Jika fungsi f(x) memiliki pada beberapa interval yang mengandung titik sebuah, turunan dari semua ordo, maka rumus Taylor dapat diterapkan padanya:

di mana rn- yang disebut suku sisa atau sisa deret, dapat diperkirakan dengan menggunakan rumus Lagrange:

, di mana bilangan x diapit di antara X dan sebuah.

Jika untuk beberapa nilai x r n®0 pada n®¥, maka dalam limit rumus Taylor untuk nilai ini berubah menjadi rumus konvergen seri Taylor:

Jadi fungsinya f(x) dapat diperluas menjadi deret Taylor pada titik yang dipertimbangkan X, jika:

1) memiliki turunan dari semua pesanan;

2) deret yang dibangun konvergen pada titik ini.

Pada sebuah=0 kita mendapatkan deret yang disebut dekat Maclaurin:

Contoh 1 f(x)= 2x.

Keputusan. Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x di 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Mengganti nilai turunan yang diperoleh ke dalam rumus deret Taylor, kita mendapatkan:

Jari-jari kekonvergenan deret ini sama dengan tak terhingga, sehingga pemuaian ini berlaku untuk -¥<x<+¥.

Contoh 2 X+4) untuk fungsi f(x)= e x.

Keputusan. Mencari turunan dari fungsi e x dan nilai-nilai mereka pada intinya X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Oleh karena itu, deret Taylor dari fungsi yang diinginkan memiliki bentuk:

Dekomposisi ini juga berlaku untuk -¥<x<+¥.

Contoh 3 . Perluas fungsi f(x)= ln x dalam deret derajat ( X- 1),

(yaitu dalam deret Taylor di sekitar titik X=1).

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini.

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus, kami mendapatkan deret Taylor yang diinginkan:

Dengan bantuan uji d'Alembert, seseorang dapat memverifikasi bahwa deret tersebut konvergen ketika

½ X- 1½<1. Действительно,

Deret konvergen jika X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 kita memperoleh deret bolak-balik yang memenuhi kondisi uji Leibniz. Pada X=0 fungsi tidak terdefinisi. Dengan demikian, daerah konvergensi deret Taylor adalah interval setengah terbuka (0;2).

Mari kita sajikan ekspansi yang diperoleh dengan cara ini dalam deret Maclaurin (yaitu, di sekitar titik X=0) untuk beberapa fungsi dasar:

(2) ,

(3) ,

( ekspansi terakhir disebut deret binomial)

Contoh 4 . Perluas fungsi menjadi rangkaian daya

Keputusan. Dalam dekomposisi (1), kami mengganti X di - X 2 , kita mendapatkan:

Contoh 5 . Perluas fungsi dalam deret Maclaurin

Keputusan. Kita punya

Dengan menggunakan rumus (4), kita dapat menulis:

menggantikan bukan X ke dalam rumus -X, kita mendapatkan:

Dari sini kita menemukan:

Memperluas tanda kurung, mengatur ulang suku-suku barisan dan membuat pengurangan suku-suku serupa, kita peroleh

Deret ini konvergen dalam interval

(-1;1) karena diturunkan dari dua deret yang masing-masing konvergen pada interval ini.

Komentar .

Rumus (1)-(5) juga dapat digunakan untuk memperluas fungsi yang sesuai dalam deret Taylor, yaitu. untuk perluasan fungsi dalam pangkat bilangan bulat positif ( Ha). Untuk melakukan ini, perlu untuk melakukan transformasi identik seperti itu pada fungsi yang diberikan untuk mendapatkan salah satu fungsi (1) - (5), di mana alih-alih X biaya k( Ha) m , di mana k adalah bilangan konstan, m adalah bilangan bulat positif. Seringkali lebih mudah untuk mengubah variabel t=Ha dan perluas fungsi yang dihasilkan terhadap t dalam deret Maclaurin.

