Definisi dasar. Suatu sistem vektor membentuk basis jika:

1) bebas linier,

2) vektor ruang apa pun dapat dinyatakan secara linier melalui vektor tersebut.

Contoh 1. Dasar ruang: .

2. Dalam sistem vektor basisnya adalah vektor: , karena dinyatakan secara linear dalam bentuk vektor.

Komentar. Untuk mencari basis sistem vektor tertentu, Anda perlu:

1) tuliskan koordinat vektor-vektor tersebut ke dalam matriks,

2) menggunakan transformasi dasar, bawa matriks ke bentuk segitiga,

3) baris matriks yang bukan nol akan menjadi basis sistem,

4) jumlah vektor pada basis sama dengan pangkat matriks.

Teorema Kronecker-Capelli

Teorema Kronecker – Capelli memberikan jawaban komprehensif terhadap pertanyaan tentang kesesuaian sistem persamaan linear arbitrer dengan persamaan linear yang tidak diketahui.

Teorema Kronecker – Capelli. Suatu sistem persamaan aljabar linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks yang diperluas dari sistem tersebut sama dengan pangkat matriks utama, .

Algoritme untuk mencari semua solusi sistem persamaan linear simultan mengikuti teorema Kronecker – Capelli dan teorema berikut.

Dalil. Jika peringkat suatu sistem gabungan sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik.

Dalil. Jika rank suatu sistem gabungan lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sembarang:

1. Temukan pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas dari sistem. Jika tidak sama (), maka sistem tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jika peringkatnya sama ( , maka sistem tersebut konsisten.

2. Untuk sistem gabungan, kita menemukan suatu minor, yang urutannya menentukan pangkat matriks (minor seperti itu disebut dasar). Mari kita buat sistem persamaan baru di mana koefisien-koefisien yang tidak diketahui dimasukkan dalam minor dasar (yang tidak diketahui ini disebut yang tidak diketahui utama), dan membuang persamaan yang tersisa. Kami akan meninggalkan yang tidak diketahui utama dengan koefisien di sebelah kiri, dan memindahkan sisa yang tidak diketahui (disebut tidak diketahui bebas) ke sisi kanan persamaan.

3. Mari kita temukan ekspresi untuk hal-hal yang tidak diketahui dalam bentuk yang gratis. Kami memperoleh solusi umum dari sistem.

4. Dengan memberikan nilai arbitrer pada hal-hal yang tidak diketahui bebas, kita memperoleh nilai-nilai yang sesuai dari hal-hal yang tidak diketahui utama. Dengan cara ini kita menemukan solusi parsial terhadap sistem persamaan asli.

Pemrograman linier. Konsep dasar

Pemrograman linier adalah cabang pemrograman matematika yang mempelajari metode penyelesaian masalah ekstrem yang bercirikan hubungan linier antar variabel dan kriteria linier.

Kondisi yang diperlukan untuk menimbulkan masalah program linier adalah pembatasan ketersediaan sumber daya, jumlah permintaan, kapasitas produksi perusahaan dan faktor produksi lainnya.

Inti dari pemrograman linier adalah menemukan titik-titik nilai terbesar atau terkecil dari suatu fungsi tertentu di bawah serangkaian batasan tertentu yang dikenakan pada argumen dan generator. sistem pembatasan , yang biasanya memiliki jumlah solusi tak terhingga. Setiap kumpulan nilai variabel (argumen fungsi F ) yang memenuhi sistem kendala disebut rencana yang valid masalah pemrograman linier. Fungsi F , maksimum atau minimum yang ditentukan disebut fungsi sasaran tugas. Suatu rencana yang layak dimana fungsi maksimum atau minimum dapat dicapai F , ditelepon rencana optimal tugas.

Sistem pembatasan yang menentukan banyak rencana ditentukan oleh kondisi produksi. Masalah pemrograman linier ( ZLP ) adalah pilihan yang paling menguntungkan (optimal) dari serangkaian rencana yang layak.

Secara umum rumusan masalah program linier terlihat seperti ini:

Apakah ada variabel? x = (x 1, x 2, ... xn) dan fungsi dari variabel-variabel tersebut f(x) = f (x 1, x 2, ... xn) , yang disebut target fungsi. Tugasnya ditetapkan: menemukan ekstrem (maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x) asalkan variabelnya X milik suatu daerah G :

Tergantung pada jenis fungsinya f(x) dan wilayah G dan membedakan bagian-bagian pemrograman matematika: pemrograman kuadrat, pemrograman cembung, pemrograman bilangan bulat, dll. Pemrograman linier dicirikan oleh fakta bahwa
sebuah fungsi f(x) adalah fungsi linier dari variabel x 1, x 2, … xn
b) wilayah G ditentukan oleh sistem linier persamaan atau ketidaksetaraan.

