diagram vektor. Penambahan getaran.

Penyelesaian sejumlah masalah dalam teori osilasi sangat dipermudah dan menjadi lebih visual jika osilasi digambarkan secara grafis menggunakan metode diagram vektor. Mari kita pilih beberapa sumbu X. Dari satu titik 0 pada sumbu kita plot vektor panjang , yang pertama membentuk sudut dengan sumbu (Gbr. 2.14.1). Jika kita membawa vektor ini ke dalam rotasi dengan kecepatan sudut , maka proyeksi ujung vektor ke sumbu X akan berubah seiring waktu sesuai dengan hukum

.

Oleh karena itu, proyeksi ujung vektor ke sumbu akan melakukan osilasi harmonik dengan amplitudo sama dengan panjang vektor, dengan frekuensi melingkar sama dengan kecepatan sudut rotasi vektor, dan dengan fase awal sama dengan sudut yang dibentuk vektor dengan sumbu pada saat awal waktu. Sudut yang dibentuk oleh vektor dengan sumbu pada waktu tertentu menentukan fase osilasi pada saat itu - .

Dari apa yang telah dikatakan, maka osilasi harmonik dapat direpresentasikan menggunakan vektor, yang panjangnya sama dengan amplitudo osilasi, dan arahnya membentuk sudut dengan sumbu tertentu yang sama dengan fase osilasi. Ini adalah inti dari metode diagram vektor.

Penambahan osilasi dengan arah yang sama.

Pertimbangkan penambahan dua osilasi harmonik, yang arahnya sejajar:

. (2.14.1)

Hasil offset X akan menjadi jumlah dan . Ini akan menjadi osilasi dengan amplitudo.

Mari kita gunakan metode diagram vektor (Gbr. 2.14.2). pada gambar, dan adalah fase dari osilasi yang dihasilkan dan ditambahkan, masing-masing. Sangat mudah untuk melihat apa yang dapat ditemukan dengan menambahkan vektor dan . Namun, jika frekuensi osilasi yang ditambahkan berbeda, maka amplitudo yang dihasilkan berubah besarnya dari waktu ke waktu dan vektor berputar pada kecepatan yang tidak konstan, yaitu. osilasi tidak akan harmonis, tetapi akan mewakili beberapa proses osilasi yang kompleks. Agar osilasi yang dihasilkan menjadi harmonik, frekuensi osilasi yang ditambahkan harus sama

dan getaran yang dihasilkan terjadi pada frekuensi yang sama

.

Jelas dari konstruksi bahwa

Mari kita menganalisis ekspresi (2.14.2) untuk amplitudo osilasi yang dihasilkan. Jika sebuah beda fase dari osilasi yang ditambahkan sama dengan nol(osilasi sefasa), amplitudo sama dengan jumlah amplitudo osilasi yang ditambahkan, yaitu memiliki nilai maksimum yang mungkin . Jika sebuah beda fasenya adalah(osilasi dalam antifase), maka amplitudo yang dihasilkan sama dengan perbedaan amplitudo, yaitu memiliki nilai terkecil yang mungkin .

Penambahan osilasi yang saling tegak lurus.

Biarkan partikel melakukan dua osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama: satu di sepanjang arah, yang kami tunjukkan X, yang lainnya dalam arah tegak lurus kamu. Dalam hal ini, partikel akan bergerak sepanjang beberapa, dalam kasus umum, lintasan lengkung, yang bentuknya tergantung pada perbedaan fase osilasi.

Kami memilih asal referensi waktu sehingga fase awal satu osilasi sama dengan nol:

. (2.14.3)

Untuk mendapatkan persamaan lintasan partikel, perlu dikeluarkan dari (2.14.3) t. Dari persamaan pertama, a. cara, . Mari kita tulis ulang persamaan kedua

atau

.

Memindahkan suku pertama dari ruas kanan persamaan ke ruas kiri, mengkuadratkan persamaan yang dihasilkan dan melakukan transformasi, kita peroleh

. (2.14.4)

Persamaan ini adalah persamaan elips yang sumbunya diputar relatif terhadap sumbu X dan kamu ke beberapa sudut. Tetapi dalam beberapa kasus khusus diperoleh hasil yang lebih sederhana.

1. Beda fase adalah nol. Kemudian dari (2.14.4) kita mendapatkan

atau . (2.14.5)

Ini adalah persamaan garis lurus (Gbr. 2.14.3). Jadi, partikel berosilasi sepanjang garis lurus ini dengan frekuensi dan amplitudo sama dengan .

Diagram vektor adalah cara untuk mendefinisikan secara grafis gerakan osilasi sebagai vektor.

Nilai berosilasi (bersifat fisik apa pun) diplot sepanjang sumbu horizontal. Vektor yang diplot dari titik 0 sama nilai absolutnya dengan amplitudo osilasi A dan diarahkan pada sudut , sama dengan fase awal osilasi, ke sumbu . Jika kita membawa vektor ini ke dalam rotasi dengan kecepatan sudut sama dengan frekuensi siklik osilasi, maka proyeksi vektor ini ke sumbu memberikan nilai kuantitas osilasi pada momen waktu yang berubah-ubah.

Penambahan getaran dengan frekuensi yang sama dan arah yang sama

Biarkan ada dua getaran: kami membangun diagram vektor dan menambahkan vektor:

Menurut hukum cosinus

Sebagai kemudian

Jelas (lihat diagram) bahwa fase awal osilasi yang dihasilkan ditentukan oleh hubungan:

Penambahan osilasi frekuensi dekat

P est, dua osilasi dengan frekuensi yang hampir identik ditambahkan, yaitu.

Dari trigonometri:

Menerapkan ke kasus kami, kami mendapatkan:

Grafik getaran yang dihasilkan adalah grafik ketukan, yaitu osilasi hampir harmonik dari frekuensi , amplitudo yang perlahan berubah dengan frekuensi .

