Sangat sering, pembilang dan penyebut pecahan adalah ekspresi aljabar yang pertama-tama harus didekomposisi menjadi faktor-faktor, dan kemudian, setelah menemukan yang sama di antara mereka, bagi pembilang dan penyebut ke dalam mereka, yaitu, kurangi pecahan. Seluruh bab dari buku teks tentang aljabar di kelas 7 dikhususkan untuk tugas memfaktorkan polinomial. Pemfaktoran bisa dilakukan 3 cara, serta kombinasi dari metode ini.

1. Penerapan rumus perkalian yang disingkat

Seperti yang diketahui kalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan. Setidaknya ada 7 (tujuh) kasus umum perkalian polinomial yang termasuk dalam konsep. Sebagai contoh,

Tabel 1. Faktorisasi dengan cara ke-1

2. Keluarkan faktor persekutuan dari kurung

Metode ini didasarkan pada penerapan hukum distributif perkalian. Sebagai contoh,

Kami membagi setiap istilah dari ekspresi asli dengan faktor yang kami keluarkan, dan pada saat yang sama kami mendapatkan ekspresi dalam tanda kurung (yaitu, hasil membagi apa yang kami ambil tetap dalam tanda kurung). Pertama-tama, Anda perlu tentukan pengali dengan benar, yang harus diberi tanda kurung.

Polinomial dalam tanda kurung juga bisa menjadi faktor persekutuan:

Saat melakukan tugas "memfaktorkan", seseorang harus sangat berhati-hati dengan tanda-tanda saat mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Untuk mengubah tanda setiap istilah dalam tanda kurung (b-a), kita keluarkan faktor persekutuannya -1 , sedangkan setiap suku dalam kurung dibagi -1: (b - a) = - (a - b) .

Jika ekspresi dalam tanda kurung dikuadratkan (atau pangkat genap), maka angka di dalam kurung dapat ditukar benar-benar gratis, karena minus yang dikeluarkan dari tanda kurung masih akan berubah menjadi plus saat dikalikan: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 dll…

3. Metode pengelompokan

Terkadang tidak semua istilah dalam ekspresi memiliki faktor yang sama, tetapi hanya beberapa. Kemudian Anda dapat mencoba istilah grup dalam tanda kurung sehingga beberapa faktor dapat diambil dari masing-masing. Metode pengelompokan adalah kurung ganda dari faktor persekutuan.

4. Menggunakan beberapa metode sekaligus

Terkadang Anda perlu menerapkan bukan hanya satu, tetapi beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial menjadi faktor sekaligus.

Ini adalah sinopsis tentang topik tersebut. "Faktorisasi". Pilih langkah selanjutnya:

• Pergi ke abstrak berikutnya:

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Memperluas polinomial untuk mendapatkan produk terkadang tampak membingungkan. Tetapi tidak begitu sulit jika Anda memahami prosesnya selangkah demi selangkah. Artikel ini merinci cara memfaktorkan trinomial persegi.

Banyak yang tidak mengerti cara memfaktorkan trinomial persegi, dan mengapa ini dilakukan. Pada awalnya mungkin tampak bahwa ini adalah latihan yang tidak berguna. Namun dalam matematika, tidak ada yang dilakukan begitu saja. Transformasi diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi dan kenyamanan perhitungan.

Polinomial berbentuk - ax² + bx + c, disebut trinomial persegi. Istilah "a" harus negatif atau positif. Dalam prakteknya, ekspresi ini disebut persamaan kuadrat. Karena itu, terkadang mereka mengatakan berbeda: cara memperluas persamaan kuadrat.

Menarik! Polinomial persegi disebut karena derajat terbesarnya - persegi. Dan trinomial - karena suku 3 komponen.

Beberapa jenis polinomial lain:

• binomial linier (6x+8);
• segi empat kubik (x³+4x²-2x+9).

Faktorisasi trinomial persegi

Pertama, ekspresinya sama dengan nol, maka Anda perlu mencari nilai akar x1 dan x2. Mungkin tidak ada akar, mungkin ada satu atau dua akar. Kehadiran akar ditentukan oleh diskriminan. Rumusnya harus hafal: D=b²-4ac.

Jika hasil D negatif, tidak ada akar. Jika positif, ada dua akar. Jika hasilnya nol, akarnya adalah satu. Akar juga dihitung dengan rumus.

Jika perhitungan diskriminan menghasilkan nol, Anda dapat menerapkan salah satu rumus. Dalam prakteknya, rumus tersebut hanya disingkat: -b / 2a.

