Biarkan dua pesawat diberikan

Bidang pertama memiliki vektor normal (A 1; B 1; C 1), bidang kedua (A 2; B 2; C 2).

Jika bidang-bidang itu sejajar, maka vektor-vektornya dan kolinear, mis. = l untuk beberapa nomor l. Jadi

kondisi paralelisme pesawat.

Kondisi kebetulan pesawat:

,

karena dalam kasus ini, mengalikan persamaan kedua dengan l = , kita memperoleh persamaan pertama.

Jika kondisi paralelisme tidak terpenuhi, maka bidang-bidang tersebut berpotongan. Khususnya, jika bidang-bidang itu tegak lurus, maka vektor-vektornya juga tegak lurus. Oleh karena itu, produk skalar mereka sama dengan 0, yaitu = 0, atau

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0.

Ini adalah kondisi perlu dan cukup agar bidang tegak lurus.

Sudut antara dua bidang.

Sudut antara dua bidang

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

adalah sudut antara vektor normal dan , jadi

cos = =
.

garis lurus dalam ruang.

Persamaan vektor-parametrik dari garis lurus.

Definisi. Arah vektor lurus Setiap vektor yang terletak pada garis atau sejajar dengan itu disebut.

Buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik M 0 (x 0; y 0; z 0) dan memiliki vektor arah = (a 1; a 2; a 3).

Sisihkan dari titik M 0 vektor . Misalkan M(x; y; z) adalah titik sembarang dari garis yang diberikan, dan jari-jarinya-vektor titik 0 . Kemudian , , Itu sebabnya . Persamaan ini disebut persamaan vektor-parametrik garis lurus.

Persamaan parametrik garis lurus.

Dalam persamaan vektor-parametrik garis lurus akan lolos ke hubungan koordinat (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. Dari sini kita mendapatkan persamaan parametrik garis lurus

x \u003d x 0 + a 1 t,

y = y 0 + a 2 t, (4)

Persamaan kanonik garis lurus.

Dari persamaan (4) kita nyatakan t:

t = , t = , t = ,

di mana kita mendapatkan persamaan kanonik garis

= = (5)

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Biarkan dua titik M 1 (x 1; y 1; z 1) dan M 2 (x 2; y 2; z 2) diberikan. Sebagai vektor pengarah garis lurus, Anda dapat mengambil vektor = (x 2 - x 1; y 2 ​​- y 1; z 2 - z 1). Karena garis melalui titik M 1 (x 1; y 1; z 1), maka persamaan kanoniknya sesuai dengan (5) akan ditulis dalam bentuk

(6)

Sudut antara dua garis.

Perhatikan dua garis lurus dengan vektor arah = (a 1; a 2; a 3) dan .

Sudut antar garis sama dengan sudut antara vektor arahnya, jadi

cos = =
(7)

Syarat tegak lurus garis:

a 1 dalam 1 + a 2 dalam 2 + a 3 dalam 3 = 0.

Kondisi garis sejajar:

aku,

. (8)

Susunan garis bersama dalam ruang.

Biarkan dua baris diberikan
dan
.

Jelas, garis terletak pada bidang yang sama jika dan hanya jika vektor , dan koplanar, yaitu

= 0 (9)

Jika pada (9) dua baris pertama sebanding, maka kedua garis tersebut sejajar. Jika ketiga garis itu proporsional, maka garis-garis itu berimpit. Jika kondisi (9) terpenuhi dan dua baris pertama tidak proporsional, maka garis-garis tersebut berpotongan.

Jika
0, maka garis miring.

Masalah pada garis lurus dan bidang di ruang angkasa.

Garis lurus adalah perpotongan dua bidang.

Biarkan dua pesawat diberikan

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

Jika bidang-bidang tersebut tidak sejajar, maka syarat tersebut dilanggar

.

Misalkan, .

Mari kita cari persamaan garis lurus di mana bidang-bidang berpotongan.

Sebagai vektor arah dari garis lurus yang diinginkan, kita dapat mengambil vektor

= × = =
.

