Persamaan derajat tertinggi dengan akar positif. Persamaan derajat yang lebih tinggi Metode untuk memecahkan persamaan n

Mempertimbangkan memecahkan persamaan dengan satu variabel derajat lebih tinggi dari yang kedua.

Derajat persamaan P(x) = 0 adalah derajat polinomial P(x), yaitu. pangkat terbesar dari suku-sukunya dengan koefisien bukan nol.

Jadi, misalnya, persamaan (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 memiliki derajat kelima, karena setelah operasi membuka kurung dan membawa yang serupa, kami memperoleh persamaan yang setara x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 dari derajat kelima.

Ingat aturan yang akan diperlukan untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua.

Pernyataan tentang akar polinomial dan pembaginya:

1. Polinomial derajat ke-n memiliki jumlah akar tidak melebihi jumlah n, dan akar perkalian m terjadi tepat m kali.

2. Polinomial berderajat ganjil memiliki setidaknya satu akar real.

3. Jika adalah akar dari (х), maka n (х) = (х – ) · Q n – 1 (x), dengan Q n – 1 (x) adalah polinomial berderajat (n – 1) .

5. Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak dapat memiliki akar rasional pecahan.

6. Untuk polinomial derajat ketiga

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d salah satu dari dua hal yang mungkin: baik itu terurai menjadi produk dari tiga binomial

P 3 (x) \u003d a (x - ) (x - ) (x - ), atau terurai menjadi produk binomial dan trinomial persegi P 3 (x) \u003d a (x - ) ( x2 + x + ).

7. Setiap polinomial derajat keempat berekspansi menjadi produk dari dua trinomial persegi.

8. Suatu polinomial f(x) habis dibagi oleh polinomial g(x) tanpa sisa jika terdapat polinomial q(x) sedemikian rupa sehingga f(x) = g(x) q(x). Untuk membagi polinomial, aturan "pembagian dengan sudut" diterapkan.

9. Agar polinomial P(x) habis dibagi oleh binomial (x – c), perlu dan cukup bahwa bilangan c adalah akar dari P(x) (Sesuai dengan teorema Bezout).

10. Teorema Vieta: Jika x 1, x 2, ..., x n adalah akar-akar real dari polinomial

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, maka persamaan berikut berlaku:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Solusi dari contoh

Contoh 1

Temukan sisanya setelah membagi P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 dengan (x - 1/3).

Keputusan.

Menurut akibat wajar dari teorema Bezout: "Sisa pembagian polinomial dengan binomial (x - c) sama dengan nilai polinomial di c." Mari kita cari P(1/3) = 0. Oleh karena itu, sisanya adalah 0 dan angka 1/3 adalah akar dari polinomial.

Jawab: R = 0.

Contoh 2

Bagilah "sudut" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 dengan (x + 2). Cari sisa dan hasil bagi tidak lengkap.

Keputusan:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Jawaban: R = 3; hasil bagi: 2x 2 - x.

Metode dasar untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi

1. Pengenalan variabel baru

Metode memasukkan variabel baru sudah familiar dari contoh persamaan biquadratic. Terdiri dari fakta bahwa untuk menyelesaikan persamaan f (x) \u003d 0, variabel baru (substitusi) t \u003d x n atau t \u003d g (x) diperkenalkan dan f (x) dinyatakan melalui t, memperoleh a persamaan baru r (t). Kemudian selesaikan persamaan r(t), cari akar-akarnya:

(t 1 , t 2 , …, t n). Setelah itu, himpunan n persamaan q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n diperoleh, dari mana akar-akar persamaan asli ditemukan.

Contoh 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Keputusan:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Penggantian (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Penggantian terbalik:

x 2 + x + 1 = 2 atau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 atau x 2 + x = 0;

Jawaban: Dari persamaan pertama: x 1, 2 = (-1 ± 5) / 2, dari persamaan kedua: 0 dan -1.

2. Faktorisasi dengan metode pengelompokan dan rumus perkalian disingkat

Dasar dari metode ini juga bukan hal baru dan terdiri dari pengelompokan istilah sedemikian rupa sehingga setiap kelompok mengandung faktor persekutuan. Untuk melakukan ini, terkadang Anda harus menggunakan beberapa trik buatan.

Contoh 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Keputusan.

Bayangkan - 3x 2 = -2x 2 - x 2 dan kelompokkan:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 atau x 2 + x - 3 \u003d 0.

Jawaban: Tidak ada akar dalam persamaan pertama, dari yang kedua: x 1, 2 \u003d (-1 ± 13) / 2.

3. Faktorisasi dengan metode koefisien tak tentu

Inti dari metode ini adalah bahwa polinomial asli didekomposisi menjadi faktor-faktor dengan koefisien yang tidak diketahui. Menggunakan properti bahwa polinomial sama jika koefisiennya sama pada pangkat yang sama, koefisien ekspansi yang tidak diketahui ditemukan.

Contoh 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Keputusan.

Sebuah polinomial derajat 3 dapat didekomposisi menjadi produk faktor linier dan kuadrat.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Memecahkan sistem:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, mis.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Akar persamaan (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 mudah ditemukan.

Jawaban 1; -2.

4. Metode pemilihan akar dengan koefisien tertinggi dan bebas

Metode ini didasarkan pada penerapan teorema:

1) Setiap akar bilangan bulat dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi dari istilah bebas.

2) Agar pecahan tak tereduksi p / q (p adalah bilangan bulat, q natural) menjadi akar persamaan dengan koefisien bilangan bulat, perlu bahwa bilangan p adalah pembagi bilangan bulat dari suku bebas a 0, dan q adalah pembagi alami dari koefisien tertinggi.

Contoh 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Keputusan:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Jadi p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Setelah menemukan satu akar, misalnya - 2, kami akan menemukan akar lain menggunakan pembagian dengan sudut, metode koefisien tak tentu atau skema Horner.

Jawaban: -2; 1/2; 1/3.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Saat menyelesaikan persamaan aljabar, sering kali perlu memfaktorkan polinomial. Memfaktorkan polinomial berarti menyatakannya sebagai produk dari dua atau lebih polinomial. Kami cukup sering menggunakan beberapa metode perluasan polinomial: menghilangkan faktor persekutuan, menggunakan rumus perkalian yang disingkat, menyorot kuadrat penuh, mengelompokkan. Mari kita lihat beberapa metode lagi.

Terkadang, ketika memfaktorkan polinomial, pernyataan berikut berguna:

1) jika polinomial dengan koefisien bilangan bulat memiliki akar rasional (di mana adalah pecahan tak tereduksi, maka merupakan pembagi dari suku bebas dan pembagi dari koefisien tertinggi:

2) Jika dengan cara apapun kita memilih akar dari polinomial derajat, maka polinomial tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk di mana polinomial derajat

Polinomial dapat ditemukan baik dengan membagi polinomial dengan "kolom" binomial, atau dengan pengelompokan suku-suku polinomial yang sesuai dan mengekstraksi faktor darinya, atau dengan metode koefisien tak tentu.

Contoh. Faktorkan polinomial

Keputusan. Karena koefisien pada x4 sama dengan 1, maka akar rasional dari polinomial ini ada dan merupakan pembagi dari bilangan 6, yaitu dapat berupa bilangan bulat ±1, ±2, ±3, ±6. Kami menyatakan polinomial ini dengan P4(x). Karena 4 (1) = 4 dan 4 (-4) = 23, bilangan 1 dan -1 bukan akar dari polinomial PA (x). Karena P4(2) = 0, maka x = 2 adalah akar dari polinomial P4(x), dan oleh karena itu, polinomial ini habis dibagi oleh binomial x - 2. Oleh karena itu x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2 x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2 - 2x

Jadi, P4(x) = (x - 2)(x3 - 3x2 + x - 3). Karena xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), maka x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3)(x2 + 1).

Metode masukan parameter

Terkadang, saat memfaktorkan polinomial, metode pengenalan parameter membantu. Inti dari metode ini akan dijelaskan dengan contoh berikut.