Kuliah tentang aljabar dan geometri. Semester 1.

Kuliah 9. Dasar ruang vektor.

Ringkasan: sistem vektor, kombinasi linier suatu sistem vektor, koefisien kombinasi linier suatu sistem vektor, basis pada garis, bidang dan ruang, dimensi ruang vektor pada garis, bidang dan ruang, penguraian vektor sepanjang suatu basis, koordinat suatu vektor relatif terhadap basis, teorema persamaan dua vektor, operasi linier dengan vektor dalam notasi koordinat, ortonormal rangkap tiga vektor, rangkap tiga vektor kanan dan kiri, basis ortonormal, teorema dasar aljabar vektor.

Bab 9. Basis ruang vektor dan penguraian vektor terhadap basis.

ayat 1. Dasar pada garis lurus, pada bidang datar, dan pada ruang.

Definisi. Himpunan vektor yang berhingga disebut sistem vektor.

Definisi. Ekspresi dimana
disebut kombinasi linier dari suatu sistem vektor
, dan angkanya
disebut koefisien kombinasi linier ini.

Misal L, P, dan S masing-masing berupa garis lurus, bidang, dan ruang titik, dan
. Kemudian
– ruang vektor dari vektor-vektor sebagai ruas-ruas berarah pada garis lurus L, pada bidang P dan pada ruang S.

setiap vektor bukan nol disebut
, yaitu. setiap vektor bukan nol yang segaris dengan garis L:
Dan
.

Penunjukan dasar
:
– dasar
.

Definisi. Dasar ruang vektor
adalah setiap pasangan vektor nonkolinier terurut dalam ruang
.

, Di mana
,
– dasar
.

Definisi. Dasar ruang vektor
adalah setiap rangkap tiga vektor non-coplanar (yaitu, tidak terletak pada bidang yang sama) yang terurut
.

– dasar
.

Komentar. Basis ruang vektor tidak boleh memuat vektor nol: di dalam ruang
menurut definisi, di luar angkasa
dua buah vektor akan segaris jika salah satu vektornya nol dalam ruang
tiga vektor akan koplanar, yaitu terletak pada bidang yang sama, jika paling sedikit salah satu dari ketiga vektor tersebut adalah nol.

ayat 2. Penguraian vektor berdasarkan basis.

Definisi. Membiarkan – vektor sewenang-wenang,
– sistem vektor yang berubah-ubah. Jika kesetaraan berlaku

kemudian mereka mengatakan bahwa vektor disajikan sebagai kombinasi linier dari sistem vektor tertentu. Jika suatu sistem vektor tertentu
adalah basis ruang vektor, maka persamaan (1) disebut penguraian vektor berdasarkan dasar
. Koefisien kombinasi linier
dalam hal ini disebut koordinat vektor relatif terhadap basis
.

Dalil. (Tentang penguraian vektor terhadap suatu basis.)

Vektor apa pun dari ruang vektor dapat diperluas ke basisnya dan, terlebih lagi, dengan cara yang unik.

Bukti. 1) Misalkan L adalah garis lurus (atau sumbu) sembarang dan
– dasar
. Mari kita ambil vektor sembarang
. Karena kedua vektor Dan segaris dengan garis L yang sama, maka
. Mari kita gunakan teorema kolinearitas dua vektor. Karena
, maka ada (ada) nomor tersebut
, Apa
dan dengan demikian kita memperoleh dekomposisi vektor berdasarkan dasar
ruang vektor
.

Kami sekarang membuktikan keunikan dekomposisi tersebut. Anggap saja sebaliknya. Misalkan ada dua dekomposisi vektor berdasarkan dasar
ruang vektor
:

Dan
, Di mana
. Kemudian
dan menggunakan hukum distribusi, kita mendapatkan:

Karena
, maka dari persamaan terakhir itu
, dll.

