Dalam matematika, ada teknik khusus yang dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat dengan sangat cepat dan tanpa diskriminan. Selain itu, dengan pelatihan yang tepat, banyak yang mulai menyelesaikan persamaan kuadrat secara lisan, yang secara harfiah berarti “pada pandangan pertama”.

Sayangnya, dalam kursus matematika sekolah modern, teknologi seperti itu hampir tidak dipelajari. Tapi kamu perlu tahu! Dan hari ini kita akan melihat salah satu teknik ini - teorema Vieta. Pertama, mari kita perkenalkan definisi baru.

Persamaan kuadrat yang berbentuk x 2 + bx + c = 0 disebut tereduksi. Harap dicatat bahwa koefisien untuk x 2 adalah 1. Tidak ada batasan lain pada koefisien.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 adalah persamaan kuadrat tereduksi;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - juga dikurangi;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - tetapi ini tidak diberikan sama sekali, karena koefisien x 2 sama dengan 2.

Tentu saja, persamaan kuadrat apa pun yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0 dapat direduksi - cukup bagi semua koefisien dengan bilangan a. Kita selalu bisa melakukan ini, karena definisi persamaan kuadrat menyiratkan bahwa a ≠ 0.

Benar, transformasi ini tidak selalu berguna untuk menemukan akarnya. Di bawah ini kita akan memastikan bahwa hal ini harus dilakukan hanya jika dalam persamaan akhir yang diberikan oleh kuadrat semua koefisiennya adalah bilangan bulat. Untuk saat ini, mari kita lihat contoh paling sederhana:

Tugas. Ubah persamaan kuadrat menjadi persamaan tereduksi:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Mari kita bagi setiap persamaan dengan koefisien variabel x 2. Kita mendapatkan:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - membagi semuanya dengan 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dibagi −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - dibagi 1,5, semua koefisien menjadi bilangan bulat;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - dibagi 2. Dalam hal ini, koefisien pecahan muncul.

Seperti yang Anda lihat, persamaan kuadrat di atas dapat memiliki koefisien bilangan bulat meskipun persamaan aslinya berisi pecahan.

Sekarang mari kita rumuskan teorema utama yang sebenarnya memperkenalkan konsep persamaan kuadrat tereduksi:

teorema Vieta. Perhatikan persamaan kuadrat tereduksi berbentuk x 2 + bx + c = 0. Asumsikan persamaan ini mempunyai akar real x 1 dan x 2. Dalam hal ini, pernyataan berikut ini benar:

1. x 1 + x 2 = −b. Dengan kata lain, jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien variabel x, yang diambil dengan tanda berlawanan;
2. x 1 x 2 = c. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sama dengan koefisien bebas.

Contoh. Untuk mempermudah, kami hanya akan mempertimbangkan persamaan kuadrat di atas yang tidak memerlukan transformasi tambahan:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; akar: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; akar: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; akar: x 1 = −1; x 2 = −4.

Teorema Vieta memberi kita informasi tambahan tentang akar persamaan kuadrat. Pada pandangan pertama, ini mungkin tampak sulit, tetapi bahkan dengan pelatihan minimal Anda akan belajar “melihat” akarnya dan menebaknya dalam hitungan detik.

Tugas. Selesaikan persamaan kuadrat:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Mari kita coba menuliskan koefisiennya menggunakan teorema Vieta dan “menebak” akar-akarnya:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 adalah persamaan kuadrat tereduksi.
   Berdasarkan teorema Vieta kita mempunyai: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Sangat mudah untuk melihat bahwa akar-akarnya adalah bilangan 2 dan 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - juga dikurangi.
   Berdasarkan teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Jadi akar-akarnya: 3 dan 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - persamaan ini tidak tereduksi. Namun kita akan memperbaikinya sekarang dengan membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien a = 3. Kita mendapatkan: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Kita menyelesaikannya menggunakan teorema Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ akar: −10 dan −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - sekali lagi koefisien untuk x 2 tidak sama dengan 1, mis. persamaan tidak diberikan. Kami membagi semuanya dengan angka a = −7. Kita peroleh: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Berdasarkan teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Dari persamaan ini mudah untuk menebak akar-akarnya: 5 dan 6.

