Menjawab: deret divergen.

Contoh #3

Cari jumlah dari deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Karena batas penjumlahan bawah adalah 1, suku deret tersebut ditulis di bawah tanda penjumlahan: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Tulis jumlah parsial ke-n dari deret tersebut, mis. jumlahkan $n$ anggota pertama dari deret numerik yang diberikan:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Mengapa saya menulis persis $\frac(2)(3\cdot 5)$, dan bukan $\frac(2)(15)$, akan jelas dari narasi selanjutnya. Namun, mencatat jumlah parsial tidak membawa kita sedikit pun lebih dekat ke tujuan. Bagaimanapun, kita perlu menemukan $\lim_(n\to\infty)S_n$, tetapi jika kita hanya menulis:

$$ \lim_(n\ke\infty)S_n=\lim_(n\ke\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\kanan), $$

maka catatan ini, sepenuhnya benar dalam bentuk, tidak akan memberi kita apa pun pada intinya. Untuk menemukan limitnya, ekspresi jumlah parsial harus disederhanakan terlebih dahulu.

Ada transformasi standar untuk ini, yang terdiri dari penguraian pecahan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, yang mewakili suku umum deret tersebut, menjadi pecahan elementer. Topik terpisah dikhususkan untuk masalah penguraian pecahan rasional menjadi pecahan dasar (lihat, misalnya, contoh No. 3 di halaman ini). Memperluas pecahan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ menjadi pecahan dasar, kita mendapatkan:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Kami menyamakan pembilang dari pecahan di sisi kiri dan kanan dari persamaan yang dihasilkan:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Ada dua cara untuk mencari nilai $A$ dan $B$. Anda dapat membuka tanda kurung dan mengatur ulang istilah, atau Anda cukup mengganti beberapa nilai yang sesuai sebagai ganti $n$. Hanya untuk perubahan, dalam contoh ini kita akan menggunakan cara pertama, dan selanjutnya - kita akan mengganti nilai pribadi $n$. Memperluas tanda kurung dan mengatur ulang istilah, kita mendapatkan:

$$ 2=2An+3A+2Mn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Di sisi kiri persamaan, $n$ didahului oleh nol. Jika Anda suka, sisi kiri persamaan dapat direpresentasikan untuk kejelasan sebagai $0\cdot n+ 2$. Karena di ruas kiri persamaan $n$ didahului oleh nol, dan di ruas kanan persamaan $2A+2B$ mendahului $n$, kita mendapatkan persamaan pertama: $2A+2B=0$. Kami segera membagi kedua bagian persamaan ini dengan 2, setelah itu kami mendapatkan $A+B=0$.

Karena suku bebas di ruas kiri persamaan sama dengan 2, dan di ruas kanan persamaan suku bebasnya sama dengan $3A+B$, maka $3A+B=2$. Jadi kami memiliki sistem:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Pembuktian akan dilakukan dengan metode induksi matematika. Pada langkah pertama, kita perlu memeriksa apakah persamaan yang diperlukan $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ berlaku untuk $n=1$. Kita tahu bahwa $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, tetapi akankah ekspresi $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ memberikan nilai $\frac( 2 )(15)$ jika $n=1$ diganti ke dalamnya? Mari kita periksa:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Jadi, untuk $n=1$ persamaan $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ terpenuhi. Ini melengkapi langkah pertama dari metode induksi matematika.

Asumsikan bahwa untuk $n=k$ persamaan berlaku, mis. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Mari kita buktikan bahwa persamaan yang sama berlaku untuk $n=k+1$. Untuk melakukannya, pertimbangkan $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Karena $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, maka $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Berdasarkan asumsi di atas $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, maka rumus $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ diambil formulir:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Kesimpulan: rumus $S_n=\frac(1)(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ benar untuk $n=k+1$. Oleh karena itu, menurut metode induksi matematika, rumus $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ benar untuk $n\in N$. Kesetaraan telah terbukti.

Dalam kursus standar dalam matematika yang lebih tinggi, seseorang biasanya puas dengan "menghapus" istilah yang membatalkan, tanpa memerlukan bukti apa pun. Jadi, kita mendapatkan ekspresi untuk jumlah parsial ke-n: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Cari nilai $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Kesimpulan: deret yang diberikan konvergen dan jumlahnya adalah $S=\frac(1)(3)$.

Cara kedua adalah dengan menyederhanakan rumus jumlah parsial.