Rumus untuk nilai yang berbeda dari diskriminan berbeda.

Jika D positif:

Jika D adalah nol:

Kalkulator online

Ada kalkulator online di Internet. Dapat digunakan untuk memfaktorkan. Beberapa sumber memberikan kesempatan untuk melihat solusi langkah demi langkah. Layanan semacam itu membantu untuk lebih memahami topik, tetapi Anda perlu mencoba memahami dengan baik.

Video yang berguna: Memfaktorkan trinomial persegi

Contoh

Kami menyarankan untuk melihat contoh sederhana tentang cara memfaktorkan persamaan kuadrat.

Contoh 1

Di sini jelas ditunjukkan bahwa hasilnya adalah dua x, karena D positif. Mereka perlu diganti ke dalam formula. Jika akarnya negatif, tanda dalam rumus dibalik.

Kita tahu rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi: a(x-x1)(x-x2). Kami menempatkan nilai dalam tanda kurung: (x+3)(x+2/3). Tidak ada angka sebelum istilah dalam eksponen. Artinya ada satuan, diturunkan.

Contoh 2

Contoh ini dengan jelas menunjukkan cara menyelesaikan persamaan yang memiliki satu akar.

Substitusikan nilai yang dihasilkan:

Contoh 3

Diketahui: 5x²+3x+7

Pertama, kita menghitung diskriminan, seperti pada kasus sebelumnya.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminan adalah negatif, yang berarti tidak ada akar.

Setelah menerima hasilnya, ada baiknya membuka tanda kurung dan memeriksa hasilnya. Trinomial asli akan muncul.

Solusi alternatif

Beberapa orang tidak pernah bisa berteman dengan diskriminan. Ada cara lain untuk memfaktorkan trinomial persegi. Untuk kenyamanan, metode ini ditunjukkan dalam contoh.

Diketahui: x²+3x-10

Kita tahu bahwa kita harus diakhiri dengan 2 tanda kurung: (_)(_). Ketika ekspresi terlihat seperti ini: x² + bx + c, kami menempatkan x di awal setiap braket: (x_) (x_). Dua angka yang tersisa adalah produk yang memberikan "c", yaitu -10 dalam hal ini. Untuk mengetahui angka-angka tersebut, Anda hanya bisa menggunakan metode seleksi. Angka yang diganti harus cocok dengan suku yang tersisa.

Misalnya, mengalikan angka-angka berikut menghasilkan -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Tidak.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Tidak.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Tidak.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. cocok.

Jadi, transformasi ekspresi x2+3x-10 terlihat seperti ini: (x-2)(x+5).

Penting! Anda harus berhati-hati untuk tidak membingungkan tanda-tandanya.

Dekomposisi trinomial kompleks

Jika "a" lebih besar dari satu, kesulitan dimulai. Tapi semuanya tidak sesulit kelihatannya.

Untuk memfaktorkan, pertama-tama kita harus melihat apakah mungkin untuk memfaktorkan sesuatu.

Misalnya, diberikan ekspresi: 3x²+9x-30. Di sini nomor 3 dikeluarkan dari tanda kurung:

3(x²+3x-10). Hasilnya adalah trinomial yang sudah diketahui. Jawabannya seperti ini: 3(x-2)(x+5)

Bagaimana cara menguraikan jika istilah yang dikuadratkan negatif? PADA kasus ini angka -1 dikeluarkan dari kurung. Misalnya: -x²-10x-8. Ekspresi kemudian akan terlihat seperti ini:

Skema ini sedikit berbeda dari yang sebelumnya. Hanya ada beberapa hal baru. Katakanlah ekspresi diberikan: 2x²+7x+3. Jawabannya juga ditulis dalam 2 kurung, yang harus diisi (_) (_). X ditulis di braket ke-2, dan apa yang tersisa di braket 1. Tampilannya seperti ini: (2x_)(x_). Jika tidak, skema sebelumnya diulang.

Angka 3 memberikan angka:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Kami memecahkan persamaan dengan mengganti angka-angka yang diberikan. Opsi terakhir cocok. Jadi transformasi dari ekspresi 2x²+7x+3 terlihat seperti ini: (2x+1)(x+3).

kasus lain

Tidak selalu mungkin untuk mengubah ekspresi. Dalam metode kedua, solusi persamaan tidak diperlukan. Tetapi kemungkinan mengubah istilah menjadi produk diperiksa hanya melalui diskriminan.

