Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Petunjuk

Tuliskan ekspresi logaritma yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma memiliki angka e sebagai basis, maka ekspresinya ditulis: ln b adalah logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil dari sembarang adalah pangkat yang harus dipangkatkan bilangan dasarnya untuk mendapatkan bilangan b.

Saat mencari jumlah dari dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu, dan menambahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Ketika menemukan turunan dari produk dua fungsi, turunan dari fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan turunan dari fungsi kedua dikalikan dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Untuk menemukan turunan dari hasil bagi dua fungsi, dari hasil kali turunan dikalikan dengan fungsi pembagi, perlu untuk mengurangkan produk turunan dari pembagi dikalikan dengan fungsi pembagi, dan membagi semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika suatu fungsi kompleks diberikan, maka turunan dari fungsi dalam dan turunan luar harus dikalikan. Misalkan y=u(v(x)), lalu y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ada juga tugas untuk menghitung turunan pada suatu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi pada titik yang diberikan y"(1)=8*e^0=8

Video Terkait

Saran yang bermanfaat

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat banyak waktu.

Sumber:

• turunan konstan

Jadi apa perbedaan antara persamaan irasional dan persamaan rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar kuadrat, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

Petunjuk

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode menaikkan kedua sisi persamaan menjadi persegi. Namun. ini wajar, langkah pertama adalah menyingkirkan tanda itu. Secara teknis, metode ini tidak sulit, tetapi terkadang dapat menyebabkan masalah. Misalnya, persamaan v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi, Anda mendapatkan 2x-5=4x-7. Persamaan seperti itu tidak sulit untuk dipecahkan; x=1. Tapi nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Substitusikan satuan dalam persamaan sebagai ganti nilai x. Dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal, yaitu. Nilai seperti itu tidak valid untuk akar kuadrat. Oleh karena itu, 1 adalah akar asing, dan oleh karena itu persamaan ini tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode kuadratkan kedua bagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, perlu untuk memotong akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli.

Pertimbangkan yang lain.
2x+vx-3=0
Tentu saja, persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti sebelumnya. senyawa transfer persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, ke sisi kanan dan kemudian menggunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan dan akar rasional yang dihasilkan. Tapi satu lagi, yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vx=y. Dengan demikian, Anda akan mendapatkan persamaan seperti 2y2+y-3=0. Itu adalah persamaan kuadrat biasa. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vx=1; vx \u003d -3/2. Persamaan kedua tidak memiliki akar, dari persamaan pertama kita temukan bahwa x=1. Jangan lupa tentang perlunya memeriksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup mudah. Ini membutuhkan membuat transformasi identik sampai tujuan tercapai. Jadi, dengan bantuan operasi aritmatika paling sederhana, tugas akan diselesaikan.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - pena.

Petunjuk

Transformasi yang paling sederhana adalah perkalian singkatan aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak rumus trigonometri yang pada dasarnya adalah identitas yang sama.

Memang, kuadrat dari jumlah dua istilah sama dengan kuadrat dari yang pertama ditambah dua kali produk yang pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari yang kedua, yaitu, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Sederhanakan Keduanya

Prinsip umum solusi

Ulangi dari buku teks tentang analisis matematika atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti yang Anda ketahui, solusi integral tertentu adalah fungsi yang turunannya akan menghasilkan integran. Fungsi ini disebut antiturunan. Menurut prinsip ini, integral dasar dibangun.
Tentukan dengan bentuk integran dan integral tabel mana yang cocok dalam kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan ini segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa transformasi untuk menyederhanakan integran.

Metode substitusi variabel

Jika integran adalah fungsi trigonometri yang argumennya polinomial, maka coba gunakan metode perubahan variabel. Untuk melakukannya, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan rasio antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi baru. Dengan mendiferensiasikan ekspresi ini, temukan diferensial baru di . Dengan demikian, Anda akan mendapatkan bentuk baru dari integral lama, dekat atau bahkan sesuai dengan salah satu tabel.