Contoh. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Keputusan. Pertimbangkan polinomial dengan parameter a: x3 - (a + 1)x2 + a2, yang berubah menjadi polinomial yang diberikan untuk a = 3. Kami menulis polinomial ini sebagai trinomial persegi sehubungan dengan a: ar - ax2 + (x3 - x2).

Karena akar-akar kuadrat trinomial terhadap a adalah a1 = x dan a2 = x2 - x, maka persamaan a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) adalah benar. Oleh karena itu, polinomial x3 - (√3 + 1)x2 + 3 terurai menjadi faktor 3 - x dan 3 - x2 + x, yaitu.

x3 - (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

Metode untuk memperkenalkan yang baru tidak diketahui

Dalam beberapa kasus, dengan mengganti ekspresi f(x), yang termasuk dalam polinomial Pn(x), melalui y, seseorang dapat memperoleh polinomial terhadap y, yang sudah dapat dengan mudah difaktorkan. Kemudian, setelah mengganti y dengan f(x), kita memperoleh faktorisasi dari polinomial Pn(x).

Contoh. Faktorkan polinomial x(x+1)(x+2)(x+3)-15.

Keputusan. Mari kita ubah polinomial ini sebagai berikut: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Dilambangkan x2 + 3x dengan y. Maka kita memiliki y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= ( y + 5) (y - 3).

Jadi x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5)(x2 + 3x - 3).

Contoh. Faktorkan polinomial (x-4)4+(x+2)4

Keputusan. Dilambangkan x - 4 + x + 2 = x - 1 dengan y.

(x - 4)4 + (x + 2)2 = (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(y2 + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - b48)(y2 + 27+b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

Kombinasi metode yang berbeda

Seringkali, ketika memfaktorkan polinomial, seseorang harus menerapkan beberapa metode yang dibahas di atas secara berurutan.

Contoh. Faktorkan polinomial x4 - 3x2 + 4x-3.

Keputusan. Menggunakan pengelompokan, kami menulis ulang polinomial dalam bentuk x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Menerapkan metode pemilihan kotak penuh ke kurung pertama, kita mendapatkan x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 1 x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Dengan menggunakan rumus kuadrat penuh, sekarang kita dapat menulis bahwa x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

Akhirnya, dengan menerapkan rumus selisih kuadrat, kita mendapatkan bahwa x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2 -x+1 ).

2. Persamaan simetris

1. Persamaan simetris derajat ketiga

Persamaan bentuk ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0, a 0 (1) disebut persamaan simetris derajat ketiga. Karena ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a), maka persamaan (1) setara dengan set persamaan x + 1 \u003d 0 dan ax2 + (b-a) x + a \u003d 0, yang tidak sulit untuk dipecahkan.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Keputusan. Persamaan (2) merupakan persamaan simetris derajat ketiga.

Karena 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x + 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , maka persamaan (2) setara dengan himpunan persamaan x + 1 = 0 dan 3x3 + x +3=0.

Solusi dari persamaan pertama adalah x = -1, persamaan kedua tidak memiliki solusi.

Jawab: x = -1.

2. Persamaan simetris derajat keempat

Ketik persamaan

(3) disebut persamaan simetris derajat keempat.

Karena x \u003d 0 bukan akar persamaan (3), maka, membagi kedua bagian persamaan (3) dengan x2, kami memperoleh persamaan yang setara dengan yang asli (3):

Mari kita tulis ulang persamaan (4) dalam bentuk:

Dalam persamaan ini, kita melakukan penggantian, maka kita mendapatkan persamaan kuadrat

Jika persamaan (5) memiliki 2 akar y1 dan y2, maka persamaan awal ekuivalen dengan himpunan persamaan

Jika persamaan (5) memiliki satu akar 0, maka persamaan awal ekuivalen dengan persamaan

Akhirnya, jika persamaan (5) tidak memiliki akar, maka persamaan aslinya juga tidak memiliki akar.

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Keputusan. Persamaan ini merupakan persamaan simetris derajat keempat. Karena x \u003d 0 bukan akarnya, maka, membagi persamaan (6) dengan x2, kami memperoleh persamaan yang setara:

Mengelompokkan istilah, kami menulis ulang persamaan (7) dalam bentuk atau dalam bentuk

Dengan asumsi, kita memperoleh persamaan yang memiliki dua akar y1 = 2 dan y2 = 3. Oleh karena itu, persamaan asli ekuivalen dengan himpunan persamaan

Solusi dari persamaan pertama dari himpunan ini adalah x1 = 1, dan solusi dari yang kedua adalah u.

Oleh karena itu, persamaan asli memiliki tiga akar: x1, x2 dan x3.

Jawab: x1=1.

3. persamaan aljabar

1. Mengurangi derajat persamaan

Beberapa persamaan aljabar, dengan mengganti beberapa polinomial di dalamnya dengan satu huruf, dapat direduksi menjadi persamaan aljabar yang derajatnya lebih kecil dari derajat persamaan aslinya dan penyelesaiannya lebih sederhana.

Contoh 1. Selesaikan persamaan

Keputusan. Dilambangkan dengan, maka persamaan (1) dapat ditulis kembali sebagai Persamaan terakhir memiliki akar dan Oleh karena itu, persamaan (1) setara dengan himpunan persamaan dan. Solusi dari persamaan pertama dari himpunan ini adalah dan Solusi dari persamaan kedua adalah

Solusi dari persamaan (1) adalah

Contoh 2. Selesaikan persamaan

Keputusan. Mengalikan kedua ruas persamaan dengan 12 dan dilambangkan dengan,

Kami memperoleh persamaan Kami menulis ulang persamaan ini dalam bentuk

(3) dan menunjukkan melalui kita menulis ulang persamaan (3) dalam bentuk Persamaan terakhir memiliki akar dan Oleh karena itu, kita memperoleh persamaan (3) setara dengan himpunan dua persamaan dan 4)

Solusi dari himpunan (4) adalah dan, dan merupakan solusi dari persamaan (2).

2. Persamaan bentuk

persamaan

(5) di mana diberikan nomor, dapat direduksi menjadi persamaan biquadratic menggunakan penggantian yang tidak diketahui, yaitu penggantian

Contoh 3. Selesaikan persamaan

Keputusan. Mari dilambangkan dengan, yaitu kita membuat perubahan variabel atau Kemudian persamaan (6) dapat ditulis ulang dalam bentuk atau, menggunakan rumus, dalam bentuk

Karena akar-akar persamaan kuadrat adalah dan maka solusi persamaan (7) adalah solusi dari himpunan persamaan dan. Himpunan persamaan ini memiliki dua solusi dan Oleh karena itu, solusi dari persamaan (6) adalah dan

3. Persamaan bentuk

persamaan

(8) di mana bilangan , , , , dan sedemikian rupa sehingga

Contoh 4. Selesaikan persamaan

Keputusan. Mari kita buat perubahan yang tidak diketahui, yaitu y=x+3 atau x = y – 3. Maka persamaan (9) dapat ditulis ulang menjadi

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, yaitu dalam bentuk

(y2-4)(y2-1)=10(10)

Persamaan biquadratic (10) memiliki dua akar. Oleh karena itu, persamaan (9) juga memiliki dua akar:

4. Persamaan bentuk

Persamaan, (11)

Dimana, tidak memiliki akar x = 0, oleh karena itu, membagi persamaan (11) dengan x2, kita memperoleh persamaan yang setara

Yang, setelah mengganti yang tidak diketahui, akan ditulis ulang dalam bentuk persamaan kuadrat, yang solusinya tidak sulit.

Contoh 5. Selesaikan persamaan

Keputusan. Karena h \u003d 0 bukan akar persamaan (12), maka, membaginya dengan x2, kami memperoleh persamaan yang setara

Dengan tidak mengetahui perubahannya, kita peroleh persamaan (y+1)(y+2)=2, yang memiliki dua akar: y1 = 0 dan y1 = -3. Oleh karena itu, persamaan asli (12) setara dengan himpunan persamaan

Koleksi ini memiliki dua akar: x1= -1 dan x2 = -2.