Sejujurnya, saya sendiri lebih suka metode ini :) Mari kita tulis jumlah parsial dalam bentuk singkatan:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Kita mendapatkan sebelumnya bahwa $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, jadi:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan). $$

Jumlah $S_n$ berisi sejumlah istilah yang terbatas, sehingga kita dapat mengatur ulang mereka sesuka kita. Saya ingin menambahkan terlebih dahulu semua istilah dari formulir $\frac(1)(2k+1)$, dan baru kemudian pergi ke persyaratan formulir $\frac(1)(2k+3)$. Ini berarti bahwa kami akan mewakili jumlah parsial dalam bentuk ini:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\kanan). $$

Tentu saja, notasi yang diperluas sangat merepotkan, sehingga persamaan di atas dapat ditulis lebih ringkas:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Sekarang kita ubah ekspresi $\frac(1)(2k+1)$ dan $\frac(1)(2k+3)$ ke bentuk yang sama. Saya pikir lebih mudah untuk membuatnya terlihat seperti pecahan yang lebih besar (walaupun Anda dapat menggunakan yang lebih kecil, ini masalah selera). Karena $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (semakin besar penyebutnya, semakin kecil pecahannya), kita akan mengurangi pecahan $\frac(1)(2k+ 3) $ ke bentuk $\frac(1)(2k+1)$.

Saya akan menyajikan ekspresi penyebut pecahan $\frac(1)(2k+3)$ sebagai berikut:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Dan jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ sekarang dapat ditulis seperti ini:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1 )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Jika persamaan $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ tidak menimbulkan pertanyaan, maka mari kita melangkah lebih jauh. Jika ada pertanyaan, mohon perluas catatannya.

Bagaimana kami mendapatkan jumlah yang dikonversi? tunjukan Sembunyikan

Kami memiliki deret $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Mari kita perkenalkan variabel baru sebagai ganti $k+1$ - misalnya, $t$. Jadi $t=k+1$.

Bagaimana variabel lama $k$ berubah? Dan itu berubah dari 1 menjadi $n$. Mari kita cari tahu bagaimana variabel baru $t$ akan berubah. Jika $k=1$, maka $t=1+1=2$. Jika $k=n$, maka $t=n+1$. Jadi ekspresi $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ sekarang: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Kami memiliki jumlah $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Pertanyaan: apakah penting huruf mana yang digunakan dalam jumlah ini? :) Dengan menulis huruf $k$ alih-alih $t$, kita mendapatkan yang berikut:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Ini adalah bagaimana persamaan $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) diperoleh \frac(1)(2k+1)$.

Dengan demikian, jumlah parsial dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Perhatikan bahwa jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ dan $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ hanya berbeda dalam batas penjumlahan. Mari kita buat batasan ini sama. "Mengambil" elemen pertama dari jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ kita peroleh:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Mengambil" elemen terakhir dari penjumlahan $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, kita peroleh:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Kemudian ekspresi untuk jumlah parsial akan berbentuk:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\kanan)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Jika Anda melewatkan semua penjelasan, maka proses menemukan rumus yang disingkat untuk jumlah parsial ke-n akan mengambil bentuk berikut:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\kanan)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Saya ingatkan Anda bahwa kita telah mengurangi pecahan $\frac(1)(2k+3)$ menjadi $\frac(1)(2k+1)$. Tentu saja, Anda dapat melakukan yang sebaliknya, mis. nyatakan pecahan $\frac(1)(2k+1)$ sebagai $\frac(1)(2k+3)$. Ekspresi akhir untuk jumlah parsial tidak akan berubah. Dalam hal ini, saya akan menyembunyikan proses menemukan jumlah sebagian di bawah catatan.

Bagaimana menemukan $S_n$, jika Anda membawa ke bentuk pecahan yang berbeda? tunjukan Sembunyikan

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\kanan) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Jadi $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Cari limit $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\ke\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Deret yang diberikan konvergen dan jumlahnya adalah $S=\frac(1)(3)$.

Menjawab: $S=\frac(1)(3)$.

Kelanjutan topik mencari jumlah suatu deret akan dibahas pada bagian kedua dan ketiga.

Biarkan barisan bilangan tak hingga u1, u2, u3…

Ekspresi u1+ u2+ u3…+ un (1) disebut deret numerik, dan jumlah komponennya adalah anggota deret tersebut.

Jumlah suatu bilangan berhingga n suku pertama deret tersebut disebut jumlah parsial ke-n dari deret tersebut: Sn = u1+..+un

Jika kata benda. limit berhingga: maka disebut jumlah deret dan mereka mengatakan deret itu konvergen, jika limit seperti itu tidak ada, maka mereka mengatakan deret itu divergen dan tidak memiliki jumlah.

2 Deret geometri dan aritmatika

Deret yang terdiri dari anggota barisan geometri tak hingga disebut. geometris:
atau

a+ aq +…+aq n -1

a 0 suku pertama q adalah penyebutnya. Jumlah baris:

maka limit berhingga barisan jumlah parsial deret tersebut bergantung pada besaran q

Kemungkinan kasus:

1 |q|<1

yaitu sejumlah skhd-sya dan jumlahnya
2 |q|>1
dan batas jumlah juga sama dengan tak terhingga

yaitu, deret divergen.

