Perbandingan derajat dengan indikator nyata. Gelar dengan indikator alami dan sifat-sifatnya

Karya mandiri mahasiswa tahun pertama dengan topik Derajat dengan indikator yang valid. Properti derajat dengan eksponen nyata (6 jam)

    Mempelajari materi teori dan membuat catatan (2 jam)

    Memecahkan teka-teki silang (2 jam)

    Kerjakan pekerjaan rumah (2 jam)

Referensi dan materi didaktik disediakan di bawah ini.

Pada konsep derajat dengan eksponen rasional

Beberapa dari sebagian besarumum

Jenis fungsi transendental sebelumnya

Benar-benar indikatif, akses terbuka ke

Banyak studi.

L. Eiler

Dari praktik memecahkan masalah aljabar yang semakin kompleks dan beroperasi dengan kekuatan, menjadi perlu untuk menggeneralisasi konsep derajat dan mengembangkannya dengan memperkenalkan angka nol, negatif, dan pecahan sebagai eksponen.

Persamaan a 0 = 1 (untuk ) digunakan dalam tulisannya pada awal abad ke-15. Ilmuwan Samarkand al-Kashi. Terlepas dari dia, indikator nol diperkenalkan oleh N. Shuke pada abad ke-15. Yang terakhir ini juga memperkenalkan eksponen negatif. Gagasan eksponen pecahan terkandung dalam matematikawan Prancis N. Orem (abad XIV) dalam karyanya

bekerja "Algorisme proporsi". Alih-alih tanda kami, dia menulis , sebaliknya dia menulis 4. Orem secara lisan merumuskan aturan untuk tindakan dengan derajat, misalnya (dalam notasi modern):, dll.

Kemudian, pecahan, serta eksponen negatif, ditemukan dalam "Aritmatika Lengkap" (1544) oleh matematikawan Jerman M. Stiefel dan S. Stevin. Yang terakhir menulis bahwa akar derajat P dari nomor sebuah dapat dihitung sebagai gelar sebuah dengan pecahan.

Kegunaan memperkenalkan indikator nol, negatif dan pecahan serta simbol modern pertama kali ditulis secara rinci pada tahun 1665 oleh ahli matematika Inggris John Vallis. Karyanya diselesaikan oleh I. Newton, yang mulai menerapkan simbol-simbol baru secara sistematis, setelah itu mulai digunakan secara umum.

Pengenalan gelar dengan eksponen rasional adalah salah satu dari banyak contoh generalisasi konsep tindakan matematika. Derajat dengan eksponen nol, negatif, dan pecahan didefinisikan sedemikian rupa sehingga aturan tindakan yang sama berlaku untuknya seperti untuk derajat dengan eksponen alami, yaitu, sehingga sifat dasar dari konsep derajat yang didefinisikan semula dipertahankan , yaitu:

Definisi baru gelar dengan eksponen rasional tidak bertentangan dengan definisi lama gelar dengan eksponen alami, yaitu, makna definisi baru gelar dengan eksponen rasional dipertahankan untuk kasus tertentu dari gelar dengan eksponen rasional. eksponen alami. Prinsip ini, diamati dalam generalisasi konsep matematika, disebut prinsip keabadian (pelestarian, keteguhan). Itu dinyatakan dalam bentuk tidak sempurna pada tahun 1830 oleh matematikawan Inggris J. Peacock, dan itu sepenuhnya dan dengan jelas ditetapkan oleh matematikawan Jerman G. Hankel pada tahun 1867. Prinsip keabadian juga diamati ketika menggeneralisasi konsep bilangan dan memperluas ke konsep bilangan real, dan sebelum itu pengenalan konsep perkalian dengan pecahan, dll.

Fungsi daya dangrafismenyelesaikan persamaan danketidaksetaraan

Berkat penemuan metode koordinat dan geometri analitik, dimulai dari abad ke-17. studi grafis yang berlaku umum dari fungsi dan solusi grafis dari persamaan menjadi mungkin.

Kekuatan fungsi adalah fungsi dari bentuk

di mana adalah bilangan real konstan. Namun, awalnya kami membatasi diri pada nilai rasional dan alih-alih kesetaraan (1) kami menulis:

di mana - bilangan rasional. Untuk dan menurut definisi, masing-masing, kami memiliki:

pada=1, y = x.

jadwal yang pertama dari fungsi-fungsi ini pada bidang adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu Oh, dan yang kedua adalah garis bagi sudut koordinat ke-1 dan ke-3.