Jawaban: x1= -1, x2 = -2.

Komentar. jenis persamaan,

Yang selalu dapat direduksi menjadi bentuk (11) dan, terlebih lagi, dengan mempertimbangkan > 0 dan > 0 menjadi bentuk.

5. Persamaan bentuk

persamaan

,(13) di mana bilangan , , , , dan sedemikian rupa sehingga = 0, dapat ditulis ulang dengan mengalikan kurung pertama dengan kurung kedua, dan kurung ketiga dengan keempat, dalam bentuk persamaan (13) sekarang ditulis dalam bentuk (11), dan penyelesaiannya dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti penyelesaian persamaan (11).

Contoh 6. Selesaikan persamaan

Keputusan. Persamaan (14) memiliki bentuk (13) , jadi kami menulis ulang sebagai

Karena x = 0 bukan solusi untuk persamaan ini, membagi kedua sisinya dengan x2, kami memperoleh persamaan asli yang setara. Membuat perubahan variabel, kami memperoleh persamaan kuadrat yang solusinya adalah dan. Oleh karena itu, persamaan awal (14) ekuivalen dengan himpunan persamaan u.

Solusi dari persamaan pertama dari himpunan ini adalah

Persamaan kedua dari himpunan solusi ini tidak memiliki. Jadi, persamaan asli memiliki akar x1 dan x2.

6. Persamaan bentuk

persamaan

(15) di mana bilangan a, b, c, q, A sedemikian rupa sehingga tidak memiliki akar x = 0, oleh karena itu, bagi persamaan (15) dengan x2. kami memperoleh persamaan yang setara dengannya, yang, setelah penggantian yang tidak diketahui, akan ditulis ulang dalam bentuk persamaan kuadrat, yang solusinya tidak sulit.

Contoh 7. Solusi persamaan

Keputusan. Karena x \u003d 0 bukan akar persamaan (16), maka, membagi kedua bagiannya dengan x2, kami memperoleh persamaan

, (17) setara dengan persamaan (16). Setelah membuat perubahan yang tidak diketahui, kita dapat menulis ulang persamaan (17) dalam bentuk

Persamaan kuadrat (18) memiliki 2 akar: y1 = 1 dan y2 = -1. Oleh karena itu, persamaan (17) ekuivalen dengan himpunan persamaan dan (19)

Himpunan persamaan (19) memiliki 4 akar: ,.

Mereka akan menjadi akar persamaan (16).

4. Persamaan Rasional

Persamaan bentuk = 0, di mana H(x) dan Q(x) adalah polinomial, disebut rasional.

Setelah menemukan akar-akar persamaan H(x) = 0, maka Anda perlu memeriksa mana di antara akar-akar persamaan tersebut yang bukan merupakan akar dari persamaan Q(x) = 0. Akar-akar ini dan hanya akar-akar tersebut yang akan menjadi solusi persamaan.

Pertimbangkan beberapa metode untuk memecahkan persamaan bentuk = 0.

1. Persamaan bentuk

persamaan

(1) dalam kondisi tertentu bilangan dapat diselesaikan sebagai berikut. Mengelompokkan suku-suku persamaan (1) menjadi dua dan menjumlahkan setiap pasangan, kita harus memperoleh polinomial pembilang dari derajat pertama atau nol, yang hanya berbeda dalam faktor numerik, dan dalam penyebut - trinomial dengan dua suku yang sama yang mengandung x, maka setelah perubahan variabel, persamaan akan memiliki bentuk (1), tetapi dengan jumlah suku yang lebih sedikit, atau akan setara dengan kombinasi dua persamaan, salah satunya adalah persamaan derajat pertama, dan persamaan kedua akan menjadi persamaan bentuk (1), tetapi dengan jumlah suku yang lebih sedikit.

Contoh. selesaikan persamaannya

Keputusan. Pengelompokan di ruas kiri persamaan (2) suku pertama dengan suku terakhir, dan suku kedua dengan suku kedua dari belakang, kita tulis ulang persamaan (2) dalam bentuk

Menjumlahkan istilah di setiap kurung, kami menulis ulang Persamaan (3) sebagai

Karena tidak ada solusi untuk persamaan (4), maka, membagi persamaan ini dengan, kita memperoleh persamaan

, (5) setara dengan persamaan (4). Mari kita membuat perubahan yang tidak diketahui, maka persamaan (5) akan ditulis ulang dalam bentuk

Dengan demikian, solusi persamaan (2) dengan lima suku di ruas kiri direduksi menjadi penyelesaian persamaan (6) dengan bentuk yang sama, tetapi dengan tiga suku di ruas kiri. Menjumlahkan semua suku di ruas kiri persamaan (6), kita tulis ulang dalam bentuk

Ada juga solusi untuk persamaan. Tak satu pun dari bilangan-bilangan ini yang menghilangkan penyebut fungsi rasional di ruas kiri persamaan (7). Oleh karena itu, persamaan (7) memiliki dua akar ini, dan oleh karena itu persamaan asli (2) setara dengan himpunan persamaan

Solusi dari persamaan pertama dari himpunan ini adalah

Solusi persamaan kedua dari himpunan ini adalah

Oleh karena itu, persamaan asli memiliki akar

2. Persamaan bentuk

persamaan

(8) dalam kondisi tertentu pada bilangan dapat diselesaikan sebagai berikut: perlu untuk memilih bagian bilangan bulat di setiap pecahan persamaan, yaitu mengganti persamaan (8) dengan persamaan

Kurangi menjadi bentuk (1) dan kemudian selesaikan dengan cara yang dijelaskan pada paragraf sebelumnya.

Contoh. selesaikan persamaannya

Keputusan. Kami menulis persamaan (9) dalam bentuk atau dalam bentuk

Menyimpulkan istilah dalam tanda kurung, kami menulis ulang Persamaan (10) sebagai

Membuat perubahan yang tidak diketahui, kami menulis ulang persamaan (11) dalam bentuk

Menjumlahkan suku-suku di ruas kiri persamaan (12), kita tulis ulang dalam bentuk

Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan (13) memiliki dua akar: dan. Oleh karena itu, persamaan asli (9) memiliki empat akar:

3) Persamaan bentuk.

Persamaan bentuk (14) dalam kondisi tertentu pada bilangan dapat diselesaikan sebagai berikut: dengan memperluas (jika, tentu saja, ini mungkin) masing-masing pecahan di ruas kiri persamaan (14) menjadi jumlah pecahan sederhana

Kurangi persamaan (14) ke bentuk (1), kemudian, setelah melakukan penataan ulang yang mudah dari suku-suku persamaan yang dihasilkan, selesaikan dengan metode yang dijelaskan dalam paragraf 1).

Contoh. selesaikan persamaannya

Keputusan. Karena dan, maka, mengalikan pembilang setiap pecahan dalam persamaan (15) dengan 2 dan mencatat bahwa persamaan (15) dapat ditulis sebagai

Persamaan (16) memiliki bentuk (7). Mengelompokkan kembali istilah dalam persamaan ini, kami menulis ulang dalam bentuk atau dalam bentuk

Persamaan (17) ekuivalen dengan himpunan persamaan dan

Untuk menyelesaikan persamaan kedua dari himpunan (18), kita akan membuat perubahan yang tidak diketahui Kemudian akan ditulis ulang dalam bentuk atau dalam bentuk

Menjumlahkan semua suku di ruas kiri persamaan (19), tulis ulang sebagai

Karena persamaan tidak memiliki akar, persamaan (20) juga tidak memiliki akar.

Persamaan pertama dari himpunan (18) memiliki akar tunggal Karena akar ini termasuk dalam ODZ dari persamaan kedua dari himpunan (18), itu adalah satu-satunya akar dari himpunan (18), dan karenanya persamaan aslinya.

