1 Persamaan rasional utuh dan pecahan

Dalam pelajaran ini, kita akan menganalisis konsep-konsep seperti persamaan rasional, ekspresi rasional, ekspresi bilangan bulat, ekspresi pecahan. Pertimbangkan solusi persamaan rasional.

Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi rasional.

Ekspresi rasional adalah:

pecahan.

Ekspresi bilangan bulat terdiri dari bilangan, variabel, pangkat bilangan bulat menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan bilangan selain nol.

Sebagai contoh:

Dalam ekspresi pecahan, ada pembagian dengan variabel atau ekspresi dengan variabel. Sebagai contoh:

Ekspresi pecahan tidak masuk akal untuk semua nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Misalnya, ungkapan

pada x = -9 tidak masuk akal, karena pada x = -9 penyebutnya menjadi nol.

Ini berarti bahwa persamaan rasional dapat berupa bilangan bulat dan pecahan.

Persamaan rasional bilangan bulat adalah persamaan rasional yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi bilangan bulat.

Sebagai contoh:

Persamaan rasional pecahan adalah persamaan rasional yang ruas kiri atau kanannya merupakan ekspresi pecahan.

Sebagai contoh:

2 Solusi dari seluruh persamaan rasional

Pertimbangkan solusi dari seluruh persamaan rasional.

Sebagai contoh:

Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut terkecil dari penyebut pecahan yang termasuk di dalamnya.

Untuk ini:

1. temukan penyebut yang sama untuk penyebut 2, 3, 6. Sama dengan 6;

2. cari faktor tambahan untuk setiap pecahan. Untuk melakukan ini, bagi penyebut umum 6 dengan masing-masing penyebut

pengali tambahan untuk pecahan

pengali tambahan untuk pecahan

3. kalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahan yang sesuai dengannya. Dengan demikian, kita mendapatkan persamaan

yang setara dengan persamaan ini

Mari kita buka tanda kurung di sebelah kiri, pindahkan bagian kanan ke kiri, ubah tanda istilah selama transfer ke kebalikannya.

Kami memberikan suku-suku polinomial yang serupa dan memperoleh

Kita lihat bahwa persamaannya linier.

Memecahkannya, kami menemukan bahwa x = 0,5.

3 Solusi persamaan rasional pecahan

Pertimbangkan solusi persamaan rasional fraksional.

Sebagai contoh:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut terkecil dari penyebut pecahan rasional yang ada di dalamnya.

Temukan penyebut yang sama untuk penyebut x + 7 dan x - 1.

Ini sama dengan produk mereka (x + 7) (x - 1).

2. Mari kita cari faktor tambahan untuk setiap pecahan rasional.

Untuk melakukan ini, kita membagi penyebut bersama (x + 7) (x - 1) dengan masing-masing penyebut. Pengganda tambahan untuk pecahan

sama dengan x - 1,

pengali tambahan untuk pecahan

sama dengan x+7.

3. Kalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahan yang sesuai.

Kami mendapatkan persamaan (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), yang setara dengan persamaan ini

4.Kiri dan kanan kalikan binomial dengan binomial dan dapatkan persamaan berikut:

5. Kami memindahkan bagian kanan ke kiri, mengubah tanda setiap istilah saat mentransfer ke kebalikannya:

6. Kami menyajikan anggota polinomial yang serupa:

7. Anda dapat membagi kedua bagian dengan -1. Kami mendapatkan persamaan kuadrat:

8. Setelah diselesaikan, kita akan menemukan akarnya

Karena dalam persamaan

bagian kiri dan kanan adalah ekspresi pecahan, dan dalam ekspresi pecahan, untuk beberapa nilai variabel, penyebut mungkin hilang, maka perlu untuk memeriksa apakah penyebut umum tidak hilang ketika x1 dan x2 ditemukan.

Pada x = -27 penyebut yang sama (x + 7)(x - 1) tidak hilang, pada x = -1 penyebutnya juga bukan nol.

Oleh karena itu, akar -27 dan -1 keduanya adalah akar persamaan.

Saat memecahkan persamaan rasional fraksional, lebih baik segera menunjukkan area nilai yang diizinkan. Hilangkan nilai-nilai di mana penyebut bersama menjadi nol.

Pertimbangkan contoh lain untuk memecahkan persamaan rasional pecahan.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan

Kami menguraikan penyebut pecahan di sisi kanan persamaan menjadi faktor-faktor

Kami mendapatkan persamaan

Temukan penyebut yang sama untuk penyebut (x - 5), x, x (x - 5).

Ini akan menjadi ekspresi x (x - 5).

sekarang mari kita cari kisaran nilai persamaan yang dapat diterima

Untuk melakukan ini, kami menyamakan penyebut bersama dengan nol x (x - 5) \u003d 0.

Kami mendapatkan persamaan, memecahkan yang, kami menemukan bahwa pada x \u003d 0 atau pada x \u003d 5, penyebut yang sama menghilang.

Jadi x = 0 atau x = 5 tidak bisa menjadi akar persamaan kita.

Sekarang Anda dapat menemukan pengganda tambahan.

Pengganda tambahan untuk pecahan rasional

pengali tambahan untuk pecahan

akan menjadi (x - 5),

dan faktor tambahan dari pecahan

Kami mengalikan pembilang dengan faktor tambahan yang sesuai.

Kami mendapatkan persamaan x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Mari kita buka tanda kurung di kiri dan kanan, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Mari pindahkan suku dari kanan ke kiri dengan mengubah tanda suku yang akan dipindahkan:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Dan setelah membawa istilah yang serupa, kami mendapatkan persamaan kuadrat x2 - 3x - 10 \u003d 0. Setelah menyelesaikannya, kami menemukan akarnya x1 \u003d -2; x2 = 5.

Tetapi kita telah menemukan bahwa pada x = 5 penyebut yang sama x(x - 5) menghilang. Oleh karena itu, akar persamaan kita

akan menjadi x = -2.

4 Ringkasan pelajaran

Penting untuk diingat:

Saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan, Anda harus melakukan hal berikut:

1. Temukan penyebut yang sama dari pecahan yang termasuk dalam persamaan. Selain itu, jika penyebut pecahan dapat dipecah menjadi faktor-faktor, maka dekomposisi menjadi faktor-faktor dan kemudian temukan penyebut yang sama.

2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama: temukan faktor tambahan, kalikan pembilang dengan faktor tambahan.

3. Selesaikan seluruh persamaan yang dihasilkan.

4. Kecualikan dari akarnya yang mengubah penyebut bersama menjadi nol.

Daftar literatur yang digunakan:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Di bawah redaksi Telyakovsky S.A. Aljabar: buku teks. untuk 8 sel. pendidikan umum institusi. - M.: Pendidikan, 2013.
2. Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 8: Dalam dua bagian. Bagian 1: Prok. untuk pendidikan umum institusi. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Perkembangan pelajaran dalam aljabar: Kelas 8. - M.: VAKO, 2010.
4. Aljabar kelas 8: rencana pelajaran menurut buku teks oleh Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L.A. Tapilina. - Volgograd: Guru, 2005.

Sederhananya, ini adalah persamaan di mana setidaknya ada satu variabel dengan penyebutnya.

Sebagai contoh:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Contoh bukan persamaan rasional pecahan:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Bagaimana penyelesaian persamaan rasional pecahan?

