Mari kita pertimbangkan topik mengubah ekspresi dengan kekuatan, tetapi pertama-tama kita akan membahas sejumlah transformasi yang dapat dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk yang memiliki kekuatan. Kita akan belajar cara membuka tanda kurung, memberi suku-suku sejenis, bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat-sifat pangkat.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Apa itu Ekspresi Daya?
Di kursus sekolah, hanya sedikit orang yang menggunakan frasa "ekspresi kekuatan", tetapi istilah ini terus-menerus ditemukan dalam koleksi untuk mempersiapkan ujian. Dalam kebanyakan kasus, frase menunjukkan ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Inilah yang akan kita refleksikan dalam definisi kita.
Definisi 1
Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung derajat.
Kami memberikan beberapa contoh ekspresi kekuatan, dimulai dengan gelar dengan eksponen alami dan diakhiri dengan gelar dengan eksponen nyata.
Ekspresi pangkat paling sederhana dapat dianggap pangkat dari bilangan dengan eksponen alami: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 a + a 2 , x 3 1 , (a 2) 3 . Serta pangkat dengan nol eksponen: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 3 , 2 0 . Dan pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
Sedikit lebih sulit untuk bekerja dengan gelar yang memiliki eksponen rasional dan irasional: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x · x 1 - , 2 3 3 + 5 .
Indikatornya bisa berupa variabel 3 x - 54 - 7 3 x - 58 atau logaritma x 2 l g x 5 x l g x.
Kami telah membahas pertanyaan tentang apa ekspresi kekuatan itu. Sekarang mari kita ubah mereka.
Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan
Pertama-tama, kita akan mempertimbangkan transformasi identitas dasar dari ekspresi yang dapat dilakukan dengan ekspresi kekuatan.
Contoh 1
Hitung Nilai Ekspresi Daya 2 3 (4 2 12).
Larutan
Kami akan melakukan semua transformasi sesuai dengan urutan tindakan. Dalam hal ini, kami akan mulai dengan melakukan tindakan dalam tanda kurung: kami akan mengganti derajat dengan nilai digital dan menghitung perbedaan antara dua angka. Kita punya 2 3 (4 2 12) = 2 3 (16 12) = 2 3 4.
Tinggal kita ganti gelar 2 3 artinya 8 dan hitung produknya 8 4 = 32. Inilah jawaban kami.
Menjawab: 2 3 (4 2 12) = 32 .
Contoh 2
Sederhanakan ekspresi dengan kekuatan 3 a 4 b 7 1 + 2 a 4 b 7.
Larutan
Ungkapan yang diberikan kepada kami dalam kondisi masalah mengandung istilah serupa, yang dapat kami bawa: 3 a 4 b 7 1 + 2 a 4 b 7 = 5 a 4 b 7 1.
Menjawab: 3 a 4 b 7 1 + 2 a 4 b 7 = 5 a 4 b 7 1 .
Contoh 3
Nyatakan ekspresi dengan pangkat 9 - b 3 · - 1 2 sebagai produk.
Larutan
Mari kita nyatakan angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan terapkan rumus perkalian yang disingkat:
9 - b 3 - 1 2 = 3 2 - b 3 - 1 2 = = 3 - b 3 - 1 3 + b 3 - 1
Menjawab: 9 - b 3 - 1 2 = 3 - b 3 - 1 3 + b 3 - 1 .
Dan sekarang mari kita beralih ke analisis transformasi identik yang dapat diterapkan secara khusus pada ekspresi kekuatan.
Bekerja dengan basis dan eksponen
Derajat dalam basis atau eksponen dapat memiliki angka, variabel, dan beberapa ekspresi. Sebagai contoh, (2 + 0, 3 7) 5 3 , 7 dan . Sulit untuk bekerja dengan catatan seperti itu. Jauh lebih mudah untuk mengganti ekspresi dalam basis derajat atau ekspresi dalam eksponen dengan ekspresi yang identik sama.
Transformasi derajat dan indikator dilakukan sesuai dengan aturan yang kita ketahui secara terpisah satu sama lain. Yang paling penting adalah bahwa sebagai hasil dari transformasi, diperoleh ekspresi yang identik dengan yang asli.
