Logaritma dari angka b ke basis a adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan angka b.

Jika kemudian .

Logaritmanya sangat besaran matematika yang penting, karena kalkulus logaritmik memungkinkan tidak hanya menyelesaikan persamaan eksponensial, tetapi juga beroperasi dengan eksponen, membedakan fungsi eksponensial dan logaritma, mengintegrasikannya dan membawanya ke bentuk yang lebih dapat diterima untuk dihitung.

dalam kontak dengan

Semua sifat logaritma berhubungan langsung dengan sifat-sifat fungsi eksponensial. Misalnya, fakta bahwa maksudnya:

Perlu dicatat bahwa ketika memecahkan masalah tertentu, sifat-sifat logaritma mungkin lebih penting dan berguna daripada aturan untuk bekerja dengan kekuatan.

Berikut beberapa identitasnya:

Berikut adalah ekspresi aljabar utama:

;

.

Perhatian! hanya bisa eksis untuk x>0, x≠1, y>0.

Mari kita coba memahami pertanyaan tentang apa itu logaritma natural. Pisahkan minat dalam matematika mewakili dua jenis- yang pertama memiliki angka "10" di pangkalan, dan disebut "logaritma desimal". Yang kedua disebut alami. Dasar dari logaritma natural adalah bilangan e. Tentang dia yang akan kita bicarakan secara rinci dalam artikel ini.

Sebutan:

• lg x - desimal;
• ln x - alami.

Dengan menggunakan identitasnya, kita dapat melihat bahwa ln e = 1, dan juga lg 10=1.

grafik log alami

Kami membangun grafik logaritma natural dengan cara klasik standar dengan poin. Jika diinginkan, Anda dapat memeriksa apakah kita sedang membangun suatu fungsi dengan benar dengan memeriksa fungsi tersebut. Namun, masuk akal untuk mempelajari cara membangunnya "secara manual" untuk mengetahui cara menghitung logaritma dengan benar.

Fungsi: y = log x. Mari kita tulis tabel titik-titik yang akan dilalui grafik:

Mari kita jelaskan mengapa kita memilih nilai argumen x seperti itu. Ini semua tentang identitas: Untuk logaritma natural, identitas ini akan terlihat seperti ini:

Untuk kenyamanan, kita dapat mengambil lima poin referensi:

;

;

.

;

.

Dengan demikian, menghitung logaritma natural adalah tugas yang cukup sederhana, apalagi, ini menyederhanakan perhitungan operasi dengan kekuatan, mengubahnya menjadi perkalian biasa.

Setelah membangun grafik dengan poin, kami mendapatkan grafik perkiraan:

Domain logaritma natural (yaitu, semua nilai valid dari argumen X) adalah semua angka yang lebih besar dari nol.

Perhatian! Domain logaritma natural hanya mencakup bilangan positif! Cakupan tidak termasuk x=0. Ini tidak mungkin berdasarkan kondisi keberadaan logaritma.

Rentang nilai (yaitu semua nilai fungsi yang valid y = ln x) adalah semua angka dalam interval .

batas log alami

Mempelajari grafik, muncul pertanyaan - bagaimana fungsi berperilaku ketika y<0.

Jelas, grafik fungsi cenderung melintasi sumbu y, tetapi tidak akan dapat melakukan ini, karena logaritma natural dari x<0 не существует.

Batas alami catatan dapat ditulis seperti ini:

Rumus untuk mengubah basis logaritma

Berurusan dengan logaritma natural jauh lebih mudah daripada berurusan dengan logaritma yang memiliki basis arbitrer. Itulah sebabnya kita akan mencoba mempelajari cara mereduksi logaritma apa pun menjadi logaritma natural, atau mengungkapkannya dalam basis arbitrer melalui logaritma natural.

Mari kita mulai dengan identitas logaritmik:

Kemudian setiap nomor atau variabel y dapat direpresentasikan sebagai:

di mana x adalah bilangan apa pun (positif menurut sifat-sifat logaritma).

Ekspresi ini dapat dilogaritma di kedua sisi. Mari kita lakukan ini dengan basis z yang berubah-ubah:

Mari kita gunakan properti (hanya alih-alih "dengan" kita memiliki ekspresi):

Dari sini kita mendapatkan rumus universal:

.