Hal utama yang perlu diingat tentang persamaan rasional fraksional adalah Anda harus menulis di dalamnya. Dan setelah menemukan akarnya, pastikan untuk memeriksanya untuk dapat diterima. Jika tidak, akar asing mungkin muncul, dan seluruh solusi akan dianggap salah.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Tulis dan "pecahkan" ODZ.

Kalikan setiap suku dalam persamaan dengan penyebut yang sama dan kurangi pecahan yang dihasilkan. Penyebutnya akan hilang.

Tulis persamaan tanpa kurung buka.

Selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Periksa akar yang ditemukan dengan ODZ.

Tuliskan sebagai tanggapan akar yang lulus tes pada langkah 7.

Jangan menghafal algoritme, 3-5 persamaan yang diselesaikan - dan itu akan diingat dengan sendirinya.

Contoh . Memecahkan persamaan rasional pecahan \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Keputusan:

Menjawab: \(3\).

Contoh . Cari akar persamaan rasional pecahan \(=0\)

Keputusan:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Kami menuliskan dan "memecahkan" ODZ. Luaskan \(x^2+7x+10\) ke dalam rumus: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Untungnya \(x_1\) dan \(x_2\) telah kami temukan.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Jelas, penyebut pecahan: \((x+2)(x+5)\). Kami mengalikan seluruh persamaan dengannya.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Kami mengurangi pecahan
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Membuka kurung
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Kami memberikan istilah suka
\(2x^2+9x-5=0\)		Mencari akar persamaan
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Salah satu akar tidak cocok di bawah ODZ, jadi sebagai tanggapan kami hanya menuliskan akar kedua.

Menjawab: \(\frac(1)(2)\).

Kami memperkenalkan persamaan di atas dalam 7. Pertama, kami mengingat apa itu ekspresi rasional. Ini adalah ekspresi aljabar yang terdiri dari angka dan variabel x menggunakan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponen dengan eksponen alami.

Jika r(x) adalah ekspresi rasional, maka persamaan r(x) = 0 disebut persamaan rasional.

Namun, dalam praktiknya lebih mudah menggunakan interpretasi yang agak lebih luas dari istilah "persamaan rasional": ini adalah persamaan dengan bentuk h(x) = q(x), di mana h(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional.

Sampai sekarang, kami tidak dapat memecahkan persamaan rasional apa pun, tetapi hanya satu yang, sebagai hasil dari berbagai transformasi dan penalaran, direduksi menjadi persamaan linier. Sekarang kemungkinan kita jauh lebih besar: kita akan dapat memecahkan persamaan rasional, yang tidak hanya tereduksi menjadi linier
mu, tetapi juga untuk persamaan kuadrat.

Ingat bagaimana kita memecahkan persamaan rasional sebelumnya dan mencoba merumuskan algoritma solusi.

Contoh 1 selesaikan persamaannya

Keputusan. Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk

Dalam hal ini, seperti biasa, kami menggunakan fakta bahwa persamaan A \u003d B dan A - B \u003d 0 menyatakan hubungan yang sama antara A dan B. Ini memungkinkan kami untuk memindahkan suku ke ruas kiri persamaan dengan tanda yang berlawanan.

Mari kita lakukan transformasi ruas kiri persamaan. Kita punya

Ingat kondisi kesetaraan pecahan nol: jika, dan hanya jika, dua hubungan terpenuhi secara bersamaan:

1) pembilang pecahan adalah nol (a = 0); 2) penyebut pecahan berbeda dengan nol).
Menyamakan dengan nol pembilang pecahan di ruas kiri persamaan (1), kita peroleh

Tinggal memeriksa pemenuhan syarat kedua yang disebutkan di atas. Rasio berarti untuk persamaan (1) bahwa . Nilai x 1 = 2 dan x 2 = 0,6 memenuhi hubungan yang ditunjukkan dan oleh karena itu berfungsi sebagai akar persamaan (1), dan pada saat yang sama akar persamaan yang diberikan.

1) Ubah persamaan menjadi bentuk

2) Mari kita lakukan transformasi ruas kiri persamaan ini:

(bersamaan mengubah tanda di pembilang dan
pecahan).
Dengan demikian, persamaan yang diberikan mengambil bentuk

3) Selesaikan persamaan x 2 - 6x + 8 = 0. Temukan

4) Untuk nilai yang ditemukan, periksa kondisinya . Angka 4 memenuhi kondisi ini, tetapi angka 2 tidak. Jadi 4 adalah akar dari persamaan yang diberikan, dan 2 adalah akar asing.
Jawaban: 4.

2. Penyelesaian persamaan rasional dengan memasukkan variabel baru

Metode memperkenalkan variabel baru sudah tidak asing lagi bagi Anda, kami telah menggunakannya lebih dari sekali. Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana digunakan dalam memecahkan persamaan rasional.

Contoh 3 Selesaikan persamaan x 4 + x 2 - 20 = 0.

Keputusan. Kami memperkenalkan variabel baru y \u003d x 2. Karena x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, maka persamaan yang diberikan dapat ditulis ulang dalam bentuk

y 2 + y - 20 = 0.

Ini adalah persamaan kuadrat, yang akar-akarnya akan kita temukan menggunakan persamaan yang diketahui rumus; kita dapatkan y 1 = 4, y 2 = - 5.
Tetapi y \u003d x 2, yang berarti bahwa masalahnya telah direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Dari persamaan pertama kami menemukan persamaan kedua tidak memiliki akar.
Menjawab: .
Persamaan bentuk ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 disebut persamaan biquadratic ("bi" - dua, yaitu, seolah-olah, persamaan "dua kali persegi"). Persamaan yang baru saja diselesaikan benar-benar biquadratic. Persamaan biquadratic apa pun diselesaikan dengan cara yang sama seperti persamaan dari contoh 3: variabel baru y \u003d x 2 diperkenalkan, persamaan kuadrat yang dihasilkan diselesaikan sehubungan dengan variabel y, dan kemudian dikembalikan ke variabel x.

Contoh 4 selesaikan persamaannya

Keputusan. Perhatikan bahwa ekspresi yang sama x 2 + 3x muncul dua kali di sini. Oleh karena itu, masuk akal untuk memperkenalkan variabel baru y = x 2 + Zx. Ini akan memungkinkan kita untuk menulis ulang persamaan dalam bentuk yang lebih sederhana dan lebih menyenangkan (yang sebenarnya adalah tujuan untuk memperkenalkan persamaan baru. variabel- dan merekam lebih mudah
, dan struktur persamaan menjadi lebih jelas):

Dan sekarang kita akan menggunakan algoritma untuk memecahkan persamaan rasional.

1) Mari kita pindahkan semua suku persamaan menjadi satu bagian:

= 0
2) Mari kita ubah ruas kiri persamaan

Jadi, kami telah mengubah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk

3) Dari persamaan - 7y 2 + 29y -4 = 0 kita temukan (kita telah memecahkan cukup banyak persamaan kuadrat, jadi mungkin tidak layak untuk selalu memberikan perhitungan terperinci di buku teks).

4) Mari kita periksa akar yang ditemukan menggunakan kondisi 5 (y - 3) (y + 1). Kedua akar memenuhi kondisi ini.
Jadi, persamaan kuadrat untuk variabel baru y diselesaikan:
Karena y \u003d x 2 + Zx, dan y, seperti yang telah kita tetapkan, mengambil dua nilai: 4 dan, - kita masih harus menyelesaikan dua persamaan: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Akar persamaan pertama adalah angka 1 dan - 4, akar persamaan kedua adalah angka

Dalam contoh-contoh yang dipertimbangkan, metode memperkenalkan variabel baru, seperti yang sering dikatakan oleh para matematikawan, memadai untuk situasi itu, yaitu, cocok dengannya. Mengapa? Ya, karena ekspresi yang sama dengan jelas ditemui dalam catatan persamaan beberapa kali dan masuk akal untuk menunjuk ekspresi ini dengan huruf baru. Tetapi ini tidak selalu terjadi, terkadang variabel baru "muncul" hanya dalam proses transformasi. Inilah yang akan terjadi pada contoh berikutnya.

