Bagaimana garis bagi membagi sisi yang berlawanan. Apa garis bagi segitiga: sifat-sifat yang terkait dengan rasio aspek

Sorokina Vika

Bukti sifat-sifat garis bagi segitiga diberikan dan penerapan teori untuk memecahkan masalah dipertimbangkan.

Unduh:

Pratinjau:

Komite Pendidikan Administrasi Saratov, Lembaga Pendidikan Otonom Kota Oktyabrsky Lyceum No. 3 dinamai. A.S. Pushkin.

Ilmiah dan Praktis Kota

konferensi

"Langkah pertama"

Tema: Bisektor dan sifat-sifatnya.

Pekerjaan itu diselesaikan oleh: seorang siswa kelas 8

Sorokina VictoriaPembimbing: Guru matematika kategori tertinggiPopova Nina Fyodorovna

Saratov 2011

  1. Halaman judul………………………………………………………………1
  2. Isi ………………………………………………………………………2
  3. Pendahuluan dan tujuan………………………………………………………... ..3
  4. Pertimbangan sifat-sifat garis bagi
  • Lokus poin ketiga………………………………….3
  • Teorema 1……………………………………………………………………….4
  • Teorema 2………………………………………………………………………4
  • Sifat utama garis bagi segitiga:
  1. Teorema 3………………………………………………………………………4
  2. Tugas 1……………………………………………………………… ….7
  3. Tugas 2……………………………………………………………….8
  4. Tugas 3……………………………………………………………………….9
  5. Tugas 4……………………………………………………………….9-10
  • Teorema 4 ………………………………………………………… 10-11
  • Rumus untuk mencari garis bagi:
  1. Teorema 5……………………………………………………………….11
  2. Teorema 6……………………………………………………………….11
  3. Teorema 7……………………………………………………………….12
  4. Tugas 5……………………………………………………………… 12-13
  • Teorema 8……………………………………………………………….13
  • Tugas 6……………………………………………………………………….14
  • Tugas 7………………………………………………………………14-15
  • Penentuan menggunakan garis-bagi dari titik mata angin………………15
  1. Kesimpulan dan kesimpulan………………………………………………..15
  2. Daftar literatur yang digunakan ………………………………..16

Bisektris

Dalam pelajaran geometri, mempelajari topik segitiga sebangun, saya bertemu dengan masalah pada teorema tentang rasio garis bagi sisi yang berlawanan. Tampaknya mungkin ada sesuatu yang menarik dalam topik garis-bagi, tetapi topik ini menarik minat saya, dan saya ingin mempelajarinya lebih dalam. Bagaimanapun, garis-bagi sangat kaya dengan sifat-sifatnya yang luar biasa yang membantu memecahkan berbagai masalah.

Saat mempertimbangkan topik ini, Anda dapat melihat bahwa buku teks geometri mengatakan sangat sedikit tentang sifat-sifat garis bagi, dan dalam ujian, mengetahuinya, Anda dapat memecahkan masalah dengan lebih mudah dan lebih cepat. Selain itu, untuk lulus GIA dan Ujian Negara Terpadu, siswa modern sendiri perlu mempelajari materi tambahan untuk kurikulum sekolah. Itu sebabnya saya memutuskan untuk mempelajari topik garis-bagi secara lebih rinci.

Bisector (dari bahasa Latin bi- “ganda”, dan sectio "pemotongan") dari suatu sudut - sinar dengan awal di titik sudut, membagi sudut menjadi dua bagian yang sama. Garis bagi suatu sudut (bersama dengan perpanjangannya) adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut (atau perpanjangannya)

Lokus poin ketiga

Gambar F adalah tempat kedudukan poin (kumpulan poin) yang memiliki beberapa properti TETAPI, jika dua kondisi terpenuhi:

  1. dari fakta bahwa titik tersebut milik gambar F, maka ia memiliki properti TETAPI;
  2. dari fakta bahwa poin memenuhi properti TETAPI, maka itu milik gambar F.