Ada baiknya berlatih memecahkan persamaan kuadrat sehingga tidak ada kesulitan saat menggunakan rumus.

Video yang berguna: faktorisasi trinomial

Kesimpulan

Anda dapat menggunakannya dengan cara apa pun. Tetapi lebih baik bekerja keduanya untuk otomatisme. Juga, mereka yang akan menghubungkan kehidupan mereka dengan matematika perlu belajar bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat dengan baik dan menguraikan polinomial menjadi faktor. Semua topik matematika berikut dibangun di atas ini.

Memfaktorkan persamaan adalah proses menemukan suku atau ekspresi yang, jika dikalikan, menghasilkan persamaan awal. Pemfaktoran adalah keterampilan yang berguna untuk memecahkan masalah aljabar dasar, dan menjadi kebutuhan praktis ketika bekerja dengan persamaan kuadrat dan polinomial lainnya. Pemfaktoran digunakan untuk menyederhanakan persamaan aljabar agar lebih mudah diselesaikan. Anjak dapat membantu Anda mengesampingkan kemungkinan jawaban tertentu lebih cepat daripada yang Anda bisa dengan menyelesaikan persamaan secara manual.

Langkah

Faktorisasi bilangan dan ekspresi aljabar dasar

1. Faktorisasi bilangan. Konsep pemfaktoran sederhana, tetapi pemfaktoran bisa rumit dalam praktiknya (diberikan persamaan yang kompleks). Jadi mari kita mulai dengan konsep pemfaktoran menggunakan angka sebagai contoh, lanjutkan dengan persamaan sederhana, dan kemudian beralih ke persamaan kompleks. Faktor dari suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan asli. Misalnya, faktor dari bilangan 12 adalah bilangan: 1, 12, 2, 6, 3, 4, karena 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Demikian pula, Anda dapat menganggap faktor-faktor suatu bilangan sebagai pembaginya, yaitu bilangan-bilangan yang habis dibagi oleh bilangan tersebut.
   • Temukan semua faktor dari angka 60. Kami sering menggunakan angka 60 (misalnya, 60 menit dalam satu jam, 60 detik dalam satu menit, dll.) dan angka ini memiliki jumlah faktor yang cukup banyak.
     • 60 pengganda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 dan 60.

2. Ingat: istilah ekspresi yang mengandung koefisien (angka) dan variabel juga dapat difaktorkan. Untuk melakukan ini, temukan pengali koefisien pada variabel. Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku persamaan, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan persamaan ini.

   • Misalnya, suku 12x dapat ditulis sebagai hasil kali 12 dan x. Anda juga dapat menulis 12x sebagai 3(4x), 2(6x), dst. dengan memfaktorkan 12 ke dalam faktor-faktor yang paling sesuai untuk Anda.
     • Anda dapat lay out 12x beberapa kali berturut-turut. Dengan kata lain, Anda tidak boleh berhenti di 3(4x) atau 2(6x); lanjutkan ekspansi: 3(2(2x)) atau 2(3(2x)) (jelas, 3(4x)=3(2(2x)) dll.)

3. Terapkan sifat distributif perkalian untuk memfaktorkan persamaan aljabar. Mengetahui cara memfaktorkan bilangan dan suku suatu ekspresi (koefisien dengan variabel), Anda dapat menyederhanakan persamaan aljabar sederhana dengan mencari faktor persekutuan dari suatu bilangan dan suku dari suatu ekspresi. Biasanya, untuk menyederhanakan persamaan, Anda perlu menemukan pembagi persekutuan terbesar (gcd). Penyederhanaan seperti itu dimungkinkan karena sifat distributif perkalian: untuk sembarang bilangan a, b, c, persamaan a (b + c) = ab + ac adalah benar.

   • Contoh. Faktorkan persamaan 12x + 6. Pertama, cari gcd dari 12x dan 6. 6 adalah bilangan terbesar yang dapat membagi 12x dan 6, sehingga persamaan ini dapat difaktorkan menjadi: 6(2x+1).
   • Proses ini juga berlaku untuk persamaan yang memiliki suku negatif dan pecahan. Misalnya, x/2+4 dapat didekomposisi menjadi 1/2(x+8); misalnya, -7x+(-21) dapat didekomposisi menjadi -7(x+3).

