Artikel ini adalah informasi terstruktur dan terperinci yang dapat berguna selama analisis latihan dan tugas. Kami akan mempertimbangkan topik seri angka.
Artikel ini dimulai dengan definisi dan konsep dasar. Selanjutnya, kami akan membuat opsi standar dan mempelajari formula dasar. Untuk mengkonsolidasikan materi, artikel memberikan contoh dan tugas utama.
Tesis dasar
Pertama, bayangkan sistemnya: a 1 , a 2 . . . , sebuah , . . . , dimana a k R , k = 1 , 2 . . . .
Sebagai contoh, mari kita ambil bilangan seperti: 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , . . . .
Definisi 1
Deret bilangan adalah jumlah suku a k k = 1 = a 1 + a 2 + . . . + n + . . . .
Untuk lebih memahami definisi, pertimbangkan kasus ini di mana q = - 0 . 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = k = 1 (- 16) · - 1 2 k .
Definisi 2
k adalah umum atau k-th seorang anggota barisan.
Terlihat seperti ini - 16 · - 1 2 k .
Definisi 3
Jumlah sebagian deret terlihat seperti ini S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , di mana n- nomor berapa pun. S n adalah nth jumlah dari seri.
Misalnya, k = 1 (- 16) · - 1 2 k adalah S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .
S 1 , S 2 , . . . , Sn , . . . membentuk barisan bilangan tak berhingga.
Untuk nomor t-th jumlahnya ditemukan dengan rumus S n \u003d a 1 (1 - q n) 1 - q \u003d 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 \u003d 16 3 1 - - 1 2 n. Kami menggunakan urutan jumlah parsial berikut: 8 , 4 , 6 , 5 , . . . , 16 3 1 - - 1 2 n , . . . .
Definisi 4
Deret k = 1 a k adalah konvergen ketika barisan memiliki limit berhingga S = lim S n n → + . Jika tidak ada limit atau barisannya tak hingga, maka deret k = 1 a k disebut berbeda.
Definisi 5
Jumlah deret konvergen k = 1 a k adalah limit barisan k = 1 a k = lim S n n → + = S .
Dalam contoh ini, lim S n n → + = lim 16 3 t → + 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + 1 - - 1 2 n = 16 3 , deret k = 1 (- 16 ) · - 1 2 k konvergen. Jumlahnya 16 3: k = 1 (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .
Contoh 1
Contoh barisan divergen adalah jumlah barisan geometri dengan penyebut lebih dari satu: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n - 1 + . . . = k = 1 2 k - 1 .
Jumlah parsial ke-n didefinisikan oleh ekspresi S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 , dan limit jumlah parsial tak terhingga: lim n → + S n = lim n → + (2 n - 1) = + .
Contoh lain dari deret bilangan divergen adalah jumlah dari bentuk k = 1 5 = 5 + 5 + . . . . Dalam hal ini, jumlah parsial ke-n dapat dihitung sebagai S n = 5 n . Limit dari jumlah parsial adalah tak hingga lim n → + S n = lim n → + 5 n = + .
Definisi 6
Jumlah yang mirip dengan k = 1 = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1n + . . . - Ini harmonis nomor baris.
Definisi 7
Jumlah k = 1 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1n s + . . . , di mana s adalah bilangan real, adalah deret bilangan harmonik umum.
Definisi yang dibahas di atas akan membantu Anda memecahkan sebagian besar contoh dan masalah.
Untuk melengkapi definisi, perlu untuk membuktikan persamaan tertentu.
- k = 1 1 k divergen.
Kami bertindak secara terbalik. Jika konvergen, maka limitnya berhingga. Kita dapat menulis persamaan sebagai lim n → + S n = S dan lim n → + S 2 n = S . Setelah tindakan tertentu, kita mendapatkan persamaan l i m n → + (S 2 n - S n) = 0 .
Melawan,
S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n
Pertidaksamaan berikut ini valid: 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Kami mendapatkan bahwa S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Ekspresi S 2 n - S n > 1 2 menunjukkan bahwa lim n → + (S 2 n - S n) = 0 tidak tercapai. Serinya divergen.
- b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = k = 1 b 1 q k - 1
Perlu dipastikan bahwa jumlah barisan bilangan konvergen untuk q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .
Menurut definisi di atas, jumlah n anggota ditentukan menurut rumus S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .
jika q< 1 верно
lim n → + S n = lim n → + b 1 q n - 1 q - 1 = b 1 lim n → + q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1
Kami telah membuktikan bahwa deret bilangan konvergen.
Untuk q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + . . . k = 1 b 1 . Jumlahnya dapat dicari dengan menggunakan rumus S n = b 1 · n , limitnya tak hingga lim n → + ∞ S n = lim n → + b 1 · n = . Dalam versi yang disajikan, serinya berbeda.
Jika sebuah q = - 1, maka baris tersebut terlihat seperti b 1 - b 1 + b 1 - . . . = k = 1 b 1 (- 1) k + 1 . Jumlah parsial terlihat seperti S n = b 1 untuk ganjil n, dan S n = 0 untuk genap n. Setelah mempertimbangkan kasus ini, kami memastikan bahwa tidak ada batas dan seri divergen.
Untuk q > 1, lim n → + ∞ S n = lim n → + b 1 (q n - 1) q - 1 = b 1 lim n → + q n q - 1 - lim n → + 1 q - 1 = = b 1 - 1 q - 1 =
Kami telah membuktikan bahwa deret bilangan divergen.
- Deret k = 1 1 k s konvergen jika s > 1 dan divergen jika s 1 .
Untuk s = 1 kita dapatkan k = 1 1 k , deret divergen.
Untuk S< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k , bilangan asli. Karena deret tersebut divergen k = 1 1 k , maka tidak ada limit. Selanjutnya, barisan k = 1 1 k s tidak terbatas. Kami menyimpulkan bahwa deret yang dipilih divergen pada s< 1 .
Perlu dibuktikan bahwa deret k = 1 1 k s konvergen untuk s > 1.