Tujuan dari transformasi adalah untuk menyederhanakan ekspresi asli atau untuk mendapatkan solusi dari masalah tersebut. Misalnya, dalam contoh yang kami berikan di atas, (2 + 0 , 3 7) 5 3 , 7 Anda dapat melakukan operasi untuk mencapai derajat 4 , 1 1 , 3 . Membuka tanda kurung, kita dapat membawa suku-suku serupa di dasar derajat (a (a + 1) a 2) 2 (x + 1) dan dapatkan ekspresi kekuatan dari bentuk yang lebih sederhana a2 (x + 1).
Menggunakan Properti Daya
Sifat derajat, ditulis sebagai persamaan, adalah salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan derajat. Kami menyajikan di sini yang utama, mengingat itu sebuah dan b adalah sembarang bilangan positif, dan r dan s- bilangan real arbitrer:
Definisi 2
- a r a s = a r + s ;
- a r: a s = a r s ;
- (a b) r = a r b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r s .
Dalam kasus di mana kita berurusan dengan bilangan asli, bilangan bulat, eksponen positif, pembatasan angka a dan b bisa jauh lebih ketat. Jadi, misalnya, jika kita mempertimbangkan kesetaraan a m a n = a m + n, di mana m dan n adalah bilangan asli, maka akan benar untuk setiap nilai a, baik positif maupun negatif, serta untuk a = 0.
Anda dapat menerapkan properti derajat tanpa batasan dalam kasus di mana basis derajat positif atau mengandung variabel yang rentang nilai yang dapat diterima sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya. Padahal, dalam kerangka kurikulum sekolah dalam matematika, tugas siswa adalah memilih sifat yang sesuai dan menerapkannya dengan benar.
Saat mempersiapkan untuk masuk ke universitas, mungkin ada tugas di mana penerapan properti yang tidak akurat akan menyebabkan penyempitan ODZ dan kesulitan lain dengan solusi. Pada bagian ini, kita hanya akan mempertimbangkan dua kasus seperti itu. Informasi lebih lanjut tentang subjek dapat ditemukan di topik "Mentransformasi ekspresi menggunakan properti eksponen".
Contoh 4
Mewakili ekspresi a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 sebagai gelar dengan basis sebuah.
Larutan
Untuk memulainya, kami menggunakan properti eksponensial dan mengubah faktor kedua menggunakannya (a 2) 3. Kemudian kami menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama:
a 2 , 5 a 6: a 5 , 5 = a 2 , 5 6: a 5 , 5 = a 3 , 5: a 5 , 5 = a 3 , 5 (− 5 , 5 ) = a2 .
Menjawab: a 2 , 5 (a 2) 3: a 5 , 5 = a 2 .
Transformasi ekspresi kekuasaan menurut properti derajat dapat dilakukan baik dari kiri ke kanan dan dalam arah yang berlawanan.
Contoh 5
Tentukan nilai dari ekspresi pangkat 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .
Larutan
Jika kita menerapkan persamaan (a b) r = a r b r, dari kanan ke kiri, maka kita mendapatkan hasil kali dengan bentuk 3 7 1 3 21 2 3 dan kemudian 21 1 3 21 2 3 . Mari kita tambahkan eksponen saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
Ada cara lain untuk melakukan transformasi:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Menjawab: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Contoh 6
Diberikan ekspresi kekuatan a 1 , 5 a 0, 5 6, masukkan variabel baru t = a 0, 5.
Larutan
Bayangkan derajatnya 1 , 5 bagaimana a 0, 5 3. Menggunakan properti derajat dalam gelar (a r) s = a r s dari kanan ke kiri dan dapatkan (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda dapat dengan mudah memperkenalkan variabel baru t = a 0, 5: Dapatkan t 3 t 6.
Menjawab: t 3 t 6 .
Mengonversi pecahan yang mengandung kekuatan
Kami biasanya berurusan dengan dua varian ekspresi pangkat dengan pecahan: ekspresi adalah pecahan dengan derajat atau berisi pecahan seperti itu. Semua transformasi pecahan dasar berlaku untuk ekspresi seperti itu tanpa batasan. Mereka dapat direduksi, dibawa ke penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilang dan penyebut. Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh.
