Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi

konsep analisis matematika. Nilai yang diambil oleh suatu fungsi di beberapa titik himpunan di mana fungsi ini didefinisikan disebut nilai terbesar (terkecil) pada himpunan ini jika fungsi tersebut tidak memiliki nilai yang lebih besar (lebih kecil) di titik lain dalam himpunan. N. dan n. h. f. dibandingkan dengan nilainya pada semua titik yang cukup dekat disebut ekstrem (masing-masing, maxima dan minima) dari fungsi tersebut. N. dan n. h. f., diberikan pada segmen, dapat dicapai baik pada titik di mana turunannya sama dengan nol, atau pada titik di mana tidak ada, atau di ujung segmen. Fungsi kontinu yang diberikan pada segmen harus mencapai nilai maksimum dan minimumnya; jika fungsi kontinu dipertimbangkan pada suatu interval (yaitu, segmen dengan ujung yang dikecualikan), maka di antara nilainya pada interval ini mungkin tidak ada maksimum atau minimum. Misalnya fungsi pada = x, diberikan pada interval , mencapai nilai terbesar dan terkecil, masing-masing, di x= 1 dan x= 0 (yaitu, di ujung segmen); jika kita mempertimbangkan fungsi ini pada interval (0; 1), maka di antara nilainya pada interval ini tidak ada yang terbesar atau terkecil, karena untuk setiap x0 selalu ada titik interval ini berbaring ke kanan (ke kiri) x0, dan sedemikian rupa sehingga nilai fungsi pada titik ini akan lebih besar (masing-masing, kurang) dari pada titik x0. Pernyataan serupa berlaku untuk fungsi beberapa variabel. Lihat juga Ekstrim.

Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa "Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi" di kamus lain:

Kamus Ensiklopedis Besar

Konsep analisis matematika. Nilai yang diambil oleh fungsi di beberapa titik himpunan tempat fungsi ini diberikan disebut yang terbesar (terkecil) pada himpunan ini, jika tidak ada titik lain dari fungsi yang memiliki lebih besar (lebih kecil) ... ... kamus ensiklopedis

Konsep-konsep matematika. analisis. Nilai yang diambil oleh fungsi pada titik tertentu dari himpunan, pa rum fungsi ini diberikan, disebut. terbesar (terkecil) pada himpunan ini, jika tidak ada titik lain yang memiliki nilai lebih besar (lebih kecil) ... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

FUNGSI MAKSIMUM DAN MINIMUM- masing-masing, nilai fungsi terbesar dan terkecil dibandingkan dengan nilainya di semua titik yang cukup dekat. Titik tinggi dan titik rendah disebut titik ekstrim... Ensiklopedia Politeknik Hebat

Nilai terbesar dan, karenanya, nilai terkecil dari suatu fungsi yang mengambil nilai riil. Titik domain definisi fungsi yang bersangkutan, di mana dibutuhkan maksimum atau minimum, disebut. masing-masing titik maksimum atau titik minimum ... ... Ensiklopedia Matematika

Fungsi terner dalam teori sistem fungsional dan logika terner adalah fungsi bertipe, di mana adalah himpunan terner, dan merupakan bilangan bulat non-negatif, yang disebut aritas atau lokalitas fungsi. Unsur-unsur himpunan adalah digital ... ... Wikipedia

Representasi fungsi Boolean dengan bentuk normal (lihat Bentuk normal fungsi Boolean). paling sederhana sehubungan dengan beberapa ukuran kompleksitas. Biasanya, kerumitan bentuk normal dipahami sebagai jumlah huruf di dalamnya. Dalam hal ini, bentuk paling sederhana disebut ... ... Ensiklopedia Matematika

Fungsi yang menerima kenaikan sangat kecil saat argumen bertambah sangat kecil. Fungsi bernilai tunggal f (x) disebut kontinu untuk nilai argumen x0, jika untuk semua nilai argumen x yang berbeda cukup sedikit dari x0 ... Ensiklopedia Besar Soviet

- (Latin maksimum dan minimum, secara harfiah terbesar dan terkecil) (Matematika.), nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi dibandingkan dengan nilainya pada titik yang cukup dekat. Pada gambar, fungsi y \u003d f (x) memiliki maksimum pada titik x1 dan x3, dan pada titik x2 ... ... kamus ensiklopedis

- (dari bahasa Latin maksimum dan minimum, terbesar dan terkecil) (matematis), nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi dibandingkan dengan nilainya pada titik-titik yang cukup dekat. Titik tinggi dan titik rendah disebut titik ekstrim... Ensiklopedia Modern

Terkadang dalam soal B15 terdapat fungsi "buruk" yang sulit dicari turunannya. Sebelumnya, ini hanya untuk pemeriksaan, tetapi sekarang tugas ini sangat umum sehingga tidak dapat diabaikan lagi saat mempersiapkan ujian ini.

