1 . Jumlah diagonal-diagonal suatu segiempat cembung lebih besar dari jumlah kedua sisi yang berhadapan.

2 . Jika ruas-ruas tersebut menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan berbentuk persegi

a) sama besar, maka diagonal-diagonal segiempat tersebut tegak lurus;

b) tegak lurus, maka diagonal-diagonal segiempat tersebut sama besar.

3 . Garis bagi sudut-sudut pada sisi lateral trapesium berpotongan di garis tengahnya.

4 . Sisi-sisi jajar genjang sama panjang dan . Maka segi empat yang dibentuk oleh perpotongan garis bagi sudut-sudut jajar genjang tersebut adalah persegi panjang yang diagonal-diagonalnya sama dengan .

5 . Jika jumlah sudut salah satu alas trapesium adalah 90°, maka ruas garis yang menghubungkan titik tengah alas trapesium sama dengan selisih setengahnya.

6 . Di samping AB Dan IKLAN genjang ABCD poin yang diambil M Dan N begitu lurus MS Dan tidak bagilah jajar genjang menjadi tiga bagian yang sama besar. Menemukan M N, Jika BD=d.

7 . Ruas garis lurus yang sejajar alas trapesium, yang berada di dalam trapesium, dibagi diagonal-diagonalnya menjadi tiga bagian. Kemudian ruas-ruas yang berdekatan pada sisi-sisinya sama besar satu sama lain.

8 . Melalui titik potong diagonal trapesium dengan alasnya, ditarik garis lurus yang sejajar alasnya. Ruas garis yang terletak di antara sisi-sisi trapesium sama dengan .

9 . Trapesium dibagi oleh garis lurus yang sejajar alasnya, sama dengan dan , menjadi dua trapesium yang sama besar. Maka ruas garis yang berada di antara sisi-sisinya sama dengan .

10 . Jika salah satu kondisi berikut ini benar, maka keempat poin tersebut A, B, C Dan D berbaring di lingkaran yang sama.

A) CAD=CBD= 90°.

b) poin A Dan DI DALAM berbaring pada salah satu sisi garis lurus CD dan sudut CAD sama dengan sudut CBD.

c) lurus AC Dan BD berpotongan di suatu titik TENTANG Dan HAI OS=OV OD.

11 . Garis lurus yang menghubungkan suatu titik R perpotongan diagonal-diagonal suatu segiempat ABCD dengan dot Q persimpangan garis AB Dan CD, membagi sisinya IKLAN setengah. Kemudian dia membaginya menjadi dua dan ke samping Matahari.

12 . Setiap sisi segiempat cembung dibagi menjadi tiga bagian yang sama besar. Titik-titik pembagian yang bersesuaian pada sisi-sisi yang berhadapan dihubungkan oleh segmen-segmen. Kemudian segmen-segmen ini dibagi satu sama lain menjadi tiga bagian yang sama besar.

13 . Dua garis lurus membagi dua sisi berhadapan suatu segi empat cembung menjadi tiga bagian yang sama besar. Kemudian di antara garis-garis tersebut terletak sepertiga luas segiempat tersebut.

14 . Jika sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam segi empat, maka ruas yang menghubungkan titik-titik di mana lingkaran tersebut menyentuh sisi-sisi yang berhadapan dari segi empat tersebut melalui titik potong diagonal-diagonalnya.

15 . Jika jumlah sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat sama besar, maka dapat dibuat sebuah lingkaran pada segi empat tersebut.

16. Sifat-sifat segi empat bertulisan yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus. Segi empat ABCD tertulis dalam lingkaran berjari-jari R. Diagonalnya AC Dan BD saling tegak lurus dan berpotongan di suatu titik R. Kemudian

a) median segitiga ARV tegak lurus ke samping CD;

b) garis putus-putus AOC membagi segi empat ABCD menjadi dua sosok yang berukuran sama;

V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 dan AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2;

e) jarak pusat lingkaran ke sisi segiempat adalah setengah sisi yang berhadapan.

e) jika garis tegak lurus turun ke samping IKLAN dari atas DI DALAM Dan DENGAN, melintasi diagonal AC Dan BD di poin E Dan F, Itu BCFE- belah ketupat;

g) segiempat yang titik-titik sudutnya merupakan proyeksi suatu titik R pada sisi-sisi segi empat ABCD,- keduanya tertulis dan dijelaskan;

h) segi empat yang dibentuk oleh garis singgung lingkaran luar segiempat tersebut ABCD, digambar pada simpul-simpulnya, dapat ditulisi dalam lingkaran.