Dari alasan di atas terlihat jelas bagaimana teorema Vieta menyederhanakan penyelesaian persamaan kuadrat. Tidak ada perhitungan rumit, tidak ada akar aritmatika dan pecahan. Dan kami bahkan tidak memerlukan diskriminan (lihat pelajaran “Menyelesaikan persamaan kuadrat”).

Tentu saja, dalam semua refleksi kami, kami berangkat dari dua asumsi penting, yang secara umum tidak selalu terpenuhi dalam masalah nyata:

1. Persamaan kuadrat direduksi, yaitu. koefisien untuk x 2 adalah 1;
2. Persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda. Dari sudut pandang aljabar, dalam hal ini diskriminannya adalah D > 0 - pada kenyataannya, awalnya kita berasumsi bahwa pertidaksamaan ini benar.

Namun, dalam masalah matematika yang khas, kondisi ini terpenuhi. Jika perhitungan menghasilkan persamaan kuadrat yang “buruk” (koefisien x 2 berbeda dari 1), hal ini dapat dengan mudah diperbaiki - lihat contoh di awal pelajaran. Saya biasanya diam tentang akarnya: masalah macam apa yang tidak ada jawabannya? Tentu saja akan ada akarnya.

Jadi, skema umum penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta adalah sebagai berikut:

1. Kurangi persamaan kuadrat menjadi persamaan yang diberikan, jika hal ini belum dilakukan dalam rumusan masalah;
2. Jika koefisien persamaan kuadrat di atas adalah pecahan, kita selesaikan dengan menggunakan diskriminan. Anda bahkan dapat kembali ke persamaan awal untuk mengerjakan angka-angka yang lebih "praktis";
3. Dalam kasus koefisien bilangan bulat, kita menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta;
4. Jika Anda tidak dapat menebak akar-akarnya dalam beberapa detik, lupakan teorema Vieta dan selesaikan menggunakan diskriminan.

Tugas. Selesaikan persamaan: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Jadi, di hadapan kita ada persamaan yang tidak tereduksi, karena koefisien a = 5. Bagi semuanya dengan 5, kita peroleh: x 2 − 7x + 10 = 0.

Semua koefisien persamaan kuadrat adalah bilangan bulat - mari kita coba menyelesaikannya menggunakan teorema Vieta. Kita mempunyai: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Dalam hal ini, akar-akarnya mudah ditebak - yaitu 2 dan 5. Tidak perlu menghitung menggunakan diskriminan.

Tugas. Selesaikan persamaan: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Mari kita lihat: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - persamaan ini tidak tereduksi, mari kita bagi kedua ruas dengan koefisien a = −5. Kita mendapatkan: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - persamaan dengan koefisien pecahan.

Lebih baik kembali ke persamaan awal dan menghitung melalui diskriminan: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Tugas. Selesaikan persamaan: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Pertama, kita bagi semuanya dengan koefisien a = 2. Kita mendapatkan persamaan x 2 + 5x − 300 = 0.

Ini adalah persamaan tereduksi, menurut teorema Vieta kita mempunyai: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Sulit untuk menebak akar persamaan kuadrat dalam kasus ini - secara pribadi, saya benar-benar mengalami kebuntuan ketika menyelesaikan masalah ini.

Anda harus mencari akar melalui diskriminan: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Jika Anda tidak ingat akar diskriminannya, saya perhatikan saja 1225: 25 = 49. Jadi, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Sekarang setelah akar diskriminan diketahui, menyelesaikan persamaan tersebut tidaklah sulit. Kita mendapatkan: x 1 = 15; x 2 = −20.

Dalam kuliah ini kita akan mengenal hubungan aneh antara akar-akar persamaan kuadrat dan koefisiennya. Hubungan ini pertama kali ditemukan oleh ahli matematika Perancis François Viète (1540-1603).