Dalam hal ini, trik lain berfungsi, salah satunya adalah - nada datar.

Fungsi f (x) disebut naik secara monoton pada ruas jika untuk sembarang titik x 1 dan x 2 pada ruas ini berlaku:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Fungsi f (x) disebut menurun monoton pada segmen jika untuk setiap titik x 1 dan x 2 dari segmen ini berlaku:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).

Dengan kata lain, untuk fungsi naik, semakin besar x, semakin besar f(x). Untuk fungsi menurun, kebalikannya benar: semakin banyak x , the lebih kecil f(x).

Misalnya, logaritma meningkat secara monoton jika basis a > 1 dan menurun secara monoton jika 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)

Akar kuadrat aritmatika (dan tidak hanya kuadrat) meningkat secara monoton di seluruh domain definisi:

Fungsi eksponensial berperilaku mirip dengan logaritma: meningkat untuk a > 1 dan menurun untuk 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Akhirnya, derajat dengan eksponen negatif. Anda dapat menuliskannya sebagai pecahan. Mereka memiliki titik istirahat di mana monoton rusak.

Semua fungsi ini tidak pernah ditemukan dalam bentuk murninya. Polinomial, pecahan, dan omong kosong lainnya ditambahkan ke dalamnya, karena itu menjadi sulit untuk menghitung turunannya. Apa yang terjadi dalam kasus ini - sekarang kami akan menganalisis.

Koordinat titik parabola

Paling sering, argumen fungsi diganti dengan trinomial persegi dalam bentuk y = ax 2 + bx + c . Grafiknya adalah parabola standar, di mana kita tertarik pada:

1. Cabang parabola - bisa naik (untuk a > 0) atau turun (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Titik puncak parabola adalah titik ekstrem dari fungsi kuadrat, di mana fungsi ini mengambil yang terkecil (untuk a > 0) atau terbesar (a< 0) значение.

Yang paling menarik adalah puncak parabola, yang absisnya dihitung dengan rumus:

Jadi, kami telah menemukan titik ekstrem dari fungsi kuadrat. Tetapi jika fungsi aslinya monoton, untuk itu titik x 0 juga akan menjadi titik ekstrem. Jadi, kami merumuskan aturan kunci:

Titik-titik ekstrem dari trinomial persegi dan fungsi kompleks yang dikandungnya bertepatan. Oleh karena itu, Anda dapat mencari x 0 untuk trinomial persegi, dan melupakan fungsinya.

Dari alasan di atas, masih belum jelas poin apa yang kita dapatkan: maksimum atau minimum. Namun, tugas dirancang secara khusus sehingga tidak masalah. Nilai sendiri:

1. Tidak ada segmen dalam kondisi masalah. Oleh karena itu, tidak diperlukan untuk menghitung f(a) dan f(b). Tetap hanya mempertimbangkan titik ekstrem;
2. Tetapi hanya ada satu titik seperti itu - ini adalah bagian atas parabola x 0, yang koordinatnya dihitung secara harfiah secara lisan dan tanpa turunan apa pun.

Dengan demikian, solusi dari masalah tersebut sangat disederhanakan dan direduksi menjadi hanya dua langkah:

1. Tulis persamaan parabola y = ax 2 + bx + c dan cari titik sudutnya menggunakan rumus: x 0 = b /2a;
2. Temukan nilai fungsi asli pada titik ini: f (x 0). Jika tidak ada syarat tambahan, inilah jawabannya.

Sepintas, algoritme ini dan pembenarannya mungkin tampak rumit. Saya sengaja tidak memposting skema solusi "telanjang", karena penerapan aturan seperti itu tanpa berpikir penuh dengan kesalahan.

