sinus sudut lancip dari segitiga siku-siku adalah rasio di depan kateter ke hipotenusa.
Ini dilambangkan sebagai berikut: sin .
Kosinus sudut lancip dari segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Dilambangkan sebagai berikut: cos .
Garis singgung sudut lancip adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.
Dinotasikan sebagai berikut: tg .
Kotangens sudut lancip adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.
Ini ditunjuk sebagai berikut: ctg .
Sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut hanya bergantung pada besar sudut.
Aturan:
Identitas trigonometri dasar dalam segitiga siku-siku:
(α - sudut lancip di depan kaki b dan berdekatan dengan kaki sebuah . Samping dengan - sisi miring. β - sudut lancip kedua).
b | sin 2 + cos 2 = 1 | |
sebuah | 1 | |
b | 1 | |
sebuah | 1 1 | |
dosa |
Saat sudut lancip meningkatsinα dantg meningkat, dancos berkurang.
Untuk setiap sudut lancip :
sin (90° - ) = cos
cos (90° - ) = sin
Contoh penjelasan:
Biarkan dalam segitiga siku-siku ABC
AB = 6,
SM = 3,
sudut A = 30º.
Tentukan sinus sudut A dan cosinus sudut B.
Keputusan .
1) Pertama, kami menemukan nilai sudut B. Semuanya sederhana di sini: karena dalam segitiga siku-siku jumlah sudut lancip adalah 90º, maka sudut B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60.
2) Hitung sin A. Kita tahu bahwa sinus sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring. Untuk sudut A, kaki yang berhadapan adalah sisi BC. Jadi:
SM 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Sekarang kita hitung cos B. Kita tahu bahwa cosinus sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring. Untuk sudut B, kaki yang berdekatan adalah sisi yang sama BC. Ini berarti bahwa kita perlu membagi lagi BC menjadi AB - yaitu, melakukan tindakan yang sama seperti saat menghitung sinus sudut A:
SM 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Hasilnya adalah:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Dari sini dapat disimpulkan bahwa dalam segitiga siku-siku sinus dari satu sudut lancip sama dengan kosinus dari sudut lancip lainnya - dan sebaliknya. Inilah yang dimaksud dengan dua rumus kami:
sin (90° - ) = cos
cos (90° - ) = sin
Mari kita periksa lagi:
1) Misalkan = 60º. Mengganti nilai ke dalam rumus sinus, kita mendapatkan:
sin (90º - 60) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Misalkan = 30º. Substitusikan nilai ke dalam rumus kosinus, kita peroleh:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Untuk informasi lebih lanjut tentang trigonometri, lihat bagian Aljabar)
Salah satu cabang matematika yang dengannya anak sekolah mengatasi kesulitan terbesar adalah trigonometri. Tidak heran: untuk menguasai bidang pengetahuan ini dengan bebas, Anda memerlukan pemikiran spasial, kemampuan menemukan sinus, kosinus, garis singgung, kotangen menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan dapat menggunakan angka pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus dapat menerapkan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini membutuhkan memori matematika yang dikembangkan atau kemampuan untuk menyimpulkan rantai logis yang kompleks.
Asal-usul trigonometri
Mengenal ilmu ini harus dimulai dengan definisi sinus, kosinus, dan tangen sudut, tetapi pertama-tama Anda perlu mencari tahu apa yang dilakukan trigonometri secara umum.
Secara historis, segitiga siku-siku telah menjadi objek studi utama dalam bagian ilmu matematika ini. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk melakukan berbagai operasi yang memungkinkan seseorang untuk menentukan nilai semua parameter gambar yang dipertimbangkan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Di masa lalu, orang memperhatikan pola ini dan mulai aktif menggunakannya dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, dan bahkan seni.
Tahap pertama
Awalnya, orang berbicara tentang hubungan sudut dan sisi secara eksklusif pada contoh segitiga siku-siku. Kemudian formula khusus ditemukan yang memungkinkan untuk memperluas batas penggunaan dalam kehidupan sehari-hari dari bagian matematika ini.
Studi trigonometri di sekolah hari ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu pengetahuan yang diperoleh digunakan oleh siswa dalam fisika dan memecahkan persamaan trigonometri abstrak, pekerjaan yang dimulai di sekolah menengah.
trigonometri bola
Kemudian, ketika sains mencapai tingkat perkembangan berikutnya, rumus dengan sinus, kosinus, tangen, kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, di mana aturan lain berlaku, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu diketahui keberadaannya, setidaknya karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain, adalah cembung, yang berarti bahwa setiap tanda permukaan akan "berbentuk busur" di ruang tiga dimensi.
