Pertimbangkan deret fungsional$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+u_(3) (x ) +...$, yang anggotanya merupakan fungsi dari satu variabel bebas x. Jumlah n suku pertama deret $S_(n) (x)=u_(1) (x)+u_(2) (x)+...+u_(n) (x)$ adalah sebagian jumlah dari deret fungsional ini. Istilah umum $u_(n) (x)$ adalah fungsi dari x yang didefinisikan dalam beberapa domain. Pertimbangkan deret fungsional pada titik $x=x_(0) $. Jika deret bilangan yang sesuai $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x_(0))$ konvergen, mis. ada limit jumlah parsial dari deret ini$\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_(n) (x_(0))=S(x_(0))$(di mana $S( x_(0) )
Definisi 2
daerah konvergensi deret fungsional $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ adalah himpunan semua nilai x yang konvergen deret fungsionalnya. Daerah konvergensi, yang terdiri dari semua titik konvergensi, dilambangkan dengan $D(x)$. Perhatikan bahwa $D(x)\subset $R.
Deret fungsional konvergen dalam domain $D(x)$ jika untuk $x\dalam D(x)$ konvergen sebagai deret numerik, dan jumlahnya adalah beberapa fungsi $S(x)$. Inilah yang disebut fungsi limit dari barisan $\left\(S()_(n) (x)\right\)$: $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) S_( n) (x) =S(x)$.
Bagaimana cara mencari luas konvergensi deret fungsional $D(x)$? Anda dapat menggunakan tanda yang mirip dengan tanda d'Alembert. Untuk deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) (x)$ kita buat $u_(n+1) (x)$ dan pertimbangkan limit di x tetap: $\ mathop(\ lim )\limits_(n\ke \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \kanan|=\kiri|l(x) \kanan| $. Maka $D(x)$ adalah solusi dari pertidaksamaan $\left|l(x)\right|
Contoh 1
Tentukan domain konvergensi dari deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $.
Keputusan. Tunjukkan $u_(n) (x)=\frac(x^(n) )(n) $, $u_(n+1) (x)=\frac(x^(n+1) )(n+1 ) $. Tulis dan hitung limit $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) \left|\frac(u_(n+1) (x))(u_(n) (x)) \right|= \ mathop(\lim )\limits_(n\ke \infty ) \left|\frac(x^(n+1) \cdot n)(x^(n) \cdot (n+1)) \kanan|= \ left|x\right|$, maka daerah konvergensi dari deret tersebut ditentukan oleh pertidaksamaan $\left|x\right|
jika $x=1$, $u_(n) (1)=\frac(1)(n) $, maka kita mendapatkan deret divergen $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac (1)(n) \, $;
jika $x=-1$, $u_(n) (-1)=\frac((-1)^(n) )(n) $, maka deret $\sum \limits _(n=1)^ ( \infty )\frac((-1)^(n) )(n) \, \, $ konvergen secara kondisional (menurut kriteria Leibniz).
Jadi, domain konvergensi $D(x)$ dari deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(x^(n) )(n) \, $ memiliki bentuk:$- 1\le x
Properti seri daya
Pertimbangkan deret pangkat $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $, yang interval konvergensinya adalah $(-R;\, R)$, maka jumlah dari deret pangkat $ S(x)$ didefinisikan untuk semua $x\in (-R;R)$ dan kita dapat menulis $S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_ (n) x^ (n)$.
Properti 1. Deret pangkat $\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) $ konvergen mutlak pada sembarang interval $\, \, \subset \, (-R;R)$ , terletak dalam interval konvergensi, dan jumlah deret pangkat $S(x)$ adalah fungsi kontinu untuk semua $x\dalam $.
Properti 2. Jika segmennya adalah $\, \, \subset \, (-R;R)$, maka deret pangkat dapat diintegrasikan secara term dari a ke b, yaitu. jika
$S(x)=\sum \limits _(n=0)^(\infty )a_(n) x^(n) =a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2 ) +...$, lalu
$\int \limits _(a)^(b)S(x)\, (\rm d)x =\sum \limits _(n=0)^(\infty )\int \limits _(a)^ (b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x=\int \limits _(a)^(b)a_(0) (\rm d)x +\int \limits _( a)^(b)a_(1) x\, (\rm d)x +...+\int \limits _(a)^(b)a_(n) x^(n) \, (\rm d)x +...$.
Dalam hal ini, jari-jari konvergensi tidak berubah:
di mana $a"_(n) =\frac(a_(n) )(n+1) $ adalah koefisien dari deret terintegrasi.
Properti 3. Jumlah deret pangkat adalah fungsi yang memiliki turunan dari sembarang orde dalam interval konvergensi. Turunan dari jumlah deret pangkat akan menjadi jumlah deret yang diperoleh dari deret pangkat yang diberikan dengan pendiferensialan suku dengan jumlah kali yang sesuai, dan jari-jari konvergensi deret tersebut akan sama dengan jari-jari konvergensi deret tersebut. seri asli.
Jika $S(x)=a_(0) +a_(1) x+a_(2) x^(2) +...+a_(n) x^(n) +...=\sum \limits _(n=0)^(\infty )\, a_(n) \cdot x^(n) $, lalu $S"(x)=a_(1) +2a_(2) x+...+na_( n) x^(n-1) +...=\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, n\cdot a_(n) \cdot x^(n-1) $,$ S""(x)=2a_(2) +6a_(3) x+...+n(n-1)a_(n) x^(n-2) +...=\sum \limits _(n =2)^(\infty )\, n\cdot (n-1)\cdot a_(n) \cdot x^(n-2) $, ... , dll.
Contoh
Seri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )n!\; x^(n) $ konvergen hanya di titik $x=0$, deret divergen di semua titik lainnya. $V:\kiri\(0\kanan\).$
Seri $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(x^(n) )(n $ сходится во всех точках оси, $V=R$.!}
Deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) x^(n) )(n) $ konvergen di daerah $V=(-1, \, 1]$.
Deret $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac(1)(n+\cos x) $ divergen di semua titik sumbu $V=$$\emptyset$.
Elemen struktur semantik
Struktur semantik kalimat.
(Pertanyaan ini untuk studi mandiri!)
Jenis analisis ini menghubungkan organisasi semantik sebuah kalimat dengan organisasi formalnya. Arah ini mengedepankan konsep struktur semantik kalimat (terutama N.Yu. Shvedova).
Diagram blok memiliki semantiknya sendiri, yang dibuat oleh nilai formal komponen, aturan untuk konten leksikalnya, dan hubungan komponen satu sama lain (dalam diagram non-komponen tunggal).
