SUDUT ANTARA BIDANG

Mari kita pertimbangkan dua pesawat 1 dan 2 diberikan masing-masing oleh persamaan:

Di bawah sudut antara dua bidang yang kami maksud adalah salah satu sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang-bidang ini. Jelas bahwa sudut antara vektor normal dan bidang 1 dan 2 sama dengan salah satu sudut dihedral yang berdekatan atau . Jadi . Karena dan , kemudian

.

Contoh. Tentukan sudut antar bidang x+2kamu-3z+4=0 dan 2 x+3kamu+z+8=0.

Kondisi paralelisme dua bidang.

Dua bidang 1 dan 2 sejajar jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya dan sejajar, dan karenanya .

Jadi, dua bidang sejajar satu sama lain jika dan hanya jika koefisien pada koordinat yang bersesuaian sebanding:

atau

Kondisi tegak lurus bidang.

Jelaslah bahwa dua bidang tegak lurus jika dan hanya jika vektor-vektor normalnya tegak lurus, dan oleh karena itu, atau .

Dengan demikian, .

Contoh.

LANGSUNG DI RUANG.

PERSAMAAN VEKTOR LANGSUNG.

PERSAMAAN PARAMETRIK LANGSUNG

Posisi garis lurus dalam ruang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan salah satu titik tetapnya M 1 dan vektor sejajar dengan garis ini.

Vektor yang sejajar dengan garis lurus disebut membimbing vektor garis ini.

Jadi biarkan lurus aku melewati suatu titik M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) terletak pada garis lurus sejajar dengan vektor .

Pertimbangkan titik sewenang-wenang M(x,y,z) pada garis lurus. Dapat dilihat dari gambar bahwa .

Vektor dan collinear, jadi ada angka seperti itu t, apa , di mana pengalinya t dapat mengambil nilai numerik apa pun tergantung pada posisi titik M pada garis lurus. Faktor t disebut parameter. Menunjukkan vektor jari-jari titik M 1 dan M masing-masing, melalui dan , Kami memperoleh . Persamaan ini disebut vektor persamaan garis lurus. Ini menunjukkan bahwa setiap nilai parameter t sesuai dengan vektor jari-jari dari beberapa titik M berbaring pada garis lurus.

Kami menulis persamaan ini dalam bentuk koordinat. Perhatikan itu , dan dari sini

Persamaan yang dihasilkan disebut parametrik persamaan garis lurus.

Saat mengubah parameter t perubahan koordinat x, kamu dan z dan titik M bergerak dalam garis lurus.

PERSAMAAN KANONIK LANGSUNG

Biarlah M 1 (x 1 , kamu 1 , z 1) - titik yang terletak pada garis lurus aku, dan adalah vektor arahnya. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenang pada garis lurus M(x,y,z) dan mempertimbangkan vektor .

Jelas bahwa vektor dan kolinear, sehingga masing-masing koordinat harus proporsional, oleh karena itu

– resmi persamaan garis lurus.

Catatan 1. Perhatikan bahwa persamaan kanonik garis dapat diperoleh dari persamaan parametrik dengan menghilangkan parameter t. Memang, dari persamaan parametrik kita peroleh atau .

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus secara parametrik.

Menunjukkan , karena itu x = 2 + 3t, kamu = –1 + 2t, z = 1 –t.

Catatan 2. Biarkan garis tegak lurus terhadap salah satu sumbu koordinat, misalnya sumbu Sapi. Maka vektor arah garis tegak lurus Sapi, karena itu, m=0. Akibatnya, persamaan parametrik dari garis lurus mengambil bentuk

Menghilangkan parameter dari persamaan t, kita peroleh persamaan garis lurus dalam bentuk

Namun, dalam kasus ini juga, kami setuju untuk secara formal menulis persamaan kanonik garis lurus dalam bentuk . Jadi, jika penyebut salah satu pecahan adalah nol, maka ini berarti bahwa garis tersebut tegak lurus terhadap sumbu koordinat yang sesuai.

