Yang untuk satu derajat atau lain yang akrab bagi Anda. Juga dicatat di sana bahwa stok properti fungsi akan diisi ulang secara bertahap. Dua properti baru akan dibahas di bagian ini.

Definisi 1.

Fungsi y \u003d f (x), x X, disebut bahkan jika untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) \u003d f (x) benar.

Definisi 2.

Fungsi y \u003d f (x), x X, disebut ganjil jika untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) \u003d -f (x) benar.

Buktikan bahwa y = x 4 adalah fungsi genap.

Larutan. Kami memiliki: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Tapi (-x) 4 = x 4 . Oleh karena itu, untuk setiap x, persamaan f (-x) = f (x), yaitu. fungsinya genap.

Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan bahwa fungsi y - x 2, y = x 6, y - x 8 genap.

Buktikan bahwa y = x 3 adalah fungsi ganjil.

Larutan. Kami memiliki: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Tapi (-x) 3 = -x 3 . Oleh karena itu, untuk setiap x, persamaan f (-x) \u003d -f (x), mis. fungsinya ganjil.

Demikian pula, dapat dibuktikan bahwa fungsi y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ganjil.

Anda dan saya telah berulang kali meyakinkan diri kita sendiri bahwa istilah baru dalam matematika paling sering memiliki asal "duniawi", yaitu. mereka dapat dijelaskan dalam beberapa cara. Ini berlaku untuk fungsi genap dan ganjil. Lihat: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 adalah fungsi ganjil, sedangkan y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 adalah fungsi genap. Dan secara umum, untuk fungsi apa pun dalam bentuk y \u003d x "(di bawah ini kita akan secara khusus mempelajari fungsi-fungsi ini), di mana n adalah bilangan asli, kita dapat menyimpulkan: jika n adalah bilangan ganjil, maka fungsi y \u003d x " aneh; jika n bilangan genap, maka fungsi y = xn genap.

Ada juga fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Seperti, misalnya, adalah fungsi y \u003d 2x + 3. Memang, f (1) \u003d 5, dan f (-1) \u003d 1. Seperti yang Anda lihat, di sini Oleh karena itu, tidak ada identitas f (-x ) \u003d f ( x), atau identitas f(-x) = -f(x).

Jadi, suatu fungsi bisa genap, ganjil, atau tidak keduanya.

Studi tentang pertanyaan apakah suatu fungsi genap atau ganjil biasanya disebut studi fungsi paritas.

Definisi 1 dan 2 berhubungan dengan nilai fungsi pada titik x dan -x. Ini mengasumsikan bahwa fungsi terdefinisi pada titik x dan pada titik -x. Ini berarti bahwa titik -x termasuk dalam domain fungsi pada saat yang sama dengan titik x. Jika suatu himpunan numerik X beserta setiap elemennya x memuat elemen lawannya -x, maka X disebut himpunan simetris. Misalkan (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) adalah himpunan simetris, sedangkan : let x 1sebuah;b, sebuah x 2sebuah;b .

Ketergantungan variabel y pada variabel x, di mana setiap nilai x bersesuaian dengan satu nilai y disebut fungsi. Notasinya adalah y=f(x). Setiap fungsi memiliki sejumlah sifat dasar, seperti monotonisitas, paritas, periodisitas, dan lain-lain.

Pertimbangkan properti paritas secara lebih rinci.

Suatu fungsi y=f(x) dipanggil meskipun memenuhi dua kondisi berikut:

2. Nilai fungsi pada titik x yang termasuk ruang lingkup fungsi harus sama dengan nilai fungsi pada titik -x. Artinya, untuk setiap titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d f (-x) harus benar.

Grafik fungsi genap

Jika Anda membuat grafik fungsi genap, grafik tersebut akan simetris terhadap sumbu y.

Misalnya, fungsi y=x^2 genap. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Oleh karena itu, f(x) = f(-x). Dengan demikian, kedua kondisi dipenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya genap. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^2.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa grafik tersebut simetris terhadap sumbu y.

Grafik fungsi ganjil

Suatu fungsi y=f(x) disebut ganjil jika memenuhi dua kondisi berikut:

1. Domain dari fungsi yang diberikan harus simetris terhadap titik O. Artinya, jika beberapa titik a termasuk dalam domain fungsi, maka titik -a yang bersesuaian juga harus termasuk dalam domain dari fungsi yang diberikan.

2. Untuk sembarang titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d -f (x) harus dipenuhi.

Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik O - titik asal. Misalnya, fungsi y=x^3 ganjil. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Jadi f(x) = -f(x). Dengan demikian, kedua kondisi terpenuhi bagi kita, yang berarti bahwa fungsinya ganjil. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^3.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa fungsi ganjil y=x^3 simetris terhadap titik asal.