Untuk menemukan titik milik garis yang diinginkan, kami memperbaiki beberapa nilai

z = z 0 dan menyelesaikan sistem

,

kami mendapatkan nilai \u200b\u200bx \u003d x 0, y \u003d y 0. Jadi, titik yang diinginkan adalah M (x 0; y 0; z 0).

persamaan yang diperlukan

.

Susunan bersama antara garis lurus dan bidang.

Misalkan garis lurus x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t diberikan

dan pesawat

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0.

Untuk menemukan titik persekutuan garis dan bidang, perlu diselesaikan sistem persamaannya

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Jika A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 0, maka sistem tersebut memiliki solusi unik

t = t 0 = -
.

Dalam hal ini, garis dan bidang berpotongan di satu titik M 1 (x 1; y 1; z 1), di mana

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0.

Jika A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 0, maka garis dan bidang tidak memiliki titik persekutuan , yaitu . paralel.

Jika A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 \u003d 0, maka garis tersebut termasuk dalam bidang.

Sudut antara garis dan bidang.

Susunan bersama bidang-bidang di ruang angkasa

Dengan pengaturan timbal balik dari dua bidang di ruang angkasa, salah satu dari dua kasus yang saling eksklusif dimungkinkan.

1. Dua pesawat memiliki titik yang sama. Kemudian, dengan aksioma perpotongan dua bidang, mereka memiliki garis yang sama. Aksioma R5 mengatakan: jika dua bidang memiliki titik yang sama, maka perpotongan bidang ini adalah garis persekutuannya. Dari aksioma ini dapat disimpulkan bahwa untuk bidang-bidang bidang seperti itu disebut berpotongan.

Kedua pesawat tidak memiliki titik yang sama.

3. Dua pesawat bertepatan

3. Vektor di pesawat dan di luar angkasa

Vektor adalah segmen garis berarah. Panjangnya dianggap sebagai panjang segmen. Jika dua titik M1 (x1, y1, z1) dan M2 (x2, y2, z2) diberikan, maka vektor

Jika dua vektor diberikan dan kemudian

1. Panjang vektor

2. Jumlah vektor:

3. Jumlah dua vektor a dan b adalah diagonal jajar genjang yang dibangun di atas vektor-vektor ini, yang berasal dari titik umum penerapannya (aturan jajar genjang); atau vektor yang menghubungkan awal vektor pertama dengan akhir vektor terakhir - menurut aturan segitiga. Jumlah dari tiga vektor a, b, c adalah diagonal dari parallelepiped yang dibangun di atas vektor-vektor ini (aturan dari parallelepiped).

Mempertimbangkan:

• 1. Titik asal koordinat berada di titik A;
• 2. Sisi kubus adalah satu ruas.
• 3. Kami mengarahkan sumbu OX di sepanjang tepi AB, OY di sepanjang tepi AD, dan sumbu OZ di sepanjang tepi AA1.

Untuk bidang bawah kubus

def. Dua bidang di ruang angkasa dikatakan sejajar jika mereka tidak berpotongan, jika tidak mereka berpotongan.

Teorema1: Jika dua garis berpotongan dari satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis pada bidang lain, maka bidang-bidang ini sejajar.

Bukti:

Membiarkan dan diberikan pesawat, a1 dan a2 - garis di pesawat berpotongan di titik A, b1 dan b2 - garis sejajar dengan mereka masing-masing di

pesawat. Mari kita asumsikan bahwa bidang dan tidak sejajar, mis. berpotongan sepanjang beberapa garis. Berdasarkan teorema, garis a1 dan a2, yang sejajar dengan garis b1 dan b2, sejajar dengan bidang, dan oleh karena itu tidak

memotong garis c yang terletak di bidang ini. Jadi, dua garis lurus (a1 dan a2) melalui titik A pada bidang yang sejajar dengan garis c. Tapi ini tidak mungkin menurut aksioma paralel. Kami telah sampai pada kontradiksi CTD.

Pesawat tegak lurus: Dua bidang yang berpotongan disebut tegak lurus jika bidang ketiga, yang tegak lurus terhadap garis perpotongan bidang-bidang ini, memotongnya sepanjang garis tegak lurus.