Contoh 5 selesaikan persamaannya
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Keputusan. Kita punya
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Jadi persamaan yang diberikan dapat ditulis ulang sebagai

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Sekarang variabel baru telah "muncul": y = x 2 - Zx.

Dengan bantuannya, persamaan dapat ditulis ulang dalam bentuk y (y + 2) \u003d 24 dan kemudian y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Akar persamaan ini adalah angka 4 dan -6.

Kembali ke variabel asli x, kami memperoleh dua persamaan x 2 - Zx \u003d 4 dan x 2 - Zx \u003d - 6. Dari persamaan pertama kami menemukan x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; persamaan kedua tidak memiliki akar.

Jawaban: 4, - 1.

Isi pelajaran ringkasan pelajaran mendukung bingkai pelajaran presentasi metode akselerasi teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan ujian mandiri lokakarya, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah pertanyaan diskusi pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video, dan multimedia foto, gambar grafik, tabel, skema humor, anekdot, lelucon, perumpamaan komik, ucapan, teka-teki silang, kutipan Add-on abstrak chip artikel untuk lembar contekan yang ingin tahu, buku teks dasar dan glosarium tambahan istilah lainnya Memperbaiki buku pelajaran dan pelajaranmengoreksi kesalahan dalam buku teks memperbarui fragmen dalam buku teks elemen inovasi dalam pelajaran menggantikan pengetahuan usang dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk tahun rekomendasi metodologis dari program diskusi Pelajaran Terintegrasi

Mari berkenalan dengan persamaan rasional rasional dan fraksional, memberikan definisinya, memberikan contoh, dan juga menganalisis jenis masalah yang paling umum.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan Rasional: Pengertian dan Contoh

Berkenalan dengan ekspresi rasional dimulai di kelas 8 sekolah. Pada saat ini, dalam pelajaran aljabar, siswa semakin mulai memenuhi tugas-tugas dengan persamaan yang mengandung ekspresi rasional dalam catatan mereka. Mari kita segarkan ingatan kita tentang apa itu.

Definisi 1

persamaan rasional adalah persamaan di mana kedua sisi mengandung ekspresi rasional.

Dalam berbagai manual, Anda dapat menemukan kata-kata lain.

Definisi 2

persamaan rasional- ini adalah persamaan, catatan sisi kiri yang berisi ekspresi rasional, dan yang kanan berisi nol.

Definisi yang kami berikan untuk persamaan rasional adalah ekuivalen, karena keduanya memiliki arti yang sama. Kebenaran kata-kata kami dikonfirmasi oleh fakta bahwa untuk ekspresi rasional apa pun P dan Q persamaan P=Q dan P Q = 0 akan menjadi ekspresi yang setara.

Sekarang mari kita beralih ke contoh.

Contoh 1

Persamaan rasional:

x = 1 , 2 x 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Persamaan rasional, seperti persamaan jenis lainnya, dapat berisi sejumlah variabel dari 1 hingga beberapa. Untuk memulainya, kita akan melihat contoh sederhana di mana persamaan hanya akan berisi satu variabel. Dan kemudian kita mulai secara bertahap memperumit tugas.

Persamaan rasional dibagi menjadi dua kelompok besar: bilangan bulat dan pecahan. Mari kita lihat persamaan mana yang akan berlaku untuk masing-masing grup.

Definisi 3

Persamaan rasional akan menjadi bilangan bulat jika catatan bagian kiri dan kanannya berisi seluruh ekspresi rasional.

Definisi 4

Persamaan rasional akan menjadi pecahan jika salah satu atau kedua bagiannya mengandung pecahan.

Persamaan rasional fraksional harus mengandung pembagian oleh variabel, atau variabel hadir dalam penyebut. Tidak ada pembagian seperti itu dalam menulis persamaan bilangan bulat.

Contoh 2

3 x + 2 = 0 dan (x + y) (3 x 2 1) + x = y + 0 , 5 adalah seluruh persamaan rasional. Di sini kedua bagian persamaan diwakili oleh ekspresi bilangan bulat.

1 x - 1 = x 3 dan x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x 1) : 5 adalah persamaan rasional fraksional.

Seluruh persamaan rasional termasuk persamaan linier dan kuadrat.

Memecahkan persamaan bilangan bulat

Solusi dari persamaan tersebut biasanya direduksi menjadi transformasinya menjadi persamaan aljabar yang setara. Hal ini dapat dicapai dengan melakukan transformasi setara dari persamaan sesuai dengan algoritma berikut:

• pertama kita mendapatkan nol di sisi kanan persamaan, untuk ini perlu untuk mentransfer ekspresi yang ada di sisi kanan persamaan ke sisi kirinya dan mengubah tanda;
• kemudian kita ubah ekspresi di ruas kiri persamaan menjadi polinomial bentuk standar.

Kita harus mendapatkan persamaan aljabar. Persamaan ini akan setara dengan persamaan aslinya. Kasus mudah memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dengan mereduksi seluruh persamaan menjadi persamaan linier atau kuadrat. Dalam kasus umum, kami memecahkan persamaan aljabar derajat n.

Contoh 3

Hal ini diperlukan untuk menemukan akar dari seluruh persamaan 3 (x + 1) (x 3) = x (2 x 1) 3.

Keputusan

Mari kita ubah ekspresi aslinya untuk mendapatkan persamaan aljabar yang ekuivalen dengannya. Untuk melakukan ini, kita akan memindahkan ekspresi yang terdapat di ruas kanan persamaan ke ruas kiri dan mengubah tandanya menjadi kebalikannya. Hasilnya, kita mendapatkan: 3 (x + 1) (x 3) x (2 x 1) + 3 = 0.

Sekarang kita akan mengubah ekspresi di sisi kiri menjadi polinomial dari bentuk standar dan melakukan tindakan yang diperlukan dengan polinomial ini:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Kami berhasil mengurangi solusi persamaan asli menjadi solusi persamaan kuadrat dalam bentuk x 2 5 x 6 = 0. Diskriminan persamaan ini positif: D = (− 5) 2 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Ini berarti akan ada dua akar real. Mari kita cari menggunakan rumus akar persamaan kuadrat:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 atau x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 atau x 2 = - 1

Mari kita periksa kebenaran akar persamaan yang kita temukan dalam penyelesaian. Untuk nomor ini, yang kami terima, kami mengganti ke persamaan asli: 3 (6 + 1) (6 3) = 6 (2 6 1) 3 dan 3 (− 1 + 1) (− 1 3) = (− 1) (2 (− 1) 1) 3. Dalam kasus pertama 63 = 63 , di detik 0 = 0 . Akar x=6 dan x = 1 memang akar dari persamaan yang diberikan dalam kondisi contoh.

Menjawab: 6 , − 1 .

Mari kita lihat apa yang dimaksud dengan "kekuatan seluruh persamaan". Kita akan sering menemukan istilah ini dalam kasus-kasus ketika kita perlu merepresentasikan seluruh persamaan dalam bentuk aljabar. Mari kita definisikan konsepnya.