Khususnya, jika z=e, maka:

.

Kami berhasil merepresentasikan logaritma ke basis arbitrer melalui rasio dua logaritma natural.

Kami memecahkan masalah

Untuk navigasi yang lebih baik dalam logaritma natural, pertimbangkan contoh beberapa masalah.

Tugas 1. Selesaikan persamaan ln x = 3.

Keputusan: Menggunakan definisi logaritma: jika , maka , kita mendapatkan:

Tugas 2. Selesaikan persamaan (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Solusi: Menggunakan definisi logaritma: jika , maka , kita mendapatkan:

.

Sekali lagi, kami menerapkan definisi logaritma:

.

Dengan demikian:

.

Anda dapat menghitung jawabannya kira-kira, atau Anda dapat meninggalkannya di formulir ini.

Tugas 3. Memecahkan persamaan.

Keputusan: Mari kita buat substitusi: t = ln x. Maka persamaan tersebut akan berbentuk sebagai berikut:

.

Kami memiliki persamaan kuadrat. Mari kita cari diskriminannya:

Akar persamaan pertama:

.

Akar persamaan kedua:

.

Mengingat bahwa kita membuat substitusi t = ln x, kita mendapatkan:

Dalam statistik dan teori probabilitas, besaran logaritmik sangat umum. Hal ini tidak mengherankan, karena angka e - sering mencerminkan tingkat pertumbuhan nilai eksponensial.

Dalam ilmu komputer, pemrograman dan teori komputer, logaritma cukup umum, misalnya, untuk menyimpan N bit dalam memori.

Dalam teori fraktal dan dimensi, logaritma terus digunakan, karena dimensi fraktal ditentukan hanya dengan bantuan mereka.

Dalam mekanika dan fisika tidak ada bagian di mana logaritma tidak digunakan. Distribusi barometrik, semua prinsip termodinamika statistik, persamaan Tsiolkovsky dan sebagainya adalah proses yang hanya dapat dijelaskan secara matematis menggunakan logaritma.

Dalam kimia, logaritma digunakan dalam persamaan Nernst, deskripsi proses redoks.

Hebatnya, bahkan dalam musik, untuk mengetahui jumlah bagian oktaf, logaritma digunakan.

Fungsi logaritma natural y=ln x sifat-sifatnya

Bukti sifat utama dari logaritma natural

sifat dasar.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

alasan yang sama

log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x >

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Transisi ke yayasan baru

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Lihat juga:

Sifat dasar logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen adalah 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy.

Sifat dasar logaritma

Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy yang tepat.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma dari ekspresi

Contoh 1
sebuah). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan properti 3,5 kami menghitung

2.

3.

4. di mana .

Contoh 2 Temukan x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Anda harus mengetahui aturan ini - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log2 48 log2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log2 48 log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log3 135 log3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tanpa perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log7 496.

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kami memiliki:

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut.

Rumus logaritma. Logaritma adalah contoh solusi.

Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebut memiliki bilangan yang sama: log2 7. Karena log2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

Dari rumus kedua berikut bahwa basis dan argumen logaritma dapat dipertukarkan, tetapi seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Disebut seperti ini:

Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

1. loga = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya adalah nol! Karena a0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

Lihat juga:

Logaritma dari angka b ke basis a menunjukkan ekspresi. Menghitung logaritma berarti menemukan pangkat x () yang persamaannya benar

Sifat dasar logaritma

Sifat-sifat di atas perlu diketahui, karena atas dasar mereka, hampir semua masalah dan contoh diselesaikan berdasarkan logaritma. Sifat-sifat eksotik yang tersisa dapat diturunkan dengan manipulasi matematis dengan rumus-rumus ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Saat menghitung rumus untuk jumlah dan selisih logaritma (3.4) cukup sering ditemui. Sisanya agak rumit, tetapi dalam sejumlah tugas mereka sangat diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks dan menghitung nilainya.

Kasus umum logaritma

Beberapa logaritma umum adalah yang basisnya genap sepuluh, eksponensial atau deuce.
Logaritma basis sepuluh biasanya disebut logaritma basis sepuluh dan hanya dilambangkan lg(x).

Hal ini dapat dilihat dari catatan bahwa dasar-dasar tidak tertulis dalam catatan. Sebagai contoh

Logaritma natural adalah logaritma yang basisnya eksponen (dilambangkan ln(x)).

