Pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil adalah konsep aritmatika utama yang memungkinkan Anda mengoperasikan pecahan biasa dengan mudah. KPK dan paling sering digunakan untuk mencari penyebut umum dari beberapa pecahan.

Konsep dasar

Pembagi bilangan bulat X adalah bilangan bulat Y lain yang X habis dibagi tanpa sisa. Misalnya, pembagi 4 adalah 2, dan 36 adalah 4, 6, 9. Kelipatan bilangan bulat X adalah bilangan Y yang habis dibagi X tanpa sisa. Misalnya, 3 adalah kelipatan 15, dan 6 adalah kelipatan 12.

Untuk setiap pasangan bilangan, kita dapat menemukan pembagi dan kelipatannya yang sama. Misalnya, untuk 6 dan 9, kelipatan persekutuannya adalah 18, dan pembagi persekutuannya adalah 3. Jelaslah, pasangan dapat memiliki beberapa pembagi dan kelipatan, jadi pembagi terbesar dari GCD dan kelipatan terkecil KPK digunakan dalam perhitungan .

Pembagi terkecil tidak masuk akal, karena untuk bilangan berapa pun selalu satu. Kelipatan terbesar juga tidak berarti, karena barisan kelipatan cenderung tak terhingga.

Menemukan GCD

Ada banyak metode untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar, yang paling terkenal adalah:

• pencacahan pembagi berurutan, pemilihan yang umum untuk pasangan dan mencari yang terbesar dari mereka;
• dekomposisi angka menjadi faktor yang tidak dapat dibagi;
• algoritma Euclid;
• algoritma biner.

Saat ini, di lembaga pendidikan, metode dekomposisi paling populer menjadi faktor prima dan algoritma Euclidean. Yang terakhir, pada gilirannya, digunakan dalam memecahkan persamaan Diophantine: pencarian untuk GCD diperlukan untuk memeriksa persamaan untuk kemungkinan menyelesaikannya dalam bilangan bulat.

Menemukan NOC

Kelipatan persekutuan terkecil juga ditentukan secara tepat oleh enumerasi berulang atau faktorisasi menjadi faktor yang tidak dapat dibagi. Selain itu, mudah untuk menemukan KPK jika pembagi terbesar telah ditentukan. Untuk bilangan X dan Y, KPK dan KPK terkait dengan hubungan berikut:

KPK(X,Y) = X × Y / KPK(X,Y).

Misalnya, jika gcd(15,18) = 3, maka KPK(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Penggunaan KPK yang paling jelas adalah mencari penyebut persekutuan, yang merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan yang diberikan.

bilangan koprima

Jika suatu pasangan bilangan tidak memiliki pembagi persekutuan, maka pasangan tersebut disebut koprima. GCM untuk pasangan tersebut selalu sama dengan satu, dan berdasarkan hubungan pembagi dan kelipatan, GCM untuk coprime sama dengan produk mereka. Misalnya, angka 25 dan 28 adalah koprima, karena mereka tidak memiliki pembagi yang sama, dan KPK(25, 28) = 700, yang sesuai dengan produk mereka. Setiap dua bilangan yang tidak dapat dibagi akan selalu menjadi coprime.

Pembagi Umum dan Kalkulator Ganda

Dengan kalkulator kami, Anda dapat menghitung GCD dan LCM untuk sejumlah angka yang dapat dipilih. Tugas untuk menghitung pembagi umum dan kelipatan ditemukan di aritmatika kelas 5 dan 6, namun, KPK dan KPK adalah konsep kunci matematika dan digunakan dalam teori bilangan, planimetri dan aljabar komunikatif.

Contoh kehidupan nyata

Penyebut pecahan biasa

Kelipatan persekutuan terkecil digunakan untuk mencari penyebut persekutuan dari beberapa pecahan. Misalkan dalam masalah aritmatika diperlukan untuk menjumlahkan 5 pecahan:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Untuk menjumlahkan pecahan, ekspresi harus direduksi menjadi penyebut yang sama, yang direduksi menjadi masalah mencari KPK. Untuk melakukan ini, pilih 5 angka di kalkulator dan masukkan nilai penyebut di sel yang sesuai. Program akan menghitung KPK (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sekarang Anda perlu menghitung faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang didefinisikan sebagai rasio KPK dengan penyebut. Jadi pengganda tambahan akan terlihat seperti:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Setelah itu, kami mengalikan semua pecahan dengan faktor tambahan yang sesuai dan mendapatkan:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Kita dapat dengan mudah menjumlahkan pecahan tersebut dan mendapatkan hasilnya dalam bentuk 159/360. Kami mengurangi pecahan dengan 3 dan melihat jawaban akhir - 53/120.