   Faktorisasi persamaan kuadrat

   1. Pastikan persamaan dalam bentuk kuadrat (ax 2 + bx + c = 0). Persamaan kuadrat adalah: ax 2 + bx + c = 0, di mana a, b, c adalah koefisien numerik selain 0. Jika Anda diberikan persamaan dengan satu variabel (x) dan persamaan ini memiliki satu atau lebih suku dengan orde kedua variabel , Anda dapat memindahkan semua suku persamaan ke satu sisi persamaan dan menyamakannya dengan nol.

      • Misal diberikan persamaan: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Dapat diubah menjadi persamaan x 2 + 6x + 9 = 0, yang merupakan persamaan kuadrat.
      • Persamaan dengan variabel x orde besar, misalnya x 3 , x 4 , dst. bukan persamaan kuadrat. Ini adalah persamaan kubik, persamaan orde keempat, dan seterusnya (hanya jika persamaan tersebut tidak dapat disederhanakan menjadi persamaan kuadrat dengan variabel x pangkat 2).

   2. Persamaan kuadrat, di mana a \u003d 1, didekomposisi menjadi (x + d) (x + e), di mana d * e \u003d c dan d + e \u003d b. Jika persamaan kuadrat yang diberikan kepada Anda memiliki bentuk: x 2 + bx + c \u003d 0 (yaitu, koefisien pada x 2 sama dengan 1), maka persamaan seperti itu dapat (tetapi tidak dijamin) diurai menjadi persamaan di atas faktor. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan dua angka yang, ketika dikalikan, memberikan "c", dan ketika ditambahkan - "b". Setelah Anda menemukan dua angka ini (d dan e), substitusikan ke dalam ekspresi berikut: (x+d)(x+e), yang, ketika tanda kurung dibuka, mengarah ke persamaan aslinya.

      • Misalnya, diberikan persamaan kuadrat x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 dan 3+2=5, sehingga Anda dapat memperluas persamaan menjadi (x+3)(x+2).
      • Untuk suku negatif, lakukan perubahan kecil berikut pada proses faktorisasi:
        • Jika persamaan kuadrat berbentuk x 2 -bx + c, maka persamaan tersebut terurai menjadi: (x-_) (x-_).
        • Jika persamaan kuadrat berbentuk x 2 -bx-c, maka persamaan tersebut terurai menjadi: (x + _) (x-_).
      • Catatan: spasi dapat diganti dengan pecahan atau desimal. Misalnya, persamaan x 2 + (21/2)x + 5 = 0 didekomposisi menjadi (x + 10) (x + 1/2).

   3. Faktorisasi dengan coba-coba. Persamaan kuadrat sederhana dapat difaktorkan hanya dengan mensubstitusikan angka ke solusi yang mungkin sampai Anda menemukan solusi yang benar. Jika persamaan memiliki bentuk ax 2 +bx+c, di mana a>1, solusi yang mungkin ditulis sebagai (dx +/- _)(ex +/- _), di mana d dan e adalah koefisien numerik selain nol, yang jika dikalikan memberikan a. Baik d atau e (atau kedua koefisien) dapat sama dengan 1. Jika kedua koefisien sama dengan 1, maka gunakan metode yang dijelaskan di atas.

      • Misalnya, diberikan persamaan 3x 2 - 8x + 4. Di sini, 3 hanya memiliki dua faktor (3 dan 1), sehingga solusi yang mungkin ditulis sebagai (3x +/- _)(x +/- _). Dalam kasus ini, dengan mengganti -2 untuk spasi, Anda akan menemukan jawaban yang benar: -2*3x=-6x dan -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x dan -2*-2=4, yaitu, ekspansi seperti itu saat membuka tanda kurung akan menghasilkan suku-suku persamaan awal.

Dalam artikel ini Anda akan menemukan semua informasi yang diperlukan yang menjawab pertanyaan, cara memfaktorkan bilangan. Pertama, gambaran umum tentang penguraian bilangan menjadi faktor prima diberikan, contoh ekspansi diberikan. Bentuk kanonik dari memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima ditunjukkan selanjutnya. Setelah itu, diberikan algoritma untuk menguraikan bilangan arbitrer menjadi faktor prima, dan diberikan contoh penguraian bilangan menggunakan algoritma ini. Metode alternatif juga dipertimbangkan yang memungkinkan Anda untuk dengan cepat menguraikan bilangan bulat kecil menjadi faktor prima menggunakan kriteria pembagian dan tabel perkalian.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima?

Pertama, mari kita lihat apa itu faktor prima.