Jika grafik fungsi berbentuk parabola . Descartes, yang menunjukkan yang tidak diketahui pertama dengan z, yang kedua - melalui y, ketiga - melalui x:, menulis persamaan parabola seperti ini: ( z- absis). Dia sering menggunakan parabola untuk menyelesaikan persamaan. Untuk memecahkan, misalnya, persamaan derajat 4

Descartes melalui substitusi

mendapatkan persamaan kuadrat dengan dua yang tidak diketahui:

menggambarkan lingkaran yang terletak di satu bidang (zx) dengan parabola (4). Jadi, Descartes, memperkenalkan yang tidak diketahui kedua (X), membagi persamaan (3) menjadi dua persamaan (4) dan (5), yang masing-masing mewakili lokus titik-titik tertentu. Koordinat titik potongnya memberikan akar persamaan (3).

“Suatu hari raja memutuskan untuk memilih asisten pertamanya dari antara para abdi dalemnya. Dia memimpin semua orang ke sebuah kastil besar. "Siapa pun yang membukanya lebih dulu akan menjadi penolong pertama." Bahkan tidak ada yang menyentuh kastil. Hanya satu wazir yang muncul dan mendorong kunci, yang terbuka. Itu tidak terkunci.

Kemudian raja berkata: “Anda akan menerima posisi ini karena Anda tidak hanya mengandalkan apa yang Anda lihat dan dengar, tetapi juga kekuatan Anda sendiri dan tidak takut untuk mencoba.”

Dan hari ini kami akan mencoba, mencoba mengambil keputusan yang tepat.

1. Konsep matematika apa yang terkait dengan kata-kata:

Basis

Indikator (Gelar)

Kata-kata apa yang dapat menggabungkan kata-kata:

bilangan rasional

Bilangan bulat

Bilangan asli

Bilangan irasional (Bilangan real)

Merumuskan topik pelajaran. (Daya dengan eksponen nyata)

- ulangi sifat-sifat derajat

– pertimbangkan penggunaan properti derajat dalam perhitungan dan penyederhanaan ekspresi

- pengembangan keterampilan komputasi.

Jadi, p, di mana p adalah bilangan real.

Berikan contoh (pilih dari ekspresi 5–2, , 43, ) derajat

- dengan indikator alami

- dengan nilai bilangan bulat

- dengan indikator rasional

- dengan indikator irasional

Untuk nilai a apa ekspresi itu masuk akal?

a n , di mana n (a adalah sembarang)

a m , di mana m (dan tidak sama dengan 0) Bagaimana cara beralih dari eksponen negatif ke eksponen positif?

Dimana p, q (a > 0)

Tindakan apa (operasi matematika) yang dapat dilakukan dengan derajat?

Setel kecocokan:

Saat mengalikan kekuatan dengan basis yang sama

Basis dikalikan, tetapi eksponennya tetap sama

Saat membagi kekuatan dengan basis yang sama

Basis dibagi, tetapi eksponennya tetap sama


Setelah ditentukan derajat, logis untuk dibicarakan sifat derajat. Pada artikel ini, kami akan memberikan sifat dasar derajat suatu bilangan, sambil menyentuh semua eksponen yang mungkin. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat derajat, dan juga menunjukkan bagaimana sifat-sifat ini diterapkan saat memecahkan contoh.

Navigasi halaman.

Sifat derajat dengan indikator alami

Oleh menentukan derajat dengan indikator alami kekuatan n adalah produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a . Berdasarkan definisi ini, dan menggunakan sifat perkalian bilangan real, kita dapat memperoleh dan membenarkan hal berikut: sifat derajat dengan eksponen alami:

  1. sifat utama derajat a m ·a n =a m+n , generalisasinya ;
  2. properti dari kekuatan parsial dengan basis yang sama a m:a n =a m−n ;
  3. produk derajat properti (a b) n =a n b n , ekstensi ;
  4. properti hasil bagi dalam bentuk (a:b) n =a n:b n ;
  5. eksponensial (a m) n =a m n , generalisasinya (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
  6. membandingkan derajat dengan nol:
    • jika a>0 , maka a n >0 untuk sembarang n ;
    • jika a=0 , maka a n =0 ;
    • jika sebuah<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jika<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. jika a dan b bilangan positif dan a
  8. jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka pada 0 0 ketidaksamaan a m > a n benar.

Kami segera mencatat bahwa semua persamaan tertulis adalah identik di bawah kondisi yang ditentukan, dan bagian kanan dan kirinya dapat dipertukarkan. Misalnya, sifat utama pecahan a m a n = a m + n dengan penyederhanaan ekspresi sering digunakan dalam bentuk a m+n = a m a n .