4. Persamaan bentuk

persamaan

(21) dalam kondisi tertentu pada angka dan A, setelah mewakili setiap suku di sisi kiri dalam bentuk, dapat direduksi menjadi bentuk (1).

Contoh. selesaikan persamaannya

Keputusan. Mari kita tulis ulang persamaan (22) dalam bentuk atau dalam bentuk

Jadi, persamaan (23) direduksi menjadi bentuk (1). Sekarang, mengelompokkan suku pertama dengan suku terakhir, dan suku kedua dengan suku ketiga, kita tulis ulang persamaan (23) dalam bentuk

Persamaan ini setara dengan himpunan persamaan dan. (24)

Persamaan himpunan terakhir (24) dapat ditulis ulang sebagai

Ada solusi untuk persamaan ini dan, karena termasuk dalam ODZ dari persamaan kedua dari himpunan (30), maka himpunan (24) memiliki tiga akar: Semuanya adalah solusi dari persamaan asli.

5. Persamaan bentuk.

Persamaan bentuk (25)

Dalam kondisi tertentu pada angka, dengan mengganti yang tidak diketahui, seseorang dapat mengurangi ke persamaan bentuk

Contoh. selesaikan persamaannya

Keputusan. Karena ini bukan penyelesaian persamaan (26), maka pembagian pembilang dan penyebut setiap pecahan di ruas kiri dengan, kita tulis ulang dalam bentuk

Setelah membuat perubahan variabel, kami menulis ulang persamaan (27) dalam bentuk

Memecahkan persamaan (28) adalah dan. Oleh karena itu, persamaan (27) ekuivalen dengan himpunan persamaan u. (29)

"Metode untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi"

( Bacaan Kiselevsky)

Guru matematika Afanasyeva L.A.

Sekolah menengah MKOU Verkhnekarachanskaya

Distrik Gribanovsky, wilayah Voronezh

2015

Pendidikan matematika yang diterima di sekolah pendidikan umum merupakan komponen penting dari pendidikan umum dan budaya umum orang modern.

Courant matematikawan terkenal Jerman menulis: “Selama lebih dari dua ribu tahun, kepemilikan beberapa, tidak terlalu dangkal, pengetahuan di bidang matematika adalah suatu keharusan. bagian yang tidak terpisahkan ke dalam inventaris intelektual setiap orang terpelajar." Dan di antara pengetahuan ini, bukan tempat terakhir yang dimiliki oleh kemampuan untuk memecahkan persamaan.

Sudah di zaman kuno, orang-orang menyadari betapa pentingnya mempelajari cara menyelesaikan persamaan aljabar. Sekitar 4.000 tahun yang lalu, para ilmuwan Babilonia menguasai solusi persamaan kuadrat dan menyelesaikan sistem dua persamaan, salah satunya adalah tingkat kedua. Dengan bantuan persamaan, berbagai masalah survei tanah, arsitektur dan urusan militer diselesaikan, banyak dan beragam masalah praktik dan ilmu alam direduksi menjadi mereka, karena bahasa matematika yang tepat memungkinkan untuk hanya mengungkapkan fakta dan hubungan yang, dinyatakan dalam bahasa biasa, mungkin tampak membingungkan dan kompleks. Persamaan adalah salah satu konsep yang paling penting dalam matematika. Perkembangan metode penyelesaian persamaan dimulai dari lahirnya matematika sebagai ilmu pengetahuan, lama adalah subjek utama studi aljabar. Dan hari ini, dalam pelajaran matematika, mulai dari tahap pertama pendidikan, banyak perhatian diberikan untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan.

Tidak ada rumus universal untuk mencari akar persamaan aljabar derajat ke-n. Banyak, tentu saja, muncul dengan ide menggoda untuk mencari gelar apa pun n rumus yang akan menyatakan akar persamaan dalam hal koefisiennya, yaitu, akan menyelesaikan persamaan dalam bentuk radikal. Namun, "Abad Pertengahan yang suram" ternyata sesuram mungkin sehubungan dengan masalah yang sedang dibahas - selama tujuh abad penuh tidak ada yang menemukan formula yang diperlukan! Baru pada abad ke-16 matematikawan Italia berhasil melangkah lebih jauh - untuk menemukan formula untuk n =3 dan n =4 . Pada saat yang sama, Scipio Dal Ferro, muridnya Fiori, dan Tartaglia berurusan dengan pertanyaan tentang solusi umum persamaan tingkat ke-3. Pada tahun 1545, buku matematikawan Italia D Cardano "Seni Hebat, atau Aturan Aljabar" diterbitkan, di mana, bersama dengan masalah aljabar lainnya, metode umum untuk menyelesaikan persamaan kubik dipertimbangkan, serta metode untuk memecahkan persamaan derajat 4, ditemukan oleh muridnya L. Ferrari. Pemaparan lengkap masalah-masalah yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan derajat 3 dan 4 disampaikan oleh F. Viet. Dan pada 20-an abad ke-19, matematikawan Norwegia N. Abel membuktikan bahwa akar persamaan derajat ke-5 dan lebih tinggi tidak dapat diungkapkan melalui radikal.

Proses menemukan solusi persamaan biasanya terdiri dari penggantian persamaan dengan persamaan yang setara. Mengganti persamaan dengan persamaan yang setara didasarkan pada penerapan empat aksioma:

1. Jika nilai yang sama ditambah dengan angka yang sama, maka hasilnya akan sama.

2. Jika angka yang sama dikurangkan dari nilai yang sama, maka hasilnya akan sama.

3. Jika nilai sama dikalikan dengan angka yang sama, maka hasilnya akan sama.

4. Jika nilai sama dibagi dengan angka yang sama, maka hasilnya akan sama.

Karena ruas kiri persamaan P(x) = 0 adalah polinomial derajat ke-n, akan berguna untuk mengingat pernyataan berikut:

Pernyataan tentang akar polinomial dan pembaginya:

1. Polinomial derajat ke-n memiliki jumlah akar tidak melebihi jumlah n, dan akar perkalian m terjadi tepat m kali.

2. Polinomial berderajat ganjil memiliki setidaknya satu akar real.

3. Jika adalah akar dari (х), maka n (х) = (х - )·Q n - 1 (x), dengan Q n - 1 (x) adalah polinomial berderajat (n - 1) .

4. Setiap akar bilangan bulat dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi dari istilah bebas.

5. Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak dapat memiliki akar rasional pecahan.

6. Untuk polinomial derajat ketiga

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d salah satu dari dua hal yang mungkin: baik itu terurai menjadi produk dari tiga binomial

P 3 (x) \u003d a (x - ) (x - ) (x - ), atau terurai menjadi produk binomial dan trinomial persegi P 3 (x) \u003d a (x - ) ( x2 + x + ).

7. Setiap polinomial derajat keempat berekspansi menjadi produk dari dua trinomial persegi.

9. Agar polinomial P(x) habis dibagi oleh binomial (x – c), perlu dan cukup bahwa c adalah akar dari P(x) (Sesuai dengan teorema Bezout).

10. Teorema Vieta: Jika x 1, x 2, ..., x n adalah akar-akar real dari polinomial

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, maka persamaan berikut berlaku:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Solusi dari contoh

Contoh 1 . Temukan sisanya setelah membagi P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 dengan (x - 1/3).

Keputusan. Menurut akibat wajar dari teorema Bezout: "Sisa pembagian polinomial dengan binomial (x - c) sama dengan nilai polinomial di c." Mari kita cari P(1/3) = 0. Oleh karena itu, sisanya adalah 0 dan angka 1/3 adalah akar dari polinomial.

Jawab: R = 0.

Contoh 2 . Bagilah "sudut" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 dengan (x + 2). Cari sisa dan hasil bagi tidak lengkap.

Keputusan:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 - 2x

Jawaban: R = 3; hasil bagi: 2x 2 - x.