Metode ini menggambarkan teorema tentang keunikan perluasan suatu fungsi dalam deret pangkat. Inti dari teorema ini adalah bahwa di sekitar titik yang sama, dua deret pangkat berbeda tidak dapat diperoleh yang akan konvergen ke fungsi yang sama, tidak peduli bagaimana ekspansinya dilakukan.

Contoh 6 . Perluas fungsi deret Taylor di sekitar titik X=3.

Keputusan. Masalah ini dapat diselesaikan, seperti sebelumnya, menggunakan definisi deret Taylor, yang untuk itu perlu menemukan turunan dari fungsi dan nilainya di X=3. Namun, akan lebih mudah menggunakan dekomposisi yang ada (5):

Deret yang dihasilkan konvergen di atau -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Contoh 7 . Tulislah deret Taylor dalam pangkat ( X-1) fitur .

Keputusan.

Deret tersebut konvergen di , atau 2< x£5.

16.1. Perluasan fungsi dasar dalam deret Taylor dan

Maclaurin

Mari kita tunjukkan bahwa jika fungsi arbitrer didefinisikan pada himpunan
, di sekitar titik
memiliki banyak turunan dan merupakan jumlah dari deret pangkat:

maka Anda dapat menemukan koefisien dari seri ini.

Substitusi dalam deret pangkat
. Kemudian
.

Tentukan turunan pertama dari fungsi
:

Pada
:
.

Untuk turunan kedua kita peroleh:

Pada
:
.

Melanjutkan prosedur ini n setelah kita mendapatkan:
.

Jadi, kami mendapatkan deret pangkat dalam bentuk:

,

yang disebut dekat taylor untuk fungsi
sekitar titik
.

Kasus khusus dari deret Taylor adalah Seri Maclaurin pada
:

Sisa deret Taylor (Maclaurin) diperoleh dengan membuang deret utama n suku pertama dan dilambangkan sebagai
. Maka fungsi
dapat ditulis sebagai penjumlahan n anggota pertama dari seri
dan sisanya
:,

.

Selebihnya biasanya
dinyatakan dalam formula yang berbeda.

Salah satunya adalah dalam bentuk Lagrange:

, di mana
.
.

Perhatikan bahwa dalam praktiknya, deret Maclaurin lebih sering digunakan. Jadi, untuk menulis fungsi
berupa penjumlahan deret pangkat, maka diperlukan :

1) temukan koefisien deret Maclaurin (Taylor);

2) mencari daerah konvergensi dari deret pangkat yang dihasilkan;

3) buktikan bahwa deret yang diberikan konvergen ke fungsi
.

Dalil1 (kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret Maclaurin). Biarkan jari-jari konvergensi dari seri
. Agar deret ini konvergen dalam interval
berfungsi
, perlu dan cukup bahwa kondisi berikut dipenuhi:
dalam interval yang ditentukan.

Teorema 2. Jika turunan dari sembarang orde suatu fungsi
dalam beberapa interval
terbatas dalam nilai absolut ke nomor yang sama M, yaitu
, maka dalam interval ini fungsi
dapat diperluas dalam deret Maclaurin.

Contoh1 . Perluas dalam deret Taylor di sekitar titik
fungsi.

Keputusan.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

daerah konvergensi
.

Contoh2 . Perluas fungsi dalam deret Taylor di sekitar titik
.

Keputusan:

Kami menemukan nilai fungsi dan turunannya di
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Substitusikan nilai-nilai ini berturut-turut. Kita mendapatkan:

atau
.

Mari kita cari daerah konvergensi deret ini. Menurut uji d'Alembert, deret tersebut konvergen jika

.

Oleh karena itu, untuk setiap batas ini kurang dari 1, dan oleh karena itu luas daerah konvergensi dari deret tersebut adalah:
.

Mari kita perhatikan beberapa contoh perluasan ke dalam deret Maclaurin dari fungsi dasar dasar. Ingatlah bahwa deret Maclaurin:

.

konvergen pada interval
berfungsi
.