Sekarang mari kita lihat masing-masing secara rinci.

    Mari kita mulai dengan sifat perkalian dua pangkat dengan basa yang sama, yang disebut properti utama dari gelar: untuk sembarang bilangan real a dan bilangan asli m dan n, persamaan a m ·a n =a m+n adalah benar.

    Mari kita buktikan sifat utama derajat. Dengan definisi derajat dengan eksponen alami, produk dari kekuatan dengan basis yang sama dari bentuk a m ​​a n dapat ditulis sebagai produk. Karena sifat perkalian, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai , dan hasil kali ini adalah pangkat dari a dengan eksponen natural m+n , yaitu, a m+n . Ini melengkapi buktinya.

    Mari kita berikan contoh yang menegaskan sifat utama derajat. Mari kita ambil derajat dengan basis yang sama 2 dan pangkat 2 dan 3, sesuai dengan sifat utama derajat, kita dapat menulis persamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Mari kita periksa validitasnya, yang untuknya kita menghitung nilai ekspresi 2 2 ·2 3 dan 2 5 . memenuhi eksponensial, kita punya 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 dan 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, karena nilai yang sama diperoleh, maka persamaan 2 2 2 3 \u003d 2 5 benar, dan ini mengkonfirmasi properti utama derajat.

    Sifat utama suatu derajat berdasarkan sifat perkalian dapat digeneralisasikan ke perkalian tiga pangkat atau lebih dengan basis dan eksponen natural yang sama. Jadi untuk sembarang bilangan k bilangan asli n 1 , n 2 , …, n k persamaan a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

    Sebagai contoh, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Anda dapat beralih ke properti derajat berikutnya dengan indikator alami - properti kekuatan parsial dengan basis yang sama: untuk sembarang bilangan real tak nol a dan bilangan asli sembarang m dan n yang memenuhi syarat m>n , persamaan a m:a n =a m−n benar.

    Sebelum memberikan bukti sifat ini, mari kita bahas arti syarat tambahan dalam rumusan. Kondisi a≠0 diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol, karena 0 n =0, dan ketika kita mengenal pembagian, kita sepakat bahwa tidak mungkin membagi dengan nol. Kondisi m>n diperkenalkan sehingga kita tidak melampaui eksponen alami. Memang, untuk m>n eksponen a m−n adalah bilangan asli, jika tidak maka akan menjadi nol (yang terjadi untuk m−n ) atau bilangan negatif (yang terjadi untuk m

    Bukti. Properti utama dari pecahan memungkinkan kita untuk menulis persamaan a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Dari persamaan yang diperoleh a m−n ·a n =a m dan dari sini dapat disimpulkan bahwa a m−n adalah hasil bagi pangkat dari a m dan a n . Ini membuktikan properti kekuatan parsial dengan basis yang sama.

    Mari kita ambil contoh. Mari kita ambil dua derajat dengan basis yang sama dan eksponen alami 5 dan 2, properti derajat yang dipertimbangkan sesuai dengan persamaan 5: 2 = 5−3 = 3.

    Sekarang pertimbangkan properti gelar produk: derajat alami n hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan hasil kali derajat a n dan b n , yaitu, (a b) n =a n b n .

    Memang, menurut definisi gelar dengan eksponen alami, kami memiliki . Produk terakhir, berdasarkan sifat-sifat perkalian, dapat ditulis ulang sebagai , yang sama dengan a n b n .

    Berikut ini contohnya: .

    Properti ini meluas ke tingkat produk dari tiga atau lebih faktor. Artinya, sifat daya alami n dari hasil kali k faktor ditulis sebagai (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

    Untuk kejelasan, kami menunjukkan properti ini dengan sebuah contoh. Untuk produk dari tiga faktor pangkat 7, kami memiliki .

    Properti berikutnya adalah properti alami: hasil bagi bilangan real a dan b , b≠0 pangkat alami n sama dengan hasil bagi pangkat a n dan b n , yaitu, (a:b) n =a n:b n .

    Pembuktian dapat dilakukan dengan menggunakan properti sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, dan persamaan (a:b) n b n =a n menyiratkan bahwa (a:b) n adalah hasil bagi a n dibagi b n .

    Mari kita tulis properti ini menggunakan contoh angka tertentu: .

    Sekarang ayo bersuara properti eksponensial: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, pangkat a m pangkat n sama dengan pangkat a dengan pangkat m·n , yaitu, (a m) n =a m·n .

    Misalnya, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

    Bukti dari sifat daya dalam suatu derajat adalah rantai persamaan berikut: .

