Kubus adalah sejenis polihedron yang terdiri dari 6 wajah, yang masing-masing adalah persegi panjang. Pada gilirannya, diagonal adalah segmen, yang menghubungkan simpul yang berlawanan dari jajaran genjang. Panjangnya dapat ditemukan dalam dua cara.
Anda akan perlu
- Mengetahui panjang semua sisi jajar genjang.
Petunjuk
1. Metode 1. Diberikan parallelepiped persegi panjang dengan sisi a, b, c dan diagonal d. Menurut salah satu sifat jajar genjang, kuadrat suatu diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari 3 sisinya. Oleh karena itu, panjang diagonal itu sendiri dapat dihitung dengan dukungan mengekstraksi persegi dari jumlah tertentu (Gbr. 1).
2. Metode 2. Ada kemungkinan balok tersebut adalah kubus. Sebuah kubus adalah paralelepiped persegi panjang di mana setiap wajah diwakili oleh persegi. Oleh karena itu, semua sisinya sama. Maka rumus untuk menghitung panjang diagonalnya akan dinyatakan sebagai berikut: d = a*?3
Paralelepiped adalah kasus khusus dari prisma di mana keenam wajah adalah jajaran genjang atau persegi panjang. Sebuah paralelepiped dengan wajah persegi panjang juga disebut persegi panjang. Sebuah paralelepiped memiliki empat diagonal yang berpotongan. Diketahui tiga rusuk a, b, c, adalah mungkin untuk mencari semua diagonal balok dengan melakukan konstruksi tambahan.
Petunjuk
1. Gambarlah sebuah kotak persegi panjang. Tuliskan data yang digerakkan: tiga sisi a, b, c. Pertama buat satu diagonal m. Untuk menentukannya, kami menggunakan kualitas parallelepiped persegi panjang, yang menurutnya semua sudutnya benar.
2. Bangun diagonal n dari salah satu wajah paralelepiped. Lakukan konstruksi sedemikian rupa sehingga tepi yang terkenal, diagonal yang diinginkan dari paralelepiped dan diagonal wajah bersama-sama membentuk segitiga siku-siku a, n, m.
3. Deteksi diagonal wajah yang dibangun. Ini adalah sisi miring dari segitiga siku-siku lainnya b, c, n. Menurut teorema Pythagoras, n² = c² + b². Hitung ekspresi ini dan ambil akar kuadrat dari nilai yang dihasilkan - ini akan menjadi diagonal dari wajah n.
4. Tentukan diagonal kotak m. Untuk melakukan ini, dalam segitiga siku-siku a, n, m, temukan sisi miring yang tidak dikenal: m² = n² + a². Substitusikan nilai yang diketahui, lalu hitung akar kuadratnya. Hasil yang dihasilkan akan menjadi diagonal pertama dari paralelepiped m.
5. Demikian pula, gambar dalam langkah-langkah semua tiga diagonal lainnya dari paralelepiped. Juga, untuk semuanya, lakukan konstruksi tambahan diagonal dari wajah yang berdekatan. Mempertimbangkan segitiga siku-siku yang terbentuk dan menerapkan teorema Pythagoras, temukan nilai diagonal yang tersisa dari parallelepiped persegi panjang.
Video Terkait
Banyak objek nyata memiliki bentuk parallelepiped. Contohnya adalah kamar dan kolam renang. Bagian yang memiliki bentuk ini tidak jarang di industri. Karena alasan ini, masalah sering muncul dalam menemukan volume suatu bangun tertentu.
Petunjuk
1. Jajar genjang adalah prisma yang alasnya jajar genjang. Sebuah paralelepiped memiliki wajah - semua bidang yang membentuk sosok tertentu. Masing-masing memiliki enam wajah, dan semuanya adalah jajaran genjang. Wajah-wajah yang berlawanan adalah sama dan sejajar satu sama lain. Selain itu, ia memiliki diagonal yang berpotongan di satu titik dan dibagi dua di sana.
2. Paralelepiped terdiri dari 2 jenis. Untuk yang pertama, semua wajah adalah jajaran genjang, dan untuk yang kedua, semuanya persegi panjang. Yang terakhir disebut parallelepiped persegi panjang. Ini memiliki semua wajah persegi panjang, dan sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya. Jika paralelepiped persegi panjang memiliki wajah yang alasnya berbentuk bujur sangkar, maka disebut kubus. Dalam hal ini, wajah dan tepinya sama. Tepi adalah sisi dari polihedron apa pun, yang mencakup paralelepiped.