Tempat kedudukan titik-titik pertama yang dipertimbangkan dalam geometri adalah lingkaran, mis. tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari satu titik tetap. Yang kedua adalah garis-bagi tegak lurus dari segmen, yaitu. tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari ujung suatu ruas. Dan akhirnya, yang ketiga - garis-bagi - tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi sudut

Teorema 1:

Titik-titik garis bagi sama jauhnya dari sisi-sisinya dia sudut.

Bukti:

Biarkan P - titik potong TETAPI. Jatuh dari titikR tegak lurus RV dan PC per sudut samping. Maka VAR = SAR sisi miring dan sudut lancip. Jadi, RV = PC

Teorema 2:

Jika titik P berjarak sama dari sisi sudut A, maka titik tersebut terletak pada garis bagi.

Bukti: = PC => = AP => BAP= CAP => adalah garis bagi.

Di antara fakta geometris dasar harus dikaitkan teorema bahwa garis bagi membagi sisi yang berlawanan dalam kaitannya dengan sisi yang berlawanan. Fakta ini telah lama berada dalam bayang-bayang, tetapi di mana-mana ada masalah yang jauh lebih mudah dipecahkan jika Anda mengetahui ini dan fakta lain tentang garis-bagi. Saya menjadi tertarik, dan saya memutuskan untuk menjelajahi properti garis-bagi ini lebih dalam.

Sifat dasar garis bagi sudut segitiga

Teorema 3. Garis bagi membagi sisi yang berlawanan dari segitiga dalam kaitannya dengan sisi-sisi yang berdekatan.

Bukti 1:

Diberikan: AL- garis bagi segitiga ABC

Membuktikan:

Bukti: Misalkan F - titik potong garis AL dan garis yang melalui suatu titik PADA sejajar dengan sisi AC.

Maka BFA = FAC = BAF. Oleh karena itu BAF sama kaki dan AB = BF. Dari persamaan segitiga ALC dan FLB yang kami miliki

perbandingan

di mana

Bukti 2

Misalkan F adalah titik yang berpotongan dengan garis AL dan garis yang melalui titik C sejajar dengan alas AB. Kemudian Anda dapat mengulangi alasannya.

Bukti 3

Misalkan K dan M adalah alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan pada garis AL dari titik B dan C masing-masing. Segitiga ABL dan ACL sebangun pada dua sudut. Itu sebabnya
. Dan dari kesamaan BKL dan CML yang kami miliki

Dari sini

Bukti 4

Mari kita gunakan metode area. Hitung luas segitiga ABL dan ACL dua arah.

Dari sini.

Bukti 5

Misalkan = BAC,φ= BLA. Dengan teorema sinus dalam segitiga ABL

Dan pada segitiga ACL.

Karena ,

Kemudian, membagi kedua bagian persamaan dengan bagian yang bersesuaian dari yang lain, kita dapatkan.

Tugas 1


Diberikan: Pada segitiga ABC, VC adalah garis bagi, BC=2, KS=1,

Larutan:

Tugas 2

Diberikan:

Hitunglah garis bagi sudut lancip pada segitiga siku-siku dengan kaki 24 dan 18

Larutan:

Misalkan kaki AC = 18, kaki BC = 24,

SAYA adalah garis bagi segitiga.

Dengan teorema Pythagoras, kita temukan

bahwa AB = 30.

Dari dulu

Demikian pula, kami menemukan garis bagi kedua.

Menjawab:

Tugas 3

Dalam segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku B garis bagi sudut SEBUAH menyilang sisi SM

Di titik D Diketahui BD = 4, DC = 6.

Cari luas segitiga ADC

Larutan:

Berdasarkan sifat garis bagi segitiga

Dilambangkan AB = 2 x , AC = 3 x . Dengan teorema

Pythagoras BC 2 + AB 2 = AC 2, atau 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Dari sini kita menemukan bahwa x = Maka AB = , S ABC=

Akibatnya,

Tugas 4

Diberikan:

Dalam segitiga sama kaki ABC samping AB sama dengan 10, basis ACnya 12.

Pembagi sudut A dan C berpotongan di suatu titik D. Temukan BD.

Larutan:

Karena garis-bagi segitiga berpotongan di

Satu titik, maka BD adalah garis bagi B. Mari kita lanjutkan BD ke persimpangan dengan AC di titik M. Maka M adalah titik tengah AC , BM AC . Itu sebabnya

Karena CD - garis bagi segitiga BMC kemudian

Akibatnya,.