Pertimbangkan tugas nyata dari ujian percobaan dalam matematika - di sinilah teknik ini paling umum. Pada saat yang sama, kami akan memastikan bahwa dengan cara ini banyak masalah B15 menjadi hampir verbal.

Di bawah akar adalah fungsi kuadrat y \u003d x 2 + 6x + 13. Grafik fungsi ini adalah parabola dengan cabang ke atas, karena koefisien a \u003d 1\u003e 0.

Puncak parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Karena cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, pada titik x 0 \u003d −3, fungsi y \u003d x 2 + 6x + 13 mengambil nilai terkecil.

Akar meningkat secara monoton, jadi x 0 adalah titik minimum dari seluruh fungsi. Kita punya:

Tugas. Tentukan nilai terkecil dari fungsi:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Di bawah logaritma ada lagi fungsi kuadrat: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafiknya adalah parabola dengan cabang ke atas, karena a = 1 > 0.

Puncak parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Jadi, pada titik x 0 = 1, fungsi kuadrat mengambil nilai terkecil. Tetapi fungsi y = log 2 x monoton, jadi:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Eksponen adalah fungsi kuadrat y = 1 4x x 2 . Mari kita tulis ulang dalam bentuk normal: y = x 2 4x + 1.

Jelas, grafik fungsi ini adalah parabola, bercabang ke bawah (a = 1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = b /(2a ) = (−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = 2

Fungsi aslinya adalah eksponensial, monoton, sehingga nilai terbesar akan ditemukan di titik x 0 = 2:

Pembaca yang penuh perhatian pasti akan memperhatikan bahwa kami tidak menuliskan area nilai akar dan logaritma yang diizinkan. Tapi ini tidak wajib: di dalamnya ada fungsi yang nilainya selalu positif.

Konsekuensi dari ruang lingkup fungsi

Terkadang, untuk menyelesaikan soal B15, tidak cukup hanya dengan mencari titik puncak parabola. Nilai yang diinginkan mungkin berbohong di akhir segmen, tetapi tidak pada titik ekstrem. Jika tugas tidak menentukan segmen sama sekali, lihat kisaran toleransi fungsi asli. Yaitu:

Perhatikan lagi: nol mungkin berada di bawah akar, tetapi tidak pernah dalam logaritma atau penyebut pecahan. Mari kita lihat cara kerjanya dengan contoh spesifik:

Tugas. Tentukan nilai terbesar dari fungsi:

Di bawah akar sekali lagi ada fungsi kuadrat: y \u003d 3 - 2x - x 2. Grafiknya parabola, tetapi bercabang ke bawah karena a = 1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Kami menulis area nilai yang diizinkan (ODZ):

3 2x x 2 0 x 2 + 2x 3 0 (x + 3)(x 1) 0 x [−3; satu]

Sekarang cari titik puncak parabola:

x 0 = b /(2a ) = (−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = 1

Titik x 0 = 1 milik segmen ODZ - dan ini bagus. Sekarang kami mempertimbangkan nilai fungsi pada titik x 0, serta di ujung ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Jadi, kami mendapat angka 2 dan 0. Kami diminta untuk menemukan yang terbesar - ini adalah angka 2.

Tugas. Tentukan nilai terkecil dari fungsi:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Di dalam logaritma ada fungsi kuadrat y \u003d 6x - x 2 - 5. Ini adalah parabola dengan cabang ke bawah, tetapi tidak mungkin ada angka negatif dalam logaritma, jadi kami menulis ODZ:

6x x 2 5 > 0 x 2 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Harap dicatat: ketidaksetaraannya ketat, jadi ujungnya bukan milik ODZ. Dengan cara ini, logaritma berbeda dari akarnya, di mana ujung segmen cukup cocok untuk kita.

Mencari titik puncak parabola:

x 0 = b /(2a ) = 6/(2 (−1)) = 6/(−2) = 3

Bagian atas parabola pas sepanjang ODZ: x 0 = 3 (1; 5). Tetapi karena ujung segmen tidak menarik bagi kami, kami menganggap nilai fungsi hanya pada titik x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 3 2 5) = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2

Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi

Nilai terbesar dari suatu fungsi disebut yang terbesar, nilai terkecil adalah yang terkecil dari semua nilainya.