Solusi persamaan Diophantine linier

Persamaan Linear Diophantine adalah ekspresi dari bentuk ax + by = d. Jika rasio d / gcd(a, b) adalah bilangan bulat, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dalam bilangan bulat. Mari kita periksa beberapa persamaan untuk kemungkinan solusi bilangan bulat. Pertama, periksa persamaan 150x + 8y = 37. Dengan menggunakan kalkulator, kita menemukan gcd (150.8) = 2. Bagi 37/2 = 18.5. Bilangan tersebut bukan bilangan bulat, oleh karena itu persamaan tidak memiliki akar bilangan bulat.

Mari kita periksa persamaan 1320x + 1760y = 10120. Gunakan kalkulator untuk mencari gcd(1320, 1760) = 440. Bagi 10120/440 = 23. Hasilnya, kita mendapatkan bilangan bulat, oleh karena itu, persamaan Diophantine dapat diselesaikan dalam koefisien bilangan bulat .

Kesimpulan

GCD dan KPK memainkan peran penting dalam teori bilangan, dan konsep itu sendiri banyak digunakan di berbagai bidang matematika. Gunakan kalkulator kami untuk menghitung pembagi terbesar dan kelipatan terkecil dari sejumlah angka.

Nomor kedua: b=

Pemisah angka Tidak ada pemisah spasi "

Hasil:

Pembagi Persekutuan Terbesar gcd( sebuah,b)=6

Kelipatan persekutuan terkecil dari KPK( sebuah,b)=468

Bilangan asli terbesar dimana bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar(gcd) dari angka-angka ini. Dilambangkan dengan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).

Kelipatan persekutuan terkecil(KPK) dua bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi a dan b tanpa sisa. Dilambangkan KPK(a,b), atau KPK(a,b).

Bilangan bulat a dan b disebut koprima jika mereka tidak memiliki pembagi persekutuan selain +1 dan 1.

Pembagi Umum Terbesar

Biarkan dua bilangan positif diberikan sebuah 1 dan sebuah 2 1). Diperlukan untuk menemukan pembagi umum dari angka-angka ini, mis. temukan nomor seperti itu λ , yang membagi bilangan sebuah 1 dan sebuah 2 sekaligus. Mari kita jelaskan algoritmanya.

1) Dalam artikel ini, kata nomor akan berarti bilangan bulat.

Biarlah sebuah 1 ≥ sebuah 2 dan biarkan

di mana m 1 , sebuah 3 adalah beberapa bilangan bulat, sebuah 3 <sebuah 2 (sisa dari divisi sebuah 1 on sebuah 2 harus lebih sedikit sebuah 2).

Mari kita berpura-pura itu λ membagi sebuah 1 dan sebuah 2 , maka λ membagi m 1 sebuah 2 dan λ membagi sebuah 1 −m 1 sebuah 2 =sebuah 3 (Pernyataan 2 dari artikel "Pembagian bilangan. Tanda pembagian"). Oleh karena itu, setiap pembagi persekutuan sebuah 1 dan sebuah 2 adalah pembagi bersama sebuah 2 dan sebuah 3 . Kebalikannya juga benar jika λ pembagi bersama sebuah 2 dan sebuah 3 , maka m 1 sebuah 2 dan sebuah 1 =m 1 sebuah 2 +sebuah 3 juga dibagi menjadi λ . Oleh karena itu pembagi bersama sebuah 2 dan sebuah 3 juga merupakan pembagi yang sama sebuah 1 dan sebuah 2. Sebagai sebuah 3 <sebuah 2 ≤sebuah 1 , maka kita dapat mengatakan bahwa solusi untuk masalah menemukan pembagi bilangan yang sama sebuah 1 dan sebuah 2 direduksi menjadi masalah yang lebih sederhana untuk menemukan pembagi bilangan yang sama sebuah 2 dan sebuah 3 .

