Pada materi sebelumnya, masalah pencarian turunan telah dibahas dan berbagai penerapannya ditunjukkan: menghitung kemiringan garis singgung suatu grafik, menyelesaikan masalah optimasi, mempelajari fungsi monotonisitas dan ekstrem. $\perintah baru(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\perintah baru(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\perintah baru(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\perintah baru(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Gambar 1.

Masalah mencari kecepatan sesaat $v(t)$ menggunakan turunan sepanjang lintasan yang telah diketahui sebelumnya, yang dinyatakan dengan fungsi $s(t)$, juga dipertimbangkan.

Gambar 2.

Masalah invers juga sangat umum, ketika Anda perlu mencari jalur $s(t)$ yang dilalui suatu titik waktu $t$, dengan mengetahui kecepatan titik $v(t)$. Jika kita ingat, kecepatan sesaat $v(t)$ ditemukan sebagai turunan dari fungsi jalur $s(t)$: $v(t)=s'(t)$. Artinya untuk menyelesaikan soal invers, yaitu menghitung lintasan, Anda perlu mencari fungsi yang turunannya sama dengan fungsi kecepatan. Namun kita mengetahui bahwa turunan lintasan adalah kecepatan, yaitu: $s'(t) = v(t)$. Kecepatan sama dengan percepatan dikali waktu: $v=at$. Sangat mudah untuk menentukan bahwa fungsi jalur yang diinginkan akan memiliki bentuk: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Tapi ini bukanlah solusi yang lengkap. Solusi lengkapnya akan berbentuk: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, dengan $C$ adalah suatu konstanta. Mengapa demikian akan dibahas lebih lanjut. Untuk saat ini, mari kita periksa kebenaran solusi yang ditemukan: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =di=v( t)$.

Perlu dicatat bahwa menemukan jalur dengan kecepatan adalah arti fisik dari antiturunan.

Fungsi yang dihasilkan $s(t)$ disebut antiturunan dari fungsi $v(t)$. Nama yang cukup menarik dan tidak biasa bukan. Mengandung makna agung yang menjelaskan hakikat konsep ini dan menuntun pada pemahamannya. Anda akan melihat bahwa itu berisi dua kata “pertama” dan “gambar”. Mereka berbicara sendiri. Artinya, fungsi inilah yang merupakan fungsi awal dari turunan yang kita miliki. Dan dengan menggunakan turunan ini kita mencari fungsi yang pada mulanya adalah “pertama”, “gambar pertama”, yaitu antiturunan. Kadang-kadang juga disebut fungsi primitif atau antiturunan.

Seperti yang telah kita ketahui, proses mencari turunan disebut diferensiasi. Dan proses menemukan antiturunannya disebut integrasi. Operasi integrasi merupakan kebalikan dari operasi diferensiasi. Hal sebaliknya juga benar.

Definisi. Antiturunan untuk suatu fungsi $f(x)$ pada interval tertentu adalah fungsi $F(x)$ yang turunannya sama dengan fungsi ini $f(x)$ untuk semua $x$ dari interval yang ditentukan: $F' (x)=f (x)$.

Seseorang mungkin memiliki pertanyaan: dari mana asal definisi $F(x)$ dan $f(x)$, jika awalnya kita berbicara tentang $s(t)$ dan $v(t)$. Faktanya adalah $s(t)$ dan $v(t)$ adalah kasus khusus dari penunjukan fungsi yang memiliki arti khusus dalam hal ini, yaitu masing-masing merupakan fungsi waktu dan fungsi kecepatan. Sama halnya dengan variabel $t$ - ini menunjukkan waktu. Dan $f$ dan $x$ masing-masing merupakan varian tradisional dari sebutan umum suatu fungsi dan variabel. Sebaiknya berikan perhatian khusus pada notasi antiturunan $F(x)$. Pertama-tama, $F$ adalah modal. Antiturunan ditunjukkan dengan huruf kapital. Kedua, hurufnya sama: $F$ dan $f$. Artinya, untuk fungsi $g(x)$ antiturunannya akan dilambangkan dengan $G(x)$, untuk $z(x)$ – dengan $Z(x)$. Apapun notasinya, aturan untuk mencari fungsi antiturunan selalu sama.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1. Buktikan bahwa fungsi $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ merupakan antiturunan dari fungsi $f(x)=\cos5x$.

Untuk membuktikannya, kita akan menggunakan definisi, atau lebih tepatnya fakta bahwa $F'(x)=f(x)$, dan mencari turunan dari fungsi $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Artinya $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ adalah antiturunan dari $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Contoh 2. Temukan fungsi mana yang sesuai dengan antiturunan berikut: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \dosa l$.

Untuk mencari fungsi yang diperlukan, mari kita hitung turunannya:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Contoh 3. Berapakah antiturunan untuk $f(x)=0$?
Mari kita gunakan definisinya. Mari kita pikirkan fungsi mana yang memiliki turunan sama dengan $0$. Mengingat tabel turunan, kita menemukan bahwa konstanta apa pun akan memiliki turunan seperti itu. Kami menemukan bahwa antiturunan yang kami cari adalah: $F(x)= C$.

Solusi yang dihasilkan dapat dijelaskan secara geometris dan fisika. Secara geometris, ini berarti garis singgung grafik $y=F(x)$ adalah horizontal pada setiap titik pada grafik ini dan oleh karena itu, berimpit dengan sumbu $Ox$. Secara fisis dijelaskan oleh kenyataan bahwa suatu titik yang kecepatannya sama dengan nol tetap berada di tempatnya, yaitu lintasan yang dilaluinya tidak berubah. Berdasarkan hal tersebut, kita dapat merumuskan teorema berikut.

Dalil. (Tanda keteguhan fungsi). Jika pada suatu interval $F’(x) = 0$, maka fungsi $F(x)$ pada interval tersebut adalah konstan.

Contoh 4. Tentukan fungsi mana yang merupakan antiturunan dari a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, dimana $a$ adalah suatu bilangan.
Dengan menggunakan definisi antiturunan, kita menyimpulkan bahwa untuk menyelesaikan masalah ini kita perlu menghitung turunan dari fungsi antiturunan yang diberikan kepada kita. Saat menghitung, ingatlah bahwa turunan dari suatu konstanta, yaitu bilangan apa pun, sama dengan nol.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\kiri(\frac(x^7)(7) – 3\kanan)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Apa yang kita lihat? Beberapa fungsi berbeda merupakan primitif dari fungsi yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa fungsi apa pun memiliki antiturunan yang jumlahnya tak terhingga, dan berbentuk $F(x) + C$, dengan $C$ adalah konstanta sembarang. Artinya, operasi integrasi bersifat multinilai, tidak seperti operasi diferensiasi. Berdasarkan hal tersebut, mari kita rumuskan teorema yang menjelaskan sifat utama antiturunan.