Ambil globe dan benang. Pasang utas ke dua titik mana pun di globe sehingga kencang. Perhatikan - ia telah memperoleh bentuk busur. Dengan bentuk-bentuk seperti itulah geometri bola, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teoretis dan terapan lainnya, berkaitan.
Segitiga siku-siku
Setelah mempelajari sedikit tentang cara menggunakan trigonometri, mari kembali ke trigonometri dasar untuk lebih memahami apa itu sinus, cosinus, tangen, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuan mereka dan rumus apa yang digunakan.
Langkah pertama adalah memahami konsep-konsep yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Dia yang terpanjang. Kita ingat bahwa, menurut teorema Pythagoras, nilai numeriknya sama dengan akar jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.
Misalnya, jika dua sisi masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno tahu tentang ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.
Dua sisi tersisa yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, kita harus ingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga dalam sistem koordinat persegi panjang adalah 180 derajat.
Definisi
Akhirnya, dengan pemahaman yang kuat tentang dasar geometris, kita dapat beralih ke definisi sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut.
Sinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berlawanan (yaitu, sisi yang berlawanan dengan sudut yang diinginkan) dengan sisi miring. Cosinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Ingatlah bahwa baik sinus maupun cosinus tidak boleh lebih besar dari satu! Mengapa? Karena sisi miring secara default terpanjang. Tidak peduli berapa panjang kakinya, itu akan lebih pendek dari sisi miring, yang berarti rasio mereka akan selalu kurang dari satu. Jadi, jika Anda mendapatkan sinus atau kosinus dengan nilai lebih besar dari 1 dalam jawaban soal, cari kesalahan dalam perhitungan atau penalaran. Jawaban ini jelas salah.
Akhirnya, garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang bersebelahan. Hasil yang sama akan memberikan pembagian sinus dengan kosinus. Lihat: sesuai dengan rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, setelah itu kita membagi dengan panjang sisi kedua dan dikalikan dengan sisi miring. Dengan demikian, kita mendapatkan rasio yang sama seperti pada definisi tangen.
Kotangen, masing-masing, adalah rasio sisi yang berdekatan dengan sudut ke sisi yang berlawanan. Kami mendapatkan hasil yang sama dengan membagi unit dengan garis singgung.
Jadi, kami telah mempertimbangkan definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen, dan kami dapat menangani rumus.
Rumus paling sederhana
Dalam trigonometri, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpanya? Dan inilah tepatnya yang dibutuhkan ketika memecahkan masalah.
Rumus pertama yang perlu Anda ketahui ketika mulai belajar trigonometri mengatakan bahwa jumlah kuadrat dari sinus dan cosinus suatu sudut sama dengan satu. Rumus ini merupakan konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, tetapi menghemat waktu jika Anda ingin mengetahui nilai sudut, bukan sisinya.
Banyak siswa tidak dapat mengingat rumus kedua, yang juga sangat populer ketika memecahkan masalah sekolah: jumlah satu dan kuadrat dari garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi dengan kuadrat dari kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: lagi pula, ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua sisi identitas yang dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana membuat rumus trigonometri benar-benar tidak dapat dikenali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, kosinus, tangen dan kotangen, aturan konversi dan beberapa rumus dasar, Anda dapat setiap saat secara mandiri memperoleh rumus yang lebih kompleks yang diperlukan pada selembar kertas.
Rumus sudut ganda dan penambahan argumen
Dua rumus lagi yang perlu Anda pelajari terkait dengan nilai sinus dan cosinus untuk jumlah dan selisih sudut. Mereka ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Harap dicatat bahwa dalam kasus pertama, sinus dan kosinus dikalikan kedua kali, dan pada kasus kedua, produk berpasangan dari sinus dan kosinus ditambahkan.
Ada juga rumus yang terkait dengan argumen sudut ganda. Mereka sepenuhnya diturunkan dari yang sebelumnya - sebagai latihan, cobalah untuk mendapatkannya sendiri, ambil sudut alfa sama dengan sudut beta.
Terakhir, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat dikonversi untuk menurunkan derajat sinus, kosinus, alfa tangen.
Teorema
Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema kosinus. Dengan bantuan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara menemukan sinus, kosinus, dan tangen, dan karenanya luas gambar, dan ukuran setiap sisi, dll.
Teorema sinus menyatakan bahwa sebagai hasil dari membagi panjang masing-masing sisi segitiga dengan nilai sudut yang berlawanan, kita mendapatkan angka yang sama. Selain itu, angka ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang berisi semua titik dari segitiga yang diberikan.
Teorema kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras, memproyeksikannya ke sembarang segitiga. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisi, kurangi produknya, dikalikan dengan kosinus ganda dari sudut yang berdekatan dengannya - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.