Definisi 5

Derajat persamaan bilangan bulat adalah derajat persamaan aljabar yang setara dengan seluruh persamaan asli.

Jika Anda melihat persamaan dari contoh di atas, Anda dapat menetapkan: derajat seluruh persamaan ini adalah yang kedua.

Jika kursus kami terbatas pada penyelesaian persamaan tingkat kedua, maka pembahasan topik dapat diselesaikan di sini. Tapi semuanya tidak begitu sederhana. Memecahkan persamaan tingkat ketiga penuh dengan kesulitan. Dan untuk persamaan di atas derajat keempat, tidak ada rumus umum untuk akar sama sekali. Dalam hal ini, penyelesaian seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan derajat lainnya mengharuskan kita untuk menggunakan sejumlah teknik dan metode lain.

Pendekatan yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Algoritma tindakan dalam hal ini adalah sebagai berikut:

• kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke sisi kiri sehingga nol tetap berada di sisi kanan catatan;
• kami mewakili ekspresi di sisi kiri sebagai produk dari faktor-faktor, dan kemudian kami beralih ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.

Contoh 4

Temukan solusi dari persamaan (x 2 1) (x 2 10 x + 13) = 2 x (x 2 10 x + 13) .

Keputusan

Kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan catatan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan: (x 2 1) (x 2 10 x + 13) 2 x (x 2 10 x + 13) = 0. Mengonversi ruas kiri ke polinomial bentuk standar tidak praktis karena fakta bahwa ini akan memberi kita persamaan aljabar derajat keempat: x 4 12 x 3 + 32 x 2 16 x 13 = 0. Kemudahan transformasi tidak membenarkan semua kesulitan dengan memecahkan persamaan seperti itu.

Jauh lebih mudah untuk pergi ke arah lain: kita menghilangkan faktor umum x 2 10 x + 13 . Jadi kita sampai pada persamaan bentuk (x 2 10 x + 13) (x 2 2 x 1) = 0. Sekarang kita ganti persamaan yang dihasilkan dengan himpunan dua persamaan kuadrat x 2 10 x + 13 = 0 dan x 2 2 x 1 = 0 dan cari akarnya melalui diskriminan: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Menjawab: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Demikian pula, kita dapat menggunakan metode memperkenalkan variabel baru. Metode ini memungkinkan kita untuk melewati persamaan setara dengan kekuatan lebih rendah daripada yang ada di seluruh persamaan asli.

Contoh 5

Apakah persamaan memiliki akar? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = 2 (x 2 + 3 x 4)?

Keputusan

Jika sekarang kita mencoba mereduksi seluruh persamaan rasional menjadi persamaan aljabar, kita akan mendapatkan persamaan derajat 4, yang tidak memiliki akar rasional. Oleh karena itu, akan lebih mudah bagi kita untuk pergi ke arah lain: perkenalkan variabel baru y, yang akan menggantikan ekspresi dalam persamaan x2 + 3x.

Sekarang kita akan bekerja dengan seluruh persamaan (y + 1) 2 + 10 = 2 (y 4). Kami mentransfer sisi kanan persamaan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan dan melakukan transformasi yang diperlukan. Kita mendapatkan: y 2 + 4 y + 3 = 0. Mari kita cari akar persamaan kuadrat: y = 1 dan y = 3.

Sekarang mari kita lakukan substitusi terbalik. Kami mendapatkan dua persamaan x 2 + 3 x = 1 dan x 2 + 3 x = - 3 . Mari kita tulis ulang menjadi x 2 + 3 x + 1 = 0 dan x 2 + 3 x + 3 = 0. Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akar persamaan pertama yang diperoleh: - 3 ± 5 2 . Diskriminan persamaan kedua adalah negatif. Ini berarti persamaan kedua tidak memiliki akar real.

Menjawab:- 3 ± 5 2

Persamaan bilangan bulat derajat tinggi cukup sering ditemukan dalam masalah. Tidak perlu takut pada mereka. Anda harus siap untuk menerapkan metode non-standar untuk menyelesaikannya, termasuk sejumlah transformasi buatan.

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

Kami memulai pembahasan subtopik ini dengan algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional dalam bentuk p (x) q (x) = 0 , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi rasional bilangan bulat. Solusi persamaan rasional fraksional lainnya selalu dapat direduksi menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.

Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan p (x) q (x) = 0 didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik kamu v, di mana v adalah bilangan yang berbeda dengan nol, sama dengan nol hanya dalam hal pembilang pecahan sama dengan nol. Mengikuti logika pernyataan di atas, kita dapat menyatakan bahwa solusi dari persamaan p (x) q (x) = 0 dapat direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi: p(x)=0 dan q(x) 0. Pada ini, sebuah algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional dari bentuk p (x) q (x) = 0 dibangun:

• kami menemukan solusi dari seluruh persamaan rasional p(x)=0;
• kami memeriksa apakah kondisinya terpenuhi untuk akar yang ditemukan selama penyelesaian q(x) 0.

Jika kondisi ini terpenuhi, maka root ditemukan, jika tidak, maka root bukanlah solusi dari masalah.

Contoh 6

Carilah akar-akar persamaan 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Keputusan

Kita berurusan dengan persamaan rasional pecahan dalam bentuk p (x) q (x) = 0 , di mana p (x) = 3 · x 2 , q (x) = 5 · x 2 2 = 0 . Mari kita mulai menyelesaikan persamaan linear 3 x - 2 = 0. Akar persamaan ini adalah x = 2 3.

Mari kita periksa root yang ditemukan, apakah memenuhi kondisi 5 x 2 - 2 0. Untuk melakukan ini, gantikan nilai numerik ke dalam ekspresi. Kami mendapatkan: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 0.

Kondisi terpenuhi. Ini berarti bahwa x = 2 3 adalah akar dari persamaan awal.

Menjawab: 2 3 .

Ada pilihan lain untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan p (x) q (x) = 0 . Ingatlah bahwa persamaan ini setara dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dari persamaan asli. Hal ini memungkinkan kita untuk menggunakan algoritma berikut dalam menyelesaikan persamaan p(x) q(x) = 0:

• selesaikan persamaannya p(x)=0;
• temukan kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x ;
• kami mengambil akar yang terletak di wilayah nilai yang dapat diterima dari variabel x sebagai akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.

Contoh 7

Selesaikan persamaan x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Keputusan

Pertama, mari kita selesaikan persamaan kuadratnya x 2 2 x 11 = 0. Untuk menghitung akarnya, kami menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap. Kita mendapatkan D 1 = (− 1) 2 1 (− 11) = 12, dan x = 1 ± 2 3 .

Sekarang kita dapat menemukan ODV dari x untuk persamaan aslinya. Ini semua adalah angka yang x 2 + 3 x 0. Ini sama dengan x (x + 3) 0, dari mana x 0, x 3 .

Sekarang mari kita periksa apakah akar x = 1 ± 2 3 yang diperoleh pada tahap pertama dari solusi berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x . Kami melihat apa yang masuk. Ini berarti bahwa persamaan rasional pecahan asli memiliki dua akar x = 1 ± 2 3 .

Menjawab: x = 1 ± 2 3

Metode solusi kedua yang dijelaskan lebih sederhana daripada yang pertama dalam kasus di mana luas nilai yang dapat diterima dari variabel x mudah ditemukan, dan akar persamaan p(x)=0 irasional. Misalnya, 7 ± 4 26 9 . Akar bisa rasional, tetapi dengan pembilang atau penyebut yang besar. Sebagai contoh, 127 1101 dan − 31 59 . Ini menghemat waktu untuk memeriksa kondisi. q(x) 0: jauh lebih mudah untuk mengecualikan akar yang tidak sesuai, menurut ODZ.