Dalil. (Properti utama antiturunan). Biarkan fungsi $F_1$ dan $F_2$ menjadi antiturunan dari fungsi $f(x)$ pada interval tertentu. Maka untuk semua nilai dari interval ini persamaan berikut ini benar: $F_2=F_1+C$, di mana $C$ adalah suatu konstanta.

Fakta adanya antiturunan dalam jumlah tak terhingga dapat diinterpretasikan secara geometris. Dengan menggunakan translasi paralel sepanjang sumbu $Oy$, seseorang dapat memperoleh grafik dua antiturunan untuk $f(x)$ satu sama lain. Inilah arti geometris dari antiturunan.

Sangat penting untuk memperhatikan fakta bahwa dengan memilih konstanta $C$ Anda dapat memastikan bahwa grafik antiturunan melewati titik tertentu.

Gambar 3.

Contoh 5. Tentukan antiturunan dari fungsi $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ yang grafiknya melalui titik $(3; 1)$.
Pertama-tama mari kita cari semua antiturunan untuk $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Selanjutnya kita akan mencari bilangan C yang grafik $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ melalui titik $(3; 1)$. Untuk melakukan ini, kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan grafik dan selesaikan dengan $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Kami memperoleh grafik $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, yang sesuai dengan antiturunan $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabel antiturunan

Tabel rumus mencari antiturunan dapat disusun dengan menggunakan rumus mencari turunan.

Tabel antiturunan

Fungsi	Antiturunan
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\dalam R$	$kapak+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\gaya tampilan \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\dosa x$	$-\cos x+C$
$\karena x$	$\dosa x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\gaya tampilan \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tgx+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\gaya tampilan \frac(1)(1+x^2)$	$\arctgx+C$
$\gaya tampilan -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Anda dapat memeriksa kebenaran tabel dengan cara berikut: untuk setiap himpunan antiturunan yang terletak di kolom kanan, temukan turunannya, yang akan menghasilkan fungsi yang sesuai di kolom kiri.

Beberapa aturan untuk menemukan antiturunan

Seperti diketahui, banyak fungsi memiliki bentuk yang lebih kompleks daripada yang ditunjukkan dalam tabel antiturunan, dan dapat berupa kombinasi sembarang jumlah dan produk fungsi dari tabel ini. Dan di sini muncul pertanyaan: bagaimana cara menghitung antiturunan dari fungsi tersebut. Misalnya, dari tabel kita mengetahui cara menghitung antiturunan dari $x^3$, $\sin x$ dan $10$. Bagaimana, misalnya, seseorang dapat menghitung antiturunan $x^3-10\sin x$? Ke depan, perlu dicatat bahwa ini akan sama dengan $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Jika $F(x)$ adalah antiturunan untuk $f(x)$, $G(x)$ untuk $g(x)$, maka untuk $f(x)+g(x)$ antiturunannya adalah sama dengan $F(x)+G(x)$.
2. Jika $F(x)$ adalah antiturunan untuk $f(x)$ dan $a$ adalah konstanta, maka untuk $af(x)$ antiturunannya adalah $aF(x)$.
3. Jika untuk $f(x)$ antiturunannya adalah $F(x)$, $a$ dan $b$ adalah konstanta, maka $\frac(1)(a) F(ax+b)$ adalah antiturunannya untuk $f (kapak+b)$.
Dengan menggunakan aturan yang diperoleh kita dapat memperluas tabel antiturunan.

Fungsi	Antiturunan
$(kapak+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(kapak+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\gaya tampilan -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Contoh 5. Temukan antiturunan untuk:

a) $\gaya tampilan 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Tabel antiturunan

Dengan menggunakan sifat-sifat integral tak tentu dan tabel integral fundamental,
Anda dapat mengintegrasikan beberapa fungsi.

TEKNIK INTEGRASI
Metode substitusi

Metode yang paling umum dalam mengintegrasikan fungsi adalah metode
substitusi, yang diterapkan ketika integral yang dicari
bersifat tabular, tetapi melalui serangkaian transformasi dasar hal ini dapat terjadi
direduksi menjadi sebuah tabel.

variabel t diganti dengan variabel / menggunakan rumus x=φ(t) dan,
oleh karena itu, dx adalah produk dari φ"(t)dt.

Integrasi berdasarkan bagian

Contoh: Anda perlu mencari integralnya

Di sini, garis vertikal ganda mengapit semua perhitungan itu
adalah persiapan untuk menerapkan rumus integrasi
bagian. Entri persiapan dapat diambil di luar persamaan.

INTEGRAL PASTI

Tugas. Tentukan pertambahan fungsi yang merupakan antiturunan dari fungsi f(x), kapan
transisi argumen x dari nilai a ke nilai b.
Larutan. Mari kita asumsikan bahwa melalui integrasi kita telah menemukan

Seperti yang bisa kita lihat, dalam ekspresi kenaikan fungsi antiturunan F(x) + C 1
tidak ada nilai konstanta C1. Dan karena C 1 berarti apa saja
diberi nomor, maka hasil yang diperoleh mengarah pada kesimpulan sebagai berikut: kapan
transisi argumen x dari nilai x=a ke nilai x=b, semua fungsi F(x) + C,
antiturunan untuk fungsi tertentu f(x) memiliki kenaikan yang sama dengan
F(b)-F(a).

Kenaikan ini biasanya disebut integral tertentu dan dilambangkan
simbol

Jadi, integral yang diperlukan sama dengan 6.

Arti geometris dari integral tertentu

1. Temukan luas salah satu busur sinusoidal.

Tubuh revolusi ditunjukkan pada gambar.
Untuk pesawat saya akan memilih pesawat xy.

Contoh No.2. Mencari integral tertentu dengan menggunakan metode perubahan variabel
integrasi

Contoh No.3. Menemukan integral tertentu dengan mengintegrasikannya
bagian.

Hubungan antara massa m dan kepadatan p:

Hubungan antara muatan listrik q dan arus I:

Hubungan antara kapasitas kalor c dan banyaknya kalor Q:

Deskripsi pergerakan cairan kental, darah melalui pembuluh, distribusi
tekanan darah dalam sistem kardiovaskular, termal, listrik,
proses magnetik dan optik yang terkait dengan kehidupan
organisme, membutuhkan penggunaan integrasi.

PELATIHAN: CONTOH PEMECAHAN

titik berubah menurut hukum v = (6t +7) m/s

Tentukan bagaimana jarak yang ditempuh bergantung pada waktu jika kecepatan benda
titik berubah menurut hukum v = (6t +7) m/s, jika diketahui pada momen awal

waktu (t=0), titik material berada pada jarak s 0 = 4m dari titik awal

Hitunglah usaha yang dilakukan pegas ketika pegas diperpanjang dari x 1 ke x 2.
Larutan.