Metode dasar untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi

1. Pengenalan variabel baru

Metode memasukkan variabel baru adalah untuk menyelesaikan persamaan f (x) \u003d 0, variabel baru (substitusi) t \u003d x n atau t \u003d g (x) diperkenalkan dan f (x) dinyatakan melalui t , memperoleh persamaan baru r (t) . Selesaikan persamaan r(t), cari akar-akarnya: (t 1 , t 2 , …, t n). Setelah itu, himpunan n persamaan q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n diperoleh, dari mana akar-akar persamaan asli ditemukan.

Contoh;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Solusi: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Penggantian (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Penggantian terbalik:

x 2 + x + 1 = 2 atau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 atau x 2 + x \u003d 0;

Dari persamaan pertama: x 1, 2 = (-1 ± 5) / 2, dari yang kedua: 0 dan -1.

Metode memperkenalkan variabel baru menemukan aplikasi dalam memecahkan dapat dikembalikan persamaan, yaitu, persamaan dalam bentuk a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0, di mana koefisien suku-suku persamaan, berjarak sama dari awal dan akhir , adalah sama.

2. Faktorisasi dengan metode pengelompokan dan rumus perkalian disingkat

Dasar dari metode ini adalah mengelompokkan suku-suku sedemikian rupa sehingga setiap kelompok mengandung faktor persekutuan. Untuk melakukan ini, terkadang Anda harus menggunakan beberapa trik buatan.

Contoh: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Keputusan. Bayangkan - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 dan kelompokkan:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 atau x 2 + x - 3 \u003d 0.

Tidak ada akar dalam persamaan pertama, dari persamaan kedua: x 1, 2 = (-1 ± 13) / 2.

3. Faktorisasi dengan metode koefisien tak tentu

Contoh: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Keputusan. Sebuah polinomial derajat 3 dapat didekomposisi menjadi produk faktor linier dan kuadrat.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

Memecahkan sistem:

kita mendapatkan

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Akar persamaan (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 mudah ditemukan.

Jawaban 1; -2.

4. Metode pemilihan akar dengan koefisien tertinggi dan bebas

Metode ini didasarkan pada penerapan teorema:

1) Setiap akar bilangan bulat dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi dari istilah bebas.

2) Agar pecahan tak tereduksi p / q (p adalah bilangan bulat, q natural) menjadi akar persamaan dengan koefisien bilangan bulat, perlu bahwa bilangan p adalah pembagi bilangan bulat dari suku bebas a 0 , dan q adalah pembagi alami dari koefisien tertinggi.

Contoh: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

Keputusan:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Jadi p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Setelah menemukan satu akar, misalnya - 2, kami akan menemukan akar lain menggunakan pembagian dengan sudut, metode koefisien tak tentu atau skema Horner.

Jawaban: -2; 1/2; 1/3.

5. Metode grafik.

Metode ini terdiri dari memplot grafik dan menggunakan sifat-sifat fungsi.

Contoh: x 5 + x - 2 = 0

Mari kita nyatakan persamaan dalam bentuk x 5 \u003d - x + 2. Fungsi y \u003d x 5 meningkat, dan fungsi y \u003d - x + 2 menurun. Ini berarti bahwa persamaan x 5 + x - 2 \u003d 0 memiliki akar tunggal -1.

6. Perkalian persamaan dengan fungsi.

Terkadang penyelesaian persamaan aljabar sangat dipermudah dengan mengalikan kedua bagiannya dengan beberapa fungsi - polinomial yang tidak diketahui. Pada saat yang sama, harus diingat bahwa akar tambahan dapat muncul - akar polinomial yang dengannya persamaan dikalikan. Oleh karena itu, seseorang harus mengalikan dengan polinomial yang tidak memiliki akar dan memperoleh persamaan yang setara, atau mengalikan dengan polinomial dengan akar, dan kemudian masing-masing akar ini harus disubstitusikan ke persamaan asli dan menentukan apakah bilangan ini adalah akarnya.

Contoh. Selesaikan persamaan:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Keputusan: Mengalikan kedua ruas persamaan dengan polinomial X 2 + 1, yang tidak memiliki akar, kita mendapatkan persamaan:

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
setara dengan persamaan (1). Persamaan (2) dapat ditulis sebagai:

X 10 + 1 = 0 (3)
Jelas bahwa persamaan (3) tidak memiliki akar real, jadi persamaan (1) tidak memilikinya.

Menjawab: tidak ada solusi.

Selain metode di atas untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi, ada yang lain. Misalnya, pemilihan persegi penuh, skema Horner, representasi pecahan dalam bentuk dua pecahan. Dari metode umum untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi, yang paling sering digunakan, mereka menggunakan: metode memfaktorkan ruas kiri persamaan menjadi faktor;

metode penggantian variabel (metode memasukkan variabel baru); cara grafis. Kami memperkenalkan metode ini kepada siswa kelas 9 ketika mempelajari topik "Seluruh persamaan dan akarnya". Dalam buku teks Aljabar 9 (penulis Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, dan lainnya) tahun-tahun terakhir publikasi, metode utama untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dipertimbangkan secara cukup rinci. Selain itu, di bagian "Bagi mereka yang ingin tahu lebih banyak", menurut saya, materi disajikan dengan cara yang dapat diakses tentang penerapan teorema pada akar polinomial dan akar bilangan bulat dari seluruh persamaan ketika menyelesaikan persamaan yang lebih tinggi derajat. Siswa yang dipersiapkan dengan baik mempelajari materi ini dengan penuh minat, dan kemudian menyajikan persamaan yang diselesaikan kepada teman sekelas mereka.

Hampir segala sesuatu yang mengelilingi kita terhubung dalam satu atau lain cara dengan matematika. Prestasi di bidang fisika, teknik, teknologi informasi hanya menegaskan hal ini. Dan yang sangat penting - solusi dari banyak masalah praktis adalah menyelesaikan berbagai jenis persamaan yang perlu Anda pelajari cara menyelesaikannya.

Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF

pengantar

Solusi persamaan aljabar derajat yang lebih tinggi dengan satu yang tidak diketahui adalah salah satu masalah matematika yang paling sulit dan kuno. Matematikawan paling terkemuka di zaman kuno menangani masalah ini.

Memecahkan persamaan derajat ke-n adalah tugas penting untuk matematika modern juga. Peminatnya cukup besar, karena persamaan ini berkaitan erat dengan pencarian akar persamaan yang tidak diperhatikan oleh kurikulum sekolah dalam matematika.

Masalah: kurangnya keterampilan dalam memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi dalam berbagai cara di antara siswa mencegah mereka dari berhasil mempersiapkan sertifikasi akhir dalam matematika dan olimpiade matematika, pelatihan di kelas matematika khusus.

Fakta di atas ditentukan relevansi dari pekerjaan kami "Solusi Persamaan Derajat Tinggi".

Memiliki cara paling sederhana untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-n mengurangi waktu untuk menyelesaikan tugas, yang bergantung pada hasil pekerjaan dan kualitas proses pembelajaran.

Objektif: studi tentang metode yang diketahui untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi dan identifikasi yang paling mudah diakses untuk aplikasi praktis.

Berdasarkan tujuan ini, berikut ini tugas:

Untuk mempelajari literatur dan sumber daya Internet tentang topik ini;

Kenali fakta sejarah yang terkait dengan topik ini;

Jelaskan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi

membandingkan tingkat kesulitan masing-masing;

Untuk memperkenalkan teman sekelas dengan metode untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi;

Buat satu set persamaan untuk aplikasi praktis dari masing-masing metode yang dipertimbangkan.

Objek studi- persamaan derajat yang lebih tinggi dengan satu variabel.

Subyek studi- cara memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi.

Hipotesa: tidak ada cara umum dan algoritma tunggal yang memungkinkan menemukan solusi untuk persamaan derajat ke-n dalam sejumlah langkah yang terbatas.

