Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log sebuah x dan log sebuah kamu. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. catatan sebuah x+log sebuah kamu= log sebuah (x · kamu);
2. catatan sebuah x log sebuah kamu= log sebuah (x : kamu).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

log 6 4 + log 6 9.

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 2 48 log 2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 3 135 log 3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tanpa perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus itu akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: sebuah > 0, sebuah ≠ 1, x> 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Keterangan gambar]

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:

[Keterangan gambar]

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebutnya sama: log 2 7. Karena log 2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma log sebuah x. Kemudian untuk nomor berapa pun c seperti yang c> 0 dan c 1, persamaannya benar:

[Keterangan gambar]

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

[Keterangan gambar]

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

[Keterangan gambar]

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

[Keterangan gambar]

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, nomor n menjadi eksponen argumen. Nomor n bisa benar-benar apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Ini disebut identitas logaritmik dasar.

Memang, apa yang akan terjadi jika nomor b naikkan ke kekuatan sehingga b sejauh ini memberikan nomor sebuah? Itu benar: ini adalah nomor yang sama sebuah. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

[Keterangan gambar]

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

[Keterangan gambar]

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari ujian :)

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

1. catatan sebuah sebuah= 1 adalah satuan logaritma. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke basis apa pun sebuah dari dasar ini sendiri adalah sama dengan satu.
2. catatan sebuah 1 = 0 adalah nol logaritmik. Basis sebuah bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya nol! karena sebuah 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

Fokus artikel ini adalah logaritma. Di sini kita akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan notasi yang diterima, memberikan contoh logaritma, dan berbicara tentang logaritma natural dan desimal. Setelah itu, perhatikan identitas logaritma dasar.

Navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma muncul ketika memecahkan masalah dalam arti tertentu terbalik, ketika Anda perlu menemukan eksponen dari nilai derajat yang diketahui dan basis yang diketahui.

Tapi cukup basa-basi, saatnya menjawab pertanyaan “apa itu logaritma”? Mari kita berikan definisi yang tepat.

Definisi.

Logaritma dari b ke basis a, di mana a>0 , a≠1 dan b>0 adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada tahap ini, kami mencatat bahwa kata yang diucapkan "logaritma" harus segera menimbulkan dua pertanyaan berikutnya: "berapa nomor" dan "berdasarkan apa." Dengan kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya ada logaritma suatu bilangan di suatu basis.

Kami akan segera memperkenalkan notasi logaritma: logaritma dari angka b ke basis a biasanya dilambangkan sebagai log a b . Logaritma dari bilangan b ke basis e dan logaritma ke basis 10 masing-masing memiliki sebutan khusus lnb dan lgb, yaitu, mereka menulis bukan log e b , tetapi lnb , dan bukan log 10 b , tetapi lgb .

Sekarang Anda dapat membawa: .
Dan catatannya tidak masuk akal, karena yang pertama ada angka negatif di bawah tanda logaritma, yang kedua - angka negatif di pangkalan, dan yang ketiga - angka negatif di bawah tanda logaritma dan satu kesatuan di pangkalan.

Sekarang mari kita bicara tentang aturan membaca logaritma. Entri log a b dibaca sebagai "logaritma dari b ke basis a". Misalnya, log 2 3 adalah logaritma dari tiga ke basis 2, dan merupakan logaritma dari dua bilangan bulat dua pertiga basis dari akar kuadrat dari lima. Logaritma ke basis e disebut logaritma natural, dan notasi lnb dibaca sebagai "logaritma natural dari b". Sebagai contoh, ln7 adalah logaritma natural dari tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma natural dari pi. Logaritma ke basis 10 juga memiliki nama khusus - logaritma desimal, dan notasi lgb dibaca sebagai "logaritma desimal b". Misalnya, lg1 adalah logaritma desimal dari satu, dan lg2.75 adalah logaritma desimal dari dua koma tujuh puluh lima perseratus.

Penting untuk membahas secara terpisah kondisi a>0, a≠1 dan b>0, di mana definisi logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana batasan ini berasal. Untuk melakukan ini, kita akan dibantu oleh persamaan bentuk, yang disebut , yang langsung mengikuti dari definisi logaritma yang diberikan di atas.

Mari kita mulai dengan a≠1 . Karena satu sama dengan satu untuk pangkat apa pun, maka persamaan hanya dapat benar untuk b=1, tetapi log 1 1 dapat berupa bilangan real apa pun. Untuk menghindari ambiguitas ini, a≠1 diterima.