Untuk mengintegrasikan fungsi ini, Anda perlu melakukan penggantian
variabel

Karena terdapat 4 2 ≤2 pada ruas [-1;2], maka luas S dari gambar tersebut dihitung
dengan cara berikut:

Larutan.
kamu=sinx
du = cosxdx

batas integrasi baru: u 1 = 0 (karena x 1 = 0, mari kita substitusikan nilai ini ke nilai baru
fungsi - u = sinx, u 1 = sinx 1 = 0)

munculnya arus induksi di dalamnya,

menjawab:

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung syarat-syarat
fungsi, turunannya dari berbagai ordo dan variabel bebas.
Teori persamaan diferensial muncul pada akhir abad ke-17 di bawah
pengaruh kebutuhan mekanika dan disiplin ilmu alam lainnya,
pada dasarnya bersamaan dengan kalkulus integral dan
kalkulus diferensial.

Persamaan diferensial paling sederhana telah ditemukan dalam karya I.
Newton dan G. Leibniz; istilah "persamaan diferensial"
milik Leibniz. Soal mencari integral tak tentu F(x)
fungsi f(x) Newton dianggap hanya sebagai kasus khusus kedua
tugas. Inilah pendekatan yang dilakukan Newton, sebagai pencipta fondasi
ilmu alam matematika sepenuhnya dibenarkan: dalam skala yang sangat besar
Dalam banyak kasus, hukum alam yang mengatur proses tertentu,
dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial, dan perhitungan alirannya
proses direduksi menjadi penyelesaian persamaan diferensial.

Dua contoh sederhana berikut ini mungkin dapat memberikan gambaran
apa yang dikatakan.

1) Jika suatu benda dipanaskan sampai suhu T ditempatkan dalam suatu medium yang suhunya
yang sama dengan nol, maka dalam kondisi tertentu kita dapat berasumsi bahwa
kenaikan ΔT (negatif dalam kasus T> 0) suhunya lebih kecil
interval waktu Δt dinyatakan dengan rumus yang cukup akurat

di mana k adalah koefisien konstan. Saat memproses ini secara matematis
tugas fisik dianggap dilakukan tepat sesuai dengan
rasio pembatas antar perbedaan

yaitu, persamaan diferensial berlaku

dimana T menunjukkan turunan no t.

meregangkan pegas, membawa beban ke dalam
pergerakan. Jika x(t) menunjukkan
besarnya penyimpangan tubuh dari
posisi keseimbangan saat ini
waktu t, maka percepatan benda
dinyatakan dengan turunan ke-2 x" (t).
Gaya tx" (t) yang bekerja pada benda tersebut adalah
dengan bentangan kecil mata air
menurut hukum teori elastisitas sebanding dengan simpangan x (t). Itu.,
kita mendapatkan persamaan diferensial

Solusinya terlihat seperti:

Pelajaran ini adalah yang pertama dari serangkaian video tentang integrasi. Di dalamnya kita akan menganalisis apa itu antiturunan suatu fungsi, dan juga mempelajari metode dasar untuk menghitung antiturunan ini.

Sebenarnya tidak ada yang ribet disini: intinya semuanya bermuara pada konsep turunan yang pastinya sudah Anda familiar :).

Saya akan segera mencatat bahwa karena ini adalah pelajaran pertama dalam topik baru kita, hari ini tidak akan ada perhitungan dan rumus yang rumit, tetapi apa yang akan kita pelajari hari ini akan menjadi dasar untuk perhitungan dan konstruksi yang jauh lebih kompleks saat menghitung integral dan luas yang kompleks. .

Selain itu, ketika mulai mempelajari integrasi dan integral pada khususnya, secara implisit kami berasumsi bahwa siswa setidaknya sudah familiar dengan konsep turunan dan setidaknya memiliki keterampilan dasar dalam menghitungnya. Tanpa pemahaman yang jelas mengenai hal ini, maka sama sekali tidak ada yang bisa dilakukan dalam integrasi.

Namun, di sinilah letak salah satu masalah paling umum dan berbahaya. Faktanya, ketika mulai menghitung antiturunan pertamanya, banyak siswa yang salah mengartikannya dengan turunan. Akibatnya, kesalahan bodoh dan menyinggung terjadi selama ujian dan pekerjaan mandiri.

Oleh karena itu, sekarang saya tidak akan memberikan definisi yang jelas tentang antiturunan. Sebagai imbalannya, saya sarankan Anda melihat cara penghitungannya menggunakan contoh spesifik sederhana.

Apa itu antiturunan dan bagaimana cara menghitungnya?

Kita tahu rumus ini:

\[((\kiri(((x)^(n)) \kanan))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Turunan ini dihitung secara sederhana:

\[(f)"\kiri(x \kanan)=((\kiri(((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Mari kita perhatikan baik-baik ekspresi yang dihasilkan dan nyatakan $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\kiri(((x)^(3)) \kanan))^(\prime )))(3)\]

Namun kita dapat menuliskannya seperti ini, sesuai dengan definisi turunan:

\[((x)^(2))=((\kiri(\frac(((x)^(3)))(3) \kanan))^(\prime ))\]

Dan sekarang perhatian: yang baru saja kami tulis adalah definisi antiturunan. Namun untuk menulisnya dengan benar, Anda perlu menulis yang berikut ini:

Mari kita tulis ekspresi berikut dengan cara yang sama:

Jika kita menggeneralisasi aturan ini, kita dapat memperoleh rumus berikut:

\[((x)^(n))\ke \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sekarang kita dapat merumuskan definisi yang jelas.

Antiturunan suatu fungsi adalah suatu fungsi yang turunannya sama dengan fungsi aslinya.

Pertanyaan tentang fungsi antiturunan

Tampaknya definisi ini cukup sederhana dan dapat dimengerti. Namun, setelah mendengarnya, siswa yang penuh perhatian akan langsung memiliki beberapa pertanyaan:

1. Katakanlah oke, rumus ini benar. Namun, dalam kasus ini, dengan $n=1$, kita mempunyai masalah: “nol” muncul di penyebut, dan kita tidak dapat membagi dengan “nol”.
2. Rumusnya hanya sebatas derajat saja. Cara menghitung antiturunan, misalnya sinus, kosinus, dan trigonometri lainnya, serta konstanta.
3. Pertanyaan eksistensial: apakah selalu mungkin menemukan antiturunan? Jika ya, lalu bagaimana dengan antiturunan dari jumlah, selisih, hasil kali, dan sebagainya?

Saya akan segera menjawab pertanyaan terakhir. Sayangnya, antiturunan, tidak seperti turunan, tidak selalu dipertimbangkan. Tidak ada rumus universal dimana dari konstruksi awal mana pun kita akan memperoleh fungsi yang sama dengan konstruksi serupa ini. Mengenai pangkat dan konstanta, kita akan membicarakannya sekarang.