Misalnya, untuk persamaan 3x 2 - 8x - 6 = 0, tanpa mencari akar-akarnya, dengan menggunakan teorema Vieta, kita dapat langsung menyatakan bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan , dan hasil kali akar-akarnya sama dengan
yaitu - 2. Dan untuk persamaan x 2 - 6x + 8 = 0 kita simpulkan: jumlah akar-akarnya adalah 6, hasil kali akar-akarnya adalah 8; Ngomong-ngomong, tidak sulit menebak persamaan akar-akarnya: 4 dan 2.
Bukti teorema Vieta. Akar-akar x 1 dan x 2 persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dicari dengan menggunakan rumus

Dimana D = b 2 - 4ac adalah diskriminan dari persamaan tersebut. Setelah menyatukan akar-akar ini,
kita mendapatkan

Sekarang mari kita hitung hasil kali akar-akar x 1 dan x 2. Kita punya

Hubungan kedua telah terbukti:
Komentar. Teorema Vieta juga valid jika persamaan kuadrat memiliki satu akar (yaitu, ketika D = 0), dalam kasus ini diasumsikan bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar yang identik, yang mana hubungan di atas diterapkan.
Hubungan yang terbukti untuk persamaan kuadrat tereduksi x 2 + px + q = 0 mengambil bentuk yang sangat sederhana.

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
itu. jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas.
Dengan menggunakan teorema Vieta, Anda dapat memperoleh hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalkan x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 + px + q = 0. Maka

Namun, tujuan utama teorema Vieta bukanlah untuk mengungkapkan hubungan tertentu antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Yang lebih penting adalah, dengan menggunakan teorema Vieta, rumus untuk memfaktorkan trinomial kuadrat diturunkan, yang tanpanya kita tidak akan bisa melakukannya di masa depan.

Bukti. Kita punya

Contoh 1. Faktorkan trinomial kuadrat 3x 2 - 10x + 3.
Larutan. Setelah menyelesaikan persamaan 3x 2 - 10x + 3 = 0, kita mencari akar-akar trinomial kuadrat 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Dengan menggunakan Teorema 2, kita peroleh

Masuk akal untuk menulis 3x - 1 saja. Maka kita akhirnya mendapatkan 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Perhatikan bahwa trinomial kuadrat tertentu dapat difaktorkan tanpa menerapkan Teorema 2, menggunakan metode pengelompokan:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Namun seperti yang Anda lihat, keberhasilan metode ini bergantung pada apakah kita dapat menemukan pengelompokan yang berhasil atau tidak, sedangkan metode pertama dijamin berhasil.
Contoh 1. Kurangi pecahan

Larutan. Dari persamaan 2x 2 + 5x + 2 = 0 kita mencari x 1 = - 2,

Dari persamaan x2 - 4x - 12 = 0 kita mencari x 1 = 6, x 2 = -2. Itu sebabnya
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Sekarang mari kita kurangi pecahan yang diberikan:

Contoh 3. Faktorkan ekspresi:
a)x4 + 5x 2 +6; b)2x+-3
Solusi. a) Mari kita perkenalkan variabel baru y = x2. Ini akan memungkinkan Anda untuk menulis ulang ekspresi yang diberikan dalam bentuk trinomial kuadrat terhadap variabel y, yaitu dalam bentuk y 2 + bу + 6.
Setelah menyelesaikan persamaan y 2 + bу + 6 = 0, kita mencari akar-akar trinomial kuadrat y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Sekarang mari kita gunakan Teorema 2; kita mendapatkan

kamu 2 + 5kamu + 6 = (kamu + 2) (kamu + 3).
Perlu diingat bahwa y = x 2, yaitu kembali ke ekspresi yang diberikan. Jadi,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Mari kita perkenalkan variabel baru y = . Ini akan memungkinkan Anda untuk menulis ulang ekspresi yang diberikan dalam bentuk trinomial kuadrat terhadap variabel y, yaitu dalam bentuk 2y 2 + y - 3. Setelah menyelesaikan persamaan
2y 2 + y - 3 = 0, tentukan akar-akar trinomial kuadrat 2y 2 + y - 3:
kamu 1 = 1, kamu 2 = . Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema 2, kita peroleh:

Perlu diingat bahwa y = , yaitu kembali ke ekspresi yang diberikan. Jadi,

Di akhir bagian terdapat beberapa alasan, sekali lagi terkait dengan teorema Vieta, atau lebih tepatnya, dengan pernyataan sebaliknya:
jika bilangan x 1, x 2 sedemikian rupa sehingga x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, maka bilangan-bilangan tersebut adalah akar-akar persamaan
Dengan menggunakan pernyataan ini, Anda dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat secara lisan, tanpa menggunakan rumus akar yang rumit, dan juga membuat persamaan kuadrat dengan akar-akar tertentu. Mari kita beri contoh.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Disini x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Mudah ditebak bahwa x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Disini x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Mudah ditebak bahwa x 1 = -5, x 2 = -6.
Perhatikan bahwa jika suku dummy persamaan tersebut adalah bilangan positif, maka kedua akarnya adalah positif atau negatif; Hal ini penting untuk dipertimbangkan ketika memilih akar.