17 . Jika A, b, c, d- sisi-sisi segi empat yang berurutan, S adalah luasnya, maka , dan persamaan hanya berlaku untuk segi empat bertulisan yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus.

18 . Rumus Brahmagupta. Jika sisi-sisi segiempat siklik sama panjang a, b, c Dan D, lalu wilayahnya S dapat dihitung dengan menggunakan rumus,

Di mana - setengah keliling segiempat.

19 . Jika berbentuk segi empat dengan sisi-sisinya A, b, c, d dapat ditulisi dan dapat digambarkan sebuah lingkaran disekelilingnya, maka luasnya sama dengan .

20 . Titik P terletak di dalam persegi ABCD, dan sudutnya PAB sama dengan sudut RVA dan setara 15°. Lalu segitiga DPC- sama sisi.

21 . Jika untuk segi empat siklik ABCD kesetaraan terpenuhi CD = IKLAN + SM, lalu garis bagi sudut-sudutnya A Dan DI DALAM berpotongan di samping CD.

22 . Kelanjutan dari sisi yang berlawanan AB Dan CD segi empat siklik ABCD berpotongan di suatu titik M, dan para pihak IKLAN Dan Matahari- pada intinya N. Kemudian

a) garis bagi sudut AMD Dan D.N.C. saling tegak lurus;

b) lurus MQ Dan NQ memotong sisi segi empat pada titik sudut belah ketupat;

c) titik potong Q Garis bagi tersebut terletak pada ruas yang menghubungkan titik tengah diagonal-diagonal segiempat tersebut ABCD.

23 . teorema Ptolemy. Jumlah hasil kali dua pasang sisi berhadapan pada suatu segi empat siklik sama dengan hasil kali diagonal-diagonalnya.

24 . teorema Newton. Pada setiap segiempat berbatas, titik tengah diagonal dan pusat lingkaran terletak pada satu garis lurus.

25 . teorema Monge. Garis-garis yang ditarik melalui titik tengah sisi-sisi suatu segi empat yang tegak lurus terhadap sisi-sisi yang berhadapan berpotongan di satu titik.

27 . Empat lingkaran, dibangun pada sisi-sisi segiempat cembung sebagai diameter, menutupi seluruh segi empat.

29 . Dua sudut berhadapan pada suatu segiempat cembung adalah tumpul. Maka diagonal yang menghubungkan titik-titik sudut tersebut lebih kecil dari diagonal lainnya.

30. Pusat-pusat persegi yang dibangun pada sisi-sisi jajar genjang di luarnya membentuk persegi itu sendiri.

Suatu segi empat dikatakan berada dalam lingkaran jika semua titik sudutnya terletak pada lingkaran. Lingkaran seperti itu dibatasi pada segiempat.

Sama seperti tidak semua segi empat dapat digambarkan mengelilingi lingkaran, demikian pula tidak setiap segiempat dapat dituliskan dalam lingkaran.

Segi empat cembung yang terdapat dalam lingkaran mempunyai sifat jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180°. Jadi, jika diberikan segiempat ABCD yang sudut A berhadapan dengan sudut C, dan sudut B berhadapan dengan sudut D, maka ∠A + ∠C = 180° dan ∠B + ∠D = 180°.

Secara umum, jika sepasang sudut yang berhadapan pada suatu segiempat berjumlah 180°, maka pasangan lainnya akan berjumlah sama. Hal ini menunjukkan bahwa pada segi empat cembung jumlah sudutnya selalu sama dengan 360°. Fakta ini juga mengikuti fakta bahwa untuk poligon cembung jumlah sudut ditentukan dengan rumus 180° * (n – 2), dengan n adalah jumlah sudut (atau sisi).

Sifat segi empat siklik dapat dibuktikan dengan cara berikut. Misalkan sebuah segiempat ABCD berada pada lingkaran O. Kita perlu membuktikan bahwa ∠B + ∠D = 180°.

Sudut B tertulis dalam lingkaran. Seperti yang Anda ketahui, sudut tersebut sama dengan setengah busur tempatnya berada. Dalam hal ini sudut B ditopang oleh busur ADC yang artinya ∠B = ½◡ADC. (Karena busur sama dengan sudut antara jari-jari yang membentuknya, kita dapat menulis bahwa ∠B = ½∠AOC, yang daerah dalamnya memuat titik D.)