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen adalah 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy. Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy yang tepat.

Dan logaritma basis dua penting lainnya adalah

Turunan dari logaritma fungsi sama dengan satu dibagi variabel

Logaritma integral atau antiturunan ditentukan oleh ketergantungan

Materi di atas sudah cukup bagi Anda untuk menyelesaikan berbagai kelas masalah yang berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk mengasimilasi materi, saya hanya akan memberikan beberapa contoh umum dari kurikulum sekolah dan universitas.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma dari ekspresi

Contoh 1
sebuah). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan properti 3,5 kami menghitung

2.
Dengan properti perbedaan logaritma, kami memiliki

3.
Menggunakan properti 3.5 kami menemukan

4. di mana .

Ekspresi yang tampaknya kompleks menggunakan serangkaian aturan disederhanakan menjadi bentuk

Mencari Nilai Logaritma

Contoh 2 Temukan x jika

Keputusan. Untuk perhitungannya, kami menerapkan properti 5 dan 13 hingga suku terakhir

Pengganti dalam catatan dan berkabung

Karena basisnya sama, kami menyamakan ekspresi

Logaritma. Tingkat pertama.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Solusi: Ambil logaritma dari variabel untuk menulis logaritma melalui jumlah istilah

Ini hanyalah awal dari pengenalan logaritma dan propertinya. Berlatih perhitungan, perkaya keterampilan praktis Anda - Anda akan segera membutuhkan pengetahuan yang diperoleh untuk menyelesaikan persamaan logaritmik. Setelah mempelajari metode dasar untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami akan memperluas pengetahuan Anda untuk topik lain yang sama pentingnya - ketidaksetaraan logaritmik ...

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Anda harus mengetahui aturan ini - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log6 4 + log6 9.

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log2 48 log2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log2 48 log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log3 135 log3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tanpa perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana menyelesaikan logaritma

Ini yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log7 496.

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kami memiliki:

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebut memiliki bilangan yang sama: log2 7. Karena log2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

Dari rumus kedua berikut bahwa basis dan argumen logaritma dapat dipertukarkan, tetapi seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Disebut seperti ini:

Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

1. loga = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya adalah nol! Karena a0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

Bagian logaritma sangat penting dalam kursus sekolah "Analisis Matematika". Tugas untuk fungsi logaritma didasarkan pada prinsip lain selain tugas untuk pertidaksamaan dan persamaan. Pengetahuan tentang definisi dan sifat dasar dari konsep logaritma dan fungsi logaritma akan memastikan keberhasilan solusi masalah USE yang umum.

Sebelum melanjutkan untuk menjelaskan apa itu fungsi logaritma, ada baiknya merujuk pada definisi logaritma.

Mari kita lihat contoh spesifik: a log a x = x, di mana a 0, a 1.

Properti utama logaritma dapat didaftar dalam beberapa poin:

Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang memungkinkan penggunaan sifat-sifat suatu konsep untuk menemukan logaritma suatu bilangan atau ekspresi.

Contoh:

Fungsi logaritma dan sifat-sifatnya

Fungsi logaritma memiliki bentuk

Kami segera mencatat bahwa grafik suatu fungsi dapat meningkat untuk a 1 dan menurun untuk 0 a 1. Bergantung pada ini, kurva fungsi akan memiliki satu atau lain bentuk.

Berikut adalah sifat dan metode untuk memplot grafik logaritma:

• domain dari f(x) adalah himpunan semua bilangan positif, mis. x dapat mengambil nilai apapun dari interval (0; + );
• Fungsi ODZ - himpunan semua bilangan real, mis. y bisa sama dengan angka berapa pun dari interval (- ; +∞);
• jika basis logaritma a > 1, maka f(x) meningkat pada seluruh domain definisi;
• jika basis logaritmanya adalah 0 a 1, maka F menurun;
• fungsi logaritma bukan genap maupun ganjil;
• kurva grafik selalu melalui titik dengan koordinat (1;0).