3. Untuk menemukan volume paralelepiped, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya. Volume ditemukan berdasarkan paralelepiped tertentu yang muncul dalam kondisi masalah. Jajar genjang biasa memiliki jajar genjang di dasarnya, sedangkan yang persegi panjang memiliki persegi panjang atau bujur sangkar, yang selalu memiliki sudut siku-siku. Jika jajar genjang terletak di dasar jajar genjang, maka volumenya ditemukan dengan cara berikut: V \u003d S * H, di mana S adalah luas alas, H adalah ketinggian jajar genjang. Ketinggian parallelepiped biasanya tepi lateral. Alas dari jajar genjang juga dapat berisi jajar genjang yang bukan persegi panjang. Dari kursus planimetri diketahui bahwa luas jajar genjang sama dengan: S=a*h, di mana h adalah tinggi jajar genjang, a adalah panjang alasnya, mis. :V=a*hp*H
4. Jika kasus ke-2 terjadi, ketika alas paralelepiped berbentuk persegi panjang, maka volume dihitung menggunakan rumus yang sama, tetapi luas alas ditemukan dengan cara yang sedikit berbeda: V=S*H,S= a*b, di mana a dan b berturut-turut adalah sisi persegi panjang dan sisi sejajar.V=a*b*H
5. Untuk menemukan volume kubus, seseorang harus dipandu oleh metode logika primitif. Dari kenyataan bahwa semua wajah dan tepi kubus adalah sama, dan di dasar kubus ada persegi, dipandu oleh rumus yang ditunjukkan di atas, adalah mungkin untuk mendapatkan rumus berikut: V \u003d a ^ 3
Sosok geometris tertutup yang dibentuk oleh dua pasang segmen paralel dengan panjang identik yang terletak berhadapan satu sama lain disebut jajaran genjang. Jajar genjang yang semua sudutnya sama dengan 90° disebut juga persegi panjang. Dalam gambar ini, diizinkan untuk menggambar dua segmen dengan panjang identik yang menghubungkan simpul yang berlawanan - diagonal. Panjang diagonal ini dihitung dengan beberapa metode.
Petunjuk
1. Jika panjang 2 sisi yang berdekatan diketahui empat persegi panjang(A dan B), maka panjang diagonal (C) sangat primitif untuk ditentukan. Asumsikan bahwa diagonal terletak di seberang sudut siku-siku dalam segitiga yang dibentuk olehnya dan kedua sisi ini. Ini memungkinkan Anda untuk menerapkan teorema Pythagoras dalam perhitungan dan menghitung panjang diagonal dengan menemukan akar kuadrat dari jumlah panjang kuadrat dari sisi-sisi yang diketahui: C \u003d v (A? + B?).
2. Jika panjang salah satu sisinya diketahui empat persegi panjang(A), serta nilai sudut (?), yang terbentuk dengannya diagonal, maka untuk menghitung panjang diagonal (C) ini Anda harus menggunakan salah satu fungsi trigonometri langsung - kosinus. Bagilah panjang sisi yang digerakkan dengan kosinus dari sudut yang terkenal - ini akan menjadi panjang diagonal yang diinginkan: C \u003d A / cos (?).
3. Jika sebuah persegi panjang diberikan oleh koordinat titik-titiknya, maka tugas menghitung panjang diagonalnya akan dikurangi untuk menemukan jarak antara dua titik dalam sistem koordinat ini. Terapkan teorema Pythagoras pada segitiga, yang membentuk proyeksi diagonal pada salah satu sumbu koordinat. Ada kemungkinan persegi panjang pada koordinat dua dimensi dibentuk oleh simpul A(X?;Y?), B(X?;Y?), C(X?;Y?) dan D(X?;Y? ). Kemudian Anda perlu menghitung jarak antara titik A dan C. Panjang proyeksi segmen ini pada sumbu X akan sama dengan modulus perbedaan koordinat |X?-X?|, dan proyeksi pada sumbu Y - |Y?-Y?|. Sudut antara sumbu adalah 90 °, dari mana kedua proyeksi ini adalah kaki, dan panjang diagonal (sisi miring) sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat panjangnya: AC=v(( X?-X?)?+(Y?- Y?)?).