3 dengan q = 1, diperoleh deret: a+a+…+a… Sn = na
seri divergen

4 untuk q1, deretnya seperti: a-a+a ... (-1) n -1 a Sn=0 untuk n genap, Sn=a untuk n ganjil, tidak ada limit jumlah parsial. barisan menyimpang.

Pertimbangkan serangkaian anggota tak terbatas dari deret aritmatika:
u adalah suku pertama, d adalah selisihnya. Jumlah baris

untuk setiap u1 dan d keduanya 0 dan deret selalu divergen.

3 deret konvergen C-va

Biarkan dua seri diberikan: u1+u2+…un = (1) dan v1+v2+…vn = (2)

Hasil kali deret (1) dengan bilangan R dan deret: u1+u2+…un = (3)

Jumlah baris (1) dan (2) baris belakang:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(untuk perbedaan hanya ada tampilan)

T1 Tentang pengganda umum

Jika deret (1) konvergen dan jumlahnya = S, maka untuk sembarang bilangan deret = juga konvergen dan jumlahnya S’ = S Jika deret (1) divergen dan 0, maka deret tersebut juga menyimpang. Artinya, faktor persekutuan tidak mempengaruhi divergensi deret tersebut.

T2 Jika deret (1) dan (2) konvergen, dan jumlahnya masing-masing = S dan S’, maka deret tersebut:
juga konvergen dan jika adalah jumlah, maka = S+S’. Artinya, deret konvergen dapat ditambahkan dan dikurangi suku demi suku. Jika deret (1) konvergen dan deret (2) divergen, maka jumlah (atau selisihnya) juga divergen. Tetapi jika kedua baris berbeda. maka jumlah (atau selisihnya) dapat divergen (jika un=vn) atau konvergen (jika un=vn)

Untuk baris (1) baris
disebut sisa ke-n dari deret tersebut. Jika sisa deret ini konvergen, maka jumlahnya dinotasikan: r n =

T3 Jika deret tersebut konvergen, maka setiap sisa deret tersebut konvergen, jika ada sisa deret yang konvergen, maka deret itu sendiri konvergen. Selain itu, jumlah total = jumlah parsial deret Sn + r n

Mengubah, serta membuang atau menambahkan sejumlah istilah yang terbatas, tidak mempengaruhi konvergensi (divergensi) dari deret tersebut.

4 Kriteria yang diperlukan untuk konvergensi deret

Jika deret tersebut konvergen, maka limit sukunya sama dengan nol:

Dok-in:

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, jadi:

Tanda ini hanya perlu, tetapi tidak cukup, yaitu, jika limit suku yang sama dan sama dengan nol, dalam kasus ini deret tidak perlu konvergen sama sekali. Akibatnya, kondisi ini, jika tidak terpenuhi, adalah, sebaliknya, kondisi yang cukup untuk divergensi deret.

5 Tanda integral konvergensi deret. Baris dirichlet

T1 Biarkan saja (1), yang sukunya bukan negatif dan tidak bertambah: u1>=u2>=u3…>=un

Jika terdapat fungsi f(x) yang non-negatif, kontinu, dan tidak bertambah sehingga f(n) = Un, n N, maka agar deret (1) konvergen, diperlukan und cukup untuk integral tak wajar konvergen:
, dan untuk divergensi, cukup dan perlu bahwa integral ini, sebaliknya, divergen (WOW!).

Mari kita terapkan fitur ini untuk mempelajari seri Dirichlet: Ini dia: ,  R Deret ini disebut deret harmonik umum, jika >0 suku dari deret ini adalah un=1/n 0 dan turun, jadi gunakan fitur integral, fungsi di sini adalah fungsi f(x)=1/x  ( x>=1) fungsi ini memenuhi syarat Teorema 1, sehingga konvergensi (divergensi) deret Dirichlet ekuivalen dengan konvergensi divergensi integral:

Tiga kasus yang mungkin:

1  >1,

Integral dan oleh karena itu deret konvergen.

Integral dan deret divergen

Integral dan deret divergen

Definisi dasar.

Definisi. Jumlah suku-suku barisan bilangan tak hingga disebut seri numerik.

Pada saat yang sama, angka
akan disebut anggota seri, dan kamu n adalah anggota umum dari seri.

Definisi. jumlah
,n = 1, 2, … ditelepon jumlah pribadi (sebagian) baris.

Dengan demikian, adalah mungkin untuk mempertimbangkan barisan jumlah parsial dari deret tersebut S 1 , S 2 , …, S n , …

Definisi. Baris
ditelepon konvergen jika barisan jumlah parsialnya konvergen. Jumlah deret konvergen adalah limit dari barisan jumlah parsialnya.