Memecahkan masalah dengan fungsi daya

\[((x)^(-1))\ke \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Seperti yang Anda lihat, rumus untuk $((x)^(-1))$ ini tidak berfungsi. Timbul pertanyaan: lalu apa yang berhasil? Tidak bisakah kita menghitung $((x)^(-1))$? Tentu saja kita bisa. Mari kita ingat ini dulu:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Sekarang mari kita pikirkan: turunan dari fungsi mana yang sama dengan $\frac(1)(x)$. Tentunya, setiap siswa yang telah mempelajari topik ini setidaknya sedikit akan mengingat bahwa ungkapan ini sama dengan turunan dari logaritma natural:

\[((\kiri(\ln x \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Oleh karena itu, kami dengan yakin dapat menulis yang berikut ini:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ke \ln x\]

Rumus ini perlu Anda ketahui, sama seperti turunan fungsi pangkat.

Jadi apa yang kita ketahui sejauh ini:

• Untuk fungsi pangkat - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Untuk konstanta - $=const\to \cdot x$
• Kasus khusus dari fungsi pangkat adalah $\frac(1)(x)\to \ln x$

Dan jika kita mulai mengalikan dan membagi fungsi yang paling sederhana, lalu bagaimana kita bisa menghitung antiturunan suatu hasil kali atau hasil bagi. Sayangnya, analogi dengan turunan suatu produk atau hasil bagi tidak dapat diterapkan di sini. Tidak ada rumus baku. Untuk beberapa kasus, ada rumus khusus yang rumit - kita akan mengenalnya di video tutorial selanjutnya.

Namun perlu diingat: tidak ada rumus umum yang serupa dengan rumus menghitung turunan hasil bagi dan hasil kali.

Memecahkan masalah nyata

Tugas No.1

Mari kita hitung masing-masing fungsi daya secara terpisah:

\[((x)^(2))\ke \frac(((x)^(3)))(3)\]

Kembali ke ekspresi kami, kami menulis konstruksi umum:

Masalah No.2

Seperti yang telah saya katakan, prototipe karya dan detailnya tidak dipertimbangkan “to the point”. Namun, di sini Anda dapat melakukan hal berikut:

Kami memecah pecahan menjadi jumlah dua pecahan.

Mari kita berhitung:

Kabar baiknya adalah dengan mengetahui rumus menghitung antiturunan, Anda sudah dapat menghitung struktur yang lebih kompleks. Namun, mari kita melangkah lebih jauh dan memperluas pengetahuan kita lebih jauh lagi. Faktanya adalah banyak konstruksi dan ekspresi yang sekilas tidak ada hubungannya dengan $((x)^(n))$, dapat direpresentasikan sebagai pangkat dengan eksponen rasional, yaitu:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Semua teknik ini dapat dan harus digabungkan. Ekspresi kekuatan bisa saja

• kalikan (tambahkan derajat);
• bagi (derajat dikurangi);
• kalikan dengan konstanta;
• dll.

Memecahkan ekspresi pangkat dengan eksponen rasional

Contoh No.1

Mari kita hitung setiap root secara terpisah:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\ke \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\ke \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Secara total, keseluruhan konstruksi kami dapat ditulis sebagai berikut:

Contoh No.2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \kanan))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \kanan))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Oleh karena itu kita mendapatkan:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\ke \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Secara total, dengan mengumpulkan semuanya menjadi satu ekspresi, kita dapat menulis:

Contoh No.3

Untuk memulainya, kita perhatikan bahwa kita telah menghitung $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\ke \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\ke \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Mari kita menulis ulang:

Saya harap saya tidak akan mengejutkan siapa pun jika saya mengatakan bahwa apa yang baru saja kita pelajari hanyalah perhitungan antiturunan yang paling sederhana, konstruksi paling dasar. Sekarang mari kita lihat contoh yang sedikit lebih kompleks, di mana selain antiturunan tabel, Anda juga perlu mengingat kurikulum sekolah, yaitu rumus perkalian yang disingkat.

Memecahkan contoh yang lebih kompleks

Tugas No.1

Mari kita mengingat kembali rumus selisih kuadrat:

\[((\kiri(a-b \kanan))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Mari kita tulis ulang fungsi kita:

Kita sekarang harus menemukan prototipe dari fungsi tersebut:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\ke \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\ke \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Mari kita satukan semuanya menjadi satu desain umum:

Masalah No.2

Dalam hal ini, kita perlu memperluas kubus selisihnya. Mari kita ingat:

\[((\kiri(a-b \kanan))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Dengan mempertimbangkan fakta ini, kita dapat menulisnya seperti ini:

Mari kita ubah sedikit fungsi kita:

Kami menghitung seperti biasa - untuk setiap istilah secara terpisah:

\[((x)^(-3))\ke \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\ke \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ke \ln x\]

Mari kita tuliskan konstruksi yang dihasilkan:

Soal No.3

Di bagian atas kita memiliki kuadrat dari jumlah tersebut, mari kita perluas:

\[\frac(((\kiri(x+\sqrt(x) \kanan))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\kiri(\sqrt(x) \kanan))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\ke \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Mari kita tulis solusi terakhirnya:

Sekarang perhatian! Suatu hal yang sangat penting, yang terkait dengan sebagian besar kesalahan dan kesalahpahaman. Faktanya adalah sampai saat ini, menghitung antiturunan dengan bantuan turunan dan melakukan transformasi, kita tidak memikirkan apa yang sama dengan turunan dari suatu konstanta. Tetapi turunan suatu konstanta sama dengan “nol”. Ini berarti Anda dapat menulis opsi berikut:

1. $((x)^(2))\ke \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\ke \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\ke \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Hal ini sangat penting untuk dipahami: jika turunan suatu fungsi selalu sama, maka fungsi yang sama tersebut mempunyai jumlah antiturunan yang tak terhingga. Kita cukup menambahkan bilangan konstan apa pun ke antiturunan kita dan mendapatkan bilangan baru.

Bukan suatu kebetulan jika dalam penjelasan soal yang baru saja kita selesaikan, tertulis “Tuliskan bentuk umum antiturunan”. Itu. Sudah diasumsikan sebelumnya bahwa tidak ada satu pun, tetapi banyak sekali. Namun kenyataannya, keduanya hanya berbeda pada konstanta $C$ di akhir. Oleh karena itu, dalam tugas kami, kami akan memperbaiki apa yang tidak kami selesaikan.

Sekali lagi kami menulis ulang konstruksi kami:

Dalam kasus seperti itu, Anda harus menambahkan bahwa $C$ adalah konstanta - $C=const$.

Dalam fungsi kedua kita mendapatkan konstruksi berikut:

Dan yang terakhir:

Dan sekarang kami benar-benar mendapatkan apa yang diminta dari kami dalam kondisi awal masalahnya.

Menyelesaikan masalah pencarian antiturunan dengan suatu titik tertentu

Sekarang setelah kita mengetahui tentang konstanta dan kekhasan penulisan antiturunan, cukup logis bahwa jenis masalah berikutnya muncul ketika, dari himpunan semua antiturunan, diperlukan untuk menemukan satu-satunya yang dapat melewati suatu titik tertentu. . Apa tugas ini?

Faktanya adalah bahwa semua antiturunan dari suatu fungsi tertentu hanya berbeda karena mereka digeser secara vertikal sebanyak angka tertentu. Artinya, titik mana pun pada bidang koordinat yang kita ambil, satu antiturunan pasti akan lewat, dan terlebih lagi, hanya satu.

Jadi, permasalahan yang akan kita selesaikan sekarang dirumuskan sebagai berikut: tidak sekedar mencari antiturunannya, mengetahui rumus fungsi aslinya, tetapi memilih dengan tepat salah satu yang melalui titik tertentu, yang koordinatnya akan diberikan dalam soal. penyataan.

Contoh No.1

Pertama, mari kita hitung setiap suku:

\[((x)^(4))\ke \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\ke \frac(((x)^(4)))(4)\]

Sekarang kita substitusikan ekspresi ini ke dalam konstruksi kita:

Fungsi ini harus melewati titik $M\left(-1;4 \right)$. Apa maksudnya melewati suatu titik? Artinya, jika alih-alih $x$ kita meletakkan $-1$ di mana pun, dan alih-alih $F\left(x \right)$ - $-4$, maka kita akan mendapatkan persamaan numerik yang benar. Mari kita lakukan:

Kita melihat bahwa kita mempunyai persamaan untuk $C$, jadi mari kita coba menyelesaikannya:

Mari tuliskan solusi yang kita cari:

Contoh No.2

Pertama-tama, Anda perlu mengungkap kuadrat selisihnya menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

\[((x)^(2))\ke \frac(((x)^(3)))(3)\]

Konstruksi aslinya akan ditulis sebagai berikut:

Sekarang cari $C$: gantikan koordinat titik $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Kami menyatakan $C$:

Tetap menampilkan ekspresi akhir:

Memecahkan masalah trigonometri

Sebagai sentuhan terakhir dari apa yang baru saja kita diskusikan, saya mengusulkan untuk mempertimbangkan dua masalah yang lebih kompleks yang melibatkan trigonometri. Di dalamnya, dengan cara yang sama, Anda perlu mencari antiturunan untuk semua fungsi, lalu memilih dari himpunan ini satu-satunya yang melewati titik $M$ pada bidang koordinat.

Ke depan, saya ingin mencatat bahwa teknik yang sekarang akan kita gunakan untuk mencari antiturunan fungsi trigonometri sebenarnya adalah teknik universal untuk pengujian mandiri.

Tugas No.1

Mari kita ingat rumus berikut:

\[((\kiri(\teks(tg)x \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Berdasarkan hal tersebut, kita dapat menulis:

Mari kita substitusikan koordinat titik $M$ ke dalam ekspresi kita:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Mari kita tulis ulang ekspresi tersebut dengan mempertimbangkan fakta ini:

Masalah No.2

Ini akan menjadi sedikit lebih rumit. Sekarang Anda akan tahu alasannya.

Mari kita ingat rumus ini:

\[((\kiri(\teks(ctg)x \kanan))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Untuk menghilangkan "minus", Anda perlu melakukan hal berikut:

\[((\kiri(-\teks(ctg)x \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Ini desain kami

Mari kita substitusikan koordinat titik $M$:

Secara total, kami menuliskan konstruksi akhir:

Hanya itu yang ingin saya ceritakan kepada Anda hari ini. Kita mempelajari istilah antiturunan itu sendiri, cara menghitungnya dari fungsi dasar, dan juga cara mencari antiturunan yang melalui suatu titik tertentu pada bidang koordinat.

Saya harap pelajaran ini akan membantu Anda setidaknya sedikit memahami topik kompleks ini. Bagaimanapun, pada antiturunan itulah integral tak tentu dan integral tak tentu dibangun, sehingga mutlak diperlukan untuk menghitungnya. Itu saja untukku. Sampai jumpa lagi!

Empat metode utama integrasi tercantum di bawah ini.

1) Aturan untuk mengintegrasikan jumlah atau selisih.
.
Di sini dan di bawah u, v, w adalah fungsi dari variabel integrasi x.

2) Memindahkan konstanta ke luar tanda integral.
Misalkan c adalah konstanta yang tidak bergantung pada x. Kemudian dapat dikeluarkan dari tanda integralnya.

3) Metode penggantian variabel.
Mari kita pertimbangkan integral tak tentu.
Jika kita dapat menemukan fungsi seperti itu φ (X) dari x, jadi
,
kemudian, dengan mengganti variabel t = φ(x) , kita mendapatkan
.

4) Rumus integrasi per bagian.
,
dimana u dan v adalah fungsi dari variabel integrasi.

Tujuan akhir penghitungan integral tak tentu adalah, melalui transformasi, untuk mereduksi suatu integral tertentu menjadi integral paling sederhana, yang disebut integral tabel. Integral tabel dinyatakan dalam fungsi dasar menggunakan rumus yang diketahui.
Lihat Tabel Integral >>>

Contoh

Hitung integral tak tentu

Larutan

Kita perhatikan bahwa integral adalah jumlah dan selisih tiga suku:
, Dan .
Menerapkan metode 1 .

Selanjutnya, kita perhatikan bahwa integral dari integral baru dikalikan dengan konstanta 5, 4, Dan 2 , masing-masing. Menerapkan metode 2 .

Dalam tabel integral kita menemukan rumusnya
.
Dengan asumsi n = 2 , kita cari integral pertama.

Mari kita tulis ulang integral kedua dalam bentuk
.
Kami memperhatikan hal itu. Kemudian

Mari kita gunakan cara ketiga. Kita ubah variabel t = φ (x) = catatan x.
.
Dalam tabel integral kita menemukan rumusnya

Karena variabel integrasi dapat dilambangkan dengan huruf apa saja, maka

Mari kita tulis ulang integral ketiga dalam bentuk
.
Kami menerapkan rumus integrasi per bagian.
Mari kita jelaskan.
Kemudian
;
;

;
;
.

Akhirnya kita punya
.
Mari kita kumpulkan suku-sukunya dengan x 3 .
.

Menjawab

Referensi:
N.M. Gunter, RO. Kuzmin, Kumpulan Masalah Matematika Tinggi, “Lan”, 2003.

Di halaman ini Anda akan menemukan:

1. Sebenarnya tabel antiturunan - dapat diunduh dalam format PDF dan dicetak;

2. Video tentang cara menggunakan tabel ini;

3. Kumpulan contoh penghitungan antiturunan dari berbagai buku teks dan tes.

Dalam video itu sendiri, kami akan menganalisis banyak masalah yang memerlukan penghitungan fungsi antiturunan, seringkali cukup rumit, tetapi yang terpenting, fungsi tersebut bukan fungsi pangkat. Semua fungsi yang dirangkum dalam tabel di atas harus dihafal, seperti turunannya. Tanpa mereka, studi lebih lanjut tentang integral dan penerapannya untuk memecahkan masalah praktis tidak mungkin dilakukan.