Amplitudo karena adanya tanda modulus (amplitudo selalu > 0), frekuensi perubahan amplitudo tidak sama dengan / 2, tetapi dua kali lebih tinggi - .

Penambahan osilasi yang saling tegak lurus

Biarkan sebuah benda kecil berosilasi pada pegas yang saling tegak lurus dengan kekakuan yang sama. Pada lintasan apa tubuh ini akan bergerak?

Ini adalah persamaan lintasan dalam bentuk parametrik. Untuk mendapatkan hubungan eksplisit antara koordinat x dan y, parameter t harus dikeluarkan dari persamaan.

Dari persamaan pertama: ,

Dari yang kedua

Setelah substitusi

Mari kita singkirkan akarnya:

adalah persamaan elips

H
kasus khusus:

27. Getaran teredam. Getaran paksa. Resonansi.

Redaman osilasi bebas

Karena resistensi, osilasi bebas selalu mati cepat atau lambat. Mari kita perhatikan proses redaman osilasi. Mari kita asumsikan bahwa gaya resistensi sebanding dengan kecepatan tubuh. (faktor proporsionalitas ditunjukkan oleh 2mg untuk alasan kenyamanan, yang akan diungkapkan nanti). Mari kita ingat kasus ketika redamannya kecil selama periode osilasi. Kemudian kita dapat mengasumsikan bahwa redaman akan berpengaruh kecil pada frekuensi, tetapi akan mempengaruhi amplitudo osilasi. Kemudian persamaan osilasi teredam dapat direpresentasikan sebagai Berikut A(t) mewakili beberapa fungsi menurun yang perlu ditentukan. Kami akan melanjutkan dari hukum kekekalan dan transformasi energi. Perubahan energi osilasi sama dengan kerja rata-rata gaya hambatan selama periode, yaitu Kami membagi kedua sisi persamaan dengan dt. Di sebelah kanan kita akan memiliki dx/dt, mis. kecepatan v, dan di sebelah kiri Anda mendapatkan turunan energi terhadap waktu. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan Tetapi energi kinetik rata-rata sama dengan setengah dari total energi. Oleh karena itu, dapat ditulis bahwa bagi kedua bagiannya dengan E dan kalikan dengan dt. Kami mengerti Kami mengintegrasikan kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan: Setelah potensiasi, kita mendapatkan Konstanta integrasi C ditemukan dari kondisi awal. Misalkan pada t = 0 E = E0, maka E0 = C. Oleh karena itu, Tapi E~A^2. Oleh karena itu, amplitudo osilasi teredam juga berkurang sesuai dengan hukum eksponensial:

Dan jadi, karena resistansi, amplitudo osilasi berkurang dan umumnya terlihat seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4.2. Koefisien ini disebut koefisien atenuasi. Namun, itu tidak cukup mencirikan redaman. Biasanya, redaman osilasi ditandai dengan penurunan redaman. Yang terakhir menunjukkan berapa kali amplitudo osilasi berkurang selama waktu yang sama dengan periode osilasi. Artinya, faktor redaman didefinisikan sebagai berikut: Logaritma penurunan redaman disebut penurunan logaritma, itu jelas sama dengan

Getaran paksa

Jika sistem osilasi dikenai aksi gaya periodik eksternal, maka apa yang disebut osilasi paksa muncul, yang memiliki karakter tidak teredam. Osilasi paksa harus dibedakan dari osilasi sendiri. Dalam kasus osilasi sendiri dalam sistem, mekanisme khusus diasumsikan, yang, pada waktunya dengan osilasinya sendiri, "menghantarkan" sebagian kecil energi dari beberapa reservoir energi ke sistem. Dengan demikian, osilasi alami dipertahankan, yang tidak membusuk. Dalam kasus osilasi diri, sistem, seolah-olah, mendorong dirinya sendiri. Jam dapat berfungsi sebagai contoh sistem osilasi sendiri. Jam dilengkapi dengan mekanisme ratchet, yang dengannya pendulum menerima guncangan kecil (dari pegas terkompresi) tepat waktu dengan osilasinya sendiri. Dalam kasus osilasi paksa, sistem didorong oleh gaya eksternal. Di bawah ini kita membahas kasus ini, dengan asumsi bahwa hambatan dalam sistem kecil dan dapat diabaikan. Sebagai model osilasi paksa, yang kami maksud adalah benda yang sama yang tergantung pada pegas, yang dipengaruhi oleh gaya periodik eksternal (misalnya, gaya yang memiliki sifat elektromagnetik). Tanpa memperhitungkan hambatan, persamaan gerak benda tersebut dalam proyeksi pada sumbu x memiliki bentuk: di mana w* adalah frekuensi siklik, B adalah amplitudo gaya eksternal. Diketahui bahwa fluktuasi ada. Oleh karena itu, kita akan mencari solusi tertentu dari persamaan dalam bentuk fungsi sinusoidal Kami mengganti fungsi ke dalam persamaan, yang kami bedakan dua kali sehubungan dengan waktu . Substitusi mengarah ke relasi

Persamaan berubah menjadi identitas jika tiga kondisi terpenuhi: . Kemudian dan persamaan osilasi paksa dapat direpresentasikan sebagai Mereka terjadi dengan frekuensi yang bertepatan dengan frekuensi gaya eksternal, dan amplitudonya tidak diatur secara sewenang-wenang, seperti dalam kasus getaran bebas, tetapi diatur dengan sendirinya. Nilai yang ditetapkan ini tergantung pada rasio frekuensi osilasi alami sistem dan frekuensi gaya eksternal menurut rumus

H dan ara. 4.3 menunjukkan plot ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya eksternal. Dapat dilihat bahwa amplitudo osilasi meningkat secara signifikan ketika frekuensi gaya eksternal mendekati frekuensi osilasi alami. Fenomena peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa ketika frekuensi alami dan frekuensi gaya eksternal bertepatan disebut resonansi.