3) x 2 + x - 12 = 0. Disini x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Mudah ditebak bahwa x 1 = 3, x2 = -4.
Harap diperhatikan: jika suku bebas persamaan tersebut adalah bilangan negatif, maka akar-akarnya mempunyai tanda yang berbeda; Hal ini penting untuk dipertimbangkan ketika memilih akar.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Sangat mudah untuk melihat bahwa x = 1 memenuhi persamaan, yaitu x 1 = 1 adalah akar persamaan. Karena x 1 x 2 = -, dan x 1 = 1, kita peroleh x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Disini x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Jika diperhatikan faktanya 2830 = 283. 10, dan 293 = 283 + 10, maka menjadi jelas bahwa x 1 = 283, x 2 = 10 (sekarang bayangkan perhitungan apa yang harus dilakukan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus standar).

6) Mari kita buat persamaan kuadrat sehingga akar-akarnya adalah bilangan x 1 = 8, x 2 = - 4. Biasanya dalam kasus seperti ini kita membuat persamaan kuadrat tereduksi x 2 + px + q = 0.
Kita mempunyai x 1 + x 2 = -p, jadi 8 - 4 = -p, yaitu p = -4. Selanjutnya, x 1 x 2 = q, yaitu 8 «(-4) = q, dari situ kita mendapatkan q = -32. Jadi p = -4, q = -32, artinya persamaan kuadrat yang diperlukan berbentuk x 2 -4x-32 = 0.

Persamaan kuadrat lengkap apa pun kapak 2 + bx + c = 0 dapat diingat x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, jika setiap suku dibagi terlebih dahulu dengan koefisien a sebelumnya x 2. Dan jika kita memperkenalkan notasi baru (b/a) = hal Dan (c/a) = q, maka kita akan mendapatkan persamaannya x 2 + piksel + q = 0, yang dalam matematika disebut persamaan kuadrat yang diberikan.

Akar persamaan kuadrat tereduksi dan koefisiennya P Dan Q terhubung satu sama lain. Itu sudah dikonfirmasi teorema Vieta, dinamai menurut ahli matematika Perancis Francois Vieta, yang hidup pada akhir abad ke-16.

Dalil. Jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 + piksel + q = 0 sama dengan koefisien kedua P, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya - ke suku bebas Q.

Mari kita tuliskan hubungan ini dalam bentuk berikut:

Membiarkan x 1 Dan x 2 akar-akar yang berbeda dari persamaan yang diberikan x 2 + piksel + q = 0. Menurut teorema Vieta x 1 + x 2 = -p Dan x 1 x 2 = q.

Untuk membuktikannya, substitusikan masing-masing akar x 1 dan x 2 ke dalam persamaan. Kami mendapatkan dua persamaan sejati:

x 1 2 + piksel 1 + q = 0

x 2 2 + piksel 2 + q = 0

Mari kita kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama. Kita mendapatkan:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Kita perluas dua suku pertama menggunakan rumus selisih kuadrat:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Syaratnya, akar-akar x 1 dan x 2 berbeda. Oleh karena itu, kita dapat mereduksi persamaan tersebut menjadi (x 1 – x 2) ≠ 0 dan menyatakan p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Kesetaraan pertama telah terbukti.

Untuk membuktikan persamaan kedua, kita substitusikan ke persamaan pertama

x 1 2 + px 1 + q = 0 sebagai ganti koefisien p, bilangan yang sama adalah (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Mengubah ruas kiri persamaan, kita memperoleh:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, yang perlu dibuktikan.

Teorema Vieta bagus karena Bahkan tanpa mengetahui akar-akar persamaan kuadrat, kita dapat menghitung jumlah dan hasil kali persamaan tersebut .