    Properti yang dipertimbangkan dapat diperluas ke derajat dalam derajat dalam derajat, dan seterusnya. Misalnya, untuk sembarang bilangan asli p, q, r, dan s, persamaannya . Untuk kejelasan yang lebih besar, berikut adalah contoh dengan nomor tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Masih memikirkan sifat-sifat membandingkan derajat dengan eksponen alami.

    Kami mulai dengan membuktikan properti perbandingan nol dan kekuatan dengan eksponen alami.

    Pertama, mari kita membenarkan bahwa a n >0 untuk a>0 .

    Hasilkali dua bilangan positif adalah bilangan positif, sebagai berikut dari definisi perkalian. Fakta ini dan sifat-sifat perkalian memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa hasil perkalian sejumlah bilangan positif juga akan menjadi bilangan positif. Dan pangkat dari a dengan eksponen alami n adalah, menurut definisi, produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Argumen-argumen ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa untuk sembarang basis positif a derajat dari n adalah bilangan positif. Berdasarkan sifat terbukti 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 dan .

    Sangat jelas bahwa untuk setiap n natural dengan a=0 derajat n adalah nol. Memang, 0 n =0·0·…·0=0 . Misalnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0 .

    Mari kita beralih ke basis negatif.

    Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponen adalah bilangan genap, nyatakan sebagai 2 m , di mana m adalah bilangan asli. Kemudian . Untuk setiap produk dari bentuk a·a sama dengan produk dari modul dari angka a dan a, oleh karena itu, adalah bilangan positif. Karena itu, produknya juga akan positif. dan derajat a 2 m . Berikut adalah contohnya: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .

    Akhirnya, ketika basis a adalah bilangan negatif dan eksponennya adalah bilangan ganjil 2 m−1, maka . Semua produk a·a adalah bilangan positif, produk dari bilangan positif ini juga positif, dan perkaliannya dengan sisa bilangan negatif a menghasilkan bilangan negatif. Karena properti ini (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Kami beralih ke properti membandingkan derajat dengan eksponen alami yang sama, yang memiliki rumusan berikut: dari dua derajat dengan eksponen alami yang sama, n lebih kecil dari yang alasnya lebih kecil, dan lebih dari yang alasnya lebih besar. Mari kita buktikan.

    Ketimpangan a n sifat-sifat pertidaksamaan pertidaksamaan yang dibuktikan dalam bentuk a n (2,2) 7 dan .

    Tetap membuktikan yang terakhir dari sifat-sifat kekuatan yang terdaftar dengan eksponen alami. Mari kita merumuskannya. Dari dua derajat dengan indikator alami dan basis positif yang sama kurang dari satu, derajatnya lebih besar, indikatornya lebih kecil; dan dua derajat dengan indikator alami dan basis yang sama lebih besar dari satu, derajatnya lebih besar, indikatornya lebih besar. Kami beralih ke bukti properti ini.

    Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan 0 0 karena kondisi awal m>n , maka pada 0

    Tetap membuktikan bagian kedua dari properti. Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan a>1, a m >a n benar. Selisih a m −a n setelah mengeluarkan n dari kurung membentuk a n ·(a m−n 1) . Hasil kali ini positif, karena untuk a>1 derajat n adalah bilangan positif, dan selisih a m−n 1 adalah bilangan positif, karena m−n>0 karena kondisi awal, dan untuk a>1, derajat m−n lebih besar dari satu . Oleh karena itu, a m a n >0 dan a m >a n , yang harus dibuktikan. Sifat ini diilustrasikan oleh pertidaksamaan 3 7 >3 2 .

Sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat

Karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka semua sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat positif sama persis dengan sifat pangkat dengan pangkat asli, yang tercantum dan dibuktikan dalam paragraf sebelumnya.

Derajat dengan eksponen negatif bilangan bulat, serta derajat dengan eksponen nol, kami mendefinisikan sedemikian rupa sehingga semua sifat derajat dengan eksponen alami yang dinyatakan oleh persamaan tetap valid. Oleh karena itu, semua sifat ini berlaku baik untuk pangkat nol dan pangkat negatif, sementara, tentu saja, basis derajatnya bukan nol.

Jadi, untuk setiap bilangan real dan bukan-nol a dan b, serta setiap bilangan bulat m dan n, berikut ini adalah benar sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat:

  1. a m a n \u003d a m + n;
  2. a m: a n = a m−n ;
  3. (a b) n = a n b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n = a m n ;
  6. jika n bilangan bulat positif, a dan b bilangan positif, dan a b-n;
  7. jika m dan n bilangan bulat, dan m>n , maka pada 0 1 pertidaksamaan a m > a n terpenuhi.