Bayangkan S 2 n - 1 - S n - 1:
S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1(2n - 1)s
Misalkan 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1
Bayangkan persamaan bilangan asli dan genap n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .
Kita mendapatkan:
k = 1 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 17 detik + 18 detik + . . . + 1 15 detik + . . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .
Ekspresi 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . adalah jumlah barisan geometri q = 1 2 s - 1 . Menurut data awal s > 1, lalu 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 meningkat dan dibatasi dari atas 1 1 - 1 2 s - 1 . Bayangkan ada limit dan deret tersebut konvergen k = 1 1 k s .
Definisi 8
Deret k = 1 a k positif dalam hal ini, jika anggotanya > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .
Deret k = 1 b k bergantian jika tanda angkanya berbeda. Contoh ini direpresentasikan sebagai k = 1 b k = ∑ k = 1 (- 1) k a k atau k = 1 b k = k = 1 (- 1) k + 1 a k , di mana a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .
Deret k = 1 b k bergantian, karena mengandung banyak angka, negatif dan positif.
Varian kedua dari seri ini merupakan case khusus dari varian ketiga.
Berikut adalah contoh untuk setiap kasus, masing-masing:
6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .
Untuk opsi ketiga, Anda juga dapat menentukan konvergensi absolut dan kondisional.
Definisi 9
Deret bolak-balik k = 1 b k konvergen mutlak jika k = 1 b k juga dianggap konvergen.
Mari kita lihat beberapa opsi tipikal.
Contoh 2
Jika baris 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . dan 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . didefinisikan sebagai konvergen, maka benar untuk mengasumsikan bahwa 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .
Definisi 10
Deret bolak-balik k = 1 b k dianggap konvergen bersyarat jika k = 1 b k divergen, dan deret k = 1 b k dianggap konvergen.
Contoh 3
Mari kita periksa secara rinci opsi ∑ k = 1 (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Deret k = 1 (- 1) k + 1 k = k = 1 1 k , yang terdiri dari nilai mutlak, didefinisikan sebagai divergen. Varian ini dianggap konvergen karena mudah ditentukan. Dari contoh ini, kita mengetahui bahwa deret k = 1 (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . akan dianggap konvergen bersyarat.
Fitur deret konvergen
Mari kita menganalisis properti untuk kasus-kasus tertentu
- Jika k = 1 a k konvergen, maka deret k = m + 1 a k juga diakui konvergen. Dapat dicatat bahwa seri m anggota juga dianggap konvergen. Jika kita menambahkan beberapa bilangan ke k = m + 1 a k, maka hasil yang dihasilkan juga akan konvergen.
- Jika k = 1 a k konvergen dan jumlah = S, maka deret k = 1 A ak , k = 1 A ak = A S , dimana A-konstan.
- Jika k = 1 a k dan k = 1 b k konvergen, jumlah A dan B juga, maka deret k = 1 a k + b k dan k = 1 a k - b k juga konvergen. Jumlahnya akan menjadi A+B dan A-B masing-masing.
Tentukan bahwa deret tersebut konvergen k = 1 2 3 k · k 3 .
Mari kita ubah ekspresi k = 1 2 3 k · k 3 = k = 1 2 3 · 1 k 4 3 . Deret k = 1 1 k 4 3 dianggap konvergen, karena deret k = 1 1 k s konvergen untuk s > 1. Menurut sifat kedua, k = 1 2 3 · 1 k 4 3 .
Contoh 5
Tentukan apakah deret tersebut konvergen n = 1 3 + n n 5 2 .
Kami mengubah versi aslinya ∑ n = 1 3 + n n 5 2 = n = 1 3 n 5 2 + n n 2 = n = 1 3 n 5 2 + n = 1 1 n 2 .
Kami mendapatkan jumlah n = 1 3 n 5 2 dan n = 1 1 n 2 . Setiap seri diakui sebagai konvergen sesuai dengan properti. Karena seri bertemu, begitu juga versi aslinya.
Contoh 6
Hitung jika deret 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + konvergen. . . dan menghitung jumlahnya.
Mari kita urai yang asli:
1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = k = 1 1 2 k - 1 - 2 k = 1 1 3 k - 2
Setiap deret konvergen karena merupakan salah satu anggota barisan numerik. Menurut properti ketiga, kita dapat menghitung bahwa versi aslinya juga konvergen. Kami menghitung jumlah: Suku pertama deret k = 1 1 2 k - 1 = 1, dan penyebutnya = 0 . 5 , diikuti oleh k = 1 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2 . Suku pertama adalah k = 1 1 3 k - 2 = 3 , dan penyebut barisan bilangan menurun = 1 3 . Didapatkan: k = 1 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .
Kami menggunakan ekspresi yang diperoleh di atas untuk menentukan jumlah 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = k = 1 1 2 k - 1 - 2 k = 1 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7
Kondisi yang diperlukan untuk menentukan apakah suatu deret konvergen
Definisi 11Jika deret k = 1 a k konvergen, maka limitnya k-th suku = 0 : lim k → + a k = 0 .
Jika kita memeriksa opsi apa pun, maka kita tidak boleh melupakan kondisi yang sangat diperlukan. Jika tidak puas, maka deret tersebut divergen. Jika lim k → + a k 0 , maka deret tersebut divergen.
Harus diklarifikasi bahwa kondisinya penting, tetapi tidak cukup. Jika persamaan lim k → + a k = 0 berlaku, maka ini tidak menjamin bahwa k = 1 a k konvergen.
Mari kita ambil contoh. Untuk deret harmonik k = 1 1 k syaratnya terpenuhi lim k → + 1 k = 0 , tetapi deret tersebut masih divergen.
Contoh 7
Tentukan konvergensi n = 1 n 2 1 + n .
Periksa ekspresi asli untuk kondisi lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + 0
Membatasi nth anggota tidak 0 . Kami telah membuktikan bahwa deret ini divergen.
Cara menentukan kekonvergenan deret tanda positif.