Teorema2: Jika sebuah bidang melewati garis yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.

Bukti:

Membiarkan menjadi sebuah pesawat, menjadi garis tegak lurus terhadapnya, menjadi sebuah pesawat yang melewati garis , c menjadi garis di mana pesawat dan berpotongan. Mari kita buktikan bahwa bidang dan tegak lurus. Mari kita menggambar bidang melalui titik perpotongan garis di dengan bidang garis a,

tegak lurus terhadap garis lurus. Mari kita menggambar melalui garis a dan ke dalam bidang. Garis ini tegak lurus dengan garis c, karena garis c tegak lurus dengan garis a dan b. Karena garis a dan b tegak lurus, maka bidang dan garis tegak lurus. h.t.d.

42. Persamaan normal bidang dan sifat-sifatnya

Persamaan bidang normal (dinormalisasi)

dalam bentuk vektor:

di mana adalah vektor satuan, adalah jarak P. dari titik asal. Persamaan (2) dapat diperoleh dari persamaan (1) dengan mengalikan dengan faktor normalisasi

(tanda dan sebaliknya).

43. Persamaan garis lurus dalam ruang: Persamaan umum, persamaan kanonik dan parametrik.

Persamaan kanonik:

Kami menurunkan persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu dan sejajar dengan vektor arah tertentu. Perhatikan bahwa suatu titik terletak pada garis ini jika dan hanya jika vektor-vektor dan kolinear. Ini berarti bahwa koordinat vektor-vektor ini proporsional:

Persamaan ini disebut kanonik. Perhatikan bahwa satu atau dua koordinat vektor arah mungkin nol. Tapi kami melihatnya sebagai proporsi: kami memahaminya sebagai kesetaraan.

Persamaan Umum:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

Dimana koefisien A1-C1 tidak sebanding dengan A2-C2, yang setara dengan pengaturannya sebagai garis perpotongan bidang

Parametrik:

Menunda dari vektor titik untuk nilai yang berbeda, sejajar dengan vektor pengarah, kita akan mendapatkan titik yang berbeda dari garis lurus kita di akhir vektor yang ditunda. Dari persamaan berikut ini:

Variabel itu disebut parameter. Karena untuk setiap titik garis ada nilai parameter yang sesuai dan karena titik garis yang berbeda sesuai dengan nilai parameter yang berbeda, ada korespondensi satu-ke-satu antara nilai parameter dan titik-titik garis . Ketika parameter berjalan melalui semua bilangan real dari ke, titik yang sesuai berjalan melalui seluruh baris.

44. Konsep ruang linier. Aksioma. Contoh Ruang Linier

Contoh ruang linier adalah himpunan semua vektor geometri.

Linier, atau vektorruang angkasa di atas lapangan P- ini adalah set yang tidak kosong L, di mana operasi diperkenalkan

penambahan, yaitu, setiap pasangan elemen dari himpunan dikaitkan dengan elemen dari himpunan yang sama, dilambangkan dengan

perkalian dengan skalar (yaitu, elemen medan P), yaitu, elemen apa pun dan elemen apa pun akan dicocokkan dengan elemen dari, dilambangkan.

Dalam hal ini, kondisi berikut dikenakan pada operasi:

Untuk apapun ( komutatif penjumlahan);

Untuk apapun ( asosiatif tambahan);

ada elemen sedemikian rupa sehingga untuk setiap ( keberadaan elemen netral sehubungan dengan penambahan), secara khusus L tidak kosong;

untuk setiap ada elemen sedemikian rupa sehingga (adanya elemen yang berlawanan).

(asosiatif perkalian dengan skalar);

(perkalian dengan elemen medan netral (dengan perkalian)Pmenyimpan vektor).

(distributivitas perkalian dengan vektor terhadap penambahan skalar);

(distributivitas perkalian dengan skalar terhadap penjumlahan vektor).

Tetapkan elemen L ditelepon vektor, dan elemen bidang P-skalar. Properti 1-4 bertepatan dengan aksioma grup abelian.