Untuk a=0, pangkat a m dan a n masuk akal hanya jika m dan n keduanya bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli. Jadi, sifat-sifat yang baru saja ditulis juga berlaku untuk kasus-kasus ketika a=0 dan bilangan m dan n adalah bilangan bulat positif.

Tidak sulit untuk membuktikan masing-masing sifat ini, untuk ini cukup menggunakan definisi derajat dengan eksponen alami dan bilangan bulat, serta sifat-sifat tindakan dengan bilangan real. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa sifat pangkat berlaku untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat nonpositif. Untuk melakukan ini, kita perlu menunjukkan bahwa jika p adalah nol atau bilangan asli dan q adalah nol atau bilangan asli, maka persamaan (a p) q =a p q , (a p) q =a (−p) q , (a p ) q =a p (−q) dan (a−p)−q =a (−p) (−q). Ayo lakukan.

Untuk p dan q positif, persamaan (a p) q =a p·q telah dibuktikan pada subbab sebelumnya. Jika p=0 , maka kita memiliki (a 0) q =1 q =1 dan a 0 q =a 0 =1 , dari mana (a 0) q =a 0 q . Demikian pula, jika q=0 , maka (a p) 0 =1 dan a p 0 =a 0 =1 , dari mana (a p) 0 =a p 0 . Jika p=0 dan q=0 , maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0 0 =a 0 =1 , dari mana (a 0) 0 =a 0 0 .

Mari kita buktikan bahwa (a p) q =a (−p) q . Dengan definisi derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif , maka . Dengan sifat hasil bagi dalam derajat, kita memiliki . Sejak 1 p=1·1·…·1=1 dan , maka . Ekspresi terakhir, menurut definisi, adalah pangkat dari bentuk a (p q) , yang, berdasarkan aturan perkalian, dapat ditulis sebagai (−p) q .

Demikian pula .

Dan .

Dengan prinsip yang sama, seseorang dapat membuktikan semua sifat derajat lainnya dengan eksponen bilangan bulat, yang ditulis dalam bentuk persamaan.

Dalam kedua dari belakang dari sifat-sifat yang ditulis, ada baiknya memikirkan bukti ketidaksetaraan a n >b n , yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat negatif n dan setiap positif a dan b yang syaratnya a . Karena dengan syarat a 0 . Hasil kali a n ·b n juga positif sebagai hasil kali bilangan positif a n dan b n . Kemudian pecahan yang dihasilkan positif sebagai hasil bagi bilangan positif b n a n dan a n b n . Oleh karena itu, dari mana a n >b n , yang harus dibuktikan.

Properti terakhir derajat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan dengan cara yang sama seperti properti analog derajat dengan eksponen alami.

Sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional

Derajat dengan eksponen pecahan kami menentukan dengan memperluas ke sana sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Dengan kata lain, derajat dengan pangkat pecahan memiliki sifat yang sama dengan derajat dengan pangkat bilangan bulat. Yaitu:

Pembuktian sifat-sifat derajat dengan pangkat pecahan didasarkan pada definisi derajat dengan pangkat pecahan, pada dan pada sifat derajat dengan pangkat bilangan bulat. Mari kita beri bukti.

Dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan dan , maka . Sifat-sifat akar aritmatika memungkinkan kita untuk menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan properti derajat dengan eksponen bilangan bulat, kita memperoleh , dimana, dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan, kita memiliki , dan pangkat yang diperoleh dapat dikonversikan sebagai berikut: . Ini melengkapi buktinya.

Sifat kedua dari pangkat dengan pangkat pecahan dibuktikan dengan cara yang persis sama:

Persamaan lainnya dibuktikan dengan prinsip serupa:

Kami beralih ke bukti properti berikutnya. Mari kita buktikan bahwa untuk setiap positif a dan b , a bp. Kami menulis bilangan rasional p sebagai m/n , di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Kondisi p<0 и p>0 dalam hal ini akan setara dengan kondisi m<0 и m>0 masing-masing. Untuk m>0 dan a

Demikian pula untuk m<0 имеем a m >b m , dari mana , yaitu, dan a p >b p .