Jika Anda terus-menerus menggunakan fitur-fitur ini, Anda harus terus-menerus menghitung batasnya. Bagian ini akan membantu Anda menghindari kesulitan saat memecahkan contoh dan masalah. Untuk menentukan kekonvergenan deret tanda positif, ada kondisi tertentu.
Untuk konvergensi tanda positif k = 1 a k , a k > 0 k = 1 , 2 , 3 , . . . Anda perlu menentukan urutan jumlah yang terbatas.
Bagaimana membandingkan baris
Ada beberapa tanda perbandingan seri. Kami membandingkan deret yang konvergensinya diusulkan untuk ditentukan dengan deret yang konvergensinya diketahui.
Tanda pertama
k = 1 a k dan k = 1 b k adalah deret positif. Pertidaksamaan a k b k berlaku untuk k = 1, 2, 3, ... Maka dari deret k = 1 b k diperoleh k = 1 a k . Karena k = 1 a k divergen, deret k = 1 b k dapat didefinisikan divergen.
Aturan ini terus-menerus digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan merupakan argumen serius yang akan membantu menentukan konvergensi. Kesulitan mungkin terletak pada kenyataan bahwa jauh dari mungkin untuk menemukan contoh yang cocok untuk perbandingan dalam setiap kasus. Cukup sering, rangkaian dipilih sesuai dengan prinsip bahwa indikator k-th suku akan sama dengan hasil pengurangan pangkat dari pembilang dan penyebutnya k-th anggota baris. Misalkan a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 , selisihnya akan sama dengan 2 – 3 = - 1 . Dalam hal ini, dapat ditentukan bahwa deret dengan k-th suku b k = k - 1 = 1 k , yang harmonik.
Untuk mengkonsolidasikan materi yang diterima, kami akan mempertimbangkan secara rinci beberapa opsi tipikal.
Contoh 8
Tentukan deret tersebut k = 1 1 k - 1 2 .
Karena limit = 0 lim k → + 1 k - 1 2 = 0 , kita telah memenuhi kondisi yang diperlukan. Pertidaksamaan akan adil 1 k< 1 k - 1 2 для k , yang alami. Dari paragraf sebelumnya, kita mengetahui bahwa deret harmonik k = 1 1 k divergen. Menurut kriteria pertama, dapat dibuktikan bahwa versi aslinya divergen.
Contoh 9
Tentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen k = 1 1 k 3 + 3 k - 1 .
Dalam contoh ini, kondisi yang diperlukan terpenuhi, karena lim k → + 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Kita nyatakan dalam bentuk pertidaksamaan 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Deret k = 1 1 k 3 konvergen, karena deret harmonik k = 1 1 k s konvergen untuk s > 1. Berdasarkan fitur pertama, kita dapat menyimpulkan bahwa deret bilangan konvergen.
Contoh 10
Tentukan deretnya k = 3 1 k ln (ln k) . lim k → + 1 k ln (ln k) = 1 + + = 0 .
Dalam varian ini, dimungkinkan untuk menandai pemenuhan kondisi yang diinginkan. Mari kita mendefinisikan seri untuk perbandingan. Misalnya, k = 1 1 k s . Untuk menentukan derajat, perhatikan barisan ( ln (ln k) ) , k = 3 , 4 , 5 . . . . Anggota barisan ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . meningkat hingga tak terhingga. Setelah menganalisis persamaan, dapat dicatat bahwa, dengan mengambil N = 1619 sebagai nilai, maka suku barisan > 2 . Untuk barisan ini, pertidaksamaan 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.
Tanda kedua
Mari kita asumsikan bahwa k = 1 a k dan k = 1 b k adalah deret tanda positif.
Jika lim k → + a k b k ∞ , maka deret k = 1 b k konvergen, dan k = 1 a k juga konvergen.
Jika lim k → + a k b k 0 , maka karena deret k = 1 b k divergen, maka k = 1 a k juga divergen.
Jika lim k → + a k b k dan lim k → + a k b k 0 , maka konvergensi atau divergensi suatu deret berarti konvergensi atau divergensi deret yang lain.
Pertimbangkan k = 1 1 k 3 + 3 k - 1 dengan bantuan fitur kedua. Sebagai perbandingan k = 1 b k kita ambil deret konvergen k = 1 1 k 3 . Tentukan limitnya: lim k → + a k b k = lim k → + 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1
Menurut kriteria kedua, dapat ditentukan bahwa deret konvergen k = 1 1 k 3 berarti versi aslinya juga konvergen.
Contoh 11
Tentukan deret tersebut n = 1 k 2 + 3 4 k 3 + 5 .
Mari kita menganalisis kondisi yang diperlukan lim k → k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , yang dipenuhi dalam versi ini. Menurut kriteria kedua, ambil deret k = 1 1 k . Kami mencari limitnya: lim k → + k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4
Menurut tesis di atas, deret divergen berarti divergensi deret aslinya.
Tanda ketiga
Pertimbangkan tanda perbandingan ketiga.
Asumsikan bahwa k = 1 a k dan _ k = 1 b k adalah deret numerik bertanda positif. Jika kondisi dipenuhi untuk suatu bilangan a k + 1 a k b k + 1 b k , maka konvergensi deret ini k = 1 b k berarti deret k = 1 a k juga konvergen. Deret divergen k = 1 a k memerlukan divergensi k = 1 b k .
Tanda d'Alembert
Bayangkan bahwa k = 1 a k adalah deret bilangan bertanda positif. Jika lim k → + a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 , maka divergen.
Catatan 1
Uji d'Alembert valid jika limitnya tak hingga.
Jika lim k → + a k + 1 a k = - , maka deret tersebut konvergen, jika lim k → a k + 1 a k = + , maka deret tersebut divergen.
Jika lim k → + a k + 1 a k = 1 , maka uji d'Alembert tidak akan membantu dan diperlukan beberapa penelitian lagi.
Contoh 12
Tentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen k = 1 2 k + 1 2 k dengan kriteria d'Alembert.