Metode penelitian:

- metode bibliografi (analisis literatur tentang topik penelitian);

- metode klasifikasi;

- metode analisis kualitatif.

Signifikansi teoritis penelitian terdiri dalam sistematisasi metode untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi dan menggambarkan algoritma mereka.

Signifikansi praktis- materi yang disajikan tentang topik ini dan pengembangan alat bantu pengajaran untuk siswa tentang topik ini.

1. PERSAMAAN KEKUATAN TINGGI

1.1 Konsep persamaan derajat ke-n

Definisi 1. Persamaan derajat ke-n adalah persamaan bentuk

sebuah 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, dimana koefisien sebuah 0, sebuah 1, sebuah 2…, sebuah n -1, sebuah n - sembarang bilangan real, dan ,sebuah 0 ≠ 0 .

polinomial sebuah 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n disebut polinomial berderajat ke-n. Koefisien dibedakan dengan nama: sebuah 0 - koefisien senior; sebuah n adalah anggota gratis.

Definisi 2. Solusi atau akar dari persamaan yang diberikan adalah semua nilai dari variabel X, yang mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik sejati atau, yang polinomialnya sebuah 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n menjadi nol. Nilai variabel seperti itu X juga disebut akar polinomial. Memecahkan persamaan berarti menemukan semua akarnya atau menetapkan bahwa tidak ada akarnya.

Jika sebuah sebuah 0 = 1, maka persamaan tersebut disebut persamaan rasional bilangan bulat tereduksi n th derajat.

Untuk persamaan derajat ketiga dan keempat, ada rumus Cardano dan Ferrari yang menyatakan akar persamaan ini dalam bentuk radikal. Ternyata dalam praktiknya mereka jarang digunakan. Jadi, jika n 3, dan koefisien polinomial adalah bilangan real arbitrer, maka mencari akar persamaan bukanlah tugas yang mudah. Namun, dalam banyak kasus khusus masalah ini diselesaikan sampai akhir. Mari kita membahas beberapa dari mereka.

1.2 Fakta sejarah dalam memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi

Rumus universal untuk menemukan akar persamaan aljabar t-th tidak ada gelar. Banyak, tentu saja, datang dengan ide yang menggoda untuk menemukan formula untuk kekuatan n apa pun yang akan mengungkapkan akar persamaan dalam hal koefisiennya, yaitu, akan menyelesaikan persamaan dalam radikal.

Hanya pada abad ke-16, matematikawan Italia berhasil bergerak lebih jauh - untuk menemukan formula untuk n \u003d 3 dan n \u003d 4. Pada saat yang sama, Scipio, Dahl, Ferro dan murid-muridnya Fiori dan Tartaglia terlibat dalam pertanyaan tentang solusi umum persamaan derajat ke-3.

Pada tahun 1545, buku matematikawan Italia D. Cardano "Seni Hebat, atau Aturan Aljabar" diterbitkan, di mana, bersama dengan pertanyaan aljabar lainnya, metode umum untuk menyelesaikan persamaan kubik dipertimbangkan, serta metode untuk memecahkan persamaan derajat 4, ditemukan oleh muridnya L. Ferrari.

Penjelasan lengkap pertanyaan terkait dengan solusi persamaan derajat 3 dan 4 diberikan oleh F. Viet.

Pada 20-an abad ke-19, matematikawan Norwegia N. Abel membuktikan bahwa akar persamaan derajat kelima tidak dapat dinyatakan melalui radikal.

Selama penelitian, terungkap bahwa sains modern mengetahui banyak cara untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-n.

Hasil pencarian metode penyelesaian persamaan derajat yang lebih tinggi yang tidak dapat diselesaikan dengan metode yang dipertimbangkan dalam kurikulum sekolah adalah metode berdasarkan penerapan teorema Vieta (untuk persamaan derajat n>2), teorema Bezout, skema Horner, serta rumus Cardano dan Ferrari untuk menyelesaikan persamaan kubik dan kuartik.

Makalah ini menyajikan metode untuk memecahkan persamaan dan jenisnya, yang telah menjadi penemuan bagi kami. Ini termasuk - metode koefisien tak tentu, alokasi derajat penuh, persamaan simetris.

2. SOLUSI PERSAMAAN TERPADU KEKUATAN TINGGI DENGAN KOEFISIEN TERPADU

2.1 Solusi persamaan derajat ke-3. Formula D. Cardano

Pertimbangkan persamaan bentuk x 3 +px+q=0. Kami mengubah persamaan umum menjadi bentuk: x 3 +px 2 +qx+r=0. Mari kita tuliskan rumus jumlah kubus; Mari tambahkan ke persamaan asli dan ganti dengan kamu. Kami mendapatkan persamaan: kamu 3 + (q -) (y -) + (r - =0. Setelah transformasi, kami memiliki: kamu 2 +py + q=0. Sekarang, mari kita tulis lagi rumus jumlah kubus:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = 3 +b 3 + 3ab (a + b), mengganti ( a+b) di x, kita mendapatkan persamaan x 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Sekarang jelas bahwa persamaan asli setara dengan sistem: dan Memecahkan sistem, kita mendapatkan:

Kami telah memperoleh rumus untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-3 di atas. Ini menyandang nama ahli matematika Italia Cardano.

Pertimbangkan sebuah contoh. Selesaikan persamaan: .

Kita punya R= 15 dan q= 124, maka dengan menggunakan rumus Cardano kita hitung akar persamaannya

Kesimpulan: rumus ini bagus, tetapi tidak cocok untuk menyelesaikan semua persamaan kubik. Namun, itu besar. Oleh karena itu, jarang digunakan dalam praktik.

Tetapi orang yang menguasai rumus ini dapat menggunakannya saat menyelesaikan persamaan tingkat ketiga dalam ujian.

2.2 teorema Vieta

Dari pelajaran matematika, kita tahu teorema ini untuk persamaan kuadrat, tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa teorema ini juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan dengan derajat yang lebih tinggi.

Pertimbangkan persamaan:

faktorkan ruas kiri persamaan, bagi dengan 0.

Kita ubah ruas kanan persamaan menjadi bentuk

; Dari sini dapat disimpulkan bahwa kita dapat menulis persamaan berikut ke dalam sistem:

Rumus yang diturunkan oleh Vieta untuk persamaan kuadrat dan ditunjukkan oleh kami untuk persamaan derajat ke-3 juga berlaku untuk polinomial derajat yang lebih tinggi.

Selesaikan persamaan kubik:

Kesimpulan: metode ini bersifat universal dan cukup mudah dipahami siswa, karena teorema Vieta sudah familiar bagi mereka dari kurikulum sekolah untuk n = 2. Pada saat yang sama, untuk menemukan akar persamaan menggunakan teorema ini, diperlukan keterampilan komputasi yang baik.

2.3 teorema Bezout

Teorema ini dinamai dari ahli matematika Prancis abad ke-18 J. Bezout.

Dalil. Jika persamaan sebuah 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, dimana semua koefisiennya bilangan bulat, dan suku bebasnya berbeda dengan nol, mempunyai akar bilangan bulat, maka akar ini merupakan pembagi dari suku bebasnya.

Mengingat polinomial derajat ke-n berada di sisi kiri persamaan, teorema ini memiliki interpretasi lain.

Dalil. Saat membagi polinomial derajat ke-n terhadap x menjadi binomial x-a sisanya sama dengan nilai dividen ketika x =. (surat sebuah dapat menunjukkan bilangan real atau imajiner apa pun, mis. bilangan kompleks apa pun).

Bukti: biarlah f(x) menunjukkan polinomial arbitrer derajat ke-n terhadap variabel x, dan misalkan, bila dibagi dengan binomial ( x-a) terjadi secara pribadi q(x), dan sisanya R. Jelas bahwa q(x) akan ada beberapa polinomial (n - 1) derajat relatif x, dan sisanya R akan menjadi nilai konstan, yaitu independen dari x.