Definisi. Jika barisan jumlah parsial dari deret tersebut divergen, mis. tidak memiliki limit, atau memiliki limit tak hingga, maka deret tersebut disebut berbeda dan tidak ada jumlah yang diberikan kepadanya.

properti baris.

1) Konvergensi atau divergensi dari deret tersebut tidak akan dilanggar jika Anda mengubah, membuang, atau menambahkan sejumlah suku terhingga dalam deret tersebut.

2) Pertimbangkan dua baris
dan
, dimana C adalah bilangan konstan.

Dalil. Jika baris
konvergen dan jumlahnya adalahS, maka baris
juga konvergen, dan jumlahnya adalah CS. (C  0)

3) Pertimbangkan dua baris
dan
.jumlah atau perbedaan baris ini akan disebut baris
, dimana unsur-unsur diperoleh sebagai hasil penjumlahan (pengurangan) dari unsur-unsur asalnya dengan bilangan yang sama.

Dalil. Jika baris
dan
konvergen dan jumlah mereka sama, masing-masing.Sdan , maka baris
juga konvergen dan jumlahnya sama denganS +  .

Selisih dua deret konvergen juga akan menjadi deret konvergen.

Jumlah dari deret konvergen dan divergen akan menjadi deret divergen.

Tidak mungkin membuat pernyataan umum tentang jumlah dua deret divergen.

Saat mempelajari deret, dua masalah utama diselesaikan: studi konvergensi dan menemukan jumlah deret.

Kriteria cerewet.

(kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret)

Agar urutannya
konvergen, maka perlu dan cukup untuk setiap
ada nomorN, yang padan > Ndan apa sajap> 0, di mana p adalah bilangan bulat, pertidaksamaan berikut berlaku:

.

Bukti. (membutuhkan)

Biarlah
, maka untuk sembarang bilangan
ada bilangan N sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan

dilakukan untuk n>N. Untuk n>N dan sembarang bilangan bulat p>0, pertidaksamaan juga berlaku
. Mempertimbangkan kedua pertidaksamaan, kita mendapatkan:

Kebutuhan telah terbukti. Kami tidak akan mempertimbangkan bukti kecukupan.

Mari kita rumuskan kriteria Cauchy untuk deret tersebut.

Untuk nomor
konvergen diperlukan dan cukup untuk setiap
ada nomorNsedemikian rupa sehingga padan> Ndan apa sajap>0 akan memenuhi pertidaksamaan

.

Namun, dalam praktiknya, sangat tidak nyaman untuk menggunakan kriteria Cauchy secara langsung. Oleh karena itu, sebagai aturan, kriteria konvergensi yang lebih sederhana digunakan:

1) Jika baris
konvergen, perlu bahwa istilah umum kamu n tertarik ke nol. Namun, kondisi ini tidak cukup. Kita hanya dapat mengatakan bahwa jika suku umum tidak cenderung nol, maka deret tersebut tepat divergen. Misalnya, yang disebut deret harmonik divergen, meskipun suku umumnya cenderung nol.

Contoh. Selidiki kekonvergenan suatu deret

Ayo temukan
- kriteria konvergensi yang diperlukan tidak terpenuhi, sehingga deret divergen.

2) Jika deret tersebut konvergen, maka barisan jumlah parsialnya terbatas.

Namun, fitur ini juga tidak cukup.

Misalnya, deret 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… divergen karena barisan jumlah parsialnya menyimpang karena fakta bahwa

Namun, dalam hal ini urutan jumlah parsial terbatas, karena
untuk apa saja n.

Seri dengan istilah non-negatif.

Saat mempelajari deret dengan tanda konstan, kita membatasi diri pada mempertimbangkan deret dengan suku non-negatif, karena jika dikalikan dengan -1, deret ini dapat digunakan untuk mendapatkan deret dengan suku negatif.

Dalil. Untuk konvergensi deret
dengan suku-suku non-negatif, perlu dan cukup bahwa jumlah parsial dari deret tersebut dibatasi.

Tanda perbandingan seri dengan anggota non-negatif.

Biarkan ada dua baris
dan
pada kamu n , v n  0 .

Dalil. Jika sebuah kamu n  v n untuk apa saja n, maka dari konvergensi deret
mengikuti konvergensi deret
, dan dari divergensi deret
mengikuti divergensi dari seri
.

Bukti. Dilambangkan dengan S n dan  n jumlah parsial deret
dan
. Karena sesuai dengan teorema, deret
konvergen, maka jumlah parsialnya terbatas, yaitu, untuk semua n n M, di mana M adalah suatu bilangan. Tapi sejak kamu n  v n, kemudian S n   n maka jumlah parsial dari deret tersebut
juga dibatasi, dan ini cukup untuk konvergensi.

Contoh. Selidiki deret konvergensi

Karena
, dan deret harmonik divergen, maka deret divergen
.