2) Sekarang misalkan P adalah bidang sembarang dan
– dasar
. Membiarkan
vektor sewenang-wenang dari bidang ini. Mari kita tunda ketiga vektor dari satu titik mana pun pada bidang ini. Mari kita buat 4 garis lurus. Ayo buat langsung , di mana vektor itu berada , lurus
, di mana vektor itu berada . Melalui ujung vektor menggambar garis sejajar dengan vektor dan garis lurus yang sejajar dengan vektor . 4 garis ini memotong jajar genjang. Lihat di bawah gambar. 3. Menurut aturan jajaran genjang
, Dan
,
,
– dasar ,
– dasar
.

Nah, menurut yang sudah dibuktikan pada bagian pertama pembuktian ini, angka-angka tersebut ada
, Apa

Dan
. Dari sini kita mendapatkan:

dan kemungkinan perluasan basis terbukti.

Sekarang mari kita buktikan keunikan pemekaran dari segi dasarnya. Anggap saja sebaliknya. Misalkan ada dua dekomposisi vektor berdasarkan dasar
ruang vektor
:
Dan
. Kami mendapatkan kesetaraan

Dari mana asalnya?
. Jika
, Itu
, dan karena
, Itu
dan koefisien muainya adalah:
,
. Biarkan sekarang
. Kemudian
, Di mana
. Berdasarkan teorema kolinearitas dua vektor, hal ini menyiratkan bahwa
. Kami memperoleh kontradiksi dengan kondisi teorema. Karena itu,
Dan
, dll.

3) Biarkan
– dasar
biarkan saja
vektor sewenang-wenang. Mari kita lakukan konstruksi berikut.

Sisihkan ketiga vektor basis
dan vektor dari satu titik dan buatlah 6 bidang: bidang di mana vektor-vektor basis berada
, pesawat
dan pesawat
; lebih jauh melalui ujung vektor gambarlah tiga bidang sejajar dengan tiga bidang yang baru saja dibuat. 6 pesawat ini cocok untuk Anda:

Menurut aturan penjumlahan vektor, kita memperoleh persamaan:

. (1)

Oleh konstruksi
. Oleh karena itu, berdasarkan teorema kolinearitas dua vektor, maka ada suatu bilangan
, seperti yang
. Juga,
Dan
, Di mana
. Sekarang, dengan mensubstitusi persamaan ini ke (1), kita mendapatkan:

dan kemungkinan perluasan basis terbukti.

Mari kita buktikan keunikan penguraian tersebut. Anggap saja sebaliknya. Misalkan ada dua dekomposisi vektor berdasarkan dasar
:

DAN . Kemudian

Perhatikan bahwa dengan mengkondisikan vektor
non-koplanar, oleh karena itu, keduanya berpasangan non-kolinear.

Ada dua kemungkinan kasus:
atau
.

a) Biarkan
, maka dari persamaan (3) sebagai berikut:

. (4)

Dari persamaan (4) maka vektor mengembang sesuai dengan dasarnya
, yaitu. vektor terletak pada bidang vektor
dan karena itu vektornya
coplanar, yang bertentangan dengan kondisi.

b) Masih ada kasus
, yaitu.
. Kemudian dari persamaan (3) kita peroleh atau

Karena
adalah basis ruang dari vektor-vektor yang terletak pada bidang, dan kita telah membuktikan keunikan pemuaian basis vektor-vektor pada bidang tersebut, maka dari persamaan (5) diperoleh bahwa
Dan
, dll.

Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi.

1) Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan vektor-vektor dalam ruang vektor
dan himpunan bilangan real R.

2) Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan vektor-vektor dalam ruang vektor
dan alun-alun Cartesian

3) Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan vektor-vektor dalam ruang vektor
dan kubus kartesius
himpunan bilangan real R.

Bukti. Mari kita buktikan pernyataan ketiga. Dua yang pertama dibuktikan dengan cara yang sama.

Pilih dan perbaiki di luar angkasa
beberapa dasar
dan mengatur tampilan
menurut aturan berikut:

itu. Mari kita kaitkan setiap vektor dengan himpunan koordinatnya yang terurut.

Karena, dengan basis tetap, setiap vektor mempunyai satu set koordinat, korespondensi yang ditentukan oleh aturan (6) memang merupakan pemetaan.

Dari pembuktian teorema tersebut dapat disimpulkan bahwa vektor-vektor yang berbeda mempunyai koordinat yang berbeda-beda terhadap basis yang sama, yaitu. pemetaan (6) adalah injeksi.

Membiarkan
himpunan bilangan real yang terurut secara sembarang.