Ketika akar-akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, lebih bijaksana untuk menggunakan yang pertama dari algoritma yang dijelaskan untuk memecahkan persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 . Menemukan akar seluruh persamaan lebih cepat p(x)=0, dan kemudian periksa apakah kondisinya terpenuhi untuk mereka q(x) 0, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian memecahkan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.

Contoh 8

Cari akar persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Keputusan

Kita mulai dengan mempertimbangkan seluruh persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 dan menemukan akarnya. Untuk melakukan ini, kami menerapkan metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi. Ternyata persamaan asli ekuivalen dengan himpunan empat persamaan 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, yang tiga di antaranya linier dan satu persegi. Kami menemukan akarnya: dari persamaan pertama x = 1 2, dari yang kedua x=6, dari yang ketiga - x \u003d 7, x \u003d - 2, dari yang keempat - x = 1.

Mari kita periksa akar yang diperoleh. Definisikan K3 dalam kasus ini sulit bagi kita, karena untuk ini kita harus menyelesaikan persamaan aljabar derajat kelima. Akan lebih mudah untuk memeriksa kondisi di mana penyebut pecahan, yang ada di sisi kiri persamaan, tidak boleh hilang.

Pada gilirannya, gantikan akar di tempat variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 + 57 x 3 13 x 2 + 26 x + 112 dan hitung nilainya:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 0;

6 5 15 6 4 + 57 6 3 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 0 ;

7 5 15 7 4 + 57 7 3 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = 720 0 ;

(− 1) 5 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Verifikasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk menetapkan bahwa akar dari persamaan rasional pecahan asli adalah 1 2 , 6 dan − 2 .

Menjawab: 1 2 , 6 , - 2

Contoh 9

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Keputusan

Mari kita mulai dengan persamaan (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Mari kita temukan akarnya. Lebih mudah bagi kita untuk merepresentasikan persamaan ini sebagai kombinasi persamaan kuadrat dan linier 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 dan x 2 = 0.

Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akarnya. Kami mendapatkan dua akar x = 7 ± 69 10 dari persamaan pertama, dan dari yang kedua x=2.

Mengganti nilai akar ke dalam persamaan asli untuk memeriksa kondisinya akan cukup sulit bagi kita. Akan lebih mudah untuk menentukan LPV dari variabel x . Dalam hal ini, DPV dari variabel x adalah semua bilangan, kecuali yang memenuhi syarat x 2 + 5 x 14 = 0. Didapatkan: x - , - 7 - 7 , 2 2 , + .

Sekarang mari kita periksa apakah akar yang kita temukan termasuk dalam kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x.

Akar x = 7 ± 69 10 - termasuk, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2- bukan milik, oleh karena itu, ini adalah root yang asing.

Menjawab: x = 7 ± 69 10 .

Mari kita periksa secara terpisah kasus-kasus ketika pembilang dari persamaan rasional pecahan berbentuk p (x) q (x) = 0 berisi angka. Dalam kasus seperti itu, jika pembilangnya berisi angka selain nol, maka persamaan tidak akan memiliki akar. Jika angka ini sama dengan nol, maka akar persamaan akan berupa angka apa pun dari ODZ.

Contoh 10

Selesaikan persamaan rasional pecahan - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Keputusan

Persamaan ini tidak akan memiliki akar, karena pembilang pecahan dari ruas kiri persamaan berisi bilangan bukan nol. Artinya, untuk setiap nilai x nilai pecahan yang diberikan dalam kondisi soal tidak akan sama dengan nol.

Menjawab: tidak ada akar.

Contoh 11

Selesaikan persamaan 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Keputusan

Karena pembilang pecahan adalah nol, solusi persamaan akan berupa nilai x dari variabel ODZ x.

Sekarang mari kita definisikan ODZ. Ini akan mencakup semua nilai x yang untuknya x 4 + 5 x 3 0. solusi persamaan x 4 + 5 x 3 = 0 adalah 0 dan − 5 , karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) = 0, dan itu, pada gilirannya, setara dengan himpunan dua persamaan x 3 = 0 dan x + 5 = 0 di mana akar ini terlihat. Kami sampai pada kesimpulan bahwa rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali x=0 dan x = -5.

Ternyata persamaan rasional pecahan 0 x 4 + 5 x 3 = 0 memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan - 5.

Menjawab: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Sekarang mari kita bicara tentang persamaan rasional fraksional dari bentuk arbitrer dan metode untuk menyelesaikannya. Mereka dapat ditulis sebagai r(x) = s(x), di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Solusi persamaan tersebut direduksi menjadi solusi persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 .

Kita sudah tahu bahwa kita bisa mendapatkan persamaan setara dengan mentransfer ekspresi dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan. Ini berarti persamaan r(x) = s(x) setara dengan persamaan r (x) s (x) = 0. Kami juga telah membahas bagaimana mengubah ekspresi rasional menjadi pecahan rasional. Berkat ini, kita dapat dengan mudah mengubah persamaan r (x) s (x) = 0 ke dalam pecahan rasional identik dari bentuk p (x) q (x) .

Jadi kita pindah dari persamaan rasional pecahan asli r(x) = s(x) ke persamaan bentuk p (x) q (x) = 0 , yang telah kita pelajari cara menyelesaikannya.

Perlu dicatat bahwa ketika membuat transisi dari r (x) s (x) = 0 ke p (x) q (x) = 0 dan kemudian ke p(x)=0 kami mungkin tidak memperhitungkan perluasan rentang nilai valid dari variabel x .

Cukup realistis bahwa persamaan aslinya r(x) = s(x) dan persamaan p(x)=0 sebagai hasil dari transformasi, mereka akan berhenti menjadi setara. Maka solusi persamaan p(x)=0 dapat memberi kita akar yang akan asing bagi r(x) = s(x). Dalam hal ini, dalam setiap kasus perlu dilakukan pemeriksaan dengan salah satu metode yang dijelaskan di atas.

Untuk memudahkan Anda mempelajari topik tersebut, kami telah menggeneralisasi semua informasi ke dalam algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dalam bentuk r(x) = s(x):

• kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan dan mendapatkan nol di sebelah kanan;
• kami mengubah ekspresi asli menjadi pecahan rasional p (x) q (x) , secara berurutan melakukan operasi dengan pecahan dan polinomial;
• selesaikan persamaannya p(x)=0;
• kami mengungkapkan akar asing dengan memeriksa milik mereka ke ODZ atau dengan mengganti ke persamaan asli.

Secara visual, rangkaian tindakan akan terlihat seperti ini:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → putus sekolah r o n d e r o n s

Contoh 12

Selesaikan persamaan rasional pecahan x x + 1 = 1 x + 1 .

Keputusan

Mari kita beralih ke persamaan x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Mari kita ubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan ke bentuk p (x) q (x) .

Untuk melakukan ini, kita harus mengurangi pecahan rasional menjadi penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Untuk mencari akar persamaan - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, kita perlu menyelesaikan persamaan 2 x 1 = 0. Kami mendapatkan satu root x = - 1 2.

Tetap bagi kami untuk melakukan pemeriksaan dengan salah satu metode. Mari kita pertimbangkan keduanya.