Solusi integral jenis kedua

Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integral tersebut, maka Anda perlu menggunakan aturan untuk berpindah dari integral ini ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah rasio Ostrogradsky-Gauss. Hukum ini memungkinkan untuk berpindah dari aliran rotor dari beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga melalui divergensi dari medan vektor yang diberikan.

Substitusi limit integrasi

Setelah menemukan antiturunan, perlu untuk mensubstitusikan batas-batas integrasi. Pertama, substitusikan nilai batas atas ke dalam ekspresi antiturunan. Anda akan menerima beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari angka yang dihasilkan angka lain, batas bawah yang dihasilkan untuk antiturunan. Jika salah satu batas integrasi adalah tak hingga, maka ketika mensubstitusikannya ke dalam fungsi antiturunan, perlu untuk pergi ke batas dan menemukan apa ekspresi cenderung.
Jika integralnya dua dimensi atau tiga dimensi, maka Anda harus menyatakan batas geometrik integrasi untuk memahami cara menghitung integral tersebut. Memang, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang akan diintegrasikan.

Jadi, kita memiliki kekuatan dua. Jika Anda mengambil nomor dari garis bawah, maka Anda dapat dengan mudah menemukan kekuatan yang Anda miliki untuk meningkatkan dua untuk mendapatkan nomor ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

Logaritma ke basis a dari argumen x adalah pangkat dari bilangan a yang harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan x .

Notasi: log a x \u003d b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b sebenarnya adalah apa yang sama dengan logaritma.

Misalnya, 2 3 = 8 log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Mungkin juga log 2 64 = 6 karena 2 6 = 64 .

Operasi mencari logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi mari kita tambahkan baris baru ke tabel kita:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sayangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Misalnya, coba cari log 2 5 . Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menentukan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat di segmen tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Angka-angka seperti itu disebut irasional: angka-angka setelah titik desimal dapat ditulis tanpa batas, dan tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya, banyak orang bingung di mana dasarnya dan di mana argumennya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Sebelum kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana Anda perlu menaikkan basis untuk mendapatkan argumen. Ini adalah pangkalan yang dinaikkan menjadi kekuatan - dalam gambar itu disorot dengan warna merah. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu aturan yang luar biasa ini kepada murid-murid saya pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.

Kami menemukan definisinya - masih mempelajari cara menghitung logaritma, mis. singkirkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Argumen dan basis harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat oleh eksponen rasional, yang definisi logaritma dikurangi.
2. Basis harus berbeda dari kesatuan, karena satu unit untuk kekuatan apa pun masih merupakan satu unit. Karena itu, pertanyaan “kepada apa seseorang harus dibangkitkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti itu disebut rentang yang valid(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b x > 0 , a > 0 , a 1 .

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Misalnya, logaritma mungkin negatif: log 2 0,5 \u003d -1, karena 0,5 = 2 1 .

Namun, sekarang kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, di mana tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ dari logaritma. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penyusun masalah. Tetapi ketika persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik ikut bermain, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Memang, dalam dasar dan argumen bisa ada konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang pertimbangkan skema umum untuk menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis terkecil yang mungkin lebih besar dari satu. Sepanjang jalan, lebih baik untuk menyingkirkan pecahan desimal;
2. Selesaikan persamaan untuk variabel b: x = a b ;
3. Angka yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritma ternyata irasional, ini akan terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangat relevan: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Demikian pula dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahan akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat bagaimana skema ini bekerja dengan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritma: log 5 25

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
log 5 25 = b (5 1) b = 5 2 5 b = 5 2 b = 2 ;

2. Menerima jawaban: 2.

Tugas. Hitung logaritma:

Tugas. Hitung logaritma: log 4 64

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
   log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 2b = 6 b = 3 ;
3. Menerima jawaban: 3.

Tugas. Hitung logaritma: log 16 1

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
   log 16 1 = b (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 4b = 0 b = 0 ;
3. Menerima tanggapan: 0.

