Pertimbangkan persamaan kuadrat.

Mari kita tentukan akarnya.

Tidak ada bilangan real yang kuadratnya -1. Tetapi jika rumus mendefinisikan operator saya sebagai unit imajiner, maka solusi persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk . Di mana dan - bilangan kompleks, di mana -1 adalah bagian nyata, 2 atau dalam kasus kedua -2 adalah bagian imajiner. Bagian imajiner juga merupakan bilangan real (nyata). Bagian imajiner dikalikan dengan unit imajiner berarti sudah bilangan imajiner.

Secara umum, bilangan kompleks memiliki bentuk

z = x + iy ,

di mana x, y adalah bilangan real, adalah unit imajiner. Dalam sejumlah ilmu terapan, misalnya dalam teknik elektro, elektronika, teori sinyal, satuan imajiner dilambangkan dengan j. bilangan asli x = Re(z) dan y=Aku(z) ditelepon bagian nyata dan imajiner angka z. Ungkapan tersebut disebut bentuk aljabar notasi bilangan kompleks.

Setiap bilangan real adalah kasus khusus dari bilangan kompleks dalam bentuk . Bilangan imajiner juga merupakan kasus khusus dari bilangan kompleks. .

Definisi himpunan bilangan kompleks C

Ungkapan ini berbunyi sebagai berikut: set DARI, yang terdiri dari unsur-unsur sedemikian rupa sehingga x dan kamu termasuk dalam himpunan bilangan real R dan merupakan satuan imajiner. Perhatikan bahwa dll.

Dua bilangan kompleks dan adalah sama jika dan hanya jika bagian real dan imajinernya sama, yaitu dan .

Bilangan kompleks dan fungsi banyak digunakan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya dalam mekanika, analisis dan perhitungan rangkaian AC, elektronika analog, teori dan pemrosesan sinyal, teori kontrol otomatis, dan ilmu terapan lainnya.

1. Aritmatika bilangan kompleks

Penjumlahan dua bilangan kompleks terdiri dari penjumlahan bagian real dan imajinernya, mis.

Dengan demikian, perbedaan dua bilangan kompleks

Bilangan kompleks ditelepon kompleks mengkonjugasikan nomor z=x +i.y.

Bilangan konjugat kompleks z dan z * berbeda dalam tanda-tanda bagian imajiner. Jelas bahwa

.

Kesetaraan apa pun antara ekspresi kompleks tetap valid jika dalam kesetaraan ini di mana-mana saya digantikan oleh - saya, yaitu pergi ke persamaan bilangan konjugasi. angka saya dan – saya secara aljabar tidak dapat dibedakan karena .

Produk (perkalian) dua bilangan kompleks dapat dihitung sebagai berikut:

Pembagian dua bilangan kompleks:

Contoh:

1. Pesawat kompleks

Bilangan kompleks dapat direpresentasikan secara grafis dalam sistem koordinat persegi panjang. Mari kita mengatur sistem koordinat persegi panjang di pesawat (x, y).

pada poros Sapi kami akan mengatur bagian yang sebenarnya x, itu disebut sumbu nyata (nyata), pada sumbu Oy– bagian imajiner kamu bilangan kompleks. Dia menyandang nama sumbu imajiner. Selain itu, setiap bilangan kompleks sesuai dengan titik tertentu dari pesawat, dan bidang seperti itu disebut pesawat yang kompleks. titik TETAPI bidang kompleks akan sesuai dengan vektor OA.

Nomor x ditelepon absis bilangan kompleks, bilangan kamu – ordinat.

Sepasang bilangan konjugat kompleks ditampilkan sebagai titik-titik yang terletak simetris terhadap sumbu nyata.

Jika di set pesawat sistem koordinat kutub, maka setiap bilangan kompleks z ditentukan oleh koordinat kutub. Di mana modul angka adalah jari-jari kutub titik, dan sudut - sudut kutub atau argumen bilangan kompleksnya z.

Modulus bilangan kompleks selalu non-negatif. Argumen bilangan kompleks tidak didefinisikan secara unik. Nilai utama argumen harus memenuhi kondisi . Setiap titik dari bidang kompleks juga sesuai dengan nilai total argumen. Argumen yang berbeda dengan kelipatan 2π dianggap sama. Argumen angka nol tidak ditentukan.

Nilai utama argumen ditentukan oleh ekspresi:

Jelas bahwa

Di mana
, .