Jelas bahwa karena kata "faktor" hadir dalam frasa ini, maka produk dari beberapa bilangan terjadi, dan kata klarifikasi "prima" berarti bahwa setiap faktor adalah bilangan prima. Misalnya, dalam produk bentuk 2 7 7 23 ada empat faktor prima: 2 , 7 , 7 dan 23 .

Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima?

Ini berarti bahwa bilangan yang diberikan harus direpresentasikan sebagai produk dari faktor-faktor prima, dan nilai dari produk ini harus sama dengan bilangan aslinya. Sebagai contoh, perhatikan hasil kali tiga bilangan prima 2 , 3 dan 5 , sama dengan 30 , jadi faktorisasi bilangan 30 menjadi faktor prima adalah 2 3 5 . Biasanya, penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima ditulis sebagai suatu persamaan, dalam contoh kita akan menjadi seperti ini: 30=2 3 5 . Secara terpisah, kami menekankan bahwa faktor prima dalam ekspansi dapat diulang. Hal ini diilustrasikan dengan jelas oleh contoh berikut: 144=2 2 2 2 3 3 . Tetapi representasi dari bentuk 45=3 15 bukanlah penguraian menjadi faktor prima, karena bilangan 15 adalah komposit.

Muncul pertanyaan berikut: “Dan bilangan apa yang dapat diuraikan menjadi faktor prima”?

Untuk mencari jawabannya, berikut kami sajikan alasannya. Bilangan prima, menurut definisi, termasuk di antara yang lebih besar dari satu. Mengingat fakta ini dan , dapat dikatakan bahwa produk dari beberapa faktor prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu. Oleh karena itu, faktorisasi hanya terjadi untuk bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1.

Tetapi apakah semua bilangan bulat yang lebih besar dari satu faktor menjadi faktor prima?

Jelas bahwa tidak ada cara untuk menguraikan bilangan bulat sederhana menjadi faktor prima. Ini karena bilangan prima hanya memiliki dua pembagi positif, satu dan dirinya sendiri, sehingga tidak dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua atau lebih bilangan prima. Jika bilangan bulat z dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan prima a dan b, maka konsep keterbagian akan memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa z habis dibagi oleh a dan b, yang tidak mungkin karena kesederhanaan bilangan z. Namun, diyakini bahwa setiap bilangan prima adalah dekomposisinya sendiri.

Bagaimana dengan bilangan komposit? Apakah bilangan komposit terurai menjadi faktor prima, dan apakah semua bilangan komposit tunduk pada dekomposisi seperti itu? Jawaban afirmatif untuk sejumlah pertanyaan ini diberikan oleh teorema dasar aritmatika. Teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat a yang lebih besar dari 1 dapat diuraikan menjadi produk faktor prima p 1 , p 2 , ..., p n , sedangkan ekspansi berbentuk a=p 1 p 2 .. .p n , dan ini dekomposisinya unik, jika kita tidak memperhitungkan urutan faktornya

Dekomposisi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima

Dalam pemuaian suatu bilangan, faktor prima dapat diulang. Faktor prima berulang dapat ditulis lebih ringkas menggunakan . Misalkan faktor prima p 1 terjadi s 1 kali dalam penguraian bilangan a, faktor prima p 2 - s 2 kali, dan seterusnya, p n - s n kali. Maka faktorisasi prima dari bilangan a dapat ditulis sebagai a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Bentuk tulisan ini disebut faktorisasi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima.

Mari kita berikan contoh dekomposisi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima. Beri tahu kami penguraiannya 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, bentuk kanoniknya adalah 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Dekomposisi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima memungkinkan Anda menemukan semua pembagi bilangan dan jumlah pembagi bilangan tersebut.

Algoritma penguraian bilangan menjadi faktor prima

Agar berhasil mengatasi tugas penguraian bilangan menjadi faktor prima, Anda harus sangat menguasai informasi dalam artikel bilangan sederhana dan komposit.

Inti dari proses ekspansi bilangan bulat positif dan lebih besar dari satu angka a jelas dari bukti teorema utama aritmatika. Intinya adalah untuk secara berurutan menemukan pembagi prima terkecil p 1 , p 2 , …,p n angka a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , yang memungkinkan Anda untuk mendapatkan serangkaian persamaan a=p 1 a 1 , dimana a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , dimana a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 …p n a n , dimana a n =a n -1:p n . Ketika a n =1 diperoleh, maka persamaan a=p 1 ·p 2 ·…·p n akan memberikan kita penguraian yang diperlukan dari bilangan a menjadi faktor prima. Di sini juga harus diperhatikan bahwa p 1 p 2 p 3 …≤p n.