Hal ini diperlukan untuk memeriksa apakah kondisi konvergensi yang diperlukan terpenuhi. Mari kita hitung limitnya menggunakan aturan L'Hopital: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ = lim k → + 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + 2 2 k ln 2 = 2 + log 2 = 0
Kita bisa melihat bahwa syarat itu terpenuhi. Mari kita gunakan uji d'Alembert: lim k → + = lim k → + 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1
Deret tersebut konvergen.
Contoh 13
Tentukan apakah deret tersebut divergen k = 1 k k k ! .
Mari kita gunakan uji d'Alembert untuk menentukan divergensi deret: lim k → + a k + 1 a k = lim k → + (k + 1) k + 1 (k + 1) ! kk! = lim k → + (k + 1) k + 1 k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + (k + 1) k + 1 k k (k + 1) = = lim k → + (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1
Oleh karena itu, deret tersebut divergen.
Tanda radikal Cauchy
Asumsikan bahwa k = 1 a k adalah deret bertanda positif. Jika lim k → + a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 , maka divergen.
Catatan 2
Jika lim k → + a k k = 1 , maka fitur ini tidak memberikan informasi apa pun – diperlukan analisis tambahan.
Fitur ini dapat digunakan dalam contoh yang mudah diidentifikasi. Kasus akan menjadi karakteristik ketika anggota deret bilangan adalah ekspresi eksponensial eksponensial.
Untuk mengkonsolidasikan informasi yang diterima, pertimbangkan beberapa contoh tipikal.
Contoh 14
Tentukan apakah deret positif k = 1 1 (2 k + 1) k konvergen pada deret tersebut.
Kondisi yang diperlukan dianggap terpenuhi, karena lim k → + 1 (2 k + 1) k = 1 + + = 0 .
Berdasarkan pengujian di atas, kita mendapatkan lim k → + a k k = lim k → + 1 (2 k + 1) k k = lim k → + 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.
Contoh 15
Apakah deret bilangan konvergen k = 1 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .
Kami menggunakan tanda yang dijelaskan dalam paragraf sebelumnya lim k → + 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.
Tes Cauchy Integral
Asumsikan bahwa k = 1 a k adalah deret bertanda positif. Hal ini diperlukan untuk menunjuk fungsi dari argumen terus menerus y=f(x), yang cocok dengan a n = f (n) . Jika sebuah y=f(x) lebih besar dari nol, tidak putus dan berkurang pada [ a ; + ) , di mana a 1
Kemudian, jika integral tak wajar a + f (x) d x konvergen, maka deret yang dibahas juga konvergen. Jika divergen, maka dalam contoh yang dipertimbangkan deretnya juga divergen.
Saat memeriksa peluruhan suatu fungsi, Anda dapat menggunakan materi yang dibahas dalam pelajaran sebelumnya.
Contoh 16
Perhatikan contoh k = 2 1 k ln k untuk konvergensi.
Kondisi konvergensi deret tersebut dianggap terpenuhi, karena lim k → + 1 k ln k = 1 + = 0 . Pertimbangkan y = 1 x ln x . Itu lebih besar dari nol, tidak terputus, dan berkurang [ 2 ; +∞). Dua poin pertama diketahui dengan pasti, tetapi yang ketiga harus dibahas secara lebih rinci. Cari turunannya: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 x x ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. Kurang dari nol pada [ 2 ; + ) Ini membuktikan tesis bahwa fungsi menurun.
Sebenarnya, fungsi y = 1 x ln x sesuai dengan ciri-ciri prinsip yang kita bahas di atas. Kami menggunakannya: 2 + d x x ln x = lim A → + ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ln (ln x) 2 A = = lim A → + (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ )) - ln (ln 2) = +
Berdasarkan hasil yang diperoleh, contoh asli divergen karena integral tak wajar adalah divergen.
Contoh 17
Buktikan kekonvergenan deret k = 1 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .
Karena lim k → + 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + = 0 , kondisinya dianggap terpenuhi.
Dimulai dengan k = 4 , ekspresi yang benar adalah 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Jika deret k = 4 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 dianggap konvergen, maka, menurut salah satu prinsip perbandingan, deret k = 4 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 juga akan dianggap konvergen. Dengan demikian, kita dapat menentukan bahwa ekspresi aslinya juga konvergen.
Mari kita lanjutkan ke pembuktian k = 4 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .
Karena fungsi y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 lebih besar dari nol, fungsi tersebut tidak berakhir dan berkurang pada [ 4 ; +∞). Kami menggunakan fitur yang dijelaskan dalam paragraf sebelumnya:
4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 lim A → + 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + - 1 (ln 28) 2 = 1 10 Dalam 28 2
Pada deret konvergen yang dihasilkan, 4 + d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , kita dapat menentukan bahwa k = 4 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 juga konvergen.
Tanda Raabe
Mari kita asumsikan bahwa k = 1 a k adalah deret bilangan bertanda positif.
Jika lim k → + k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1 , maka konvergen.
Metode penentuan ini dapat digunakan jika teknik yang dijelaskan di atas tidak memberikan hasil yang terlihat.
Belajar untuk konvergensi absolut
Untuk penelitian kita ambil k = 1 b k . Kami menggunakan tanda positif k = 1 b k . Kami dapat menggunakan salah satu fitur yang sesuai yang telah kami jelaskan di atas. Jika deret k = 1 b k konvergen, maka deret aslinya konvergen mutlak.
Contoh 18
Selidiki deret k = 1 (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 untuk konvergensi k = 1 (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 1 3 k 3 + 2 k - 1 .
Kondisi terpenuhi lim k → + 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + = 0 . Kami menggunakan k = 1 1 k 3 2 dan menggunakan tanda kedua: lim k → + 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .
Deret k = 1 (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 konvergen. Deret aslinya juga benar-benar konvergen.
Divergensi deret bolak-balik
Jika deret k = 1 b k divergen, maka deret bolak-balik yang bersesuaian k = 1 b k divergen atau konvergen bersyarat.
Hanya uji d'Alembert dan uji radikal Cauchy yang akan membantu menarik kesimpulan tentang k = 1 b k dari divergensi dari modul k = 1 b k . Deret k = 1 b k juga divergen jika kondisi konvergensi yang diperlukan tidak terpenuhi, yaitu jika lim k → + b k 0 .