Tetap membuktikan yang terakhir dari properti yang terdaftar. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q , p>q untuk 0 0 – pertidaksamaan a p >a q . Kita selalu dapat mengurangi bilangan rasional p dan q menjadi penyebut yang sama, mari kita dapatkan pecahan biasa dan, di mana m 1 dan m 2 adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli. Dalam hal ini, kondisi p>q akan sesuai dengan kondisi m 1 >m 2, yang mengikuti dari . Kemudian, dengan sifat membandingkan kekuatan dengan basis yang sama dan eksponen alami pada 0 1 – pertidaksamaan a m 1 >a m 2 . Pertidaksamaan ini dalam hal sifat-sifat akar dapat ditulis ulang, masing-masing, sebagai dan . Dan definisi gelar dengan eksponen rasional memungkinkan kita untuk melewati ketidaksetaraan dan, masing-masing. Dari sini kita menarik kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Sifat derajat dengan eksponen irasional

Dari bagaimana itu didefinisikan derajat dengan eksponen irasional, kita dapat menyimpulkan bahwa ia memiliki semua sifat kekuatan dengan eksponen rasional. Jadi untuk setiap a>0 , b>0 dan bilangan irasional p dan q berikut ini benar: sifat derajat dengan eksponen irasional:

  1. a p a q = a p + q ;
  2. a p:a q = a p−q ;
  3. (a b) p = a p b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q = a p q ;
  6. untuk sembarang bilangan positif a dan b , a 0 ketidaksamaan a p bp ;
  7. untuk bilangan irasional p dan q , p>q pada 0 0 – pertidaksamaan a p >a q .

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pangkat dengan eksponen nyata p dan q untuk a>0 memiliki sifat yang sama.

Bibliografi.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika Zh untuk 5 sel. institusi pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 7 sel. institusi pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 9 sel. institusi pendidikan.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Kami mengingatkan Anda bahwa dalam pelajaran ini kami memahami sifat derajat dengan indikator alami dan nol. Derajat dengan indikator rasional dan sifat-sifatnya akan dibahas dalam pelajaran untuk kelas 8.

Eksponen dengan eksponen alami memiliki beberapa sifat penting yang memungkinkan Anda menyederhanakan perhitungan dalam contoh eksponen.

Properti #1
Produk dari kekuatan

Ingat!

Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen ditambahkan.

a m a n \u003d a m + n, di mana " a"- bilangan apa saja, dan" m", " n"- bilangan asli apa pun.

Properti kekuasaan ini juga mempengaruhi produk dari tiga kekuasaan atau lebih.

  • Sederhanakan ekspresi.
    b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Hadir sebagai gelar.
    6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
  • Hadir sebagai gelar.
    (0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Penting!

Harap dicatat bahwa di properti yang ditunjukkan itu hanya tentang mengalikan kekuatan dengan alasan yang sama . Itu tidak berlaku untuk penambahan mereka.

Anda tidak dapat mengganti jumlah (3 3 + 3 2) dengan 3 5 . Hal ini dapat dimengerti jika
hitung (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 dan 3 5 = 243

Properti #2
Gelar pribadi

Ingat!

Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, basis tetap tidak berubah, dan eksponen pembagi dikurangkan dari eksponen dividen.

= 11 3 2 4 2 1 = 11 4 = 44
  • Contoh. Memecahkan persamaan. Kami menggunakan properti derajat parsial.
    3 8: t = 3 4

    T = 3 8 4

     Jawaban: t = 3 4 = 81

    • Menggunakan properti No. 1 dan No. 2, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan ekspresi dan melakukan perhitungan.

    • Contoh. Sederhanakan ekspresi.
      4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 4m 3 = 4 2m + 5
    • Contoh. Temukan nilai ekspresi menggunakan properti derajat.
      = = = 2 9 + 2
      2 5
      = 2 11
      2 5
      = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

      Penting!

      Harap dicatat bahwa properti 2 hanya berurusan dengan pembagian kekuasaan dengan basis yang sama.

      Anda tidak dapat mengganti perbedaan (4 3 4 2) dengan 4 1 . Ini bisa dimengerti jika kita mempertimbangkan (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , dan 4 1 = 4

      Hati-hati!

      Properti #3
      Eksponen

      Ingat!

      Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basis daya tetap tidak berubah, dan eksponen dikalikan.

      (a n) m \u003d a n m, di mana "a" adalah bilangan apa pun, dan "m", "n" adalah bilangan asli apa pun.


      Properti 4
      Gelar produk

      Ingat!

      Saat menaikkan produk ke kekuatan, masing-masing faktor dinaikkan ke kekuatan. Hasilnya kemudian dikalikan.

      (a b) n \u003d a n b n, di mana "a", "b" adalah bilangan rasional apa pun; "n" - bilangan asli apa pun.

      • Contoh 1
        (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
      • Contoh 2
        (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

      Penting!

      Harap dicatat bahwa properti No. 4, seperti properti derajat lainnya, juga diterapkan dalam urutan terbalik.