Demikian pula, persamaan kanonik sesuai dengan garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu Sapi dan Oy atau sumbu paralel Ons.

Contoh.

PERSAMAAN UMUM GARIS LANGSUNG SEBAGAI GARIS PENCEGAHAN DUA BIDANG

Melalui setiap garis lurus di ruang angkasa melewati jumlah pesawat yang tak terbatas. Setiap dua dari mereka, berpotongan, mendefinisikannya dalam ruang. Oleh karena itu, persamaan dari dua bidang seperti itu, dipertimbangkan bersama, adalah persamaan garis ini.

Secara umum, setiap dua bidang tidak sejajar diberikan oleh persamaan umum

tentukan garis perpotongannya. Persamaan ini disebut persamaan umum lurus.

Contoh.

Bangun garis lurus yang diberikan oleh persamaan

Untuk membuat garis, cukup mencari dua titik saja. Cara termudah adalah dengan memilih titik potong garis dengan bidang koordinat. Misalnya, titik perpotongan dengan bidang xOy kita peroleh dari persamaan garis lurus, dengan asumsi z= 0:

Memecahkan sistem ini, kami menemukan intinya M 1 (1;2;0).

Demikian pula, dengan asumsi kamu= 0, kita mendapatkan titik potong garis dengan bidang xOz:

Dari persamaan umum garis lurus, seseorang dapat melanjutkan ke persamaan kanonik atau parametriknya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan beberapa poin M 1 pada garis dan vektor arah garis.

Koordinat titik M 1 kita peroleh dari sistem persamaan ini, memberikan salah satu koordinat nilai arbitrer. Untuk mencari vektor arah, perhatikan bahwa vektor ini harus tegak lurus terhadap kedua vektor normal dan . Oleh karena itu, untuk vektor arah garis lurus aku Anda dapat mengambil produk silang dari vektor normal:

.

Contoh. Berikan persamaan umum garis lurus ke bentuk kanonik.

Temukan titik pada garis lurus. Untuk melakukan ini, kami memilih salah satu koordinat secara sewenang-wenang, misalnya, kamu= 0 dan selesaikan sistem persamaannya:

Vektor normal dari bidang yang mendefinisikan garis memiliki koordinat Oleh karena itu, vektor arah akan lurus

. Karena itu, aku: .

SUDUT ANTARA KANAN

sudut antara garis lurus dalam ruang kita akan menyebut salah satu sudut yang berdekatan yang dibentuk oleh dua garis lurus yang ditarik melalui titik sewenang-wenang yang sejajar dengan data.

Biarkan dua garis lurus diberikan dalam ruang:

Jelas, sudut antara garis dapat diambil sebagai sudut antara vektor arah mereka dan . Karena , maka menurut rumus kosinus sudut antara vektor-vektor kita peroleh

sebuah. Diberikan dua garis.Garis-garis ini, seperti yang ditunjukkan pada Bab 1, membentuk berbagai sudut positif dan negatif, yang dalam hal ini dapat lancip dan tumpul. Mengetahui salah satu sudut ini, kita dapat dengan mudah menemukan yang lain.

Omong-omong, untuk semua sudut ini, nilai numerik garis singgungnya sama, perbedaannya hanya pada tanda

Persamaan garis. Angka-angka tersebut merupakan proyeksi dari vektor-vektor pengarah dari garis pertama dan kedua.Sudut antara vektor-vektor ini sama dengan salah satu sudut yang dibentuk oleh garis lurus. Oleh karena itu, masalahnya direduksi menjadi menentukan sudut antara vektor, Kami mendapatkan

Untuk mempermudah, kita dapat menyepakati sudut antara dua garis lurus untuk memahami sudut positif lancip (seperti, misalnya, pada Gambar 53).

Maka tangen sudut ini akan selalu positif. Jadi, jika tanda minus diperoleh di sisi kanan rumus (1), maka kita harus membuangnya, yaitu, hanya mempertahankan nilai absolutnya.