Jika sebuah sebuah 3 0, maka kita dapat membagi sebuah 2 on sebuah 3 . Kemudian

,

di mana m 1 dan sebuah 4 adalah beberapa bilangan bulat, ( sebuah 4 sisa pembagian sebuah 2 on sebuah 3 (sebuah 4 <sebuah 3)). Dengan alasan yang sama, kita sampai pada kesimpulan bahwa pembagi umum bilangan sebuah 3 dan sebuah 4 sama dengan pembagi bilangan biasa sebuah 2 dan sebuah 3 , dan juga dengan pembagi umum sebuah 1 dan sebuah 2. Sebagai sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , sebuah 4 , ... angka-angka yang terus menurun, dan karena ada bilangan bulat terbatas antara sebuah 2 dan 0, kemudian pada beberapa langkah n, sisa pembagian sebuah n on sebuah n+1 akan sama dengan nol ( sebuah n+2=0).

.

Setiap pembagi umum λ angka sebuah 1 dan sebuah 2 juga merupakan pembagi bilangan sebuah 2 dan sebuah 3 , sebuah 3 dan sebuah 4 , .... sebuah n dan sebuah n+1 . Kebalikannya juga benar, pembagi umum bilangan sebuah n dan sebuah n+1 juga merupakan pembagi bilangan sebuah n−1 dan sebuah n , .... , sebuah 2 dan sebuah 3 , sebuah 1 dan sebuah 2. Tapi pembagi bersama sebuah n dan sebuah n+1 adalah angka sebuah n+1 , karena sebuah n dan sebuah n+1 habis dibagi sebuah n+1 (ingat itu sebuah n+2=0). Karena itu sebuah n+1 juga merupakan pembagi bilangan sebuah 1 dan sebuah 2 .

Perhatikan bahwa nomor sebuah n+1 adalah pembagi bilangan terbesar sebuah n dan sebuah n+1 , karena pembagi terbesar sebuah n+1 adalah dirinya sendiri sebuah n+1 . Jika sebuah sebuah n + 1 dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan bulat, maka angka-angka ini juga merupakan pembagi umum dari angka sebuah 1 dan sebuah 2. Nomor sebuah n+1 disebut pembagi persekutuan terbesar angka sebuah 1 dan sebuah 2 .

angka sebuah 1 dan sebuah 2 dapat berupa bilangan positif dan negatif. Jika salah satu bilangan sama dengan nol, maka pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut akan sama dengan nilai mutlak bilangan lainnya. Pembagi persekutuan terbesar dari bilangan nol tidak terdefinisi.

Algoritma di atas disebut Algoritma Euclid untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat.

Contoh mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan:

Tentukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan 630 dan 434.

• Langkah 1. Bagilah angka 630 dengan 434. Sisanya adalah 196.
• Langkah 2. Bagilah angka 434 dengan 196. Sisanya adalah 42.
• Langkah 3. Bagilah angka 196 dengan 42. Sisanya adalah 28.
• Langkah 4. Bagilah angka 42 dengan 28. Sisanya adalah 14.
• Langkah 5. Bagilah angka 28 dengan 14. Sisanya adalah 0.

Pada langkah 5, sisa pembagian adalah 0. Oleh karena itu, pembagi persekutuan terbesar dari angka 630 dan 434 adalah 14. Perhatikan bahwa angka 2 dan 7 juga merupakan pembagi dari angka 630 dan 434.

bilangan koprima

Definisi 1. Biarkan pembagi persekutuan terbesar dari angka sebuah 1 dan sebuah 2 sama dengan satu. Kemudian angka-angka ini disebut bilangan koprima yang tidak memiliki pembagi bersama.

Dalil 1. Jika sebuah sebuah 1 dan sebuah 2 bilangan prima yang relatif, dan λ beberapa angka, maka semua pembagi bilangan yang sama a 1 dan sebuah 2 juga merupakan pembagi bilangan yang sama λ dan sebuah 2 .

Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclid untuk menemukan pembagi umum terbesar dari angka sebuah 1 dan sebuah 2 (lihat di atas).

.

Ini mengikuti dari kondisi teorema bahwa pembagi umum terbesar dari angka sebuah 1 dan sebuah 2 , dan oleh karena itu sebuah n dan sebuah n+1 adalah 1. Yaitu. sebuah n+1=1.

Mari kita kalikan semua persamaan ini dengan λ , kemudian

.

Biarkan pembagi bersama sebuah 1 λ dan sebuah 2 adalah δ . Kemudian δ masuk sebagai faktor dalam sebuah 1 λ , m 1 sebuah 2 λ dan masuk sebuah 1 λ -m 1 sebuah 2 λ =sebuah 3 λ (Lihat "Pembagian bilangan", Pernyataan 2). Lebih jauh δ masuk sebagai faktor dalam sebuah 2 λ dan m 2 sebuah 3 λ , dan karenanya masuk sebagai faktor dalam sebuah 2 λ -m 2 sebuah 3 λ =sebuah 4 λ .

Dengan bernalar dengan cara ini, kami yakin bahwa δ masuk sebagai faktor dalam sebuah n−1 λ dan m n−1 sebuah n λ , dan oleh karena itu dalam sebuah n−1 λ −m n−1 sebuah n λ =sebuah n+1 λ . Sebagai sebuah n+1 =1, maka δ masuk sebagai faktor dalam λ . Oleh karena itu nomor δ adalah pembagi umum dari bilangan λ dan sebuah 2 .

Pertimbangkan kasus khusus Teorema 1.

Konsekuensi 1. Biarlah sebuah dan c bilangan prima relatif b. Kemudian produk mereka ac adalah bilangan prima terhadap b.

Betulkah. Dari Teorema 1 ac dan b memiliki pembagi persekutuan yang sama dengan c dan b. Tapi angkanya c dan b koprima, yaitu memiliki satu pembagi persekutuan 1. Maka ac dan b juga memiliki satu pembagi persekutuan 1. Oleh karena itu ac dan b saling sederhana.

Konsekuensi 2. Biarlah sebuah dan b bilangan koprima dan biarkan b membagi aku. Kemudian b membagi dan k.

Betulkah. Dari kondisi asersi aku dan b memiliki pembagi yang sama b. Berdasarkan Teorema 1, b harus menjadi pembagi bersama b dan k. Karena itu b membagi k.

Akibat wajar 1 dapat digeneralisasikan.

Konsekuensi 3. 1. Biarkan angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , ..., sebuah m adalah bilangan prima relatif terhadap bilangan tersebut b. Kemudian sebuah 1 sebuah 2 , sebuah 1 sebuah 2 · sebuah 3 , ..., sebuah 1 sebuah 2 sebuah 3 ··· sebuah m , produk dari bilangan-bilangan ini adalah prima terhadap bilangan tersebut b.

2. Biarkan kita memiliki dua baris angka

sedemikian sehingga setiap bilangan pada baris pertama adalah prima terhadap setiap bilangan pada baris kedua. Kemudian produk

Diperlukan untuk menemukan bilangan-bilangan yang habis dibagi oleh masing-masing bilangan ini.

Jika bilangan tersebut habis dibagi sebuah 1 , maka terlihat seperti sa 1 , dimana s beberapa nomor. Jika sebuah q adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan sebuah 1 dan sebuah 2 , maka

di mana s 1 adalah bilangan bulat. Kemudian

adalah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan sebuah 1 dan sebuah 2 .

sebuah 1 dan sebuah 2 coprime, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut sebuah 1 dan sebuah 2:

Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.

Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa kelipatan dari bilangan-bilangan tersebut sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 harus berupa kelipatan bilangan ε dan sebuah 3 dan sebaliknya. Biarkan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut ε dan sebuah 3 adalah ε satu . Selanjutnya, kelipatan angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , sebuah 4 harus berupa kelipatan bilangan ε 1 dan sebuah 4 . Biarkan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut ε 1 dan sebuah 4 adalah ε 2. Jadi, kami menemukan bahwa semua kelipatan angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 ,...,sebuah m bertepatan dengan kelipatan beberapa nomor tertentu ε n , yang disebut kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan yang diberikan.