Makna linguistik dari kalimat tertentu yang dibangun menurut satu atau lain pola dibentuk oleh tindakan timbal balik dari semantik pola ini dan semantik leksikal dari kata-kata yang telah mengambil posisi komponennya: Siswa menulis; anak bersukacita dengan semantik umum MSS ("hubungan antara subjek dan fitur predikatifnya - tindakan atau keadaan prosedural") dalam kasus pertama, makna "hubungan antara subjek dan tindakan spesifiknya" disajikan, di kedua kasus - "hubungan antara subjek dan keadaan emosionalnya" .
Deret fungsional dari bentuk di mana (koefisien deret) dan (pusat deret) adalah konstanta, variabel, disebut seri kekuasaan. Jelas bahwa jika kita belajar menghitung daerah konvergensi deret pangkat (dengan pusat), maka kita dapat dengan mudah menemukan daerah konvergensi deret aslinya.Oleh karena itu, mulai sekarang, kecuali dinyatakan lain, kita akan mempertimbangkan deret kekuatan dari formulir.
teorema Habel.Jika suatu deret pangkat konvergen pada suatu titik, maka deret tersebut konvergen secara mutlak dan dalam interval Pada sembarang segmen, deret yang ditunjukkan konvergen secara seragam.
Bukti. Karena deret tersebut konvergen, suku umumnya terbatas, mis. ada konstanta sehingga
Biarkan sekarang. Maka kita akan memiliki
Karena deret geometri konvergen (), maka teorema perbandingan pertama konvergen dan deret Bagian pertama dari teorema terbukti.
Karena deret tersebut konvergen dengan apa yang telah dibuktikan dan dibesar-besarkan sebagai (lihat) deret tersebut, maka dengan teorema Weierstrass deret terakhir konvergen beraturan sebagai .Teorema tersebut terbukti sepenuhnya.
Ini mengikuti dari teorema Abel bahwa kita dapat memperluas interval sampai saat datang ketika deret divergen pada titik (atau momen seperti itu tidak datang sama sekali, yaitu). Maka interval yang ditentukan akan menjadi daerah konvergensi dari deret tersebut.Dengan demikian, setiap deret pangkat memiliki sebagai daerah konvergensinya bukan himpunan sembarang, tetapi justru sebuah interval. Mari kita berikan definisi yang lebih tepat tentang interval konvergensi.
Definisi 2. Nomor tersebut disebut radius konvergensi deret, jika di dalam interval deret ini konvergen sangat, dan di luar segmen itu menyimpang. Dalam hal ini, intervalnya disebut interval konvergensi baris.
Perhatikan bahwa untuk , deret pangkat yang ditunjukkan hanya konvergen pada titik dan untuk , konvergen untuk semua nilai riil Contoh berikut menunjukkan bahwa kasus-kasus ini tidak dikecualikan: Contoh deret dengan jari-jari konvergensi berhingga bukan nol dapat berupa progresi, baik konvergen maupun divergen. Misalnya, deret bersyarat konvergen pada suatu titik dan divergen pada suatu titik
Dari sifat-sifat deret fungsi konvergen seragam (Teorema 1-3), sifat-sifat deret pangkat berikut ini mudah disimpulkan.
Teorema 4.Membiarkan menjadi jari-jari konvergensi dari deret pangkat. Maka terjadilah pernyataan-pernyataan berikut:
1. Jumlah deret pangkat yang diberikan kontinu dalam interval konvergensi;
2. Jika adalah jari-jari konvergensi deret pangkat, maka deret turunan akan memiliki jari-jari konvergensi yang sama, artinya deret pangkat tersebut dapat dideferensiasikan beberapa kali (yaitu, jumlah deret pangkat tersebut terdiferensiasi tak terhingga dalam interval konvergensi), dan persamaan
3. Deret pangkat dapat diintegrasikan pada sembarang interval yang terletak di dalam interval konvergensinya, mis.
Bukti, misalnya, properti pertama akan seperti ini. Biarkan titik sewenang-wenang dari interval konvergensi . Kelilingi titik ini dengan segmen simetris Menurut teorema Abel, deret tersebut konvergen secara seragam pada segmen, sehingga jumlahnya kontinu pada segmen yang ditentukan, dan oleh karena itu kontinu, khususnya, dan pada titik Properti 1 terbukti. Sifat-sifat yang tersisa dari teorema kita dibuktikan dengan cara yang sama.
Sekarang mari kita hitung jari-jari konvergensi deret pangkat dari koefisiennya.
Teorema 4 . Biarkan setidaknya satu dari kondisi berikut dipenuhi:
a) ada batas (terbatas atau tak terbatas)
b) ada batas (terhingga atau tak terbatas) (diasumsikan ada bilangan sedemikian rupa).
Maka bilangan tersebut adalah jari-jari konvergensi deret tersebut.
Bukti kami akan melakukan untuk kasus a). Mari kita terapkan uji Cauchy pada deret modular: Menurut pengujian yang ditunjukkan, deret tersebut konvergen secara mutlak jika bilangan yaitu. jika Jika, yaitu jika maka deret yang ditunjukkan divergen. Oleh karena itu, jari-jari konvergensi deret tersebut. Teorema telah terbukti.
Catatan 1. Teorema 1-4 dapat dibawa ke bentuk deret pangkat hampir tanpa mengubah kata-katanya (dengan sedikit koreksi bahwa dalam hal ini daerah konvergensi adalah intervalnya).
Contoh 1 Cari luas konvergensi deret ( tugas 10, T.R., Kuznetsov LA)
Keputusan. Kami menerapkan analog dari a) teorema Cauchy: jari-jari konvergensi dari deret yang diberikan. Jadi deret tersebut benar-benar konvergen di daerah
Kami menyelidiki konvergensi deret di ujung interval. Kita punya
menyimpang, karena
menyimpang, karena
Oleh karena itu, luas konvergensi deret asli adalah intervalnya.
Baris.
Definisi dasar.
Definisi. Jumlah suku-suku barisan bilangan tak hingga disebut seri numerik.
Dalam hal ini, angka-angka tersebut akan disebut anggota deret, dan kamu tidak adalah anggota umum dari seri.
Definisi. Jumlah, n = 1, 2, … ditelepon jumlah pribadi (sebagian) baris.
Dengan demikian, adalah mungkin untuk mempertimbangkan barisan jumlah parsial dari deret tersebut S 1 , S 2 , …, S n , …
Definisi. Baris disebut konvergen jika barisan jumlah parsialnya konvergen. Jumlah deret konvergen adalah limit dari barisan jumlah parsialnya.