Contoh.

Karena
, dan baris
konvergen (sebagai deret geometri menurun), maka deret
konvergen juga.

Kriteria konvergensi berikut juga digunakan:

Dalil. Jika sebuah
dan ada batasnya
, di manahadalah bilangan bukan nol, maka deretnya
dan
berperilaku dengan cara yang sama dalam hal konvergensi.

Tanda d'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - matematikawan Prancis)

Jika untuk seri
dengan istilah positif, ada nomorq<1, что для всех достаточно больших nketidaksetaraan

kemudian seri
konvergen jika untuk semua cukup besarnkondisi

kemudian seri
menyimpang.

Tanda pembatas d'Alembert.

Tes limiting d'Alembert adalah konsekuensi dari tes d'Alembert di atas.

Jika ada batas
, lalu di < 1 ряд сходится, а при  > 1 - menyimpang. Jika sebuah = 1, maka pertanyaan konvergensi tidak dapat dijawab.

Contoh. Tentukan kekonvergenan suatu deret .

Kesimpulan: deret tersebut konvergen.

Contoh. Tentukan kekonvergenan suatu deret

Kesimpulan: deret tersebut konvergen.

Tanda Cauchy. (fitur radikal)

Jika untuk seri
dengan istilah non-negatif, ada nomorq<1, что для всех достаточно больших nketidaksetaraan

,

kemudian seri
konvergen jika untuk semua cukup besarnketidaksetaraan

kemudian seri
menyimpang.

Konsekuensi. Jika ada batas
, kemudian pada<1 ряд сходится, а при >1 baris divergen.

Contoh. Tentukan kekonvergenan suatu deret
.

Kesimpulan: deret tersebut konvergen.

Contoh. Tentukan kekonvergenan suatu deret
.

Itu. Kriteria Cauchy tidak menjawab pertanyaan tentang konvergensi deret tersebut. Mari kita periksa pemenuhan kondisi konvergensi yang diperlukan. Seperti disebutkan di atas, jika deret tersebut konvergen, maka suku umum deret tersebut cenderung nol.

,

dengan demikian, kondisi yang diperlukan untuk konvergensi tidak terpenuhi, yang berarti bahwa deret tersebut divergen.

Tes Cauchy integral.

Jika sebuah (x) adalah fungsi positif kontinu yang menurun pada interval dan
maka integralnya
dan
berperilaku sama dalam hal konvergensi.

Baris variabel.

Baris bergantian.

Sebuah seri bolak-balik dapat ditulis sebagai:

di mana

tanda Leibniz.

Jika seri bolak-balik nilai mutlakkamu saya mengurangi
dan istilah umum cenderung nol
, maka deret tersebut konvergen.

Konvergensi deret mutlak dan bersyarat.

Pertimbangkan beberapa seri bolak-balik (dengan istilah tanda arbitrer).

(1)

dan deret yang terdiri dari nilai absolut dari suku-suku deret (1):

(2)

Dalil. Konvergensi deret (2) menyiratkan konvergensi deret (1).

Bukti. Deret (2) berada di sebelah suku non-negatif. Jika deret (2) konvergen, maka dengan kriteria Cauchy untuk sembarang >0 ada bilangan N sedemikian sehingga untuk n>N dan sembarang bilangan bulat p>0 pertidaksamaan berikut ini benar:

Menurut properti nilai absolut:

Artinya, menurut kriteria Cauchy, konvergensi deret (2) menyiratkan konvergensi deret (1).

Definisi. Baris
ditelepon benar-benar konvergen jika deret tersebut konvergen
.

Jelas, untuk deret tanda konstan, konsep konvergensi dan konvergensi absolut bertepatan.

Definisi. Baris
ditelepon konvergen bersyarat, jika konvergen, dan deret
menyimpang.

Tes d'Alembert dan Cauchy untuk deret bolak-balik.

Biarlah
- seri bergantian.

Tanda d'Alembert. Jika ada batas
, kemudian pada<1 ряд
akan benar-benar konvergen, dan ketika >

Tanda Cauchy. Jika ada batas
, kemudian pada<1 ряд
konvergen mutlak, dan jika >1 deret tersebut divergen. Ketika =1, tanda tersebut tidak memberikan jawaban tentang kekonvergenan deret tersebut.

Sifat-sifat deret yang benar-benar konvergen.

1) Dalil. Untuk konvergensi mutlak deret tersebut
perlu dan cukup agar dapat direpresentasikan sebagai selisih dua deret konvergen dengan suku non-negatif.

Konsekuensi. Deret konvergen bersyarat adalah selisih dua deret divergen dengan suku tak negatif yang cenderung nol.

2) Dalam deret konvergen, setiap pengelompokan suku-suku deret yang tidak mengubah urutannya mempertahankan kekonvergenan dan besaran deret tersebut.