Teorema Vieta membantu menentukan akar bilangan bulat dari persamaan kuadrat tertentu. Namun bagi banyak siswa, hal ini menimbulkan kesulitan karena mereka tidak mengetahui algoritma tindakan yang jelas, terutama jika akar-akar persamaan memiliki tanda yang berbeda.

Jadi persamaan kuadrat di atas berbentuk x 2 + px + q = 0, dimana x 1 dan x 2 adalah akar-akarnya. Menurut teorema Vieta, x 1 + x 2 = -p dan x 1 · x 2 = q.

Kesimpulan berikut dapat diambil.

Jika suku terakhir persamaan diawali dengan tanda minus, maka akar-akar x 1 dan x 2 mempunyai tanda yang berbeda. Selain itu, tanda akar yang lebih kecil bertepatan dengan tanda koefisien kedua dalam persamaan tersebut.

Berdasarkan fakta bahwa ketika menjumlahkan bilangan dengan tanda berbeda, modulnya dikurangi, dan hasil yang dihasilkan diawali dengan tanda bilangan yang lebih besar dalam nilai absolut, Anda harus melanjutkan sebagai berikut:

1. tentukan faktor-faktor bilangan q sedemikian rupa sehingga selisihnya sama dengan bilangan p;
2. letakkan tanda koefisien kedua persamaan di depan angka yang lebih kecil; akar kedua akan memiliki tanda sebaliknya.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan x 2 – 2x – 15 = 0.

Larutan.

Mari kita coba selesaikan persamaan ini menggunakan aturan yang diusulkan di atas. Maka kita dapat mengatakan dengan pasti bahwa persamaan ini akan mempunyai dua akar yang berbeda, karena D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Sekarang, dari semua faktor bilangan 15 (1 dan 15, 3 dan 5), kita pilih yang selisihnya 2. Ini akan menjadi bilangan 3 dan 5. Kita beri tanda minus di depan bilangan yang lebih kecil, yaitu. tanda koefisien kedua persamaan. Jadi, kita memperoleh akar-akar persamaan x 1 = -3 dan x 2 = 5.

Menjawab. x 1 = -3 dan x 2 = 5.

Contoh 2.

Selesaikan persamaan x 2 + 5x – 6 = 0.

Larutan.

Mari kita periksa apakah persamaan ini mempunyai akar. Untuk melakukan ini, kami menemukan diskriminan:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda.

Faktor kemungkinan dari bilangan 6 adalah 2 dan 3, 6 dan 1. Selisihnya adalah 5 untuk pasangan 6 dan 1. Pada contoh ini koefisien suku kedua mempunyai tanda tambah, sehingga bilangan yang lebih kecil mempunyai tanda yang sama . Namun sebelum angka kedua akan ada tanda minus.

Jawaban: x 1 = -6 dan x 2 = 1.

Teorema Vieta juga dapat dituliskan untuk persamaan kuadrat lengkap. Jadi, jika persamaan kuadrat kapak 2 + bx + c = 0 mempunyai akar x 1 dan x 2, maka persamaannya berlaku

x 1 + x 2 = -(b/a) Dan x 1 x 2 = (c/a). Namun penerapan teorema ini pada persamaan kuadrat lengkap cukup bermasalah, karena jika ada akar-akarnya, paling sedikit salah satunya adalah bilangan pecahan. Dan mengerjakan pemilihan pecahan cukup sulit. Tapi masih ada jalan keluarnya.

Perhatikan persamaan kuadrat lengkap ax 2 + bx + c = 0. Kalikan ruas kiri dan kanannya dengan koefisien a. Persamaannya akan berbentuk (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Sekarang mari kita perkenalkan variabel baru, misalnya t = ax.

Dalam hal ini, persamaan yang dihasilkan akan berubah menjadi persamaan kuadrat tereduksi berbentuk t 2 + bt + ac = 0, yang akar-akarnya t 1 dan t 2 (jika ada) dapat ditentukan dengan teorema Vieta.

Dalam hal ini, akar-akar persamaan kuadrat aslinya adalah

x 1 = (t 1 / a) dan x 2 = (t 2 / a).

Contoh 3.

Selesaikan persamaan 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Larutan.