Jika sisa R adalah polinomial derajat pertama di x, maka ini berarti bahwa pembagian tidak dilakukan. Jadi, R dari x tidak tergantung. Dengan definisi pembagian, kita mendapatkan identitas: f(x)=(x-a)q(x)+R.

Persamaan berlaku untuk semua nilai x, demikian juga berlaku untuk x=a, kita mendapatkan: f(a)=(a-a)q(a)+R. Simbol f(a) menunjukkan nilai polinomial f (x) pada x=a, q(a) menunjukkan nilai q(x) pada x=a. Sisa R tetap seperti sebelumnya R dari x tidak tergantung. Kerja ( x-a) q(a) = 0, karena pengali ( x-a) = 0, dan pengganda q(a) ada angka tertentu. Oleh karena itu, dari persamaan diperoleh: f(a)=R, h.t.d.

Contoh 1 Tentukan sisa pembagian polinomial x 3 - 3x 2 + 6x- 5 per binomial

x- 2. Dengan teorema Bezout : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. Menjawab: R = 3.

Perhatikan bahwa teorema Bézout tidak begitu penting dalam dirinya sendiri, tetapi karena konsekuensinya. (Lampiran 1)

Mari kita membahas pertimbangan beberapa metode penerapan teorema Bezout untuk memecahkan masalah praktis. Perlu dicatat bahwa ketika menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Bezout, perlu:

Temukan semua pembagi bilangan bulat dari istilah bebas;

Dari pembagi ini, temukan setidaknya satu akar persamaan;

Bagilah ruas kiri persamaan dengan (Ha);

Tulis produk dari pembagi dan hasil bagi di sisi kiri persamaan;

Selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Perhatikan contoh penyelesaian persamaan x 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

Solusi: temukan pembagi dari suku bebas ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Hitung nilai untuk x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. Bagilah ruas kiri persamaan dengan ( X- 1). Kami melakukan pembagian dengan "sudut", kami mendapatkan:

Kesimpulan: Teorema Bezout, salah satu cara yang kami pertimbangkan dalam pekerjaan kami, dipelajari dalam program kegiatan ekstrakurikuler. Sulit untuk dipahami, karena untuk menguasainya, Anda perlu mengetahui semua konsekuensi darinya, tetapi pada saat yang sama, teorema Bezout adalah salah satu asisten utama siswa dalam ujian.

2.4 Skema Horner

Untuk membagi polinomial dengan binomial x-α Anda dapat menggunakan trik sederhana khusus yang ditemukan oleh matematikawan Inggris abad ke-17, yang kemudian disebut skema Horner. Selain menemukan akar persamaan, skema Horner memudahkan untuk menghitung nilainya. Untuk melakukan ini, perlu untuk mensubstitusi nilai variabel ke dalam polinomial Pn (x)=a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (satu)

Pertimbangkan pembagian polinomial (1) dengan binomial x-α.

Kami menyatakan koefisien dari hasil bagi tidak lengkap b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 dan sisanya r dalam hal koefisien polinomial Pn( x) dan nomor α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .

Perhitungan menurut skema Horner disajikan dalam bentuk tabel berikut:

	sebuah 0	sebuah 1	sebuah 2 ,
	b 0 =a 0	b 1 = α b 0 +a 1	b 2 = α b 1 +a 2		r=α b n-1 +a n

Sejauh r=Pn(α), maka adalah akar persamaan. Untuk memeriksa apakah adalah akar ganda, skema Horner sudah dapat diterapkan ke hasil bagi b 0 x+ b 1 x+…+ bn -1 menurut tabel. Jika pada kolom di bawah bn -1 kita mendapatkan 0 lagi, jadi adalah akar ganda.

Pertimbangkan sebuah contoh: selesaikan persamaan X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

Mari kita terapkan pada ruas kiri persamaan faktorisasi polinomial pada ruas kiri persamaan, skema Horner.

Solusi: temukan pembagi dari istilah bebas ± 1; ±2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Koefisien hasil bagi adalah angka 1, 5, 6, dan sisanya adalah r = 0.

Cara, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

Dari sini: X- 1 = 0 atau X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Menjawab: 1,- 2, - 3.

Kesimpulan: dengan demikian, pada satu persamaan, kami telah menunjukkan penggunaan dua cara yang berbeda untuk memfaktorkan polinomial. Menurut kami, skema Horner adalah yang paling praktis dan ekonomis.

2.5 Solusi persamaan derajat ke-4. Metode Ferrari

Siswa Cardano, Ludovic Ferrari, menemukan cara untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-4. Metode Ferrari terdiri dari dua langkah.

Tahap I: persamaan bentuk direpresentasikan sebagai produk dari dua trinomial persegi; ini mengikuti dari fakta bahwa persamaan tersebut adalah derajat ke-3 dan setidaknya satu solusi.

Tahap II: persamaan yang dihasilkan diselesaikan menggunakan faktorisasi, namun, untuk menemukan faktorisasi yang diperlukan, kita harus menyelesaikan persamaan kubik.

Idenya adalah untuk mewakili persamaan sebagai A 2 = B 2 di mana A = x 2+ detik,

fungsi B-linier dari x. Kemudian tinggal menyelesaikan persamaan A = ±B.

Untuk kejelasan, pertimbangkan persamaan: Kami memisahkan derajat ke-4, kami mendapatkan: Untuk sembarang d ekspresi akan menjadi kuadrat sempurna. Tambahkan ke kedua sisi persamaan yang kita dapatkan

Di sisi kiri adalah kotak penuh, Anda dapat mengambil d sehingga ruas kanan (2) menjadi persegi sempurna. Bayangkan bahwa kita telah mencapai ini. Maka persamaan kita terlihat seperti ini:

Menemukan root nantinya tidak akan sulit. Untuk memilih yang benar d perlu bahwa diskriminan dari sisi kanan (3) menghilang, yaitu.

Jadi untuk menemukan d, perlu untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-3 ini. Persamaan bantu ini disebut obat anti radang.

Kita dapat dengan mudah menemukan akar bilangan bulat dari pelarut: d= 1

Substitusikan persamaan ke dalam (1), diperoleh

Kesimpulan: metode Ferrari bersifat universal, tetapi rumit dan tidak praktis. Pada saat yang sama, jika algoritma solusinya jelas, maka persamaan derajat ke-4 dapat diselesaikan dengan metode ini.

2.6 Metode koefisien tak tentu

Keberhasilan memecahkan persamaan derajat ke-4 dengan metode Ferrari tergantung pada apakah kita memecahkan pelarut - persamaan derajat ke-3, yang, seperti yang kita ketahui, tidak selalu mungkin.

Inti dari metode koefisien tak tentu adalah bahwa jenis faktor di mana polinomial tertentu didekomposisi ditebak, dan koefisien faktor-faktor ini (juga polinomial) ditentukan dengan mengalikan faktor dan menyamakan koefisien pada pangkat yang sama dari variabel.

Contoh: selesaikan persamaan:

Misalkan ruas kiri persamaan kita dapat didekomposisi menjadi dua trinomial persegi dengan koefisien bilangan bulat sehingga persamaan yang identik

Jelas bahwa koefisien di depannya harus sama dengan 1, dan suku bebasnya harus sama dengan satu + 1, yang lain memiliki 1.

Koefisien yang dihadapi X. Mari kita tunjukkan mereka dengan sebuah dan untuk menentukannya, kita mengalikan kedua trinomial di ruas kanan persamaan.

Hasilnya, kita mendapatkan:

Menyamakan koefisien pada pangkat yang sama X di sisi kiri dan kanan persamaan (1), kita memperoleh sistem untuk mencari dan

Memecahkan sistem ini, kita akan memiliki

Jadi persamaan kita setara dengan persamaan

Memecahkannya, kita mendapatkan akar berikut: .

Metode koefisien tak tentu didasarkan pada pernyataan berikut: setiap polinomial derajat keempat dalam persamaan dapat didekomposisi menjadi produk dari dua polinomial derajat kedua; dua polinomial identik sama jika dan hanya jika koefisiennya sama pada pangkat yang sama X.