Sifat paling sederhana

Ruang vektor adalah grup abelian dengan penjumlahan.

Unsur netral adalah satu-satunya yang dihasilkan dari sifat-sifat golongan.

untuk siapa pun.

Untuk setiap elemen yang berlawanan adalah satu-satunya yang mengikuti dari properti grup.

untuk siapa pun.

untuk apa saja dan

untuk siapa pun.

Unsur-unsur ruang linier disebut vektor. Suatu ruang disebut real jika operasi perkalian vektor dengan suatu bilangan di dalamnya didefinisikan hanya untuk bilangan real, dan kompleks jika operasi ini didefinisikan hanya untuk bilangan kompleks.

45. Dasar dan dimensi ruang linier, hubungan di antara mereka.

Jumlah tampilan akhir

disebut kombinasi linier elemen-elemen dengan koefisien.

Kombinasi linier disebut nontrivial jika setidaknya salah satu koefisiennya bukan nol.

Unsur-unsur disebut tak bebas linier jika ada kombinasi linier tak-sepele dari mereka yang sama dengan . Jika tidak, elemen-elemen ini disebut bebas linier.

Suatu himpunan bagian tak hingga dari vektor-vektor dari L disebut bergantung linier jika beberapa himpunan bagian berhingga darinya bergantung linier, dan bebas linier jika salah satu himpunan bagian hingganya bebas linier.

Jumlah elemen (kardinalitas) dari subset bebas linier maksimum dari ruang tidak bergantung pada pilihan subset ini dan disebut rank, atau dimensi, dari ruang, dan subset ini sendiri disebut basis (basis Hamel). atau basis linier). Elemen basis disebut juga vektor basis. Properti dasar:

Setiap n elemen bebas linier dari ruang n-dimensi membentuk basis dari ruang ini.

Setiap vektor dapat direpresentasikan (unik) sebagai kombinasi linier hingga elemen dasar:

46. ​​Koordinat vektor dalam basis tertentu. Operasi linier dengan vektor dalam bentuk koordinat

butir 4. Operasi linier dengan vektor dikoordinatmembentukcatatan.

Membiarkan menjadi ruang basis dan menjadi dua vektor arbitrernya. Membiarkan dan menjadi representasi dari vektor-vektor ini dalam bentuk koordinat. Biarkan, lebih lanjut, menjadi bilangan real arbitrer. Dalam notasi ini, teorema berikut berlaku.

Dalil. (Pada operasi linier dengan vektor dalam bentuk koordinat.)

Biarkan Ln menjadi ruang n-dimensi sewenang-wenang, B = (e1,….,en) menjadi basis tetap di dalamnya. Maka setiap vektor x milik Ln memiliki korespondensi satu-satu dengan kolom koordinatnya dalam basis ini.

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk keberhasilan ujian matematika dengan 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 dari Profil GUNAKAN dalam matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan, dan rahasia ujian. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Masalah teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Trik licik untuk memecahkan, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual dari konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks dari bagian ke-2 ujian.

Untuk dua bidang, varian pengaturan timbal balik berikut dimungkinkan: mereka sejajar atau berpotongan dalam garis lurus.

Dari stereometri diketahui bahwa dua bidang sejajar jika dua garis berpotongan dari satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis berpotongan dari bidang lainnya. Kondisi ini disebut tanda bidang sejajar.

Jika dua bidang sejajar, maka mereka memotong beberapa bidang ketiga sepanjang garis paralel. Berdasarkan ini, bidang paralel R dan Q jejak mereka adalah garis lurus paralel (Gbr. 50).

Ketika dua pesawat R dan Q sejajar sumbu X, jejak horizontal dan frontal mereka dengan pengaturan timbal balik yang sewenang-wenang dari bidang akan sejajar dengan sumbu x, yaitu, saling sejajar. Akibatnya, di bawah kondisi seperti itu, paralelisme jejak adalah tanda yang cukup yang mencirikan paralelisme bidang itu sendiri. Untuk paralelisme bidang semacam itu, Anda perlu memastikan bahwa jejak profilnya juga paralel. P w dan Q w. pesawat terbang R dan Q pada gambar 51 sejajar, dan pada gambar 52 mereka tidak sejajar, meskipun faktanya P v || Q v , dan P h y || Q h .