Masih berurusan dengan menemukan pembagi prima terkecil pada setiap langkah, dan kita akan memiliki algoritme untuk menguraikan bilangan menjadi faktor prima. Tabel bilangan prima akan membantu kita menemukan pembagi prima. Mari tunjukkan cara menggunakannya untuk mendapatkan bilangan prima terkecil dari bilangan z .

Kami secara berurutan mengambil bilangan prima dari tabel bilangan prima (2 , 3 , 5 , 7 , 11 dan seterusnya) dan membagi angka yang diberikan z dengan mereka. Bilangan prima pertama yang z habis dibagi rata adalah pembagi prima terkecilnya. Jika bilangan z adalah bilangan prima, maka pembagi prima terkecilnya adalah bilangan z itu sendiri. Juga harus diingat di sini bahwa jika z bukan bilangan prima, maka pembagi prima terkecilnya tidak melebihi angka , di mana - dari z . Jadi, jika di antara bilangan prima yang tidak lebih dari , tidak ada satu pun pembagi dari bilangan z, maka kita dapat menyimpulkan bahwa z adalah bilangan prima (lebih lanjut tentang ini ditulis di bagian teori di bawah judul bilangan prima atau komposit. ).

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan bagaimana menemukan pembagi prima terkecil dari angka 87. Kami mengambil nomor 2. Bagi 87 dengan 2, kita mendapatkan 87:2=43 (sisanya 1) (jika perlu, lihat artikel). Artinya, saat membagi 87 dengan 2, sisanya adalah 1, jadi 2 bukan merupakan pembagi dari angka 87. Kami mengambil bilangan prima berikutnya dari tabel bilangan prima, ini adalah nomor 3 . Kami membagi 87 dengan 3, kami mendapatkan 87:3=29. Jadi 87 habis dibagi 3, jadi 3 adalah pembagi prima terkecil dari 87.

Perhatikan bahwa dalam kasus umum, untuk memfaktorkan bilangan a, kita memerlukan tabel bilangan prima hingga bilangan tidak kurang dari . Kita harus mengacu pada tabel ini di setiap langkah, jadi kita harus memilikinya. Misalnya, untuk memfaktorkan bilangan 95, kita memerlukan tabel bilangan prima hingga 10 (karena 10 lebih besar dari ). Dan untuk menguraikan angka 846 653, Anda sudah membutuhkan tabel bilangan prima hingga 1.000 (karena 1.000 lebih besar dari).

Kami sekarang memiliki informasi yang cukup untuk ditulis algoritma untuk memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima. Algoritma untuk memperluas bilangan a adalah sebagai berikut:

• Mengurutkan bilangan-bilangan dari tabel bilangan prima secara berurutan, kita menemukan pembagi prima terkecil p 1 dari bilangan a, setelah itu kita menghitung a 1 =a:p 1 . Jika a 1 =1 , maka bilangan a adalah bilangan prima, dan bilangan itu sendiri adalah penguraiannya menjadi faktor-faktor prima. Jika a 1 sama dengan 1, maka kita memiliki a=p 1 ·a 1 dan lanjutkan ke langkah berikutnya.
• Kami menemukan pembagi prima terkecil p 2 dari angka a 1 , untuk ini kami secara berurutan mengurutkan angka-angka dari tabel bilangan prima, dimulai dengan p 1 , setelah itu kami menghitung a 2 =a 1:p 2 . Jika a 2 =1, maka penguraian bilangan a yang diinginkan menjadi faktor prima memiliki bentuk a=p 1 ·p 2 . Jika a 2 sama dengan 1, maka kita memiliki a=p 1 ·p 2 ·a 2 dan lanjutkan ke langkah berikutnya.
• Melalui angka-angka dari tabel bilangan prima, dimulai dengan p 2 , kita menemukan pembagi prima terkecil p 3 dari angka a 2 , setelah itu kita menghitung a 3 =a 2:p 3 . Jika a 3 =1, maka penguraian bilangan a yang diinginkan menjadi faktor prima memiliki bentuk a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Jika a 3 sama dengan 1, maka kita memiliki a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 dan lanjutkan ke langkah berikutnya.
• Temukan pembagi prima terkecil p n dari bilangan a n-1 dengan mengurutkan bilangan prima, dimulai dengan p n-1 , serta a n =a n-1:p n , dan a n sama dengan 1 . Langkah ini adalah langkah terakhir dari algoritma, di sini kita mendapatkan dekomposisi yang diperlukan dari bilangan a menjadi faktor prima: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Semua hasil yang diperoleh pada setiap langkah algoritma untuk menguraikan suatu bilangan menjadi faktor prima disajikan untuk kejelasan dalam bentuk tabel berikut, di mana bilangan a, a 1, a 2, ..., a n ditulis secara berurutan menjadi di sebelah kiri batang vertikal, dan di sebelah kanan batang - pembagi prima terkecil yang sesuai p 1 , p 2 , …, p n .