Menjawab:

Teorema 4 . Tiga garis bagi segitiga berpotongan di satu titik.

Memang, perhatikan dulu titik dari perpotongan dua garis bagi, misalnya, AK 1 dan VC 2 . Titik ini sama jauhnya dari sisi AB dan AC, karena terletak pada garis bagiA, dan sama-sama dihapus dari sisi AB dan BC, sebagai milik garis-bagiB. Oleh karena itu, sama-sama dihilangkan dari sisi AC dan BC dan dengan demikian termasuk garis-bagi ketiga SC 3 , yaitu, pada titik P, ketiga garis bagi berpotongan.


Rumus untuk mencari garis bagi
Teorema5: (rumus pertama untuk garis bagi): Jika pada segitiga ABC ruas AL adalah garis bagi A, maka AL² = AB AC - LB LC.

Bukti: Misalkan M adalah titik potong garis AL dengan lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga ABC (Gbr. 41). Sudut BAM sama dengan sudut MAC menurut konvensi. Sudut BMA dan BCA sama besar dengan sudut siku-siku berdasarkan tali busur yang sama. Jadi, segitiga BAM dan LAC sebangun pada dua sudut. Jadi, AL:AC = AB:AM. Jadi AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Q.E.D.

Teorema6: . (rumus kedua untuk garis bagi): Pada segitiga ABC dengan sisi AB=a, AC=b danA, sama dengan 2α dan garis bagi l, persamaan terjadi:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Bukti : Misalkan ABC suatu segitiga, AL garis-baginya, a=AB, b=AC, l=AL. Kemudian S ABC = S ALB + S ALC . Jadi, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorema telah terbukti.

Teorema 7: Jika a, b adalah sisi-sisi segitiga, Y adalah sudut di antara mereka,adalah garis-bagi dari sudut ini. Kemudian.

Dalil. Garis bagi sudut dalam suatu segitiga membagi sisi yang berhadapan menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan.

Bukti. Perhatikan segitiga ABC (Gbr. 259) dan garis bagi sudutnya B. Mari kita tarik garis lurus CM melalui titik sudut C, sejajar dengan garis-bagi VC, sampai berpotongan di titik M dengan kelanjutan sisi AB. Karena VC adalah garis bagi sudut ABC, maka . Selanjutnya, sebagai sudut yang bersesuaian pada garis sejajar, dan sebagai sudut melintang pada garis sejajar. Dari sini dan karena itu - sama kaki, dari mana. Menurut teorema pada garis sejajar yang memotong sisi-sisi sudut, kita memiliki dan mengingat ini kita mendapatkan, yang harus dibuktikan.

Garis bagi sudut luar B segitiga ABC (Gbr. 260) memiliki sifat yang serupa: ruas-ruas AL dan CL dari titik A dan C ke titik L perpotongan garis-bagi dengan kelanjutan sisi AC adalah sebanding dengan sisi segitiga:

Properti ini dibuktikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya: pada Gambar. 260 sebuah garis lurus bantu SM ditarik, sejajar dengan garis-bagi BL. Pembaca sendiri akan yakin tentang persamaan sudut BMC dan BCM, dan dengan demikian sisi BM dan BC dari segitiga BMC, setelah itu proporsi yang diperlukan akan segera diperoleh.

Kita dapat mengatakan bahwa garis bagi sudut luar juga membagi sisi yang berlawanan menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi yang berdekatan; hanya perlu menyetujui untuk mengizinkan "pembagian eksternal" dari segmen tersebut.

Titik L, terletak di luar segmen AC (pada kelanjutannya), membaginya secara eksternal dalam kaitannya dengan jika Jadi, garis-bagi sudut segitiga (internal dan eksternal) membagi sisi yang berlawanan (internal dan eksternal) menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan.

Soal 1. Sisi-sisi trapesium adalah 12 dan 15, alasnya adalah 24 dan 16. Temukan sisi-sisi segitiga yang dibentuk oleh alas besar trapesium dan sisi-sisinya yang diperpanjang.