Contoh. Tentukan sudut antar garis

Dengan rumus (1) kita memiliki

dengan. Jika ditunjukkan sisi sudut mana yang awal dan mana ujungnya, maka, dengan selalu menghitung arah sudut berlawanan arah jarum jam, kita dapat mengekstraksi sesuatu yang lebih dari rumus (1). Seperti yang mudah dilihat dari Gambar. 53 tanda yang diperoleh di sisi kanan rumus (1) akan menunjukkan yang mana - lancip atau tumpul - sudut yang membentuk garis kedua dengan yang pertama.

(Memang, dari Gambar 53 kita melihat bahwa sudut antara vektor arah pertama dan kedua sama dengan sudut yang diinginkan antara garis, atau berbeda dengan ±180°.)

d. Jika garis-garisnya sejajar, maka vektor pengarahnya juga sejajar Dengan menerapkan kondisi paralelisme dua vektor, kita dapatkan!

Ini adalah kondisi perlu dan cukup agar dua garis sejajar.

Contoh. Langsung

sejajar karena

e. Jika garis-garis tersebut tegak lurus, maka vektor arahnya juga tegak lurus. Dengan menerapkan syarat tegak lurus dua buah vektor, diperoleh syarat tegak lurus dua buah garis, yaitu

Contoh. Langsung

tegak lurus karena

Sehubungan dengan kondisi paralelisme dan tegak lurus, kita akan menyelesaikan dua masalah berikut.

f. Gambarlah garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik

Keputusan dibuat seperti ini. Karena garis yang diinginkan sejajar dengan yang diberikan, maka untuk vektor pengarahnya kita dapat mengambil yang sama dengan garis yang diberikan, yaitu vektor dengan proyeksi A dan B. Dan kemudian persamaan garis yang diinginkan akan ditulis dalam bentuk (§ 1)

Contoh. Persamaan garis lurus yang melalui titik (1; 3) sejajar dengan garis lurus

akan berikutnya!

g. Gambarlah garis melalui sebuah titik yang tegak lurus terhadap garis tersebut

Di sini, tidak lagi cocok untuk mengambil vektor dengan proyeksi A dan sebagai vektor pengarah, tetapi perlu untuk memenangkan vektor yang tegak lurus terhadapnya. Oleh karena itu, proyeksi vektor ini harus dipilih sesuai dengan kondisi bahwa kedua vektor tegak lurus, yaitu, sesuai dengan kondisi

Kondisi ini dapat dipenuhi dengan banyak cara, karena di sini ada satu persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Tetapi cara termudah adalah dengan mengambilnya. Kemudian persamaan garis lurus yang diinginkan akan ditulis dalam bentuk

Contoh. Persamaan garis yang melalui titik (-7; 2) pada garis tegak lurus

akan menjadi berikut (menurut rumus kedua)!

h. Dalam kasus ketika garis diberikan oleh persamaan bentuk

menulis ulang persamaan ini secara berbeda, kami memiliki

Saya akan singkat. Sudut antara dua garis sama dengan sudut antara vektor arahnya. Jadi, jika Anda berhasil menemukan koordinat vektor arah a \u003d (x 1; y 1; z 1) dan b \u003d (x 2; y 2; z 2), Anda dapat menemukan sudutnya. Lebih tepatnya, kosinus sudut sesuai dengan rumus:

Mari kita lihat bagaimana rumus ini bekerja pada contoh spesifik:

Tugas. Titik E dan F ditandai dalam kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. Tentukan sudut antara garis AE dan BF.

Karena tepi kubus tidak ditentukan, kami menetapkan AB = 1. Kami memperkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, dan sumbu x, y, z diarahkan masing-masing sepanjang AB, AD, dan AA 1 . Segmen satuan sama dengan AB = 1. Sekarang mari kita cari koordinat vektor arah untuk garis kita.

Tentukan koordinat vektor AE. Untuk melakukan ini, kita membutuhkan titik A = (0; 0; 0) dan E = (0,5; 0; 1). Karena titik E adalah tengah segmen A 1 B 1 , koordinatnya sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat ujungnya. Perhatikan bahwa asal vektor AE bertepatan dengan asal, jadi AE = (0,5; 0; 1).