      (a n b n)= (a b) n

      Artinya, untuk mengalikan derajat dengan eksponen yang sama, Anda dapat mengalikan basis, dan membiarkan eksponen tidak berubah.

      • Contoh. Menghitung.
        2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
      • Contoh. Menghitung.
        0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

      Dalam contoh yang lebih kompleks, mungkin ada kasus ketika perkalian dan pembagian harus dilakukan pada pangkat dengan basis yang berbeda dan eksponen yang berbeda. Dalam hal ini, kami menyarankan Anda untuk melakukan hal berikut.

      Sebagai contoh, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

      Contoh perkalian pecahan desimal.

      4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

      Properti 5
      Kekuatan hasil bagi (pecahan)

      Ingat!

      Untuk menaikkan hasil bagi ke pangkat, Anda dapat menaikkan dividen dan pembagi secara terpisah ke pangkat ini, dan membagi hasil pertama dengan hasil kedua.

      (a: b) n \u003d a n: b n, di mana "a", "b" adalah bilangan rasional apa pun, b 0, n adalah bilangan asli apa pun.

      • Contoh. Ekspresikan ekspresi sebagai kekuatan parsial.
        (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

      Kami mengingatkan Anda bahwa hasil bagi dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Oleh karena itu, kita akan membahas topik menaikkan pecahan ke pangkat secara lebih rinci di halaman berikutnya.

    Pelajaran ini adalah bagian dari topik "Konversi ekspresi yang mengandung kekuatan dan akar".

    Rangkuman adalah pengembangan terperinci dari pelajaran tentang sifat-sifat gelar dengan indikator yang rasional dan nyata. Teknologi pembelajaran komputer, kelompok dan permainan digunakan.

    Unduh:


    Pratinjau:

    Pengembangan metodis dari pelajaran aljabar

    guru matematika GAU KO PO KST

    Pekhova Nadezhda Yurievna

    pada topik: "Sifat gelar dengan eksponen rasional dan nyata."

    Tujuan Pelajaran:

    • pendidikan: konsolidasi dan pendalaman pengetahuan tentang sifat-sifat gelar dengan indikator rasional dan penerapannya dalam latihan; meningkatkan pengetahuan tentang sejarah perkembangan gelar;
    • mengembangkan: pengembangan keterampilan mengendalikan diri dan bersama; mengembangkan kemampuan intelektual, keterampilan berpikir,
    • mendidik: pendidikan minat kognitif pada subjek, pendidikan tanggung jawab atas pekerjaan yang dilakukan, untuk mempromosikan penciptaan suasana kerja kreatif yang aktif.

    Jenis pelajaran: Pelajaran untuk meningkatkan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan.

    Metode melakukan: verbal - visual.

    Teknologi pedagogis: komputer, teknologi pembelajaran kelompok dan permainan.

    Peralatan pelajaran: peralatan proyeksi, komputer, presentasi untuk pelajaran, kerja

    buku catatan, buku teks, kartu dengan teks teka-teki silang dan tes reflektif.

    Waktu pelajaran: 1 jam 20 menit.

    Tahapan utama pelajaran:

    1. Momen organisasi. Topik pesan, tujuan pelajaran.

    2. Aktualisasi pengetahuan dasar. Pengulangan sifat-sifat derajat dengan eksponen rasional.

    3. Dikte matematika tentang sifat-sifat derajat dengan eksponen rasional.

    4. Pesan siswa menggunakan presentasi komputer.

    5. Bekerja dalam kelompok.

    6. Solusi teka-teki silang.

    7. Menyimpulkan, menilai. Refleksi.

    8. Pekerjaan rumah.

    Selama kelas:

    1. organisasi momen. Penyajian topik, tujuan pembelajaran, rencana pembelajaran. Slide 1, 2.

    2. Memperbarui pengetahuan dasar.

    1) Pengulangan sifat-sifat derajat dengan indikator rasional: siswa harus melanjutkan sifat-sifat tertulis - survei frontal. Geser 3.

    2) Siswa di papan tulis - analisis latihan dari buku teks (Alimov Sh.A.): a) No. 74, b) No. 77.

    C) Nomor 82-a;b;c.

    Nomor 74: a) = = a;

    B) + = ;

    B) : = = = b.

    Nomor 77: a) = = ;

    B) = = = b.

    Nomor 82: a) = = = ;

    B) = = y;

    B) () () = .

    3. Dikte matematika dengan verifikasi timbal balik. Siswa berbagi pekerjaan mereka, membandingkan jawaban dan memberikan nilai.