Kesalahan karena kurangnya perhatian
Bahkan mengetahui apa itu sinus, cosinus dan tangen, mudah untuk membuat kesalahan karena linglung atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari berkenalan dengan yang paling populer.
Pertama, Anda tidak boleh mengubah pecahan biasa menjadi desimal sampai hasil akhir diperoleh - Anda dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan biasa, kecuali jika kondisinya menyatakan sebaliknya. Transformasi seperti itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap masalah, akar baru mungkin muncul, yang menurut ide penulis harus dikurangi. Dalam hal ini, Anda akan membuang waktu untuk operasi matematika yang tidak perlu. Ini terutama berlaku untuk nilai seperti akar tiga atau dua, karena muncul dalam tugas di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk pembulatan angka "jelek".
Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema kosinus berlaku untuk sembarang segitiga, tetapi tidak untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa untuk mengurangi dua kali hasil perkalian sisi-sisinya dikalikan dengan kosinus sudut di antara keduanya, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi juga menunjukkan kesalahpahaman total tentang subjek tersebut. Ini lebih buruk daripada kesalahan yang ceroboh.
Ketiga, jangan bingung nilai untuk sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingat nilai-nilai ini, karena sinus 30 derajat sama dengan cosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk mencampurnya, akibatnya Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.
Aplikasi
Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri, karena mereka tidak memahami makna terapannya. Apa sinus, kosinus, tangen untuk seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep berkat yang Anda dapat menghitung jarak ke bintang-bintang yang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, mengirim penyelidikan penelitian ke planet lain. Tanpa mereka, mustahil untuk membangun sebuah bangunan, merancang mobil, menghitung beban di permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanya contoh yang paling jelas! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, mulai dari musik hingga kedokteran.
Akhirnya
Jadi Anda sinus, cosinus, tangen. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil memecahkan masalah sekolah.
Seluruh esensi trigonometri bermuara pada fakta bahwa parameter yang tidak diketahui harus dihitung dari parameter segitiga yang diketahui. Ada enam parameter secara total: panjang tiga sisi dan besar tiga sudut. Seluruh perbedaan dalam tugas terletak pada kenyataan bahwa data masukan yang berbeda diberikan.
Cara mencari sinus, cosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau sisi miring yang diketahui, sekarang Anda sudah tahu. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama dari masalah trigonometri adalah untuk menemukan akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini Anda akan dibantu oleh matematika sekolah biasa.
Petunjuk
Video Terkait
catatan
Saat menghitung sisi segitiga siku-siku, pengetahuan tentang fitur-fiturnya dapat dimainkan:
1) Jika kaki sudut siku-siku terletak di depan sudut 30 derajat, maka itu sama dengan setengah sisi miring;
2) sisi miring selalu lebih panjang dari kaki mana pun;
3) Jika sebuah lingkaran dibatasi di sekitar segitiga siku-siku, maka pusatnya harus terletak di tengah-tengah sisi miring.
Hipotenusa adalah sisi pada segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Untuk menghitung panjangnya, cukup mengetahui panjang salah satu kakinya dan nilai salah satu sudut lancip segitiga.
Petunjuk
Beri tahu kami salah satu kaki dan sudut yang berdekatan dengannya. Untuk kepastian, biarkan menjadi kaki |AB| dan sudut . Kemudian kita dapat menggunakan rumus untuk rasio cosinus - cosinus trigonometri dari kaki yang berdekatan. Itu. dalam notasi kita cos = |AB| / |AC|. Dari sini kita mendapatkan panjang sisi miring |AC| = |AB| / cosα.
Jika kita tahu kakinya |BC| dan sudut , maka kita menggunakan rumus untuk menghitung sinus sudut - sinus sudut sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring: sin = |BC| / |AC|. Kami mendapatkan bahwa panjang sisi miring ditemukan sebagai |AC| = |SM| / cosα.
Untuk kejelasan, pertimbangkan sebuah contoh. Misal panjang kaki |AB| = 15. Dan sudut = 60°. Kami mendapatkan |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pertimbangkan bagaimana Anda dapat memeriksa hasil Anda menggunakan teorema Pythagoras. Untuk melakukan ini, kita perlu menghitung panjang kaki kedua |BC|. Menggunakan rumus tangen sudut tg = |BC| / |AC|, kita peroleh |BC| = |AB| * tg = 15 * tg 60° = 15 * 3. Selanjutnya, kita menerapkan teorema Pythagoras, kita mendapatkan 15^2 + (15 * 3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verifikasi selesai.
Saran yang bermanfaat
Setelah menghitung sisi miring, periksa apakah nilai yang dihasilkan memenuhi teorema Pythagoras.