Dalam kasus ketika bidang-bidang sejajar, horizontal satu bidang sejajar dengan bidang horizontal lainnya. Dalam hal ini, bagian depan satu bidang harus sejajar dengan bagian depan yang lain, karena bidang-bidang ini memiliki jejak paralel dengan nama yang sama.

Untuk membangun dua bidang yang berpotongan satu sama lain, perlu untuk menemukan garis di mana kedua bidang tersebut berpotongan. Untuk membangun garis ini, cukup dengan menemukan dua titik miliknya.

Kadang-kadang, ketika bidang diberikan oleh jejak, mudah untuk menemukan titik-titik ini menggunakan diagram dan tanpa konstruksi tambahan. Di sini, arah garis lurus yang ditentukan diketahui, dan konstruksinya didasarkan pada penggunaan satu titik pada diagram.

Akhir pekerjaan -

Topik ini milik:

Geometri deskriptif. Kuliah catatan kuliah. Tentang proyeksi

Informasi kuliah tentang proyeksi konsep proyeksi membaca gambar .. proyeksi pusat .. ide proyeksi pusat dapat diperoleh dengan mempelajari gambar yang diberikan mata manusia ..

Jika Anda memerlukan materi tambahan tentang topik ini, atau Anda tidak menemukan apa yang Anda cari, kami sarankan untuk menggunakan pencarian di database karya kami:

Apa yang akan kami lakukan dengan materi yang diterima:

Jika materi ini ternyata bermanfaat bagi Anda, Anda dapat menyimpannya ke halaman Anda di jejaring sosial:

menciak

Semua topik di bagian ini:

Konsep proyeksi
Geometri deskriptif adalah ilmu yang menjadi landasan teori menggambar. Dalam ilmu ini, metode penggambaran berbagai benda dan unsur-unsurnya pada sebuah bidang dipelajari.

Proyeksi paralel
Proyeksi paralel adalah jenis proyeksi yang menggunakan sinar proyeksi paralel. Saat membuat proyeksi paralel, Anda harus mengaktifkan

Proyeksi suatu titik pada dua bidang proyeksi
Pertimbangkan proyeksi titik ke dua bidang, di mana kami mengambil dua bidang tegak lurus (Gbr. 4), yang akan kami sebut frontal dan bidang horizontal. Garis persimpangan data datar

Sumbu proyeksi tidak ada
Untuk menjelaskan cara memperoleh proyeksi model suatu titik pada bidang proyeksi tegak lurus (Gbr. 4), perlu diambil selembar kertas tebal berbentuk persegi panjang memanjang. Itu perlu ditekuk di antara

Proyeksi suatu titik ke tiga bidang proyeksi
Pertimbangkan bidang profil proyeksi. Proyeksi pada dua bidang tegak lurus biasanya menentukan posisi gambar dan memungkinkan untuk mengetahui dimensi dan bentuk sebenarnya. Tapi ada kalanya

Koordinat titik
Posisi suatu titik dalam ruang dapat ditentukan dengan menggunakan tiga angka, yang disebut koordinatnya. Setiap koordinat sesuai dengan jarak suatu titik dari beberapa bidang pr

Proyeksi garis lurus
Dua titik diperlukan untuk menentukan garis. Sebuah titik didefinisikan oleh dua proyeksi pada bidang horizontal dan frontal, yaitu garis lurus didefinisikan dengan menggunakan proyeksi dua titiknya pada bidang horizontal.

Jejak lurus
Jejak garis lurus adalah titik perpotongannya dengan beberapa bidang atau permukaan (Gbr. 20). Jejak horizontal suatu garis adalah titik H

Berbagai posisi garis
Suatu garis disebut garis dalam kedudukan umum jika garis itu tidak sejajar atau tegak lurus terhadap suatu bidang proyeksi. Proyeksi garis pada posisi umum juga tidak sejajar atau tegak lurus.