Sudut D pada segi empat bertumpu pada busur ABC, yaitu D = ½◡ABC.

Karena sisi-sisi sudut B dan D memotong lingkaran di titik yang sama (A dan C), kedua sisi tersebut membagi lingkaran menjadi dua busur saja - ◡ADC dan ◡ABC. Karena jumlah lingkaran penuh adalah 360°, maka ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Dengan demikian diperoleh persamaan sebagai berikut:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Mari kita nyatakan jumlah sudutnya:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Mari kita keluarkan ½ dari tanda kurung:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Mari kita ganti jumlah busur dengan nilai numeriknya:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Diketahui bahwa jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat bertulisan adalah 180°. Inilah yang perlu dibuktikan.

Fakta bahwa segi empat bertulis mempunyai sifat ini (jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180°) tidak berarti bahwa segi empat mana pun yang jumlah sudut-sudutnya berhadapan adalah 180° dapat dimasukkan ke dalam sebuah lingkaran. Meskipun pada kenyataannya hal ini benar. Fakta ini disebut tes segi empat tertulis dan dirumuskan sebagai berikut: jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segi empat cembung adalah 180°, maka dapat digambarkan sebuah lingkaran di sekelilingnya (atau tertulis dalam lingkaran).

Anda dapat membuktikan pengujian segi empat bertulisan dengan kontradiksi. Misalkan terdapat segi empat ABCD yang sudut-sudut berhadapannya B dan D berjumlah 180°. Dalam hal ini sudut D tidak terletak pada lingkaran. Kemudian ambil titik E pada garis yang memuat ruas CD sedemikian rupa sehingga terletak pada lingkaran. Hasilnya adalah segi empat siklik ABCE. Segi empat ini mempunyai sudut yang berhadapan B dan E, yang berarti besar sudutnya adalah 180°. Ini mengikuti sifat-sifat segiempat tertulis.

Ternyata ∠B + ∠D = 180° dan ∠B + ∠E = 180°. Akan tetapi, sudut D segiempat ABCD terhadap segitiga AED adalah sudut luar, dan oleh karena itu lebih besar dari sudut E segitiga ini. Jadi, kita telah sampai pada suatu kontradiksi. Artinya, jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segiempat berjumlah 180°, maka segi empat tersebut selalu dapat dimasukkan dalam lingkaran.

Artikel ini berisi kumpulan informasi minimum tentang lingkaran yang diperlukan agar berhasil lulus Ujian Negara Terpadu dalam matematika.

Lingkar adalah himpunan titik-titik yang terletak pada jarak yang sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat lingkaran.

Untuk setiap titik yang terletak pada lingkaran, persamaan terpenuhi (Panjang segmen sama dengan jari-jari lingkaran.

Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut akord.

Tali busur yang melalui pusat lingkaran disebut tali busur diameter lingkaran() .

Lingkar:

Luas lingkaran:

Busur lingkaran:

Bagian lingkaran yang terletak di antara dua titik disebut busur lingkaran. Dua titik pada lingkaran menentukan dua busur. Akordnya membentuk dua busur: dan . Tali busur yang sama membentuk busur yang sama.

Sudut antara dua jari-jari disebut sudut tengah :

Untuk mencari panjang busur, kita membuat perbandingan:

a) sudut dinyatakan dalam derajat:

b) sudut dinyatakan dalam radian:

Diameter tegak lurus tali busur , bagilah tali busur ini dan busur-busur yang dibentuknya menjadi dua:

Jika akord Dan lingkaran berpotongan di suatu titik , maka hasil kali segmen tali busur yang membaginya dengan suatu titik adalah sama satu sama lain:

Bersinggungan dengan lingkaran.

Garis lurus yang mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut garis singgung ke lingkaran. Garis lurus yang mempunyai dua titik yang sama pada lingkaran disebut garis potong

Garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik singgung tersebut.

Jika dua garis singgung ditarik dari suatu titik ke sebuah lingkaran, maka ruas garis singgung sama besar satu sama lain dan pusat lingkaran terletak pada garis bagi sudut dengan titik sudut di titik ini:

Jika garis singgung dan garis potong ditarik dari suatu titik ke sebuah lingkaran, maka kuadrat panjang suatu ruas garis singgung sama dengan hasil kali seluruh ruas garis potong dan bagian luarnya :

Konsekuensi: hasil kali seluruh ruas suatu garis potong dan bagian luarnya sama dengan hasil kali seluruh ruas garis potong lain dan bagian luarnya:

Sudut dalam lingkaran.