4. Untuk mencari diagonalnya empat persegi panjang dalam sistem koordinat tiga dimensi, lanjutkan dengan cara yang sama seperti pada langkah sebelumnya, hanya menambahkan panjang proyeksi ke sumbu koordinat ketiga ke rumus: AC=v((X?-X?)?+(Y ?-Y?)?+(Z?- Z?)?).
Video Terkait
Dalam ingatan banyak orang, lelucon matematika tetap ada: celana Pythagoras sama ke segala arah. Gunakan untuk menghitung diagonal empat persegi panjang .
Anda akan perlu
- Lembaran kertas, penggaris, pensil, kalkulator dengan fungsi menghitung akar.
Petunjuk
1. Persegi panjang adalah segi empat dengan semua sudut siku-siku. Diagonal empat persegi panjang Ruas garis yang menghubungkan dua simpul yang berlawanan.
2. Pada selembar kertas dengan penggaris dan pensil, gambarlah persegi panjang ABCD. Lebih keren untuk melakukan ini pada lembar notebook persegi - akan lebih mudah untuk menggambar sudut kanan. Bersatu dengan segmen simpul empat persegi panjang A dan C. Segmen AC yang dihasilkan adalah diagonal Yu empat persegi panjang ABCD.
3. Catatan, diagonal AC membagi persegi panjang ABCD menjadi segitiga ABC dan ACD. Segitiga yang dihasilkan ABC dan ACD adalah segitiga siku-siku, karena sudut ABC dan ADC adalah 90 derajat empat persegi panjang). Ingat teorema Pythagoras - kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki.
4. Hipotenusa adalah sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Kaki-kaki adalah sisi-sisi segitiga yang berdekatan dengan sudut siku-siku. Berkenaan dengan segitiga ABC dan ACD: AB dan BC, AD dan DC - kaki, AC - sisi miring universal untuk kedua segitiga (diinginkan diagonal). Oleh karena itu, AC kuadrat = AB kuadrat + BC kuadrat, atau AC kuadrat = AD kuadrat + DC kuadrat. Masukkan panjang sisinya empat persegi panjang ke dalam rumus di atas dan hitung panjang sisi miring (diagonal empat persegi panjang).
5. Katakanlah sisi-sisinya empat persegi panjang ABCD sama dengan nilai selanjutnya: AB = 5 cm dan BC = 7 cm. Kuadrat diagonal AC yang diberikan empat persegi panjang dihitung dengan teorema Pythagoras: AC kuadrat \u003d AB kuadrat + BC kuadrat \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 cm persegi. Dengan menggunakan kalkulator, hitung akar kuadrat dari 74. Anda harus mendapatkan 8,6 cm (dibulatkan ke atas). Perlu diingat bahwa salah satu properti empat persegi panjang, diagonal-diagonalnya sama. Jadi panjang diagonal ke-2 BD empat persegi panjang ABCD sama dengan panjang diagonal AC. Untuk contoh di atas, nilainya adalah 8,6 cm.
Video Terkait
Tip 6: Cara Menemukan Diagonal dari Jajaran Genjang yang Diketahui Sisi
Jajargenjang adalah segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar. Garis lurus yang menghubungkan sudut-sudut yang berhadapan disebut diagonal. Panjangnya tidak hanya tergantung pada panjang sisi gambar, tetapi juga pada sudut di simpul poligon ini, oleh karena itu, tanpa mengetahui kebenaran salah satu sudut, hanya mungkin untuk menghitung panjang diagonal. dalam kasus luar biasa. Ini adalah kasus khusus dari jajaran genjang - persegi dan persegi panjang.
Petunjuk
1. Jika panjang semua sisi jajaran genjang adalah identik (a), maka gambar ini juga dapat disebut persegi. Nilai semua sudutnya sama dengan 90 °, dan panjang diagonal (L) identik dan dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku. Kalikan panjang sisi bujur sangkar dengan akar dua - hasilnya adalah panjang salah satu diagonalnya: L=a*?2.
2. Jika diketahui tentang jajar genjang bahwa itu adalah persegi panjang dengan panjang (a) dan lebar (b) yang ditentukan dalam kondisi, maka dalam hal ini panjang diagonal (L) akan sama. Dan di sini juga, gunakan teorema Pythagoras untuk segitiga di mana sisi miringnya adalah diagonal, dan kakinya adalah dua sisi yang berdekatan dari segi empat. Hitung nilai yang diinginkan dengan mengekstrak akar dari jumlah kuadrat lebar dan tinggi persegi panjang: L=?(a?+b?).