Hari ini kita terus mempelajari primitif dan beralih ke topik yang sedikit lebih kompleks. Jika sebelumnya kita hanya melihat antiturunan dari fungsi pangkat dan konstruksi yang sedikit lebih kompleks, hari ini kita akan melihat trigonometri dan banyak lagi.

Seperti yang saya katakan di pelajaran terakhir, antiturunan, tidak seperti turunan, tidak pernah diselesaikan secara “langsung” menggunakan aturan standar apa pun. Selain itu, kabar buruknya adalah, tidak seperti turunannya, antiturunan mungkin tidak dipertimbangkan sama sekali. Jika kita menulis fungsi yang benar-benar acak dan mencoba mencari turunannya, maka dengan probabilitas yang sangat tinggi kita akan berhasil, tetapi antiturunannya hampir tidak pernah dihitung dalam kasus ini. Namun ada kabar baik: terdapat kelas fungsi yang cukup besar yang disebut fungsi dasar, yang antiturunannya sangat mudah dihitung. Dan semua struktur kompleks lainnya yang diberikan pada semua jenis tes, tes independen, dan ujian, pada kenyataannya, terdiri dari fungsi-fungsi dasar ini melalui penjumlahan, pengurangan, dan tindakan sederhana lainnya. Prototipe fungsi-fungsi tersebut telah lama dihitung dan disusun menjadi tabel khusus. Fungsi dan tabel inilah yang akan kita kerjakan hari ini.

Tapi kita akan mulai, seperti biasa, dengan pengulangan: mari kita ingat apa itu antiturunan, mengapa jumlahnya tak terhingga banyaknya, dan bagaimana menentukan tampilan umumnya. Untuk melakukan ini, saya mengambil dua masalah sederhana.

Memecahkan contoh mudah

Contoh No.1

Mari kita segera perhatikan bahwa $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ dan secara umum keberadaan $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ segera memberi petunjuk kepada kita bahwa antiturunan yang diperlukan dari fungsi tersebut terkait dengan trigonometri. Dan memang benar, jika kita melihat tabelnya, kita akan menemukan bahwa $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ tidak lebih dari $\text(arctg)x$. Jadi mari kita tuliskan:

Untuk menemukannya, Anda perlu menuliskan yang berikut ini:

\[\frac(\pi )(6)=\teks(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Contoh No.2

Kita juga berbicara tentang fungsi trigonometri di sini. Kalau kita lihat tabelnya, memang seperti ini yang terjadi:

Kita perlu menemukan di antara seluruh himpunan antiturunan yang melewati titik yang ditunjukkan:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Akhirnya mari kita tuliskan:

Sesederhana itu. Satu-satunya masalah adalah untuk menghitung antiturunan dari fungsi sederhana, Anda perlu mempelajari tabel antiturunan. Namun, setelah mempelajari tabel turunannya untuk Anda, saya rasa hal ini tidak akan menjadi masalah.

Menyelesaikan masalah yang mengandung fungsi eksponensial

Untuk memulainya, mari kita tuliskan rumus berikut:

\[((e)^(x))\ke ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\ke \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mari kita lihat bagaimana semua ini bekerja dalam praktiknya.

Contoh No.1

Jika kita melihat isi tanda kurung, kita akan melihat bahwa dalam tabel antiturunan tidak ada ekspresi $((e)^(x))$ berada dalam persegi, jadi persegi tersebut harus diperluas. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

Mari kita cari antiturunan untuk setiap suku:

\[((e)^(2x))=((\kiri(((e)^(2)) \kanan))^(x))\ke \frac(((\kiri(((e)^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\kiri(((e)^(-2)) \kanan))^(x))\ke \frac(((\kiri(((e )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Sekarang mari kita kumpulkan semua suku ke dalam satu ekspresi dan dapatkan antiturunan umum:

Contoh No.2

Kali ini derajatnya lebih besar, sehingga rumus perkalian yang disingkat akan menjadi cukup rumit. Jadi mari kita buka tanda kurungnya:

Sekarang mari kita coba mengambil antiturunan rumus kita dari konstruksi ini:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit atau supernatural dalam antiturunan fungsi eksponensial. Semuanya dihitung melalui tabel, tetapi siswa yang penuh perhatian mungkin akan memperhatikan bahwa antiturunan $((e)^(2x))$ jauh lebih dekat dengan $((e)^(x))$ daripada $((a )^(x ))$. Jadi, mungkin ada aturan khusus yang memungkinkan, dengan mengetahui antiturunan $((e)^(x))$, untuk menemukan $((e)^(2x))$? Ya, aturan seperti itu memang ada. Dan, terlebih lagi, ini merupakan bagian integral dari bekerja dengan tabel antiturunan. Kami sekarang akan menganalisisnya menggunakan ekspresi yang sama yang baru saja kami kerjakan sebagai contoh.

Aturan untuk bekerja dengan tabel antiturunan

Mari kita tulis lagi fungsi kita:

Dalam kasus sebelumnya, kami menggunakan rumus berikut untuk menyelesaikannya:

\[((a)^(x))\ke \frac(((a)^(x)))(\nama operator(lna))\]

Namun sekarang mari kita lakukan dengan sedikit berbeda: mari kita ingat atas dasar apa $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Seperti yang sudah saya katakan, karena turunan $((e)^(x))$ tidak lebih dari $((e)^(x))$, maka antiturunannya akan sama dengan $((e) ^ (x))$. Tapi masalahnya adalah kita memiliki $((e)^(2x))$ dan $((e)^(-2x))$. Sekarang mari kita coba mencari turunan dari $((e)^(2x))$:

\[((\kiri(((e)^(2x)) \kanan))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\kiri(2x \kanan))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Mari kita tulis ulang konstruksi kita lagi:

\[((\kiri(((e)^(2x)) \kanan))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\kiri(\frac(((e)^(2x)))(2) \kanan))^(\prime ))\]

Ini berarti ketika kita menemukan antiturunan $((e)^(2x))$ kita mendapatkan yang berikut:

\[((e)^(2x))\ke \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Seperti yang Anda lihat, kami mendapatkan hasil yang sama seperti sebelumnya, tetapi kami tidak menggunakan rumus untuk mencari $((a)^(x))$. Sekarang ini mungkin tampak bodoh: mengapa mempersulit perhitungan jika ada rumus standar? Namun, dalam ekspresi yang sedikit lebih kompleks Anda akan menemukan bahwa teknik ini sangat efektif, yaitu. menggunakan turunan untuk mencari antiturunan.