Besar derajat sudut pusat sama dengan besar derajat busur tempatnya bertumpu:

Sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya terdapat tali busur disebut sudut tertulis . Sudut tertulis diukur dengan setengah busur tempatnya bertumpu:

∠∠

Sudut yang tertulis di bawah diameter adalah siku-siku:

∠∠∠

Sudut-sudut tertulis yang dibatasi oleh satu busur adalah sama besar :

Sudut-sudut bertulisan yang berada di bawah satu tali busur adalah sama besar atau jumlahnya sama

∠∠

Titik-titik sudut segitiga yang mempunyai alas tertentu dan sudut-sudut yang sama besar pada titik sudutnya terletak pada lingkaran yang sama:

Sudut antara dua tali busur (sudut dengan titik sudut di dalam lingkaran) sama dengan setengah jumlah nilai sudut busur lingkaran yang terdapat di dalam sudut tertentu dan di dalam sudut vertikal.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Sudut antara dua garis potong (sudut yang titik sudutnya di luar lingkaran) sama dengan selisih setengah nilai sudut busur lingkaran yang terdapat di dalam sudut tersebut.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Lingkaran tertulis.

Lingkaran itu disebut tertulis dalam poligon , jika menyentuh sisi-sisinya. Pusat lingkaran tertulis terletak pada titik potong garis bagi sudut poligon.

Tidak semua poligon dapat memuat lingkaran.

Luas poligon yang di dalamnya terdapat lingkaran dapat dicari dengan menggunakan rumus

di sini adalah setengah keliling poligon, dan merupakan jari-jari lingkaran yang tertulis.

Dari sini radius lingkaran tertulis sama

Jika sebuah lingkaran terletak pada segi empat cembung, maka jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sama . Sebaliknya: jika pada segiempat cembung jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan sama besar, maka dapat dibuat lingkaran pada segiempat tersebut:

Anda dapat menuliskan lingkaran ke dalam segitiga apa pun, dan hanya satu. Pusat lingkaran dalam terletak pada titik potong garis-garis bagi sudut-sudut dalam segitiga.

Jari-jari lingkaran tertulis sama dengan . Di Sini

Lingkaran yang dibatasi.

Lingkaran itu disebut dijelaskan tentang poligon , jika melewati semua simpul poligon. Pusat lingkaran terletak pada titik potong garis-bagi tegak lurus sisi-sisi poligon. Jari-jari dihitung sebagai jari-jari lingkaran yang dibatasi oleh segitiga yang dibatasi oleh tiga titik sudut dari poligon tertentu:

Sebuah lingkaran dapat digambarkan mengelilingi segiempat jika dan hanya jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan sama dengan .

Di sekitar segitiga apa pun Anda dapat menggambarkan sebuah lingkaran, dan hanya satu. Pusatnya terletak pada titik potong garis-bagi tegak lurus sisi-sisi segitiga:

radius keliling dihitung menggunakan rumus:

Dimana panjang sisi-sisi segitiga dan luasnya.

teorema Ptolemy

Pada segi empat siklik, hasil kali diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan:

Bahan dari Wikipedia - ensiklopedia gratis

• Dalam geometri Euclidean, segi empat tertulis adalah segi empat yang semua titik sudutnya terletak pada lingkaran yang sama. Lingkaran ini disebut lingkaran terbatas segiempat, dan simpul-simpulnya dikatakan terletak pada lingkaran yang sama. Pusat lingkaran dan jari-jarinya disebut berturut-turut tengah Dan radius lingkaran terbatas. Istilah lain untuk segi empat ini: sebuah segi empat terletak pada satu lingkaran, sisi-sisi segiempat terakhir adalah tali busur lingkaran. Segi empat cembung biasanya diasumsikan sebagai segi empat cembung. Rumus dan properti yang diberikan di bawah ini valid dalam kasus cembung.
• Mereka mengatakan itu jika sebuah lingkaran dapat digambar mengelilingi segiempat, Itu segi empat tertulis dalam lingkaran ini, dan sebaliknya.