Pada resonansi, amplitudo osilasi harus sangat besar. Pada kenyataannya, pada resonansi, amplitudo osilasi paksa selalu terbatas. Ini dijelaskan oleh fakta bahwa pada resonansi dan di dekatnya, asumsi kita tentang hambatan yang sangat kecil menjadi tidak benar. Bahkan jika resistansi dalam sistem kecil, maka itu signifikan dalam resonansi. Kehadirannya membuat amplitudo osilasi dalam resonansi menjadi nilai yang terbatas. Dengan demikian, grafik nyata ketergantungan amplitudo osilasi pada frekuensi memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 4.4. Semakin besar hambatan dalam sistem, semakin rendah amplitudo maksimum pada titik resonansi.

Sebagai aturan, resonansi dalam sistem mekanis adalah fenomena yang tidak diinginkan, dan mereka mencoba untuk menghindari: mereka mencoba merancang struktur mekanis yang tunduk pada osilasi dan getaran sedemikian rupa sehingga frekuensi alami osilasi jauh dari nilai yang mungkin dari frekuensi pengaruh eksternal. Namun di sejumlah perangkat resonansi digunakan sebagai fenomena positif. Misalnya, resonansi osilasi elektromagnetik banyak digunakan dalam komunikasi radio, resonansi sinar-g - dalam perangkat presisi.

Keadaan sistem termodinamika. Proses

Keadaan termodinamika dan proses termodinamika

Ketika, selain hukum mekanika, penerapan hukum termodinamika diperlukan, sistem itu disebut sistem termodinamika. Kebutuhan untuk menggunakan konsep ini muncul jika jumlah elemen sistem (misalnya, jumlah molekul gas) sangat besar, dan pergerakan elemen individualnya mikroskopis dibandingkan dengan pergerakan sistem itu sendiri atau makroskopiknya. komponen. Dalam hal ini, termodinamika menggambarkan gerakan makroskopik (perubahan keadaan makroskopik) dari sistem termodinamika.

Parameter yang menggambarkan gerakan (perubahan) sistem termodinamika seperti itu biasanya dibagi menjadi eksternal dan internal. Pembagian ini sangat kondisional dan tergantung pada tugas tertentu. Jadi, misalnya, gas dalam balon dengan cangkang elastis memiliki tekanan udara di sekitarnya sebagai parameter eksternal, dan untuk gas dalam bejana dengan cangkang kaku, parameter eksternal adalah volume yang dibatasi oleh cangkang ini. Dalam sistem termodinamika, volume dan tekanan dapat bervariasi secara independen satu sama lain. Untuk deskripsi teoretis tentang perubahannya, perlu untuk memperkenalkan setidaknya satu parameter lagi - suhu.

Dalam kebanyakan masalah termodinamika, tiga parameter cukup untuk menggambarkan keadaan sistem termodinamika. Dalam hal ini, perubahan dalam sistem dijelaskan menggunakan tiga koordinat termodinamika yang terkait dengan parameter termodinamika yang sesuai.

keadaan keseimbangan- keadaan kesetimbangan termodinamika - keadaan sistem termodinamika seperti itu disebut, di mana tidak ada aliran (energi, materi, momentum, dll.), Dan parameter makroskopik sistem stabil dan tidak berubah dalam waktu.

Termodinamika klasik menyatakan bahwa sistem termodinamika yang terisolasi (dibiarkan sendiri) cenderung ke keadaan kesetimbangan termodinamika dan, setelah mencapainya, tidak dapat secara spontan meninggalkannya. Pernyataan ini sering disebut hukum nol termodinamika.

Sistem dalam keadaan kesetimbangan termodinamika memiliki: properti saya:

Jika dua sistem termodinamika yang memiliki kontak termal berada dalam keadaan setimbang termodinamika, maka sistem termodinamika total juga berada dalam keadaan setimbang termodinamika.

Jika suatu sistem termodinamika berada dalam kesetimbangan termodinamika dengan dua sistem lainnya, maka kedua sistem ini berada dalam kesetimbangan termodinamika satu sama lain.

Pertimbangkan sistem termodinamika yang berada dalam keadaan kesetimbangan termodinamika. Deskripsi sistem yang berada dalam keadaan non-kesetimbangan, yaitu, dalam keadaan di mana aliran makroskopik terjadi, ditangani oleh termodinamika non-kesetimbangan. Transisi dari satu keadaan termodinamika ke keadaan termodinamika lainnya disebut proses termodinamika. Di bawah ini, hanya proses kuasi-statis atau, yang sama, proses kuasi-ekuilibrium yang akan dipertimbangkan. Kasus pembatas dari proses kuasi-kesetimbangan adalah proses kesetimbangan lambat tak terhingga yang terdiri dari keadaan kesetimbangan termodinamika yang berurutan. Pada kenyataannya, proses seperti itu tidak dapat terjadi, namun, jika perubahan makroskopik dalam sistem terjadi agak lambat (selama interval waktu secara signifikan melebihi waktu untuk menetapkan kesetimbangan termodinamika), menjadi mungkin untuk mendekati proses nyata sebagai kuasi-statis (kuasi-statis). keseimbangan). Pendekatan ini memungkinkan untuk melakukan perhitungan dengan akurasi yang cukup tinggi untuk kelas besar masalah praktis. Proses kesetimbangan adalah reversibel, yaitu, di mana pengembalian ke nilai parameter keadaan yang terjadi pada saat sebelumnya harus membawa sistem termodinamika ke keadaan sebelumnya tanpa ada perubahan pada benda-benda di sekitar sistem. .