Sebagai pemanasan, mari kita cari antiturunan dari $((e)^(2x))$ dengan cara serupa:

\[((\kiri(((e)^(-2x)) \kanan))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \kiri(-2 \kanan)\]

\[((e)^(-2x))=((\kiri(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \kanan))^(\prime ))\]

Saat menghitung, konstruksi kami akan ditulis sebagai berikut:

\[((e)^(-2x))\ke -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\ke -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Kami mendapatkan hasil yang persis sama, tetapi mengambil jalan yang berbeda. Jalur inilah, yang sekarang tampak sedikit lebih rumit bagi kita, yang di masa depan akan menjadi lebih efektif untuk menghitung antiturunan yang lebih kompleks dan menggunakan tabel.

Catatan! Ini adalah poin yang sangat penting: antiturunan, seperti halnya derivatif, dapat dihitung dengan berbagai cara. Namun jika semua perhitungan dan penghitungannya sama, maka jawabannya akan sama. Kita baru saja melihatnya dengan contoh $((e)^(-2x))$ - di satu sisi, kita menghitung antiturunan ini “melalui”, menggunakan definisi dan menghitungnya menggunakan transformasi, di sisi lain, kita ingat bahwa $ ((e)^(-2x))$ dapat direpresentasikan sebagai $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dan baru kemudian kita menggunakan antiturunan untuk fungsi $( (a)^(x))$. Namun, setelah semua transformasi, hasilnya tetap sama, seperti yang diharapkan.

Dan sekarang setelah kita memahami semua ini, sekarang saatnya beralih ke sesuatu yang lebih signifikan. Sekarang kita akan menganalisis dua konstruksi sederhana, namun teknik yang akan digunakan saat menyelesaikannya adalah alat yang lebih kuat dan berguna daripada sekadar “berjalan” di antara antiturunan yang berdekatan dari tabel.

Pemecahan masalah: menemukan antiturunan suatu fungsi

Contoh No.1

Mari kita bagi jumlah yang ada di pembilangnya menjadi tiga pecahan terpisah:

Ini adalah transisi yang cukup alami dan dapat dimengerti - sebagian besar siswa tidak mengalami masalah dengannya. Mari kita tulis ulang ekspresi kita sebagai berikut:

Sekarang mari kita ingat rumus ini:

Dalam kasus kami, kami akan mendapatkan yang berikut:

Untuk menghilangkan semua pecahan tiga lantai ini, saya sarankan melakukan hal berikut:

Contoh No.2

Berbeda dengan pecahan sebelumnya, penyebutnya bukanlah hasil kali, melainkan penjumlahan. Dalam hal ini, kita tidak dapat lagi membagi pecahan kita menjadi jumlah beberapa pecahan sederhana, tetapi kita harus berusaha memastikan bahwa pembilangnya mengandung persamaan yang kira-kira sama dengan penyebutnya. Dalam hal ini, melakukannya cukup sederhana:

Notasi ini, yang dalam bahasa matematika disebut “penjumlahan nol”, akan memungkinkan kita membagi kembali pecahan menjadi dua bagian:

Sekarang mari temukan apa yang kami cari:

Itu semua perhitungannya. Meskipun kompleksitasnya tampak lebih besar daripada soal sebelumnya, jumlah perhitungannya ternyata lebih kecil.

Nuansa solusinya

Dan di sinilah letak kesulitan utama dalam bekerja dengan antiturunan tabel, ini terutama terlihat pada tugas kedua. Faktanya adalah bahwa untuk memilih beberapa elemen yang mudah dihitung melalui tabel, kita perlu mengetahui apa sebenarnya yang kita cari, dan dalam pencarian elemen inilah keseluruhan perhitungan antiturunan terdiri.

Dengan kata lain, tidak cukup hanya dengan menghafal tabel antiturunan - Anda harus dapat melihat sesuatu yang belum ada, tetapi apa maksud penulis dan penyusun masalah ini. Itulah sebabnya banyak matematikawan, guru, dan profesor terus-menerus berdebat: “Apa yang dimaksud dengan antiturunan atau integrasi - apakah itu hanya sebuah alat atau seni yang nyata?” Faktanya, menurut pendapat pribadi saya, integrasi bukanlah sebuah seni sama sekali - tidak ada yang luhur di dalamnya, itu hanya latihan dan lebih banyak latihan. Dan untuk berlatih, mari kita selesaikan tiga contoh yang lebih serius.

Kami melatih integrasi dalam praktik

Tugas No.1

Mari kita tulis rumus berikut:

\[((x)^(n))\ke \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\ke \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\ke \teks(arctg)x\]

Mari kita tulis yang berikut ini:

Masalah No.2

Mari kita tulis ulang sebagai berikut:

Total antiturunan akan sama dengan:

Soal No.3

Kesulitan dari tugas ini adalah, tidak seperti fungsi sebelumnya di atas, tidak ada variabel $x$ sama sekali, mis. tidak jelas bagi kita apa yang harus ditambah atau dikurangi untuk mendapatkan setidaknya sesuatu yang serupa dengan yang di bawah ini. Namun kenyataannya, ekspresi ini dianggap lebih sederhana daripada ekspresi sebelumnya, karena fungsi ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Anda sekarang mungkin bertanya: mengapa fungsi-fungsi ini sama? Mari kita periksa:

Mari kita tulis ulang lagi:

Mari kita ubah sedikit ekspresi kita:

Dan ketika saya menjelaskan semua ini kepada murid-murid saya, masalah yang sama hampir selalu muncul: dengan fungsi pertama semuanya kurang lebih jelas, dengan fungsi kedua Anda juga dapat mengetahuinya dengan keberuntungan atau latihan, tetapi kesadaran alternatif seperti apa yang Anda miliki? perlu dimiliki untuk menyelesaikan contoh ketiga? Sebenarnya, jangan takut. Teknik yang kami gunakan saat menghitung antiturunan terakhir disebut “penguraian suatu fungsi menjadi fungsi yang paling sederhana”, dan ini adalah teknik yang sangat serius, dan pelajaran video terpisah akan dikhususkan untuk itu.

Sementara itu, saya mengusulkan untuk kembali ke apa yang baru saja kita pelajari, yaitu fungsi eksponensial dan agak memperumit masalah isinya.

Masalah yang lebih kompleks untuk menyelesaikan fungsi eksponensial antiturunan

Tugas No.1

Mari kita perhatikan hal berikut:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\kiri(2\cdot 5 \kanan))^(x))=((10)^(x) )\]

Untuk mencari antiturunan dari ekspresi ini, cukup gunakan rumus standar - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Dalam kasus kami, antiturunannya akan seperti ini:

Tentu saja, dibandingkan dengan desain yang baru saja kita selesaikan, desain ini terlihat lebih sederhana.