Definisi. Jika barisan jumlah parsial dari deret tersebut divergen, mis. tidak memiliki limit, atau memiliki limit tak hingga, maka deret tersebut disebut berbeda dan tidak ada jumlah yang diberikan kepadanya.
properti baris.
1) Konvergensi atau divergensi dari deret tersebut tidak akan dilanggar jika Anda mengubah, membuang, atau menambahkan sejumlah suku terhingga dalam deret tersebut.
2) Pertimbangkan dua seri dan , di mana C adalah bilangan konstan.
Dalil. Jika suatu deret konvergen dan jumlahnya sama dengan S, maka deret itu juga konvergen dan jumlahnya sama dengan CS. (C¹0)
3) Pertimbangkan dua baris dan . jumlah atau perbedaan dari deret tersebut akan disebut deret dimana diperoleh unsur-unsurnya sebagai hasil penjumlahan (pengurangan) dari unsur-unsur aslinya dengan bilangan yang sama.
Dalil. Jika deret dan konvergen dan jumlahnya masing-masing sama dengan S dan s, maka deret itu juga konvergen dan jumlahnya sama dengan S + s.
Selisih dua deret konvergen juga akan menjadi deret konvergen.
Jumlah dari deret konvergen dan divergen akan menjadi deret divergen.
Tidak mungkin membuat pernyataan umum tentang jumlah dua deret divergen.
Saat mempelajari deret, dua masalah utama diselesaikan: studi konvergensi dan menemukan jumlah deret.
Kriteria cerewet.
(kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret)
Agar barisan konvergen, perlu dan cukup bahwa untuk sembarang terdapat bilangan N sedemikian sehingga untuk n > N dan setiap p > 0, di mana p adalah bilangan bulat, pertidaksamaan berikut berlaku:
Bukti. (membutuhkan)
Misalkan , maka untuk sembarang bilangan ada bilangan N sedemikian sehingga pertidaksamaan
Ini dilakukan ketika n>N. Untuk n>N dan sembarang bilangan bulat p>0, pertidaksamaan juga berlaku. Mempertimbangkan kedua pertidaksamaan, kita mendapatkan:
Kebutuhan telah terbukti. Kami tidak akan mempertimbangkan bukti kecukupan.
Mari kita rumuskan kriteria Cauchy untuk deret tersebut.
Agar deret konvergen, perlu dan cukup bahwa untuk setiap ada bilangan N sedemikian rupa sehingga untuk n>N dan setiap p>0 pertidaksamaan
Namun, dalam praktiknya, sangat tidak nyaman untuk menggunakan kriteria Cauchy secara langsung. Oleh karena itu, sebagai aturan, kriteria konvergensi yang lebih sederhana digunakan:
1) Jika baris konvergen, perlu bahwa istilah umum kamu tidak tertarik ke nol. Namun, kondisi ini tidak cukup. Kita hanya dapat mengatakan bahwa jika suku umum tidak cenderung nol, maka deret tersebut tepat divergen. Misalnya, yang disebut deret harmonik adalah divergen, meskipun suku umumnya cenderung nol.
Contoh. Selidiki kekonvergenan suatu deret
Mari kita cari - kriteria konvergensi yang diperlukan tidak terpenuhi, sehingga deret divergen.
2) Jika deret tersebut konvergen, maka barisan jumlah parsialnya terbatas.
Namun, fitur ini juga tidak cukup.
Misalnya, deret 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n+1 +… divergen karena barisan jumlah parsialnya menyimpang karena fakta bahwa
Namun, dalam hal ini urutan jumlah parsial terbatas, karena untuk apa saja n.
Seri dengan istilah non-negatif.
Saat mempelajari deret dengan tanda konstan, kita membatasi diri pada mempertimbangkan deret dengan suku non-negatif, karena jika dikalikan dengan -1, deret ini dapat digunakan untuk mendapatkan deret dengan suku negatif.
Dalil. Agar suatu deret dengan suku-suku non-negatif konvergen, perlu dan cukup bahwa jumlah parsial dari deret tersebut dibatasi.
Tanda perbandingan seri dengan anggota non-negatif.
Biarkan ada dua baris dan di u n , v n 0.
Dalil. Jika sebuah kamu tidak£ v n untuk apa saja n, maka kekonvergenan deret menunjukkan kekonvergenan deret , dan dari divergensi deret divergensi deret berikut.
Bukti. Dilambangkan dengan S n dan s n jumlah parsial deret dan . Karena Dengan kondisi teorema, deret tersebut konvergen, maka jumlah parsialnya terbatas, mis. untuk semua n s n< M, где М – некоторое число. Но т.к. kamu tidak£ v n, kemudian S n£ s n maka jumlah parsial dari deret tersebut juga dibatasi, dan ini cukup untuk konvergensi.
Contoh.
Karena , dan deret harmonik divergen, maka deret tersebut juga divergen.
Contoh. Selidiki deret konvergensi
Karena , dan deret tersebut konvergen (sebagai deret geometri menurun), maka deret tersebut juga konvergen.
Kriteria konvergensi berikut juga digunakan:
Dalil. Jika dan ada limit , dimana h adalah bilangan bukan nol, maka deret dan lead sama dalam arti konvergen.
Tanda d'Alembert.
(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - matematikawan Prancis)
Jika untuk deret dengan suku positif terdapat bilangan q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
maka deret tersebut konvergen jika, untuk semua n yang cukup besar, kondisi
maka deret tersebut divergen.
Tanda pembatas d'Alembert.
Tes limiting d'Alembert adalah konsekuensi dari tes d'Alembert di atas.
< 1 ряд сходится, а при r >1 - menyimpang. Jika r = 1, maka pertanyaan konvergensi tidak dapat dijawab.
Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut.
Kesimpulan: deret tersebut konvergen.
Contoh. Tentukan kekonvergenan suatu deret
Kesimpulan: deret tersebut konvergen.
Tanda Cauchy. (tanda radikal)
Jika untuk deret dengan suku non-negatif terdapat bilangan q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
maka deret tersebut konvergen jika, untuk semua n yang cukup besar, pertidaksamaan
maka deret tersebut divergen.
Konsekuensi. Jika ada limit , maka untuk r<1 ряд сходится, а при r>1 baris divergen.
Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut.
Kesimpulan: deret tersebut konvergen.
Contoh. Tentukan konvergensi deret tersebut.
