Beberapa contoh aljabar dari satu jenis mampu menakutkan anak sekolah. Ekspresi panjang tidak hanya menakutkan, tetapi juga sangat sulit untuk dihitung. Mencoba untuk segera memahami apa yang mengikuti dan apa yang mengikuti, agar tidak bingung berlama-lama. Karena alasan inilah matematikawan selalu berusaha menyederhanakan tugas "mengerikan" sebanyak mungkin dan baru kemudian melanjutkan untuk menyelesaikannya. Anehnya, trik seperti itu sangat mempercepat prosesnya.

Penyederhanaan adalah salah satu poin fundamental dalam aljabar. Jika dalam tugas-tugas sederhana masih mungkin dilakukan tanpanya, maka contoh yang lebih sulit untuk dihitung mungkin "terlalu sulit". Di sinilah keterampilan ini berguna! Selain itu, pengetahuan matematika yang kompleks tidak diperlukan: cukup dengan mengingat dan mempelajari cara mempraktikkan beberapa teknik dan rumus dasar.

Terlepas dari kerumitan perhitungan, saat menyelesaikan ekspresi apa pun, itu penting ikuti urutan operasi dengan angka:

1. tanda kurung;
2. eksponensial;
3. perkalian;
4. divisi;
5. tambahan;
6. pengurangan.

Dua poin terakhir dapat ditukar dengan aman dan ini tidak akan memengaruhi hasil dengan cara apa pun. Tetapi menambahkan dua angka tetangga, ketika di sebelah salah satunya ada tanda perkalian, sama sekali tidak mungkin! Jawabannya, jika ada, salah. Karena itu, Anda perlu mengingat urutannya.

Penggunaan seperti itu

Unsur-unsur tersebut termasuk angka-angka dengan variabel dari urutan yang sama atau derajat yang sama. Ada juga yang disebut anggota bebas yang tidak memiliki di samping mereka penunjukan surat yang tidak diketahui.

Intinya adalah bahwa dengan tidak adanya tanda kurung Anda dapat menyederhanakan ekspresi dengan menambahkan atau mengurangi suka.

Beberapa contoh ilustrasi:

• 8x 2 dan 3x 2 - kedua bilangan tersebut memiliki variabel orde kedua yang sama, sehingga mirip dan jika dijumlahkan disederhanakan menjadi (8+3)x 2 =11x 2, sedangkan saat dikurangkan menjadi (8-3)x 2 =5x2;
• 4x 3 dan 6x - dan di sini "x" memiliki derajat yang berbeda;
• 2y 7 dan 33x 7 - mengandung variabel yang berbeda, oleh karena itu, seperti dalam kasus sebelumnya, mereka tidak termasuk dalam variabel yang serupa.

Memfaktorkan Suatu Angka

Trik matematika kecil ini, jika Anda mempelajari cara menggunakannya dengan benar, akan membantu Anda mengatasi masalah rumit lebih dari sekali di masa depan. Dan mudah untuk memahami cara kerja "sistem": dekomposisi adalah produk dari beberapa elemen, yang perhitungannya memberikan nilai aslinya. Jadi, 20 dapat direpresentasikan sebagai 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, atau cara lain.

Pada catatan: pengganda selalu sama dengan pembagi. Jadi, Anda perlu mencari "pasangan" yang berfungsi untuk ekspansi di antara angka-angka yang dengannya yang asli dapat dibagi tanpa sisa.

Anda dapat melakukan operasi seperti itu baik dengan anggota bebas maupun dengan angka yang dilampirkan ke variabel. Hal utama adalah tidak kehilangan yang terakhir selama perhitungan - genap setelah dekomposisi, yang tidak diketahui tidak dapat mengambil dan "pergi ke mana-mana." Itu tetap di salah satu faktor:

• 15x=3(5x);
• 60 tahun 2 \u003d (15 tahun 2) 4.

Bilangan prima yang hanya bisa dibagi sendiri atau 1 tidak pernah difaktorkan - tidak masuk akal..

Metode Penyederhanaan Dasar

Hal pertama yang menarik perhatian:

• kehadiran tanda kurung;
• pecahan;
• akar.

Contoh aljabar dalam kurikulum sekolah sering disusun dengan asumsi bahwa mereka dapat disederhanakan dengan indah.

Perhitungan braket

Perhatikan baik-baik tanda di depan tanda kurung! Perkalian atau pembagian diterapkan pada setiap elemen di dalamnya, dan minus - mengubah tanda yang ada "+" atau "-" menjadi kebalikannya.

Tanda kurung dihitung sesuai dengan aturan atau sesuai dengan rumus perkalian yang disingkat, setelah itu diberikan yang serupa.

Pengurangan pecahan

Kurangi pecahan juga mudah. Mereka sendiri "rela melarikan diri" sesekali, ada baiknya melakukan operasi dengan membawa anggota seperti itu. Tetapi Anda dapat menyederhanakan contoh bahkan sebelum ini: perhatikan pembilang dan penyebutnya. Mereka sering mengandung elemen eksplisit atau tersembunyi yang dapat saling direduksi. Benar, jika dalam kasus pertama Anda hanya perlu menghapus yang berlebihan, dalam kasus kedua Anda harus berpikir, membawa bagian dari ekspresi ke bentuk untuk penyederhanaan. Metode yang digunakan:

• mencari dan mengkurung pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut;
• membagi setiap elemen teratas dengan penyebutnya.

Ketika sebuah ekspresi atau bagian darinya berada di bawah root, masalah penyederhanaan utama hampir sama dengan kasus pecahan. Penting untuk mencari cara untuk sepenuhnya menghilangkannya atau, jika ini tidak memungkinkan, untuk meminimalkan tanda yang mengganggu perhitungan. Misalnya, untuk (3) atau (7) yang tidak mencolok.

Cara pasti untuk menyederhanakan ekspresi radikal adalah dengan mencoba memfaktorkannya, beberapa di antaranya berada di luar tanda. Contoh ilustrasi: (90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Trik dan nuansa kecil lainnya:

• operasi penyederhanaan ini dapat dilakukan dengan pecahan, mengeluarkannya dari tanda baik secara keseluruhan maupun secara terpisah sebagai pembilang atau penyebut;
• tidak mungkin untuk menguraikan dan mengambil bagian dari jumlah atau perbedaan di luar akar;
• ketika bekerja dengan variabel, pastikan untuk memperhitungkan derajatnya, itu harus sama dengan atau kelipatan dari akar untuk kemungkinan rendering: (x 2 y)=x√(y), (x 3)= (x 2 ×x)=x√( x);
• kadang-kadang diperbolehkan untuk menghilangkan variabel radikal dengan menaikkannya ke pangkat pecahan: (y 3)=y 3/2.

Penyederhanaan Ekspresi Kekuatan

Jika dalam kasus perhitungan sederhana dengan minus atau plus, contoh disederhanakan dengan membawa yang serupa, lalu bagaimana dengan mengalikan atau membagi variabel dengan kekuatan yang berbeda? Mereka dapat dengan mudah disederhanakan dengan mengingat dua poin utama:

1. Jika ada tanda perkalian antara variabel, eksponen ditambahkan.
2. Ketika mereka dibagi satu sama lain, penyebut yang sama dikurangkan dari derajat pembilangnya.

Satu-satunya syarat untuk penyederhanaan seperti itu adalah bahwa kedua istilah memiliki dasar yang sama. Contoh untuk kejelasan:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Kami mencatat bahwa operasi dengan nilai numerik di depan variabel terjadi sesuai dengan aturan matematika biasa. Dan jika Anda melihat lebih dekat, menjadi jelas bahwa elemen kekuatan dari ekspresi "bekerja" dengan cara yang sama:

• menaikkan anggota ke kekuatan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri beberapa kali, yaitu x 2 \u003d x × x;
• pembagian serupa: jika Anda memperluas derajat pembilang dan penyebut, maka beberapa variabel akan berkurang, sedangkan sisanya "dikumpulkan", yang setara dengan pengurangan.

Seperti dalam bisnis apa pun, ketika menyederhanakan ekspresi aljabar, tidak hanya pengetahuan dasar yang diperlukan, tetapi juga latihan. Setelah hanya beberapa pelajaran, contoh-contoh yang tadinya tampak rumit akan dikurangi tanpa banyak kesulitan, berubah menjadi yang singkat dan mudah dipecahkan.

Video

Video ini akan membantu Anda memahami dan mengingat bagaimana ekspresi disederhanakan.

Tidak mendapatkan jawaban atas pertanyaan Anda? Sarankan topik kepada penulis.

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, ini terlihat seperti perlambatan waktu hingga benar-benar berhenti pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berlari dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda) . Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.

Rabu, 4 Juli 2018

Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kami.

Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kita untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...

Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana batas di luar elemen multiset mana yang berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita dapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya pada kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari bilangan apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, katakanlah kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tulis nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.

Jumlah angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari nomor yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda akan mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda saat menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter.

Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana hal itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil dari tindakan matematis tidak bergantung pada nilai angka, unit pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Betina... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah jantan.

Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (susunan beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

Tingkat pertama

konversi ekspresi. Teori Detil (2019)

konversi ekspresi

Seringkali kita mendengar ungkapan yang tidak menyenangkan ini: "sederhanakan ekspresi". Biasanya, dalam hal ini, kami memiliki beberapa jenis monster seperti ini:

"Ya, jauh lebih mudah," kata kami, tetapi jawaban seperti itu biasanya tidak berhasil.

Sekarang saya akan mengajari Anda untuk tidak takut dengan tugas seperti itu. Selain itu, di akhir pelajaran, Anda sendiri akan menyederhanakan contoh ini menjadi angka biasa (hanya!) (ya, persetan dengan huruf-huruf ini).

Tetapi sebelum Anda memulai pelajaran ini, Anda harus mampu menangani pecahan dan polinomial faktor. Karena itu, pertama-tama, jika Anda belum pernah melakukan ini sebelumnya, pastikan untuk menguasai topik "" dan "".

Membaca? Jika ya, maka Anda siap.

Operasi penyederhanaan dasar

Sekarang kita akan menganalisis teknik utama yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi.

Yang paling sederhana adalah

1. Membawa yang serupa

Apa yang mirip? Anda mengalami ini di kelas 7, ketika huruf pertama kali muncul dalam matematika, bukan angka. Serupa adalah istilah (monomial) dengan bagian huruf yang sama. Misalnya, dalam penjumlahan, suku-suku sejenis adalah dan.

Ingat?

Membawa istilah yang sama berarti menambahkan beberapa istilah yang mirip satu sama lain dan mendapatkan satu istilah.

Tapi bagaimana kita bisa menyatukan huruf? - Anda bertanya.

Ini sangat mudah dipahami jika Anda membayangkan bahwa huruf-huruf itu adalah semacam benda. Misalnya, surat itu adalah kursi. Lalu apa ekspresinya? Dua kursi ditambah tiga kursi, berapa harganya? Betul, kursi: .

Sekarang coba ekspresi ini:

Agar tidak bingung, biarkan huruf yang berbeda menunjukkan objek yang berbeda. Misalnya, - ini (seperti biasa) kursi, dan - ini meja. Kemudian:

kursi meja kursi meja kursi kursi meja

Angka-angka dengan mana huruf-huruf dalam istilah tersebut dikalikan disebut koefisien. Misalnya, dalam monomial koefisiennya sama. Dan dia setara.

Jadi, aturan untuk membawa yang serupa:

Contoh:

Bawa yang serupa:

Jawaban:

2. (dan serupa, karena, oleh karena itu, istilah-istilah ini memiliki bagian huruf yang sama).

2. Faktorisasi

Ini biasanya merupakan bagian terpenting dalam menyederhanakan ekspresi. Setelah Anda memberikan yang serupa, paling sering ekspresi yang dihasilkan harus difaktorkan, yaitu, disajikan sebagai produk. Ini sangat penting dalam pecahan: lagi pula, untuk mengurangi pecahan, pembilang dan penyebutnya harus direpresentasikan sebagai produk.

Anda telah melalui metode terperinci untuk memfaktorkan ekspresi dalam topik "", jadi di sini Anda hanya perlu mengingat apa yang telah Anda pelajari. Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh(untuk difaktorkan):

Solusi:

3. Pengurangan pecahan.

Nah, apa yang bisa lebih baik daripada mencoret bagian dari pembilang dan penyebut, dan membuangnya dari hidup Anda?

Itulah indahnya singkatan.

Itu mudah:

Jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama, mereka dapat direduksi, yaitu dikeluarkan dari pecahan.

Aturan ini mengikuti dari sifat dasar pecahan:

Artinya, inti dari operasi reduksi adalah bahwa Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka yang sama (atau dengan ekspresi yang sama).

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu:

1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali

2) jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor umum, mereka dapat dihapus.

Prinsipnya, saya pikir, sudah jelas?

Saya ingin menarik perhatian Anda pada satu kesalahan tipikal dalam singkatan. Meskipun topik ini sederhana, tetapi banyak orang melakukan kesalahan, tidak menyadarinya memotong- itu berarti membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Tidak ada singkatan jika pembilang atau penyebutnya adalah jumlah.

Misalnya: Anda perlu menyederhanakan.

Beberapa melakukan ini: yang benar-benar salah.

Contoh lain: mengurangi.

"Yang paling pintar" akan melakukan ini:.

Katakan apa yang salah di sini? Tampaknya: - ini adalah pengganda, sehingga Anda dapat mengurangi.

Tapi tidak: - ini adalah faktor dari hanya satu suku dalam pembilang, tetapi pembilang itu sendiri secara keseluruhan tidak didekomposisi menjadi faktor.

Ini contoh lain: .

Ekspresi ini diuraikan menjadi faktor-faktor, yang berarti Anda dapat mengurangi, yaitu membagi pembilang dan penyebut dengan, lalu dengan:

Anda dapat langsung membagi dengan:

Untuk menghindari kesalahan seperti itu, ingatlah cara mudah untuk menentukan apakah suatu ekspresi difaktorkan:

Operasi aritmatika yang dilakukan terakhir saat menghitung nilai ekspresi adalah "utama". Artinya, jika Anda mengganti beberapa (apa saja) angka alih-alih huruf, dan mencoba menghitung nilai ekspresi, maka jika tindakan terakhir adalah perkalian, maka kami memiliki produk (ekspresi didekomposisi menjadi faktor). Jika tindakan terakhir adalah penambahan atau pengurangan, ini berarti bahwa ekspresi tidak difaktorkan (dan karena itu tidak dapat direduksi).

Untuk memperbaikinya, selesaikan sendiri beberapa contoh:

Jawaban:

1. Saya harap Anda tidak segera buru-buru memotong dan? Itu masih belum cukup untuk "mengurangi" unit seperti ini:

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memfaktorkan:

4. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa adalah operasi yang terkenal: kami mencari penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambah / mengurangi pembilangnya. Mari kita ingat:

Jawaban:

1. Penyebut dan koprima, yaitu tidak memiliki faktor persekutuan. Oleh karena itu, KPK dari angka-angka ini sama dengan produk mereka. Ini akan menjadi penyebut umum:

2. Di sini penyebutnya adalah:

3. Di sini, pertama-tama, kami mengubah pecahan campuran menjadi pecahan yang tidak tepat, dan kemudian - sesuai dengan skema yang biasa:

Lain halnya jika pecahan mengandung huruf, misalnya:

Mari kita mulai dengan sederhana:

a) Penyebut tidak mengandung huruf

Di sini semuanya sama dengan pecahan numerik biasa: kami menemukan penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambahkan / mengurangi pembilangnya:

sekarang di pembilang Anda dapat membawa yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cobalah sendiri:

b) Penyebutnya mengandung huruf

Mari kita ingat prinsip menemukan penyebut yang sama tanpa huruf:

Pertama-tama, kita tentukan faktor persekutuannya;

Kemudian kami menulis semua faktor umum satu kali;

dan kalikan dengan semua faktor lain, bukan faktor umum.

Untuk menentukan faktor persekutuan penyebut, pertama-tama kita uraikan menjadi faktor-faktor sederhana:

Kami menekankan faktor umum:

Sekarang kami menulis faktor umum satu kali dan menambahkan semua faktor non-umum (tidak digarisbawahi):

Ini adalah penyebut umum.

Mari kita kembali ke surat-surat. Penyebut diberikan dengan cara yang persis sama:

Kami menguraikan penyebut menjadi faktor;

menentukan pengganda umum (identik);

tuliskan semua faktor persekutuan satu kali;

Kami mengalikannya dengan semua faktor lain, bukan yang umum.

Jadi, secara berurutan:

1) uraikan penyebutnya menjadi faktor-faktor:

2) menentukan faktor-faktor umum (identik):

3) tuliskan semua faktor persekutuan satu kali dan kalikan dengan semua faktor lainnya (tidak digarisbawahi):

Jadi penyebut umum ada di sini. Pecahan pertama harus dikalikan dengan, yang kedua - dengan:

Omong-omong, ada satu trik:

Sebagai contoh: .

Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semua dengan indikator yang berbeda. Penyebut yang sama akan menjadi:

sejauh

sejauh

sejauh

dalam derajat.

Mari kita memperumit tugas:

Bagaimana cara membuat pecahan memiliki penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat dasar pecahan:

Tidak ada tempat yang mengatakan bahwa bilangan yang sama dapat dikurangkan (atau dijumlahkan) dari pembilang dan penyebut suatu pecahan. Karena itu tidak benar!

Lihat sendiri: ambil pecahan apa saja, misalnya, dan tambahkan beberapa angka ke pembilang dan penyebut, misalnya, . Apa yang telah dipelajari?

Jadi, aturan lain yang tak tergoyahkan:

Ketika Anda membawa pecahan ke penyebut yang sama, gunakan hanya operasi perkalian!

Tapi apa yang perlu Anda perbanyak untuk mendapatkan?

Di sini dan berkembang biak. Dan kalikan dengan:

Ekspresi yang tidak dapat difaktorkan akan disebut "faktor elementer". Misalnya, adalah faktor dasar. - juga. Tapi - tidak: itu didekomposisi menjadi faktor-faktor.

Bagaimana dengan ekspresi? Apakah itu dasar?

Tidak, karena dapat difaktorkan:

(Anda sudah membaca tentang faktorisasi di topik "").

Jadi, faktor dasar di mana Anda menguraikan ekspresi dengan huruf adalah analog dari faktor sederhana yang menjadi tempat Anda menguraikan angka. Dan kami akan melakukan hal yang sama dengan mereka.

Kita melihat bahwa kedua penyebut memiliki faktor. Ini akan menjadi penyebut yang sama dalam kekuasaan (ingat mengapa?).

Penggandanya bersifat elementer, dan mereka tidak memiliki kesamaan, yang berarti bahwa pecahan pertama harus dikalikan dengannya:

Contoh lain:

Keputusan:

Sebelum mengalikan penyebut ini dengan panik, Anda perlu memikirkan cara memfaktorkannya? Keduanya mewakili:

Bagus! Kemudian:

Contoh lain:

Keputusan:

Seperti biasa, kita memfaktorkan penyebutnya. Pada penyebut pertama, kita cukup mengeluarkannya dari tanda kurung; di kedua - perbedaan kotak:

Tampaknya tidak ada faktor umum. Tetapi jika Anda melihat lebih dekat, mereka sudah sangat mirip ... Dan kenyataannya adalah:

Jadi mari kita menulis:

Artinya, ternyata seperti ini: di dalam kurung, kami menukar istilah, dan pada saat yang sama, tanda di depan pecahan berubah menjadi kebalikannya. Perhatikan, Anda harus sering melakukan ini.

Sekarang kita bawa ke penyebut yang sama:

Mengerti? Sekarang mari kita periksa.

Tugas untuk solusi independen:

Jawaban:

Di sini kita harus mengingat satu hal lagi - perbedaan kubus:

Harap dicatat bahwa penyebut pecahan kedua tidak mengandung rumus "kuadrat jumlah"! Kuadrat jumlah akan terlihat seperti ini:

A adalah apa yang disebut kuadrat tidak lengkap dari jumlah: suku kedua di dalamnya adalah produk dari yang pertama dan terakhir, dan bukan produk ganda mereka. Kuadrat tidak lengkap dari jumlah adalah salah satu faktor dalam perluasan selisih kubus:

Bagaimana jika sudah ada tiga pecahan?

Ya sama! Pertama-tama, kami akan memastikan bahwa jumlah maksimum faktor dalam penyebut adalah sama:

Perhatikan: jika Anda mengubah tanda di dalam satu kurung, tanda di depan pecahan berubah menjadi sebaliknya. Ketika kita mengubah tanda di kurung kedua, tanda di depan pecahan dibalik lagi. Akibatnya, dia (tanda di depan pecahan) tidak berubah.

Kami menulis penyebut pertama secara lengkap dalam penyebut yang sama, dan kemudian kami menambahkan semua faktor yang belum ditulis, dari yang kedua, dan kemudian dari yang ketiga (dan seterusnya, jika ada lebih banyak pecahan). Artinya, berjalan seperti ini:

Hmm... Dengan pecahan, jelas apa yang harus dilakukan. Tapi bagaimana dengan keduanya?

Sederhana saja: Anda tahu cara menjumlahkan pecahan, bukan? Jadi, Anda perlu memastikan bahwa deuce menjadi pecahan! Ingat: pecahan adalah operasi pembagian (pembilang dibagi dengan penyebut, jika Anda tiba-tiba lupa). Dan tidak ada yang lebih mudah daripada membagi angka dengan. Dalam hal ini, angka itu sendiri tidak akan berubah, tetapi akan berubah menjadi pecahan:

Persis apa yang dibutuhkan!

5. Perkalian dan pembagian pecahan.

Nah, bagian tersulit sekarang sudah berakhir. Dan di depan kita adalah yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama yang paling penting:

Prosedur

Bagaimana prosedur untuk menghitung ekspresi numerik? Ingat, dengan mempertimbangkan nilai ekspresi seperti itu:

Apakah Anda menghitung?

Ini harus bekerja.

Jadi, saya mengingatkan Anda.

Langkah pertama adalah menghitung derajat.

Yang kedua adalah perkalian dan pembagian. Jika ada beberapa perkalian dan pembagian sekaligus, Anda dapat melakukannya dalam urutan apa pun.

Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan pengurangan. Sekali lagi, dalam urutan apa pun.

Tapi: ekspresi dalam kurung dievaluasi rusak!

Jika beberapa tanda kurung dikalikan atau dibagi satu sama lain, pertama-tama kita mengevaluasi ekspresi di setiap tanda kurung, lalu mengalikan atau membaginya.

Bagaimana jika ada tanda kurung lain di dalam tanda kurung? Nah, mari kita pikirkan: beberapa ekspresi ditulis di dalam tanda kurung. Apa hal pertama yang harus dilakukan ketika mengevaluasi ekspresi? Itu benar, hitung kurung. Yah, kami menemukan jawabannya: pertama kami menghitung tanda kurung dalam, lalu yang lainnya.

Jadi, urutan tindakan untuk ekspresi di atas adalah sebagai berikut (tindakan saat ini disorot dengan warna merah, yaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):

Oke, semuanya sederhana.

Tapi itu tidak sama dengan ekspresi dengan huruf, bukan?

Tidak, itu sama! Hanya alih-alih operasi aritmatika yang perlu dilakukan operasi aljabar, yaitu operasi yang dijelaskan di bagian sebelumnya: membawa serupa, menjumlahkan pecahan, mengurangi pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbedaan adalah tindakan memfaktorkan polinomial (kita sering menggunakannya saat bekerja dengan pecahan). Paling sering, untuk faktorisasi, Anda perlu menggunakan i atau cukup keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Biasanya tujuan kami adalah untuk mewakili ekspresi sebagai produk atau hasil bagi.

Sebagai contoh:

Mari kita sederhanakan ekspresinya.

1) Pertama kita sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung. Di sana kami memiliki perbedaan pecahan, dan tujuan kami adalah untuk mewakilinya sebagai produk atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan ke penyebut yang sama dan menambahkan:

Tidak mungkin untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih lanjut, semua faktor di sini adalah dasar (apakah Anda masih ingat apa artinya ini?).

2) Kami mendapatkan:

Perkalian pecahan: apa yang bisa lebih mudah.

3) Sekarang Anda dapat mempersingkat:

Itu dia. Tidak ada yang rumit, kan?

Contoh lain:

Sederhanakan ekspresi.

Pertama, coba selesaikan sendiri, dan baru kemudian lihat solusinya.

Pertama-tama, mari kita tentukan prosedurnya. Pertama, mari kita tambahkan pecahan dalam tanda kurung, alih-alih dua pecahan, satu akan menjadi. Kemudian kita akan melakukan pembagian pecahan. Nah, kita tambahkan hasilnya dengan pecahan terakhir. Saya akan memberi nomor skema langkah-langkahnya:

Sekarang saya akan menunjukkan seluruh proses, mewarnai tindakan saat ini dengan warna merah:

Akhirnya, saya akan memberi Anda dua tips berguna:

1. Jika ada yang serupa harus segera dibawa. Pada saat apa pun kita memiliki yang serupa, disarankan untuk segera membawanya.

2. Hal yang sama berlaku untuk pengurangan pecahan: segera setelah ada peluang untuk mengurangi, itu harus digunakan. Pengecualian adalah pecahan yang Anda tambahkan atau kurangi: jika mereka sekarang memiliki penyebut yang sama, maka pengurangannya harus dibiarkan nanti.

Berikut adalah beberapa tugas untuk Anda selesaikan sendiri:

Dan berjanji di awal:

Solusi (singkat):

Jika Anda mengatasi setidaknya tiga contoh pertama, maka Anda, pertimbangkan, telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

KONVERSI EKSPRESI. RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Operasi penyederhanaan dasar:

• Membawa serupa: untuk menambah (mengurangi) suku-suku sejenis, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan menetapkan bagian hurufnya.
• Faktorisasi: mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung, menerapkan, dll.
• Pengurangan pecahan: pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, yang nilai pecahannya tidak berubah.
  1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
  2) jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan, dapat dicoret.

  PENTING: hanya pengganda yang dapat dikurangi!

• Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
  ;
• Perkalian dan pembagian pecahan:
  ;

Seringkali dalam tugas diperlukan untuk memberikan jawaban yang disederhanakan. Meskipun jawaban yang disederhanakan dan tidak disederhanakan benar, instruktur Anda dapat menurunkan nilai Anda jika Anda tidak menyederhanakan jawaban Anda. Selain itu, ekspresi matematika yang disederhanakan jauh lebih mudah untuk dikerjakan. Oleh karena itu, sangat penting untuk mempelajari cara menyederhanakan ekspresi.

Langkah

Urutan operasi matematika yang benar

1. Ingat urutan yang benar dalam melakukan operasi matematika. Saat menyederhanakan ekspresi matematika, ada urutan tertentu yang harus diikuti, karena beberapa operasi matematika lebih diutamakan daripada yang lain dan harus dilakukan terlebih dahulu (pada kenyataannya, tidak mengikuti urutan operasi yang benar akan membawa Anda ke hasil yang salah). Ingat urutan operasi matematika berikut: ekspresi dalam tanda kurung, eksponensial, perkalian, pembagian, penambahan, pengurangan.

   • Perhatikan bahwa mengetahui urutan operasi yang benar akan memungkinkan Anda untuk menyederhanakan sebagian besar ekspresi paling sederhana, tetapi untuk menyederhanakan polinomial (ekspresi dengan variabel), Anda perlu mengetahui trik khusus (lihat bagian berikutnya).

2. Mulailah dengan memecahkan ekspresi dalam tanda kurung. Dalam matematika, tanda kurung menunjukkan bahwa ekspresi terlampir harus dievaluasi terlebih dahulu. Oleh karena itu, saat menyederhanakan ekspresi matematika apa pun, mulailah dengan menyelesaikan ekspresi yang berada di dalam tanda kurung (tidak peduli operasi apa yang perlu Anda lakukan di dalam tanda kurung). Tetapi ingat bahwa ketika bekerja dengan ekspresi yang diapit tanda kurung, Anda harus mengikuti urutan operasi, yaitu, istilah dalam tanda kurung pertama kali dikalikan, dibagi, ditambahkan, dikurangi, dan seterusnya.

   • Sebagai contoh, mari kita sederhanakan ekspresi 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Di sini kita mulai dengan ekspresi dalam tanda kurung: 5 + 2 = 7 dan 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Ekspresi dalam pasangan kurung kedua disederhanakan menjadi 5 karena 4/2 harus dibagi terlebih dahulu (sesuai dengan urutan operasi yang benar). Jika Anda tidak mengikuti urutan ini, maka Anda akan mendapatkan jawaban yang salah: 3 + 4 = 7 dan 7 2 = 7/2.
   • Jika ada pasangan kurung lain di dalam kurung, mulailah penyederhanaan dengan menyelesaikan ekspresi dalam kurung dalam, lalu lanjutkan ke penyelesaian ekspresi dalam kurung luar.

3. Naikkan ke kekuatan. Setelah menyelesaikan ekspresi dalam tanda kurung, lanjutkan ke pangkat (ingat bahwa pangkat memiliki eksponen dan basis). Naikkan ekspresi (atau angka) yang sesuai ke pangkat dan substitusikan hasilnya ke dalam ekspresi yang diberikan kepada Anda.

   • Dalam contoh kita, satu-satunya ekspresi (angka) dalam pangkat adalah 3 2: 3 2 = 9. Dalam ekspresi yang diberikan kepada Anda, ganti 9 alih-alih 3 2 dan Anda akan mendapatkan: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Berkembang biak. Ingat bahwa operasi perkalian dapat dilambangkan dengan simbol berikut: "x", "∙" atau "*". Tetapi jika tidak ada simbol antara angka dan variabel (misalnya, 2x) atau antara angka dan angka dalam tanda kurung (misalnya, 4(7)), maka ini juga merupakan operasi perkalian.

   • Dalam contoh kita, ada dua operasi perkalian: 2x (dua kali x) dan 4(7) (empat kali tujuh). Kita tidak tahu nilai x, jadi kita biarkan ekspresi 2x apa adanya. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Sekarang Anda dapat menulis ulang ekspresi yang diberikan kepada Anda seperti ini: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Membagi. Ingat bahwa operasi pembagian dapat dilambangkan dengan simbol berikut: "/", "÷" atau "-" (Anda dapat melihat simbol terakhir dalam pecahan). Misalnya, 3/4 adalah tiga dibagi empat.

   • Dalam contoh kita, tidak ada pembagian lagi karena Anda sudah membagi 4 dengan 2 (4/2) saat menyelesaikan ekspresi yang dikurung. Karena itu, Anda dapat melanjutkan ke langkah berikutnya. Ingatlah bahwa sebagian besar ekspresi tidak memiliki semua operasi matematika sekaligus (hanya beberapa di antaranya).

6. Melipat. Saat menambahkan istilah ekspresi, Anda bisa mulai dengan istilah terluar (kiri), atau Anda bisa menambahkan istilah yang ditambahkan terlebih dahulu dengan mudah. Misalnya, dalam ekspresi 49 + 29 + 51 +71, pertama-tama lebih mudah untuk menambahkan 49 + 51 = 100, lalu 29 + 71 = 100, dan akhirnya 100 + 100 = 200. Jauh lebih sulit untuk menambahkan seperti ini : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Dalam contoh 2x + 28 + 9 + 5 kami, ada dua operasi penjumlahan. Mari kita mulai dengan suku paling ekstrim (kiri): 2x + 28; Anda tidak dapat menjumlahkan 2x dan 28 karena Anda tidak mengetahui nilai x. Oleh karena itu, tambahkan 28 + 9 = 37. Sekarang ekspresi dapat ditulis ulang sebagai berikut: 2x + 37 - 5.

7. Mengurangi. Ini adalah operasi terakhir di urutan yang benar melakukan operasi matematika. Pada tahap ini, Anda juga dapat menambahkan angka negatif, atau Anda dapat melakukannya pada tahap menambahkan anggota - ini tidak akan mempengaruhi hasil akhir dengan cara apa pun.

   • Dalam contoh kita 2x + 37 - 5, hanya ada satu operasi pengurangan: 37 - 5 = 32.

8. Pada tahap ini, setelah melakukan semua operasi matematika, Anda harus mendapatkan ekspresi yang disederhanakan. Tetapi jika ekspresi yang diberikan kepada Anda berisi satu atau lebih variabel, maka ingatlah bahwa anggota dengan variabel tersebut akan tetap apa adanya. Memecahkan (bukan menyederhanakan) ekspresi dengan variabel melibatkan menemukan nilai variabel itu. Terkadang ekspresi dengan variabel dapat disederhanakan menggunakan metode khusus (lihat bagian selanjutnya).

   • Dalam contoh kita, jawaban akhirnya adalah 2x + 32. Anda tidak dapat menjumlahkan dua suku sampai Anda mengetahui nilai x. Setelah Anda mengetahui nilai variabel, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan binomial ini.

   Menyederhanakan Ekspresi Kompleks

   1. Penambahan anggota serupa. Ingatlah bahwa Anda hanya dapat mengurangkan dan menjumlahkan suku-suku serupa, yaitu suku-suku dengan variabel yang sama dan eksponen yang sama. Misalnya, Anda dapat menambahkan 7x dan 5x, tetapi Anda tidak dapat menambahkan 7x dan 5x 2 (karena eksponennya berbeda di sini).

      • Aturan ini juga berlaku untuk anggota dengan banyak variabel. Misalnya, Anda dapat menambahkan 2xy 2 dan -3xy 2 , tetapi Anda tidak dapat menambahkan 2xy 2 dan -3x 2 y atau 2xy 2 dan -3y 2 .
      • Perhatikan sebuah contoh: x 2 + 3x + 6 - 8x. Di sini suku yang sejenis adalah 3x dan 8x, sehingga dapat dijumlahkan. Ekspresi yang disederhanakan terlihat seperti ini: x 2 - 5x + 6.

   2. Sederhanakan angkanya. Dalam pecahan seperti itu, baik pembilang dan penyebutnya mengandung angka (tanpa variabel). Pecahan numerik disederhanakan dalam beberapa cara. Pertama, bagi saja penyebutnya dengan pembilangnya. Kedua, faktorkan pembilang dan penyebutnya dan batalkan faktor yang sama (karena ketika Anda membagi angka dengan dirinya sendiri, Anda mendapatkan 1). Dengan kata lain, jika pembilang dan penyebut memiliki faktor yang sama, Anda dapat membuangnya dan mendapatkan pecahan yang disederhanakan.

      • Misalnya, perhatikan pecahan 36/60. Menggunakan kalkulator, bagi 36 dengan 60 dan dapatkan 0,6. Tetapi Anda dapat menyederhanakan pecahan ini dengan cara lain dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Sejak 6/6 \u003d 1, maka pecahan yang disederhanakan: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Tetapi pecahan ini juga dapat disederhanakan: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Jika pecahan berisi variabel, Anda dapat mengurangi faktor yang sama dengan variabel. Faktorkan pembilang dan penyebutnya dan batalkan faktor-faktor yang sama bahkan jika mereka mengandung variabel (ingat bahwa di sini faktor yang sama mungkin mengandung variabel atau tidak).

      • Perhatikan sebuah contoh: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ekspresi ini dapat ditulis ulang (difaktorkan) sebagai: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Karena suku 3x ada dalam pembilang dan penyebut, suku tersebut dapat direduksi menjadi persamaan yang disederhanakan: (x + 1)/(5 - x). Perhatikan contoh lain: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Harap dicatat bahwa Anda tidak dapat membatalkan istilah apa pun - hanya faktor yang sama yang ada di pembilang dan penyebut yang dibatalkan. Misalnya, dalam ekspresi (x(x + 2))/x, variabel (pengganda) "x" ada di pembilang dan penyebut, jadi "x" dapat direduksi dan diperoleh ekspresi yang disederhanakan: (x + 2) / 1 = x + 2. Namun, dalam ekspresi (x + 2)/x, variabel "x" tidak dapat direduksi (karena dalam pembilang "x" bukan merupakan faktor).

   4. Buka kurung. Untuk melakukannya, kalikan suku di luar kurung dengan setiap suku di dalam kurung. Terkadang membantu menyederhanakan ekspresi yang kompleks. Ini berlaku untuk anggota yang merupakan bilangan prima dan anggota yang mengandung variabel.

      • Misalnya, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 dan 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Perhatikan bahwa dalam ekspresi pecahan, tanda kurung tidak perlu dibuka jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama. Misalnya, dalam ekspresi (3(x 2 + 8)) / 3x, Anda tidak perlu memperluas tanda kurung, karena di sini Anda dapat mengurangi faktor 3 dan mendapatkan ekspresi yang disederhanakan (x 2 + 8) / x. Ekspresi ini lebih mudah digunakan; jika Anda memperluas tanda kurung, Anda akan mendapatkan ekspresi kompleks berikut: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktorkan polinomialnya. Dengan menggunakan metode ini, Anda dapat menyederhanakan beberapa ekspresi dan polinomial. Pemfaktoran adalah kebalikan dari ekspansi kurung, yaitu, ekspresi ditulis sebagai produk dari dua ekspresi, yang masing-masing diapit dalam tanda kurung. Dalam beberapa kasus, pemfaktoran memungkinkan Anda untuk mempersingkat ekspresi yang sama. Dalam kasus khusus (biasanya dengan persamaan kuadrat), pemfaktoran akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan.

      • Pertimbangkan ekspresi x 2 - 5x + 6. Ini didekomposisi menjadi faktor-faktor: (x - 3) (x - 2). Jadi, jika, misalnya, sebuah ekspresi diberikan (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), maka Anda dapat menulis ulang sebagai (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), kurangi ekspresi (x - 2) dan dapatkan ekspresi yang disederhanakan (x - 3) / 2.
      • Memfaktorkan polinomial digunakan untuk menyelesaikan (mencari akar) persamaan (persamaan adalah polinomial yang disamakan dengan 0). Misalnya, pertimbangkan persamaan x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Memfaktorkannya, Anda mendapatkan (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Karena ekspresi apa pun dikalikan dengan 0 adalah 0, kita dapat menulisnya seperti ini : x - 3 = 0 dan x - 2 = 0. Jadi, x = 3 dan x = 2, yaitu, Anda telah menemukan dua akar persamaan yang diberikan kepada Anda.

Di antara berbagai ekspresi yang dipertimbangkan dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Mononomial juga disebut sebagai polinomial, mengingat monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.

Kami mewakili semua istilah sebagai monomial dari bentuk standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial semacam itu disebut polinomial bentuk standar.

Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) memiliki derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) memiliki derajat kedua.

Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel disusun dalam urutan menurun dari eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, maka mudah untuk merumuskannya aturan pembukaan tanda kurung:

Jika tanda + diletakkan di depan tanda kurung, maka suku-suku yang berada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) dari produk monomial dan polinomial

Menggunakan sifat distributif perkalian, seseorang dapat mengubah (menyederhanakan) produk dari monomial dan polinomial menjadi polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil kali suatu monomial dan suatu polinomial identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku-suku polinomial tersebut.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, seseorang harus mengalikan monomial ini dengan masing-masing suku polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.

Produk dari polinomial. Transformasi (penyederhanaan) dari produk dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial identik sama dengan jumlah produk dari setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku yang lain.

Biasanya menggunakan aturan berikut.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Kuadrat Selisih

Beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar harus ditangani lebih sering daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu, kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan selisih kuadrat. Anda memperhatikan bahwa nama-nama ekspresi yang ditunjukkan tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja, bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, itu berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup kompleks.

Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial dari bentuk standar, pada kenyataannya, Anda telah menemukan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal pendek membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat jumlah sama dengan jumlah kuadrat dan hasil ganda.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya adalah jumlah kuadrat tanpa menggandakan hasil kali.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kiri dengan bagian kanan dan sebaliknya - bagian kanan dengan bagian kiri. Hal yang paling sulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.