Membangun kedua jenis grafik itu sangat sederhana, mari kita lihat prosesnya menggunakan contoh

Pertama, Anda perlu mengingat sifat-sifat logaritma sederhana dan fungsinya. Dengan bantuan mereka, Anda perlu membuat tabel untuk nilai x dan y tertentu. Kemudian, pada sumbu koordinat, titik-titik yang diperoleh harus ditandai dan dihubungkan dengan garis halus. Kurva ini akan menjadi grafik yang dibutuhkan.

Fungsi logaritma adalah kebalikan dari fungsi eksponensial yang diberikan oleh y= a x . Untuk memverifikasi ini, cukup menggambar kedua kurva pada sumbu koordinat yang sama.

Jelas, kedua garis adalah bayangan cermin satu sama lain. Dengan membuat garis lurus y = x, Anda dapat melihat sumbu simetri.

Untuk menemukan jawaban masalah dengan cepat, Anda perlu menghitung nilai titik untuk y = log 2⁡ x, dan kemudian cukup pindahkan titik asal titik koordinat tiga divisi ke bawah sumbu OY dan 2 divisi ke kiri sepanjang sumbu OX.

Sebagai buktinya, kita akan membuat tabel perhitungan titik-titik dari grafik y = log 2 (x + 2) -3 dan membandingkan nilai yang diperoleh dengan gambar tersebut.

Seperti yang Anda lihat, koordinat dari tabel dan titik-titik pada grafik cocok, oleh karena itu, transfer sepanjang sumbu dilakukan dengan benar.

Contoh pemecahan masalah USE tipikal

Sebagian besar tugas tes dapat dibagi menjadi dua bagian: menemukan domain definisi, menentukan jenis fungsi menurut gambar grafik, menentukan apakah fungsi naik / turun.

Untuk jawaban cepat untuk tugas, perlu dipahami dengan jelas bahwa f(x) meningkat jika eksponen logaritma a > 1, dan menurun - ketika 0 a 1. Namun, tidak hanya basis, tetapi juga argumen dapat sangat mempengaruhi bentuk kurva fungsi.

F(x) yang diberi tanda centang adalah jawaban yang benar. Keraguan dalam hal ini disebabkan oleh contoh 2 dan 3. Tanda “-” di depan log berubah naik menjadi berkurang dan sebaliknya.

Oleh karena itu, grafik y=-log 3⁡ x menurun di seluruh domain definisi, dan y= -log (1/3) x meningkat, meskipun basisnya adalah 0 a ‹ 1.

Menjawab: 3,4,5.

Menjawab: 4.

Jenis tugas ini dianggap mudah dan diperkirakan 1-2 poin.

Tugas 3.

Tentukan apakah fungsi tersebut turun atau naik dan tunjukkan ruang lingkup definisinya.

Y = log 0,7 (0,1x-5)

Karena basis logaritma kurang dari satu tetapi lebih besar dari nol, fungsi x menurun. Menurut sifat-sifat logaritma, argumen juga harus lebih besar dari nol. Mari selesaikan pertidaksamaan:

Menjawab: domain definisi D(x) adalah interval (50; + ).

Menjawab: 3, 1, sumbu OX, ke kanan.

Tugas tersebut diklasifikasikan sebagai rata-rata dan diperkirakan 3-4 poin.

Tugas 5. Temukan rentang untuk suatu fungsi:

Diketahui dari sifat-sifat logaritma bahwa argumen hanya bisa positif. Oleh karena itu, kami menghitung luas nilai yang dapat diterima dari fungsi tersebut. Untuk melakukan ini, perlu untuk memecahkan sistem dua pertidaksamaan.

Ekspresi logaritmik, solusi dari contoh. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menimbulkan pertanyaan untuk menemukan nilai ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan sangat penting untuk memahami artinya. Adapun USE, logaritma digunakan dalam memecahkan persamaan, dalam masalah terapan, dan juga dalam tugas-tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.

Berikut adalah contoh untuk memahami arti dari logaritma:

Identitas logaritma dasar:

Sifat-sifat logaritma yang harus selalu Anda ingat:

* Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

* * *

* Logaritma hasil bagi (pecahan) sama dengan selisih logaritma faktor-faktornya.

* * *

* Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma basisnya.

* * *

*Transisi ke pangkalan baru

* * *

Lebih banyak properti:

* * *

Komputasi logaritma berkaitan erat dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.