Sekarang mari kita berurusan dengan vektor BF. Demikian pula, kami menganalisis titik B = (1; 0; 0) dan F = (1; 0,5; 1), karena F - tengah segmen B 1 C 1 . Kita punya:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Jadi, vektor arah sudah siap. Cosinus sudut antara garis adalah cosinus sudut antara vektor arah, jadi kita memiliki:

Tugas. Dalam prisma trihedral biasa ABCA 1 B 1 C 1 , semua tepinya sama dengan 1, titik D dan E ditandai - titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. Tentukan sudut antara garis AD dan BE.

Kami memperkenalkan sistem koordinat standar: asalnya di titik A, sumbu x diarahkan sepanjang AB, z - sepanjang AA 1 . Kami mengarahkan sumbu y sehingga bidang OXY berimpit dengan bidang ABC. Segmen satuan sama dengan AB = 1. Temukan koordinat vektor arah untuk garis yang diinginkan.

Pertama, mari kita cari koordinat vektor AD. Perhatikan poin-poinnya: A = (0; 0; 0) dan D = (0,5; 0; 1), karena D - tengah segmen A 1 B 1 . Karena awal vektor AD bertepatan dengan titik asal, kita mendapatkan AD = (0,5; 0; 1).

Sekarang mari kita cari koordinat vektor BE. Titik B = (1; 0; 0) mudah dihitung. Dengan titik E - tengah segmen C 1 B 1 - sedikit lebih rumit. Kita punya:

Tetap menemukan kosinus sudut:

Tugas. Dalam prisma heksagonal biasa ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , semua tepinya sama dengan 1, titik K dan L ditandai - titik tengah tepi A 1 B 1 dan B 1 C 1, masing-masing. Tentukan sudut antara garis AK dan BL.

Kami memperkenalkan sistem koordinat standar untuk prisma: kami menempatkan titik asal koordinat di pusat alas bawah, mengarahkan sumbu x sepanjang FC, sumbu y melalui titik tengah segmen AB dan DE, dan sumbu z vertikal ke atas. Segmen satuan sekali lagi sama dengan AB = 1. Mari kita tuliskan koordinat tempat-tempat menarik bagi kita:

Titik K dan L masing-masing adalah titik tengah segmen A 1 B 1 dan B 1 C 1, sehingga koordinatnya ditemukan melalui mean aritmatika. Mengetahui titik-titik, kami menemukan koordinat vektor arah AK dan BL:

Sekarang mari kita cari kosinus sudut:

Tugas. Dalam SABCD piramida segi empat biasa, semua tepinya sama dengan 1, titik E dan F ditandai - masing-masing titik tengah sisi SB dan SC. Tentukan sudut antara garis AE dan BF.

Kami memperkenalkan sistem koordinat standar: titik asal berada di titik A, sumbu x dan y masing-masing diarahkan sepanjang AB dan AD, dan sumbu z diarahkan vertikal ke atas. Segmen satuan sama dengan AB = 1.

Titik E dan F masing-masing adalah titik tengah segmen SB dan SC, sehingga koordinatnya ditemukan sebagai rata-rata aritmatika dari ujung-ujungnya. Kami menuliskan koordinat tempat menarik bagi kami:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Mengetahui titik-titik, kami menemukan koordinat vektor arah AE dan BF:

Koordinat vektor AE bertepatan dengan koordinat titik E, karena titik A adalah titik asal. Tetap menemukan kosinus sudut:

Definisi. Jika dua garis diberikan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis-garis ini akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2 . Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil. Garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar ketika koefisien A 1 \u003d A, B 1 \u003d B proporsional. Jika juga 1 = , maka garis-garisnya bertepatan. Koordinat titik potong dua garis ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu

Tegak lurus dengan garis ini

Definisi. Garis yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus garis y \u003d kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis

Dalil. Jika diberikan titik M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ax + Vy + C \u003d 0 didefinisikan sebagai

.