Sumber:
- Tabel bilangan prima dari 1 hingga 10000
Kaki sebutkan dua sisi pendek segitiga siku-siku yang membentuk titik sudutnya, yang nilainya 90°. Sisi ketiga dalam segitiga seperti itu disebut sisi miring. Semua sisi dan sudut segitiga ini saling berhubungan oleh hubungan tertentu yang memungkinkan Anda menghitung panjang kaki jika beberapa parameter lain diketahui.
Petunjuk
Gunakan teorema Pythagoras untuk kaki (A) jika Anda mengetahui panjang dua sisi lainnya (B dan C) dari segitiga siku-siku. Teorema ini menyatakan bahwa jumlah panjang kaki kuadrat sama dengan kuadrat sisi miring. Dari sini dapat disimpulkan bahwa panjang masing-masing kaki sama dengan akar kuadrat dari panjang sisi miring dan kaki kedua: A=√(C²-B²).
Gunakan definisi fungsi trigonometri langsung "sinus" untuk sudut lancip, jika Anda mengetahui nilai sudut (α) di seberang kaki yang dihitung, dan panjang sisi miring (C). Ini menyatakan bahwa sinus yang diketahui ini adalah rasio panjang kaki yang diinginkan dengan panjang sisi miring. Ini adalah bahwa panjang kaki yang diinginkan sama dengan produk dari panjang sisi miring dan sinus dari sudut yang diketahui: A=C∗sin(α). Untuk nilai yang diketahui sama, Anda dapat menggunakan kosekan dan menghitung panjang yang diinginkan dengan membagi panjang sisi miring dengan kosekan dari sudut yang diketahui A=C/cosec(α).
Gunakan definisi fungsi kosinus trigonometri langsung jika, selain panjang sisi miring (C), nilai sudut lancip (β) yang berdekatan dengan yang diperlukan juga diketahui. Kosinus sudut ini adalah rasio panjang kaki yang diinginkan dan sisi miring, dan dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa panjang kaki sama dengan produk dari panjang sisi miring dan kosinus dari sudut yang diketahui: A=C∗cos(β). Anda dapat menggunakan definisi fungsi garis potong dan menghitung nilai yang diinginkan dengan membagi panjang sisi miring dengan garis potong dari sudut yang diketahui A=C/detik(β).
Turunkan rumus yang diperlukan dari definisi serupa untuk turunan tangen fungsi trigonometri, jika, selain nilai sudut lancip (α) yang terletak di seberang kaki yang diinginkan (A), panjang kaki kedua (B) adalah diketahui. Garis singgung sudut yang berlawanan dengan kaki yang diinginkan adalah rasio panjang kaki ini dengan panjang kaki kedua. Ini berarti bahwa nilai yang diinginkan akan sama dengan produk dari panjang kaki yang diketahui dan garis singgung dari sudut yang diketahui: A=B∗tg(α). Dari besaran-besaran yang diketahui ini, rumus lain dapat diturunkan menggunakan definisi fungsi kotangen. Dalam hal ini, untuk menghitung panjang kaki, perlu dicari perbandingan panjang kaki yang diketahui dengan kotangen dari sudut yang diketahui: A=B/ctg(α).
Video Terkait
Kata "katet" datang ke bahasa Rusia dari bahasa Yunani. Dalam terjemahan yang tepat, itu berarti garis tegak lurus, yaitu tegak lurus terhadap permukaan bumi. Dalam matematika, kaki disebut sisi yang membentuk sudut siku-siku pada segitiga siku-siku. Sisi yang berhadapan dengan sudut ini disebut hipotenusa. Istilah "kaki" juga digunakan dalam arsitektur dan teknologi pengelasan.
Garis potong dari sudut ini diperoleh dengan membagi sisi miring dengan kaki yang berdekatan, yaitu secCAB=c/b. Ternyata kebalikan dari kosinus, yaitu dapat dinyatakan dengan rumus secCAB=1/cosSAB.
Kosekan sama dengan hasil bagi membagi sisi miring dengan kaki yang berlawanan dan merupakan kebalikan dari sinus. Itu dapat dihitung menggunakan rumus cosecCAB=1/sinCAB
Kedua kaki saling berhubungan dan kotangen. Dalam hal ini, garis singgung akan menjadi rasio sisi a ke sisi b, yaitu, kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan. Rasio ini dapat dinyatakan dengan rumus tgCAB=a/b. Dengan demikian, rasio terbalik akan menjadi kotangen: ctgCAB=b/a.
Rasio antara ukuran sisi miring dan kedua kaki ditentukan oleh Pythagoras Yunani kuno. Teorema, namanya, orang masih menggunakan. Dikatakan bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki, yaitu c2 \u003d a2 + b2. Dengan demikian, setiap kaki akan sama dengan akar kuadrat dari perbedaan antara kuadrat sisi miring dan kaki lainnya. Rumus ini dapat ditulis sebagai b=√(c2-a2).