Penerapan praktis proses quasi-ekuilibrium dalam perangkat teknis apa pun tidak efektif. Jadi, penggunaan proses quasi-ekuilibrium dalam mesin kalor, misalnya, yang terjadi pada suhu praktis konstan (lihat deskripsi siklus Carnot di bab ketiga), pasti mengarah pada fakta bahwa mesin seperti itu akan bekerja sangat lambat (dalam batas - sangat lambat) dan memiliki kekuatan yang sangat kecil. Oleh karena itu, dalam praktiknya, proses quasi-ekuilibrium dalam perangkat teknis tidak digunakan. Namun demikian, karena prediksi termodinamika kesetimbangan untuk sistem nyata bertepatan dengan akurasi yang cukup tinggi dengan data eksperimental untuk sistem tersebut, itu banyak digunakan untuk menghitung proses termodinamika di berbagai perangkat teknis.

Jika, selama proses termodinamika, sistem kembali ke keadaan semula, maka proses seperti itu disebut sirkular atau siklik. Proses melingkar, serta proses termodinamika lainnya, dapat menjadi kesetimbangan (dan karena itu reversibel) dan non-ekuilibrium (ireversibel). Dalam proses melingkar reversibel, setelah sistem termodinamika kembali ke keadaan semula, tidak ada gangguan termodinamika yang muncul di benda-benda di sekitarnya, dan keadaannya tetap dalam kesetimbangan. Dalam hal ini, parameter eksternal sistem, setelah implementasi proses siklus, kembali ke nilai aslinya. Dalam proses melingkar ireversibel, setelah selesai, benda-benda di sekitarnya beralih ke keadaan tidak seimbang dan parameter eksternal dari sistem termodinamika berubah.

Metode amplitudo kompleks

Posisi titik pada bidang dapat ditentukan secara unik dengan bilangan kompleks:

Jika titik ($A$) berputar, maka koordinat titik ini berubah sesuai dengan hukum:

tulis $z$ dalam bentuk:

di mana $Re(z)=x$, yaitu, kuantitas fisik x sama dengan bagian real dari ekspresi kompleks (4). Dalam hal ini, modulus dari ekspresi kompleks sama dengan amplitudo osilasi -- $a$, argumennya sama dengan fase ($(\omega )_0t+\delta $). Terkadang, saat mengambil bagian real dari $z$, tanda operasi Re dihilangkan dan ekspresi simbolis diperoleh:

Ekspresi (5) tidak boleh diartikan secara harfiah. Seringkali secara formal disederhanakan (5):

di mana $A=ae^(i \delta)$ adalah amplitudo osilasi kompleks. Sifat kompleks dari amplitudo $A$ berarti bahwa osilasi memiliki fase awal yang tidak sama dengan nol.

Untuk mengungkapkan arti fisik dari ekspresi seperti (6), kami mengasumsikan bahwa frekuensi osilasi ($(\omega )_0$) memiliki bagian nyata dan imajiner, dan dapat direpresentasikan sebagai:

Maka ekspresi (6) dapat ditulis sebagai:

Jika $(\omega )2>0,$ maka ekspresi (8) menggambarkan osilasi harmonik teredam dengan frekuensi melingkar $\omega1$ dan indeks redaman $(\omega )_2$. Jika $(\omega )_2

Komentar

Banyak operasi matematika dapat dilakukan pada besaran kompleks seolah-olah besaran itu nyata. Operasi dimungkinkan jika mereka sendiri linier dan nyata (seperti penambahan, perkalian, diferensiasi terhadap variabel nyata, dan lain-lain, tetapi tidak semua). Harus diingat bahwa besaran kompleks itu sendiri tidak sesuai dengan besaran fisis manapun.

Metode diagram vektor

Biarkan titik $A$ berputar merata di sekitar lingkaran berjari-jari $r$ (Gbr.1), kecepatan putarannya adalah $(\omega )_0$.

Gambar 1.

Posisi titik $A$ pada lingkaran dapat ditentukan dengan menggunakan sudut $\varphi $. sudut ini adalah:

di mana $\delta =\varphi (t=0)$ adalah sudut rotasi dari vektor radius $\overrightarrow(r)$ pada momen awal waktu. Jika titik $M$ berputar, maka proyeksinya ke sumbu $X$ bergerak sepanjang diameter lingkaran, membuat osilasi harmonik antara titik $M$ $N$. Absis dari $A$ dapat ditulis sebagai:

Dengan cara yang sama, fluktuasi sebesar apapun dapat direpresentasikan.

Anda hanya perlu mengambil bayangan besaran yang berosilasi dengan absis titik $A$, yang berotasi seragam di sekitar lingkaran. Anda dapat, tentu saja, menggunakan ordinat:

Catatan 1

Untuk mewakili osilasi teredam, perlu untuk mengambil bukan lingkaran, tetapi spiral logaritmik, yang mendekati fokus. Jika kecepatan mendekati suatu titik yang bergerak dalam spiral adalah konstan dan titik tersebut bergerak menuju fokus, maka proyeksi titik ini ke sumbu $X akan memberikan rumus untuk osilasi teredam.

Catatan 2

Alih-alih sebuah titik, Anda dapat menggunakan vektor radius yang akan berputar secara seragam di sekitar titik asal. Kemudian nilai yang melakukan osilasi harmonik akan digambarkan sebagai proyeksi vektor ini ke sumbu $X$. Dalam hal ini, operasi matematika pada kuantitas $x$ diganti dengan operasi pada vektor.