Pertimbangkan sebuah vektor
. Vektor berdasarkan konstruksi ini memiliki koordinat
. Oleh karena itu, pemetaan (6) merupakan suatu proyeksi.

Pemetaan yang bersifat injektif dan dugaan bersifat bijektif, yaitu. satu lawan satu, dll.

Investigasi telah terbukti.

Dalil. (Tentang persamaan dua vektor.)

Dua vektor dikatakan sama jika dan hanya jika koordinatnya terhadap basis yang sama adalah sama.

Buktinya langsung mengikuti akibat wajar sebelumnya.

ayat 3. Dimensi ruang vektor.

Definisi. Banyaknya vektor pada basis suatu ruang vektor disebut dimensinya.

Penamaan:
– dimensi ruang vektor V.

Jadi, sesuai dengan definisi ini dan definisi sebelumnya, kita mempunyai:

1)
– ruang vektor dari vektor-vektor garis L.

– dasar
,
,
,
– dekomposisi vektor
berdasarkan dasar
,
- koordinat vektor relatif terhadap basis
.

2)
– ruang vektor dari vektor-vektor bidang R.

– dasar
,
,
,
– dekomposisi vektor
berdasarkan dasar
,
adalah koordinat vektor relatif terhadap basis
.

3)
– ruang vektor dari vektor-vektor dalam ruang titik S.

– dasar
,
,
– dekomposisi vektor
berdasarkan dasar
,
adalah koordinat vektor relatif terhadap basis
.

Komentar. Jika
, Itu
dan Anda dapat memilih dasarnya
ruang angkasa
Jadi
– dasar
Dan
– dasar
. Kemudian
, Dan
, .

Jadi, vektor apa pun pada garis L, bidang P, dan ruang S dapat diperluas menurut basisnya
:

Penamaan. Berdasarkan teorema persamaan vektor, kita dapat mengidentifikasi vektor apa pun dengan bilangan real rangkap tiga dan menulis:

Ini hanya mungkin jika dasarnya
diperbaiki dan tidak ada bahaya kusut.

Definisi. Penulisan suatu vektor dalam bentuk tripel bilangan real yang terurut disebut bentuk koordinat penulisan vektor:
.

ayat 4. Operasi linier dengan vektor dalam notasi koordinat.

Membiarkan
– dasar ruang
Dan
adalah dua vektor sembarangnya. Membiarkan
Dan
– pencatatan vektor-vektor ini dalam bentuk koordinat. Biarkan, lebih lanjut,
adalah bilangan real sembarang. Dengan menggunakan notasi ini, teorema berikut berlaku.

Dalil. (Tentang operasi linier dengan vektor dalam bentuk koordinat.)

2)
.

Dengan kata lain, untuk menjumlahkan dua vektor, Anda perlu menjumlahkan koordinatnya yang bersesuaian, dan untuk mengalikan vektor dengan suatu bilangan, Anda perlu mengalikan setiap koordinat vektor tertentu dengan bilangan tertentu.

Bukti. Karena, menurut kondisi teorema, , maka dengan menggunakan aksioma ruang vektor, yang mengatur operasi penjumlahan vektor dan mengalikan vektor dengan suatu bilangan, kita memperoleh:

Ini menyiratkan.

Persamaan kedua dibuktikan dengan cara yang sama.

Teorema tersebut telah terbukti.

ayat 5. Vektor ortogonal. Dasar ortonormal.

Definisi. Dua vektor disebut ortogonal jika sudut antara keduanya sama dengan sudut siku-siku, yaitu.
.

Penamaan:
– vektor Dan ortogonal.

Definisi. Troika vektor
disebut ortogonal jika vektor-vektor ini berpasangan ortogonal satu sama lain, yaitu.
,
.

Definisi. Troika vektor
Disebut ortonormal jika ortogonal dan panjang semua vektor sama dengan satu:
.

Komentar. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa tripel vektor yang ortogonal dan ortonormal adalah non-coplanar.

Definisi. Triplet vektor non-coplanar terurut
diplot dari suatu titik disebut kanan (berorientasi ke kanan) jika diamati dari ujung vektor ketiga ke bidang di mana dua vektor pertama berada Dan , rotasi terpendek dari vektor pertama ke yang kedua terjadi berlawanan arah jarum jam. Jika tidak, rangkap tiga vektor disebut kiri (berorientasi kiri).