2.7 Persamaan simetris

Definisi. Persamaan bentuk disebut simetris jika koefisien pertama di sebelah kiri persamaan sama dengan koefisien pertama di sebelah kanan.

Kita melihat bahwa koefisien pertama di sebelah kiri sama dengan koefisien pertama di sebelah kanan.

Jika persamaan tersebut memiliki derajat ganjil, maka persamaan tersebut memiliki akar X= - 1. Selanjutnya, kita dapat menurunkan derajat persamaan dengan membaginya dengan ( x+ satu). Ternyata ketika membagi persamaan simetris dengan ( x+ 1) diperoleh persamaan simetris derajat genap. Bukti simetri koefisien disajikan di bawah ini. (Lampiran 6) Tugas kita adalah mempelajari cara menyelesaikan persamaan simetris derajat genap.

Misalnya: (1)

Kami memecahkan persamaan (1), bagi dengan X 2 (ke derajat tengah) = 0.

Kami mengelompokkan istilah dengan simetris

) + 3(x+ . Menunjukkan pada= x+ , mari kita kuadratkan kedua bagian, maka = pada 2 jadi 2( pada 2 atau 2 pada 2 + 3 memecahkan persamaan, kita mendapatkan pada = , pada= 3. Selanjutnya kita kembali ke penggantian x+ = dan x+ = 3. Kami mendapatkan persamaan dan Yang pertama tidak memiliki solusi, dan yang kedua memiliki dua akar. Menjawab:.

Kesimpulan: jenis persamaan ini tidak sering ditemukan, tetapi jika Anda menemukannya, maka itu dapat diselesaikan dengan mudah dan sederhana tanpa menggunakan perhitungan yang rumit.

2.8 Ekstraksi tingkat penuh

Pertimbangkan persamaannya.

Ruas kiri adalah pangkat tiga dari jumlah (x + 1), mis.

Kami mengekstrak akar derajat ketiga dari kedua bagian: , maka kami mendapatkan

Di mana satu-satunya akar.

HASIL STUDI

Sebagai hasil dari pekerjaan, kami sampai pada kesimpulan berikut:

Berkat teori yang dipelajari, kami berkenalan dengan berbagai metode untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat yang lebih tinggi;

D. Rumus Cardano sulit digunakan dan memberikan kemungkinan besar untuk membuat kesalahan dalam perhitungan;

metode L. Ferrari memungkinkan untuk mengurangi solusi persamaan derajat keempat ke kubik;

Teorema Bezout dapat diterapkan pada persamaan kubik dan persamaan derajat keempat; lebih mudah dipahami dan ilustratif ketika diterapkan untuk memecahkan persamaan;

Skema Horner membantu secara signifikan mengurangi dan menyederhanakan perhitungan dalam memecahkan persamaan. Selain menemukan akarnya, skema Horner memudahkan untuk menghitung nilai polinomial di sisi kiri persamaan;

Yang menarik adalah solusi persamaan dengan metode koefisien tak tentu, solusi persamaan simetris.

Selama pekerjaan penelitian, ditemukan bahwa siswa berkenalan dengan metode paling sederhana untuk memecahkan persamaan tingkat tertinggi di kelas pilihan dalam matematika, mulai dari kelas 9 atau 10, serta dalam kursus khusus matematika perjalanan. sekolah. Fakta ini ditetapkan sebagai hasil survei guru matematika di MBOU "Sekolah Menengah No. 9" dan siswa yang menunjukkan peningkatan minat pada mata pelajaran "matematika".

Metode yang paling populer untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi, yang dihadapi dalam menyelesaikan olimpiade, masalah kompetitif dan sebagai hasil dari persiapan ujian oleh siswa, adalah metode yang didasarkan pada penerapan teorema Bezout, skema Horner, dan pengenalan variabel baru. .

Demonstrasi hasil karya penelitian, yaitu cara untuk memecahkan persamaan yang tidak dipelajari dalam kurikulum sekolah dalam matematika, teman sekelas tertarik.

Kesimpulan

Setelah mempelajari literatur pendidikan dan ilmiah, sumber daya Internet di forum pendidikan pemuda

Mempertimbangkan memecahkan persamaan dengan satu variabel derajat lebih tinggi dari yang kedua.

Derajat persamaan P(x) = 0 adalah derajat polinomial P(x), yaitu. pangkat terbesar dari suku-sukunya dengan koefisien bukan nol.

Ingat aturan yang akan diperlukan untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua.

Pernyataan tentang akar polinomial dan pembaginya:

1. Polinomial derajat ke-n memiliki jumlah akar tidak melebihi jumlah n, dan akar perkalian m terjadi tepat m kali.

2. Polinomial berderajat ganjil memiliki setidaknya satu akar real.

3. Jika adalah akar dari (х), maka n (х) = (х – ) · Q n – 1 (x), dengan Q n – 1 (x) adalah polinomial berderajat (n – 1) .

5. Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak dapat memiliki akar rasional pecahan.

6. Untuk polinomial derajat ketiga

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d salah satu dari dua hal yang mungkin: baik itu terurai menjadi produk dari tiga binomial

P 3 (x) \u003d a (x - ) (x - ) (x - ), atau terurai menjadi produk binomial dan trinomial persegi P 3 (x) \u003d a (x - ) ( x2 + x + ).

7. Setiap polinomial derajat keempat berekspansi menjadi produk dari dua trinomial persegi.

9. Agar polinomial P(x) habis dibagi oleh binomial (x – c), perlu dan cukup bahwa bilangan c adalah akar dari P(x) (Sesuai dengan teorema Bezout).

10. Teorema Vieta: Jika x 1, x 2, ..., x n adalah akar-akar real dari polinomial

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, maka persamaan berikut berlaku:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Solusi dari contoh

Contoh 1

Temukan sisanya setelah membagi P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 dengan (x - 1/3).

Keputusan.

Jawab: R = 0.

Contoh 2

Bagilah "sudut" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 dengan (x + 2). Cari sisa dan hasil bagi tidak lengkap.

Keputusan:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Jawaban: R = 3; hasil bagi: 2x 2 - x.

Metode dasar untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi

1. Pengenalan variabel baru

(t 1 , t 2 , …, t n). Setelah itu, himpunan n persamaan q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n diperoleh, dari mana akar-akar persamaan asli ditemukan.

Contoh 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Keputusan:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Penggantian (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Penggantian terbalik:

x 2 + x + 1 = 2 atau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 atau x 2 + x = 0;

Jawaban: Dari persamaan pertama: x 1, 2 = (-1 ± 5) / 2, dari persamaan kedua: 0 dan -1.

2. Faktorisasi dengan metode pengelompokan dan rumus perkalian disingkat

Contoh 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Keputusan.

Bayangkan - 3x 2 = -2x 2 - x 2 dan kelompokkan:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 atau x 2 + x - 3 \u003d 0.

Jawaban: Tidak ada akar dalam persamaan pertama, dari yang kedua: x 1, 2 \u003d (-1 ± 13) / 2.

3. Faktorisasi dengan metode koefisien tak tentu

Contoh 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Keputusan.

Sebuah polinomial derajat 3 dapat didekomposisi menjadi produk faktor linier dan kuadrat.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Memecahkan sistem:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, mis.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Akar persamaan (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 mudah ditemukan.

Jawaban 1; -2.

4. Metode pemilihan akar dengan koefisien tertinggi dan bebas

Metode ini didasarkan pada penerapan teorema:

1) Setiap akar bilangan bulat dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi dari istilah bebas.

Contoh 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Keputusan:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Jadi p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Setelah menemukan satu akar, misalnya - 2, kami akan menemukan akar lain menggunakan pembagian dengan sudut, metode koefisien tak tentu atau skema Horner.

Jawaban: -2; 1/2; 1/3.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

ARTIKEL TERKAIT