Panjang kaki juga bisa diungkapkan melalui hubungan lho. Menurut teorema sinus dan cosinus, kaki sama dengan produk dari sisi miring dan salah satu fungsi ini. Anda dapat mengekspresikannya dan atau kotangen. Kaki a dapat ditemukan, misalnya, dengan rumus a \u003d b * tan CAB. Dengan cara yang persis sama, tergantung pada tangen atau , kaki kedua ditentukan.
Dalam arsitektur, istilah "kaki" juga digunakan. Itu diterapkan pada ibu kota ionik dan menembus bagian tengah punggungnya. Artinya, dalam hal ini, dengan istilah ini, tegak lurus terhadap garis yang diberikan.
Dalam teknologi pengelasan, ada "kaki las fillet". Seperti dalam kasus lain, ini adalah jarak terpendek. Di sini kita berbicara tentang celah antara salah satu bagian yang akan dilas dengan batas jahitan yang terletak di permukaan bagian lainnya.
Video Terkait
Sumber:
- apa kaki dan sisi miring pada tahun 2019
Apa sinus, cosinus, tangen, kotangen dari suatu sudut akan membantu Anda memahami segitiga siku-siku.
Apa yang disebut sisi segitiga siku-siku? Itu benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang terletak di seberang sudut siku-siku (dalam contoh kita, ini adalah sisi \ (AC \) ); kaki adalah dua sisi yang tersisa \ (AB \) dan \ (BC \) (yang berbatasan dengan sudut siku-siku), apalagi jika kita mempertimbangkan kaki terhadap sudut \ (BC \) , maka kaki \ (AB \) adalah kaki yang berdekatan, dan kaki \ (BC \) adalah berlawanan. Jadi, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa itu sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut?
sinus suatu sudut- ini adalah rasio kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.
Dalam segitiga kita:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosinus suatu sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.
Dalam segitiga kita:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangen sudut- ini adalah rasio kaki yang berlawanan (jauh) dengan kaki yang berdekatan (dekat).
Dalam segitiga kita:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangen suatu sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan yang berlawanan (jauh).
Dalam segitiga kita:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Definisi ini diperlukan ingat! Agar lebih mudah mengingat kaki mana yang harus dibagi dengan apa, Anda perlu memahami dengan jelas bahwa di garis singgung dan kotangens hanya kaki yang duduk, dan sisi miring hanya muncul di sinus dan kosinus. Dan kemudian Anda dapat membuat rantai asosiasi. Misalnya, yang ini:
kosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;
Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.
Pertama-tama, perlu diingat bahwa sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sebagai rasio sisi-sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi-sisi ini (pada satu sudut). Tidak percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:
Pertimbangkan, misalnya, kosinus sudut \(\beta \) . Menurut definisi, dari segitiga \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), tetapi kita dapat menghitung kosinus sudut \(\beta \) dari segitiga \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Soalnya, panjang sisinya berbeda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Dengan demikian, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.
Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan perbaiki!
Untuk segitiga \(ABC \) , yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kami menemukan \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
Nah, apakah Anda mendapatkannya? Kemudian coba sendiri: hitung sama untuk sudut \(\beta \) .
Jawaban: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Satuan (trigonometri) lingkaran
Memahami konsep derajat dan radian, kami menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan \ (1 \) . Lingkaran seperti itu disebut lajang. Hal ini sangat berguna dalam studi trigonometri. Karena itu, kami membahasnya sedikit lebih detail.
Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal, posisi awal vektor jari-jari ditetapkan sepanjang arah positif sumbu \(x \) (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari \(AB \) ).
Setiap titik pada lingkaran sesuai dengan dua angka: koordinat sepanjang sumbu \(x \) dan koordinat sepanjang sumbu \(y \) . Berapakah bilangan koordinat ini? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang dibahas? Untuk melakukan ini, ingat tentang segitiga siku-siku yang dipertimbangkan. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga \(ACG \) . Ini persegi panjang karena \(CG \) tegak lurus dengan sumbu \(x \).