Suatu fungsi mungkin hanya memiliki satu nilai terbesar dan hanya satu nilai terkecil, atau mungkin tidak memiliki nilai sama sekali. Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu didasarkan pada sifat-sifat berikut dari fungsi-fungsi ini:

1) Jika dalam beberapa interval (terhingga atau tak terbatas) fungsi y=f(x) kontinu dan hanya memiliki satu ekstrem, dan jika ini adalah maksimum (minimum), maka itu akan menjadi nilai terbesar (terkecil) dari fungsi dalam interval ini.

2) Jika fungsi f(x) kontinu pada beberapa segmen , maka fungsi tersebut tentu memiliki nilai terbesar dan terkecil pada segmen ini. Nilai-nilai ini dicapai baik pada titik ekstrem yang terletak di dalam segmen, atau pada batas segmen ini.

Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil pada segmen, disarankan untuk menggunakan skema berikut:

1. Temukan turunannya.

2. Temukan titik kritis dari fungsi di mana =0 atau tidak ada.

3. Temukan nilai fungsi di titik kritis dan di ujung segmen dan pilih dari mereka f max terbesar dan f min terkecil.

Ketika memecahkan masalah yang diterapkan, khususnya masalah optimasi, masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil (maksimum global dan minimum global) dari suatu fungsi pada interval X adalah penting. Untuk menyelesaikan masalah seperti itu, seseorang harus, berdasarkan kondisi , pilih variabel bebas dan nyatakan nilai yang diteliti melalui variabel ini. Kemudian cari nilai maksimum atau minimum yang diinginkan dari fungsi yang dihasilkan. Dalam hal ini, interval perubahan variabel bebas, yang dapat berhingga atau tak terhingga, juga ditentukan dari kondisi masalah.

Contoh. Tangki, yang berbentuk parallelepiped persegi panjang dengan dasar persegi, terbuka di bagian atas, harus dikalengkan di dalam dengan timah. Berapa dimensi tangki dengan kapasitas 108 liter. air sehingga biaya tinningnya paling murah?

Keputusan. Biaya pelapisan tangki dengan timah akan menjadi yang terendah jika, untuk kapasitas tertentu, permukaannya minimal. Dilambangkan dengan a dm - sisi alas, b dm - ketinggian tangki. Maka luas S permukaannya sama dengan

Dan

Hubungan yang dihasilkan menetapkan hubungan antara luas permukaan tangki S (fungsi) dan sisi alas a (argumen). Kami menyelidiki fungsi S untuk ekstrem. Temukan turunan pertama, samakan dengan nol dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:

Jadi a = 6. (a) > 0 untuk a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Contoh. Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi diantara.

Keputusan: Fungsi yang ditentukan kontinu pada seluruh sumbu bilangan. turunan fungsi

Turunan di dan di . Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik ini:

.

Nilai fungsi di ujung interval yang diberikan sama dengan . Oleh karena itu, nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah pada , nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah pada .

Pertanyaan untuk pemeriksaan diri

1. Merumuskan aturan L'Hopital untuk pengungkapan ketidakpastian formulir . Buat daftar berbagai jenis ketidakpastian yang dapat digunakan aturan L'Hospital.

2. Merumuskan tanda-tanda fungsi naik dan turun.

3. Tentukan maksimum dan minimum suatu fungsi.

4. Merumuskan kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem.

5. Nilai argumen apa (poin apa) yang disebut kritis? Bagaimana cara menemukan titik-titik ini?

6. Apa saja tanda-tanda yang cukup dari keberadaan ekstrem dari suatu fungsi? Buat garis besar skema untuk mempelajari fungsi untuk ekstrem menggunakan turunan pertama.

7. Buat garis besar skema untuk mempelajari fungsi dari suatu ekstrem menggunakan turunan kedua.

8. Definisikan kecembungan, kecekungan suatu kurva.

9. Apa titik belok dari grafik fungsi? Tentukan cara menemukan titik-titik ini.

10. Merumuskan tanda-tanda kecembungan dan kecekungan yang perlu dan cukup pada suatu ruas tertentu.

11. Tentukan asimtot dari kurva. Bagaimana cara menemukan asimtot vertikal, horizontal, dan miring dari grafik fungsi?

12. Garis besar skema umum untuk meneliti fungsi dan membangun grafiknya.

13. Rumuskan aturan untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen tertentu.

Bagaimana cara menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen?

Untuk ini kami mengikuti algoritma yang terkenal:

1 . Kami menemukan fungsi ODZ.