Perhatikan bahwa untuk memperluas fungsi menjadi rangkaian, perlu:

a) temukan koefisien deret Maclaurin untuk fungsi yang diberikan;

b) menghitung jari-jari konvergensi untuk deret yang dihasilkan;

c) buktikan bahwa deret yang dihasilkan konvergen ke fungsi
.

Contoh 3 Pertimbangkan fungsinya
.

Keputusan.

Mari kita hitung nilai fungsi dan turunannya untuk
.

Maka koefisien numerik dari deret tersebut memiliki bentuk:

untuk siapa saja n. Kami mengganti koefisien yang ditemukan dalam deret Maclaurin dan mendapatkan:

Cari jari-jari konvergensi dari deret yang dihasilkan, yaitu:

.

Oleh karena itu, deret tersebut konvergen pada interval
.

Deret ini konvergen ke fungsi untuk nilai apa pun , karena pada sembarang interval
fungsi dan turunan nilai absolutnya dibatasi oleh bilangan .

Contoh4 . Pertimbangkan fungsinya
.

Keputusan.

:

Sangat mudah untuk melihat turunan orde genap itu
, dan turunan dari orde ganjil. Kami mengganti koefisien yang ditemukan dalam deret Maclaurin dan mendapatkan ekspansi:

Mari kita cari interval konvergensi deret ini. Menurut d'Alembert:

untuk siapa saja . Oleh karena itu, deret tersebut konvergen pada interval
.

Deret ini konvergen ke fungsi
, karena semua turunannya terbatas pada satu.

Contoh5 .
.

Keputusan.

Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di
:

Jadi, koefisien deret ini:
dan
, karena itu:

Sama halnya dengan seri sebelumnya, area konvergensi
. Deret tersebut konvergen ke fungsi
, karena semua turunannya terbatas pada satu.

Perhatikan bahwa fungsi
Ekspansi ganjil dan deret dalam pangkat ganjil, fungsi
– genap dan ekspansi dalam seri dalam kekuatan genap.

Contoh6 . Deret binomial:
.

Keputusan.

Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di
:

Ini menunjukkan bahwa:

Kami mengganti nilai-nilai koefisien ini dalam deret Maclaurin dan memperoleh perluasan fungsi ini dalam deret pangkat:

Mari kita cari jari-jari konvergensi dari deret ini:

Oleh karena itu, deret tersebut konvergen pada interval
. Pada titik batas di
dan
deret mungkin atau mungkin tidak konvergen tergantung pada eksponen
.

Deret yang dipelajari konvergen pada interval
berfungsi
, yaitu jumlah deret
pada
.

Contoh7 . Mari kita kembangkan fungsi dalam deret Maclaurin
.

Keputusan.

Untuk memperluas fungsi ini menjadi sebuah deret, kita menggunakan deret binomial untuk
. Kita mendapatkan:

Berdasarkan sifat deret pangkat (deret pangkat dapat diintegralkan pada daerah konvergensinya), kita temukan integral dari bagian kiri dan kanan deret ini:

Temukan area konvergensi dari deret ini:
,

yaitu, daerah konvergensi deret ini adalah interval
. Mari kita tentukan kekonvergenan deret di ujung-ujung interval. Pada

. Deret ini adalah deret harmonik, yaitu divergen. Pada
kita mendapatkan deret bilangan dengan suku yang sama
.

Deret Leibniz konvergen. Jadi, daerah kekonvergenan deret ini adalah interval
.

16.2. Penerapan deret pangkat dalam perhitungan perkiraan

Seri daya memainkan peran yang sangat penting dalam perhitungan perkiraan. Dengan bantuan mereka, tabel fungsi trigonometri, tabel logaritma, tabel nilai fungsi lain yang digunakan dalam berbagai bidang pengetahuan, misalnya, dalam teori probabilitas dan statistik matematika, disusun. Selain itu, perluasan fungsi dalam deret pangkat berguna untuk studi teoretisnya. Masalah utama saat menggunakan deret pangkat dalam perhitungan perkiraan adalah pertanyaan memperkirakan kesalahan saat mengganti jumlah deret dengan jumlah deret pertamanya. n anggota.