Itu. Kriteria Cauchy tidak menjawab pertanyaan tentang konvergensi deret tersebut. Mari kita periksa pemenuhan kondisi konvergensi yang diperlukan. Seperti disebutkan di atas, jika deret tersebut konvergen, maka suku umum deret tersebut cenderung nol.
dengan demikian, kondisi yang diperlukan untuk konvergensi tidak terpenuhi, yang berarti bahwa deret tersebut divergen.
Tes Cauchy integral.
Jika j(х) adalah fungsi positif kontinu yang menurun pada interval dan kemudian integral berperilaku dengan cara yang sama dalam arti konvergensi.
Baris variabel.
Baris bergantian.
Sebuah seri bolak-balik dapat ditulis sebagai:
tanda Leibniz.
Jika suatu deret bolak-balik memiliki nilai mutlak u i menurun dan sukunya cenderung nol, maka deret tersebut konvergen.
Konvergensi deret mutlak dan bersyarat.
Pertimbangkan beberapa seri bolak-balik (dengan istilah tanda arbitrer).
dan deret yang terdiri dari nilai absolut dari suku-suku deret (1):
Dalil. Konvergensi deret (2) menyiratkan konvergensi deret (1).
Bukti. Deret (2) di sebelah suku non-negatif. Jika deret (2) konvergen, maka dengan kriteria Cauchy untuk sembarang e>0 terdapat bilangan N sedemikian sehingga untuk n>N dan sembarang bilangan bulat p>0 pertidaksamaan berikut ini benar:
Menurut properti nilai absolut:
Artinya, menurut kriteria Cauchy, konvergensi deret (2) menyiratkan konvergensi deret (1).
Definisi. Baris disebut benar-benar konvergen jika deret tersebut konvergen.
Jelas, untuk deret tanda konstan, konsep konvergensi dan konvergensi absolut bertepatan.
Definisi. Baris disebut konvergen bersyarat jika konvergen dan deret divergen.
Tes d'Alembert dan Cauchy untuk deret bolak-balik.
Membiarkan menjadi seri bolak-balik.
Tanda d'Alembert. Jika ada limit , maka untuk r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>
Tanda Cauchy. Jika ada limit , maka untuk r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 baris akan divergen. Ketika r=1, tanda tidak memberikan jawaban tentang kekonvergenan deret tersebut.
Sifat-sifat deret yang benar-benar konvergen.
1) Dalil. Untuk kekonvergenan mutlak suatu deret, perlu dan cukup deret tersebut dapat direpresentasikan sebagai selisih dua deret konvergen dengan suku tak negatif.
Konsekuensi. Deret konvergen bersyarat adalah selisih dua deret divergen dengan suku tak negatif yang cenderung nol.
2) Dalam deret konvergen, setiap pengelompokan suku-suku deret yang tidak mengubah urutannya mempertahankan kekonvergenan dan besaran deret tersebut.
3) Jika suatu deret konvergen mutlak, maka deret yang diperoleh darinya dengan permutasi suku apa pun juga konvergen mutlak dan memiliki jumlah yang sama.
Dengan menata ulang suku-suku suatu deret yang konvergen bersyarat, kita dapat memperoleh deret yang konvergen bersyarat yang memiliki jumlah yang telah ditentukan sebelumnya, dan bahkan deret divergen.
4) Dalil. Dengan pengelompokan anggota dari deret yang benar-benar konvergen (dalam hal ini, jumlah grup dapat berhingga dan tidak terbatas, dan jumlah anggota dalam suatu grup dapat berhingga atau tidak terbatas), diperoleh deret konvergen, jumlah yang sama dengan jumlah deret aslinya.
5) Jika deret dan konvergen mutlak dan jumlahnya sama, berturut-turut S dan s, maka suatu deret yang terdiri dari semua produk dari bentuk yang diambil dalam urutan apa pun juga konvergen secara mutlak dan jumlahnya sama dengan S×s- produk dari jumlah seri yang dikalikan.
Namun, jika untuk mengalikan deret konvergen bersyarat, maka hasilnya bisa menjadi deret divergen.
Urutan fungsional.
Definisi. Jika anggota deret tersebut bukan bilangan, melainkan fungsi dari X, maka deret tersebut disebut fungsional.
Studi tentang konvergensi deret fungsional lebih sulit daripada studi deret numerik. Deret fungsional yang sama dapat, untuk nilai variabel yang sama X konvergen, dan pada orang lain - menyimpang. Oleh karena itu, pertanyaan tentang konvergensi deret fungsional direduksi menjadi penentuan nilai-nilai variabel tersebut X yang deretnya konvergen.
Himpunan nilai-nilai seperti itu disebut daerah konvergensi.
Karena limit dari setiap fungsi yang termasuk dalam daerah konvergensi deret tersebut adalah bilangan tertentu, maka limit dari barisan fungsional tersebut adalah fungsi tertentu:
Definisi. Selanjutnya ( f n (x)} konvergen berfungsi f(x) pada segmen , jika untuk sembarang nomor e>0 dan sembarang titik X dari segmen yang ditinjau terdapat bilangan N = N(e, x) sedemikian sehingga pertidaksamaan
dilakukan untuk n>N.
Dengan nilai yang dipilih e>0, setiap titik segmen sesuai dengan nomornya sendiri dan, oleh karena itu, akan ada jumlah angka tak terbatas yang sesuai dengan semua titik segmen. Jika Anda memilih yang terbesar dari semua angka ini, maka angka ini akan cocok untuk semua titik segmen , mis. akan menjadi umum untuk semua titik.
Definisi. Selanjutnya ( f n (x)} konvergen secara seragam berfungsi f(x) pada interval jika untuk sembarang bilangan e>0 terdapat bilangan N = N(e) sedemikian sehingga pertidaksamaan
dilakukan untuk n>N untuk semua titik segmen .
Contoh. Perhatikan urutannya
Barisan ini konvergen pada seluruh sumbu bilangan ke fungsi f(x)=0, karena
Mari kita plot urutan ini:
Seperti yang bisa dilihat, seiring bertambahnya jumlah n grafik barisan mendekati sumbu X.
baris fungsional.
Definisi. Jumlah pribadi (sebagian) deret fungsional disebut fungsi
Definisi. Deret fungsional disebut konvergen pada titik ( x=x 0) jika barisan jumlah parsialnya konvergen di titik ini. Limit suatu barisan disebut jumlah baris pada satu titik x 0.
Definisi. Himpunan semua nilai X, yang deretnya konvergen disebut daerah konvergensi baris.