3) Jika suatu deret konvergen mutlak, maka deret yang diperoleh darinya dengan permutasi suku apa pun juga konvergen mutlak dan memiliki jumlah yang sama.

Dengan menata ulang suku-suku suatu deret yang konvergen bersyarat, kita dapat memperoleh deret yang konvergen bersyarat yang memiliki jumlah yang telah ditentukan sebelumnya, dan bahkan deret divergen.

4) Dalil. Dengan pengelompokan anggota dari deret yang benar-benar konvergen (dalam hal ini, jumlah grup dapat berhingga atau tidak terbatas, dan jumlah anggota dalam suatu grup dapat berhingga atau tidak terbatas), diperoleh deret konvergen, jumlah yang sama dengan jumlah deret aslinya.

5) Jika baris dan konvergen mutlak dan jumlah mereka adalah sama, masing-masing. S dan , maka rangkaian yang terdiri dari semua produk berbentuk
diambil dalam urutan apa pun, juga konvergen secara mutlak dan jumlahnya sama dengan S - produk dari jumlah seri yang dikalikan.

Namun, jika untuk mengalikan deret konvergen bersyarat, maka hasilnya bisa menjadi deret divergen.

Urutan fungsional.

Definisi. Jika anggota deret tersebut bukan bilangan, melainkan fungsi dari X, maka deret tersebut disebut fungsional.

Studi tentang konvergensi deret fungsional lebih sulit daripada studi deret numerik. Deret fungsional yang sama dapat, untuk nilai variabel yang sama X konvergen, dan pada orang lain - menyimpang. Oleh karena itu, pertanyaan tentang konvergensi deret fungsional direduksi menjadi penentuan nilai-nilai variabel tersebut X yang deretnya konvergen.

Himpunan nilai-nilai seperti itu disebut daerah konvergensi.

Karena limit dari setiap fungsi yang termasuk dalam daerah konvergensi deret tersebut adalah bilangan tertentu, maka limit dari barisan fungsional tersebut adalah fungsi tertentu:

Definisi. Selanjutnya ( f n (x) } konvergen berfungsi f(x) pada segmen , jika untuk sembarang bilangan >0 dan sembarang titik X dari ruas yang ditinjau terdapat bilangan N = N(, x) sedemikian sehingga pertidaksamaan

dilakukan untuk n>N.

Dengan nilai yang dipilih >0, setiap titik segmen sesuai dengan nomornya sendiri dan, oleh karena itu, akan ada jumlah angka tak terbatas yang sesuai dengan semua titik segmen . Jika Anda memilih yang terbesar dari semua angka ini, maka angka ini akan cocok untuk semua titik segmen , mis. akan menjadi umum untuk semua titik.

Definisi. Selanjutnya ( f n (x) } konvergen secara seragam berfungsi f(x) pada interval jika untuk sembarang bilangan >0 terdapat bilangan N = N() sedemikian sehingga pertidaksamaan

dilakukan untuk n>N untuk semua titik segmen .

Contoh. Perhatikan urutannya

Barisan ini konvergen pada seluruh sumbu real ke fungsi f(x)=0 , karena

Mari kita plot urutan ini:

sinx

Seperti yang bisa dilihat, seiring bertambahnya jumlah n grafik barisan mendekati sumbu X.

baris fungsional.

Definisi. Jumlah pribadi (sebagian) jangkauan fungsional
fungsi disebut

Definisi. Rentang fungsional
ditelepon konvergen pada titik ( x=x 0 ) jika barisan jumlah parsialnya konvergen di titik ini. Batas urutan
ditelepon jumlah baris
pada intinya X 0 .

Definisi. Himpunan semua nilai X, yang deretnya konvergen
ditelepon daerah konvergensi baris.

Definisi. Baris
ditelepon konvergen seragam pada suatu ruas jika barisan jumlah parsial dari deret tersebut konvergen secara seragam pada ruas tersebut.

Dalil. (Kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam suatu deret)

Untuk konvergensi seragam deret
perlu dan cukup bahwa untuk nomor berapa pun >0 ada angka seperti ituN( ), yang padan> Ndan keseluruhanp>0 ketidaksamaan

akan berlaku untuk semua x pada segmen [sebuah, b].

Dalil. (Uji konvergensi seragam Weierstrass)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - matematikawan Jerman)

Baris
konvergen secara seragam dan mutlak pada segmen [sebuah, b], jika modul anggotanya pada segmen yang sama tidak melebihi anggota yang sesuai dari deret numerik konvergen dengan anggota positif:

itu. ada ketidaksetaraan:

.

Mereka juga mengatakan bahwa dalam hal ini deret fungsional
jurusan seri numerik
.

Contoh. Selidiki deret konvergensi
.

Sebagai
selalu, jelas bahwa
.