Pertimbangkan dua kasus:

fungsi tersebut diperluas menjadi rangkaian bolak-balik;

fungsi diekspansi menjadi deret tanda konstan.

Perhitungan menggunakan seri bolak-balik

Biarkan fungsinya
diperluas menjadi rangkaian daya bolak-balik. Kemudian, saat menghitung fungsi ini untuk nilai tertentu kita mendapatkan deret bilangan yang dapat kita terapkan uji Leibniz. Sesuai dengan kriteria ini, jika jumlah suatu deret diganti dengan jumlah deret pertamanya n anggota, maka kesalahan mutlak tidak melebihi suku pertama sisa deret ini, yaitu:
.

Contoh8 . Menghitung
dengan akurasi 0,0001.

Keputusan.

Kami akan menggunakan seri Maclaurin untuk
, dengan mengganti nilai sudut dalam radian:

Jika kita membandingkan anggota pertama dan kedua dari deret dengan akurasi tertentu, maka: .

Istilah ekspansi ketiga:

kurang dari akurasi perhitungan yang ditentukan. Oleh karena itu, untuk menghitung
cukuplah dengan menyisakan dua suku deret, yaitu

.

Dengan demikian
.

Contoh9 . Menghitung
dengan ketelitian 0,001.

Keputusan.

Kita akan menggunakan rumus deret binomial. Untuk ini kami menulis
sebagai:
.

Dalam ekspresi ini
,

Mari kita bandingkan setiap suku deret tersebut dengan ketelitian yang diberikan. Sudah jelas itu
. Oleh karena itu, untuk menghitung
itu cukup untuk meninggalkan tiga anggota seri.

atau
.

Perhitungan menggunakan deret tanda-positif

Contoh10 . Hitung angka dengan ketelitian 0,001.

Keputusan.

Berturut-turut untuk suatu fungsi
pengganti
. Kita mendapatkan:

Mari kita perkirakan kesalahan yang muncul ketika jumlah deret diganti dengan jumlah deret pertama anggota. Mari kita tuliskan ketidaksetaraan yang jelas:

yaitu 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Sesuai dengan kondisi masalahnya, Anda perlu menemukan n sehingga pertidaksamaan berikut berlaku:
atau
.

Sangat mudah untuk memeriksa kapan n= 6:
.

Karena itu,
.

Contoh11 . Menghitung
dengan akurasi 0,0001.

Keputusan.

Perhatikan bahwa untuk menghitung logaritma, seseorang dapat menerapkan deret untuk fungsi
, tetapi deret ini konvergen dengan sangat lambat dan 9999 suku harus diambil untuk mencapai akurasi yang diberikan! Oleh karena itu, untuk menghitung logaritma, sebagai aturan, deret fungsi digunakan
, yang konvergen pada interval
.

Menghitung
dengan baris ini. Biarlah
, kemudian .

Karena itu,
,

Untuk menghitung
dengan ketelitian tertentu, ambil jumlah dari empat suku pertama:
.

Sisanya baris
membuang. Mari kita perkirakan kesalahannya. Jelas bahwa

atau
.

Jadi, dalam deret yang digunakan untuk menghitung, cukup mengambil empat suku pertama saja, bukan 9999 dalam deret untuk fungsi tersebut.
.

Pertanyaan untuk diagnosis diri

1. Apa itu deret Taylor?

2. seri macam apa yang dimiliki Maclaurin?