Tetap hanya untuk mempertimbangkan beberapa contoh penerapan algoritme yang diperoleh untuk menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Contoh faktorisasi prima

Sekarang kita akan menganalisis secara detail contoh faktorisasi prima. Saat menguraikan, kami akan menerapkan algoritme dari paragraf sebelumnya. Mari kita mulai dengan kasus-kasus sederhana, dan secara bertahap memperumitnya untuk menghadapi semua kemungkinan nuansa yang muncul saat menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Contoh.

Faktorkan bilangan 78 menjadi faktor prima.

Keputusan.

Kita mulai mencari pembagi prima terkecil pertama p 1 dari bilangan a=78 . Untuk melakukan ini, kita mulai mengurutkan bilangan prima secara berurutan dari tabel bilangan prima. Kami mengambil nomor 2 dan membaginya dengan 78, kami mendapatkan 78:2=39. Angka 78 dibagi 2 tanpa sisa, jadi p 1 \u003d 2 adalah pembagi prima pertama yang ditemukan dari angka 78. Dalam hal ini a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Jadi kita sampai pada persamaan a=p 1 ·a 1 yang memiliki bentuk 78=2·39 . Jelas, a 1 =39 berbeda dari 1 , jadi kita pergi ke langkah kedua dari algoritma.

Sekarang kita sedang mencari pembagi prima terkecil p 2 dari bilangan a 1 =39 . Kami memulai penghitungan angka dari tabel bilangan prima, dimulai dengan p 1 =2 . Bagi 39 dengan 2, kita mendapatkan 39:2=19 (sisa 1). Karena 39 tidak habis dibagi 2, 2 bukan pembaginya. Kemudian kita mengambil angka berikutnya dari tabel bilangan prima (angka 3) dan membaginya dengan 39, kita mendapatkan 39:3=13. Oleh karena itu, p 2 \u003d 3 adalah pembagi prima terkecil dari angka 39, sedangkan a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Kami memiliki persamaan a=p 1 p 2 a 2 dalam bentuk 78=2 3 13 . Karena a 2 =13 berbeda dari 1 , kita melanjutkan ke langkah algoritma berikutnya.

Di sini kita perlu mencari pembagi prima terkecil dari bilangan a 2 = 13. Untuk mencari pembagi prima terkecil p 3 dari bilangan 13, kita akan mengurutkan bilangan-bilangan tersebut secara berurutan dari tabel bilangan prima, dimulai dengan p 2 =3 . Angka 13 tidak habis dibagi 3, karena 13:3=4 (sisa 1), juga 13 tidak habis dibagi 5, 7 dan 11, karena 13:5=2 (sisa 3), 13:7=1 (res. 6) dan 13:11=1 (res. 2) . Bilangan prima berikutnya adalah 13, dan 13 habis dibagi tanpa sisa, oleh karena itu, pembagi prima terkecil p 3 dari bilangan 13 adalah bilangan 13 itu sendiri, dan a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Karena a 3 =1 , maka langkah algoritma ini adalah yang terakhir, dan dekomposisi bilangan 78 yang diinginkan menjadi faktor prima memiliki bentuk 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .

Menjawab:

78=2 3 13 .

Contoh.

Nyatakan angka 83.006 sebagai hasil kali faktor prima.

Keputusan.

Pada langkah pertama algoritma untuk memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima, kita menemukan p 1 =2 dan a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , dari mana 83006=2 41 503 .

Pada langkah kedua, kita menemukan bahwa 2 , 3 dan 5 bukan pembagi prima dari bilangan a 1 =41 503 , dan bilangan 7 adalah, karena 41 503: 7=5 929 . Kami memiliki p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Jadi, 83.006=2 7 5 929 .

Pembagi prima terkecil dari 2 =5 929 adalah 7 , karena 5 929:7=847 . Jadi, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , dari mana 83 006=2 7 7 847 .