2 . Mencari turunan dari suatu fungsi

3 . Samakan turunannya dengan nol

4 . Kami menemukan interval di mana turunan mempertahankan tandanya, dan darinya kami menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi:

Jika pada interval I turunan dari fungsi 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} meningkat selama interval ini.

Jika pada interval I turunan dari fungsi , maka fungsi menurun selama interval ini.

5 . Kami menemukan titik maksimum dan minimum dari fungsi.

PADA titik maksimum fungsi, turunannya berubah tanda dari "+" menjadi "-".

PADA titik minimum dari fungsiturunan perubahan tanda dari "-" menjadi "+".

6 . Kami menemukan nilai fungsi di ujung segmen,

• kemudian kita bandingkan nilai fungsi di ujung segmen dan di titik maksimum, dan pilih yang terbesar dari mereka jika Anda perlu mencari nilai terbesar dari fungsi
• atau kita bandingkan nilai fungsi di ujung segmen dan di titik minimum, dan pilih yang terkecil dari mereka jika Anda perlu mencari nilai terkecil dari fungsinya

Namun, tergantung pada bagaimana fungsi berperilaku pada interval, algoritme ini dapat dikurangi secara signifikan.

Pertimbangkan fungsinya . Grafik fungsi ini terlihat seperti ini:

Mari kita perhatikan beberapa contoh penyelesaian masalah dari Open Task Bank untuk

satu . Tugas B15 (#26695)

Di potong.

1. Fungsi didefinisikan untuk semua nilai riil x

Jelas, persamaan ini tidak memiliki solusi, dan turunannya positif untuk semua nilai x. Oleh karena itu, fungsi meningkat dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, yaitu pada x=0.

Jawaban: 5.

2 . Tugas B15 (No. 26702)

Tentukan nilai terbesar dari suatu fungsi pada segmen.

1.fungsi ODZ judul="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(dalam)(bbZ)">!}

Turunan adalah nol di , Namun, pada titik-titik ini tidak berubah tanda:

Oleh karena itu, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} meningkat dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, di .

Untuk memperjelas mengapa turunan tidak berubah tanda, kita ubah ekspresi turunannya sebagai berikut:

Title="(!LANG:y^(prima)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Jawaban: 5.

3 . Tugas B15 (#26708)

Temukan nilai terkecil dari fungsi pada interval tersebut.

1. Fungsi ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Mari kita tempatkan akar persamaan ini pada lingkaran trigonometri.

Interval berisi dua angka: dan

Mari kita pasang tanda-tandanya. Untuk melakukan ini, kami menentukan tanda turunan pada titik x=0: . Ketika melewati titik-titik dan turunannya berubah tanda.

Mari kita gambarkan perubahan tanda turunan fungsi pada garis koordinat:

Jelas, titik adalah titik minimum (di mana turunannya berubah tanda dari "-" menjadi "+"), dan untuk menemukan nilai terkecil dari fungsi pada segmen, Anda perlu membandingkan nilai fungsi pada titik minimum dan di ujung kiri segmen, .

Dan untuk mengatasinya, Anda membutuhkan pengetahuan minimal tentang topik tersebut. Tahun ajaran berikutnya berakhir, semua orang ingin pergi berlibur, dan untuk mendekatkan momen ini, saya segera turun ke bisnis:

Mari kita mulai dengan daerah. Daerah yang dimaksud pada syarat tersebut adalah terbatas tertutup himpunan titik pada bidang. Misalnya, sekumpulan titik yang dibatasi oleh segitiga, termasuk SELURUH segitiga (jika dari perbatasan“Poke out” minimal satu poin, maka area tersebut tidak akan ditutup lagi). Dalam praktiknya, ada juga bidang persegi panjang, bulat, dan bentuk yang sedikit lebih kompleks. Perlu dicatat bahwa dalam teori analisis matematis, definisi yang ketat diberikan batasan, isolasi, batasan, dll., tapi saya pikir semua orang menyadari konsep ini pada tingkat intuitif, dan lebih tidak diperlukan sekarang.

Area datar secara standar dilambangkan dengan huruf , dan, sebagai suatu peraturan, diberikan secara analitik - oleh beberapa persamaan (belum tentu linier); ketidaksetaraan lebih jarang. Omset verbal yang khas: "area tertutupdibatasi oleh garis".