3. Merumuskan teorema tentang perluasan fungsi dalam deret Taylor.

4. Tulis ekspansi dalam deret Maclaurin dari fungsi utama.

5. Tunjukkan area konvergensi dari deret yang dipertimbangkan.

6. Bagaimana cara memperkirakan kesalahan dalam perhitungan perkiraan menggunakan seri daya?

Siswa matematika yang lebih tinggi harus menyadari bahwa jumlah dari deret pangkat tertentu yang termasuk dalam interval konvergensi dari deret yang diberikan kepada kita ternyata merupakan fungsi terdiferensiasi kali yang kontinu dan tidak terbatas. Timbul pertanyaan: apakah mungkin untuk menyatakan bahwa fungsi arbitrer yang diberikan f(x) adalah jumlah dari beberapa deret pangkat? Artinya, dalam kondisi apa fungsi f(x) dapat diwakili oleh deret pangkat? Pentingnya pertanyaan ini terletak pada kenyataan bahwa adalah mungkin untuk menggantikan fungsi f(x) dengan jumlah beberapa suku pertama deret pangkat, yaitu dengan polinomial. Penggantian fungsi seperti itu dengan ekspresi yang agak sederhana - polinomial - juga nyaman saat menyelesaikan beberapa masalah, yaitu: saat menyelesaikan integral, saat menghitung, dll.

Terbukti bahwa untuk beberapa fungsi f(x), di mana turunan hingga (n + 1) dapat dihitung, termasuk yang terakhir, di lingkungan (α - R; x 0 + R) dari beberapa titik x = rumus:

Formula ini dinamai ilmuwan terkenal Brook Taylor. Deret yang didapat dari yang sebelumnya disebut deret Maclaurin:

Aturan yang memungkinkan untuk berkembang dalam deret Maclaurin:

1. Tentukan turunan dari orde pertama, kedua, ketiga ....
2. Hitung turunan pada x=0.
3. Tulis deret Maclaurin untuk fungsi ini, lalu tentukan interval konvergensinya.
4. Tentukan interval (-R;R), di mana sisa rumus Maclaurin

R n (x) -> 0 untuk n -> tak terhingga. Jika ada, fungsi f(x) di dalamnya harus bertepatan dengan jumlah deret Maclaurin.

Pertimbangkan sekarang deret Maclaurin untuk fungsi individu.

1. Jadi, yang pertama adalah f(x) = e x. Tentu saja, menurut fitur-fiturnya, fungsi seperti itu memiliki turunan dari orde yang sangat berbeda, dan f (k) (x) \u003d e x, di mana k sama dengan semuanya Mari kita substitusikan x \u003d 0. Kami mendapatkan f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 ... Berdasarkan hal di atas, deret e x akan terlihat seperti ini:

2. Deret Maclaurin untuk fungsi f(x) = sin x. Segera klarifikasi bahwa fungsi untuk semua yang tidak diketahui akan memiliki turunan, selain f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), di mana k sama dengan sembarang bilangan asli. Artinya, dengan membuat perhitungan sederhana, kita dapat menyimpulkan bahwa deret untuk f(x) = sin x akan terlihat seperti ini:

3. Sekarang coba perhatikan fungsi f(x) = cos x. Ini memiliki turunan dari urutan arbitrer untuk semua yang tidak diketahui, dan |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Jadi, kami telah membuat daftar fungsi terpenting yang dapat diperluas dalam deret Maclaurin, tetapi mereka dilengkapi dengan deret Taylor untuk beberapa fungsi. Sekarang kita akan daftar mereka. Perlu juga dicatat bahwa deret Taylor dan Maclaurin adalah bagian penting dari praktik penyelesaian deret dalam matematika tingkat tinggi. Jadi, deret Taylor.

1. Baris pertama adalah f-ii f (x) = ln (1 + x). Seperti pada contoh sebelumnya, diberikan f (x) = ln (1 + x), kita dapat menjumlahkan deret menggunakan bentuk umum deret Maclaurin. namun, untuk fungsi ini, deret Maclaurin dapat diperoleh dengan lebih sederhana. Setelah mengintegrasikan deret geometri tertentu, kita mendapatkan deret untuk f (x) = ln (1 + x) dari sampel seperti itu:

2. Dan yang kedua, yang akan menjadi final dalam artikel kami, adalah seri untuk f (x) \u003d arctg x. Untuk x yang termasuk dalam interval [-1; 1], ekspansinya valid:

Itu saja. Artikel ini membahas deret Taylor dan Maclaurin yang paling umum digunakan dalam matematika tingkat tinggi, khususnya, di universitas ekonomi dan teknik.