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke garis yang diberikan. Maka jarak antara titik M dan M 1 :

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 dapat ditemukan sebagai solusi dari sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap garis lurus tertentu. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antar garis: y = -3 x + 7; y = 2x+1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; = p/4.

Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 tegak lurus.

Keputusan. Kami menemukan: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, oleh karena itu, garis-garisnya tegak lurus.

Contoh. Titik sudut dari segitiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) diberikan. Tentukan persamaan ketinggian yang ditarik dari titik C.

Keputusan. Kami menemukan persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diinginkan adalah: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Maka y = . Karena ketinggian melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dimana b = 17. Jumlah: .

Jawaban: 3x + 2y - 34 = 0.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu dalam arah tertentu. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu. Sudut antara dua garis. Kondisi paralelisme dan tegak lurus dua garis. Menentukan titik potong dua garis

1. Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu A(x 1 , kamu 1) dalam arah tertentu, ditentukan oleh kemiringan k,

kamu - kamu 1 = k(x - x 1). (1)

Persamaan ini mendefinisikan sebuah pensil dari garis-garis yang melalui sebuah titik A(x 1 , kamu 1), yang disebut pusat balok.

2. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik: A(x 1 , kamu 1) dan B(x 2 , kamu 2) ditulis seperti ini:

Kemiringan garis lurus yang melalui dua titik tertentu ditentukan oleh rumus

3. Sudut antara garis lurus A dan B adalah sudut di mana garis lurus pertama harus diputar A di sekitar titik perpotongan garis-garis ini berlawanan arah jarum jam sampai bertepatan dengan garis kedua B. Jika dua garis diberikan oleh persamaan kemiringan

kamu = k 1 x + B 1 ,

kamu = k 2 x + B 2 , (4)

maka sudut di antara mereka ditentukan oleh rumus

Perlu diperhatikan bahwa dalam pembilang pecahan, kemiringan garis lurus pertama dikurangi dengan kemiringan garis lurus kedua.

Jika persamaan garis lurus diberikan dalam bentuk umum

A 1 x + B 1 kamu + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 kamu + C 2 = 0, (6)

sudut di antara mereka ditentukan oleh rumus

4. Syarat paralelisme dua garis:

a) Jika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan kemiringan, maka kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah persamaan kemiringannya:

k 1 = k 2 . (8)

b) Untuk kasus ketika garis diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum (6), kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelismenya adalah bahwa koefisien pada koordinat arus yang sesuai dalam persamaannya adalah proporsional, yaitu.

5. Syarat tegak lurus dua garis :

a) Dalam kasus ketika garis diberikan oleh persamaan (4) dengan kemiringan, kondisi yang diperlukan dan cukup untuk tegak lurusnya adalah bahwa kemiringannya adalah kebalikan besarnya dan berlawanan tanda, yaitu.

Kondisi ini juga dapat ditulis dalam bentuk

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Jika persamaan garis lurus diberikan dalam bentuk umum (6), maka syarat tegak lurusnya (perlu dan cukup) memenuhi persamaan

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinat titik potong dua garis ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan (6). Garis (6) berpotongan jika dan hanya jika

1. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik M, salah satunya sejajar dan yang lainnya tegak lurus terhadap garis l yang diberikan.

Oh-oh-oh-oh-oh ... yah, nyaring, seolah-olah Anda membaca kalimat itu sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu, terutama karena saya membeli aksesori yang cocok hari ini. Karena itu, mari kita lanjutkan ke bagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan menjaga suasana hati yang ceria.

Susunan timbal balik dari dua garis lurus

Kasus ketika aula bernyanyi bersama dalam paduan suara. Dua garis bisa:

1) pertandingan;

2) sejajar: ;

3) atau berpotongan di satu titik: .

Bantuan untuk boneka : harap diingat tanda matematika persimpangan , itu akan sangat sering terjadi. Entri berarti bahwa garis berpotongan dengan garis di titik.