Mari kita buat persamaan bantu. Mari kalikan setiap suku persamaan dengan 15:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Kita lakukan penggantian t = 15x. Kita punya:

t 2 – 11t + 30 = 0.

Menurut teorema Vieta, akar persamaan ini adalah t 1 = 5 dan t 2 = 6.

Kita kembali ke penggantian t = 15x:

5 = 15x atau 6 = 15x. Jadi x 1 = 5/15 dan x 2 = 6/15. Kita kurangi dan dapatkan jawaban akhir: x 1 = 1/3 dan x 2 = 2/5.

Menjawab. x 1 = 1/3 dan x 2 = 2/5.

Untuk menguasai penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta, siswa perlu berlatih sebanyak mungkin. Inilah tepatnya rahasia kesuksesan.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

2.5 Rumus Vieta untuk polinomial (persamaan) derajat yang lebih tinggi

Rumus yang diturunkan oleh Viète untuk persamaan kuadrat juga berlaku untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi.

Biarkan polinomial

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +an

Mempunyai n akar yang berbeda x 1, x 2..., x n.

Dalam hal ini mempunyai bentuk faktorisasi:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ an = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Mari kita bagi kedua ruas persamaan ini dengan a 0 ≠ 0 dan buka tanda kurung di bagian pertama. Kami mendapatkan persamaan:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Tetapi dua polinomial dikatakan sama jika dan hanya jika koefisien pangkatnya sama. Oleh karena itu kesetaraan

x 1 + x 2 + … + xn = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Misalnya untuk polinomial derajat ketiga

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Kami memiliki identitas

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Sedangkan untuk persamaan kuadrat, rumus ini disebut rumus Vieta. Ruas kiri rumus ini adalah polinomial simetris dari akar-akar x 1, x 2 ..., x n persamaan ini, dan ruas kanan dinyatakan melalui koefisien polinomial.

2.6 Persamaan yang dapat direduksi menjadi kuadrat (biquadratic)

Persamaan derajat keempat direduksi menjadi persamaan kuadrat:

kapak 4 + bx 2 + c = 0,

disebut biquadratic, dan a ≠ 0.

Cukup dengan memasukkan x 2 = y ke dalam persamaan ini, oleh karena itu,

ay² + oleh + c = 0

mari kita cari akar-akar persamaan kuadrat yang dihasilkan

kamu 1,2 =

Untuk segera mencari akar-akar x 1, x 2, x 3, x 4, ganti y dengan x dan dapatkan

x² =

x 1,2,3,4 = .

Jika persamaan derajat keempat mempunyai x 1, maka persamaan tersebut juga mempunyai akar x 2 = -x 1,

Jika mempunyai x 3, maka x 4 = - x 3. Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah nol.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Mari kita substitusikan persamaan tersebut ke dalam rumus akar-akar persamaan bikuadrat:

x 1,2,3,4 = ,

mengetahui bahwa x 1 = -x 2, dan x 3 = -x 4, maka:

x 3,4 =

Jawaban: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Mempelajari persamaan biquadratic

Mari kita ambil persamaan biquadratic

kapak 4 + bx 2 + c = 0,

dimana a, b, c adalah bilangan real, dan a > 0. Dengan memasukkan bilangan bantu yang tidak diketahui y = x², kita periksa akar-akar persamaan ini dan masukkan hasilnya ke dalam tabel (lihat Lampiran No. 1)

2.8 Rumus Cardano

Jika kita menggunakan simbolisme modern, turunan dari rumus Cardano akan terlihat seperti ini:

x =

Rumus ini menentukan akar-akar persamaan umum derajat ketiga:

kapak 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Rumus ini sangat rumit dan rumit (mengandung beberapa radikal kompleks). Itu tidak selalu berlaku, karena... sangat sulit untuk diisi.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Buat daftar atau pilih tempat paling menarik dari 2-3 teks. Oleh karena itu, kami telah mempertimbangkan ketentuan umum untuk membuat dan menyelenggarakan mata kuliah pilihan, yang akan diperhitungkan ketika mengembangkan mata kuliah pilihan aljabar untuk kelas 9 “Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan dengan parameter”. Bab II. Metodologi pelaksanaan mata kuliah pilihan “Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan dengan parameter” 1.1. Apakah umum...