Apa \(\cos \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \) ? Betul sekali \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Selain itu, kita tahu bahwa \(AC \) adalah jari-jari lingkaran satuan, jadi \(AC=1 \) . Substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Dan apa \(\sin \ \alpha \) dari segitiga \(ACG \) ? Yah, tentu saja, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Substitusi nilai jari-jari \ (AC \) dalam rumus ini dan dapatkan:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Jadi, bisakah Anda memberi tahu saya apa koordinat titik \(C \) , yang termasuk dalam lingkaran? Yah, tidak mungkin? Tetapi bagaimana jika Anda menyadari bahwa \(\cos \ \alpha \) dan \(\sin \alpha \) hanyalah angka? Koordinat apa yang sesuai dengan \(\cos \alpha \)? Yah, tentu saja, koordinat \(x \) ! Dan koordinat apa yang sesuai dengan \(\sin \alpha \)? Benar, koordinat \(y \)! Jadi intinya \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Lalu apa \(tg \alpha \) dan \(ctg \alpha \) ? Itu benar, mari kita gunakan definisi tangen dan kotangen yang tepat dan dapatkan itu \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), sebuah \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Di sini, misalnya, seperti pada gambar ini:
Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, kita kembali ke segitiga siku-siku. Perhatikan sebuah segitiga siku-siku \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : suatu sudut (berdekatan dengan sudut \(\beta \) ). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Nah, seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat \ (y \) ; nilai kosinus sudut - koordinat \ (x \) ; dan nilai tangen dan kotangen dengan rasio yang sesuai. Dengan demikian, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi dari vektor radius.
Telah disebutkan bahwa posisi awal dari vektor jari-jari adalah sepanjang arah positif dari sumbu \(x \). Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan ukuran tertentu, tetapi hanya akan negatif. Jadi, ketika memutar vektor radius berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.
Jadi, kita tahu bahwa seluruh putaran vektor jari-jari di sekitar lingkaran adalah \(360()^\circ \) atau \(2\pi \) . Apakah mungkin untuk memutar vektor radius dengan \(390()^\circ \) atau dengan \(-1140()^\circ \) ? Yah, tentu saja Anda bisa! Dalam kasus pertama, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), jadi vektor radius akan membuat satu putaran penuh dan berhenti di \(30()^\circ \) atau \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Dalam kasus kedua, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), yaitu, vektor radius akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi \(-60()^\circ \) atau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Jadi, dari contoh di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa sudut yang berbeda \(360()^\circ \cdot m \) atau \(2\pi \cdot m \) (di mana \(m \) adalah bilangan bulat ) sesuai dengan posisi yang sama dari vektor radius.
Gambar di bawah menunjukkan sudut \(\beta =-60()^\circ \) . Gambar yang sama sesuai dengan sudut \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) dll. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum \(\beta +360()^\circ \cdot m\) atau \(\beta +2\pi \cdot m \) (di mana \(m \) adalah bilangan bulat apa pun)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Sekarang, mengetahui definisi fungsi trigonometri dasar dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab apa nilainya sama dengan:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Inilah lingkaran unit untuk membantu Anda:
Ada kesulitan? Lalu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)
Dari sini, kami menentukan koordinat titik-titik yang sesuai dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut masuk \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) sesuai dengan titik dengan koordinat \(\left(0;1 \right) \) , oleh karena itu:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Panah kanan \text(tg)\ 90()^\circ \)- tidak ada;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Selanjutnya, mengikuti logika yang sama, kami menemukan bahwa sudut-sudut di \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) sesuai dengan titik-titik dengan koordinat \(\left(-1;0 \kanan),\text( )\left(0;-1 \kanan),\text( )\left(1;0 \kanan),\text( )\left(0 ;1 \kanan) \), masing-masing. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik yang sesuai. Coba sendiri dulu, baru cek jawabannya.
Jawaban:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- tidak ada
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Panah kanan \text(tg)\ 270()^\circ \)- tidak ada
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah kanan \text(ctg)\ 2\pi \)- tidak ada
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Panah kanan \text(tg)\ 450()^\circ \)- tidak ada
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:
Tidak perlu mengingat semua nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:
\(\kiri. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \kanan\)\ \text(Perlu diingat atau dapat menghasilkan!! \) !}
Dan berikut adalah nilai-nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) diberikan dalam tabel di bawah ini, Anda harus ingat:
Tidak perlu takut, sekarang kami akan menunjukkan salah satu contoh hafalan yang cukup sederhana dari nilai-nilai yang sesuai:
Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), serta nilai tangen sudut dalam \(30()^\circ \) . Mengetahui nilai \(4\) ini, cukup mudah untuk mengembalikan seluruh tabel - nilai cosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), mengetahui hal ini, dimungkinkan untuk mengembalikan nilai untuk \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Pembilang “\(1 \) ” akan cocok dengan \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , dan penyebut “\(\sqrt(\text(3)) \) ” akan cocok \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami ini dan mengingat skema dengan panah, maka cukup mengingat hanya \(4 \) nilai dari tabel.
Koordinat titik pada lingkaran
Apakah mungkin untuk menemukan titik (koordinatnya) pada lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya, dan sudut rotasi? Yah, tentu saja Anda bisa! Mari kita turunkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik. Di sini, misalnya, kami memiliki lingkaran seperti itu:
Kami diberi poin itu \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkaran adalah \(1,5 \) . Penting untuk menemukan koordinat titik \(P \) yang diperoleh dengan memutar titik \(O \) sebesar \(\delta \) derajat.