Di sini, pada Gambar 6, tiga vektor di sebelah kanan ditunjukkan
. Gambar 7 berikut menunjukkan tiga vektor di sebelah kiri
:

Definisi. Dasar
ruang vektor
disebut ortonormal jika
rangkap tiga vektor yang ortonormal.

Penamaan. Berikut ini kita akan menggunakan basis ortonormal yang benar
, lihat gambar berikut.

Ekspresi bentuk ditelepon kombinasi linier vektor SEBUAH 1 , SEBUAH 2 ,...,SEBUAH n dengan peluang λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Penentuan ketergantungan linier suatu sistem vektor

Sistem vektor SEBUAH 1 , SEBUAH 2 ,...,SEBUAH n ditelepon bergantung secara linear, jika ada himpunan bilangan bukan nol λ 1, λ 2 ,...,λ n, di mana kombinasi linier vektor λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sama dengan vektor nol, yaitu sistem persamaan: mempunyai solusi bukan nol.
Seperangkat angka λ 1, λ 2 ,...,λ n bukan nol jika setidaknya salah satu angkanya λ 1, λ 2 ,...,λ n berbeda dari nol.

Penentuan independensi linier suatu sistem vektor

Sistem vektor SEBUAH 1 , SEBUAH 2 ,...,SEBUAH n ditelepon independen linier, jika kombinasi linier dari vektor-vektor ini λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sama dengan vektor nol hanya untuk himpunan bilangan nol λ 1, λ 2 ,...,λ n , yaitu sistem persamaan: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ mempunyai solusi nol yang unik.

Contoh 29.1

Periksa apakah suatu sistem vektor bergantung linier

Larutan:

1. Kami menyusun sistem persamaan:

2. Kami menyelesaikannya menggunakan metode Gauss. Transformasi Jordanano dari sistem diberikan pada Tabel 29.1. Saat menghitung, ruas kanan sistem tidak ditulis karena sama dengan nol dan tidak berubah selama transformasi Jordan.

3. Dari tiga baris terakhir tabel tuliskan sistem terselesaikan yang setara dengan yang asli sistem:

4. Kami memperoleh solusi umum dari sistem:

5. Setelah menetapkan nilai variabel bebas x 3 =1 sesuai kebijaksanaan Anda, kita memperoleh solusi tertentu yang bukan nol X=(-3,2,1).

Jawaban: Jadi, untuk himpunan bilangan bukan nol (-3,2,1), kombinasi vektor linier sama dengan vektor nol -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Karena itu, sistem vektor bergantung linier.

Sifat-sifat sistem vektor

Properti (1)
Jika suatu sistem vektor bergantung linier, maka paling sedikit salah satu dari vektor-vektor tersebut diperluas terhadap vektor-vektor lainnya, dan sebaliknya, jika paling sedikit salah satu dari vektor-vektor dalam sistem tersebut diperluas terhadap vektor-vektor lainnya, maka sistem vektor-vektor tersebut bergantung linier.

Properti (2)
Jika suatu subsistem vektor bergantung linier, maka seluruh sistem bergantung linier.

Properti (3)
Jika suatu sistem vektor bebas linier, maka setiap subsistemnya juga bebas linier.

Properti (4)
Setiap sistem vektor yang memuat vektor nol adalah bergantung linier.

Properti (5)
Suatu sistem vektor berdimensi m selalu bergantung linier jika jumlah vektor n lebih besar dari dimensinya (n>m)

Dasar dari sistem vektor

Dasar dari sistem vektor A 1 , A 2 ,..., A n subsistem seperti B 1 , B 2 ,...,B r disebut(masing-masing vektor B 1,B 2,...,B r adalah salah satu vektor A 1, A 2,..., A n), yang memenuhi syarat berikut:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistem vektor bebas linier;
2. vektor apa pun Sebuah j sistem A 1 , A 2 ,..., A n dinyatakan linier melalui vektor B 1 , B 2 ,..., B r

R— jumlah vektor yang termasuk dalam basis.

Teorema 29.1 Berdasarkan satuan sistem vektor.

Jika suatu sistem vektor berdimensi m mengandung m vektor satuan yang berbeda E 1 E 2 ,..., E m , maka vektor-vektor tersebut membentuk basis sistem tersebut.

Algoritma untuk mencari basis suatu sistem vektor

Untuk mencari basis sistem vektor A 1 ,A 2 ,...,A n perlu:

• Buatlah sistem persamaan homogen yang bersesuaian dengan sistem vektor A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Bawa sistem ini