Susunan timbal balik dari dua garis lurus
Tiga kasus pengaturan garis dalam ruang dimungkinkan: 1) garis berpotongan, yaitu memiliki titik yang sama; 2) garis-garisnya sejajar, yaitu tidak memiliki titik yang sama, tetapi terletak pada bidang yang sama

Garis tegak lurus
Pertimbangkan teorema: jika satu sisi sudut siku-siku sejajar dengan bidang proyeksi (atau terletak di dalamnya), maka sudut siku-siku diproyeksikan ke bidang ini tanpa distorsi. Kami menyajikan bukti untuk

Penentuan posisi pesawat
Untuk bidang proyeksi yang terletak sewenang-wenang, titik-titiknya memenuhi ketiga bidang proyeksi. Oleh karena itu, tidak masuk akal untuk berbicara tentang proyeksi seluruh bidang, Anda hanya perlu mempertimbangkan proyeksi

Jejak pesawat
Jejak bidang P adalah garis perpotongannya dengan bidang atau permukaan tertentu (Gbr. 36). Garis potong bidang P dengan bidang mendatar disebut

Kontur dan bagian depan bidang
Di antara garis-garis yang terletak pada bidang tertentu, dua kelas garis dapat dibedakan, yang memainkan peran penting dalam memecahkan berbagai masalah. Ini adalah garis lurus, yang disebut horizontal.

Konstruksi jejak pesawat
Pertimbangkan konstruksi jejak bidang P, yang diberikan oleh sepasang garis berpotongan I dan II (Gbr. 45). Jika sebuah garis berada di bidang P, maka jejaknya terletak pada jejak dengan nama yang sama

Berbagai posisi pesawat
Bidang dalam posisi umum adalah bidang yang tidak sejajar atau tegak lurus terhadap salah satu bidang proyeksi. Jejak bidang semacam itu juga tidak sejajar atau tegak lurus.

Garis lurus sejajar bidang
Ada beberapa posisi garis lurus relatif terhadap bidang tertentu. 1. Garis terletak pada suatu bidang. 2. Sebuah garis sejajar dengan suatu bidang. 3. Transfer langsung

Garis lurus yang memotong bidang
Untuk menemukan titik potong garis dan bidang, perlu untuk membuat garis perpotongan dua bidang. Perhatikan garis I dan bidang P (Gbr. 54).

Prisma dan piramida
Pertimbangkan sebuah prisma lurus yang berdiri pada bidang horizontal (Gbr. 56). Biji-bijian sampingannya

Silinder dan kerucut
Silinder adalah sosok yang permukaannya diperoleh dengan memutar garis lurus m di sekitar sumbu-i, yang terletak di bidang yang sama dengan garis lurus ini. Dalam kasus ketika garis m

Bola, torus, dan cincin
Ketika beberapa sumbu rotasi I adalah diameter lingkaran, maka permukaan bola diperoleh (Gbr. 66).

Garis yang digunakan dalam menggambar
Tiga jenis garis utama (padat, putus-putus dan putus-putus) dengan berbagai ketebalan digunakan dalam menggambar (Gbr. 76).

Lokasi tampilan (proyeksi)
Dalam menggambar, enam jenis digunakan, yang ditunjukkan pada Gambar 85. Gambar tersebut menunjukkan proyeksi huruf "L".

Penyimpangan dari aturan di atas untuk pengaturan tampilan
Dalam beberapa kasus, penyimpangan dari aturan untuk membuat proyeksi diperbolehkan. Di antara kasus-kasus ini, berikut ini dapat dibedakan: tampilan parsial dan tampilan yang terletak tanpa koneksi proyeksi dengan tampilan lain.