Contoh 19
Periksa divergensi 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .
Modul k-th suku direpresentasikan sebagai b k = k ! 7k.
Mari kita jelajahi deret k = 1 b k = k = 1 k ! 7 k untuk konvergensi dengan kriteria d'Alembert: lim k → + b k + 1 b k = lim k → + (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + (k + 1) = + .
k = 1 b k = k = 1 k ! 7 k menyimpang dengan cara yang sama seperti versi aslinya.
Contoh 20
Apakah k = 1 (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergen.
Pertimbangkan kondisi yang diperlukan lim k → + ∞ b k = lim k → + k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ = lim k → + = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + 2 k 1 k + 1 = lim k → + 2 k (k + 1) = + . Kondisi tidak terpenuhi, maka k = 1 (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) deret divergen. Batas tersebut dihitung menurut aturan L'Hospital.
Kriteria konvergensi bersyarat
Tanda Leibniz
Definisi 12Jika nilai anggota deret bolak-balik berkurang b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . dan limit modulus = 0 sebagai k → + , maka deret k = 1 b k konvergen.
Contoh 17
Pertimbangkan k = 1 (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) untuk konvergensi.
Deret tersebut direpresentasikan sebagai k = 1 (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 2 k + 1 5 k (k + 1) . Kondisi yang diperlukan dipenuhi lim k → + = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Pertimbangkan k = 1 1 k dengan kriteria perbandingan kedua lim k → + 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5
Kita peroleh bahwa k = 1 (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 2 k + 1 5 k (k + 1) divergen. Deret k = 1 (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) konvergen menurut kriteria Leibniz: barisan 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30 , 2 3 + 1 5 3 3 + 1 , . . . berkurang dan lim k → + = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .
Deret tersebut konvergen bersyarat.
Tanda Abel-Dirichlet
Definisi 13k = 1 + u k v k konvergen jika ( u k ) tidak bertambah dan barisan k = 1 + v k terbatas.
Contoh 17
Jelajahi 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . untuk konvergensi.
Membayangkan
1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = k = 1 u k v k
dimana ( u k ) = 1 , 1 2 , 1 3 , . . . - tidak naik, dan barisan ( v k ) = 1 , - 3 , 2 , 1 , - 3 , 2 , . . . terbatas ( S k ) = 1 , - 2 , 0, 1 , - 2 , 0 , . . . . Seri konvergen.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
seri harmonik- jumlah yang terdiri dari jumlah tak terbatas istilah kebalikan dari nomor berturut-turut dari deret alami:
k = 1 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 k + (\displaystyle \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty ))(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (k))+\cdots ).YouTube ensiklopedis
1 / 5
Baris angka. Konsep dasar - bezbotvy
Bukti divergensi deret harmonik
Nomor seri-9. Konvergensi dan divergensi dari deret Dirichlet
Konsultasi #1. Tikar. analisis. Deret Fourier dalam sistem trigonometri. Sifat paling sederhana
BARIS. Tinjauan
Subtitle
Jumlah n suku pertama deret tersebut
Suku-suku individu dari deret tersebut cenderung nol, tetapi jumlahnya divergen. Jumlah parsial ke-n dari deret harmonik ke-n adalah bilangan harmonik ke-n:
s n = k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (n)))Beberapa nilai jumlah parsial
| s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 1,833 s 4 = 25 12 2.083 s 5 = 137 60 2.283 (\displaystyle (\begin(matrix)s_(1)&=&1 \\\\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \perkiraan &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\perkiraan &2(,)083\\\\s_(5)&=&(\frac (137)(60))&\perkiraan &2(,)283\end(matriks))) | s 6 = 49 20 = 2. 45 s 7 = 363 140 2.593 s 8 = 761 280 2.718 s 10 3 7.484 s 10 6 14,393 (\displaystyle (\begin(matrix)s_(6)&=&( \frac (49)(20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\perkiraan &2(,)593\\\\s_ (8)&=&(\frac (761)(280))&\perkiraan &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\perkiraan &7(,)484\\\\s_( 10^(6))&\perkiraan &14(,)393\end(matriks))) |
rumus Euler
Ketika nilai n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\rightarrow 0), oleh karena itu, untuk besar n (\gaya tampilan n):
s n ≈ ln (n) + (\displaystyle s_(n)\approx \ln(n)+\gamma )- Rumus Euler untuk jumlah yang pertama n (\gaya tampilan n) anggota deret harmonik.| n (\gaya tampilan n) | s n = k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k))) | ln (n) + (\displaystyle \ln(n)+\gamma ) | n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%) |
| 10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
| 25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Rumus asimtotik yang lebih tepat untuk jumlah parsial deret harmonik:
s n ≍ ln (n) + + 1 2 n 1 12 n 2 + 1 120 n 4 1 252 n 6 = ln (n) + + 1 2 n − ∑ k = 1 B 2 k 2 k n 2 k (\displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\ frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\dots =\ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))- \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), di mana B 2 k (\displaystyle B_(2k))- Nomor Bernoulli.Deret ini menyimpang, tetapi kesalahan perhitungannya tidak pernah melebihi setengah dari suku pertama yang dibuang.
Sifat teori bilangan dari jumlah parsial
n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )
Divergensi Seri
S n → (\displaystyle s_(n)\rightarrow \infty ) pada n → (\displaystyle n\rightarrow \infty )
Deret harmonik divergen sangat lambat (agar jumlah parsial melebihi 100, diperlukan sekitar 10 43 elemen deret).