Substitusikan nilai yang dihasilkan ke persamaan awal. Kami mendapatkan - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Kami telah sampai pada persamaan numerik yang benar − 1 = − 1 . Ini berarti bahwa x = 1 2 adalah akar dari persamaan awal.

Sekarang kita akan memeriksa melalui ODZ. Mari kita tentukan luas nilai yang dapat diterima untuk variabel x . Ini akan menjadi seluruh himpunan angka, kecuali untuk 1 dan 0 (bila x = 1 dan x = 0, penyebut pecahan hilang). Akar yang kita dapatkan x = 1 2 milik ODZ. Ini berarti bahwa itu adalah akar dari persamaan asli.

Menjawab: − 1 2 .

Contoh 13

Temukan akar-akar persamaan x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Keputusan

Kita berurusan dengan persamaan rasional pecahan. Oleh karena itu, kami akan bertindak sesuai dengan algoritma.

Mari pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke kiri dengan tanda yang berlawanan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Mari kita lakukan transformasi yang diperlukan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Kami sampai pada persamaan x=0. Akar persamaan ini adalah nol.

Mari kita periksa apakah akar ini adalah akar asing untuk persamaan aslinya. Substitusikan nilai ke persamaan awal: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Seperti yang Anda lihat, persamaan yang dihasilkan tidak masuk akal. Ini berarti bahwa 0 adalah akar asing, dan persamaan rasional pecahan asli tidak memiliki akar.

Menjawab: tidak ada akar.

Jika kita belum memasukkan transformasi ekuivalen lainnya dalam algoritme, ini tidak berarti sama sekali bahwa transformasi tersebut tidak dapat digunakan. Algoritme bersifat universal, tetapi dirancang untuk membantu, bukan membatasi.

Contoh 14

Selesaikan persamaan 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Keputusan

Cara termudah adalah dengan menyelesaikan persamaan rasional fraksional yang diberikan sesuai dengan algoritma. Tetapi ada cara lain. Mari kita pertimbangkan.

Kurangi dari bagian kanan dan kiri 7, kita mendapatkan: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan kebalikan bilangan dari ruas kanan, yaitu 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Kurangi dari kedua bagian 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Dengan analogi 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, dari mana 1 5 - x 2 \u003d 1 3, dan selanjutnya 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Mari kita periksa untuk menentukan apakah akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan aslinya.

Menjawab: x = ± 2

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Kami terus berbicara tentang solusi persamaan. Dalam artikel ini, kami akan fokus pada persamaan rasional dan prinsip-prinsip untuk memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel. Pertama, mari kita cari tahu jenis persamaan apa yang disebut rasional, berikan definisi persamaan rasional bilangan bulat dan rasional pecahan, dan berikan contohnya. Selanjutnya, kita akan memperoleh algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, tentu saja, mempertimbangkan solusi dari contoh tipikal dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi yang terdengar, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Misalnya, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , adalah semua persamaan rasional.

Dari contoh-contoh yang ditunjukkan, dapat dilihat bahwa persamaan rasional, serta persamaan jenis lain, dapat berupa satu variabel, atau dengan dua, tiga, dll. variabel. Dalam paragraf berikut, kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional dalam satu variabel. Memecahkan persamaan dengan dua variabel dan jumlah mereka yang besar patut mendapat perhatian khusus.

Selain membagi persamaan rasional dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, mereka juga dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan rasional disebut utuh, jika kedua bagian kiri dan kanannya adalah ekspresi rasional bilangan bulat.

Definisi.

Jika setidaknya salah satu bagian dari persamaan rasional adalah ekspresi pecahan, maka persamaan tersebut disebut rasional fraksional(atau rasional fraksional).

Jelas bahwa persamaan bilangan bulat tidak mengandung pembagian dengan variabel; sebaliknya, persamaan rasional pecahan harus mengandung pembagian oleh variabel (atau variabel dalam penyebut). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y) (3 x 2 1)+x=−y+0,5 adalah seluruh persamaan rasional, kedua bagiannya adalah ekspresi bilangan bulat. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 adalah contoh persamaan rasional pecahan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan linier dan persamaan kuadrat yang diketahui saat ini adalah persamaan rasional keseluruhan.

Memecahkan persamaan bilangan bulat

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan seluruh persamaan adalah pengurangannya menjadi setara persamaan aljabar. Ini selalu dapat dilakukan dengan melakukan transformasi setara berikut dari persamaan:

• pertama, ekspresi dari sisi kanan persamaan bilangan bulat asli dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan untuk mendapatkan nol di sisi kanan;
• setelah itu, di sisi kiri persamaan, dihasilkan bentuk standar.

Hasilnya adalah persamaan aljabar yang setara dengan seluruh persamaan asli. Jadi dalam kasus paling sederhana, solusi seluruh persamaan direduksi menjadi solusi persamaan linier atau kuadrat, dan dalam kasus umum - ke solusi persamaan aljabar derajat n. Untuk kejelasan, mari kita menganalisis solusi dari contoh.

Contoh.

Temukan akar dari seluruh persamaan 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Keputusan.

Mari kita kurangi solusi seluruh persamaan ini menjadi solusi persamaan aljabar ekivalen. Untuk melakukan ini, pertama, kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke kiri, sebagai hasilnya kami sampai pada persamaan 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Dan, kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri menjadi polinomial dari bentuk standar dengan melakukan hal yang diperlukan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 5 x−6. Jadi, solusi persamaan bilangan bulat asli direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat x 2 5·x−6=0 .

Hitung diskriminannya D=(−5) 2 4 1 (−6)=25+24=49, itu positif, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar real, yang kita temukan dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

Untuk benar-benar yakin, mari kita lakukan memeriksa akar yang ditemukan dari persamaan. Pertama, kami memeriksa akar 6, menggantinya dengan variabel x dalam persamaan bilangan bulat asli: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, yang sama, 63=63 . Ini adalah persamaan numerik yang valid, jadi x=6 memang akar persamaan. Sekarang kita periksa root 1 , kita punya 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, dimana, 0=0 . Untuk x=−1, persamaan asli juga berubah menjadi persamaan numerik sejati, oleh karena itu, x=−1 juga merupakan akar persamaan.

Menjawab:

6 , −1 .

Di sini juga harus dicatat bahwa istilah "kekuatan seluruh persamaan" dikaitkan dengan representasi seluruh persamaan dalam bentuk persamaan aljabar. Kami memberikan definisi yang sesuai:

Definisi.

Derajat seluruh persamaan sebut derajat persamaan aljabar yang setara dengannya.

Menurut definisi ini, seluruh persamaan dari contoh sebelumnya memiliki derajat kedua.

Yang ini bisa menyelesaikan dengan solusi seluruh persamaan rasional, jika bukan untuk satu tapi .... Seperti diketahui, solusi persamaan aljabar dengan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, dan untuk persamaan dengan derajat yang lebih tinggi dari yang keempat, tidak ada rumus umum untuk akar sama sekali. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan yang lebih tinggi, seseorang sering kali harus menggunakan metode penyelesaian lain.

Dalam kasus seperti itu, terkadang pendekatan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Pada saat yang sama, algoritma berikut diikuti:

• pertama, mereka berusaha untuk memiliki nol di sisi kanan persamaan, untuk ini mereka mentransfer ekspresi dari sisi kanan seluruh persamaan ke kiri;
• kemudian, ekspresi yang dihasilkan di sisi kiri disajikan sebagai produk dari beberapa faktor, yang memungkinkan Anda untuk pergi ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.