Diketahui deret harmonik umum konvergen ketika =3>1, maka, sesuai dengan uji Weierstrass, deret yang dipelajari konvergen secara seragam dan, terlebih lagi, dalam interval apa pun.

Contoh. Selidiki deret konvergensi .

Pada ruas [-1,1] pertidaksamaan
itu. menurut uji Weierstrass, deret yang diteliti konvergen pada segmen ini, dan divergen pada interval (-, -1) (1, ).

Sifat-sifat deret konvergen seragam.

1) Teorema kontinuitas jumlah suatu deret.

Jika anggota seri
- terus menerus pada interval [sebuah, b] fungsi dan deret konvergen beraturan, maka jumlah nyaS(x) adalah fungsi kontinu pada interval [sebuah, b].

2) Teorema integrasi suku-demi-suku suatu deret.

Konvergen seragam pada interval [sebuah, b] seri dengan istilah kontinu dapat diintegrasikan istilah demi istilah pada segmen ini, yaitu. deret yang terdiri dari integral-integral suku-sukunya selama selang [sebuah, b] , konvergen ke integral dari jumlah deret pada segmen ini.

3) Teorema tentang diferensiasi suku demi suku suatu deret.

Jika anggota seri
konvergen pada segmen [sebuah, b] adalah fungsi kontinu dengan turunan kontinu, dan deret yang terdiri dari turunan ini
konvergen beraturan pada interval ini, maka deret yang diberikan juga konvergen beraturan dan dapat dibedakan suku demi suku.

Berdasarkan fakta bahwa jumlah deret adalah beberapa fungsi dari variabel X, Anda dapat melakukan operasi representasi fungsi sebagai deret (memperluas fungsi menjadi deret), yang banyak digunakan dalam integrasi, diferensiasi, dan operasi lain dengan fungsi.

Dalam praktiknya, perluasan fungsi dalam deret pangkat sering digunakan.

Seri kekuatan.

Definisi. kekuatan selanjutnya disebut deret

.

Untuk mempelajari konvergensi deret pangkat, akan lebih mudah untuk menggunakan uji d'Alembert.

Contoh. Selidiki deret konvergensi

Kami menerapkan tanda d'Alembert:

.

Kami menemukan bahwa deret ini konvergen di
dan menyimpang pada
.

Sekarang mari kita definisikan konvergensi pada titik batas 1 dan -1.

Untuk x = 1:
Deret tersebut konvergen menurut uji Leibniz (lihat Gambar. tanda Leibniz.).

Untuk x = -1:
deret divergen (deret harmonik).

teorema Abel.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - matematikawan Norwegia)

Dalil. Jika seri daya
konvergen dix = x 1 , maka konvergen dan, terlebih lagi, mutlak untuk semua
.

Bukti. Dengan syarat teorema, karena suku-suku barisan terbatas, maka

di mana k adalah beberapa nomor konstan. Pertidaksamaan berikut ini benar:

Dari ketidaksetaraan ini dapat dilihat bahwa x< x 1 nilai numerik dari anggota deret kami akan lebih kecil (dalam hal apa pun, tidak lebih) dari anggota deret yang sesuai di sisi kanan pertidaksamaan yang ditulis di atas, yang membentuk deret geometri. Penyebut dari progresi ini dengan syarat teorema kurang dari satu, maka deret ini merupakan deret konvergen.

Oleh karena itu, berdasarkan uji perbandingan, kami menyimpulkan bahwa seri
konvergen, yang berarti deret
konvergen secara mutlak.

Jadi, jika deret pangkat
konvergen pada satu titik X 1 , maka konvergen mutlak pada setiap titik interval panjang 2 berpusat pada satu titik X = 0.

Konsekuensi. Jika di x = x 1 deret divergen, maka divergen untuk semua
.

Jadi, untuk setiap deret pangkat terdapat bilangan positif R sedemikian sehingga, untuk semua X seperti yang
deret konvergen mutlak, dan untuk semua
barisan menyimpang. Dalam hal ini, bilangan R disebut radius konvergensi. Interval (-R, R) disebut interval konvergensi.

Perhatikan bahwa interval ini dapat ditutup pada satu atau dua sisi, dan tidak tertutup.

Jari-jari konvergensi dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:

Contoh. Cari luas konvergensi suatu deret

Mencari jari-jari konvergensi
.

Oleh karena itu, deret ini konvergen untuk sembarang nilai X. Istilah umum dari deret ini cenderung nol.

Dalil. Jika seri daya
konvergen untuk nilai positif x=x 1 , maka konvergen secara seragam di setiap interval di dalam
.

Tindakan dengan seri kekuatan.