Contoh 7
Sederhanakan ekspresi pangkat 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .
Larutan
Kita berurusan dengan pecahan, jadi kita akan melakukan transformasi pada pembilang dan penyebutnya:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Letakkan tanda minus di depan pecahan untuk mengubah tanda penyebut: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Menjawab: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Pecahan yang mengandung pangkat direduksi menjadi penyebut baru dengan cara yang sama seperti pecahan rasional. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan faktor tambahan dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu. Penting untuk memilih faktor tambahan sedemikian rupa sehingga tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.
Contoh 8
Bawa pecahan ke penyebut baru: a) a + 1 a 0, 7 ke penyebutnya sebuah, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 ke penyebut x + 8 y 1 2 .
Larutan
a) Kami memilih faktor yang memungkinkan kami untuk mengurangi ke penyebut baru. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a , oleh karena itu, sebagai faktor tambahan, kami mengambil 0, 3. Rentang nilai yang dapat diterima dari variabel a mencakup himpunan semua bilangan real positif. Di bidang ini, gelar 0, 3 tidak menuju nol.
Mari kita kalikan pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Perhatikan penyebutnya:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Kalikan ekspresi ini dengan x 1 3 + 2 · y 1 6 , kita mendapatkan jumlah kubus x 1 3 dan 2 · y 1 6 , mis. x + 8 · y 1 2 . Ini adalah penyebut baru kita, yang kita butuhkan untuk membawa pecahan aslinya.
Jadi kami menemukan faktor tambahan x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pada kisaran nilai variabel yang dapat diterima x dan kamu ekspresi x 1 3 + 2 y 1 6 tidak hilang, jadi kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Menjawab: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .
Contoh 9
Kurangi pecahan: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Larutan
a) Gunakan penyebut persekutuan terbesar (PBK) yang dengannya pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi. Untuk angka 30 dan 45, ini adalah 15 . Kita juga bisa mengurangi x 0, 5 + 1 dan pada x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .
Kita mendapatkan:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Di sini keberadaan faktor-faktor yang identik tidak jelas. Anda harus melakukan beberapa transformasi untuk mendapatkan faktor pembilang dan penyebut yang sama. Untuk melakukan ini, kami memperluas penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Menjawab: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
Operasi utama dengan pecahan meliputi pengurangan ke penyebut baru dan pengurangan pecahan. Kedua tindakan tersebut dilakukan sesuai dengan sejumlah aturan. Saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan, pecahan pertama-tama direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu tindakan (penjumlahan atau pengurangan) dilakukan dengan pembilang. Penyebutnya tetap sama. Hasil dari tindakan kita adalah pecahan baru, yang pembilangnya adalah perkalian dari pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian dari penyebutnya.
Contoh 10
Lakukan langkah x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Larutan
Mari kita mulai dengan mengurangkan pecahan yang ada di dalam kurung. Mari kita bawa mereka ke penyebut yang sama:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Mari kita kurangi pembilangnya:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1x1 2 + 1 1x1 2
Sekarang kita mengalikan pecahan:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Mari kita kurangi satu derajat x 1 2, kita mendapatkan 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .
Selain itu, Anda dapat menyederhanakan ekspresi pangkat dalam penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat: kuadrat: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
Menjawab: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
Contoh 11
Sederhanakan ekspresi pangkat x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Larutan
Kita dapat mengurangi pecahan dengan (x 2 , 7 + 1) 2. Kami mendapatkan pecahan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.
Mari kita lanjutkan transformasi dari x pangkat x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Sekarang Anda dapat menggunakan properti pembagian daya dengan basis yang sama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
Kami beralih dari produk terakhir ke pecahan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Menjawab: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
Dalam kebanyakan kasus, lebih mudah untuk mentransfer pengali dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut dan sebaliknya dengan mengubah tanda eksponen. Tindakan ini menyederhanakan keputusan selanjutnya. Mari kita beri contoh: ekspresi pangkat (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 dapat diganti dengan x 3 · (x + 1) 0 , 2 .