Dalam kasus tertentu ketika angka sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 ,...,sebuah m koprima, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut sebuah 1 , sebuah 2 seperti gambar di atas memiliki bentuk (3). Selanjutnya, sejak sebuah 3 prima sehubungan dengan angka sebuah 1 , sebuah 2 , maka sebuah 3 adalah bilangan relatif prima sebuah satu · sebuah 2 (Alasan 1). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut sebuah 1 ,sebuah 2 ,sebuah 3 adalah angka sebuah satu · sebuah 2 · sebuah 3 . Berdebat dengan cara yang sama, kita sampai pada pernyataan berikut.

Penyataan 1. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan koprima sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 ,...,sebuah m sama dengan produk mereka sebuah satu · sebuah 2 · sebuah 3 ··· sebuah m .

Penyataan 2. Setiap bilangan yang habis dibagi masing-masing bilangan koprima sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 ,...,sebuah m juga habis dibagi produknya sebuah satu · sebuah 2 · sebuah 3 ··· sebuah m .

Kalkulator online memungkinkan Anda dengan cepat menemukan pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari dua atau sejumlah angka lainnya.

Kalkulator untuk mencari GCD dan NOC

Temukan GCD dan NOC

GCD dan NOC ditemukan: 5806

Cara menggunakan kalkulator

• Masukkan angka di kolom input
• Jika salah memasukkan karakter, kolom input akan disorot dengan warna merah
• tekan tombol "Temukan GCD dan NOC"

Cara memasukkan angka

• Angka dimasukkan dipisahkan oleh spasi, titik atau koma
• Panjang angka yang dimasukkan tidak dibatasi, jadi mencari gcd dan lcm dari bilangan yang panjang tidak akan sulit

Apa itu NOD dan NOK?

Pembagi Umum Terbesar dari beberapa bilangan adalah bilangan bulat alami terbesar di mana semua bilangan asli habis dibagi tanpa sisa. Pembagi persekutuan terbesar disingkat GCD.
Kelipatan persekutuan terkecil beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi setiap bilangan asli tanpa sisa. Kelipatan persekutuan terkecil disingkat NOC.

Bagaimana cara memeriksa apakah suatu bilangan habis dibagi dengan bilangan lain tanpa sisa?

Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis dibagi bilangan lain tanpa sisa, Anda dapat menggunakan beberapa sifat pembagian bilangan. Kemudian, dengan menggabungkannya, seseorang dapat memeriksa pembagian oleh beberapa dari mereka dan kombinasinya.

Beberapa tanda pembagian bilangan

1. Tanda habis-habisan suatu bilangan dengan 2
Untuk menentukan suatu bilangan habis dibagi dua (apakah genap), cukup dengan melihat angka terakhir dari bilangan tersebut: jika sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka bilangan tersebut genap, yang artinya habis dibagi 2.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 2.
Keputusan: lihat angka terakhir: 8 berarti bilangan tersebut habis dibagi dua.

2. Tanda habis-habisan suatu bilangan dengan 3
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Jadi, untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi 3, Anda perlu menghitung jumlah digitnya dan memeriksa apakah bilangan tersebut habis dibagi 3. Bahkan jika jumlah digitnya ternyata sangat besar, Anda dapat mengulangi proses yang sama lagi.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 3.
Keputusan: kita hitung jumlah angkanya: 3+4+9+3+8 = 27. 27 habis dibagi 3, artinya bilangan itu habis dibagi tiga.

3. Tanda pembagian suatu bilangan dengan 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka terakhirnya nol atau lima.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 5
Keputusan: lihat angka terakhir: 8 berarti bilangan tersebut TIDAK habis dibagi lima.

4. Tanda habis-habisan suatu bilangan dengan 9
Tanda ini sangat mirip dengan tanda habis dibagi tiga: suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 9.
Keputusan: kita hitung jumlah angkanya: 3+4+9+3+8 = 27. 27 habis dibagi 9, artinya bilangan itu habis dibagi sembilan.

Bagaimana cara mencari KPK dan KPK dari dua bilangan?