Seperti dapat dilihat dari gambar, koordinat \ (x \) dari titik \ (P \) sesuai dengan panjang segmen \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Panjang segmen \ (UK \) sesuai dengan koordinat \ (x \) pusat lingkaran, yaitu sama dengan \ (3 \) . Panjang segmen \(KQ \) dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Panah Kanan KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Kemudian kita memiliki bahwa untuk titik \(P \) koordinat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Dengan logika yang sama, kita menemukan nilai koordinat y untuk titik \(P\) . Dengan demikian,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Jadi, secara umum, koordinat titik ditentukan oleh rumus:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), di mana
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinat pusat lingkaran,
\(r\) - jari-jari lingkaran,
\(\delta \) - sudut rotasi jari-jari vektor.
Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kami pertimbangkan, rumus ini berkurang secara signifikan, karena koordinat pusatnya nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript dinonaktifkan di browser Anda.Kontrol ActiveX harus diaktifkan untuk membuat perhitungan!
Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari fungsi trigonometri dan penggunaannya dalam geometri. Perkembangan trigonometri dimulai pada zaman Yunani kuno. Selama Abad Pertengahan, para ilmuwan dari Timur Tengah dan India memberikan kontribusi penting bagi perkembangan ilmu ini.
Artikel ini dikhususkan untuk konsep dasar dan definisi trigonometri. Ini membahas definisi fungsi trigonometri utama: sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Maknanya dalam konteks geometri dijelaskan dan diilustrasikan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Awalnya, definisi fungsi trigonometri, yang argumennya adalah sudut, diungkapkan melalui rasio sisi-sisi segitiga siku-siku.
Definisi fungsi trigonometri
Sinus suatu sudut (sin ) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut ini dengan sisi miring.
Kosinus sudut (cos ) adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung sudut (t g ) adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.
Kotangen sudut (c t g ) adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.
Definisi ini diberikan untuk sudut lancip dari segitiga siku-siku!
Mari kita beri ilustrasi.
Pada segitiga ABC siku-siku C, sinus sudut A sama dengan perbandingan kaki BC dengan sisi miring AB.
Definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen memungkinkan untuk menghitung nilai fungsi-fungsi ini dari panjang sisi segitiga yang diketahui.
Penting untuk diingat!
Kisaran nilai sinus dan cosinus: dari -1 hingga 1. Dengan kata lain, sinus dan cosinus mengambil nilai dari -1 hingga 1. Kisaran nilai tangen dan kotangen adalah seluruh garis bilangan, yaitu ini fungsi dapat mengambil nilai apa pun.
Definisi yang diberikan di atas mengacu pada sudut lancip. Dalam trigonometri, konsep sudut rotasi diperkenalkan, yang nilainya, tidak seperti sudut lancip, tidak dibatasi oleh bingkai dari 0 hingga 90 derajat. Sudut rotasi dalam derajat atau radian dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari - ke + .
Dalam konteks ini, seseorang dapat mendefinisikan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut yang besarnya sewenang-wenang. Bayangkan sebuah lingkaran satuan yang berpusat di asal sistem koordinat Cartesian.
Titik awal A dengan koordinat (1 , 0) berputar mengelilingi pusat lingkaran satuan dengan sudut dan menuju ke titik A 1 . Definisi tersebut diberikan melalui koordinat titik A 1 (x, y).
Sinus (sin) sudut rotasi
Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 (x, y). sinα = y
Cosinus (cos) dari sudut rotasi
Kosinus sudut rotasi adalah absis titik A 1 (x, y). cos = x
Tangen (tg) sudut rotasi
Garis singgung sudut rotasi adalah perbandingan ordinat titik A 1 (x, y) dengan absisnya. t g = y x
Kotangen (ctg) sudut rotasi
Kotangen sudut rotasi adalah perbandingan absis titik A 1 (x, y) terhadap ordinatnya. c t g = x y
Sinus dan cosinus didefinisikan untuk setiap sudut rotasi. Ini logis, karena absis dan ordinat titik setelah rotasi dapat ditentukan di sembarang sudut. Situasinya berbeda dengan tangen dan kotangen. Garis singgung tidak didefinisikan ketika titik setelah rotasi menuju ke titik dengan nol absis (0 , 1) dan (0 , - 1). Dalam kasus seperti itu, ekspresi tangen t g = y x sama sekali tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Situasinya mirip dengan kotangen. Perbedaannya adalah bahwa kotangen tidak didefinisikan dalam kasus di mana ordinat titik hilang.
Penting untuk diingat!
Sinus dan cosinus didefinisikan untuk setiap sudut .
Garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali = 90° + 180° k , k Z (α = 2 + k , k Z)
Kotangen didefinisikan untuk semua sudut kecuali = 180° k, k Z (α = k, k Z)
Saat memecahkan contoh praktis, jangan katakan "sinus sudut rotasi ". Kata-kata "sudut rotasi" dihilangkan begitu saja, menyiratkan bahwa dari konteksnya sudah jelas apa yang dipertaruhkan.
angka
Bagaimana dengan definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan, dan bukan sudut rotasi?
Sinus, kosinus, tangen, kotangen suatu bilangan
Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan t suatu bilangan disebut, yang masing-masing sama dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen di t radian.
Misalnya, sinus 10 sama dengan sinus sudut rotasi 10 rad.
Ada pendekatan lain untuk definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari suatu bilangan. Mari kita pertimbangkan lebih detail.
Setiap bilangan asli t sebuah titik pada lingkaran satuan bersesuaian dengan titik pusat pada titik asal sistem koordinat kartesius segi empat. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen didefinisikan dalam koordinat titik ini.
Titik awal lingkaran adalah titik A dengan koordinat (1 , 0).
nomor positif t
Angka negatif t sesuai dengan titik di mana titik awal akan bergerak jika bergerak berlawanan arah jarum jam di sekitar lingkaran dan melewati jalur t .
Sekarang hubungan antara angka dan titik pada lingkaran telah dibuat, kita lanjutkan ke definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen.
Sinus (sin) bilangan t
Sinus suatu bilangan t- ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t. sin t = y
Cosinus (cos) dari t
Cosinus suatu bilangan t- absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan nomor t. cos t = x
Tangen (tg) dari t
Tangen suatu bilangan t- rasio ordinat dengan absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan nomor t. t g t = y x = sin t cos t
Definisi yang terakhir konsisten dengan dan tidak bertentangan dengan definisi yang diberikan di awal bagian ini. Titik pada lingkaran yang sesuai dengan angka t, bertepatan dengan titik yang dilalui titik awal setelah berbelok melalui sudut t radian.
Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik
Setiap nilai sudut sesuai dengan nilai tertentu dari sinus dan cosinus sudut ini. Sama seperti semua sudut selain = 90 ° + 180 ° · k , k Z (α = 2 + · k , k Z) sesuai dengan nilai tangen tertentu. Kotangen, seperti disebutkan di atas, didefinisikan untuk semua , kecuali untuk = 180 ° k , k Z (α = k , k Z).
Kita dapat mengatakan bahwa sin , cos , t g α , c t g adalah fungsi dari sudut alfa, atau fungsi dari argumen sudut.
Demikian pula, seseorang dapat berbicara tentang sinus, cosinus, tangen dan kotangen sebagai fungsi dari argumen numerik. Setiap bilangan asli t sesuai dengan nilai tertentu dari sinus atau cosinus dari suatu bilangan t. Semua angka selain 2 + · k , k Z, sesuai dengan nilai tangen. Kotangen didefinisikan dengan cara yang sama untuk semua bilangan kecuali · k , k Z.
Fungsi dasar trigonometri
Sinus, kosinus, tangen dan kotangen adalah fungsi trigonometri dasar.
Biasanya jelas dari konteks argumen mana dari fungsi trigonometri (argumen sudut atau argumen numerik) yang kita hadapi.
Mari kembali ke data di awal definisi dan sudut alfa, yang terletak di kisaran 0 hingga 90 derajat. Definisi trigonometri sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sepenuhnya sesuai dengan definisi geometris yang diberikan oleh rasio sisi segitiga siku-siku. Mari kita tunjukkan.
Ambil lingkaran satuan yang berpusat pada sistem koordinat Cartesian persegi panjang. Mari kita putar titik awal A (1, 0) dengan sudut hingga 90 derajat dan menggambar dari titik yang dihasilkan A 1 (x, y) tegak lurus terhadap sumbu x. Pada segitiga siku-siku yang dihasilkan, sudut A 1 O H sama dengan sudut rotasi , panjang kaki O H sama dengan absis titik A 1 (x, y) . Panjang kaki di depan sudut sama dengan ordinat titik A 1 (x, y), dan panjang sisi miring sama dengan satu, karena itu adalah jari-jari lingkaran satuan.
Sesuai dengan definisi dari geometri, sinus sudut sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.
sin \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Ini berarti bahwa definisi sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku melalui rasio aspek setara dengan definisi sinus sudut rotasi , dengan alfa terletak dalam kisaran 0 hingga 90 derajat.
Demikian pula, korespondensi definisi dapat ditunjukkan untuk kosinus, tangen dan kotangen.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