Bagian integral dari tugas yang sedang dipertimbangkan adalah konstruksi area pada gambar. Bagaimana cara melakukannya? Anda perlu menggambar semua garis yang terdaftar (dalam hal ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang terjadi. Area yang diinginkan biasanya sedikit menetas, dan perbatasannya disorot dengan garis tebal:


Area yang sama dapat diatur pertidaksamaan linier: , yang karena alasan tertentu lebih sering ditulis sebagai daftar pencacahan, dan bukan sistem.
Karena batas adalah milik daerah, maka semua ketidaksetaraan, tentu saja, tidak ketat.

Dan sekarang inti masalahnya. Bayangkan bahwa sumbunya lurus ke arah Anda dari titik asal koordinat. Pertimbangkan fungsi yang kontinu di setiap titik daerah. Grafik fungsi tersebut adalah permukaan, dan kebahagiaan kecilnya adalah bahwa untuk memecahkan masalah hari ini, kita tidak perlu tahu seperti apa permukaan ini sama sekali. Itu dapat terletak di atas, di bawah, melintasi pesawat - semua ini tidak penting. Dan berikut ini penting: menurut Teorema Weierstrass, kontinu di terbatas tertutup area, fungsi mencapai maksimum (dari "tertinggi") dan paling sedikit (dari "terendah") nilai yang akan ditemukan. Nilai-nilai ini tercapai atau di titik stasioner, milik daerahD , atau pada titik-titik yang terletak pada batas wilayah ini. Dari mana berikut algoritma solusi sederhana dan transparan:

Contoh 1

Di area tertutup terbatas

Keputusan: Pertama-tama, Anda perlu menggambarkan area pada gambar. Sayangnya, secara teknis sulit bagi saya untuk membuat model masalah yang interaktif, oleh karena itu saya akan segera memberikan ilustrasi terakhir, yang menunjukkan semua poin "mencurigakan" yang ditemukan selama penelitian. Biasanya mereka diletakkan satu demi satu seperti yang ditemukan:

Berdasarkan pembukaan, keputusan dapat dengan mudah dibagi menjadi dua poin:

I) Mari kita cari titik stasioner. Ini adalah tindakan standar yang telah kami lakukan berulang kali dalam pelajaran. tentang ekstrem dari beberapa variabel:

Ditemukan titik stasioner milik daerah: (tandai pada gambar), yang berarti bahwa kita harus menghitung nilai fungsi pada titik tertentu:

- seperti dalam artikel Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen, saya akan menyoroti hasil penting dalam huruf tebal. Di buku catatan, akan lebih mudah untuk melingkari mereka dengan pensil.

Perhatikan kebahagiaan kedua kami - tidak ada gunanya memeriksa kondisi yang cukup untuk ekstrim. Mengapa? Bahkan jika pada titik fungsi mencapai, misalnya, minimum lokal, maka ini TIDAK BERARTI bahwa nilai yang dihasilkan akan menjadi minimal di seluruh wilayah (lihat awal pelajaran tentang ekstrem tanpa syarat) .

Bagaimana jika titik stasioner BUKAN termasuk area? Hampir tidak ada! Perlu dicatat bahwa dan pergi ke paragraf berikutnya.

II) Kami menyelidiki perbatasan wilayah.

Karena perbatasan terdiri dari sisi-sisi segitiga, akan lebih mudah untuk membagi penelitian menjadi 3 subparagraf. Tapi lebih baik tidak melakukannya. Dari sudut pandang saya, pada awalnya lebih menguntungkan untuk mempertimbangkan segmen yang sejajar dengan sumbu koordinat, dan pertama-tama, segmen yang terletak pada sumbu itu sendiri. Untuk menangkap seluruh urutan dan logika tindakan, cobalah mempelajari akhir "dalam satu napas":

1) Mari kita berurusan dengan sisi bawah segitiga. Untuk melakukan ini, kami mengganti langsung ke fungsi:

Atau, Anda dapat melakukannya seperti ini:

Secara geometris, ini berarti bahwa bidang koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"memotong" dari permukaan parabola "spasial", yang bagian atasnya langsung dicurigai. Mari kita cari tahu dimana dia:

- nilai yang dihasilkan "memukul" di area tersebut, dan mungkin saja pada titik itu (tandai pada gambar) fungsi mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh area. Bagaimanapun, mari kita lakukan perhitungan:

"Calon" lainnya, tentu saja, adalah ujung segmen. Hitung nilai fungsi di titik (tandai pada gambar):

Omong-omong, di sini, Anda dapat melakukan pemeriksaan mini lisan pada versi "dipreteli":

2) Untuk mempelajari sisi kanan segitiga, kita substitusikan ke dalam fungsi dan "urutkan semuanya":

Di sini kami segera melakukan pemeriksaan kasar, "membunyikan" ujung segmen yang sudah diproses:
, sempurna.