Larutan. Dalam notasi Gambar. 261 kita miliki untuk segmen yang berfungsi sebagai kelanjutan dari sisi lateral proporsi dari mana kita dengan mudah menemukan Dengan cara yang sama kita menentukan sisi lateral kedua segitiga Sisi ketiga bertepatan dengan alas besar: .

Tugas 2. Alas trapesium adalah 6 dan 15. Berapa panjang segmen yang sejajar dengan alas dan membagi sisi dengan perbandingan 1:2, dihitung dari simpul alas kecil?

Larutan. Mari kita beralih ke Gambar. 262 menggambarkan trapesium. Melalui titik C dari alas kecil kita menggambar garis sejajar dengan sisi lateral AB, memotong jajar genjang dari trapesium. Sejak , maka dari sini kita temukan . Oleh karena itu, seluruh segmen yang tidak diketahui KL sama dengan Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan masalah ini, kita tidak perlu mengetahui sisi trapesium.

Soal 3. Garis bagi sudut dalam B segitiga ABC memotong sisi AC menjadi segmen-segmen pada jarak berapa dari titik A dan C akankah garis bagi sudut luar B memotong perpanjangan AC?

Larutan. Masing-masing garis bagi sudut B membagi AC dengan perbandingan yang sama, tetapi satu secara internal dan yang lainnya secara eksternal. Kami menyatakan dengan L titik persimpangan dari kelanjutan AC dan garis-bagi dari sudut eksternal B. Karena AK Kami menunjukkan jarak yang tidak diketahui AL pada saat itu dan kami akan memiliki proporsi Solusi yang memberi kami jarak yang diperlukan

Lakukan menggambar sendiri.

Latihan

1. Trapesium dengan alas 8 dan 18 dibagi dengan garis lurus, sejajar dengan alasnya, menjadi enam jalur dengan lebar yang sama. Temukan panjang segmen garis yang membagi trapesium menjadi strip.

2. Keliling segitiga adalah 32. Garis bagi sudut A membagi sisi BC menjadi bagian-bagian yang sama dengan 5 dan 3. Hitunglah panjang sisi-sisi segitiga.

3. alas segitiga sama kaki adalah a, sisinya adalah b. Temukan panjang segmen yang menghubungkan titik-titik perpotongan garis-bagi sudut-sudut alas dengan sisi-sisinya.

SIFAT-SIFAT BISSECTOR

Sifat bagi-bagi: Dalam sebuah segitiga, garis-bagi membagi sisi yang berhadapan menjadi segmen-segmen yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan.

Garis bagi suatu sudut luar Garis bagi suatu sudut luar suatu segitiga memotong perpanjangan sisinya di suatu titik, yang jaraknya ke ujung-ujung sisi ini masing-masing sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan dari segitiga tersebut. C B A D

Rumus panjang garis bagi:

Rumus untuk menemukan panjang segmen di mana garis bagi membagi sisi yang berlawanan dari segitiga

Rumus untuk menemukan rasio panjang segmen di mana garis-bagi dibagi dengan titik potong garis-bagi

Soal 1. Salah satu garis bagi suatu segitiga dibagi dengan titik potong garis-bagi tersebut dengan perbandingan 3:2, dihitung dari titik puncaknya. Hitunglah keliling suatu segitiga jika panjang sisi segitiga yang menjadi garis bagi tersebut adalah 12 cm.

Penyelesaian Kita menggunakan rumus untuk mencari perbandingan panjang ruas-ruas yang membagi garis-bagi dengan titik potong garis-bagi dalam segitiga: 30. Jawaban: P = 30cm.

Tugas 2 . Garis bagi BD dan CE ABC berpotongan di titik O. AB=14, BC=6, AC=10. Temukan O D .