Jumlah proyeksi yang mendefinisikan tubuh ini
Posisi benda dalam ruang, bentuk dan ukuran biasanya ditentukan oleh sejumlah kecil titik yang dipilih dengan tepat. Jika, ketika menggambarkan proyeksi tubuh, perhatikan

Rotasi suatu titik terhadap sumbu yang tegak lurus bidang proyeksi
Gambar 91 menunjukkan sumbu rotasi I, yang tegak lurus terhadap bidang horizontal, dan titik A yang terletak di ruang angkasa.Ketika berputar terhadap sumbu I, titik ini menjelaskan

Penentuan panjang alami segmen dengan rotasi
Segmen yang sejajar dengan bidang proyeksi apa pun diproyeksikan ke atasnya tanpa distorsi. Jika Anda memutar segmen sehingga menjadi sejajar dengan salah satu bidang proyeksi, maka Anda dapat menentukan

Konstruksi proyeksi gambar bagian dapat dilakukan dengan dua cara:
1. Anda dapat menemukan titik pertemuan tepi polihedron dengan bidang potong, dan kemudian menghubungkan proyeksi titik-titik yang ditemukan. Sebagai hasilnya, proyeksi poligon yang diinginkan akan diperoleh. Pada kasus ini,

Piramida
Gambar 98 menunjukkan perpotongan permukaan piramida dengan bidang proyeksi frontal P. Gambar 98b menunjukkan proyeksi frontal a dari pertemuan rusuk KS dengan bidang

bagian miring
Penampang miring dipahami sebagai serangkaian tugas untuk membangun tipe alami bagian tubuh yang dipertimbangkan oleh bidang proyeksi. Untuk melakukan bagian miring, perlu untuk memotong-motong

Hiperbola sebagai bagian dari permukaan kerucut oleh bidang frontal
Misalkan diperlukan untuk membuat bagian permukaan kerucut yang berdiri pada bidang horizontal oleh bidang P, yang sejajar dengan bidang V. Gambar 103 menunjukkan bagian depan

Bagian permukaan silinder
Ada kasus-kasus berikut dari bagian permukaan silinder lingkaran siku-siku oleh sebuah bidang: 1) lingkaran, jika bidang potong P tegak lurus terhadap sumbu silinder, dan sejajar dengan alasnya

Bagian permukaan kerucut
Dalam kasus umum, permukaan kerucut melingkar mencakup dua rongga yang benar-benar identik yang memiliki simpul yang sama (Gbr. 107c). Generator satu rongga adalah kelanjutan dari

Bagian permukaan bola
Setiap bagian dari permukaan bola dengan bidang adalah lingkaran, yang diproyeksikan tanpa distorsi hanya jika bidang pemotongan sejajar dengan bidang proyeksi. Dalam kasus umum, kita

bagian miring
Biarkan diperlukan untuk membangun tampilan alami bagian dengan bidang tubuh yang menonjol ke depan. Gambar 110a menganggap tubuh dibatasi oleh tiga permukaan silinder (1, 3 dan 6), permukaan

Piramida
Untuk menemukan jejak garis lurus pada permukaan beberapa benda geometris, Anda perlu menggambar melalui bidang bantu lurus, lalu temukan bagian permukaan benda dengan bidang ini. Yang diinginkan akan

Heliks silinder
Pembentukan heliks. Perhatikan Gambar 113a di mana titik M bergerak beraturan sepanjang lingkaran tertentu, yang merupakan bagian dari silinder melingkar oleh bidang P. Di sini bidang ini

Dua badan revolusi
Metode menggambar bidang bantu digunakan saat membuat garis perpotongan permukaan dua benda revolusi. Inti dari metode ini adalah sebagai berikut. Lakukan pesawat bantu

Bagian
Ada beberapa definisi dan aturan yang berlaku untuk bagian. Bagian adalah sosok datar yang diperoleh sebagai hasil dari perpotongan tubuh tertentu dengan beberapa

pemotongan
Definisi dan aturan yang berlaku untuk pemotongan. Potongan adalah bayangan bersyarat suatu objek ketika bagiannya terletak di antara mata pengamat dan bidang potong

Potongan atau robekan sebagian
Potongan disebut lengkap jika objek yang digambarkan dipotong seluruhnya, potongan yang tersisa disebut sebagian, atau potongan. Pada Gambar 120, pada tampak kiri dan pada denah, bagian penuh dibuat. gaya rambut