Situasi geometris terkait dengan poin sebelumnya:

- nilai yang dihasilkan juga "memasuki ruang lingkup minat kita", yang berarti bahwa kita perlu menghitung apa fungsinya sama dengan titik yang muncul:

Mari kita periksa ujung kedua segmen:

Menggunakan fungsi , mari kita periksa:

3) Semua orang mungkin tahu bagaimana menjelajahi sisi yang tersisa. Kami mengganti ke dalam fungsi dan melakukan penyederhanaan:

Garis berakhir sudah diselidiki, tetapi pada draf kami masih memeriksa apakah kami menemukan fungsinya dengan benar :
– bertepatan dengan hasil subparagraf ke-1;
– bertepatan dengan hasil subparagraf ke-2.

Masih mencari tahu apakah ada sesuatu yang menarik di dalam segmen:

- ada! Mengganti garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapatkan ordinat dari "ketertarikan" ini:

Kami menandai titik pada gambar dan menemukan nilai fungsi yang sesuai:

Mari kita kendalikan perhitungan sesuai dengan versi "anggaran" :
, memesan.

Dan langkah terakhir: HATI-HATI melihat semua angka "gemuk", saya sarankan bahkan pemula untuk membuat satu daftar:

dari mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Menjawab tulis dengan gaya masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval:

Untuk jaga-jaga, saya sekali lagi akan mengomentari arti geometris dari hasilnya:
– di sini adalah titik permukaan tertinggi di wilayah tersebut;
- di sini adalah titik terendah dari permukaan di daerah tersebut.

Dalam masalah yang dianalisis, kami menemukan 7 poin "mencurigakan", tetapi jumlahnya bervariasi dari satu tugas ke tugas lainnya. Untuk wilayah segitiga, "set eksplorasi" minimum terdiri dari tiga titik. Ini terjadi ketika fungsi, misalnya, set pesawat terbang- cukup jelas bahwa tidak ada titik stasioner, dan fungsi dapat mencapai nilai maksimum / minimum hanya di simpul segitiga. Tetapi tidak ada contoh seperti itu sekali, dua kali - biasanya Anda harus berurusan dengan semacam permukaan orde ke-2.

Jika Anda menyelesaikan tugas-tugas seperti itu sedikit, maka segitiga dapat membuat kepala Anda berputar, dan oleh karena itu saya telah menyiapkan contoh yang tidak biasa bagi Anda untuk membuatnya persegi :))

Contoh 2

Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup yang dibatasi oleh garis

Contoh 3

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup yang dibatasi.

Berikan perhatian khusus pada urutan rasional dan teknik menjelajahi batas area, serta rantai pemeriksaan menengah, yang hampir sepenuhnya akan menghindari kesalahan komputasi. Secara umum, Anda dapat menyelesaikannya sesuka Anda, tetapi dalam beberapa masalah, misalnya, dalam Contoh 2 yang sama, ada setiap peluang untuk secara signifikan memperumit hidup Anda. Contoh perkiraan menyelesaikan tugas di akhir pelajaran.

Kami mensistematisasikan algoritme solusi, jika tidak, dengan ketekunan seekor laba-laba, entah bagaimana ia tersesat dalam utas panjang komentar dari contoh pertama:

- Pada langkah pertama, kami membangun sebuah area, diinginkan untuk menaungi, dan menyorot perbatasan dengan garis tebal. Selama solusi, poin akan muncul yang perlu diletakkan pada gambar.

– Temukan titik stasioner dan hitung nilai fungsi hanya di itu, yang termasuk daerah. Nilai yang diperoleh disorot dalam teks (misalnya, dilingkari dengan pensil). Jika titik stasioner BUKAN milik area, maka kami menandai fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Jika tidak ada titik stasioner sama sekali, maka kami menarik kesimpulan tertulis bahwa mereka tidak ada. Bagaimanapun, item ini tidak dapat dilewati!