Mengubah ekspresi dengan akar dan pangkat
Dalam tugas, ada ekspresi pangkat yang tidak hanya berisi derajat dengan eksponen pecahan, tetapi juga akar. Diinginkan untuk mengurangi ekspresi seperti itu hanya menjadi akar atau hanya kekuatan. Transisi ke derajat lebih disukai, karena lebih mudah digunakan. Transisi seperti itu sangat menguntungkan ketika DPV variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti akar dengan pangkat tanpa harus mengakses modulus atau membagi DPV menjadi beberapa interval.
Contoh 12
Nyatakan ekspresi x 1 9 x x 3 6 sebagai pangkat.
Larutan
Rentang variabel yang valid x ditentukan oleh dua pertidaksamaan x 0 dan x · x 3 0 , yang mendefinisikan himpunan [ 0 , + ∞) .
Di set ini, kami memiliki hak untuk berpindah dari akar ke pangkat:
x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6
Menggunakan sifat derajat, kami menyederhanakan ekspresi kekuatan yang dihasilkan.
x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Menjawab: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .
Mengonversi pangkat dengan variabel dalam eksponen
Transformasi ini cukup sederhana untuk dilakukan jika Anda menggunakan properti derajat dengan benar. Sebagai contoh, 5 2 x + 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 1 = 0.
Kita dapat mengganti hasil kali derajat, yang dengannya jumlah dari beberapa variabel dan suatu bilangan ditemukan. Di sisi kiri, ini dapat dilakukan dengan suku pertama dan terakhir di sisi kiri ekspresi:
5 2 x 5 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 7 1 = 0, 5 5 2 x 3 5 x 7 x 2 7 2 x = 0 .
Sekarang mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan 7 2 x. Ekspresi pada ODZ variabel x ini hanya mengambil nilai positif:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Mari kita kurangi pecahan dengan kekuatan, kita mendapatkan: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
Akhirnya, rasio pangkat dengan pangkat yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , yang setara dengan 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .
Kami memperkenalkan variabel baru t = 5 7 x , yang mereduksi solusi persamaan eksponensial awal menjadi solusi persamaan kuadrat 5 · t 2 3 · t 2 = 0 .
Mengonversi ekspresi dengan kekuatan dan logaritma
Ekspresi yang mengandung kekuatan dan logaritma juga ditemukan dalam masalah. Contoh ekspresi tersebut adalah: 1 4 1 - 5 log 2 3 atau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformasi ekspresi tersebut dilakukan dengan menggunakan pendekatan dan properti logaritma di atas, yang telah kami analisis secara rinci dalam topik "Transformasi ekspresi logaritma".
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
SAYA. Kerja n faktor, yang masing-masing sama dengan sebuah ditelepon n-kekuatan suatu bilangan sebuah dan dilambangkan sebuahn.
Contoh. Tulis produk sebagai gelar.
1) mmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+ppkk-ppkk.
Larutan.
1) mmmm = m 4, karena, menurut definisi derajat, produk dari empat faktor, yang masing-masing sama dengan m, akan pangkat empat m.
2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .
II. Operasi dimana produk dari beberapa faktor yang sama ditemukan disebut eksponensial. Bilangan yang dipangkatkan disebut basis pangkat. Angka yang menunjukkan pangkat apa yang dinaikkan disebut eksponen. Jadi, sebuahn- derajat, sebuah- dasar derajat n- eksponen. Sebagai contoh:
2 3 — itu gelar. Nomor 2 - basis derajat, eksponennya sama dengan 3 . Nilai derajat 2 3 sama dengan 8, karena 2 3 =2 2 2=8.
Contoh. Tulislah ekspresi berikut tanpa eksponen.
5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .
Larutan.
5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaa + 3bb.
AKU AKU AKU. dan 0 = 1 Setiap nomor (kecuali nol) dengan kekuatan nol sama dengan satu. Misalnya, 25 0 = 1.
IV. a 1 = aSetiap nomor pangkat pertama sama dengan dirinya sendiri.
v. saya∙ sebuah= saya + n Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basisnya tetap sama, dan eksponennya menjumlahkan.
Contoh. Menyederhanakan:
9) a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .
Larutan.
9) a 3 a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;
11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .
VI. saya: sebuah= saya - nSaat membagi pangkat dengan basis yang sama, basis dibiarkan sama, dan eksponen pembagi dikurangkan dari eksponen dividen.
Contoh. Menyederhanakan:
12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .
12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4=m 11-4 =m 7 ; empat belas ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.
VII. (saya) n= amn Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basisnya tetap sama, dan eksponennya dikalikan.
Contoh. Menyederhanakan:
15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.
15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .
catatan, yang, karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kemudian:
15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .
VSaya II. (a b) n =a n b n Saat menaikkan produk ke kekuatan, masing-masing faktor dinaikkan ke kekuatan itu.
Contoh. Menyederhanakan:
17) (2a 2) 5 ; 18) 0,26 56; 19) 0,25 2 40 2 .
Larutan.
17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0,2 6 5 6=(0.2 5) 6 =1 6 =1;
19) 0,25 2 40 2\u003d (0,25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.
IX. Saat menaikkan pecahan ke pangkat, pembilang dan penyebut pecahan dinaikkan ke pangkat itu.
Contoh. Menyederhanakan:
Larutan.
Halaman 1 dari 1 1
Salah satu karakteristik utama dalam aljabar, dan memang dalam semua matematika, adalah gelar. Tentu saja, di abad ke-21, semua perhitungan dapat dilakukan pada kalkulator online, tetapi lebih baik mempelajari cara melakukannya sendiri untuk perkembangan otak.
Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan isu-isu yang paling penting mengenai definisi ini. Yaitu, kita akan memahami apa itu secara umum dan apa fungsi utamanya, sifat apa yang ada dalam matematika.
Mari kita lihat contoh perhitungannya, seperti apa rumus dasarnya. Kami akan menganalisis jenis besaran utama dan perbedaannya dari fungsi lainnya.
Kami akan memahami bagaimana menyelesaikan berbagai masalah menggunakan nilai ini. Kami akan menunjukkan dengan contoh bagaimana menaikkan ke derajat nol, irasional, negatif, dll.
Kalkulator eksponensial online
Berapa derajat suatu bilangan?
Apa yang dimaksud dengan ungkapan "menaikkan angka ke pangkat"?
Derajat n suatu bilangan a adalah hasil kali faktor-faktor yang besarnya n kali berturut-turut.
Secara matematis terlihat seperti ini:
a n = a * a * a * …a n .
Sebagai contoh:
- 2 3 = 2 pada langkah ketiga. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 dalam langkah. dua = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 dalam langkah. empat = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 dalam 5 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 dalam 4 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10.000.
Di bawah ini adalah tabel kotak dan kubus dari 1 sampai 10.
Tabel derajat dari 1 hingga 10
Di bawah ini adalah hasil dari menaikkan bilangan asli menjadi pangkat positif - "dari 1 hingga 100".
| Ch-lo | kelas 2 | kelas 3 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Properti gelar
Apa karakteristik dari fungsi matematika seperti itu? Mari kita lihat properti dasarnya.
Para ilmuwan telah menetapkan sebagai berikut: tanda-tanda karakteristik dari semua derajat:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
Mari kita periksa dengan contoh:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sebaliknya, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Demikian pula: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Jika tidak, 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Bagaimana jika berbeda? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Seperti yang Anda lihat, aturannya berfungsi.
Tapi bagaimana menjadi dengan penjumlahan dan pengurangan? Semuanya sederhana. Eksponensial pertama dilakukan, dan baru kemudian penambahan dan pengurangan.
Mari kita lihat contohnya:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Tetapi dalam hal ini, Anda harus terlebih dahulu menghitung penjumlahan, karena ada tindakan dalam tanda kurung: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Bagaimana cara menghasilkan? perhitungan dalam kasus yang lebih kompleks? Urutannya sama:
- jika ada tanda kurung, Anda harus memulainya;
- kemudian eksponensial;
- kemudian lakukan operasi perkalian, pembagian;
- setelah penambahan, pengurangan.
Ada sifat-sifat khusus yang bukan merupakan karakteristik dari semua derajat:
- Akar derajat ke-n dari bilangan a sampai derajat m ditulis sebagai: a m / n .
- Saat menaikkan pecahan ke pangkat: pembilang dan penyebutnya tunduk pada prosedur ini.