Larutan. Mari kita gunakan rumus untuk mencari panjang garis-bagi: Kita memiliki: BD = BD = = Menurut rumus untuk rasio segmen-segmen di mana garis-bagi dibagi dengan titik potong garis-bagi: l = . 2 + 1 = 3 bagian dari segalanya.

ini part 1 OD = Jawaban: OD =

Soal Di ABC, garis bagi AL dan BK digambar. Hitung panjang ruas KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5. Dalam ABC, garis-bagi AD ditarik, dan melalui titik D adalah garis lurus sejajar AC dan memotong AB di titik E. Tentukan perbandingan luas ABC dan BDE , jika AB = 5, AC = 7. Hitunglah garis bagi sudut lancip dari segitiga siku-siku dengan kaki 24 cm dan 18 cm. Pada segitiga siku-siku, garis bagi suatu sudut lancip membagi kaki yang berhadapan menjadi ruas-ruas dengan panjang 4 dan 5 cm. Tentukan luas segitiga tersebut.

5. Pada segitiga sama kaki, panjang alas dan sisinya berturut-turut adalah 5 dan 20 cm. Hitunglah garis bagi sudut pada alas segitiga tersebut. 6. Tentukan garis bagi sudut siku-siku sebuah segitiga yang kakinya sama besar a dan b. 7. Hitung panjang garis bagi sudut A segitiga ABC dengan panjang sisi a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Temukan rasio di mana garis-bagi dari sudut-sudut interior membagi pada titik persimpangan mereka.

Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: Jawaban: AP = 6 AP = 10 lihat KL = CP =

Hari ini akan menjadi pelajaran yang sangat mudah. Kami hanya akan mempertimbangkan satu objek - garis bagi sudut - dan membuktikan properti terpentingnya, yang akan sangat berguna bagi kami di masa depan.

Jangan santai saja: terkadang siswa yang ingin mendapatkan nilai tinggi pada OGE atau USE yang sama, pada pelajaran pertama, bahkan tidak dapat merumuskan definisi yang tepat dari garis bagi.

Dan alih-alih melakukan tugas yang sangat menarik, kami menghabiskan waktu untuk hal-hal sederhana seperti itu. Jadi baca, tonton - dan adopsi. :)

Untuk memulainya, pertanyaan yang agak aneh: apa itu sudut? Itu benar: sudut hanyalah dua sinar yang keluar dari titik yang sama. Sebagai contoh:


Contoh sudut: lancip, tumpul, dan siku-siku

Seperti yang Anda lihat dari gambar, sudutnya bisa tajam, tumpul, lurus - tidak masalah sekarang. Seringkali, untuk kenyamanan, titik tambahan ditandai pada setiap sinar dan mereka mengatakan, mereka mengatakan, kami memiliki sudut $AOB$ (ditulis sebagai $\angle AOB$).

Kapten tampaknya mengisyaratkan bahwa selain sinar $OA$ dan $OB$, seseorang selalu dapat menggambar banyak sinar dari titik $O$. Tetapi di antara mereka akan ada satu yang istimewa - itu disebut garis-bagi.

Definisi. Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang keluar dari titik sudut tersebut dan membagi sudut tersebut.

Untuk sudut di atas, garis bagi akan terlihat seperti ini:


Contoh garis bagi sudut lancip, tumpul, dan siku-siku

Karena dalam gambar nyata jauh dari selalu jelas bahwa sinar tertentu (dalam kasus kami, ini adalah sinar $OM$) membagi sudut awal menjadi dua yang sama, biasanya dalam geometri untuk menandai sudut yang sama dengan jumlah sudut yang sama. busur (dalam gambar kami ini adalah 1 busur untuk sudut lancip, dua untuk tumpul, tiga untuk lurus).

Oke, kami menemukan definisinya. Sekarang Anda perlu memahami sifat-sifat yang dimiliki bisector.

Sifat dasar garis bagi sudut

Padahal, bisektor memiliki banyak sifat. Dan kami pasti akan mempertimbangkannya dalam pelajaran berikutnya. Tapi ada satu trik yang perlu Anda pahami sekarang:

Dalil. Garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari sisi-sisi sudut yang ditentukan.

Diterjemahkan dari matematika ke dalam bahasa Rusia, ini berarti dua fakta sekaligus:

  1. Setiap titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut berada pada jarak yang sama dari sisi-sisi sudut tersebut.
  2. Dan sebaliknya: jika suatu titik terletak pada jarak yang sama dari sisi-sisi suatu sudut tertentu, maka titik tersebut dijamin terletak pada garis-bagi sudut tersebut.