Algoritma di atas untuk menyelesaikan seluruh persamaan melalui faktorisasi memerlukan penjelasan rinci menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan seluruh persamaan (x 2 1) (x 2 10 x+13)= 2 x (x 2 10 x+13) .

Keputusan.

Pertama, seperti biasa, kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke ruas kiri persamaan, jangan lupa ubah tandanya, kita peroleh (x 2 1) (x 2 10 x+13) 2 x (x 2 10 x+13)=0 . Cukup jelas di sini bahwa tidak disarankan untuk mengubah ruas kiri persamaan yang dihasilkan menjadi polinomial bentuk standar, karena ini akan memberikan persamaan aljabar derajat keempat bentuk x 4 12 x 3 +32 x 2 16 x−13=0, yang solusinya sulit.

Di sisi lain, jelas bahwa x 2 10·x+13 dapat ditemukan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan, sehingga mewakilinya sebagai produk. Kita punya (x 2 10 x+13) (x 2 2 x−1)=0. Persamaan yang dihasilkan ekuivalen dengan seluruh persamaan semula, dan persamaan tersebut, pada gilirannya, dapat diganti dengan dua persamaan kuadrat x 2 −10·x+13=0 dan x 2 2·x−1=0 . Menemukan akar-akarnya menggunakan rumus akar yang diketahui melalui diskriminan tidaklah sulit, akar-akarnya sama. Mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan asli.

Menjawab:

Ini juga berguna untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional. metode untuk memperkenalkan variabel baru. Dalam beberapa kasus, ini memungkinkan seseorang untuk melewati persamaan yang derajatnya lebih rendah dari derajat persamaan bilangan bulat aslinya.

Contoh.

Tentukan akar real dari persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Keputusan.

Mengurangi seluruh persamaan rasional ini menjadi persamaan aljabar, secara halus, bukanlah ide yang sangat baik, karena dalam kasus ini kita akan menemukan kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat yang tidak memiliki akar rasional. Karena itu, Anda harus mencari solusi lain.

Sangat mudah untuk melihat di sini bahwa Anda dapat memasukkan variabel baru y dan mengganti ekspresi x 2 +3 x dengannya. Penggantian seperti itu membawa kita ke seluruh persamaan (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , yang, setelah mentransfer ekspresi 2 (y−4) ke sisi kiri dan transformasi selanjutnya dari ekspresi yang terbentuk di sana, direduksi menjadi persamaan y 2 +4 y+3=0 . Akar persamaan ini y=−1 dan y=−3 mudah ditemukan, misalnya, mereka dapat ditemukan berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta.

Sekarang mari kita beralih ke bagian kedua dari metode memasukkan variabel baru, yaitu membuat substitusi terbalik. Setelah melakukan substitusi terbalik, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3 , yang dapat ditulis ulang sebagai x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan akar persamaan pertama. Dan persamaan kuadrat kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif (D=3 2 4 3=9−12=−3 ).

Menjawab:

Secara umum, ketika kita berurusan dengan seluruh persamaan derajat tinggi, kita harus selalu siap untuk mencari metode non-standar atau teknik buatan untuk menyelesaikannya.

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

Pertama, akan berguna untuk memahami bagaimana menyelesaikan persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi bilangan bulat rasional. Dan kemudian kami akan menunjukkan cara mengurangi solusi dari persamaan rasional fraksional yang tersisa menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.

Salah satu pendekatan untuk memecahkan persamaan didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik u / v, di mana v adalah bilangan bukan-nol (jika tidak, kita akan menemukan , yang tidak ditentukan), adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya adalah nol, maka adalah, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, solusi persamaan direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi p(x)=0 dan q(x)≠0 .

Kesimpulan ini sesuai dengan yang berikut: algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional. Menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk

• selesaikan seluruh persamaan rasional p(x)=0 ;
• dan periksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk setiap akar yang ditemukan, while
• jika benar, maka akar ini adalah akar dari persamaan awal;
• jika tidak, maka akar ini asing, yaitu, itu bukan akar dari persamaan asli.

Mari kita menganalisis contoh penggunaan algoritme bersuara saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Ini adalah persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 2=0 .

Menurut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional semacam ini, pertama-tama kita harus menyelesaikan persamaan 3·x−2=0 . Ini adalah persamaan linier yang akarnya adalah x=2/3 .

Tetap memeriksa akar ini, yaitu, untuk memeriksa apakah memenuhi kondisi 5·x 2 2≠0 . Kami mengganti angka 2/3 alih-alih x ke dalam ekspresi 5 x 2 2, kami mendapatkan . Kondisi terpenuhi, jadi x=2/3 adalah akar dari persamaan awal.

Menjawab:

2/3 .

Solusi persamaan rasional pecahan dapat didekati dari posisi yang sedikit berbeda. Persamaan ini ekuivalen dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada variabel x dari persamaan awal. Artinya, Anda bisa mengikuti ini algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional :

• selesaikan persamaan p(x)=0 ;
• temukan variabel ODZ x ;
• ambil akar yang termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima - mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat x 2 2·x−11=0 . Akarnya dapat dihitung menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap, kita peroleh D 1 =(−1) 2 1 (−11)=12, dan .

Kedua, kami menemukan ODZ dari variabel x untuk persamaan asli. Ini terdiri dari semua angka yang x 2 +3 x≠0 , yang sama dengan x (x+3)≠0 , dari mana x≠0 , x≠−3 .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan pada langkah pertama termasuk dalam ODZ. Jelas ya. Oleh karena itu, persamaan rasional fraksional asli memiliki dua akar.

Menjawab:

Perhatikan bahwa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada yang pertama jika ODZ mudah ditemukan, dan terutama bermanfaat jika akar persamaan p(x)=0 adalah irasional, misalnya , atau rasional, tetapi dengan pembilang dan/atau penyebut, misalnya 127/1101 dan -31/59 . Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu, memeriksa kondisi q(x)≠0 akan membutuhkan upaya komputasi yang signifikan, dan lebih mudah untuk mengecualikan akar asing dari ODZ.

Dalam kasus lain, saat menyelesaikan persamaan, terutama jika akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, akan lebih menguntungkan untuk menggunakan yang pertama dari algoritma di atas. Artinya, disarankan untuk segera menemukan akar seluruh persamaan p(x)=0 , dan kemudian memeriksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk mereka, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.

Pertimbangkan solusi dari dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar dari seluruh persamaan (2 x−1) (x−6) (x 2 5 x+14) (x+1)=0, disusun menggunakan pembilang pecahan. Ruas kiri persamaan ini adalah produk, dan ruas kanan adalah nol, oleh karena itu, menurut metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi, persamaan ini setara dengan himpunan empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga dari persamaan ini linier dan satu kuadrat, kita dapat menyelesaikannya. Dari persamaan pertama kita temukan x=1/2, dari persamaan kedua - x=6, dari persamaan ketiga - x=7, x=−2, dari persamaan keempat - x=−1.

Dengan akar yang ditemukan, cukup mudah untuk memeriksanya untuk melihat apakah penyebut pecahan di sisi kiri persamaan asli tidak hilang, dan tidak mudah untuk menentukan ODZ, karena ini harus menyelesaikan sebuah persamaan aljabar derajat kelima. Oleh karena itu, kami akan menolak untuk menemukan ODZ demi memeriksa akarnya. Untuk melakukan ini, kami menggantinya secara bergantian sebagai ganti variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 +57 x 3 13 x 2 +26 x+112, diperoleh setelah substitusi, dan bandingkan dengan nol: (1/2) 5 15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 15 6 4 +57 6 3 13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 15 7 4 +57 7 3 13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 15 (−2) 4 +57 (−2) 3 13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 15 (−1) 4 +57 (−1) 3 13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Jadi, 1/2, 6 dan 2 adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli, dan 7 dan 1 adalah akar-akar asing.

