekspresi submodul: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Kami menandai nilai yang ditemukan pada garis bilangan dan menentukan dengan tanda apa setiap modul terungkap pada interval yang diperoleh: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Persamaan memiliki dua akar x = 0 dan 2. Jawabannya adalah jumlah akar-akarnya adalah 2. №4 . Selesaikan persamaan: 1). Mari kita cari nol dari ekspresi submodul: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Mari kita tentukan tanda yang dengannya setiap modul diperluas pada interval yang diperoleh. 3).
Kami menggabungkan solusi dari tiga sistem pertama. Menjawab: ; x = 5.
Latihan: №24. Selesaikan persamaan:
№25. Selesaikan persamaan, dalam jawaban tulis jumlah akarnya: №26. Selesaikan persamaan, dalam jawaban tunjukkan akar yang lebih kecil: №27. Selesaikan persamaan, berikan akar yang lebih besar dalam jawaban Anda:

Bagian 9. Persamaan yang Mengandung Beberapa Modul

Persamaan yang berisi beberapa modul mengasumsikan nilai absolut dalam ekspresi submodul. Prinsip dasar penyelesaian persamaan jenis ini adalah pengungkapan modul secara berurutan, dimulai dengan "eksternal". Dalam penyelesaiannya, teknik yang dibahas dalam bagian No. 1, No. 3 digunakan.

Contoh: №1. Selesaikan persamaan:
Jawaban: x = 1; - sebelas. №2. Selesaikan persamaan:
Jawaban: x = 0; 4; - 4. №3. Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan produk dari akar:
Jawaban: Hasil kali akar-akarnya adalah 8. №4. Selesaikan persamaan:
Nyatakan persamaan populasi (1) dan (2) dan pertimbangkan solusi masing-masing secara terpisah untuk kenyamanan desain. Karena kedua persamaan berisi lebih dari satu modul, akan lebih mudah untuk melakukan transisi ekivalen ke set sistem. (1)

(2)


Menjawab:
Latihan: №36. Pecahkan persamaan, dalam jawaban tunjukkan jumlah akarnya: 5 3x-5│ \u003d 25 x №37. Selesaikan persamaan, jika ada lebih dari satu akar, pada jawaban tunjukkan jumlah akarnya: x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Selesaikan persamaan: 3 2x -4│ \u003d 9 x│ №39. Selesaikan persamaan, pada jawaban tunjukkan jumlah akar untuk: 2 sin x = 2 №40 . Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan jumlah akar:

Bagian 3. Persamaan logaritma.

Sebelum menyelesaikan persamaan berikut, perlu ditinjau kembali sifat-sifat logaritma dan fungsi logaritma. Contoh: №1. Selesaikan persamaan, dalam jawaban tunjukkan produk akarnya: log 2 (x + 1) 2 + log 2 x + 1 \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Kasus 1: jika x - 1, maka log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – memenuhi kondisi x - 1 2 kasus: jika x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – memenuhi kondisi x - 1
Jawaban: Hasil kali akar-akarnya adalah 15.
№2. Memecahkan persamaan, dalam jawaban menunjukkan jumlah akar: lg
O.D.Z.

Jawab: jumlah akar-akarnya adalah 0,5.
№3. Selesaikan persamaan: log 5
O.D.Z.

Jawab: x = 9. №4. Selesaikan persamaan: 2 + log 0.2 x│+ 3 = 1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Mari kita gunakan rumus untuk pindah ke basis lain. 2 - log 5 x│+ 3 = 1 + log 5 x│
2 - log 5 x│- 1 + log 5 x│= - 3 Mari kita cari nol dari ekspresi submodul: x = 25; x \u003d Angka-angka ini membagi area nilai yang diizinkan menjadi tiga interval, sehingga persamaannya setara dengan totalitas tiga sistem.
Menjawab: )