Sebelum membuktikan pernyataan-pernyataan ini, mari kita perjelas satu hal: apa sebenarnya yang disebut jarak dari suatu titik ke sisi suatu sudut? Definisi lama yang baik tentang jarak dari titik ke garis akan membantu kita di sini:

Definisi. Jarak suatu titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut ke garis tersebut.

Sebagai contoh, perhatikan sebuah garis $l$ dan sebuah titik $A$ yang tidak terletak pada garis ini. Gambarkan $AH$ tegak lurus, di mana $H\di l$. Maka panjang tegak lurus ini adalah jarak dari titik $A$ ke garis $l$.

Representasi grafis dari jarak dari titik ke garis

Karena sebuah sudut hanyalah dua sinar, dan setiap sinar adalah bagian dari sebuah garis, maka mudah untuk menentukan jarak dari suatu titik ke sisi-sisi sudut tersebut. Itu hanya dua tegak lurus:


Tentukan jarak dari suatu titik ke sisi-sisi suatu sudut

Itu saja! Sekarang kita tahu apa itu jarak dan apa itu garis bagi. Oleh karena itu, kita dapat membuktikan sifat utama.

Seperti yang dijanjikan, kami membagi bukti menjadi dua bagian:

1. Jarak suatu titik pada garis bagi ke sisi-sisi sudut adalah sama

Pertimbangkan sudut sewenang-wenang dengan simpul $O$ dan garis bagi $OM$:

Mari kita buktikan bahwa titik yang sama $M$ berada pada jarak yang sama dari sisi sudut.

Bukti. Mari kita menggambar garis tegak lurus dari titik $M$ ke sisi sudut. Sebut saja mereka $M((H)_(1))$ dan $M((H)_(2))$:

Gambarlah garis tegak lurus ke sisi sudut

Kami mendapatkan dua segitiga siku-siku: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Mereka memiliki sisi miring $OM$ yang sama dan sudut yang sama:

  1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ dengan asumsi (karena $OM$ adalah garis bagi);
  2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ menurut konstruksi;
  3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$ karena jumlah sudut lancip segitiga siku-siku selalu sama dengan 90 derajat.

Oleh karena itu, segitiga sama sisi dan dua sudut yang berdekatan (lihat tanda-tanda persamaan segitiga). Oleh karena itu, khususnya, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, mis. jarak dari titik $O$ ke sisi-sisi sudut memang sama. Q.E.D. :)

2. Jika jaraknya sama, maka titiknya terletak pada garis bagi

Sekarang situasinya terbalik. Biarkan sudut $O$ dan titik $M$ berjarak sama dari sisi sudut ini diberikan:

Mari kita buktikan bahwa sinar $OM$ adalah garis bagi, mis. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Bukti. Untuk memulainya, mari kita gambarkan sinar $OM$ ini, jika tidak, tidak akan ada yang perlu dibuktikan:

Menghabiskan balok $OM$ di dalam sudut

Kami mendapatkan dua segitiga siku-siku lagi: $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$. Jelas mereka setara karena:

  1. Sisi miring $OM$ adalah umum;
  2. Kaki $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ dengan syarat (karena titik $M$ berjarak sama dari sisi sudut);
  3. Kaki yang tersisa juga sama, karena dengan teorema Pythagoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Oleh karena itu, segitiga $\vartriangle OM((H)_(1))$ dan $\vartriangle OM((H)_(2))$ pada tiga sisi. Secara khusus, sudutnya sama: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Dan ini hanya berarti bahwa $OM$ adalah sebuah garis bagi.

Sebagai kesimpulan dari bukti, kami menandai sudut yang sama yang terbentuk dengan busur merah:

Garis bagi membagi sudut $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ menjadi dua sama besar

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Kami telah membuktikan bahwa garis bagi suatu sudut adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sisi-sisi sudut ini. :)

Sekarang kita telah lebih atau kurang memutuskan terminologi, saatnya untuk pindah ke tingkat yang baru. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan menganalisis sifat-sifat yang lebih kompleks dari garis-bagi dan belajar bagaimana menerapkannya untuk memecahkan masalah nyata.

ARTIKEL TERKAIT