Bagaimana cara mencari KPK dari dua bilangan?

Cara paling sederhana untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah dengan menemukan semua kemungkinan pembagi dari bilangan-bilangan tersebut dan memilih yang terbesar.

Pertimbangkan metode ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36) :

1. Kami memfaktorkan kedua angka: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Kami menemukan faktor persekutuan, yaitu faktor-faktor yang dimiliki kedua angka: 1, 2 dan 2.
3. Kami menghitung produk dari faktor-faktor ini: 1 2 2 \u003d 4 - ini adalah pembagi umum terbesar dari angka 28 dan 36.

Bagaimana cara mencari KPK dari dua bilangan?

Ada dua cara paling umum untuk menemukan kelipatan terkecil dari dua angka. Cara pertama adalah Anda dapat menuliskan kelipatan pertama dari dua angka, dan kemudian memilih di antara mereka angka yang sama untuk kedua angka dan sekaligus yang terkecil. Dan yang kedua adalah mencari KPK dari bilangan-bilangan tersebut. Mari kita pertimbangkan saja.

Untuk menghitung KPK, Anda perlu menghitung produk dari bilangan asli dan kemudian membaginya dengan FPB yang ditemukan sebelumnya. Carilah KPK dari bilangan 28 dan 36 yang sama:

1. Tentukan hasil kali bilangan 28 dan 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) sudah diketahui 4
3. KPK(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Mencari KPK dan KPK untuk Beberapa Angka

Pembagi persekutuan terbesar dapat ditemukan untuk beberapa bilangan, dan bukan hanya untuk dua. Untuk ini, angka-angka yang akan dicari untuk pembagi persekutuan terbesar didekomposisi menjadi faktor-faktor prima, kemudian produk dari faktor-faktor prima umum dari angka-angka ini ditemukan. Selain itu, untuk mencari KPK dari beberapa bilangan, Anda dapat menggunakan hubungan berikut: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Relasi serupa juga berlaku untuk kelipatan bilangan persekutuan terkecil: KPK(a, b, c) = KPK(KPK(a, b), c)

Contoh: Tentukan KPK dan KPK dari bilangan 12, 32 dan 36.

1. Pertama, faktorkan dulu bilangan-bilangannya: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Mari kita cari faktor persekutuan: 1, 2 dan 2 .
3. Produk mereka akan memberikan gcd: 1 2 2 = 4
4. Sekarang mari kita cari KPKnya: untuk ini kita cari KPK dulu (12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Untuk mencari KPK dari ketiga bilangan tersebut, Anda perlu mencari KPK(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , KPK = 1 2. 2 3 = 12 .
6. KPK(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan berhubungan langsung dengan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut. Ini hubungan antara GCD dan NOC ditentukan oleh teorema berikut.

Dalil.

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif a dan b sama dengan hasil kali bilangan a dan b dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b , yaitu, KPK(a, b)=a b: KPK(a, b).

Bukti.

Biarlah M adalah kelipatan dari bilangan a dan b. Artinya, M habis dibagi a, dan menurut definisi habis dibagi, ada beberapa bilangan bulat k sedemikian rupa sehingga persamaan M=a·k benar. Tetapi M juga habis dibagi b, maka a k habis dibagi b.

Tunjukkan gcd(a, b) sebagai d . Kemudian kita dapat menuliskan persamaan a=a 1 ·d dan b=b 1 ·d, dan a 1 =a:d dan b 1 =b:d akan menjadi bilangan prima. Oleh karena itu, kondisi yang diperoleh pada paragraf sebelumnya bahwa a k habis dibagi b dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: a 1 d k habis dibagi b 1 d , dan ini, karena sifat-sifat habis dibagi, setara dengan kondisi bahwa a 1 k habis dibagi b satu.

Kita juga perlu menuliskan dua konsekuensi penting dari teorema yang dipertimbangkan.

Kelipatan persekutuan dua bilangan sama dengan kelipatan kelipatan persekutuan terkecilnya.

Hal ini benar, karena kelipatan persekutuan dari M bilangan a dan b ditentukan oleh persamaan M=LCM(a, b) t untuk beberapa nilai bilangan bulat t .

Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan positif koprima a dan b sama dengan perkaliannya.

Alasan untuk fakta ini cukup jelas. Karena a dan b adalah koprima, maka gcd(a, b)=1 , oleh karena itu, KPK(a, b)=a b: KPK(a, b)=a b:1=a b.

Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat direduksi menjadi mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Bagaimana hal ini dilakukan ditunjukkan dalam teorema berikut: a 1 , a 2 , …, a k bertepatan dengan kelipatan persekutuan bilangan m k-1 dan a k , oleh karena itu, bertepatan dengan kelipatan m k . Dan karena kelipatan positif terkecil dari bilangan m k adalah bilangan m k itu sendiri, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a 1 , a 2 , …, a k adalah m k .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
• Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan soal-soal aljabar dan teori bilangan: Buku ajar untuk mahasiswa fiz.-mat. spesialisasi lembaga pedagogis.

Untuk memahami cara menghitung KPK, Anda harus terlebih dahulu menentukan arti istilah "kelipatan".

Kelipatan A adalah bilangan asli yang habis dibagi A tanpa sisa.Jadi, 15, 20, 25, dan seterusnya dapat dianggap kelipatan 5.

Mungkin ada sejumlah pembagi dari suatu bilangan tertentu, tetapi ada banyak kelipatan yang tak terhingga.

Kelipatan persekutuan dari bilangan asli adalah bilangan yang habis dibagi tanpa sisa.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari bilangan (dua, tiga atau lebih) adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi semua bilangan tersebut.

Untuk menemukan NOC, Anda dapat menggunakan beberapa metode.

Untuk bilangan-bilangan kecil, akan lebih mudah untuk menuliskan semua kelipatan dari bilangan-bilangan ini dalam satu baris sampai ada yang sama di antara mereka. Kelipatan dilambangkan dalam catatan dengan huruf kapital K.

Misalnya, kelipatan 4 dapat ditulis seperti ini:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Jadi, Anda dapat melihat bahwa kelipatan persekutuan terkecil dari angka 4 dan 6 adalah angka 24. Entri ini dilakukan sebagai berikut:

KPK(4, 6) = 24

Jika bilangannya besar, carilah kelipatan persekutuan dari tiga bilangan atau lebih, maka lebih baik menggunakan cara lain untuk menghitung KPK.

Untuk menyelesaikan tugas, perlu untuk menguraikan bilangan yang diusulkan menjadi faktor prima.

Pertama, Anda perlu menulis perluasan angka terbesar dalam satu baris, dan di bawahnya - sisanya.

Dalam perluasan setiap angka, mungkin ada sejumlah faktor yang berbeda.

Misalnya, faktorkan bilangan 50 dan 20 menjadi faktor prima.

Dalam pemuaian bilangan yang lebih kecil, orang harus menggarisbawahi faktor-faktor yang tidak ada dalam pemuaian bilangan terbesar pertama, lalu menjumlahkannya. Dalam contoh yang disajikan, deuce hilang.

Sekarang kita dapat menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari 20 dan 50.

KPK (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Jadi, hasil kali faktor prima dari bilangan yang lebih besar dan faktor dari bilangan kedua, yang tidak termasuk dalam penguraian bilangan yang lebih besar, akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil.

Untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, semuanya harus didekomposisi menjadi faktor prima, seperti pada kasus sebelumnya.

Sebagai contoh, Anda dapat menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dengan demikian, hanya dua deuces dari penguraian enam belas yang tidak termasuk dalam faktorisasi bilangan yang lebih besar (satu dalam penguraian dua puluh empat).

Dengan demikian, mereka perlu ditambahkan ke dekomposisi jumlah yang lebih besar.

KPK (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ada kasus khusus untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil. Jadi, jika salah satu bilangan dapat dibagi tanpa sisa dengan bilangan lainnya, maka bilangan yang lebih besar dari bilangan tersebut adalah kelipatan persekutuan terkecil.

Misalnya, NOC dua belas dan dua puluh empat akan menjadi dua puluh empat.

Jika perlu untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan koprima yang tidak memiliki pembagi yang sama, maka KPK mereka akan sama dengan produk mereka.

Misalnya, KPK(10, 11) = 110.