Bagaimana cara menentukan posisi relatif dari dua garis?

Mari kita mulai dengan kasus pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika koefisien masing-masing sebanding, yaitu, ada sejumlah "lambda" sehingga persamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa, oleh karena itu, garis-garis ini bertepatan.

Memang, jika semua koefisien persamaan kalikan dengan -1 (ubah tanda), dan kurangi semua koefisien persamaan dengan 2, Anda mendapatkan persamaan yang sama: .

Kasus kedua ketika garis sejajar:

Dua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika koefisien-koefisiennya pada variabel-variabelnya sebanding: , tetapi.

Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel:

Namun, jelas bahwa .

Dan kasus ketiga, ketika garis berpotongan:

Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, yaitu, TIDAK ada nilai "lambda" yang persamaannya terpenuhi

Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem:

Ini mengikuti dari persamaan pertama bahwa , dan dari persamaan kedua: , maka, sistem tidak konsisten(tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien pada variabel tidak proporsional.

Kesimpulan: garis berpotongan

Dalam masalah praktis, skema solusi yang baru saja dipertimbangkan dapat digunakan. Omong-omong, ini sangat mirip dengan algoritma untuk memeriksa vektor untuk kolinearitas, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor. Tetapi ada paket yang lebih beradab:

Contoh 1

Cari tahu posisi relatif garis:

Keputusan berdasarkan studi tentang mengarahkan vektor garis lurus:

a) Dari persamaan kita menemukan vektor arah garis: .

, sehingga vektor-vektornya tidak segaris dan garis-garisnya berpotongan.

Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan petunjuk di persimpangan jalan:

Sisanya melompati batu dan mengikuti, langsung ke Kashchei the Deathless =)

b) Tentukan vektor arah dari garis-garis tersebut:

Garis-garis tersebut memiliki vektor arah yang sama, yang berarti keduanya sejajar atau sama. Di sini determinan tidak diperlukan.

Jelas, koefisien yang tidak diketahui adalah proporsional, sedangkan .

Mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar:

Dengan demikian,

c) Tentukan vektor arah dari garis-garis tersebut:

Mari kita hitung determinannya, yang terdiri dari koordinat vektor-vektor ini:
, oleh karena itu, vektor arah adalah collinear. Garis-garisnya sejajar atau berhimpitan.

Faktor proporsionalitas "lambda" mudah dilihat langsung dari rasio vektor arah collinear. Namun, itu juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua suku bebas adalah nol, jadi:

Nilai yang dihasilkan memenuhi persamaan ini (angka berapa pun umumnya memenuhinya).

Dengan demikian, garis bertepatan.

Menjawab:

Segera Anda akan belajar (atau bahkan telah belajar) untuk memecahkan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara harfiah dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat alasan untuk menawarkan sesuatu untuk solusi independen, lebih baik meletakkan satu batu bata penting lagi di fondasi geometris:

Bagaimana cara menggambar garis yang sejajar dengan garis yang diberikan?

Karena ketidaktahuan akan tugas paling sederhana ini, Nightingale the Robber menghukum dengan berat.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan . Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui titik tersebut.

Keputusan: Menunjukkan baris yang tidak dikenal dengan huruf. Apa yang dikatakan kondisi tentang itu? Garis melewati titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas bahwa vektor pengarah garis "ce" juga cocok untuk membangun garis "de".

Kami mengambil vektor arah dari persamaan:

Menjawab:

Geometri contoh terlihat sederhana:

Verifikasi analitis terdiri dari langkah-langkah berikut:

1) Kami memeriksa bahwa garis memiliki vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan benar, maka vektor akan collinear).

2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan yang dihasilkan.

Verifikasi analitis dalam banyak kasus mudah dilakukan secara lisan. Lihatlah dua persamaan dan banyak dari Anda akan segera mengetahui bagaimana garis sejajar tanpa menggambar apa pun.