Kriteria umum prasasti segi empat

• Dikelilingi segiempat cembung $\backslash pi$ radian), yaitu:

$\backslash sudut\; A+\backslash sudut\; C\; =\; \backslash sudut\; B\; +\; \backslash sudut\; D\; =\; 180^\backslash circ$

atau dalam notasi gambar:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• Lingkaran dapat digambarkan di sekeliling segiempat mana pun yang keempat garis bagi sisi-sisinya berpotongan di satu titik (atau mediatrik sisi-sisinya, yaitu garis tegak lurus sisi-sisi yang melalui titik tengahnya).
• Anda dapat menggambarkan sebuah lingkaran di sekeliling segi empat mana pun yang memiliki satu sudut luar yang berdekatan sudut dalam yang diberikan, sama persis dengan sudut dalam lain yang berhadapan diberikan sudut dalam. Pada hakikatnya kondisi ini merupakan kondisi antiparalelisme dua sisi segiempat yang berhadapan. Pada Gambar. Di bawah ini adalah sudut luar dan sudut dalam yang berdekatan dari segi lima hijau.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• Persimpangan X mungkin internal atau eksternal lingkaran. Dalam kasus pertama, kita memperoleh segiempat siklik adalah ABCD, dan dalam kasus terakhir kita memperoleh segiempat tertulis ABDC. Ketika berpotongan di dalam lingkaran, persamaan menyatakan bahwa produk dari panjang segmen di mana titik tersebut X membagi satu diagonal, sama dengan hasil kali panjang ruas-ruas yang terdapat titik tersebut X membagi diagonal lainnya. Kondisi ini dikenal sebagai "teorema akord berpotongan". Dalam kasus kita, diagonal-diagonal segi empat yang tertulis adalah tali busur lingkaran.
• Kriteria lain untuk inklusi. Segi empat cembung ABCD sebuah lingkaran ditulis jika dan hanya jika

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

Kriteria khusus untuk prasasti segi empat

Segi empat bertulisan sederhana (tanpa perpotongan sendiri) adalah segiempat cembung. Suatu lingkaran dapat digambarkan mengelilingi segi empat cembung jika dan hanya jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan sama dengan 180° ( $\backslash pi$ radian). Anda dapat menggambarkan lingkaran di sekitar:

• antiparallelogram apa pun
• persegi panjang apa pun (kasus khusus adalah persegi)
• trapesium sama kaki apa pun
• segiempat apa pun yang mempunyai dua sudut siku-siku yang berhadapan.

Properti

Rumus dengan diagonal

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

Pada rumus terakhir pasangan sisi yang berdekatan pembilangnya A Dan D, B Dan C istirahatkan ujungnya pada panjang diagonal e. Pernyataan serupa juga berlaku untuk penyebutnya.

• Rumus panjang diagonal(konsekuensi ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(iklan+bc))(ab+cd))$ Dan $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(iklan+bc))$

Rumus dengan sudut

Untuk segiempat siklik yang mempunyai barisan sisi-sisinya A , B , C , D, dengan setengah keliling P dan sudut A antara para pihak A Dan D, fungsi sudut trigonometri A diberikan oleh rumus

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(iklan\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Sudut θ diantara diagonal-diagonalnya terdapat :hal.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Jika sisi berlawanan A Dan C berpotongan pada suatu sudut φ , maka itu sama

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(iklan+bc))),$

Di mana P ada setengah keliling. : hal.31

Jari-jari lingkaran yang dibatasi pada segi empat

Rumus Parameshvara

Jika berbentuk segi empat yang sisi-sisinya berurutan A , B , C , D dan setengah keliling P tertulis dalam lingkaran, maka jari-jarinya sama dengan rumus Parameshwar:P. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Ini diturunkan oleh ahli matematika India Parameshwar pada abad ke-15 (c. 1380–1460)

• Segi empat cembung (lihat gambar sebelah kanan) dibentuk oleh empat data Garis lurus Mikel, dituliskan dalam lingkaran jika dan hanya jika titik Mikel M suatu segiempat terletak pada suatu garis yang menghubungkan dua dari enam titik potong garis-garis tersebut (yang bukan titik sudut segiempat tersebut). Yaitu kapan M terletak pada E.F..

Kriteria bahwa suatu segiempat yang terdiri dari dua segitiga terletak pada suatu lingkaran tertentu

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(iklan+bc))((ab+cd)).$

• Kondisi terakhir memberikan ekspresi diagonal F segi empat yang terdapat dalam lingkaran yang panjang keempat sisinya ( A, B, C, D). Rumus ini segera menyusul ketika mengalikan dan menyamakan satu sama lain bagian kiri dan kanan rumus yang menyatakan esensi Teorema pertama dan kedua Ptolemy(Lihat di atas).

Kriteria bahwa suatu segiempat yang dipotong oleh garis lurus dari suatu segitiga terdapat pada lingkaran tertentu

• Sebuah garis lurus, antiparalel dengan sisi segitiga dan memotongnya, memotong segi empat darinya, yang di sekelilingnya selalu dapat digambarkan sebuah lingkaran.
• Konsekuensi. Di sekitar antiparallelogram, di mana dua sisi berlawanan antiparalel, selalu mungkin untuk menggambarkan sebuah lingkaran.

Luas segiempat yang tertulis dalam lingkaran

Variasi rumus Brahmagupta

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ dimana p adalah setengah keliling segi empat. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Rumus luas lainnya

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

Di mana θ salah satu sudut antara diagonalnya. Asalkan sudutnya A bukan garis lurus, luas juga dapat dinyatakan sebagai :p.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

Di mana R adalah jari-jari lingkaran luar. Sebagai konsekuensi langsungnya, kita mengalami ketimpangan

$S\backslash le\; 2R^2,$

di mana persamaan mungkin terjadi jika dan hanya jika segi empat tersebut berbentuk persegi.

segi empat Brahmagupta

Segi Empat Brahmagupta adalah segi empat yang terletak di dalam lingkaran yang panjang sisinya bilangan bulat, diagonal-diagonalnya bilangan bulat, dan luasnya bilangan bulat. Semua kemungkinan segi empat Brahmagupta yang memiliki sisi A , B , C , D, dengan diagonal e , F, dengan luas S, dan jari-jari lingkaran yang dibatasi R dapat diperoleh dengan menghilangkan penyebut ekspresi berikut yang melibatkan parameter rasional T , kamu, Dan ay :

$sebuah=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Contoh

• Segiempat tertentu yang terdapat pada lingkaran adalah: persegi panjang, persegi, trapesium sama kaki atau sama kaki, antijajar genjang.

Segi empat yang tertulis dalam lingkaran dengan diagonal-diagonalnya tegak lurus (segiempat ortodiagonal yang tertulis)

Sifat-sifat segiempat yang terletak pada lingkaran yang diagonal-diagonalnya tegak lurus

Keliling dan luas

Untuk segi empat yang terletak di dalam lingkaran yang diagonal-diagonalnya tegak lurus, misalkan perpotongan diagonal-diagonalnya membagi salah satu diagonalnya menjadi beberapa segmen yang panjangnya P 1 dan P 2, dan membagi diagonal lainnya menjadi segmen-segmen panjang Q 1 dan Q 2. Maka (Persamaan pertama adalah Proposisi 11 Archimedes" Kitab Lemmas)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

Di mana D- diameter lingkaran. Hal ini benar karena diagonal-diagonalnya tegak lurus terhadap tali busur lingkaran. Dari persamaan tersebut diperoleh jari-jari lingkaran yang dibatasi R dapat ditulis sebagai

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

atau dalam bentuk sisi-sisi segi empat

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Hal ini juga mengikuti hal tersebut

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Untuk segi empat ordiagonal tertulis, teorema Brahmagupta berlaku:

Jika suatu segi empat siklik mempunyai diagonal-diagonal tegak lurus yang berpotongan di suatu titik $M$, lalu dua pasang antimediatris melewati suatu titik $M$.

Komentar. Dalam teorema di bawah ini anti-mediatrix memahami segmen tersebut $F.E.$ segi empat pada gambar di sebelah kanan (dengan analogi dengan garis bagi yang tegak lurus (mediatrix) terhadap sisi segitiga). Garis tersebut tegak lurus pada salah satu sisinya dan pada saat yang sama melewati titik tengah sisi yang berlawanan dari segiempat tersebut.

Tulis ulasan pada artikel "Segi Empat tertulis dalam lingkaran"

Catatan

1. Bradley, Christopher J. (2007), Aljabar Geometri: Koordinat Kartesius, Areal, dan Proyektif,Persepsi tinggi, hal. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . Segiempat tertulis.
3. Siddons, AW & Hughes, RT (1929) Trigonometri, Cambridge University Press, hal. 202, O.C.L.C.
4. Durell, CV & Robson, A. (2003), , Kurir Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum Jilid 7: 147–9 ,
6. Johnson, Roger A., Geometri Euclidean Tingkat Lanjut, Dover Publ., 2007 (asal 1929).
7. Hoehn, Larry (Maret 2000), "Lingkaran segi empat siklik", Lembaran Matematika T.84 (499): 69–70
8. .
9. Pengadilan Altshiller, Nathan (2007), Geometri Perguruan Tinggi: Pengantar Geometri Modern Segitiga dan Lingkaran(Edisi ke-2nd), Kurir Dover, hal. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), , Episode dalam Geometri Euclidean Abad Kesembilan Belas dan Kedua Puluh, jilid. 37, Perpustakaan Matematika Baru, Cambridge University Press, hal. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W.(Bahasa Inggris) di situs web Wolfram MathWorld.
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometri Ditinjau Kembali, Asosiasi Matematika Amerika, hal. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Harta Karun Olimpiade Matematika, Springer, hal. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, RH & MacDougall, JA (1999), "", Buletin Masyarakat Matematika Australia T.59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Geometri Euclidean Tingkat Lanjut, Penerbitan Dover. Co., 2007
21. , Dengan. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (September 2003), “Memaksimalkan luas segiempat”, Jurnal Matematika Perguruan Tinggi Jilid 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Victor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Asosiasi Matematika Amerika, hal. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Masalah Menantang dalam Geometri(Edisi ke-2nd), Kurir Dover, hal. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