- Saat menaikkan produk dari angka yang berbeda menjadi kekuatan, ekspresi akan sesuai dengan produk dari angka-angka ini dengan kekuatan yang diberikan. Yaitu: (a * b) n = a n * b n .
- Saat menaikkan angka ke pangkat negatif, Anda harus membagi 1 dengan angka dalam langkah yang sama, tetapi dengan tanda "+".
- Jika penyebut pecahan dalam pangkat negatif, maka ekspresi ini akan sama dengan produk dari pembilang dan penyebut dalam pangkat positif.
- Setiap nomor pangkat 0 = 1, dan langkah. 1 = untuk dirinya sendiri.
Aturan-aturan ini penting dalam kasus individu, kami akan mempertimbangkannya secara lebih rinci di bawah ini.
Derajat dengan eksponen negatif
Apa yang harus dilakukan dengan derajat negatif, yaitu ketika indikatornya negatif?
Berdasarkan sifat 4 dan 5(lihat poin di atas) ternyata:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Dan sebaliknya:
1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Bagaimana jika itu pecahan?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Gelar dengan indikator alami
Ini dipahami sebagai derajat dengan eksponen sama dengan bilangan bulat.
Hal-hal untuk diingat:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…dst.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…dst.
Juga, jika (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…maka hasilnya akan bertanda “+”. Jika bilangan negatif dipangkatkan ganjil, maka sebaliknya.
Properti umum, dan semua fitur khusus yang dijelaskan di atas, juga merupakan karakteristiknya.
Derajat pecahan
Pandangan ini dapat ditulis sebagai skema: A m / n. Dibaca sebagai: akar derajat ke-n bilangan A pangkat m.
Dengan indikator fraksional, Anda dapat melakukan apa saja: mengurangi, menguraikan menjadi beberapa bagian, menaikkan ke tingkat lain, dll.
Gelar dengan eksponen irasional
Misalkan bilangan irasional dan 0.
Untuk memahami esensi gelar dengan indikator seperti itu, Mari kita lihat kemungkinan kasus yang berbeda:
- A \u003d 1. Hasilnya akan sama dengan 1. Karena ada aksioma - 1 sama dengan satu di semua pangkat;
r 1 ˂ r 2 , r 1 r 2 adalah bilangan rasional;
- 0˂А˂1.
Dalam hal ini, sebaliknya: r 2 r 1 dalam kondisi yang sama seperti pada paragraf kedua.
Misalnya, eksponennya adalah bilangan . Itu rasional.
r 1 - dalam hal ini sama dengan 3;
r 2 - akan sama dengan 4.
Maka, untuk A = 1, 1 = 1.
A = 2, maka 2 3 2 2 4 , 8 2 16.
A = 1/2, maka (½) 4 (½) (½) 3 , 1/16 (½) 1/8.
Derajat tersebut dicirikan oleh semua operasi matematika dan sifat spesifik yang dijelaskan di atas.
Kesimpulan
Mari kita rangkum - untuk apa nilai-nilai ini, apa keuntungan dari fungsi-fungsi tersebut? Tentu saja, pertama-tama, mereka menyederhanakan kehidupan matematikawan dan pemrogram saat memecahkan contoh, karena mereka memungkinkan meminimalkan perhitungan, mengurangi algoritme, mensistematisasikan data, dan banyak lagi.
Di mana lagi pengetahuan ini bisa berguna? Dalam setiap spesialisasi kerja: kedokteran, farmakologi, kedokteran gigi, konstruksi, teknologi, teknik, desain, dll.
Pelajaran tentang topik: "Aturan untuk mengalikan dan membagi kekuatan dengan eksponen yang sama dan berbeda. Contoh"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda. Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.
Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 7
Manual untuk buku teks Yu.N. Makarycheva Manual untuk buku teks A.G. Mordkovich
Tujuan pelajaran: belajar bagaimana melakukan operasi dengan kekuatan angka.
Untuk memulainya, mari kita mengingat kembali konsep "kekuatan sebuah angka". Ekspresi seperti $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ dapat direpresentasikan sebagai $a^n$.