Selanjutnya kita temukan bahwa pembagi prima terkecil p 4 dari bilangan a 3 =847 sama dengan 7 . Kemudian a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , jadi 83 006=2 7 7 7 121 .

Sekarang kita temukan pembagi prima terkecil dari bilangan a 4 = 121, yaitu bilangan p 5 =11 (karena 121 habis dibagi 11 dan tidak habis dibagi 7). Kemudian a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , dan 83 006=2 7 7 7 11 11 .

Akhirnya, pembagi prima terkecil dari 5 =11 adalah p 6 =11 . Maka a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Karena a 6 =1 , maka langkah algoritme untuk menguraikan bilangan menjadi faktor prima ini adalah yang terakhir, dan dekomposisi yang diinginkan memiliki bentuk 83006=2·7·7·7·11·11 .

Hasil yang diperoleh dapat ditulis sebagai dekomposisi kanonik dari bilangan tersebut menjadi faktor prima 83.0006=2·7 3 ·11 2 .

Menjawab:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 adalah bilangan prima. Memang, ia tidak memiliki pembagi prima yang tidak melebihi ( dapat diperkirakan secara kasar , karena jelas bahwa 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Menjawab:

897 924 289=937 967 991 .

Menggunakan Tes Pembagian untuk Faktorisasi Prima

Dalam kasus sederhana, Anda dapat menguraikan bilangan menjadi faktor prima tanpa menggunakan algoritme dekomposisi dari paragraf pertama artikel ini. Jika jumlahnya tidak besar, maka untuk menguraikannya menjadi faktor prima, cukup sering untuk mengetahui tanda-tanda dapat dibagi. Kami memberikan contoh untuk klarifikasi.

Misalnya, kita perlu menguraikan angka 10 menjadi faktor prima. Kita tahu dari tabel perkalian bahwa 2 5=10 , dan bilangan 2 dan 5 jelas prima, jadi faktorisasi prima dari 10 adalah 10=2 5 .

Contoh lain. Dengan menggunakan tabel perkalian, kami menguraikan angka 48 menjadi faktor prima. Kita tahu bahwa enam delapan adalah empat puluh delapan, yaitu, 48=6 8. Namun, baik 6 maupun 8 bukanlah bilangan prima. Tetapi kita tahu bahwa dua kali tiga adalah enam, dan dua kali empat adalah delapan, yaitu, 6=2 3 dan 8=2 4 . Kemudian 48=6 8=2 3 2 4 . Tetap diingat bahwa dua kali dua adalah empat, maka kita mendapatkan dekomposisi yang diinginkan menjadi faktor prima 48=2 3 2 2 2 . Mari kita tuliskan dekomposisi ini dalam bentuk kanonik: 48=2 4 ·3 .

Tetapi ketika menguraikan angka 3400 menjadi faktor prima, Anda dapat menggunakan tanda-tanda pembagian. Tanda-tanda habis dibagi 10, 100 memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa 3400 habis dibagi 100, sedangkan 3400=34 100, dan 100 habis dibagi 10, sedangkan 100=10 10, oleh karena itu, 3400=34 10 10. Dan berdasarkan tanda habis dibagi 2, dapat dikatakan bahwa masing-masing faktor 34, 10 dan 10 habis dibagi 2, kita peroleh 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Semua faktor dalam pemuaian yang dihasilkan sederhana, sehingga pemuaian ini yang diinginkan. Tetap hanya mengatur ulang faktor-faktornya sehingga mereka naik dalam urutan menaik: 3 400=2 2 2 5 5 17 . Kami juga menuliskan dekomposisi kanonik dari bilangan ini menjadi faktor prima: 3 400=2 3 5 2 17 .

Saat menguraikan bilangan tertentu menjadi faktor prima, Anda dapat menggunakan tanda-tanda pembagian dan tabel perkalian secara bergantian. Mari kita nyatakan angka 75 sebagai produk faktor prima. Tanda habis dibagi 5 memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa 75 habis dibagi 5, sedangkan kita mendapatkan bahwa 75=5 15. Dan dari tabel perkalian kita tahu bahwa 15=3 5 , oleh karena itu, 75=5 3 5 . Ini adalah penguraian yang diinginkan dari bilangan 75 menjadi faktor prima.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
• Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan soal-soal aljabar dan teori bilangan: Buku ajar untuk mahasiswa fiz.-mat. spesialisasi lembaga pedagogis.