Jadi operasi penjumlahan dua besaran :

lebih mudah untuk mengganti dengan menjumlahkan dua vektor (menggunakan aturan jajaran genjang). Vektor dipilih sehingga proyeksinya pada $sumbu X$ yang dipilih adalah ekspresi $x_1\ dan\ x_2$. Maka hasil penjumlahan vektor pada proyeksi terhadap sumbu x akan sama dengan $x_1+\ x_2$.

Contoh 1

Mari kita mendemonstrasikan penerapan metode diagram vektor.

Jadi, mari kita nyatakan bilangan kompleks sebagai vektor pada bidang kompleks. Besaran yang berubah menurut hukum harmonik dilambangkan dengan sebuah vektor yang berputar berlawanan arah jarum jam di sekitar titik asalnya dengan frekuensi $(\omega )0$. Panjang vektor sama dengan amplitudo getaran.

Metode grafis untuk memecahkan, misalnya, persamaan:

di mana $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ adalah impedansi, kita dapat merepresentasikannya dengan bantuan Gbr.2. Gambar ini menunjukkan diagram vektor tegangan dalam rangkaian AC.

Gambar 2.

Mari kita perhatikan bahwa perkalian besaran kompleks dengan satuan kompleks berarti rotasinya dengan sudut $90^0$ berlawanan arah jarum jam, dan perkalian dengan ($-i$) dengan sudut yang sama searah jarum jam. Dari Gambar 2 berikut bahwa:

dimana $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Perubahan sudut $\varphi $ tergantung pada hubungan antara impedansi elemen rangkaian dan frekuensi. Tegangan eksternal dapat berubah dalam fase, dari bertepatan dengan tegangan melintasi induktansi, hingga bertepatan dengan tegangan melintasi kapasitansi. Ini biasanya dinyatakan sebagai rasio antara fase tegangan pada elemen rangkaian dan fase tegangan eksternal:

Fase tegangan pada induktor $((U)L=i\omega LI)$ selalu memimpin fase tegangan eksternal dengan sudut dari $0$ ke $\pi .$

Fase tegangan pada kapasitansi $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) selalu tertinggal di belakang fase tegangan eksternal dengan sudut antara $0$ dan --$\ \pi .$

Dalam hal ini, fase pada resistansi dapat memimpin atau tertinggal di belakang fase tegangan eksternal dengan sudut antara $\frac(\pi )(2)$ dan $\frac(\pi )(2)$.

Diagram vektor (Gbr. 2) memungkinkan kita untuk merumuskan yang berikut:

Fase tegangan melintasi induktor memimpin fase arus sebesar $\frac(\pi )(2)$.

Fase tegangan kapasitansi adalah $\frac(\eth )(2)\ $ di belakang fase arus.

Fase tegangan melintasi resistansi bertepatan dengan fase arus.

Contoh 2

Latihan: Tunjukkan bahwa operasi kuadrat tidak dapat diterapkan pada besaran kompleks seperti pada bilangan real.

Keputusan:

Katakanlah kita perlu menguadratkan bilangan real $x$. Jawaban yang benar: $x^2$. Secara formal, kami menerapkan metode kompleks. Mari kita ganti:

$x\ke x+iy$. Kami kuadratkan ekspresi yang dihasilkan, kami mendapatkan:

\[(\kiri(x+iy\kanan))^2=x^2-y^2+2xyi\ \kiri(2.1\kanan).\]

Bagian nyata dari ekspresi (2.1) adalah:

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Alasan kesalahan adalah bahwa operasi kuadrat tidak linier.

Getaran harmonik

Itu. sebenarnya, grafik sinus diperoleh dari rotasi vektor, yang dijelaskan dengan rumus:

F(x) = A sin (ωt + ),

Dimana A adalah panjang vektor (amplitudo osilasi), adalah sudut awal (fase) vektor pada waktu nol, adalah kecepatan sudut rotasi, yang sama dengan:

=2 f, di mana f adalah frekuensi dalam Hertz.

Seperti yang kita lihat, mengetahui frekuensi sinyal, amplitudo dan sudut, kita dapat membangun sinyal harmonik.

Keajaiban dimulai ketika ternyata representasi dari sinyal apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah (seringkali tak terbatas) dari berbagai sinusoid. Dengan kata lain, dalam bentuk deret Fourier.
Saya akan memberikan contoh dari Wikipedia bahasa Inggris. Mari kita ambil sinyal gigi gergaji sebagai contoh.

sinyal gigi gergaji

Jumlahnya akan diwakili oleh rumus berikut:

Jika kita jumlahkan satu per satu, ambil dulu n=1, lalu n=2, dst., kita akan melihat bagaimana sinyal sinusoidal harmonik kita berangsur-angsur berubah menjadi gergaji:

Mungkin cara yang paling indah untuk menggambarkan ini adalah salah satu program yang saya temukan di Internet. Telah dikatakan di atas bahwa grafik sinus adalah proyeksi dari vektor yang berputar, tetapi bagaimana dengan sinyal yang lebih kompleks? Anehnya, ini adalah proyeksi dari sekumpulan vektor yang berputar, atau lebih tepatnya jumlah mereka, dan semuanya terlihat seperti ini:

Gergaji gambar vektor.

Secara umum, saya sarankan Anda mengikuti tautan sendiri dan mencoba bermain-main dengan parameter sendiri, dan melihat bagaimana sinyal berubah. IMHO Saya belum melihat mainan yang lebih visual untuk dipahami.

Perlu juga dicatat bahwa ada prosedur terbalik yang memungkinkan Anda mendapatkan frekuensi, amplitudo, dan fase awal (sudut) dari sinyal yang diberikan, yang disebut Transformasi Fourier.

Ekspansi deret Fourier dari beberapa fungsi periodik yang diketahui (dari sini)

Saya tidak akan membahasnya secara rinci, tetapi saya akan menunjukkan bagaimana hal itu dapat diterapkan dalam kehidupan. Dalam daftar referensi saya akan merekomendasikan di mana Anda dapat membaca lebih lanjut tentang materi.