Jika fungsi f(x) memiliki turunan semua orde pada suatu interval yang memuat titik a, maka rumus Taylor dapat diterapkan padanya:
,
di mana rn- yang disebut suku sisa atau sisa deret, dapat diperkirakan dengan menggunakan rumus Lagrange:
, dimana bilangan x terletak di antara x dan a.

f(x)=

di titik x 0 = Jumlah elemen baris 3 4 5 6 7

Gunakan perluasan fungsi dasar e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Aturan entri fungsi:

Jika untuk beberapa nilai X rn→0 at n→∞, maka dalam limit rumus Taylor mengubah nilai ini menjadi konvergen seri Taylor:
,
Jadi, fungsi f(x) dapat diperluas menjadi deret Taylor pada titik x yang dipertimbangkan jika:
1) memiliki turunan dari semua pesanan;
2) deret yang dibangun konvergen pada titik ini.

Untuk a = 0 kita mendapatkan deret yang disebut dekat Maclaurin:
,
Perluasan fungsi (dasar) paling sederhana dalam deret Maclaurin:
fungsi eksponensial
, R=
Fungsi trigonometri
, R=
, R=
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Fungsi actgx tidak berkembang dalam pangkat x, karena ctg0=
Fungsi hiperbolik


Fungsi logaritma
, -1
Deret binomial
.

Contoh 1. Perluas fungsi menjadi rangkaian daya f(x)= 2x.
Keputusan. Mari kita cari nilai fungsi dan turunannya di X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2x di 2 2, f""( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Mengganti nilai turunan yang diperoleh ke dalam rumus deret Taylor, kita mendapatkan:

Jari-jari kekonvergenan deret ini sama dengan tak terhingga, sehingga pemuaian ini berlaku untuk -∞<x<+∞.

Contoh #2. Tulislah deret Taylor dalam pangkat ( X+4) untuk fungsi f(x)= e x.
Keputusan. Mencari turunan dari fungsi e x dan nilai-nilai mereka pada intinya X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Oleh karena itu, deret Taylor dari fungsi yang diinginkan memiliki bentuk:

Perluasan ini juga berlaku untuk -∞<x<+∞.

Contoh #3. Perluas fungsi f(x)= ln x dalam deret derajat ( X- 1),
(yaitu dalam deret Taylor di sekitar titik X=1).
Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus, kami mendapatkan deret Taylor yang diinginkan:

Dengan bantuan uji d'Alembert, dapat dibuktikan bahwa deret tersebut konvergen pada x-1½<1 . Действительно,

Deret konvergen jika X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 kita memperoleh deret bolak-balik yang memenuhi kondisi uji Leibniz. Untuk x=0 fungsi tidak terdefinisi. Dengan demikian, daerah konvergensi deret Taylor adalah interval setengah terbuka (0;2).

Contoh #4. Perluas fungsi dalam rangkaian daya.
Keputusan. Dalam dekomposisi (1) kita ganti x dengan -x 2, kita dapatkan:
, -∞

Contoh nomor 5. Perluas fungsi dalam deret Maclaurin .
Keputusan. Kita punya
Dengan menggunakan rumus (4), kita dapat menulis:

menggantikan x dalam rumus -x, kita mendapatkan:

Dari sini kita menemukan: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Memperluas tanda kurung, mengatur ulang suku-suku barisan dan membuat pengurangan suku-suku serupa, kita peroleh
. Deret ini konvergen pada interval (-1;1) karena diperoleh dari dua deret yang masing-masing konvergen pada interval ini.