Solusi dari metode perhitungan numerik. Untuk menentukan akar persamaan, pengetahuan tentang teori grup Abel, Galois, Lie, dll dan penggunaan terminologi matematika khusus: ring, bidang, ideal, isomorfisme, dll. Untuk menyelesaikan persamaan aljabar derajat ke-n, Anda hanya memerlukan kemampuan menyelesaikan persamaan kuadrat dan mengekstrak akar dari bilangan kompleks. Akar dapat ditentukan dengan...

Dengan satuan pengukuran besaran fisika dalam sistem MathCAD? 11. Mendeskripsikan secara rinci teks, grafik dan blok matematika. Kuliah No.2. Masalah aljabar linier dan penyelesaian persamaan diferensial di lingkungan MathCAD Dalam masalah aljabar linier, hampir selalu ada kebutuhan untuk melakukan berbagai operasi dengan matriks. Panel operator dengan matriks terletak di panel Matematika. ...

Teorema Vieta (lebih tepatnya, teorema kebalikan dari teorema Vieta) memungkinkan Anda mengurangi waktu penyelesaian persamaan kuadrat. Anda hanya perlu tahu cara menggunakannya. Bagaimana cara belajar menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta? Tidak sulit jika Anda memikirkannya sedikit.

Sekarang kita hanya akan membahas penyelesaian persamaan kuadrat tereduksi menggunakan teorema Vieta. Persamaan kuadrat tereduksi adalah persamaan yang a, yaitu koefisien x², sama dengan satu. Persamaan kuadrat yang tidak diberikan juga dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta, tetapi setidaknya salah satu akarnya bukan bilangan bulat. Lebih sulit ditebak.

Teorema kebalikan dari teorema Vieta menyatakan: jika bilangan x1 dan x2 sedemikian rupa

maka x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat

Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta, hanya 4 pilihan yang mungkin. Jika Anda mengingat alur pemikirannya, Anda dapat belajar menemukan akar utuh dengan sangat cepat.

I. Jika q adalah bilangan positif,

artinya akar-akar x1 dan x2 adalah bilangan-bilangan yang bertanda sama (karena hanya mengalikan bilangan-bilangan yang bertanda sama akan menghasilkan bilangan positif).

I.a. Jika -p adalah bilangan positif, (masing-masing, hal<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Jika -p adalah bilangan negatif, (masing-masing p>0), maka kedua akar bilangan negatif (kita menjumlahkan bilangan yang bertanda sama dan mendapatkan bilangan negatif).

II. Jika q adalah bilangan negatif,

Artinya akar-akar x1 dan x2 mempunyai tanda yang berbeda (bila mengalikan bilangan, bilangan negatif hanya diperoleh jika tanda faktornya berbeda). Dalam hal ini, x1 + x2 bukan lagi penjumlahan, melainkan selisih (lagipula, saat menjumlahkan bilangan yang berbeda tanda, kita mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari yang lebih besar dalam nilai absolutnya). Oleh karena itu, x1+x2 menunjukkan seberapa besar perbedaan akar-akar x1 dan x2, yaitu seberapa besar satu akar lebih besar dari yang lain (dalam nilai absolut).

II.a. Jika -p adalah bilangan positif, (yaitu, hal<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Jika -p adalah bilangan negatif, (p>0), maka akar (modulo) yang lebih besar adalah bilangan negatif.

Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta menggunakan contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat yang diberikan menggunakan teorema Vieta:

Di sini q=12>0, jadi akar-akar x1 dan x2 adalah bilangan-bilangan yang bertanda sama. Jumlahnya adalah -p=7>0, jadi kedua akarnya adalah bilangan positif. Kita pilih bilangan bulat yang hasil kali 12. Yaitu 1 dan 12, 2 dan 6, 3 dan 4. Jumlahnya adalah 7 untuk pasangan 3 dan 4. Artinya 3 dan 4 adalah akar-akar persamaan.

Dalam contoh ini, q=16>0, artinya akar-akar x1 dan x2 adalah bilangan-bilangan yang bertanda sama. Jumlahnya adalah -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Di sini q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, maka bilangan yang lebih besar adalah positif. Jadi akar-akarnya adalah 5 dan -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.