Definisi. Baris disebut konvergen seragam pada suatu ruas jika barisan jumlah parsial dari deret tersebut konvergen secara seragam pada ruas tersebut.
Dalil. (Kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam suatu deret)
Agar deret tersebut konvergen secara seragam, perlu dan cukup bahwa untuk sembarang bilangan e>0 terdapat bilangan N(e) sedemikian sehingga untuk n>N dan sembarang bilangan bulat p>0 pertidaksamaan
akan berlaku untuk semua x pada segmen.
Dalil. (Uji konvergensi seragam Weierstrass)
(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - matematikawan Jerman)
Deret tersebut konvergen secara seragam dan, terlebih lagi, mutlak pada segmen jika modul anggotanya pada segmen yang sama tidak melebihi anggota yang sesuai dari deret numerik konvergen dengan anggota positif:
itu. ada ketidaksetaraan:
Mereka juga mengatakan bahwa dalam hal ini deret fungsional jurusan sisi nomor.
2) Teorema integrasi suku-demi-suku suatu deret.
Suatu deret dengan suku-suku kontinu yang konvergen secara seragam pada suatu interval dapat diintegrasikan suku demi suku pada interval ini, yaitu. deret yang terdiri dari integral suku-sukunya di atas segmen konvergen ke integral dari jumlah seri di atas segmen ini.
3) Teorema tentang diferensiasi suku demi suku suatu deret.
Jika suku-suku suatu deret yang konvergen pada suatu segmen adalah fungsi kontinu yang memiliki turunan kontinu, dan deret yang tersusun dari turunan tersebut konvergen beraturan pada segmen ini, maka deret ini konvergen beraturan dan dapat dibedakan suku demi suku.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah deret adalah beberapa fungsi dari variabel X, Anda dapat melakukan operasi representasi fungsi sebagai deret (memperluas fungsi menjadi deret), yang banyak digunakan dalam integrasi, diferensiasi, dan operasi lain dengan fungsi.
(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - matematikawan Norwegia)
Dalil. Jika deret pangkat konvergen untuk x = x 1 , maka deret tersebut konvergen dan, terlebih lagi, mutlak untuk semua .
Bukti. Dengan syarat teorema, karena suku-suku barisan terbatas, maka
di mana k adalah beberapa nomor konstan. Pertidaksamaan berikut ini benar:
Dari ketidaksetaraan ini dapat dilihat bahwa x
Oleh karena itu, berdasarkan kriteria perbandingan, kami menyimpulkan bahwa deret tersebut konvergen, yang berarti deret tersebut
DERI DAYA Teorema Abel. Interval dan jari-jari konvergensi deret pangkat Konvergensi seragam deret pangkat dan kontinuitas penjumlahannya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Kondisi untuk perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor dari fungsi-fungsi dasar Tabel pemuaian menjadi suatu pangkat deret (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar.
teorema Habel. Interval dan jari-jari konvergensi deret pangkat Deret pangkat adalah deret fungsional dalam bentuk (o atau bentuk (2) di mana koefisiennya adalah konstanta. Deret (2) dengan pengganti formal x - x<> pada x direduksi menjadi deret (1). Deret pangkat (1) selalu konvergen di titik x = 0, dan deret (2) konvergen di titik x0, dan jumlah mereka di titik ini sama dengan co. Contoh. Baris adalah baris yang ditumpuk. Mari kita cari tahu bentuk daerah konvergensi deret pangkat. Teorema 1 (Abel). Jika deret pangkat konvergen di, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk semua x sehingga jika deret pangkat divergen pada x = xi, maka deret itu divergen di sembarang x yang Biarkan deret pangkat KONVERGASI di. deret bilangan konvergen deret DAYA Teorema Abel. Interval dan jari-jari konvergensi deret pangkat Konvergensi seragam deret pangkat dan kontinuitas penjumlahannya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Kondisi untuk perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor dari fungsi-fungsi dasar Tabel pemuaian menjadi suatu pangkat deret (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. Dari sini dapat disimpulkan bahwa, dan karenanya, terdapat suatu bilangan sedemikian rupa sehingga M untuk semua n. Pertimbangkan deret di mana dan perkirakan suku umumnya. Kami memiliki di mana = . Tetapi deret tersebut terdiri dari anggota barisan geometri dengan penyebut q, yang artinya konvergen. Berdasarkan tanda perbandingan seri 2 |с„:гп| konvergen pada setiap titik x yang. Oleh karena itu, deret pangkat konvergen secara mutlak FOR Mari sekarang deret pangkat dari titik O), yang memisahkan interval divergensi dari interval konvergensi. Teorema berikut berlaku. Teorema 2. Biarkan deret pangkat konvergen di titik x 0. Maka deret ini konvergen mutlak di setiap titik garis real, atau terdapat bilangan R > 0 sehingga deret tersebut konvergen mutlak di dan divergen di Divergen. perut konvergen divergen d Gambar. 1 Definisi. Interval kekonvergenan deret pangkat adalah interval (-R, R), di mana R > 0, sehingga pada setiap titik x € (-A, R) deret tersebut konvergen mutlak, dan di titik x sehingga |n| > R, deret divergen. Bilangan R disebut jari-jari konvergensi deret pangkat. Komentar. Adapun ujung-ujung selang kekonvergenan (-R, R), dimungkinkan tiga kasus berikut: I) deret pangkat konvergen baik di titik x = -R maupun di titik x = R, 2) deret pangkat divergen di kedua titik, 3) deret pangkat konvergen di salah satu ujung interval konvergensi dan divergen di ujung lainnya. Komentar. Deret pangkat di mana x 0 memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret tersebut. Untuk membuktikan rumus (3), perhatikan deret yang tersusun dari nilai mutlak suku-suku deret ini. Dengan menerapkan kriteria d'Alembert pada deret ini, kita menemukan Maka deret (4) akan konvergen , jika dan divergen jika. deret pangkat konvergen mutlak untuk semua x sedemikian sehingga dan divergen di. Dengan definisi jari-jari konvergensi, kami menemukan bahwa