Komentar .
Rumus (1)-(5) juga dapat digunakan untuk memperluas fungsi yang sesuai dalam deret Taylor, yaitu. untuk perluasan fungsi dalam pangkat bilangan bulat positif ( Ha). Untuk melakukan ini, perlu untuk melakukan transformasi identik seperti itu pada fungsi yang diberikan untuk mendapatkan salah satu fungsi (1) - (5), di mana alih-alih X biaya k( Ha) m , di mana k adalah bilangan konstan, m adalah bilangan bulat positif. Seringkali lebih mudah untuk mengubah variabel t=Ha dan perluas fungsi yang dihasilkan terhadap t dalam deret Maclaurin.

Metode ini didasarkan pada teorema tentang keunikan perluasan suatu fungsi dalam deret pangkat. Inti dari teorema ini adalah bahwa di sekitar titik yang sama, dua deret pangkat berbeda tidak dapat diperoleh yang akan konvergen ke fungsi yang sama, tidak peduli bagaimana ekspansinya dilakukan.

Contoh Nomor 5a. Perluas fungsi dalam deret Maclaurin, tunjukkan area konvergensi.
Keputusan. Pertama kita cari 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ke dasar:

Pecahan 3/(1-3x) dapat dilihat sebagai jumlah dari barisan geometri yang menurun tak hingga dengan penyebut 3x jika |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

dengan daerah konvergensi |x|< 1/3.

Contoh nomor 6. Perluas fungsi deret Taylor di sekitar titik x = 3.
Keputusan. Masalah ini dapat diselesaikan, seperti sebelumnya, menggunakan definisi deret Taylor, yang untuk itu perlu menemukan turunan dari fungsi dan nilainya di X=3. Namun, akan lebih mudah menggunakan dekomposisi yang ada (5):
=
Deret yang dihasilkan konvergen pada atau -3

Contoh nomor 7. Tulis deret Taylor dalam pangkat (x -1) dari fungsi ln(x+2) .
Keputusan.


Deret tersebut konvergen di , atau -2< x < 5.

Contoh nomor 8. Perluas fungsi f(x)=sin(πx/4) dalam deret Taylor di sekitar titik x =2.
Keputusan. Mari kita buat penggantian t=x-2:

Menggunakan ekspansi (3), di mana kita mengganti / 4 t untuk x, kita mendapatkan:

Deret yang dihasilkan konvergen ke fungsi yang diberikan di -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Dengan demikian,
, (-∞

Perkiraan perhitungan menggunakan deret daya

Seri daya banyak digunakan dalam perhitungan perkiraan. Dengan bantuan mereka, dengan akurasi yang diberikan, Anda dapat menghitung nilai akar, fungsi trigonometri, logaritma angka, integral tertentu. Deret juga digunakan dalam integrasi persamaan diferensial.
Pertimbangkan perluasan fungsi dalam deret pangkat:

Untuk menghitung nilai perkiraan suatu fungsi pada titik tertentu X, milik daerah konvergensi dari deret yang ditunjukkan, yang pertama n anggota ( n adalah angka yang terbatas), dan istilah yang tersisa dibuang:

Untuk menaksir galat dari nilai aproksimasi yang diperoleh, perlu dilakukan pendugaan sisa yang dibuang r n (x) . Untuk ini, metode berikut digunakan:

• jika seri yang dihasilkan adalah karakter-alternatif, maka properti berikut digunakan: untuk deret bolak-balik yang memenuhi kondisi Leibniz, nilai absolut dari sisa deret tersebut tidak melebihi suku pertama yang dibuang.
• jika deret yang diberikan bertanda konstan, maka deret yang terdiri dari suku-suku yang dibuang dibandingkan dengan deret geometri yang menurun tak terhingga.
• dalam kasus umum, untuk memperkirakan sisa deret Taylor, Anda dapat menggunakan rumus Lagrange: a x ).