Contoh untuk pemecahan diri hari ini akan kreatif. Karena Anda masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, Anda tahu, adalah pecinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis yang melalui sebuah titik yang sejajar dengan garis jika

Ada cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit pekerjaan dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis yang bertepatan kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang Anda ketahui dari kurikulum sekolah:

Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?

Jika lurus berpotongan di titik , maka koordinatnya adalah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana cara menemukan titik potong garis? Memecahkan sistem.

Ini untukmu arti geometris dari sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui adalah dua garis lurus yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.

Contoh 4

Cari titik potong garis

Keputusan: Ada dua cara untuk memecahkan - grafis dan analitis.

Cara grafisnya adalah dengan menggambar garis-garis yang diberikan dan mencari tahu titik potongnya langsung dari gambar:

Inilah poin kami: . Untuk memeriksa, Anda harus mengganti koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, mereka harus cocok di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat titik adalah solusi dari sistem . Faktanya, kami mempertimbangkan cara grafis untuk menyelesaikannya sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Tidak, intinya bukan siswa kelas tujuh yang memutuskan seperti ini, intinya butuh waktu untuk membuat gambar yang benar dan TEPAT. Selain itu, beberapa garis tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik perpotongan itu sendiri mungkin berada di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.

Oleh karena itu, lebih bijaksana untuk mencari titik potong dengan metode analitik. Mari kita selesaikan sistemnya:

Untuk menyelesaikan sistem, metode penambahan persamaan termwise digunakan. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, kunjungi pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?

Menjawab:

Verifikasinya sepele - koordinat titik persimpangan harus memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Temukan titik potong garis jika mereka berpotongan.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Lebih mudah untuk membagi masalah menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan bahwa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Cari tahu posisi relatif dari garis.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, maka tentukan titik potongnya.

Pengembangan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometris, dan saya akan berulang kali fokus pada hal ini.

Solusi lengkap dan jawaban di akhir tutorial:

Sepasang sepatu belum aus, saat kita sampai pada bagian kedua dari pelajaran:

Garis tegak lurus. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antar garis

Mari kita mulai dengan tugas yang khas dan sangat penting. Pada bagian pertama, kami belajar cara membuat garis lurus sejajar dengan yang diberikan, dan sekarang gubuk di kaki ayam akan berubah 90 derajat:

Bagaimana cara menggambar garis yang tegak lurus dengan garis yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan . Tuliskan persamaan garis tegak lurus yang melalui sebuah titik.

Keputusan: Diketahui dengan asumsi bahwa . Akan lebih baik untuk menemukan vektor arah garis lurus. Karena garisnya tegak lurus, triknya sederhana:

Dari persamaan kita "menghilangkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor pengarah garis lurus.

Kami membuat persamaan garis lurus dengan titik dan vektor pengarah:

Menjawab:

Mari kita buka sketsa geometrisnya:

Hmmm... Langit jingga, laut jingga, unta jingga.

Verifikasi analitis dari solusi:

1) Ekstrak vektor arah dari persamaan dan dengan bantuan perkalian titik dari vektor kami menyimpulkan bahwa garis memang tegak lurus: .

Omong-omong, Anda dapat menggunakan vektor normal, bahkan lebih mudah.

2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan yang dihasilkan .

Verifikasi, sekali lagi, mudah dilakukan secara verbal.

Contoh 7

Temukan titik potong garis tegak lurus, jika persamaan diketahui dan titik.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Ada beberapa tindakan dalam tugas, jadi akan lebih mudah untuk mengatur solusi poin demi poin.

Perjalanan seru kami berlanjut:

Jarak dari titik ke garis

Di depan kita ada jalur sungai yang lurus dan tugas kita adalah mencapainya dengan cara terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah pergerakan di sepanjang garis tegak lurus. Artinya, jarak dari suatu titik ke garis adalah panjang segmen yang tegak lurus.

Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan dengan huruf Yunani "ro", misalnya: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan rumus

Contoh 8

Tentukan jarak titik ke garis

Keputusan: yang Anda butuhkan hanyalah mengganti angka dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:

Menjawab:

Mari kita jalankan gambarnya:

Jarak yang ditemukan dari titik ke garis sama persis dengan panjang ruas merah. Jika Anda membuat gambar di atas kertas kotak-kotak dengan skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jaraknya dapat diukur dengan penggaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain sesuai dengan gambar yang sama:

Tugasnya adalah menemukan koordinat titik , yang simetris dengan titik terhadap garis . Saya mengusulkan untuk melakukan tindakan sendiri, namun, saya akan menguraikan algoritme solusi dengan hasil antara:

1) Temukan garis yang tegak lurus dengan garis.

2) Temukan titik potong garis: .

Kedua tindakan dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

3) Titik adalah titik tengah ruas. Kita tahu koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus untuk koordinat tengah segmen Temukan .

Tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahwa jaraknya juga sama dengan 2,2 unit.

Kesulitan di sini mungkin muncul dalam perhitungan, tetapi di menara kalkulator mikro banyak membantu, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Telah menyarankan berkali-kali dan akan merekomendasikan lagi.

Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?

Contoh 9

Hitunglah jarak antara dua garis sejajar

Ini adalah contoh lain untuk solusi independen. Sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikannya. Pembekalan di akhir pelajaran, tetapi lebih baik coba tebak sendiri, saya pikir Anda berhasil membubarkan kecerdikan Anda dengan baik.

Sudut antara dua garis

Apapun sudutnya, maka kusennya:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut LEBIH KECIL, yang darinya secara otomatis mengikuti sehingga tidak dapat tumpul. Pada gambar, sudut yang ditunjukkan oleh busur merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis yang berpotongan. Dan tetangganya yang "hijau" atau berorientasi berlawanan sudut merah tua.

Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut dapat diambil sebagai sudut di antara mereka.

Bagaimana sudut-sudutnya berbeda? Orientasi. Pertama, arah "menggulir" sudut pada dasarnya penting. Kedua, sudut berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya jika .

Mengapa saya mengatakan ini? Tampaknya Anda bisa bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah bahwa dalam formula yang dengannya kita akan menemukan sudut, hasil negatif dapat dengan mudah diperoleh, dan ini seharusnya tidak mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus tidak lebih buruk, dan memiliki makna geometris yang sangat spesifik. Dalam gambar untuk sudut negatif, sangat penting untuk menunjukkan orientasinya (searah jarum jam) dengan panah.

Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis? Ada dua rumus kerja:

Contoh 10

Tentukan sudut antar garis

Keputusan dan Metode satu

Pertimbangkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak tegak lurus, kemudian berorientasi sudut di antara mereka dapat dihitung menggunakan rumus:

Mari kita perhatikan penyebutnya - ini persis produk skalar vektor arah garis lurus:

Jika , maka penyebut rumus hilang, dan vektor-vektornya akan ortogonal dan garis-garisnya akan tegak lurus. Itulah sebabnya reservasi dibuat tentang garis-garis yang tidak tegak lurus dalam formulasi.

Berdasarkan hal di atas, solusinya mudah diformalkan dalam dua langkah:

1) Hitung produk skalar dari mengarahkan vektor garis lurus:
jadi garisnya tidak tegak lurus.

2) Kami menemukan sudut antara garis dengan rumus:

Menggunakan fungsi invers, mudah untuk menemukan sudut itu sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan dari tangen busur (lihat Gambar. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar):

Menjawab:

Dalam jawabannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai perkiraan (lebih disukai dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.

Nah, minus, jadi minus, tidak apa-apa. Berikut adalah ilustrasi geometris:

Tidak mengherankan bahwa sudut itu ternyata memiliki orientasi negatif, karena dalam kondisi soal, angka pertama adalah garis lurus dan "pelintiran" sudut dimulai dengan tepat darinya.

Jika Anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, Anda perlu menukar garis lurus, yaitu, ambil koefisien dari persamaan kedua , dan ambil koefisien dari persamaan pertama . Singkatnya, Anda harus mulai dengan direct .