Kami mencantumkan beberapa di antaranya:

Inti dari properti ini adalah bahwa ketika mentransfer pembilang ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah menjadi kebalikannya. Sebagai contoh:

Konsekuensi dari properti ini:

* * *

Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

* * *

Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sederhana. Hal utama adalah bahwa latihan yang baik diperlukan, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja pengetahuan tentang rumus adalah wajib. Jika keterampilan dalam mengonversi logaritma dasar tidak terbentuk, maka ketika menyelesaikan tugas-tugas sederhana, seseorang dapat dengan mudah membuat kesalahan.

Berlatih, pecahkan contoh paling sederhana dari kursus matematika terlebih dahulu, lalu lanjutkan ke yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "jelek" diselesaikan, tidak akan ada yang seperti itu di ujian, tetapi mereka menarik, jangan lewatkan!

Itu saja! Semoga sukses untuk Anda!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

Logaritma bilangan positif b ke basis a (a>0, a tidak sama dengan 1) adalah bilangan c sedemikian sehingga a c = b: log a b = c a c = b (a > 0, a 1, b > 0)       

Perhatikan bahwa logaritma dari angka non-positif tidak ditentukan. Juga, basis logaritma harus bilangan positif, tidak sama dengan 1. Misalnya, jika kita kuadratkan -2, kita mendapatkan angka 4, tetapi ini tidak berarti bahwa basis -2 logaritma dari 4 adalah 2.

Identitas logaritma dasar

a log a b = b (a > 0, a 1) (2)

Penting bahwa domain definisi bagian kanan dan kiri rumus ini berbeda. Ruas kiri didefinisikan hanya untuk b>0, a>0 dan a 1. Ruas kanan didefinisikan untuk sembarang b, dan tidak bergantung pada a sama sekali. Dengan demikian, penerapan "identitas" logaritma dasar dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dapat menyebabkan perubahan DPV.

Dua konsekuensi yang jelas dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a 1) (4)

Memang, ketika menaikkan angka a ke pangkat pertama, kami mendapatkan angka yang sama, dan ketika menaikkannya ke pangkat nol, kami mendapatkan satu.

Logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memperingatkan anak-anak sekolah agar tidak menggunakan rumus-rumus ini secara sembarangan saat memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik. Ketika digunakan "dari kiri ke kanan", ODZ menyempit, dan ketika berpindah dari jumlah atau selisih logaritma ke logaritma produk atau hasil bagi, ODZ mengembang.

Memang, ekspresi log a (f (x) g (x)) didefinisikan dalam dua kasus: ketika kedua fungsi benar-benar positif atau ketika f(x) dan g(x) keduanya kurang dari nol.

Mengubah ekspresi ini menjadi jumlah log a f (x) + log a g (x) , kita dipaksa untuk membatasi diri hanya pada kasus ketika f(x)>0 dan g(x)>0. Ada penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima, dan ini sangat tidak dapat diterima, karena dapat menyebabkan hilangnya solusi. Masalah serupa ada untuk rumus (6).

Derajat dapat diambil dari tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin meminta akurasi. Perhatikan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Sisi kiri persamaan jelas didefinisikan untuk semua nilai f(x) kecuali nol. Sisi kanan hanya untuk f(x)>0! Mengambil kekuatan dari logaritma, kami kembali mempersempit ODZ. Prosedur sebaliknya mengarah pada perluasan kisaran nilai yang dapat diterima. Semua pernyataan ini tidak hanya berlaku untuk pangkat 2, tetapi juga untuk pangkat genap.

Rumus untuk pindah ke pangkalan baru

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c 1) (8)

Kasus yang jarang terjadi ketika ODZ tidak berubah selama konversi. Jika Anda telah memilih basis c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), rumus untuk pindah ke basis baru sangat aman.

Jika kita memilih bilangan b sebagai basis c baru, kita memperoleh kasus khusus yang penting dari rumus (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b 1) (9)

Beberapa contoh sederhana dengan logaritma

Contoh 1 Hitung: lg2 + lg50.
Keputusan. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Kami menggunakan rumus untuk jumlah logaritma (5) dan definisi logaritma desimal.

Contoh 2 Hitung: lg125/lg5.
Keputusan. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan rumus transisi basis baru (8).

Tabel rumus yang berkaitan dengan logaritma

a log a b = b (a > 0, a 1)

log a a = 1 (a > 0, a 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b 1)