Mari kita beralih ke latihan praktis!

Tampaknya bagi saya bahwa setiap siswa mengajukan pertanyaan, duduk di kuliah, misalnya, di matan: mengapa saya membutuhkan semua omong kosong ini? Dan sebagai aturan, karena tidak menemukan jawaban di masa mendatang, sayangnya, ia kehilangan minat pada subjek. Karena itu, saya akan segera menunjukkan aplikasi praktis dari pengetahuan ini, dan Anda sendiri akan menguasai pengetahuan ini :).

Saya akan menerapkan semuanya lebih lanjut di situs ini. Saya melakukan semuanya, tentu saja, di Linux, tetapi saya tidak menggunakan spesifik apa pun, secara teori program akan dikompilasi dan bekerja di bawah platform lain.

Pertama, mari kita menulis program untuk menghasilkan file audio. File wav diambil sebagai yang paling sederhana. Anda dapat membaca tentang strukturnya.
Singkatnya, struktur file wav dijelaskan sebagai berikut: sebuah header yang menjelaskan format file, dan kemudian datang (dalam kasus kami) sebuah array data 16-bit (runcing) dengan panjang: sample_rate*t detik atau 44100 * t potongan.

Contoh diambil untuk membentuk file suara. Saya memodifikasinya sedikit, memperbaiki kesalahan, dan versi final dengan suntingan saya sekarang ada di github di sini

Mari buat file suara dua detik dengan frekuensi sinus murni 100 Hz. Untuk melakukan ini, kami memodifikasi program dengan cara berikut:

#define S_RATE (44100) //laju pengambilan sampel #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* buffer 2 detik */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... float amplitudo = 32000; //ambil amplitudo maksimum yang mungkin float freq_Hz = 100; //frekuensi sinyal /* isi buffer dengan gelombang sinus */ for (i=0 ; saya

Saya menarik perhatian Anda pada fakta bahwa rumus sinus murni sesuai dengan yang kita bicarakan di atas. Amplitudo 32000 (dimungkinkan untuk mengambil 32767) sesuai dengan nilai yang dapat diambil oleh angka 16-bit (dari minus 32767 hingga plus 32767).

Hasilnya, kami mendapatkan file berikut (Anda bahkan dapat mendengarkannya dengan program penghasil suara apa pun). Mari kita buka file audacity ini dan lihat bahwa grafik sinyal sebenarnya sesuai dengan sinus murni:

Sinus tabung murni

Mari kita lihat spektrum sinus ini (Analisis-> Spektrum Plot)

Plot Spektrum

Puncak bersih terlihat pada 100 Hz (skala logaritmik). Apa itu spektrum? Ini adalah respons frekuensi. Ada juga respon fase. Jika Anda ingat, saya katakan di atas bahwa untuk membangun sinyal, Anda perlu mengetahui frekuensi, amplitudo, dan fasenya? Jadi, Anda bisa mendapatkan parameter ini dari sinyal. Dalam hal ini, kami memiliki grafik korespondensi antara frekuensi dan amplitudo, dan amplitudo tidak dalam satuan nyata, tetapi dalam desibel.

Saya mengerti bahwa untuk menjelaskan cara kerja program, perlu dijelaskan apa itu transformasi Fourier cepat, dan ini setidaknya satu artikel asam lagi.

Pertama, mari kita alokasikan array:

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // array faktor rotasi di = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //input array out = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //array keluaran

Biarkan saya hanya mengatakan bahwa dalam program kita membaca data ke dalam array size_array panjang (yang kita ambil dari header file wav).

While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break; )

Array untuk transformasi Fourier cepat harus berupa barisan (re, im, re, im, ... re, im), di mana fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
itu adalah array bilangan kompleks. Saya bahkan takut membayangkan di mana transformasi Fourier kompleks digunakan, tetapi dalam kasus kami, bagian imajiner sama dengan nol, dan bagian nyata sama dengan nilai setiap titik dalam array.
Fitur lain dari Fast Fourier Transform adalah ia menghitung array yang hanya merupakan kelipatan pangkat dua. Akibatnya, kita harus menghitung kekuatan minimum dua:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Logaritma jumlah byte dalam data dibagi dengan jumlah byte pada satu titik.

Setelah itu, kami menghitung faktor rotasi:

Fft_make(p2,c);// fungsi untuk menghitung faktor rotasi untuk FFT (parameter pertama adalah pangkat dua, yang kedua adalah array yang dialokasikan dari faktor rotasi).

Dan kami memasukkan array baca kami ke dalam transformasi Fourier:

Fft_calc(p2, c, masuk, keluar, 1); //(satu berarti kita mendapatkan array yang dinormalisasi).

Pada output, kami mendapatkan bilangan kompleks dalam bentuk (re, im, re, im, ... re, im). Bagi yang belum tahu apa itu bilangan kompleks, saya akan menjelaskannya. Saya memulai artikel ini karena suatu alasan dengan sekelompok vektor berputar dan banyak GIF. Jadi, vektor pada bidang kompleks ditentukan oleh koordinat nyata a1 dan koordinat imajiner a2. Atau panjang (ini adalah amplitudo kami Am) dan sudut Psi (fase).

Vektor pada bidang kompleks

Perhatikan bahwa size_array=2^p2. Titik pertama dari array sesuai dengan frekuensi 0 Hz (konstan), titik terakhir sesuai dengan frekuensi sampling yaitu 44100 Hz. Akibatnya, kita harus menghitung frekuensi yang sesuai untuk setiap titik, yang akan berbeda dengan frekuensi delta:

Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; // laju pengambilan sampel per ukuran larik.