jari-jari konvergensi deret pangkat juga dapat ditemukan dengan rumus jika ada batas hingga. Rumus (5) dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan kriteria Cauchy. Jika deret pangkat itu konvergen hanya di titik x = 0, maka mereka mengatakan bahwa jari-jari konvergensinya adalah R = 0 (ini mungkin, misalnya, ketika lim b^A = oo atau Jika deret pangkat konvergen di semua titik sumbu nyata, maka kita menempatkan R = + oo (ini terjadi, misalnya, ketika lim n^p = 0 atau Daerah konvergensi deret pangkat dapat berupa interval (, atau segmen [, atau salah satu dari setengah interval (x0 - R, x0 + D) atau [. Jika R = + oo, maka daerah konvergensi deret tersebut adalah seluruh sumbu numerik, yaitu interval (-oo, + oo). menemukan daerah konvergensi deret pangkat, Anda harus terlebih dahulu menghitung jari-jari konvergensinya R (misalnya, menggunakan salah satu rumus di atas) dan mencari interval konvergensi titik O) yang memisahkan interval divergensi dari interval Teorema berikut berlaku: Teorema 2. Biarkan deret pangkat konvergen di titik x 0. Maka deret ini konvergen mutlak di setiap titik pada garis nyata, atau terdapat bilangan R > O sehingga deret tersebut konvergen mutlak di dan divergen pada | Konsumsi dia. perut konvergen Definisi divergen. Interval kekonvergenan deret pangkat adalah interval (-R, R), di mana R > 0, sehingga pada setiap titik x € (-A, R) deret tersebut konvergen mutlak, dan di titik x sehingga |n| > R, deret divergen. Bilangan R disebut jari-jari konvergensi deret pangkat. Komentar. Adapun ujung-ujung selang kekonvergenan (-R, R), dimungkinkan tiga kasus berikut: I) deret pangkat konvergen baik di titik x = -R maupun di titik x = R, 2) deret pangkat divergen di kedua titik, 3) deret pangkat konvergen di salah satu ujung interval konvergensi dan divergen di ujung lainnya. Komentar. Deret pangkat di mana x 0 memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret tersebut. Untuk membuktikan rumus (3), perhatikan deret yang tersusun dari nilai mutlak suku-suku deret ini. Dengan menerapkan kriteria d'Alembert pada deret ini, kita menemukan Oleh karena itu, deret (4) akan konvergen , jika \, dan divergen jika, yaitu, deret pangkat konvergen mutlak untuk semua x sedemikian sehingga dan divergen untuk \. Dengan definisi jari-jari konvergensi, kita memperoleh bahwa R = £, yaitu, DERI DAYA Teorema Abel. Interval dan jari-jari konvergensi deret pangkat Konvergensi seragam deret pangkat dan kontinuitas penjumlahannya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Kondisi untuk perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor dari fungsi-fungsi dasar Tabel pemuaian menjadi suatu pangkat deret (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. Jari-jari konvergensi deret pangkat juga dapat ditemukan dengan menggunakan rumus jika ada batas hingga. Rumus (5) dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan kriteria Cauchy. Jika deret pangkat itu konvergen hanya di titik x = 0, maka mereka mengatakan bahwa jari-jari konvergensinya adalah R = 0 (ini mungkin, misalnya, ketika lim b^A = oo atau. Jika deret pangkat konvergen di semua titik dari sumbu real, maka kita asumsikan R = + oo (ini terjadi, misalnya, ketika Daerah konvergensi deret pangkat dapat berupa interval (, atau segmen ], atau salah satu dari setengah interval (x0 - R, x0 + D) atau [. Jika R = + oo, maka daerah konvergensi deret tersebut adalah seluruh sumbu numerik, yaitu interval (-oo, + oo). Untuk mencari daerah konvergensi dari deret pangkat, Anda harus terlebih dahulu menghitung jari-jari konvergensinya R (misalnya, menggunakan salah satu rumus di atas) dan dengan demikian menemukan interval konvergensi di mana deret tersebut konvergen secara mutlak, maka - untuk diselidiki. konvergen mutlak pada interval 2) Mari kita selidiki Kami memperkirakan konvergensi deret (6) di ujung interval konvergensi. Menempatkan x = -1, kita mendapatkan deret bilangan yang divergensinya jelas (kriteria konvergensi yang diperlukan tidak terpenuhi: . Untuk x - 1 kita mendapatkan deret bilangan yang tidak ada, yang berarti deret ini divergen. Jadi, luas konvergensi deret (6) adalah interval Contoh 2. Carilah daerah konvergensi deret M 1) Jari-jari kekonvergenan dicari dengan rumus (3). Kami memiliki Baris (7) konvergen mutlak pada interval, dari mana Ketika kami mendapatkan deret numerik yang menyimpang (deret harmonik). Untuk x = 0, kita akan mendapatkan deret bilangan yang konvergen bersyarat. Jadi, deret (7) konvergen pada daerah Contoh 3. Carilah interval konvergensi deret Sejak = , maka untuk mencari jari-jari konvergensi, kita terapkan rumus luas daerah konvergensi adalah intervalnya Contoh 4. Carilah interval kekonvergenan deret tersebut, maka diperoleh Persamaan R = 0 artinya deret (8) hanya konvergen pada satu titik. yaitu daerah konvergensi dari deret pangkat yang diberikan terdiri dari satu titik 2. Konvergensi seragam deret pangkat dan kontinuitas penjumlahannya Teorema 1. Deret pangkat konvergen secara mutlak dan seragam pada sembarang ruas yang terdapat dalam selang kekonvergenan deret Let. Maka untuk semua x yang memenuhi syarat dan untuk sembarang n =. akan memiliki. Tetapi karena deret bilangan konvergen, maka, menurut uji Weierstrass, deret pangkat ini konvergen secara mutlak dan seragam pada segmen. Teorema 2. Jumlah deret pangkat kontinu di setiap titik x dari interval konvergensinya (4) Setiap titik x dari interval konvergensi (-D, R) dapat diapit oleh beberapa segmen di mana deret ini konvergen secara seragam. x) akan kontinu pada ruas [-a, a], dan karenanya juga pada titik x. Integrasi deret pangkat Teorema 3 (pada integrasi suku-demi-suku suatu deret pangkat) Deret pangkat dapat diintegralkan suku-demi-suku dalam interval konvergensinya (-R, R ), R > 0, dan jari-jari konvergensi deret yang diperoleh dengan integrasi suku-demi-suku juga sama dengan R. Khususnya, untuk sembarang x dari interval (-R, R) rumusnya valid Setiap titik x dari interval konvergensi (-D, R) dapat disimpulkan di beberapa segmen [-a, a], di mana Pada segmen ini, deret yang diberikan akan konvergen seragam, dan karena suku-suku deret itu kontinu, maka dapat diintegrasikan suku demi suku, misalnya, dalam rentang dari 0 hingga x. Kemudian, menurut Teorema 4 Bab XVIII, Mari kita cari jari-jari konvergensi R" dari seri yang diperoleh POWER P Teorema Abel RACUN. Interval dan jari-jari konvergensi deret pangkat Konvergensi seragam deret pangkat dan kontinuitas penjumlahannya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Kondisi untuk perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor dari fungsi-fungsi dasar Tabel pemuaian menjadi suatu pangkat deret (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. di bawah kondisi tambahan adanya batas terbatas R. Jadi, jari-jari konvergensi deret daya tidak berubah selama integrasi. Komentar. Penegasan teorema tetap valid untuk H = +oo. 4. Turunan deret pangkat Teorema 4 (pada diferensiasi suku demi suku dari deret pangkat). Deret pangkat dapat dibedakan suku demi suku di sembarang titik x dari selang kekonvergenannya 1) dan (2) adalah sama Mari kita nyatakan jumlah barisan (2) dengan Deret (1) dan (2) konvergen beraturan pada sembarang selang [-a, a|, dimana. Selain itu, semua suku deret (2) kontinu dan merupakan turunan dari suku-suku yang bersesuaian dari deret (1). Oleh karena itu, menurut Teorema 5 Bab XVIII, persamaan berlaku pada interval [-a, a) Berdasarkan kesewenang-wenangan a, persamaan terakhir juga berlaku pada interval C. Deret pangkat Definisi Kita akan mengatakan bahwa fungsi f(x) berkembang menjadi deret pangkat ]Γ) CnXn pada suatu interval jika deret yang ditunjukkan konvergen pada interval ini dan jumlahnya sama dengan f(x): Mari kita buktikan terlebih dahulu bahwa fungsi f(x) tidak dapat memiliki dua pemuaian deret pangkat yang berbeda dalam bentuk Teorema 5. Jika fungsi /(x) pada interval (-R, R) diekspansi menjadi deret pangkat (1), maka pemuaian ini unik, yaitu, koefisien deret (1) ditentukan secara unik oleh penjumlahannya. Biarkan fungsi dalam interval diekspansi menjadi deret pangkat konvergen Membedakan deret ini suku demi suku n kali, kita temukan Untuk x = 0 kita peroleh dari mana Jadi, koefisien deret pangkat (1) secara unik ditentukan oleh rumus (2). Komentar. Jika fungsi /(x) diekspansi menjadi deret pangkat dengan pangkat beda x-zq, maka koefisien cn deret ini ditentukan dengan rumus. Biarkan fungsi / memiliki turunan dari semua pesanan. terdiferensiasi tak terhingga di titik jo. Mari kita buat deret pangkat formal untuk fungsi ini dengan menghitung koefisiennya menggunakan rumus (3). 5. Definisi. Deret Taylor dari fungsi /(x) terhadap titik x0 disebut deret pangkat dari bentuk fungsi /(x) diekspansi menjadi deret pangkat, maka deret ini adalah deret Taylor dari fungsi /(x) di mana Pjn(i) adalah polinomial berderajat 3n terhadap j. Sekarang mari kita tunjukkan bahwa pada titik 2 = 0 fungsi ini juga memiliki turunan dari sembarang orde, dan semuanya sama dengan nol. Berdasarkan definisi turunan, kita miliki Dengan cara yang sama, kita dapat membuktikan bahwa Jadi, fungsi yang diberikan memiliki turunan dari semua orde pada sumbu real. Buatlah deret Taylor formal dari fungsi asli terhadap titik z0 = Kita miliki. jumlah deret ini identik sama dengan nol, sedangkan fungsi f(x) sendiri tidak identik sama dengan nol. ^ Contoh ini perlu diingat ketika membahas analisis kompleks (analitik): fungsi yang secara lahiriah benar-benar layak, menunjukkan karakter yang berubah-ubah pada sumbu nyata, yang merupakan konsekuensi dari masalah pada sumbu imajiner. Deret yang secara formal dibangun dalam contoh untuk fungsi terdiferensiasi tak terhingga yang diberikan konvergen, tetapi jumlahnya tidak sesuai dengan nilai fungsi ini untuk x 0. Sehubungan dengan ini, muncul pertanyaan alami: kondisi apa yang seharusnya fungsi f (x) memenuhi interval (xo - R, xo + R) sehingga dapat diperluas menjadi deret Taylor yang konvergen padanya? Kondisi untuk perluasan suatu fungsi ke dalam deret Taylor Untuk mempermudah, kita akan mempertimbangkan deret pangkat dalam bentuk m. e.Deret Maclaurin. Teorema 7. Agar fungsi f(x) dapat diperluas menjadi deret pangkat pada interval (-R, R), perlu dan cukup bahwa pada interval ini fungsi f(x) memiliki turunan dari semua orde dan bahwa dalam rumus Taylor suku sisa Rn(x) cenderung nol untuk semua m Kebutuhan. Misalkan pada interval (fungsi f(x) dapat diperluas menjadi deret pangkat, yaitu deret (2) konvergen dan jumlahnya sama dengan f(x) Kemudian, dengan Teorema 4 dan akibat wajar darinya, fungsi f(x) memiliki pada interval (-R , R) turunan f(n^(x) dari semua ordo.Dengan Teorema 5 (rumus (2)) koefisien deret (2) memiliki bentuk yaitu kita dapat menulis persamaan Karena konvergensi deret ini pada interval (-R, R ) sisa 0 cenderung nol sebagai n oo untuk semua x Kecukupan Biarkan fungsi f(xr) pada interval (-R, R) memiliki turunan dari semua orde dan dalam rumus Taylor suku sisa Rn(x) 0 sebagai n oo untuk setiap x € (-D, R) Karena untuk n -» oo Karena jumlah parsial ke-n dari deret Taylor ditulis dalam dalam kurung siku, rumus (4) berarti bahwa deret Taylor dari fungsi f (x) konvergen pada interval (-D , R) dan jumlahnya adalah fungsi f(x).Syarat yang cukup untuk perluasan suatu fungsi menjadi a deret pangkat, nyaman untuk penggunaan praktis, dijelaskan oleh teorema berikut: Teorema 8. Agar fungsi f(x) dimungkinkan Cukup untuk menjumlahkan deret pangkat sehingga fungsi f(x) memiliki turunan dari semua orde pada interval ini dan bahwa terdapat konstanta M > 0 sedemikian rupa sehingga. Biarkan fungsi f(x) memiliki turunan dari semua orde pada interval (-D, R). Kemudian kita dapat menulis deret Taylor secara formal, mari kita buktikan bahwa deret tersebut konvergen ke fungsi f(x). Untuk melakukan ini, cukup untuk menunjukkan bahwa suku sisa dalam rumus Taylor (1) cenderung nol sebagai n oo untuk semua x € (-A, R). Memang, mengingat itu). Deret bilangan konvergen berdasarkan kriteria d'Alembert: berdasarkan kriteria konvergensi yang diperlukan. Dari pertidaksamaan (3) kita peroleh! Deret Taylor dari Fungsi Dasar Pertimbangkan ekspansi ke dalam deret fungsi dasar dasar. 