    Slide 4 - 5

    4. Pesan siswa dari beberapa fakta sejarah tentang topik yang dipelajari.

    Slide 6 - 12:

    Siswa pertama: Slide 6

    Konsep gelar dengan indikator alami terbentuk bahkan di antara orang-orang kuno. persegi dan kubusangka digunakan untuk menghitung luas dan volume. Kekuatan beberapa angka digunakan dalam memecahkan masalah tertentu oleh para ilmuwan Mesir kuno dan Babel.

    Pada abad ke-3, sebuah buku karya sarjana Yunani Diophantus diterbitkan"Aritmatika", di mana pengenalan simbol alfabet dimulai. Diophantus memperkenalkan simbol untuk enam kekuatan pertama yang tidak diketahui dan timbal baliknya. Dalam buku ini, persegi dilambangkan dengan tanda dan indeks; misalnya kubus bertanda k dengan indeks r, dst.

    Siswa kedua: Slide 7

    Kontribusi besar untuk pengembangan konsep derajat dibuat oleh ilmuwan Yunani kuno Pythagoras. Dia memiliki seluruh sekolah, dan semua muridnya disebut Pythagoras. Mereka datang dengan gagasan bahwa setiap angka dapat direpresentasikan dalam bentuk angka. Misalnya, mereka mewakili angka 4, 9 dan 16 sebagai kotak.

    Siswa pertama: Slide 8-9

    Geser 8

    Geser 9

    abad XVI. Pada abad ini, konsep derajat telah berkembang: ia mulai dikaitkan tidak hanya dengan angka tertentu, tetapi juga dengan variabel. Seperti yang mereka katakan kemudian "untuk angka secara umum" ahli matematika Inggris S. Stevin menciptakan notasi untuk menunjukkan derajat: notasi 3(3)+5(2)–4 dilambangkan seperti notasi modern 3 3 + 5 2 – 4.

    Siswa kedua: Slide 10

    Kemudian, eksponen pecahan dan eksponen negatif ditemukan dalam "Aritmatika Lengkap" (1544) oleh matematikawan Jerman M. Stiefel dan S. Stevin.

    S. Stevin menyarankan untuk mengartikan dengan derajat dengan indikator bentuk akar, yaitu .

    Siswa pertama: Slide 11

    Pada akhir abad keenam belas, Francois Vietmemperkenalkan huruf untuk menunjukkan tidak hanya variabel, tetapi juga koefisiennya. Dia menggunakan singkatan: N, Q, C - untuk derajat pertama, kedua dan ketiga.

    Tapi sebutan modern (seperti, ) diperkenalkan oleh René Descartes pada abad ke-17.

    Siswa kedua: Slide 12

    Definisi moderndan notasi derajat dengan eksponen nol, negatif dan pecahan berasal dari karya matematikawan Inggris John Wallis (1616-1703) dan Isaac Newton.

    5. Solusi teka-teki silang.

    Siswa diberikan teka-teki silang. Selesaikan secara berpasangan. Pasangan yang memutuskan terlebih dahulu mendapat skor. Slide 13-15.

    6. Pekerjaan kelompok. geser 16.

    Siswa melakukan pekerjaan mandiri, bekerja dalam kelompok beranggotakan 4 orang, saling menasihati. Karya tersebut kemudian diserahkan untuk ditinjau.

    7. Menyimpulkan, menilai.

    Refleksi.

    Siswa menyelesaikan tes reflektif. Tandai "+" jika Anda setuju, dan "-" jika tidak.

    Tes reflektif:

    1. Saya belajar banyak hal baru.

    2. Ini akan berguna bagi saya di masa depan.

    3. Ada sesuatu untuk dipikirkan dalam pelajaran.

    4. Saya menerima (a) jawaban atas semua pertanyaan yang muncul selama pelajaran.

    5. Di pelajaran, saya bekerja dengan sungguh-sungguh dan mencapai tujuan pelajaran.

    8. Pekerjaan Rumah: Slide 17.

    1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)

    2) Opsional: membuat teka-teki silang dengan konsep utama topik yang dipelajari.

    Referensi:

    1. Alimov Sh.A. aljabar dan analisis awal kelas 10-11, buku teks - M.: Pendidikan, 2010.
    2. Aljabar dan Analisis Awal Kelas 10. bahan didaktik. Pencerahan, 2012.

    Sumber daya internet:

    1. Situs pendidikan - RusCopyBook.Com - Buku teks elektronik dan GDZ
    2. Situs Sumber daya pendidikan Internet - untuk anak sekolah dan siswa. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
    3. Portal Guru Situs Web - http://www.uchportal.ru/

    ARTIKEL TERKAIT