– Menjelajahi daerah perbatasan. Pertama, menguntungkan untuk menangani garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat (jika ada). Nilai fungsi yang dihitung pada titik "mencurigakan" juga disorot. Banyak yang telah dikatakan tentang teknik solusi di atas dan sesuatu yang lain akan dikatakan di bawah ini - baca, baca ulang, selidiki!

- Dari angka yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawaban. Terkadang fungsi mencapai nilai seperti itu di beberapa titik sekaligus - dalam hal ini, semua titik ini harus tercermin dalam jawabannya. Biarkan, misalnya, dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Kemudian kita menulis bahwa

Contoh terakhir dikhususkan untuk ide-ide berguna lainnya yang akan berguna dalam praktik:

Contoh 4

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di area tertutup .

Saya telah menyimpan rumusan penulis, di mana area diberikan sebagai ketidaksetaraan ganda. Kondisi ini dapat ditulis dalam sistem yang setara atau dalam bentuk yang lebih tradisional untuk masalah ini:

Saya mengingatkan Anda bahwa dengan non-linier kami menemukan ketidaksetaraan pada , dan jika Anda tidak memahami arti geometris dari entri, maka tolong jangan tunda dan klarifikasi situasinya sekarang ;-)

Keputusan, seperti biasa, dimulai dengan pembangunan area, yang merupakan semacam "satu-satunya":

Hmm, terkadang Anda harus menggerogoti tidak hanya granit ilmu ....

I) Temukan titik stasioner:

Sistem impian idiot :)

Titik stasioner termasuk ke dalam wilayah, yaitu terletak pada batasnya.

Jadi, bukan apa-apa ... pelajaran yang menyenangkan berlalu - itulah artinya minum teh yang tepat =)

II) Kami menyelidiki perbatasan wilayah. Tanpa basa-basi lagi, mari kita mulai dengan sumbu x:

1) Jika , maka

Temukan di mana puncak parabola adalah:
- Hargai saat-saat seperti itu - "tekan" langsung ke intinya, dari mana semuanya sudah jelas. Tapi jangan lupa untuk memeriksa:

Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen:

2) Kami akan berurusan dengan bagian bawah "satu-satunya" "dalam satu dudukan" - tanpa kerumitan apa pun kami menggantinya ke dalam fungsi, apalagi, kami hanya akan tertarik pada segmen:

Kontrol:

Sekarang ini sudah membawa beberapa kebangkitan untuk perjalanan monoton di trek knurled. Mari kita temukan poin-poin kritisnya:

Kami memutuskan persamaan kuadrat apakah kamu ingat yang ini? ... Namun, ingat, tentu saja, jika tidak, Anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya perhitungan dalam pecahan desimal nyaman (yang, omong-omong, jarang terjadi), maka di sini kita menunggu pecahan biasa biasa. Kami menemukan akar "x" dan, menggunakan persamaan, menentukan koordinat "permainan" yang sesuai dari poin "kandidat":


Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik yang ditemukan:

Periksa sendiri fungsinya.

Sekarang kami dengan hati-hati mempelajari piala yang dimenangkan dan menuliskannya menjawab:

Inilah "kandidat", jadi "kandidat"!

Untuk solusi mandiri:

Contoh 5

Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi di area tertutup

Entri dengan kurung kurawal berbunyi seperti ini: "satu set poin sedemikian rupa".

Terkadang dalam contoh seperti itu mereka menggunakan Metode pengali Lagrange, tetapi kebutuhan nyata untuk menggunakannya tidak mungkin muncul. Jadi, misalnya, jika suatu fungsi dengan luas "de" yang sama diberikan, maka setelah substitusi ke dalamnya - dengan turunan tidak ada kesulitan; apalagi, semuanya disusun dalam "satu garis" (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan setengah lingkaran atas dan bawah secara terpisah. Tapi, tentu saja, ada kasus yang lebih rumit, di mana tanpa fungsi Lagrange (di mana , misalnya, adalah persamaan lingkaran yang sama) sulit untuk melewati - betapa sulitnya untuk bertahan tanpa istirahat yang baik!

Semua yang terbaik untuk lulus sesi dan sampai jumpa musim depan!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Keputusan: menggambar area pada gambar: