Program untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier, kuadrat, dan pecahan tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga memberikan solusi terperinci dengan penjelasan, yaitu. menampilkan proses penyelesaian dalam rangka mengecek pengetahuan matematika dan/atau aljabar.
Selain itu, jika dalam proses penyelesaian salah satu pertidaksamaan perlu diselesaikan, misalnya, persamaan kuadrat, maka solusi detailnya juga ditampilkan (termasuk dalam spoiler).
Program ini dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah dalam persiapan ujian, orang tua untuk mengontrol solusi ketidaksetaraan oleh anak-anak mereka.
Program ini dapat bermanfaat bagi siswa SMA dalam persiapan menghadapi ujian dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum UN Unified State, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.
Aturan untuk memasukkan ketidaksetaraan
Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.
Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan tidak hanya dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.
Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dapat dipisahkan dari bilangan bulat dengan tanda titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal seperti ini: 2.5x - 3.5x^2
Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5th +1/7th^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Tanda kurung dapat digunakan saat memasukkan ekspresi. Dalam hal ini, ketika menyelesaikan pertidaksamaan, ekspresi disederhanakan terlebih dahulu.
Sebagai contoh: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Pilih tanda pertidaksamaan yang diinginkan dan masukkan polinomial pada kolom di bawah ini.
Memecahkan sistem pertidaksamaan Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Sistem ketidaksetaraan dengan satu yang tidak diketahui. Rentang numerik
Anda berkenalan dengan konsep sistem di kelas 7 dan belajar bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui. Selanjutnya, sistem pertidaksamaan linier dengan satu yang tidak diketahui akan dipertimbangkan. Himpunan solusi sistem pertidaksamaan dapat ditulis menggunakan interval (interval, setengah interval, segmen, sinar). Anda juga akan belajar tentang notasi interval numerik.
Jika dalam pertidaksamaan \(4x > 2000 \) dan \(5x \leq 4000 \) bilangan yang tidak diketahui x adalah sama, maka pertidaksamaan ini dianggap bersama dan dikatakan membentuk sistem pertidaksamaan: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
Kurung kurawal menunjukkan bahwa Anda perlu menemukan nilai x sedemikian sehingga kedua pertidaksamaan sistem berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Sistem ini merupakan contoh sistem pertidaksamaan linier dengan satu yang tidak diketahui.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui adalah nilai dari yang tidak diketahui di mana semua pertidaksamaan sistem berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan sistem pertidaksamaan berarti menemukan semua solusi dari sistem ini atau menetapkan bahwa tidak ada satupun.
Pertidaksamaan \(x \geq -2 \) dan \(x \leq 3 \) dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Penyelesaian sistem pertidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui adalah himpunan numerik yang berbeda. Set ini memiliki nama. Jadi, pada sumbu nyata, himpunan bilangan x sedemikian rupa sehingga \(-2 \leq x \leq 3 \) diwakili oleh segmen dengan ujung di titik -2 dan 3.
| -2 | 3 |
Jika \(a adalah segmen dan dilambangkan dengan [a; b]
Jika \(suatu interval dan dilambangkan dengan (a; b)
Himpunan bilangan \(x \) yang memenuhi pertidaksamaan \(a \leq x dengan setengah interval dan masing-masing dilambangkan dengan [a; b) dan (a; b]
Ruas, selang, setengah selang, dan sinar disebut interval numerik.
Dengan demikian, interval numerik dapat ditentukan dalam bentuk pertidaksamaan.
Penyelesaian pertidaksamaan dengan dua bilangan yang tidak diketahui adalah pasangan bilangan (x; y) yang mengubah pertidaksamaan ini menjadi pertidaksamaan numerik sejati. Menyelesaikan pertidaksamaan berarti menemukan himpunan semua penyelesaiannya. Jadi, solusi dari pertidaksamaan x > y adalah, misalnya, pasangan bilangan (5; 3), (-1; -1), karena \(5 \geq 3 \) dan \(-1 \geq - 1\)
Memecahkan sistem ketidaksetaraan
Anda telah belajar bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan yang tidak diketahui. Mengetahui apa yang dimaksud dengan sistem pertidaksamaan dan solusi dari sistem tersebut. Oleh karena itu, proses penyelesaian sistem pertidaksamaan dengan satu yang tidak diketahui tidak akan menimbulkan kesulitan bagi Anda.
Namun kita ingat: untuk memecahkan sistem pertidaksamaan, Anda perlu menyelesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah, dan kemudian menemukan titik potong dari solusi ini.
Misalnya, sistem ketidaksetaraan asli direduksi menjadi bentuk:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan ini, tandai solusi setiap pertidaksamaan pada sumbu nyata dan temukan perpotongannya:
| -2 | 3 |
Perpotongannya adalah ruas [-2; 3] - ini adalah solusi dari sistem ketidaksetaraan asli.
Kami terus menyelidiki topik "menyelesaikan ketidaksetaraan dengan satu variabel". Kita sudah mengenal pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat. Mereka adalah kasus khusus. ketidaksetaraan rasional yang sekarang akan kita pelajari. Mari kita mulai dengan mencari tahu jenis ketidaksetaraan apa yang disebut rasional. Selanjutnya, kita akan berurusan dengan pembagiannya menjadi pertidaksamaan rasional bilangan bulat dan rasional pecahan. Dan setelah itu kita akan mempelajari bagaimana solusi pertidaksamaan rasional dengan satu variabel dilakukan, tuliskan algoritma yang sesuai dan pertimbangkan solusi dari contoh tipikal dengan penjelasan terperinci.
Navigasi halaman.
Apa itu ketidaksetaraan rasional?
Di sekolah, dalam pelajaran aljabar, segera setelah percakapan tentang penyelesaian pertidaksamaan muncul, pertemuan dengan pertidaksamaan rasional segera terjadi. Namun, pada awalnya mereka tidak disebut dengan nama aslinya, karena pada tahap ini jenis ketidaksetaraan kurang menarik, dan tujuan utamanya adalah untuk mendapatkan keterampilan awal dalam bekerja dengan ketidaksetaraan. Istilah "ketidaksetaraan rasional" itu sendiri diperkenalkan kemudian di kelas 9, ketika studi rinci tentang ketidaksetaraan jenis khusus ini dimulai.
Mari kita cari tahu apa itu ketidaksetaraan rasional. Berikut definisinya:
Dalam definisi yang disuarakan, tidak ada yang dikatakan tentang jumlah variabel, yang berarti bahwa berapa pun jumlahnya diperbolehkan. Bergantung pada ini, ketidaksetaraan rasional dengan satu, dua, dll. dibedakan. variabel. Omong-omong, buku teks memberikan definisi yang serupa, tetapi untuk ketidaksetaraan rasional dengan satu variabel. Hal ini dapat dimengerti, karena sekolah berfokus pada penyelesaian pertidaksamaan dengan satu variabel (di bawah ini, kita juga hanya akan berbicara tentang penyelesaian pertidaksamaan rasional dengan satu variabel). Pertidaksamaan dengan dua variabel sedikit yang dipertimbangkan, dan ketidaksetaraan dengan tiga atau lebih variabel praktis tidak diperhatikan sama sekali.
Jadi, ketidaksetaraan rasional dapat dikenali dari notasinya, untuk ini cukup dengan melihat ekspresi di sisi kiri dan kanannya dan memastikan bahwa itu adalah ekspresi rasional. Pertimbangan ini memungkinkan kita untuk memberikan contoh ketidaksetaraan rasional. Misalnya x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), adalah pertidaksamaan rasional. Dan ketidaksetaraan 
tidak rasional, karena sisi kirinya berisi variabel di bawah tanda akar, dan, oleh karena itu, bukan ekspresi rasional. Pertidaksamaan juga tidak rasional, karena kedua bagiannya bukanlah ekspresi rasional.
Untuk memudahkan deskripsi lebih lanjut, kami memperkenalkan pembagian pertidaksamaan rasional menjadi bilangan bulat dan pecahan.
Definisi.
Pertidaksamaan rasional disebut utuh, jika kedua bagiannya adalah ekspresi rasional bilangan bulat.
Definisi.
Pertidaksamaan rasional pecahan adalah pertidaksamaan rasional, paling tidak satu bagiannya merupakan ekspresi pecahan.
Jadi 0,5 x≤3 (2−5 y) , 
adalah pertidaksamaan bilangan bulat, dan 1:x+3>0 dan 
- rasional fraksional.
Sekarang kita memiliki pemahaman yang jelas tentang apa itu pertidaksamaan rasional, dan kita dapat dengan aman mulai berurusan dengan prinsip-prinsip penyelesaian pertidaksamaan bilangan bulat dan rasional fraksional dengan satu variabel.
Menyelesaikan pertidaksamaan bilangan bulat
Mari kita tentukan sendiri tugasnya: mari kita selesaikan pertidaksamaan rasional bilangan bulat dengan satu variabel x dalam bentuk r(x)
Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri, yang akan membawa kita ke ketidaksetaraan setara dalam bentuk r(x) s(x)<0 (≤, >, ) dengan nol di sebelah kanan. Jelas, ekspresi r(x)−s(x) , yang dibentuk di sisi kiri, juga merupakan bilangan bulat, dan diketahui bahwa sembarang . Setelah mengubah ekspresi r(x)−s(x) menjadi polinomial identik h(x) (di sini kita perhatikan bahwa ekspresi r(x)−s(x) dan h(x) memiliki variabel yang sama x ), kita lolos ke pertidaksamaan ekivalen h(x)<0 (≤, >, ≥).
Dalam kasus yang paling sederhana, transformasi yang dilakukan akan cukup untuk mendapatkan solusi yang diinginkan, karena transformasi tersebut akan membawa kita dari pertidaksamaan rasional bilangan bulat asli ke pertidaksamaan yang dapat kita selesaikan, misalnya, ke linier atau kuadrat. Pertimbangkan contoh.
Contoh.
Temukan solusi untuk seluruh pertidaksamaan rasional x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .
Keputusan.
Pertama, kita pindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri: x (x+3)+2 x−(x+1) 2 1≤0. Setelah melakukan semuanya di ruas kiri, kita sampai pada pertidaksamaan linier 3·x−2≤0 , yang ekuivalen dengan pertidaksamaan bilangan bulat asli. Solusinya tidak sulit:
3x≤2 ,
x≤2/3 .
Menjawab:
x≤2/3 .
Contoh.
Selesaikan pertidaksamaan (x 2 +1) 2 3 x 2 >(x 2 x) (x 2 + x).
Keputusan.
Kami mulai seperti biasa dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan, dan kemudian kami melakukan transformasi di sisi kiri menggunakan:
(x 2 +1) 2 3 x 2 (x 2 x) (x 2 + x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 x 4 +x 2 >0,
1>0
.
Jadi, melakukan transformasi yang setara, kami sampai pada ketidaksetaraan 1>0 , yang berlaku untuk semua nilai variabel x . Dan ini berarti bahwa solusi dari pertidaksamaan bilangan bulat asli adalah bilangan real apa pun.
Menjawab:
x - apapun.
Contoh.
Selesaikan pertidaksamaan x+6+2 x 3 2 x (x 2 +x−5)>0.
Keputusan.
Ada nol di sisi kanan, jadi tidak ada yang perlu dipindahkan darinya. Mari kita ubah seluruh ekspresi di sisi kiri menjadi polinomial:
x+6+2 x 3 2 x 3 2 x 2 +10 x>0,
2 x 2 +11 x+6>0 .
Kami telah memperoleh pertidaksamaan kuadrat, yang setara dengan pertidaksamaan asli. Kami menyelesaikannya dengan metode apa pun yang kami ketahui. Kami akan memecahkan pertidaksamaan kuadrat secara grafis.
Cari akar-akar trinomial kuadrat 2 x 2 +11 x+6 : 
Kami membuat gambar skema di mana kami menandai nol yang ditemukan, dan memperhitungkan bahwa cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah, karena koefisien terkemuka negatif: 
Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda >, kita tertarik pada interval di mana parabola terletak di atas sumbu x. Ini terjadi pada interval (−0.5, 6) , dan ini adalah solusi yang diinginkan.
Menjawab:
(−0,5, 6) .
Dalam kasus yang lebih rumit, di sisi kiri pertidaksamaan yang dihasilkan h(x)<0 (≤, >, ) akan menjadi polinomial derajat ketiga atau lebih tinggi. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan seperti itu, metode interval cocok, pada langkah pertama Anda harus menemukan semua akar polinomial h (x) , yang sering diselesaikan.
Contoh.
Temukan solusi untuk seluruh pertidaksamaan rasional (x 2 +2) (x+4)<14−9·x .
Keputusan.
Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri, setelah itu di sana dan:
(x 2 +2) (x+4)−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0
.
Manipulasi yang dilakukan membawa kita ke ketidaksetaraan yang setara dengan yang asli. Di sisi kirinya adalah polinomial derajat ketiga. Hal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode interval. Untuk melakukan ini, pertama-tama, Anda perlu mencari akar polinomial, yang terletak pada x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Mari kita cari tahu apakah ia memiliki akar rasional, yang hanya dapat berada di antara pembagi dari suku bebas, yaitu, di antara bilangan ±1, ±2, ±3, ±6. Mensubstitusikan angka-angka ini sebagai ganti variabel x dalam persamaan x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 , kita menemukan bahwa akar persamaan adalah angka 1 , 2 dan 3 . Hal ini memungkinkan kita untuk menyatakan polinomial x 3 +4 x 2 +11 x−6 sebagai produk (x−1) (x−2) (x−3) , dan pertidaksamaan x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
Dan kemudian tetap melakukan langkah-langkah standar metode interval: tandai titik-titik pada garis bilangan dengan koordinat 1, 2 dan 3, yang membagi garis ini menjadi empat interval, menentukan dan menempatkan tanda, menggambar penetasan pada interval dengan tanda minus (karena kita menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda<) и записать ответ.
Dari mana kita memiliki (−∞, 1)∪(2, 3) .
Menjawab:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Perlu dicatat bahwa kadang-kadang tidak praktis dari pertidaksamaan r(x) s(x)<0 (≤, >, ) lolos ke pertidaksamaan h(x)<0 (≤, >, ), di mana h(x) adalah polinomial berderajat lebih besar dari dua. Ini berlaku untuk kasus di mana lebih sulit untuk memfaktorkan polinomial h(x) daripada merepresentasikan ekspresi r(x) s(x) sebagai produk binomial linier dan trinomial kuadrat, misalnya, dengan mengurung faktor persekutuan. Mari kita jelaskan ini dengan sebuah contoh.
Contoh.
Selesaikan pertidaksamaan (x 2 2 x−1) (x 2 19)≥2 x (x 2 2 x−1).
Keputusan.
Ini adalah seluruh ketidaksetaraan. Jika kita memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke sisi kiri, kemudian membuka tanda kurung dan membawa suku yang sama, kita mendapatkan pertidaksamaan x 4 4 x 3 16 x 2 +40 x+19≥0. Memecahkannya sangat sulit, karena melibatkan pencarian akar polinomial derajat empat. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa ia tidak memiliki akar rasional (bisa berupa angka 1, -1, 19 atau -19), dan mencari akar lainnya adalah masalah. Oleh karena itu, jalan ini adalah jalan buntu.
Mari kita cari solusi lain yang mungkin. Sangat mudah untuk melihat bahwa setelah mentransfer ekspresi dari sisi kanan pertidaksamaan bilangan bulat asli ke sisi kiri, kita dapat mengambil faktor persekutuan x 2 2 x 1 dari tanda kurung:
(x 2 2 x−1) (x 2 19)−2 x (x 2 2 x−1)≥0,
(x 2 2 x−1) (x 2 2 x−19)≥0.
Transformasi yang dilakukan ekivalen, sehingga solusi dari pertidaksamaan yang dihasilkan akan menjadi solusi dari pertidaksamaan semula.
Dan sekarang kita dapat menemukan nol dari ekspresi yang terletak di sisi kiri pertidaksamaan yang dihasilkan, untuk ini kita membutuhkan x 2 2 x−1=0 dan x 2 2 x−19=0 . Akarnya adalah angka 
. Ini memungkinkan kita untuk melewati ketidaksetaraan yang setara , dan kita dapat menyelesaikannya dengan metode interval: 
Menurut gambar, kami menuliskan jawabannya.
Menjawab:
Sebagai penutup paragraf ini, saya hanya ingin menambahkan bahwa sangat jauh dari selalu mungkin untuk menemukan semua akar polinomial h (x) dan, sebagai hasilnya, memperluasnya menjadi produk binomial linier dan trinomial kuadrat. Dalam kasus ini, tidak ada cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan h(x)<0 (≤, >, ), yang berarti bahwa tidak ada cara untuk menemukan solusi dari seluruh persamaan rasional asli.
Penyelesaian pertidaksamaan rasional fraksional
Sekarang mari kita berurusan dengan solusi dari masalah seperti itu: biarkan diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional fraksional dengan satu variabel x dalam bentuk r(x)
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional fraksional dengan satu variabel r(x)
- Pertama, Anda perlu menemukan rentang nilai yang dapat diterima (ODV) dari variabel x untuk pertidaksamaan asli.
- Selanjutnya, Anda perlu memindahkan ekspresi dari sisi kanan pertidaksamaan ke kiri, dan mengubah ekspresi r(x)−s(x) yang terbentuk di sana menjadi bentuk pecahan p(x)/q(x) , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi bilangan bulat yang merupakan produk dari binomial linier, trinomial kuadrat yang tidak dapat diurai dan pangkatnya dengan eksponen alami.
- Selanjutnya, Anda perlu menyelesaikan ketidaksetaraan yang dihasilkan dengan metode interval.
- Akhirnya, dari solusi yang diperoleh pada langkah sebelumnya, perlu untuk mengecualikan titik-titik yang tidak termasuk dalam DPV variabel x untuk pertidaksamaan asli, yang ditemukan pada langkah pertama.
Dengan demikian, solusi yang diinginkan dari pertidaksamaan rasional fraksional akan diperoleh.
Langkah kedua dari algoritma membutuhkan beberapa penjelasan. Memindahkan ekspresi dari ruas kanan pertidaksamaan ke kiri menghasilkan pertidaksamaan r(x)−s(x)<0 (≤, >, ), yang setara dengan yang asli. Semuanya jelas di sini. Tetapi pertanyaan diajukan oleh transformasi lebih lanjut ke bentuk p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).
Pertanyaan pertama adalah: “Apakah selalu mungkin untuk melaksanakannya”? Secara teoritis, ya. Kami tahu bahwa segala sesuatu mungkin terjadi. Pembilang dan penyebut pecahan rasional adalah polinomial. Dan dari teorema dasar aljabar dan teorema Bezout dapat disimpulkan bahwa setiap polinomial derajat n dengan satu variabel dapat direpresentasikan sebagai produk binomial linier. Ini menjelaskan kemungkinan melakukan transformasi ini.
Dalam praktiknya, cukup sulit untuk memfaktorkan polinomial, dan jika derajatnya lebih tinggi dari yang keempat, maka itu tidak selalu mungkin. Jika faktorisasi tidak memungkinkan, maka tidak akan ada cara untuk menemukan solusi dari pertidaksamaan asli, tetapi kasus seperti itu biasanya tidak terjadi di sekolah.
Pertanyaan kedua: “Akankah pertidaksamaan p(x)/q(x)<0
(≤, >, ) setara dengan pertidaksamaan r(x)−s(x)<0
(≤, >, ), dan karenanya juga yang asli”? Itu bisa setara atau tidak setara. Ekivalen jika ODZ untuk ekspresi p(x)/q(x) sama dengan ODZ untuk ekspresi r(x)−s(x) . Dalam hal ini, langkah terakhir dari algoritma akan menjadi redundan. Tetapi DPV untuk ekspresi p(x)/q(x) mungkin lebih lebar daripada DPV untuk ekspresi r(x)−s(x) . Perluasan ODZ dapat terjadi ketika pecahan dikurangi, seperti, misalnya, ketika bergerak dari 
ke . Juga, perluasan ODZ dapat difasilitasi dengan pengurangan istilah serupa, seperti, misalnya, dalam transisi dari 
ke . Untuk kasus ini, langkah terakhir dari algoritma dimaksudkan, yang menghilangkan solusi asing yang timbul dari perluasan ODZ. Mari kita perhatikan hal ini ketika kita menganalisis solusi dari contoh-contoh di bawah ini.
Kami terus menganalisis cara untuk memecahkan ketidaksetaraan yang memiliki satu variabel dalam komposisinya. Kita telah mempelajari pertidaksamaan linier dan kuadrat, yang merupakan kasus khusus pertidaksamaan rasional. Pada artikel ini, kami akan mengklarifikasi jenis pertidaksamaan apa yang rasional, kami akan memberi tahu Anda jenis apa yang dibagi (bilangan bulat dan pecahan). Setelah itu, kami akan menunjukkan cara menyelesaikannya dengan benar, memberikan algoritme yang diperlukan, dan menganalisis masalah tertentu.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Konsep persamaan rasional
Ketika topik pemecahan pertidaksamaan dipelajari di sekolah, mereka langsung mengambil pertidaksamaan rasional. Mereka memperoleh dan mengasah keterampilan bekerja dengan jenis ekspresi ini. Mari kita merumuskan definisi konsep ini:
Definisi 1
Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan dengan variabel yang mengandung ekspresi rasional di kedua bagiannya.
Perhatikan bahwa definisi tersebut tidak mempengaruhi jumlah variabel dengan cara apa pun, yang berarti bahwa dapat ada sejumlah besar variabel yang berubah-ubah. Oleh karena itu, pertidaksamaan rasional dengan 1, 2, 3 atau lebih variabel dimungkinkan. Paling sering, seseorang harus berurusan dengan ekspresi yang hanya berisi satu variabel, lebih jarang dua, dan ketidaksetaraan dengan sejumlah besar variabel biasanya tidak dipertimbangkan sama sekali dalam kerangka kursus sekolah.
Dengan demikian, kita dapat mempelajari pertidaksamaan rasional dengan melihat notasinya. Baik di sisi kanan maupun di sisi kiri harus memiliki ekspresi rasional. Berikut beberapa contohnya:
x > 4 x 3 + 2 y 5 (y 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Dan berikut adalah pertidaksamaan bentuk 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Semua pertidaksamaan rasional dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan.
Definisi 2
Persamaan rasional bilangan bulat terdiri dari ekspresi rasional bilangan bulat (di kedua bagian).
Definisi 3
Persamaan rasional fraksional- ini adalah persamaan yang mengandung ekspresi pecahan di salah satu atau kedua bagiannya.
Misalnya, pertidaksamaan bentuk 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 dan 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 adalah pecahan rasional dan 0 .5 x 3 (2 5 th) dan 1: x + 3 > 0- utuh.
Kami telah menganalisis apa itu ketidaksetaraan rasional dan mengidentifikasi jenis utamanya. Kita dapat beralih ke ikhtisar tentang cara menyelesaikannya.
Misalkan kita perlu mencari solusi untuk pertidaksamaan rasional bilangan bulat r(x)< s (x) , yang hanya mencakup satu variabel x . Di mana r(x) dan s(x) adalah bilangan atau ekspresi bilangan bulat apa pun, dan tanda pertidaksamaan mungkin berbeda. Untuk menyelesaikan tugas ini, kita perlu mengubahnya dan mendapatkan kesetaraan yang setara.
Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri. Kami mendapatkan yang berikut:
dalam bentuk r (x) s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Kami tahu itu r(x) s(x) akan menjadi nilai integer, dan ekspresi integer apa pun dapat dikonversi menjadi polinomial. Mari bertransformasi r(x) s(x) dalam h(x) . Ekspresi ini akan menjadi polinomial identik sama. Mengingat r (x) s (x) dan h (x) memiliki rentang kemungkinan nilai x yang sama, kita dapat meneruskan ke pertidaksamaan h (x)< 0 (≤ , >, ) , yang akan setara dengan yang asli.
Seringkali transformasi sederhana seperti itu akan cukup untuk menyelesaikan pertidaksamaan, karena hasilnya bisa berupa pertidaksamaan linier atau kuadrat, yang nilainya tidak sulit untuk dihitung. Mari kita lihat masalah ini.
Contoh 1
Kondisi: menyelesaikan pertidaksamaan rasional bilangan bulat x (x + 3) + 2 x (x + 1) 2 + 1.
Keputusan
Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan.
x (x + 3) + 2 x (x + 1) 2 1 0
Sekarang kita telah menyelesaikan semua operasi dengan polinomial di sebelah kiri, kita dapat beralih ke pertidaksamaan linier 3 x 2 0, setara dengan apa yang diberikan dalam kondisi. Menyelesaikannya mudah:
3 x 2 x 2 3
Menjawab: x 2 3 .
Contoh 2
Kondisi: temukan solusi pertidaksamaan (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).
Keputusan
Kami mentransfer ekspresi dari sisi kiri ke sisi kanan dan melakukan transformasi lebih lanjut menggunakan rumus perkalian yang disingkat.
(x 2 + 1) 2 3 x 2 (x 2 x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 3 x 2 x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Sebagai hasil dari transformasi kami, kami mendapatkan pertidaksamaan yang akan berlaku untuk semua nilai x, oleh karena itu, bilangan real apa pun dapat menjadi solusi dari pertidaksamaan asli.
Menjawab: sembarang bilangan asli.
Contoh 3
Kondisi: menyelesaikan pertidaksamaan x + 6 + 2 x 3 2 x (x 2 + x 5) > 0.
Keputusan
Kami tidak akan mentransfer apa pun dari sisi kanan, karena ada 0 . Mari kita mulai dengan mengubah ruas kiri menjadi polinomial:
x + 6 + 2 x 3 2 x 3 2 x 2 + 10 x > 0 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Kami telah menurunkan ketidaksetaraan kuadrat yang setara dengan yang asli, yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan beberapa metode. Mari kita gunakan metode grafis.
Mari kita mulai dengan menghitung akar-akar trinomial kuadrat 2 x 2 + 11 x + 6:
D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x 2 \ u003d 6
Sekarang pada diagram kami menandai semua nol yang diperlukan. Karena koefisien awal kurang dari nol, cabang-cabang parabola pada grafik akan melihat ke bawah.
Kita akan membutuhkan area parabola yang terletak di atas sumbu x, karena kita memiliki tanda > dalam pertidaksamaan. Interval yang diinginkan adalah (− 0 , 5 , 6) , oleh karena itu, kisaran nilai ini akan menjadi solusi yang kita butuhkan.
Menjawab: (− 0 , 5 , 6) .
Ada juga kasus yang lebih rumit ketika polinomial derajat ketiga atau lebih tinggi diperoleh di sebelah kiri. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan seperti itu, disarankan untuk menggunakan metode interval. Pertama kita hitung semua akar polinomial h(x), yang paling sering dilakukan dengan memfaktorkan polinomial.
Contoh 4
Kondisi: menghitung (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .
Keputusan
Mari kita mulai, seperti biasa, dengan memindahkan ekspresi ke sisi kiri, setelah itu perlu membuka tanda kurung dan mengurangi istilah serupa.
(x 2 + 2) (x + 4) 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Sebagai hasil dari transformasi, kami mendapatkan kesetaraan yang setara dengan yang asli, di sebelah kiri ada polinomial tingkat ketiga. Kami menerapkan metode interval untuk menyelesaikannya.
Pertama, kita menghitung akar polinomial, yang untuknya kita perlu menyelesaikan persamaan kubik x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Apakah itu memiliki akar rasional? Mereka hanya dapat berada di antara pembagi istilah bebas, mis. di antara bilangan ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Kami menggantinya secara bergantian ke persamaan asli dan menemukan bahwa angka 1, 2 dan 3 akan menjadi akarnya.
Jadi polinomialnya x 3 + 4 x 2 + 11 x 6 dapat digambarkan sebagai produk (x 1) (x 2) (x 3), dan pertidaksamaan x 3 + 4 x 2 + 11 x 6< 0 dapat disajikan sebagai (x 1) (x 2) (x 3)< 0 . Dengan pertidaksamaan semacam ini, maka akan lebih mudah bagi kita untuk menentukan tanda-tanda pada interval.
Selanjutnya, kami melakukan langkah-langkah tersisa dari metode interval: menggambar garis bilangan dan titik di atasnya dengan koordinat 1 , 2 , 3 . Mereka membagi garis lurus menjadi 4 interval di mana perlu untuk menentukan tanda-tanda. Kami menaungi celah dengan minus, karena ketidaksetaraan asli memiliki tanda < .
Kita hanya perlu menuliskan jawaban siap: (− , 1) (2 , 3) .
Menjawab: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Dalam beberapa kasus, lakukan transisi dari pertidaksamaan r (x) s (x)< 0 (≤ , >, ) ke h (x)< 0 (≤ , >, ) , dimana h(x)– polinomial lebih tinggi dari 2 tidak tepat. Ini meluas ke kasus-kasus di mana lebih mudah untuk menyatakan r(x) s(x) sebagai produk binomial linier dan trinomial persegi daripada memfaktorkan h(x) menjadi faktor-faktor terpisah. Mari kita lihat masalah ini.
Contoh 5
Kondisi: temukan solusi pertidaksamaan (x 2 2 x 1) (x 2 19) 2 x (x 2 2 x 1).
Keputusan
Pertidaksamaan ini berlaku untuk bilangan bulat. Jika kita memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri, buka tanda kurung dan lakukan pengurangan suku, kita dapatkan x 4 4 x 3 16 x 2 + 40 x + 19 0 .
Memecahkan pertidaksamaan seperti itu tidak mudah, karena Anda harus mencari akar polinomial derajat empat. Itu tidak memiliki akar rasional (misalnya, 1 , 1 , 19 atau − 19 tidak cocok), dan sulit untuk mencari akar lainnya. Jadi kita tidak bisa menggunakan cara ini.
Tetapi ada juga solusi lain. Jika kita memindahkan ekspresi dari ruas kanan pertidaksamaan asal ke ruas kiri, maka kita dapat melakukan pengurungan faktor persekutuan x 2 2 x 1:
(x 2 2 x 1) (x 2 19) 2 x (x 2 2 x 1) 0 (x 2 2 x 1) (x 2 2 · x 19) 0 .
Kami telah memperoleh ketidaksetaraan yang setara dengan yang asli, dan solusinya akan memberi kami jawaban yang diinginkan. Temukan nol dari ekspresi di sisi kiri, yang untuknya kita selesaikan persamaan kuadratnya x 2 2 x 1 = 0 dan x 2 2 x 19 = 0. Akarnya adalah 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Kami beralih ke persamaan x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 0 , yang dapat diselesaikan dengan metode interval:
Menurut gambar, jawabannya adalah - , 1 - 2 5 1 - 2 5 , 1 + 2 1 + 2 5 , + .
Menjawab: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Kami menambahkan bahwa terkadang tidak mungkin menemukan semua akar polinomial h(x), oleh karena itu, kita tidak dapat menyatakannya sebagai produk dari binomial linier dan trinomial persegi. Selesaikan pertidaksamaan berbentuk h(x)< 0 (≤ , >, ) kita tidak bisa, oleh karena itu, juga tidak mungkin untuk menyelesaikan ketidaksetaraan rasional asli.
Misalkan kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan rasional fraksional dalam bentuk r (x)< s (x) (≤ , >, ) , di mana r (x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, x adalah variabel. Setidaknya satu dari ekspresi yang ditentukan akan berupa pecahan. Algoritma solusi dalam kasus ini adalah sebagai berikut:
- Kami menentukan kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x .
- Kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ketidaksetaraan ke kiri, dan ekspresi yang dihasilkan r(x) s(x) direpresentasikan sebagai pecahan. Sementara itu dimana p(x) dan q(x) akan menjadi ekspresi bilangan bulat yang merupakan produk dari binomial linier, trinomial persegi yang tidak dapat diurai, serta pangkat dengan eksponen alami.
- Selanjutnya, kami memecahkan ketidaksetaraan yang dihasilkan dengan metode interval.
- Langkah terakhir adalah mengecualikan poin yang diperoleh selama solusi dari kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x yang kita definisikan di awal.
Ini adalah algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional fraksional. Sebagian besar jelas, penjelasan kecil diperlukan hanya untuk paragraf 2. Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri dan mendapatkan r (x) s (x)< 0 (≤ , >, ) , lalu bagaimana membawanya ke bentuk p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Pertama, kita menentukan apakah transformasi yang diberikan selalu dapat dilakukan. Secara teoritis, selalu ada kemungkinan seperti itu, karena ekspresi rasional apa pun dapat diubah menjadi pecahan rasional. Di sini kita memiliki pecahan dengan polinomial di pembilang dan penyebut. Ingat teorema dasar aljabar dan teorema Bezout dan tentukan bahwa setiap polinomial derajat ke-n yang mengandung satu variabel dapat diubah menjadi produk binomial linier. Oleh karena itu, secara teori, kita selalu dapat mengubah ekspresi dengan cara ini.
Dalam praktiknya, memfaktorkan polinomial seringkali merupakan tugas yang cukup sulit, terutama jika derajatnya lebih tinggi dari 4. Jika kita tidak dapat melakukan pemuaian, maka kita tidak akan dapat menyelesaikan ketidaksetaraan ini, tetapi masalah seperti itu biasanya tidak dipelajari dalam kerangka kursus sekolah.
Selanjutnya, kita perlu memutuskan apakah pertidaksamaan yang dihasilkan p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ) ekivalen terhadap r (x) s (x)< 0 (≤ , >, ) dan ke yang asli. Ada kemungkinan bahwa itu bisa berubah menjadi tidak setara.
Kesetaraan ketidaksetaraan akan dipastikan ketika kisaran nilai yang dapat diterima p(x)q(x) cocok dengan rentang ekspresi r(x) s(x). Kemudian paragraf terakhir dari instruksi untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional fraksional tidak perlu diikuti.
Tapi kisaran untuk p(x)q(x) mungkin lebih lebar dari r(x) s(x), misalnya, dengan mengurangi pecahan. Contohnya adalah dari x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 ke x x - 1 x + 3 . Atau ini bisa terjadi ketika menambahkan istilah serupa, misalnya, di sini:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 hingga 1 x + 3
Untuk kasus seperti itu, langkah terakhir dari algoritma ditambahkan. Dengan menjalankannya, Anda akan menyingkirkan nilai-nilai asing dari variabel yang muncul karena perluasan rentang nilai yang valid. Mari kita ambil beberapa contoh untuk memperjelas apa yang kita bicarakan.
Contoh 6
Kondisi: temukan solusi dari persamaan rasional x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 - 3 x x - 3 2 x + 1 .
Keputusan
Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang ditunjukkan di atas. Pertama, kami menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Dalam hal ini ditentukan oleh sistem pertidaksamaan x + 1 x - 3 0 x - 3 2 0 x - 3 2 (x + 1) 0 , penyelesaiannya adalah himpunan (− ∞ , 1) (− 1 , 3) (3 , + ) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) 0
Setelah itu, kita perlu mengubahnya agar nyaman untuk menerapkan metode interval. Pertama-tama, kita kurangi pecahan aljabar menjadi penyebut persekutuan terkecil (x 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Kami menciutkan ekspresi dalam pembilang dengan menerapkan rumus kuadrat dari jumlah:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Rentang nilai valid dari ekspresi yang dihasilkan adalah (− , 1) (− 1 , 3) (3 , + ) . Kami melihat bahwa itu mirip dengan yang didefinisikan untuk kesetaraan asli. Kami menyimpulkan bahwa pertidaksamaan x + 2 2 x - 3 2 x + 1 0 setara dengan pertidaksamaan asli, yang berarti bahwa kita tidak memerlukan langkah terakhir dari algoritma.
Kami menggunakan metode interval:
Kami melihat solusi ( 2 ) (− 1 , 3) ∪ (3 , + ) , yang akan menjadi solusi dari pertidaksamaan rasional asli x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Menjawab: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Contoh 7
Kondisi: hitung penyelesaiannya x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Keputusan
Kami menentukan area nilai yang dapat diterima. Dalam kasus pertidaksamaan ini, itu akan sama dengan semua bilangan real kecuali 2 , 1 , 0 dan 1 .
Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Mengingat hasilnya, kami menulis:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Untuk ekspresi - 1 x - 1, rentang nilai yang valid akan menjadi himpunan semua bilangan real kecuali satu. Kami melihat bahwa rentang nilai telah diperluas: 2 , 1 dan 0 . Jadi, kita perlu melakukan langkah terakhir dari algoritma.
Karena kita telah sampai pada pertidaksamaan - 1 x - 1 > 0 , kita dapat menulis ekivalennya 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Kami mengecualikan poin yang tidak termasuk dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari kesetaraan asli. Kita perlu mengecualikan dari (− , 1) angka 2 , 1 dan 0 . Jadi, solusi dari pertidaksamaan rasional x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 akan menjadi nilai (− ∞ , 2 ) (− 2 , 1) (− 1 , 0) (0 , 1) .
Menjawab: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Sebagai kesimpulan, kami memberikan satu lagi contoh masalah di mana jawaban akhir tergantung pada kisaran nilai yang dapat diterima.
Contoh 8
Kondisi: temukan solusi dari pertidaksamaan 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0 .
Keputusan
Luas dari nilai-nilai yang dapat diterima dari pertidaksamaan yang ditentukan dalam kondisi ditentukan oleh sistem x 2 0 x 2 - x + 1 0 x - 1 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0.
Sistem ini tidak memiliki solusi karena
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Ini berarti bahwa persamaan asli 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0 tidak memiliki solusi, karena tidak ada nilai variabel yang akan masuk akal.
Menjawab: tidak ada solusi.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Dalam artikel kami akan mempertimbangkan solusi pertidaksamaan. Mari kita bicara terus terang tentang bagaimana membangun solusi untuk ketidaksetaraan dengan contoh yang jelas!
Sebelum mempertimbangkan solusi pertidaksamaan dengan contoh, mari kita berurusan dengan konsep dasar.
Pengantar ketidaksetaraan
ketidaksamaan disebut ekspresi di mana fungsi dihubungkan oleh tanda relasi >, . Pertidaksamaan dapat berupa numerik dan alfabet.
Pertidaksamaan dengan dua tanda relasi disebut ganda, dengan tiga - tiga, dll. Sebagai contoh:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Pertidaksamaan yang mengandung tanda > atau atau tidak tegas.
Solusi ketidaksetaraan adalah setiap nilai dari variabel yang pertidaksamaan ini benar.
"Selesaikan pertidaksamaan" berarti Anda perlu menemukan himpunan semua solusinya. Ada berbagai metode untuk memecahkan ketidaksetaraan. Untuk solusi pertidaksamaan menggunakan garis bilangan tak berhingga. Sebagai contoh, menyelesaikan pertidaksamaan x > 3 adalah interval dari 3 sampai +, dan angka 3 tidak termasuk dalam interval ini, sehingga titik pada garis dilambangkan dengan lingkaran kosong, karena ketimpangannya ketat. 
+
Jawabannya adalah: x (3; +).
Nilai x=3 tidak termasuk dalam himpunan solusi, jadi kurungnya bulat. Tanda tak terhingga selalu diapit oleh tanda kurung. Tanda itu berarti "milik".
Pertimbangkan bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan contoh lain dengan tanda:
x2
-
+
Nilai x=2 termasuk dalam himpunan solusi, sehingga tanda kurung siku dan titik pada garis dilambangkan dengan lingkaran penuh.
Jawabannya adalah: x)