Divergensi deret harmonik dapat ditunjukkan dengan membandingkannya dengan deret teleskopik:
v n = ln (n + 1) ln n = ln (1 + 1 n) + 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ kiri(1+(\frac (1)(n))\kanan)(\underset (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),yang jumlah parsialnya jelas sama dengan:
i = 1 n − 1 v i = ln n s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).Bukti Orem
Bukti divergensi dapat dibangun dengan mengelompokkan istilah-istilah sebagai berikut:
k = 1 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ] + > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ] + = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + . (\displaystyle (\begin(aligned)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\left[(\frac (1)(2) )\kanan]+\kiri[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))\kanan]+\kiri[(\frac (1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\kanan]+\kiri[(\frac (1)(9))+\cdots \ kanan]+\cdots \\&()>1+\kiri[(\frac (1)(2))\kanan]+\kiri[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\kanan]+\kiri[(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\kanan]+\kiri[(\frac (1)(16))+\cdots \kanan]+\cdots \\&()=1+\ (\frac (1)(2))\ \ \ +\quad (\frac (1)(2))\ \quad +\ \qquad \quad (\frac (1)(2))\qquad \ \quad \ +\quad \ \ (\frac (1 )(2))\ \quad +\ \cdots .\end(selaras)))Baris terakhir jelas menyimpang. Bukti ini milik cendekiawan abad pertengahan Nicholas Orem (c. 1350).
Bukti alternatif divergensi
Kami mengundang pembaca untuk memverifikasi kekeliruan bukti ini.
Perbedaan antara n (\gaya tampilan n)-bilangan harmonik dan logaritma natural n (\gaya tampilan n) konvergen ke konstanta Euler - Mascheroni.
Selisih antara bilangan harmonik yang berbeda tidak pernah merupakan bilangan bulat dan tidak ada bilangan harmonik kecuali H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1), bukan bilangan bulat.
Baris terkait
Baris dirichlet
Deret harmonik umum (atau deret Dirichlet) disebut deret
k = 1 1 k α = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 k α + (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac ( 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha )))+(\frac (1)(3^(\alpha )))+(\frac ( 1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha )))+\cdots ).Deret harmonik umum divergen pada 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1) dan konvergen pada > 1 (\displaystyle \alpha >1) .
Jumlah dari deret orde harmonik umum (\displaystyle \alpha ) sama dengan nilai fungsi zeta Riemann:
k = 1 1 k α = (α) (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k^(\alpha )))=\zeta (\alpha ))Untuk bilangan genap, nilai ini secara eksplisit dinyatakan dalam pi , misalnya, (2) = 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), dan untuk =3 nilainya tidak diketahui secara analitik.
Ilustrasi lain dari divergensi deret harmonik dapat berupa relasi (1 + 1 n) n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) . Oleh karena itu, deret tersebut dikatakan memiliki peluang 1 , dan jumlah deret tersebut merupakan besaran acak dengan sifat-sifat yang menarik. Misalnya, fungsi kepadatan probabilitas yang dihitung pada titik +2 atau 2 memiliki nilai:
0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,berbeda dari kurang dari 10 42 .
Seri harmonik "tipis"
seri Kempner (Bahasa inggris)Jika kita mempertimbangkan deret harmonik di mana hanya suku yang tersisa, penyebutnya tidak mengandung angka 9, maka ternyata jumlah yang tersisa konvergen ke angka tersebut<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\gaya tampilan n), semakin sedikit suku yang diambil untuk jumlah deret "ditipiskan". Artinya, pada akhirnya, sebagian besar suku yang membentuk jumlah deret harmonik dibuang, agar tidak melebihi batas deret geometri dari atas.
Ada beberapa cara untuk memeriksa kekonvergenan suatu deret. Pertama, Anda cukup menemukan jumlah seri. Jika sebagai hasilnya kita mendapatkan angka yang terbatas, maka seperti deret konvergen. Misalnya, sejak
maka deret tersebut konvergen. Jika kita gagal menemukan jumlah deret tersebut, maka metode lain harus digunakan untuk memeriksa konvergensi deret tersebut.
Salah satu metode ini adalah tanda d'Alembert
di sini dan adalah suku ke-n dan (n + 1)-th berturut-turut dari deret tersebut, dan konvergensi ditentukan oleh nilai D: Jika D< 1 - ряд сходится, если D >
Sebagai contoh, kami menguji konvergensi deret menggunakan uji d'Alembert. Pertama, mari kita tulis ekspresi untuk dan . Sekarang mari kita cari batas yang sesuai:
Karena , menurut uji d'Alembert, deret tersebut konvergen.
Cara lain untuk memeriksa kekonvergenan suatu deret adalah tanda radikal Cauchy, yang ditulis sebagai berikut:
di sini adalah suku ke-n dari deret tersebut, dan konvergensi, seperti dalam kasus uji d'Alembert, ditentukan oleh nilai D: Jika D< 1 - ряд сходится, если D >1 - menyimpang. Ketika D = 1 - tanda ini tidak memberikan jawaban dan penelitian tambahan diperlukan.
Sebagai contoh, kami mempelajari konvergensi deret menggunakan kriteria Cauchy radikal. Pertama, mari kita tulis ekspresi untuk . Sekarang mari kita cari batas yang sesuai:
Karena title="15625/64>1"> , menurut uji Cauchy radikal, deretnya divergen.
Perlu dicatat bahwa bersama dengan yang di atas, ada tanda-tanda konvergensi lain dari deret tersebut, seperti uji Cauchy integral, uji Raabe, dll.
Kalkulator online kami, dibangun berdasarkan sistem Wolfram Alpha, memungkinkan Anda menguji konvergensi suatu deret. Dalam hal ini, jika kalkulator memberikan angka tertentu sebagai jumlah dari deret, maka deret tersebut konvergen. Jika tidak, perlu memperhatikan item "Uji konvergensi deret". Jika frasa "deret konvergen" hadir di sana, maka deret tersebut konvergen. Jika frasa "deret divergen" hadir, maka deret divergen.
Di bawah ini adalah terjemahan dari semua nilai yang mungkin dari item "Uji kekonvergenan suatu deret":
| teks bahasa inggris | Teks dalam bahasa Rusia |
|---|---|
| Dengan uji deret harmonik, deret tersebut divergen. | Ketika membandingkan deret yang dipelajari dengan deret harmonik, deret aslinya divergen. |
| Tes rasio tidak meyakinkan. | Uji d'Alembert tidak dapat memberikan jawaban tentang kekonvergenan suatu deret. |
| Tes root tidak meyakinkan. | Uji radikal Cauchy tidak dapat memberikan jawaban tentang kekonvergenan deret tersebut. |
| Dengan uji perbandingan, deret tersebut konvergen. | Sebagai perbandingan, deret tersebut konvergen |
| Dengan uji rasio, deret tersebut konvergen. | Menurut uji d'Alembert, deret tersebut konvergen |
| Dengan uji batas, deret divergensi. | Berdasarkan fakta bahwa title="(!LANG:Batas anggota ke-n dari deret tersebut ketika n->oo tidak sama dengan nol atau tidak ada"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !} |
Menjawab: deret divergen.
Contoh #3
Cari jumlah dari deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.
Karena batas penjumlahan bawah adalah 1, suku deret tersebut ditulis di bawah tanda penjumlahan: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Tulis jumlah parsial ke-n dari deret tersebut, mis. jumlahkan $n$ anggota pertama dari deret numerik yang diberikan:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$
Mengapa saya menulis persis $\frac(2)(3\cdot 5)$, dan bukan $\frac(2)(15)$, akan jelas dari narasi selanjutnya. Namun, mencatat jumlah parsial tidak membawa kita sedikit pun lebih dekat ke tujuan. Bagaimanapun, kita perlu menemukan $\lim_(n\to\infty)S_n$, tetapi jika kita hanya menulis:
$$ \lim_(n\ke\infty)S_n=\lim_(n\ke\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\kanan), $$
maka catatan ini, sepenuhnya benar dalam bentuk, tidak akan memberi kita apa pun pada intinya. Untuk menemukan limitnya, ekspresi jumlah parsial harus disederhanakan terlebih dahulu.
Ada transformasi standar untuk ini, yang terdiri dari penguraian pecahan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, yang mewakili suku umum deret tersebut, menjadi pecahan elementer. Topik terpisah dikhususkan untuk masalah penguraian pecahan rasional menjadi pecahan dasar (lihat, misalnya, contoh No. 3 di halaman ini). Memperluas pecahan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ menjadi pecahan dasar, kita mendapatkan:
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$
Kami menyamakan pembilang dari pecahan di sisi kiri dan kanan dari persamaan yang dihasilkan:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Ada dua cara untuk mencari nilai $A$ dan $B$. Anda dapat membuka tanda kurung dan mengatur ulang istilah, atau Anda cukup mengganti beberapa nilai yang sesuai sebagai ganti $n$. Hanya untuk perubahan, dalam contoh ini kita akan menggunakan cara pertama, dan selanjutnya - kita akan mengganti nilai pribadi $n$. Memperluas tanda kurung dan mengatur ulang istilah, kita mendapatkan:
$$ 2=2An+3A+2Mn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
Di sisi kiri persamaan, $n$ didahului oleh nol. Jika Anda suka, sisi kiri persamaan dapat direpresentasikan untuk kejelasan sebagai $0\cdot n+ 2$. Karena di ruas kiri persamaan $n$ didahului oleh nol, dan di ruas kanan persamaan $2A+2B$ mendahului $n$, kita mendapatkan persamaan pertama: $2A+2B=0$. Kami segera membagi kedua bagian persamaan ini dengan 2, setelah itu kami mendapatkan $A+B=0$.
Karena suku bebas di ruas kiri persamaan sama dengan 2, dan di ruas kanan persamaan suku bebasnya sama dengan $3A+B$, maka $3A+B=2$. Jadi kami memiliki sistem:
$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$
Pembuktian akan dilakukan dengan metode induksi matematika. Pada langkah pertama, kita perlu memeriksa apakah persamaan yang diperlukan $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ berlaku untuk $n=1$. Kita tahu bahwa $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, tetapi akankah ekspresi $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ memberikan nilai $\frac( 2 )(15)$ jika $n=1$ diganti ke dalamnya? Mari kita periksa:
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$
Jadi, untuk $n=1$ persamaan $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ terpenuhi. Ini melengkapi langkah pertama dari metode induksi matematika.
Asumsikan bahwa untuk $n=k$ persamaan berlaku, mis. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Mari kita buktikan bahwa persamaan yang sama berlaku untuk $n=k+1$. Untuk melakukannya, pertimbangkan $S_(k+1)$:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$
Karena $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, maka $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Berdasarkan asumsi di atas $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, maka rumus $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ mengambil formulir:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$
Kesimpulan: rumus $S_n=\frac(1)(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ benar untuk $n=k+1$. Oleh karena itu, menurut metode induksi matematika, rumus $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ benar untuk $n\in N$. Kesetaraan telah terbukti.
Dalam kursus standar dalam matematika yang lebih tinggi, seseorang biasanya puas dengan "menghapus" istilah yang membatalkan, tanpa memerlukan bukti apa pun. Jadi, kita mendapatkan ekspresi untuk jumlah parsial ke-n: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Cari nilai $\lim_(n\to\infty)S_n$:
Kesimpulan: deret yang diberikan konvergen dan jumlahnya adalah $S=\frac(1)(3)$.
Cara kedua adalah dengan menyederhanakan rumus jumlah parsial.
Sejujurnya, saya sendiri lebih suka metode ini :) Mari kita tulis jumlah parsial dalam bentuk singkatan:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$
Kita mendapatkan sebelumnya bahwa $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, jadi:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan). $$
Jumlah $S_n$ berisi sejumlah istilah yang terbatas, sehingga kita dapat mengatur ulang mereka sesuka kita. Saya ingin menambahkan terlebih dahulu semua istilah dari formulir $\frac(1)(2k+1)$, dan baru kemudian pergi ke persyaratan formulir $\frac(1)(2k+3)$. Ini berarti bahwa kami akan mewakili jumlah parsial dalam bentuk ini:
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\kanan). $$
Tentu saja, notasi yang diperluas sangat merepotkan, sehingga persamaan di atas dapat ditulis lebih ringkas:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$
Sekarang kita ubah ekspresi $\frac(1)(2k+1)$ dan $\frac(1)(2k+3)$ ke bentuk yang sama. Saya pikir lebih mudah untuk membuatnya terlihat seperti pecahan yang lebih besar (walaupun Anda dapat menggunakan yang lebih kecil, ini masalah selera). Karena $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (semakin besar penyebutnya, semakin kecil pecahannya), kita akan mengurangi pecahan $\frac(1)(2k+ 3) $ ke bentuk $\frac(1)(2k+1)$.