3. Untuk semua kasus lain, keterampilan panjang sisi saja sudah cukup hanya untuk menentukan nilai yang mencakup panjang kedua diagonal sekaligus - jumlah kuadratnya, menurut definisi, sama dengan dua kali jumlah kuadrat panjang sisi-sisinya. Jika, selain panjang dari 2 sisi yang berdekatan dari jajaran genjang (a dan b), sudut di antara mereka (?) juga diketahui, maka ini akan memungkinkan kita untuk menghitung panjang setiap segmen yang menghubungkan sudut-sudut yang berlawanan dari gambar . Temukan panjang diagonal (L?), yang terletak di seberang sudut depan, menggunakan teorema kosinus - tambahkan kuadrat dari panjang sisi yang berdekatan, kurangi produk dengan panjang yang sama dengan kosinus sudut di antara mereka dari total , dan ekstrak akar kuadrat dari nilai yang dihasilkan: L? = ?(a?+b?-2*a*b*cos(?)). Untuk menemukan panjang diagonal lain (L?), Anda dapat menggunakan properti jajaran genjang yang diberikan di awal langkah ini - gandakan jumlah kuadrat dari panjang 2 sisi, kurangi kuadrat yang lebih sempit dari diagonal yang dihitung dari total , dan ekstrak akar dari nilai yang dihasilkan. Dalam bentuk umum, rumus ini dapat ditulis sebagai berikut: L? = ?(a?+b?- L??) = ?(a?+b?-(a?+b?-2*a*b*cos(?))) = ?(a?+b?- a?-b?+2*a*b*cos(?)) = ?(2*a*b*cos(?)).
a, menuju dasar PP;
dengan tinggi badannya.
- apa yang perlu kita ketahui, data apa yang kita miliki?
- Apa sifat-sifat paralelepiped persegi panjang?
- Apakah Teorema Pythagoras berlaku di sini? Bagaimana?
- Apakah ada cukup data untuk menerapkan teorema Pythagoras, atau apakah kita memerlukan beberapa perhitungan lagi?
Kotak diagonal, sebuah balok persegi (lihat sifat-sifat balok persegi) sama dengan jumlah kuadrat dari tiga sisinya yang berbeda (lebar, tinggi, tebal), dan, dengan demikian, diagonal sebuah balok persegi sama dengan akar dari jumlah ini.
Saya ingat program sekolah dalam geometri, Anda dapat mengatakan ini: diagonal dari parallelepiped sama dengan akar kuadrat yang diperoleh dari jumlah ketiga sisinya (mereka dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c).
Panjang diagonal prisma persegi panjang sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat sisi-sisinya.
Sejauh yang saya tahu dari kurikulum sekolah, kelas 9, jika saya tidak salah, dan jika ingatanku, maka diagonal dari sebuah paralelepiped persegi panjang sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat dari ketiga sisinya.
kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat lebar, tinggi dan panjang, berdasarkan rumus ini kita mendapatkan jawabannya, diagonal sama dengan akar kuadrat dari jumlah tiga dimensi yang berbeda, mereka dilambangkan dengan huruf nz abc
Sebuah parallelepiped persegi panjang (PP) tidak lebih dari sebuah prisma, yang alasnya adalah persegi panjang. Dalam PP, semua diagonalnya sama, yang berarti bahwa salah satu diagonalnya dihitung dengan rumus:
Definisi lain dapat diberikan, mengingat sistem koordinat persegi panjang Cartesian:
Diagonal PP adalah vektor radius dari sembarang titik dalam ruang yang diberikan oleh koordinat x, y dan z dalam sistem koordinat Cartesian. Vektor radius ke titik ini ditarik dari titik asal. Dan koordinat titik tersebut akan menjadi proyeksi vektor radius (diagonal PP) pada sumbu koordinat. Proyeksi bertepatan dengan simpul dari parallelepiped yang diberikan.
Kubus adalah sejenis polihedron yang terdiri dari 6 wajah, yang alasnya adalah persegi panjang. Diagonal adalah ruas garis yang menghubungkan titik-titik yang berhadapan pada jajar genjang.
Rumus untuk mencari panjang diagonal adalah bahwa kuadrat dari diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensi jajaran genjang.