Contoh 1. Hitung ln(3) hingga dalam 0,01.
Keputusan. Mari kita gunakan dekomposisi , di mana x=1/2 (lihat contoh 5 pada topik sebelumnya):

Mari kita periksa apakah kita dapat membuang sisanya setelah tiga suku pertama dari ekspansi, untuk ini kita mengevaluasinya menggunakan jumlah dari deret geometri yang menurun tak terhingga:

Jadi kita bisa membuang sisa ini dan mendapatkan

Contoh #2. Hitung hingga 0,0001 terdekat.
Keputusan. Mari kita gunakan deret binomial. Karena 5 3 adalah pangkat tiga bilangan bulat terdekat dengan 130, disarankan untuk menyatakan angka 130 sebagai 130=5 3 +5.



karena suku keempat dari deret bolak-balik yang diperoleh yang memenuhi uji Leibniz sudah kurang dari akurasi yang disyaratkan:
, jadi itu dan istilah yang mengikutinya dapat dibuang.
Banyak integral tentu atau integral tak wajar yang praktis tidak dapat dihitung dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, karena penerapannya dikaitkan dengan pencarian antiturunan, seringkali tidak memiliki ekspresi dalam fungsi dasar. Itu juga terjadi bahwa menemukan antiturunan itu mungkin, tetapi tidak perlu melelahkan. Namun, jika integran diekspansi menjadi deret pangkat, dan batas-batas integrasi termasuk dalam interval konvergensi deret ini, maka perkiraan perhitungan integral dengan akurasi yang telah ditentukan adalah mungkin.

Contoh #3. Hitung integral 0 1 4 sin (x) x dalam 10 -5 .
Keputusan. Integral tak tentu yang sesuai tidak dapat dinyatakan dalam fungsi dasar, mis. adalah "integral mustahil". Rumus Newton-Leibniz tidak dapat diterapkan di sini. Mari kita menghitung integral kira-kira.
Membagi suku demi suku deret untuk sin x pada x, kita mendapatkan:

Mengintegrasikan deret ini suku demi suku (ini dimungkinkan, karena batas-batas integrasi termasuk dalam interval konvergensi deret ini), kita peroleh:

Karena deret yang dihasilkan memenuhi kondisi Leibniz dan cukup dengan menjumlahkan dua suku pertama untuk mendapatkan nilai yang diinginkan dengan akurasi tertentu.
Dengan demikian, kita menemukan
.

Contoh #4. Hitung integral 0 1 4 e x 2 hingga dalam 0,001.
Keputusan.
. Mari kita periksa apakah kita dapat membuang sisanya setelah suku kedua dari deret yang dihasilkan.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Bagaimana cara memasukkan rumus matematika di situs?

Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika mudah dimasukkan ke dalam situs dalam bentuk gambar yang dihasilkan Wolfram Alpha secara otomatis. Selain kesederhanaan, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah bekerja untuk waktu yang lama (dan saya pikir itu akan bekerja selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.

Jika Anda terus-menerus menggunakan rumus matematika di situs Anda, maka saya sarankan Anda menggunakan MathJax, pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.

Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs Anda, yang akan dimuat secara otomatis dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unggah skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan hubungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua lebih rumit dan memakan waktu dan akan memungkinkan Anda untuk mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda sendiri dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama, karena lebih sederhana, lebih cepat, dan tidak memerlukan keterampilan teknis. Ikuti contoh saya, dan dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.

Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web MathJax utama atau dari halaman dokumentasi:

Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke kode halaman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag . Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman lebih sedikit. Tetapi opsi kedua secara otomatis melacak dan memuat versi terbaru MathJax. Jika Anda memasukkan kode pertama, maka itu perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda menempelkan kode kedua, maka halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode pemuatan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal templat (omong-omong, ini sama sekali tidak perlu, karena skrip MathJax dimuat secara tidak sinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML dan Anda siap untuk menyematkan rumus matematika ke dalam halaman web Anda.

Setiap fraktal dibangun sesuai dengan aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.

Algoritma berulang untuk membangun spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan wajahnya menjadi 27 kubus yang sama. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan dengannya di sepanjang permukaan dikeluarkan darinya. Ternyata satu set terdiri dari 20 kubus kecil yang tersisa. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kami mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa batas, kami mendapatkan spons Menger.