Saya akan menyajikan ekspresi penyebut pecahan $\frac(1)(2k+3)$ sebagai berikut:
$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$
Dan jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ sekarang dapat ditulis seperti ini:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1 )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$
Jika persamaan $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ tidak menimbulkan pertanyaan, maka mari kita melangkah lebih jauh. Jika ada pertanyaan, mohon perluas catatannya.
Bagaimana kami mendapatkan jumlah yang dikonversi? tunjukan Sembunyikan
Kami memiliki deret $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Mari kita perkenalkan variabel baru sebagai ganti $k+1$ - misalnya, $t$. Jadi $t=k+1$.
Bagaimana variabel lama $k$ berubah? Dan itu berubah dari 1 menjadi $n$. Mari kita cari tahu bagaimana variabel baru $t$ akan berubah. Jika $k=1$, maka $t=1+1=2$. Jika $k=n$, maka $t=n+1$. Jadi ekspresi $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ sekarang: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$
Kami memiliki jumlah $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Pertanyaan: apakah penting huruf mana yang digunakan dalam jumlah ini? :) Dengan menulis huruf $k$ alih-alih $t$, kita mendapatkan yang berikut:
$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$
Ini adalah bagaimana persamaan $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) diperoleh \frac(1)(2k+1)$.
Dengan demikian, jumlah parsial dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$
Perhatikan bahwa jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ dan $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ hanya berbeda dalam batas penjumlahan. Mari kita buat batasan ini sama. "Mengambil" elemen pertama dari jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ kita peroleh:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$
"Mengambil" elemen terakhir dari penjumlahan $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, kita peroleh:
$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$
Kemudian ekspresi untuk jumlah parsial akan berbentuk:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\kanan)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Jika Anda melewatkan semua penjelasan, maka proses menemukan rumus yang disingkat untuk jumlah parsial ke-n akan mengambil bentuk berikut:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\kanan)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Saya ingatkan Anda bahwa kita telah mengurangi pecahan $\frac(1)(2k+3)$ menjadi $\frac(1)(2k+1)$. Tentu saja, Anda dapat melakukan yang sebaliknya, mis. nyatakan pecahan $\frac(1)(2k+1)$ sebagai $\frac(1)(2k+3)$. Ekspresi akhir untuk jumlah parsial tidak akan berubah. Dalam hal ini, saya akan menyembunyikan proses menemukan jumlah sebagian di bawah catatan.
Bagaimana menemukan $S_n$, jika Anda membawa ke bentuk pecahan yang berbeda? tunjukan Sembunyikan
$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\kanan) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$
Jadi $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Cari limit $\lim_(n\to\infty)S_n$:
$$ \lim_(n\ke\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$
Deret yang diberikan konvergen dan jumlahnya adalah $S=\frac(1)(3)$.
Menjawab: $S=\frac(1)(3)$.
Kelanjutan topik mencari jumlah suatu deret akan dibahas pada bagian kedua dan ketiga.
Menemukan jumlah dari serangkaian angka. Jika tidak mungkin untuk menemukannya, maka sistem menghitung jumlah deret dengan akurasi tertentu.
Konvergensi Seri
Kalkulator ini dapat menentukan apakah suatu deret konvergen, dan juga menunjukkan tanda konvergensi mana yang berhasil dan mana yang tidak.
Dia juga tahu bagaimana menentukan konvergensi deret pangkat.
Grafik seri juga dibuat, di mana Anda dapat melihat tingkat konvergensi dari seri (atau divergensi).
Aturan untuk memasukkan ekspresi dan fungsi
Ekspresi dapat terdiri dari fungsi (notasi diberikan dalam urutan abjad): mutlak (x) Nilai mutlak x
(modul x atau |x|)
arcco(x) Fungsi - kosinus busur dari x arccosh(x) Busur kosinus hiperbolik dari x arcsin(x) Arcsin dari x arcsinh(x) Hiperbolik Arcsin dari x arctg(x) Fungsi - busur tangen dari x arctgh(x) Garis singgung busur adalah hiperbolik dari x e e angka yang kira-kira sama dengan 2,7 exp(x) Fungsi - eksponen dari x(yang mana e^x)
log(x) atau log(x) logaritma natural dari x
(Untuk memperoleh log7(x), Anda harus memasukkan log(x)/log(7) (atau, misalnya, untuk log10(x)=log(x)/log(10)) pi Angkanya adalah "Pi", yang kira-kira sama dengan 3,14 dosa(x) Fungsi - Sinus x cos(x) Fungsi - Kosinus dari x sinh(x) Fungsi - Sinus hiperbolik dari x uang tunai (x) Fungsi - Kosinus hiperbolik dari x kuadrat(x) Fungsinya adalah akar kuadrat dari x persegi(x) atau x^2 Fungsi - Kotak x tg(x) Fungsi - Tangen dari x tgh(x) Fungsi - Garis singgung hiperbolik dari x cbrt(x) Fungsinya adalah akar pangkat tiga dari x
Anda dapat menggunakan operasi berikut dalam ekspresi: bilangan asli masukkan dalam formulir 7.5
, bukan 7,5
2*x- perkalian 3/x- divisi x^3- eksponensial x + 7- tambahan x - 6- pengurangan
Fitur lainnya: lantai (x) Fungsi - pembulatan x bawah (contoh lantai(4.5)==4.0) langit-langit (x) Fungsi - pembulatan x atas (contoh langit-langit(4.5)==5.0) tanda (x) Fungsi - Tanda x erf(x) Fungsi kesalahan (atau integral probabilitas) tempat (x) Fungsi Laplace