Kebalikannya juga benar: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Kesetaraan ini disebut "pencatatan derajat sebagai produk". Ini akan membantu kita menentukan bagaimana mengalikan dan membagi kekuatan.
Ingat:
sebuah- dasar derajat.
n- eksponen.
Jika sebuah n=1, yang berarti bilangan sebuah diambil sekali dan berturut-turut: $a^n= 1$.
Jika sebuah n=0, lalu $a^0= 1$.
Mengapa ini terjadi, kita dapat mengetahuinya ketika kita berkenalan dengan aturan untuk mengalikan dan membagi kekuatan.
aturan perkalian
a) Jika pangkat dengan basis yang sama dikalikan.Untuk $a^n * a^m$, kita menulis pangkat sebagai produk: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Angka tersebut menunjukkan bahwa nomor sebuah telah diambil n+m kali, maka $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Contoh.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Properti ini nyaman digunakan untuk menyederhanakan pekerjaan saat menaikkan angka ke kekuatan besar.
Contoh.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Jika pangkat dikalikan dengan basis yang berbeda, tetapi eksponennya sama.
Untuk $a^n * b^n$, kita menulis pangkat sebagai produk: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Jika kita menukar faktor dan menghitung pasangan yang dihasilkan, kita mendapatkan: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Jadi $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Contoh.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
aturan pembagian
a) Basis derajatnya sama, pangkatnya berbeda.Pertimbangkan untuk membagi derajat dengan eksponen yang lebih besar dengan membagi derajat dengan eksponen yang lebih kecil.
Jadi, itu perlu $\frac(a^n)(a^m)$, di mana n>m.
Kami menulis derajat sebagai pecahan:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Untuk memudahkan, kami menulis pembagian sebagai pecahan sederhana.Sekarang mari kita kurangi pecahannya.
Ternyata: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Cara, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Properti ini akan membantu menjelaskan situasi dengan menaikkan angka ke pangkat nol. Mari kita asumsikan bahwa n=m, lalu $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Contoh.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Dasar derajatnya berbeda, indikatornya sama.
Katakanlah Anda membutuhkan $\frac(a^n)( b^n)$. Kami menulis kekuatan angka sebagai pecahan:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Mari kita bayangkan untuk kenyamanan.
Menggunakan properti pecahan, kami membagi pecahan besar menjadi produk kecil, kami dapatkan.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Dengan demikian: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Contoh.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti kuantitas lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tanda-tandanya.
Jadi, jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah dari 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah 3 - b n + h 5 - d 4 .
Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama bisa ditambah atau dikurangi.
Jadi, jumlah 2a 2 dan 3a 2 adalah 5a 2 .
Jelas juga bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.
Tapi derajat berbagai variabel dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda-tandanya.
Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah a 2 + a 3 .
Jelaslah bahwa kuadrat dari a, dan pangkat tiga dari a, bukanlah dua kali kuadrat dari a, tetapi dua kali pangkat tiga dari a.
Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali bahwa tanda-tanda pengurangan harus diubah sesuai.
Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Perkalian daya
Bilangan dengan pangkat dapat dikalikan seperti besaran lainnya dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara bilangan tersebut.
Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah 3 b 2 atau aaabb.
Atau:
x -3 a m = a m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang sama.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .
Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) dengan pangkat yang sama dengan jumlah derajat istilah.
Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.
Jadi, a n .a m = a m+n .
Untuk a n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;
Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;
Itu sebabnya, pangkat dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.
Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Atau:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) (x - y).
Jawaban: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).
Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya - negatif.
1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah 2 - b 2: yaitu
Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.
Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi kotak, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini dalam keempat derajat.
Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Pembagian kekuasaan
Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan dari pembagi, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.
Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .
Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Menulis 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0, a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
setiap nomor dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.
Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..
Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.
Contoh penyelesaian contoh pecahan yang mengandung bilangan berpangkat
1. Kurangi pangkat di $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Kurangi eksponen dalam $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.
3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah pembilang pertama -2.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang bersama.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .
4. Kurangi pangkat 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3/5a 7 dan 5a 5/5a 7 atau 2a 3/5a 2 dan 5/5a 2.
5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.
6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).
7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .
8. Bagi 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.
9. Bagi (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/h.