Mari kita buktikan kelayakan kondisi a>0 . Dengan a=0, menurut definisi logaritma, kita akan memiliki persamaan , yang hanya mungkin dengan b=0 . Tetapi kemudian log 0 0 dapat berupa bilangan real apa pun yang bukan nol, karena nol hingga pangkat apa pun yang bukan nol adalah nol. Ambiguitas ini dapat dihindari dengan kondisi a≠0 . Dan untuk<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Akhirnya, kondisi b>0 mengikuti pertidaksamaan a>0 , karena , dan nilai derajat dengan basis positif a selalu positif.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mengatakan bahwa definisi logaritma yang disuarakan memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah tingkat basis tertentu. Memang, definisi logaritma memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa jika b=a p , maka logaritma dari bilangan b ke basis a sama dengan p . Artinya, persamaan log a a p = p benar. Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa 2 3 =8 , maka log 2 8=3 . Kami akan berbicara lebih banyak tentang ini di artikel.

Salah satu unsur aljabar tingkat primitif adalah logaritma. Nama ini berasal dari bahasa Yunani dari kata "angka" atau "derajat" dan berarti tingkat di mana perlu untuk menaikkan nomor di pangkalan untuk menemukan nomor akhir.

Jenis-jenis logaritma

• log a b adalah logaritma bilangan b ke basis a (a > 0, a 1, b > 0);
• lg b - logaritma desimal (basis logaritma 10, a = 10);
• ln b - logaritma natural (basis logaritma e, a = e).

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Logaritma dari bilangan b ke basis a adalah eksponen, yang mengharuskan basis a dinaikkan ke bilangan b. Hasilnya diucapkan seperti ini: “logaritma dari b ke basis a”. Solusi untuk masalah logaritmik adalah Anda perlu menentukan derajat yang diberikan dengan angka-angka dengan angka-angka yang ditentukan. Ada beberapa aturan dasar untuk menentukan atau menyelesaikan logaritma, serta mentransformasikan notasi itu sendiri. Dengan menggunakannya, persamaan logaritmik diselesaikan, turunan ditemukan, integral diselesaikan, dan banyak operasi lainnya dilakukan. Pada dasarnya, solusi untuk logaritma itu sendiri adalah notasi yang disederhanakan. Di bawah ini adalah formula dan properti utama:

Untuk setiap ; a > 0; a 1 dan untuk sembarang x ; y > 0.

• a log a b = b adalah identitas logaritma dasar
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , untuk k 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - rumus untuk transisi ke basis baru
• log a x = 1/log x a

Bagaimana memecahkan logaritma - petunjuk langkah demi langkah untuk memecahkan

• Pertama, tuliskan persamaan yang diperlukan.

Harap dicatat: jika logaritma dasar adalah 10, maka catatan dipersingkat, logaritma desimal diperoleh. Jika ada bilangan asli e, maka kita tulis, direduksi menjadi logaritma natural. Artinya, hasil dari semua logaritma adalah pangkat yang dipangkatkan bilangan dasar untuk mendapatkan bilangan b.

Secara langsung, solusinya terletak pada perhitungan derajat ini. Sebelum menyelesaikan ekspresi dengan logaritma, itu harus disederhanakan sesuai dengan aturan, yaitu menggunakan rumus. Anda dapat menemukan identitas utama dengan kembali sedikit di artikel.

Ketika menjumlahkan dan mengurangkan logaritma dengan dua bilangan yang berbeda tetapi dengan basis yang sama, gantilah dengan logaritma tunggal dengan hasil kali atau pembagian masing-masing bilangan b dan c. Dalam hal ini, Anda dapat menerapkan rumus transisi ke basis lain (lihat di atas).

Jika Anda menggunakan ekspresi untuk menyederhanakan logaritma, ada beberapa batasan yang harus diperhatikan. Dan itu adalah: basis logaritma a hanya bilangan positif, tetapi tidak sama dengan satu. Angka b, seperti a, harus lebih besar dari nol.

Ada kasus ketika, setelah menyederhanakan ekspresi, Anda tidak akan dapat menghitung logaritma dalam bentuk numerik. Kebetulan ekspresi seperti itu tidak masuk akal, karena banyak derajat adalah bilangan irasional. Dalam kondisi ini, biarkan kekuatan angka sebagai logaritma.