Representasi bilangan kompleks z sebagai

ditelepon bentuk trigonometri bilangan kompleks.

Contoh.

1. Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks

Dekomposisi dalam Seri Maclaurin untuk fungsi argumen nyata seperti:

Untuk fungsi eksponensial dari argumen kompleks z dekomposisi serupa

.

Ekspansi deret Maclaurin untuk fungsi eksponensial dari argumen imajiner dapat direpresentasikan sebagai:

Identitas yang dihasilkan disebut rumus Euler.

Untuk argumen negatif, sepertinya

Dengan menggabungkan ekspresi ini, kita dapat mendefinisikan ekspresi berikut untuk sinus dan cosinus:

.

Menggunakan rumus Euler, dari bentuk trigonometri representasi bilangan kompleks

tersedia demonstratif(eksponensial, polar) bentuk bilangan kompleks, mis. representasinya dalam bentuk

,

di mana - koordinat kutub suatu titik dengan koordinat persegi panjang ( x,kamu).

Konjugasi bilangan kompleks ditulis dalam bentuk eksponensial sebagai berikut.

Untuk bentuk eksponensial, mudah untuk menentukan rumus berikut untuk perkalian dan pembagian bilangan kompleks:

Artinya, dalam bentuk eksponensial, produk dan pembagian bilangan kompleks lebih mudah daripada dalam bentuk aljabar. Saat mengalikan, modul faktor dikalikan, dan argumen ditambahkan. Aturan ini berlaku untuk sejumlah faktor. Khususnya, ketika mengalikan bilangan kompleks z pada saya vektor z berputar berlawanan arah jarum jam sebesar 90

Dalam pembagian, modulus pembilang dibagi dengan modulus penyebut, dan argumen penyebut dikurangi dari argumen pembilang.

Menggunakan bentuk eksponensial bilangan kompleks, seseorang dapat memperoleh ekspresi untuk identitas trigonometri yang terkenal. Misalnya, dari identitas

menggunakan rumus Euler, kita dapat menulis

Menyamakan bagian nyata dan imajiner dalam ekspresi ini, kami memperoleh ekspresi untuk kosinus dan sinus dari jumlah sudut

1. Pangkat, akar, dan logaritma bilangan kompleks

Menaikkan bilangan kompleks menjadi kekuatan alami n diproduksi sesuai dengan rumus

Contoh. Menghitung .

Bayangkan sebuah angka dalam bentuk trigonometri

’

Menerapkan rumus eksponensial, kita mendapatkan

Menempatkan nilai dalam ekspresi r= 1, kita mendapatkan apa yang disebut rumus De Moivre, yang dengannya Anda dapat menentukan ekspresi untuk sinus dan cosinus dari berbagai sudut.

Akar n pangkat dari bilangan kompleks z Memiliki n nilai yang berbeda ditentukan oleh ekspresi

Contoh. Mari kita temukan.

Untuk melakukan ini, kami menyatakan bilangan kompleks () ke bentuk trigonometri

.

Menurut rumus untuk menghitung akar bilangan kompleks, kita mendapatkan

Logaritma bilangan kompleks z adalah angka w, untuk yang . Logaritma natural dari bilangan kompleks memiliki jumlah nilai yang tak terbatas dan dihitung dengan rumus

Terdiri dari bagian real (cosinus) dan imajiner (sinus). Tegangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai vektor panjang Um, fase awal (sudut), berputar dengan kecepatan sudut ω .

Selain itu, jika fungsi kompleks ditambahkan, maka bagian real dan imajinernya ditambahkan. Jika fungsi kompleks dikalikan dengan konstanta atau fungsi real, maka bagian real dan imajinernya dikalikan dengan faktor yang sama. Diferensiasi/integrasi fungsi kompleks seperti itu direduksi menjadi diferensiasi/integrasi bagian nyata dan imajiner.

Misalnya, diferensiasi ekspresi stres kompleks

adalah mengalikannya dengan iω adalah bagian real dari fungsi f(z), dan adalah bagian imajiner dari fungsi. Contoh: .

Arti z diwakili oleh sebuah titik di bidang z kompleks, dan nilai yang sesuai w- sebuah titik di bidang kompleks w. Saat ditampilkan w = f(z) garis pesawat z melewati garis pesawat w, figur satu bidang menjadi figur bidang lainnya, tetapi bentuk garis atau figur dapat berubah secara signifikan.