Saya menemukan tabel skema yang bagus di Internet dengan daftar lengkap semua yang ada di parallelepiped. Ada rumus untuk mencari diagonal yang dilambangkan dengan d.
Ada gambar wajah, simpul, dan hal-hal penting lainnya untuk kotak.
Jika panjang, tinggi, dan lebar (a,b,c) balok diketahui, maka rumus untuk menghitung diagonal akan terlihat seperti ini:
Biasanya guru tidak menawarkan siswa mereka naked formula, tetapi berusahalah agar mereka dapat memperolehnya secara mandiri dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan utama:
Biasanya, setelah menjawab pertanyaan yang diajukan, siswa dengan mudah mendapatkan rumus ini sendiri.
Diagonal dari parallelepiped persegi panjang adalah sama. Serta diagonal dari wajah yang berlawanan. Panjang diagonal dapat dihitung dengan mengetahui panjang tepi jajaran genjang yang berasal dari satu titik. Panjang ini sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat panjang rusuknya.
Sebuah kubus adalah salah satu yang disebut polihedra, yang terdiri dari 6 wajah, yang masing-masing adalah persegi panjang. Diagonal adalah ruas garis yang menghubungkan titik-titik yang berhadapan pada jajar genjang. Jika panjang, lebar, dan tinggi sebuah kotak persegi panjang diambil berturut-turut sebagai a, b, c, maka rumus diagonalnya (D) akan menjadi seperti ini: D^2=a^2+b^2+c^2 .
Diagonal sebuah balok adalah ruas garis yang menghubungkan simpul-simpul yang berlawanan. Jadi kita punya berbentuk kubus dengan diagonal d dan sisi a, b, c. Salah satu sifat dari parallelepiped adalah bahwa persegi panjang diagonal d sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya a, b, c. Oleh karena itu kesimpulan bahwa panjang diagonal dapat dengan mudah dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
Juga:
Bagaimana menemukan ketinggian parallelepiped?
Ini akan berguna bagi siswa sekolah menengah untuk mempelajari bagaimana memecahkan masalah USE untuk menemukan volume dan parameter lain yang tidak diketahui dari parallelepiped persegi panjang. Pengalaman tahun-tahun sebelumnya menegaskan fakta bahwa tugas-tugas seperti itu cukup sulit bagi banyak lulusan.
Pada saat yang sama, siswa sekolah menengah dengan tingkat pelatihan apa pun harus memahami cara menemukan volume atau luas persegi panjang paralel. Hanya dalam hal ini mereka akan dapat mengandalkan untuk mendapatkan nilai kompetitif berdasarkan hasil kelulusan ujian negara bagian terpadu dalam matematika.
Poin penting untuk diingat
- Jajar genjang yang membentuk jajar genjang adalah wajahnya, sisi-sisinya adalah tepi. Simpul dari angka-angka ini dianggap sebagai simpul dari polihedron itu sendiri.
- Semua diagonal balok adalah sama. Karena ini adalah polihedron lurus, sisi-sisinya adalah persegi panjang.
- Karena paralelepiped adalah prisma dengan jajaran genjang di dasarnya, gambar ini memiliki semua sifat prisma.
- Tepi samping dari parallelepiped persegi panjang tegak lurus dengan alasnya. Oleh karena itu, mereka adalah ketinggiannya.
Bersiaplah untuk ujian bersama dengan Shkolkovo!
Untuk membuat kelas menjadi mudah dan seefektif mungkin, pilih portal matematika kami. Di sini Anda akan menemukan semua materi yang diperlukan yang akan diperlukan pada tahap persiapan untuk ujian negara terpadu.
Spesialis proyek pendidikan "Shkolkovo" menyarankan untuk beralih dari yang sederhana ke yang kompleks: pertama, kami memberikan teori, rumus dasar, dan tugas dasar dengan solusi, dan kemudian secara bertahap beralih ke tugas tingkat ahli. Anda dapat berlatih, misalnya, dengan .
Anda akan menemukan informasi dasar yang diperlukan di bagian "Referensi teoretis". Anda juga dapat segera mulai memecahkan masalah pada topik "Paralelepiped persegi panjang" online. Di bagian "Katalog" ada banyak pilihan latihan dengan berbagai tingkat kesulitan. Basis tugas diperbarui secara berkala.