Masalah No.2

Sekali lagi, mudah untuk melihat bahwa fungsi ini dapat dengan mudah dibagi menjadi dua suku terpisah - dua pecahan terpisah. Mari kita menulis ulang:

Tetap mencari antiturunan dari masing-masing suku ini menggunakan rumus yang dijelaskan di atas:

Meskipun fungsi eksponensial tampak lebih rumit dibandingkan dengan fungsi pangkat, keseluruhan volume penghitungan dan penghitungan ternyata jauh lebih sederhana.

Tentu saja, bagi siswa yang berpengetahuan luas, apa yang baru saja kita diskusikan (terutama dengan latar belakang apa yang telah kita bahas sebelumnya) mungkin tampak seperti ekspresi dasar. Namun, ketika memilih dua soal ini untuk pelajaran video hari ini, saya tidak menetapkan tujuan untuk memberi tahu Anda teknik lain yang rumit dan canggih - yang ingin saya tunjukkan hanyalah bahwa Anda tidak perlu takut menggunakan teknik aljabar standar untuk mengubah fungsi asli .

Menggunakan teknik "rahasia".

Sebagai kesimpulan, saya ingin melihat teknik menarik lainnya, yang, di satu sisi, melampaui apa yang terutama kita diskusikan hari ini, tetapi, di sisi lain, pertama-tama, sama sekali tidak rumit, yaitu. Bahkan siswa pemula pun dapat menguasainya, dan kedua, cukup sering ditemukan dalam semua jenis tes dan pekerjaan mandiri, yaitu. pengetahuan tentangnya akan sangat berguna selain pengetahuan tentang tabel antiturunan.

Tugas No.1

Jelasnya, kita memiliki sesuatu yang sangat mirip dengan fungsi daya. Apa yang harus kita lakukan dalam kasus ini? Mari kita pikirkan: $x-5$ tidak jauh berbeda dengan $x$ - mereka hanya menambahkan $-5$. Mari kita tulis seperti ini:

\[((x)^(4))\ke \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\kiri(\frac(((x)^(5)))(5) \kanan))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Mari kita coba mencari turunan dari $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\kiri(((\kiri(x-5 \kanan))^(5)) \kanan))^(\prime ))=5\cdot ((\kiri(x-5 \kanan)) ^(4))\cdot ((\kiri(x-5 \kanan))^(\prime ))=5\cdot ((\kiri(x-5 \kanan))^(4))\]

Ini menyiratkan:

\[((\kiri(x-5 \kanan))^(4))=((\kiri(\frac(((\kiri(x-5 \kanan))^(5)))(5) \ kanan))^(\prime ))\]

Tidak ada nilai seperti itu dalam tabel, jadi sekarang kita telah menurunkan sendiri rumus ini menggunakan rumus antiturunan standar untuk fungsi pangkat. Mari kita tulis jawabannya seperti ini:

Masalah No.2

Banyak siswa yang melihat solusi pertama mungkin berpikir bahwa semuanya sangat sederhana: cukup ganti $x$ pada fungsi pangkat dengan ekspresi linier, dan semuanya akan beres. Sayangnya, semuanya tidak sesederhana itu, dan sekarang kita akan melihatnya.

Dengan analogi dengan ekspresi pertama, kita menulis yang berikut:

\[((x)^(9))\ke \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\kiri(((\kiri(4-3x \kanan))^(10)) \kanan))^(\prime ))=10\cdot ((\kiri(4-3x \kanan)) ^(9))\cdot ((\kiri(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\kiri(4-3x \kanan))^(9))\cdot \kiri(-3 \kanan)=-30\cdot ((\kiri(4-3x \kanan)) ^(9))\]

Kembali ke turunan kita, kita dapat menulis:

\[((\kiri(((\kiri(4-3x \kanan))^(10)) \kanan))^(\prime ))=-30\cdot ((\kiri(4-3x \kanan) )^(9))\]

\[((\kiri(4-3x \kanan))^(9))=((\kiri(\frac(((\kiri(4-3x \kanan))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]

Ini segera menyusul:

Nuansa solusinya

Harap dicatat: jika tidak ada perubahan mendasar terakhir kali, maka dalam kasus kedua, alih-alih $-10$, $-30$ muncul. Apa perbedaan antara $-10$ dan $-30$? Jelas sekali, dengan faktor $-3$. Pertanyaan: dari mana asalnya? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa ini diambil sebagai hasil perhitungan turunan dari fungsi kompleks - koefisien yang berada pada $x$ muncul pada antiturunan di bawah. Ini adalah aturan yang sangat penting, yang awalnya tidak saya rencanakan untuk dibahas sama sekali dalam video pelajaran hari ini, tetapi tanpanya, presentasi antiturunan tabel tidak akan lengkap.

Jadi mari kita lakukan lagi. Biarkan ada fungsi daya utama kami:

\[((x)^(n))\ke \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Sekarang, alih-alih $x$, mari kita substitusikan ekspresi $kx+b$. Lalu apa yang akan terjadi? Kita perlu menemukan yang berikut ini:

\[((\kiri(kx+b \kanan))^(n))\ke \frac(((\kiri(kx+b \kanan))^(n+1)))(\kiri(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]

Atas dasar apa kami menyatakan hal ini? Sangat sederhana. Mari kita cari turunan dari konstruksi yang ditulis di atas:

\[((\kiri(\frac(((\kiri(kx+b \kanan))^(n+1)))(\kiri(n+1 \kanan)\cdot k) \kanan))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\kiri(kx+b \kanan))^(n))\]

Ini adalah ungkapan yang sama yang awalnya ada. Jadi, rumus ini juga benar, dan dapat digunakan untuk melengkapi tabel antiturunan, atau lebih baik mengingat seluruh tabel saja.

Kesimpulan dari “rahasia: teknik:

• Kedua fungsi yang baru saja kita lihat, pada kenyataannya, dapat direduksi menjadi antiturunan yang ditunjukkan dalam tabel dengan memperluas derajatnya, tetapi jika kita dapat mengatasi derajat keempat, maka saya bahkan tidak akan mempertimbangkan derajat kesembilan. berani mengungkapkannya.
• Jika kita memperluas derajatnya, kita akan mendapatkan begitu banyak perhitungan sehingga tugas sederhana akan memakan banyak waktu.
• Oleh karena itu, soal-soal yang mengandung ekspresi linier tidak perlu diselesaikan secara “cepat”. Segera setelah Anda menemukan antiturunan yang berbeda dari yang ada di tabel hanya dengan adanya ekspresi $kx+b$ di dalamnya, segera ingat rumus yang tertulis di atas, substitusikan ke antiturunan tabel Anda, dan semuanya akan menjadi jauh lebih baik. lebih cepat dan mudah.

Tentu saja, karena kerumitan dan keseriusan teknik ini, kami akan kembali membahasnya berkali-kali dalam pelajaran video mendatang, tetapi itu saja untuk hari ini. Saya harap pembelajaran ini dapat sangat membantu para siswa yang ingin memahami antiturunan dan integrasi.