6 Fungsi ini memiliki turunan dari semua ordo pada interval (- bilangan apa saja, dan Oleh karena itu, fungsi eksponensial ex berkembang menjadi deret Taylor pada sembarang interval (-a, a) dan, dengan demikian, pada seluruh sumbu Ox. Sejak, maka kita mendapatkan deret Jika dalam ekspansi (1) ganti x dengan -a*, maka kita memiliki Fungsi ini memiliki turunan dari sembarang orde, dan terlebih lagi, dengan Teorema 8, fungsi sin x diekspansi menjadi deret Taylor yang konvergen padanya pada interval (-oo, +oo) Sejak itu deret ini memiliki bentuk berikut Radius konvergensi deret Demikian pula, kita memperoleh bahwa - sembarang bilangan real Fungsi ini memenuhi relasi dan kondisi Kita akan mencari deret pangkat yang jumlah 5(g ) memenuhi relasi (4) dan kondisi 5(0) = 1. Kami mengatur Dari sini kami menemukan Substitusi hubungan (5) dan (6) ke dalam rumus (4), kami akan menyamakan koefisien pada pangkat yang sama dari x di bagian kiri dan kanan persamaan, kami memperoleh dari mana kami menemukan POWER DERI Teorema Abel. Interval dan jari-jari konvergensi deret pangkat Konvergensi seragam deret pangkat dan kontinuitas penjumlahannya Integrasi deret pangkat Diferensiasi deret pangkat Deret Taylor Kondisi untuk perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor dari fungsi-fungsi dasar Tabel pemuaian menjadi suatu pangkat deret (deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. Dengan mensubstitusi nilai-nilai koefisien ini ke dalam relasi (5), kita memperoleh deret. Mari kita cari jari-jari konvergensi deret (7) dalam kasus ketika a bukan bilangan asli. Kami memiliki Jadi, deret (7) konvergen di. e.pada interval Mari kita buktikan bahwa jumlah 5(x) deret (7) pada interval (-1,1) sama dengan (1 + x)°. Untuk melakukan ini, pertimbangkan relasi Karena 5(x) memenuhi relasi (maka untuk turunan dari fungsi (x) kita peroleh: untuk. Oleh karena itu. Khususnya, untuk x = 0 kita miliki dan karenanya, atau The deret yang dihasilkan disebut binomial, dan koefisiennya - koefisien binomial. Catatan. Jika a adalah bilangan asli (o = z"), fungsi (1 + z) a adalah polinomial dengan derajat n, dan Dn (x) = 0 untuk semua n > a Kita juga mencatat Jika a = -1, kita akan memiliki Mengganti w dengan -x dalam persamaan terakhir, kita memperoleh perluasan fungsi ini dalam deret Taylor dalam pangkat x, kita integrasikan persamaan (9 ) dalam o Persamaan (11) valid dalam interval Kita dapat membuktikan bahwa persamaan (11) juga berlaku untuk x = 1: Tabel ekspansi deret pangkat (Deret Maclaurin) fungsi dasar dasar. .Contoh 1. Perluas fungsi 4 dalam pangkat p racun di sekitar titik xq = 2, yaitu dalam pangkat selisih z -2. Mari kita ubah fungsi ini sehingga kita dapat menggunakan deret (10) untuk fungsi We have. Mengganti x dalam rumus (10) dengan ^. kita mendapatkan I I Perluasan ini berlaku jika salah satu pertidaksamaan ekivalen terpenuhi Contoh 2. Perluas fungsi dalam pangkat x menggunakan rumus (10). 4 Menguraikan penyebut menjadi faktor-faktor, kami menyatakan fungsi rasional ini sebagai selisih dua pecahan sederhana. Setelah transformasi sederhana, kami memperoleh Kedua deret (14) dan (15) akan konvergen secara simultan untuk \. Karena deret (14) dan (15) konvergen pada interval (-1,1), mereka dapat dikurangi suku demi suku. Hasilnya, kita mendapatkan deret pangkat yang diinginkan yang jari-jari konvergensinya adalah R = 1. Deret ini konvergen mutlak untuk Contoh 3. Perluas fungsi arcsin x dalam deret Taylor di sekitar titik x0 = 0. 4 Diketahui bahwa Mari kita terapkan fungsi (rumus (8). menggantikan x dengan -x2 di dalamnya. Akibatnya, karena kita memperoleh Mengintegrasikan kedua bagian dari persamaan terakhir dari nol ke x (integrasi suku demi suku sah, karena deret pangkat konvergen secara seragam pada setiap segmen dengan ujung pada titik 0 dan x terletak pada interval (-1,1)), kita menemukan atau Jadi, kita akhirnya memperoleh bahwa Contoh 4. Hitung integral (sinus integral ), Diketahui bahwa antiturunan untuk fungsi ^ tidak dinyatakan dalam fungsi dasar. Kami memperluas integran dalam deret pangkat, menggunakan fakta bahwa Dari persamaan (16) kami menemukan Catatan bahwa membagi deret (16) dengan t pada t f 0 adalah hukum Persamaan (17) juga dipertahankan di jika kita mengasumsikan bahwa pada t = 0 rasio - = 1. Jadi, deret (17) konvergen untuk semua nilai Mengintegrasikannya suku demi suku, kita peroleh sehingga kesalahan dalam mengganti jumlah dengan jumlah parsial mudah diperkirakan. Contoh 5. Hitung integral Di sini, antiturunan untuk integran e juga bukan fungsi elementer. Untuk menghitung integral, kami mengganti dalam rumus Kami mendapatkan Mari kita integrasikan kedua bagian persamaan ini dalam kisaran dari 0 hingga x: Deret ini konvergen untuk r apa pun (jari-jari konvergensinya R \u003d + oo) dan bergantian di Latihan Temukan area konvergensi deret pangkat: Perluas fungsi berikut dalam deret Makloreya dan tunjukkan area konvergensi dari deret yang diperoleh: Indikasi. Gunakan meja. Dengan menggunakan tabel, perluas fungsi yang diberikan dalam deret Taylor dalam pangkat x - x0 dan tunjukkan interval konvergensi dari deret yang dihasilkan.