Periksa apakah Anda dapat dengan mudah menemukan volume balok sekarang. Bongkar tugas apa pun. Jika latihannya mudah bagi Anda, lanjutkan ke tugas yang lebih sulit. Dan jika ada kesulitan tertentu, kami sarankan Anda merencanakan hari Anda sedemikian rupa sehingga jadwal Anda termasuk kelas dengan portal jarak jauh Shkolkovo.
Petunjuk
Metode 2 Mari kita asumsikan bahwa balok adalah kubus. Sebuah kubus adalah paralelepiped persegi panjang dengan setiap wajah diwakili oleh persegi. Oleh karena itu, semua sisinya sama. Kemudian, untuk menghitung panjang diagonalnya, akan dinyatakan sebagai berikut:
Sumber:
- rumus diagonal persegi panjang
Sebuah paralelepiped adalah kasus khusus dari prisma di mana semua enam wajah jajaran genjang atau persegi panjang. Sebuah paralelepiped dengan wajah persegi panjang juga disebut persegi panjang. Sebuah paralelepiped memiliki empat diagonal yang berpotongan. Jika tiga sisi a, b, c diberikan, Anda dapat menemukan semua diagonal persegi panjang sejajar dengan melakukan konstruksi tambahan.
Petunjuk
Temukan diagonal dari paralelepiped m. Untuk melakukan ini, dalam a, n, m, temukan sisi miring yang tidak diketahui: m² = n² + a². Masukkan nilai yang diketahui, lalu hitung akar kuadratnya. Hasil yang diperoleh akan menjadi diagonal pertama dari paralelepiped m.
Demikian pula, gambar berturut-turut ketiga diagonal lainnya dari paralelepiped. Juga, untuk masing-masing dari mereka, lakukan konstruksi tambahan diagonal dari wajah yang berdekatan. Mempertimbangkan segitiga siku-siku yang terbentuk dan menerapkan teorema Pythagoras, temukan nilai diagonal yang tersisa.
Video Terkait
Sumber:
- menemukan paralelepiped
Hipotenusa adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Kaki-kaki adalah sisi-sisi segitiga yang berdekatan dengan sudut siku-siku. Berkenaan dengan segitiga ABC dan ACD: AB dan BC, AD dan DC–, AC adalah hipotenusa umum untuk kedua segitiga (yang diinginkan diagonal). Oleh karena itu, AC = AB persegi + BC persegi, atau AC B = AD persegi + DC persegi. Masukkan panjang sisinya empat persegi panjang ke dalam rumus di atas dan hitung panjang sisi miring (diagonal empat persegi panjang).
Misalnya sisi empat persegi panjang ABCD sama dengan nilai-nilai berikut: AB = 5 cm dan BC = 7 cm. Kuadrat diagonal AC yang diberikan empat persegi panjang menurut teorema Pythagoras: AC kuadrat \u003d AB kuadrat + BC persegi \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 cm persegi. Gunakan kalkulator untuk menghitung akar kuadrat dari 74. Hasil akhirnya adalah 8,6 cm (dibulatkan ke atas). Perlu diingat bahwa salah satu properti empat persegi panjang, diagonal-diagonalnya sama. Jadi panjang diagonal kedua BD empat persegi panjang ABCD sama dengan panjang diagonal AC. Untuk contoh di atas, nilai ini
Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari sejauh ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa penipuan itu.
Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dengan titik fisik Di mata, sepertinya waktu melambat sampai berhenti total pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.
Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."
Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, tampilannya seperti ini:
Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.
Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah yang sangat besar, tetapi dalam satuan pengukuran.
Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:
Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.
Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.
Rabu, 4 Juli 2018
Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.
Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kita.
Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.
Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.
Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.
Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...
Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana batas di luar elemen multiset mana yang berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.
Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita dapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini matematikawan-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.
Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya pada kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".
Minggu, 18 Maret 2018
Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah angka dari suatu bilangan dan menggunakannya, tetapi itulah mengapa mereka adalah dukun, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.
Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari bilangan apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.
Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, katakanlah kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.
1. Tulis nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.
2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.
3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.
4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.
Jumlah angka dari angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.
Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subscript di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.
Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka dari angka yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda akan mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda saat menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter.
Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah angka. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk matematikawan: bagaimana itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.
Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.
Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil tindakan matematika tidak bergantung pada nilai angka, satuan ukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.
Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?
Wanita... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah pria.
Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,
Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:
Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (susunan beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.
1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.