Tugas. Hitung logaritma: log 7 14

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Ini mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Sebuah catatan kecil pada contoh terakhir. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Sangat sederhana - hanya menguraikannya menjadi faktor prima. Jika paling sedikit ada dua faktor yang berbeda dalam pemuaian, bilangan tersebut bukanlah pangkat eksak.

Tugas. Cari tahu apakah pangkat yang tepat dari bilangan tersebut adalah: 8; 48; 81; 35; empat belas .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - derajat yang tepat, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan merupakan pangkat eksak karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - derajat yang tepat;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan gelar yang pasti;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan gelar yang tepat;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga memiliki nama dan sebutan khusus.

Logaritma desimal dari argumen x adalah logaritma basis 10, mis. kekuatan yang Anda butuhkan untuk menaikkan angka 10 untuk mendapatkan angka x. Sebutan: lg x .

Misalnya, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti "Temukan lg 0,01" muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda tidak terbiasa dengan sebutan seperti itu, Anda selalu dapat menulis ulang:
log x = log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga benar untuk desimal.

logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki notasi sendiri. Dalam arti tertentu, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini adalah logaritma natural.

Logaritma natural dari x adalah logaritma basis e, mis. kekuatan yang nomor e harus dinaikkan untuk mendapatkan nomor x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: apa lagi yang nomor e? Ini adalah bilangan irasional, nilai eksaknya tidak dapat ditemukan dan ditulis. Ini hanya angka pertama:
e = 2.718281828459...

Kami tidak akan menyelidiki apa nomor ini dan mengapa itu diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis dari logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - dst. Di sisi lain, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari setiap bilangan rasional adalah irasional. Kecuali, tentu saja, kesatuan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log sebuah x dan log sebuah kamu. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. catatan sebuah x+log sebuah kamu= log sebuah (x · kamu);
2. catatan sebuah x log sebuah kamu= log sebuah (x : kamu).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

log 6 4 + log 6 9.

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 2 48 log 2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 3 135 log 3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tidak ada perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: sebuah > 0, sebuah ≠ 1, x> 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Keterangan gambar]

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:

[Keterangan gambar]

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebutnya sama: log 2 7. Karena log 2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma log sebuah x. Kemudian untuk nomor berapa pun c seperti yang c> 0 dan c 1, persamaannya benar:

[Keterangan gambar]

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

[Keterangan gambar]

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

[Keterangan gambar]

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

[Keterangan gambar]

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaiannya diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, nomor n menjadi eksponen argumen. Nomor n bisa benar-benar apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Ini disebut identitas logaritma dasar.

Memang, apa yang akan terjadi jika nomor b naikkan ke kekuatan sehingga b sejauh ini memberikan nomor sebuah? Itu benar: ini adalah nomor yang sama sebuah. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Keterangan gambar]

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari ujian :)

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, secara mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "maju".

1. catatan sebuah sebuah= 1 adalah satuan logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke basis apa pun sebuah dari dasar ini sendiri adalah sama dengan satu.
2. catatan sebuah 1 = 0 adalah nol logaritmik. Basis sebuah bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya nol! karena sebuah 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma kesatuan. Rumusannya adalah sebagai berikut: logaritma kesatuan sama dengan nol, yaitu, log a 1=0 untuk setiap a>0 , a≠1 . Buktinya sederhana: karena a 0 =1 untuk setiap a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1 , maka log persamaan yang terbukti a 1=0 segera mengikuti dari definisi logaritma.

Mari berikan contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0 , lg1=0 dan .

Mari kita beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan yang sama dengan alas sama dengan satu, yaitu, log a = 1 untuk a>0 , a≠1 . Memang, karena a 1 =a untuk setiap a , maka dengan definisi logaritma log a a=1 .

Contoh penggunaan properti logaritma ini adalah log 5 5=1 , log 5.6 5.6 dan lne=1 .

Misalnya, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 dan .