Kami mengalokasikan array amplitudo:

Ganda* ampli; ampl = calloc(ukuran_array*2, ukuran(ganda));

Dan lihat gambarnya: amplitudo adalah panjang vektor. Dan kami memiliki proyeksi pada sumbu nyata dan imajiner. Akibatnya, kita akan memiliki segitiga siku-siku, dan di sini kita mengingat teorema Pythagoras, dan menghitung panjang setiap vektor, dan segera menulisnya ke file teks:

Untuk(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
Hasilnya adalah file yang terlihat seperti ini:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Mari mencoba!

Sekarang kami memberi makan program yang dihasilkan yaitu file suara sinus

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav format: 16 bit, PCM tidak terkompresi, saluran 1, frekuensi 44100, 88200 byte per detik, 2 byte dengan pengambilan, 2 bit per sampel, 882000 byte dalam potongan data= 441000 log2=18 ukuran array=262144 format wav Frekuensi Maksimum = 99.928 , amp =7216.136

Dan kami mendapatkan file teks respons frekuensi. Kami membangun grafiknya menggunakan gnuplot

Buat skrip:

#! /usr/bin/gnuplot -bertahan set terminal postscript eps warna yang disempurnakan set output "result.ps" #set terminal png ukuran 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" set ylabel "Amp, dB" set xrange #set yrange plot "test.txt" menggunakan judul 1:2 "(!LANG:AFC" with lines linestyle 1 !}

Perhatikan batasan dalam skrip pada jumlah poin di X: set xrange . Kami memiliki frekuensi pengambilan sampel 44100, dan jika kami mengingat teorema Kotelnikov, maka frekuensi sinyal tidak boleh lebih tinggi dari setengah frekuensi pengambilan sampel, oleh karena itu, kami tidak tertarik pada sinyal di atas 22050 Hz. Mengapa demikian, saya menyarankan Anda untuk membaca dalam literatur khusus.
Jadi (drum roll), jalankan skrip dan lihat:

Spektrum sinyal kami

Perhatikan puncak yang tajam pada 100 Hz. Jangan lupa bahwa sumbunya adalah logaritmik! Wol di sebelah kanan adalah, saya pikir, kesalahan transformasi Fourier (jendela muncul di sini).

Mari kita memanjakan, ya?

Dan mari! Mari kita lihat spektrum sinyal lainnya!

Kebisingan di sekitar...

Pertama, mari kita gambarkan spektrum noise. Topik tentang kebisingan, sinyal acak, dll. layak mendapatkan kursus terpisah. Tapi kita akan menyentuhnya sedikit. Mari kita modifikasi program pembuatan file wav kita, tambahkan satu prosedur:

Double d_random(double min, double max) ( return min + (max - min) / RAND_MAX * rand(); )

Ini akan menghasilkan nomor acak dalam rentang yang diberikan. Akibatnya, main akan terlihat seperti ini:

int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitudo = 32000; srand((unsigned int)time(0)); //inisialisasi generator bilangan acak untuk (i=0; i

Mari buat file , (saya sarankan mendengarkan). Mari kita lihat dengan berani.

Sinyal dalam keberanian

Mari kita lihat spektrum dalam audacity.

Jangkauan

Dan mari kita lihat spektrumnya menggunakan program kami:

Spektrum kami

Saya ingin menarik perhatian pada fakta dan fitur kebisingan yang sangat menarik - ini berisi spektrum semua harmonik. Seperti dapat dilihat dari grafik, spektrumnya cukup merata. Biasanya, white noise digunakan untuk analisis frekuensi bandwidth, misalnya, peralatan audio. Ada jenis kebisingan lain: pink, biru dan lain-lain. Pekerjaan rumah adalah untuk mencari tahu bagaimana mereka berbeda.

Bagaimana dengan kolak?

Dan sekarang mari kita lihat sinyal menarik lainnya - berkelok-kelok. Saya berikan di atas tabel ekspansi berbagai sinyal dalam deret Fourier, Anda melihat bagaimana liku-liku terurai, tuliskan di selembar kertas, dan kami akan melanjutkan.

Untuk menghasilkan liku-liku dengan frekuensi 25 Hz, kami sekali lagi memodifikasi generator file wav kami:

int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* mengisi buffer dengan gelombang sinus */ for (i=0; i

Akibatnya, kami mendapatkan file audio (sekali lagi, saya menyarankan Anda untuk mendengarkan), yang harus segera Anda tonton dengan berani

Yang Mulia berkelok-kelok atau berkelok-kelok orang sehat

Mari kita tidak merana dan melihat spektrumnya:

spektrum berliku-liku

Sejauh ini, tidak begitu jelas apa itu ... Dan mari kita lihat beberapa harmonik pertama:

Harmonik pertama

Cukup masalah lain! Nah, mari kita lihat papannya. Lihat, kami hanya memiliki 1, 3, 5, dst., yaitu. harmonik ganjil. Kita dapat melihat bahwa kita memiliki harmonik pertama 25 Hz, berikutnya (ketiga) 75 Hz, kemudian 125 Hz, dll., Sementara amplitudo kita berangsur-angsur berkurang. Teori bertemu praktek!
Dan sekarang perhatian! Dalam kehidupan nyata, sinyal berkelok-kelok memiliki jumlah harmonik yang tak terbatas dari frekuensi yang lebih tinggi dan lebih tinggi, tetapi sebagai aturan, rangkaian listrik nyata tidak dapat melewatkan frekuensi di atas frekuensi tertentu (karena induktansi dan kapasitansi trek). Akibatnya, Anda sering dapat melihat sinyal berikut di layar osiloskop:

perokok berliku-liku

Gambar ini seperti gambar dari wikipedia, di mana tidak semua frekuensi diambil sebagai contoh berliku-liku, tetapi hanya beberapa yang pertama.