1. Deret bilangan: konsep dasar, kondisi yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret. Sisa dari baris.

2. Deret dengan suku-suku positif dan tanda-tanda konvergensinya: tanda-tanda perbandingan, d'Alembert, Cauchy.

3. Baris bergantian, uji Leibniz.

1. Pengertian deret bilangan. Konvergensi

Dalam aplikasi matematika, serta dalam memecahkan beberapa masalah di bidang ekonomi, statistik, dan bidang lain, jumlah dengan jumlah suku yang tak terbatas dipertimbangkan. Di sini kita mendefinisikan apa yang dimaksud dengan jumlah tersebut.

Biarkan urutan numerik tak terbatas diberikan

Definisi 1.1. Seri numerik atau hanya di dekat disebut ekspresi (jumlah) dari bentuk

. (1.1)

angka ditelepon anggota dari suatu bilangan, –umum atau nth seorang anggota barisan.

Untuk menyetel deret (1.1) cukup dengan menetapkan fungsi argumen natural untuk menghitung anggota ke deret dengan nomornya

Contoh 1.1. Biarlah. Baris

(1.2)

ditelepon seri harmonik.

Contoh 1.2. Biarkan Mendayung

(1.3)

ditelepon deret harmonik umum. Dalam kasus tertentu, di , deret harmonik diperoleh.

Contoh 1.3. Biarkan =. Baris

ditelepon di sebelah deret geometri.

Dari suku-suku deret (1.1) kami membentuk angka urutan parsial jumlah di mana - jumlah suku pertama deret tersebut, yang disebut n-dan jumlah parsial, yaitu

…………………………….

…………………………….

Urutan numerik dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas, dapat:

1) memiliki batas yang terbatas;

2) tidak memiliki batas hingga (batas tidak ada atau sama dengan tak terhingga).

Definisi 1.2. Deret (1.1) disebut konvergen, jika barisan jumlah parsialnya (1,5) memiliki limit berhingga, yaitu

Dalam hal ini, nomor tersebut disebut jumlah deret (1.1) dan ditulis

Definisi 1.3. Deret (1.1) disebut berbeda, jika barisan jumlah parsialnya tidak memiliki limit yang berhingga.

Tidak ada jumlah yang ditetapkan untuk deret divergen.

Jadi, masalah menemukan jumlah deret konvergen (1.1) sama dengan menghitung limit barisan jumlah parsialnya.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1.4. Buktikan bahwa seri

konvergen dan temukan jumlahnya.

Mari kita cari jumlah parsial ke-n dari deret yang diberikan.

Anggota biasa kami mewakili seri dalam bentuk .

Oleh karena itu kami memiliki: . Oleh karena itu, deret ini konvergen dan jumlahnya sama dengan 1:

Contoh 1.5. Selidiki deret konvergensi

Untuk baris ini

. Oleh karena itu, seri ini divergen.

Komentar. Untuk , deret (1.6) adalah jumlah nol tak hingga dan jelas konvergen.

2. Sifat dasar deret bilangan

Sifat-sifat jumlah suku berhingga berbeda dengan sifat-sifat deret, yaitu jumlah suku berhingga. Jadi, dalam kasus sejumlah istilah yang terbatas, mereka dapat dikelompokkan dalam urutan apa pun, ini tidak mengubah jumlahnya. Ada deret konvergen (konvergen bersyarat, yang akan dipertimbangkan dalam Bagian 5) yang, seperti yang ditunjukkan Riemann * , dengan mengubah urutan anggotanya secara tepat, seseorang dapat membuat jumlah dari deret tersebut sama dengan bilangan apa pun, dan bahkan deret divergen.

Contoh 2.1. Pertimbangkan deret divergen dari bentuk (1.7)

Mengelompokkan anggotanya berpasangan, kami mendapatkan deret bilangan konvergen dengan jumlah sama dengan nol:

Di sisi lain, mengelompokkan anggotanya berpasangan, mulai dari anggota kedua, kami juga memperoleh deret konvergen, tetapi dengan jumlah sama dengan satu:

Deret konvergen memiliki beberapa sifat yang memungkinkan kita memperlakukannya seolah-olah mereka adalah jumlah yang terbatas. Jadi mereka bisa dikalikan dengan angka, ditambah dan dikurangi istilah demi istilah. Mereka dapat menggabungkan ke dalam kelompok setiap istilah yang berdekatan.

Teorema 2.1.(Kriteria yang diperlukan untuk konvergensi deret).

Jika deret (1.1) konvergen, maka suku umumnya cenderung nol karena n bertambah tanpa batas, yaitu,

Bukti teorema berikut dari fakta bahwa , dan jika

S adalah jumlah dari deret (1.1), maka

Syarat (2.1) adalah syarat perlu tetapi tidak cukup agar deret tersebut konvergen. Artinya, jika suku umum dari deret tersebut cenderung nol di , maka ini tidak berarti deret tersebut konvergen. Misalnya, untuk deret harmonik (1.2) namun, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, itu menyimpang.