Logaritma perkalian dua bilangan positif x dan y sama dengan produk dari logaritma dari angka-angka ini: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma hasil kali. Karena sifat-sifat derajat a log a x+log a y =a log a x a log a y, dan karena dengan identitas logaritma utama a log a x =x dan log a y =y , maka log a x a log a y =x y . Jadi, a log a x+log a y =x y , di mana persamaan yang diperlukan mengikuti definisi logaritma.

Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

Properti logaritma produk dapat digeneralisasi ke produk dari bilangan terbatas n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Kesetaraan ini mudah dibuktikan.

Misalnya, logaritma natural suatu produk dapat diganti dengan jumlah tiga logaritma natural dari angka 4 , e , dan .

Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan perbedaan antara logaritma dari angka-angka ini. Properti logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuk , di mana a>0 , a≠1 , x dan y adalah beberapa bilangan positif. Keabsahan rumus ini dibuktikan dengan rumus logaritma hasil kali: karena , maka dengan definisi logaritma .

Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: .

Mari kita lanjutkan ke sifat logaritma derajat. Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma modulus basis derajat ini. Kami menulis properti logaritma derajat ini dalam bentuk rumus: log a b p =p log a |b|, di mana a>0 , a≠1 , b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0 .

Kami pertama membuktikan properti ini untuk b positif . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , kemudian b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena sifat pangkat, sama dengan a p log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p log a b , dari mana, dengan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p log a b .

Tetap membuktikan sifat ini untuk b negatif. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk b negatif hanya masuk akal untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam kasus ini b p =|b| p . Kemudian b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, dari mana log a b p =p log a |b| .

Sebagai contoh, dan ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari root: logaritma dari akar derajat ke-n sama dengan produk dari pecahan 1/n dan logaritma dari ekspresi akar, yaitu, , di mana a>0 , a≠1 , n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, b>0 .

Pembuktian didasarkan pada persamaan (lihat ), yang berlaku untuk setiap b positif , dan sifat logaritma derajat: .

Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: .

Sekarang mari kita buktikan rumus konversi ke basis baru logaritma jenis . Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b log c a . Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b = log a b log c a. Dengan demikian, persamaan log c b=log a b log c a terbukti, yang berarti bahwa rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma juga terbukti.

Mari kita tunjukkan beberapa contoh penerapan sifat logaritma ini: dan .

Rumus untuk pindah ke basis baru memungkinkan Anda untuk melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis "nyaman". Misalnya, ini dapat digunakan untuk masuk ke logaritma natural atau desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk transisi ke basis logaritma yang baru juga memungkinkan dalam beberapa kasus untuk menemukan nilai logaritma yang diberikan, ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.

Sering digunakan adalah kasus khusus dari rumus untuk transisi ke basis baru dari logaritma untuk c=b dari bentuk . Ini menunjukkan bahwa log a b dan log b a – . Sebagai contoh, .

Juga sering digunakan adalah rumus , yang berguna untuk mencari nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana nilai logaritma dari formulir dihitung dengan menggunakannya. Kita punya . Untuk membuktikan rumus cukup menggunakan rumus transisi ke basis baru logaritma a: .

Masih membuktikan sifat perbandingan logaritma.

Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif b 1 dan b 2 , b 1 log a b 2 , dan untuk a>1, log pertidaksamaan a b 1

Akhirnya, masih harus membuktikan yang terakhir dari properti logaritma yang terdaftar. Kami membatasi diri untuk membuktikan bagian pertama, yaitu, kami membuktikan bahwa jika a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 benar log a 1 b>log a 2 b . Pernyataan yang tersisa dari sifat logaritma ini dibuktikan dengan prinsip yang sama.

Mari kita gunakan cara sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1 , a 2 >1 dan a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b benar. Dengan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang sebagai: dan masing-masing, dan dari mereka berikut bahwa log b a 1 log b a 2 dan log b a 1 log b a 2, masing-masing. Kemudian, dengan sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 b log b a 2 dan b log b a 1 b log b a 2 harus dipenuhi, yaitu, a 1 a 2 . Jadi, kita telah sampai pada kontradiksi dengan kondisi a 1

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).