Jumlah harmonik pertama, dan bagaimana sinyal berubah

Berliku-liku juga aktif digunakan dalam teknik radio (harus dikatakan bahwa ini adalah dasar dari semua teknologi digital), dan perlu dipahami bahwa dengan rantai panjang itu dapat disaring sehingga ibu Anda sendiri tidak mengenalinya. Ini juga digunakan untuk memeriksa respons frekuensi berbagai perangkat. Fakta menarik lainnya adalah bahwa jammer TV bekerja tepat berdasarkan prinsip harmonik yang lebih tinggi, ketika sirkuit mikro itu sendiri menghasilkan liku-liku puluhan MHz, dan harmoniknya yang lebih tinggi dapat memiliki frekuensi ratusan MHz, hanya pada frekuensi TV, dan lebih tinggi harmonik berhasil membuat sinyal siaran TV macet.

Secara umum, topik eksperimen semacam itu tidak ada habisnya, dan Anda sekarang dapat melanjutkannya sendiri.

Buku

Bagi mereka yang tidak mengerti apa yang kita lakukan di sini, atau sebaliknya, bagi mereka yang mengerti, tetapi ingin lebih memahami, serta bagi siswa yang mempelajari DSP, saya sangat merekomendasikan buku ini. Ini adalah DSP untuk boneka, yang merupakan penulis posting ini. Di sana, konsep yang paling kompleks diceritakan dalam bahasa yang dapat diakses bahkan untuk seorang anak.

Kesimpulan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mengatakan bahwa matematika adalah ratu sains, tetapi tanpa aplikasi nyata, banyak orang kehilangan minat di dalamnya. Saya harap posting ini akan menginspirasi Anda untuk mempelajari subjek yang luar biasa seperti pemrosesan sinyal, dan secara umum sirkuit analog (pasang telinga Anda agar otak Anda tidak bocor!). :)
Semoga berhasil!

Tag:

Tambahkan tanda

Solusi dari sejumlah masalah, khususnya penambahan beberapa osilasi dengan arah yang sama (atau, apa yang sama, penambahan beberapa fungsi harmonik), sangat difasilitasi dan menjadi jelas jika osilasi digambarkan secara grafis sebagai vektor pada sebuah pesawat. Skema yang diperoleh dengan cara ini disebut diagram vektor.

Ambil sumbu, yang kami tunjukkan dengan huruf x (Gbr. 55.1). Dari titik O, diambil pada sumbu, kami memplot vektor dengan panjang a, membentuk sudut a dengan sumbu.

Jika vektor ini kita putar dengan kecepatan sudut , maka proyeksi ujung vektor akan bergerak sepanjang sumbu x dalam rentang dari -a hingga +a, dan koordinat proyeksi ini akan berubah dari waktu ke waktu sesuai dengan hukum

Akibatnya, proyeksi ujung vektor ke sumbu akan melakukan osilasi harmonik dengan amplitudo sama dengan panjang vektor, dengan frekuensi melingkar sama dengan kecepatan sudut rotasi vektor, dan dengan fase awal sama dengan terhadap sudut yang dibentuk oleh vektor dengan sumbu pada momen awal waktu.

Dari apa yang telah dikatakan, berikut bahwa osilasi harmonik dapat ditentukan menggunakan vektor yang panjangnya sama dengan amplitudo osilasi, dan arah vektor membentuk sudut dengan sumbu x sama dengan fase awal dari osilasi.

Pertimbangkan penambahan dua osilasi harmonik dengan arah yang sama dan frekuensi yang sama. Perpindahan x dari benda yang berosilasi akan menjadi jumlah perpindahan, yang akan ditulis sebagai berikut:

Mari kita nyatakan kedua fluktuasi dengan bantuan vektor (gbr. 55.2). Mari kita membangun vektor yang dihasilkan sesuai dengan aturan penjumlahan vektor.

Sangat mudah untuk melihat bahwa proyeksi vektor ini pada sumbu x sama dengan jumlah proyeksi suku-suku vektor:

Oleh karena itu, vektor a mewakili osilasi yang dihasilkan. Vektor ini berotasi dengan kecepatan sudut yang sama dengan vektor sehingga gerak yang dihasilkan akan berupa osilasi harmonik dengan amplitudo frekuensi a dan fase awal a. Jelas dari konstruksi bahwa

Jadi, representasi osilasi harmonik melalui vektor memungkinkan untuk mengurangi penambahan beberapa osilasi ke operasi penjumlahan vektor. Teknik ini sangat berguna, misalnya, dalam optik, di mana getaran cahaya pada titik tertentu didefinisikan sebagai hasil superposisi dari banyak getaran yang datang ke titik tertentu dari bagian muka gelombang yang berbeda.

Rumus (55.2) dan (55.3) tentu saja dapat diperoleh dengan menambahkan ekspresi (55.1) dan melakukan transformasi trigonometri yang sesuai. Tetapi cara yang kami gunakan untuk mendapatkan formula ini lebih sederhana dan jelas.

Mari kita menganalisis ekspresi (55.2) untuk amplitudo. Jika beda fasa kedua osilasi sama dengan nol, amplitudo osilasi yang dihasilkan sama dengan jumlah a dan . Jika beda fase sama dengan atau , yaitu, kedua osilasi berada dalam antifase, maka amplitudo osilasi yang dihasilkan sama dengan

Jika frekuensi osilasi tidak sama, vektor a dan akan berputar dengan kecepatan yang berbeda. Dalam hal ini, vektor a yang dihasilkan berdenyut besarnya dan berputar dengan kecepatan yang tidak konstan. Akibatnya, gerak yang dihasilkan dalam hal ini tidak akan menjadi osilasi harmonik, tetapi beberapa proses osilasi yang kompleks.