Menjawab:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar persamaan (5x2 7x−1)(x−2)=0. Persamaan ini ekuivalen dengan dua persamaan: kuadrat 5·x 2 7·x−1=0 dan linear x−2=0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan dua akar, dan dari persamaan kedua kita memiliki x=2.

Memeriksa apakah penyebut tidak hilang pada nilai x yang ditemukan agak tidak menyenangkan. Dan untuk menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dalam persamaan aslinya cukup sederhana. Oleh karena itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kasus kita, ODZ variabel x dari persamaan rasional pecahan asli terdiri dari semua bilangan, kecuali bilangan yang memenuhi syarat x 2 +5·x−14=0. Akar persamaan kuadrat ini adalah x=−7 dan x=2, dari sini kita menyimpulkan tentang ODZ: ODZ terdiri dari semua x sehingga .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan dan x=2 termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima. Akar - milik, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2 bukan milik, oleh karena itu, itu adalah akar asing.

Menjawab:

Juga akan berguna untuk membahas secara terpisah kasus-kasus di mana suatu bilangan ada dalam pembilangnya dalam bentuk persamaan rasional pecahan, yaitu, ketika p (x) diwakili oleh suatu bilangan. Di mana

• jika angka ini berbeda dari nol, maka persamaan tidak memiliki akar, karena pecahan adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya nol;
• jika angka ini nol, maka akar persamaannya adalah angka apa pun dari ODZ.

Contoh.

Keputusan.

Karena ada bilangan bukan nol pada pembilang pecahan di sisi kiri persamaan, untuk tidak ada x dapat nilai pecahan ini sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki akar.

Menjawab:

tidak ada akar.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pembilang pecahan di ruas kiri persamaan rasional pecahan ini adalah nol, jadi nilai pecahan ini adalah nol untuk setiap x yang masuk akal. Dengan kata lain, solusi persamaan ini adalah sembarang nilai x dari DPV variabel ini.

Tetap menentukan kisaran nilai yang dapat diterima ini. Ini mencakup semua nilai x yang x 4 +5 x 3 0. Solusi dari persamaan x 4 +5 x 3 \u003d 0 adalah 0 dan 5, karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) \u003d 0, dan, pada gilirannya, setara dengan kombinasi dari dua persamaan x 3 \u003d 0 dan x +5=0 , dari mana akar-akar ini terlihat. Oleh karena itu, rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali untuk x=0 dan x=−5 .

Jadi, persamaan rasional fraksional memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan minus lima.

Menjawab:

Akhirnya, saatnya berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional fraksional arbitrer. Mereka dapat ditulis sebagai r(x)=s(x) , di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Ke depan, kami mengatakan bahwa solusi mereka direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk yang sudah akrab bagi kami.

Diketahui bahwa perpindahan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda menghasilkan persamaan yang ekivalen, sehingga persamaan r(x)=s(x) ekuivalen dengan persamaan r(x)−s (x)=0 .

Kita juga tahu bahwa any bisa identik sama dengan ekspresi ini. Jadi, kita selalu dapat mengubah ekspresi rasional di ruas kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang identik dengan bentuk .

Jadi kita beralih dari persamaan rasional pecahan asli r(x)=s(x) ke persamaan , dan solusinya, seperti yang kita temukan di atas, direduksi menjadi penyelesaian persamaan p(x)=0 .

Tetapi di sini perlu untuk mempertimbangkan fakta bahwa ketika mengganti r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0 , rentang nilai yang diizinkan dari variabel x dapat diperluas .

Oleh karena itu, persamaan asli r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 , yang kita dapatkan, mungkin tidak setara, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0 , kita dapat memperoleh akar yang akan menjadi akar asing dari persamaan asli r(x)=s(x) . Dimungkinkan untuk mengidentifikasi dan tidak memasukkan akar asing dalam jawaban, baik dengan melakukan pemeriksaan, atau dengan memeriksa apakah akar tersebut termasuk dalam ODZ dari persamaan asli.

Kami merangkum informasi ini dalam algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , kita harus

• Dapatkan nol di sebelah kanan dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan.
• Lakukan tindakan dengan pecahan dan polinomial di sisi kiri persamaan, sehingga mengubahnya menjadi bentuk pecahan rasional.
• Selesaikan persamaan p(x)=0 .
• Identifikasi dan singkirkan akar-akar asing, yang dilakukan dengan mensubstitusinya ke dalam persamaan asli atau dengan memeriksa kepemilikannya pada ODZ dari persamaan asli.

Untuk kejelasan yang lebih besar, kami akan menunjukkan seluruh rantai penyelesaian persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita membahas solusi dari beberapa contoh dengan penjelasan rinci tentang solusi untuk memperjelas blok informasi yang diberikan.

Contoh.

Memecahkan persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Kami akan bertindak sesuai dengan algoritma solusi yang baru saja diperoleh. Dan pertama-tama kita mentransfer istilah dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri, sebagai hasilnya kita lolos ke persamaan .

Pada langkah kedua, kita perlu mengubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan yang dihasilkan ke dalam bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kami melakukan pengurangan pecahan rasional ke penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan: . Jadi kita sampai pada persamaan.

Pada langkah berikutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan 2·x−1=0 . Cari x=−1/2 .

Tetap memeriksa apakah angka yang ditemukan 1/2 adalah akar asing dari persamaan asli. Untuk melakukan ini, Anda dapat memeriksa atau menemukan variabel ODZ x dari persamaan asli. Mari kita tunjukkan kedua pendekatan tersebut.

Mari kita mulai dengan cek. Kami mengganti angka 1/2 alih-alih variabel x ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan , yang sama, 1=−1. Substitusi memberikan persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana langkah terakhir dari algoritma dilakukan melalui ODZ. Rentang nilai yang dapat diterima dari persamaan asli adalah himpunan semua bilangan, kecuali untuk 1 dan 0 (untuk x=−1 dan x=0, penyebut pecahan hilang). Akar x=−1/2 yang ditemukan pada langkah sebelumnya termasuk dalam ODZ, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Menjawab:

−1/2 .

Mari kita pertimbangkan contoh lain.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Kita perlu memecahkan persamaan rasional fraksional, mari kita lihat semua langkah algoritmanya.

Pertama, kita pindahkan suku dari ruas kanan ke kiri, kita peroleh .

Kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri: . Akibatnya, kita sampai pada persamaan x=0 .

Akarnya jelas - nol.

Pada langkah keempat, masih mencari tahu apakah akar yang ditemukan bukan akar luar untuk persamaan rasional fraksional asli. Ketika disubstitusikan ke persamaan asli, ekspresi diperoleh. Jelas, itu tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Dari mana kita menyimpulkan bahwa 0 adalah akar asing. Oleh karena itu, persamaan asli tidak memiliki akar.

7 , yang mengarah ke persamaan . Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi pada penyebut ruas kiri harus sama dengan dari ruas kanan, yaitu . Sekarang kita kurangi dari kedua bagian dari triple: . Dengan analogi, dari mana, dan selanjutnya.

Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan rasional pecahan asli.

Menjawab:

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.