Lihat juga

Berdasarkan jumlah sisinya Benar segitiga Segiempat Lihat juga

Artikel ini berisi referensi pendek (“Harvard”) untuk publikasi yang tidak tercantum atau dijelaskan secara salah di bagian bibliografi. Daftar tautan rusak: , , , , , , , , , – Nah, apa, Cossack saya? (Marya Dmitrievna menyebut Natasha seorang Cossack) - katanya sambil membelai Natasha dengan tangannya, yang mendekati tangannya tanpa rasa takut dan riang. – Aku tahu ramuan itu perempuan, tapi aku mencintainya. Dia mengeluarkan anting-anting yakhon berbentuk buah pir dari tas wanitanya yang besar dan, memberikannya kepada Natasha yang berseri-seri dan tersipu, segera berpaling darinya dan menoleh ke Pierre. - Eh, eh! baik! “Kemarilah,” katanya dengan suara yang pura-pura tenang dan tipis. - Ayolah sayangku... Dan dia dengan mengancam menyingsingkan lengan bajunya lebih tinggi lagi. Pierre mendekat, dengan naif memandangnya melalui kacamatanya. - Ayo, ayo, sayangku! Akulah satu-satunya yang mengatakan yang sebenarnya kepada ayahmu ketika dia punya kesempatan, tapi Tuhan memerintahkannya padamu. Dia berhenti. Semua orang terdiam, menunggu apa yang akan terjadi, dan merasa yang ada hanyalah kata pengantar. - Bagus, tidak ada yang perlu dikatakan! anak baik!... Sang ayah sedang berbaring di tempat tidurnya, dan dia menghibur dirinya sendiri, menempatkan polisi itu di atas beruang. Sayang sekali ayah, sayang sekali! Lebih baik berperang. Dia berbalik dan mengulurkan tangannya kepada Count, yang hampir tidak bisa menahan diri untuk tidak tertawa. - Baiklah, ayo ke meja, aku akan minum teh, apakah sudah waktunya? - kata Marya Dmitrievna. Count berjalan di depan bersama Marya Dmitrievna; kemudian Countess, yang dipimpin oleh seorang kolonel prajurit berkuda, orang yang tepat yang seharusnya digunakan Nikolai untuk mengejar resimen. Anna Mikhailovna - dengan Shinshin. Berg berjabat tangan dengan Vera. Julie Karagina yang tersenyum pergi bersama Nikolai ke meja. Di belakang mereka datang pasangan-pasangan lain, tersebar di seluruh aula, dan di belakang mereka, satu demi satu, ada anak-anak, tutor, dan pengasuh. Para pelayan mulai bergerak, kursi-kursi bergetar, musik mulai diputar di paduan suara, dan para tamu mengambil tempat duduk mereka. Suara musik rumahan count digantikan oleh suara pisau dan garpu, celoteh para tamu, dan langkah pelan para pelayan. Di salah satu ujung meja, Countess duduk di depan. Di sebelah kanan adalah Marya Dmitrievna, di sebelah kiri adalah Anna Mikhailovna dan tamu lainnya. Di ujung yang lain duduk penghitungan, di sebelah kiri kolonel prajurit berkuda, di sebelah kanan Shinshin dan tamu pria lainnya. Di satu sisi meja panjang terdapat orang-orang muda yang lebih tua: Vera di sebelah Berg, Pierre di sebelah Boris; di sisi lain - anak-anak, tutor dan pengasuh. Dari balik kristal, botol dan vas buah, Count memandangi istri dan topi tinggi berpita birunya dan rajin menuangkan anggur untuk tetangganya, tidak melupakan dirinya sendiri. Countess juga, dari balik nanas, tidak melupakan tugasnya sebagai ibu rumah tangga, melirik tajam ke arah suaminya, yang kepala dan wajahnya yang botak, menurutnya, jauh berbeda dari ubannya yang kemerahan. Ada celoteh terus-menerus dari pihak wanita; di toilet pria, suara-suara terdengar semakin nyaring, terutama kolonel prajurit berkuda yang banyak makan dan minum, semakin tersipu malu, sehingga count sudah menjadikannya sebagai contoh bagi tamu-tamu lain. Berg, dengan senyuman lembut, berbicara kepada Vera bahwa cinta bukanlah perasaan duniawi, melainkan perasaan surgawi. Boris menyebut teman barunya Pierre sebagai tamu di meja dan bertukar pandang dengan Natasha, yang duduk di seberangnya. Pierre berbicara sedikit, melihat wajah-wajah baru dan makan banyak. Mulai dari dua sup, yang dia pilih ala tortue, [kura-kura,] dan kulebyaki dan belibis hazel, dia tidak melewatkan satu hidangan pun dan tidak satu pun anggur, yang secara misterius dimasukkan oleh kepala pelayan ke dalam botol yang dibungkus serbet. dari belakang bahu tetangganya sambil berkata “drey Madeira”, atau “Hongaria”, atau “Anggur Rhine”. Dia meletakkan gelas kristal pertama dari empat gelas kristal dengan monogram penghitung yang berdiri di depan masing-masing perangkat, dan minum dengan senang hati, memandang para tamu dengan ekspresi yang semakin menyenangkan. Natasha, yang duduk di seberangnya, memandang Boris seperti gadis berusia tiga belas tahun memandang anak laki-laki yang baru pertama kali mereka cium dan jatuh cinta. Penampilannya yang sama terkadang beralih ke Pierre, dan di bawah tatapan gadis lucu dan lincah ini dia sendiri ingin tertawa, tidak tahu kenapa. Nikolai duduk jauh dari Sonya, di samping Julie Karagina, dan sekali lagi dengan senyum tak sadar yang sama dia berbicara kepadanya. Sonya tersenyum anggun, tapi rupanya tersiksa oleh rasa cemburu: dia menjadi pucat, lalu tersipu dan mendengarkan sekuat tenaga apa yang Nikolai dan Julie katakan satu sama lain. Pengasuh melihat sekeliling dengan gelisah, seolah bersiap melawan jika ada yang berani menyinggung anak-anak. Guru bahasa Jerman mencoba menghafal semua jenis hidangan, makanan penutup, dan anggur untuk menjelaskan semuanya secara rinci dalam surat kepada keluarganya di Jerman, dan sangat tersinggung oleh kenyataan bahwa kepala pelayan, dengan botol yang dibungkus serbet, membawa dia berkeliling. Orang Jerman itu mengerutkan kening, mencoba menunjukkan bahwa dia tidak ingin menerima anggur ini, tetapi tersinggung karena tidak ada yang mau memahami bahwa dia membutuhkan anggur bukan untuk memuaskan dahaganya, bukan karena keserakahan, tetapi karena keingintahuan yang sungguh-sungguh. Di ujung meja laki-laki, percakapan menjadi semakin hidup. Kolonel mengatakan bahwa manifesto yang menyatakan perang telah diterbitkan di St. Petersburg dan salinan yang dia lihat sendiri kini telah dikirimkan melalui kurir kepada Panglima Tertinggi. - Dan mengapa kita sulit melawan Bonaparte? - kata Shinshin. – II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crins, que cette fois ce ne soit notre tour. [Dia telah merobohkan arogansi Austria. Saya khawatir giliran kita tidak akan tiba sekarang.] Kolonel adalah orang Jerman yang kekar, tinggi, dan optimis, jelas seorang pelayan dan patriot. Dia tersinggung dengan perkataan Shinshin. “Dan kemudian, kita adalah penguasa yang baik,” katanya sambil mengucapkan e, bukan e, dan ъ, bukan ь. “Kalau begitu Kaisar mengetahui hal ini. Dia mengatakan dalam manifestonya bahwa dia dapat memandang dengan acuh tak acuh terhadap bahaya yang mengancam Rusia, dan bahwa keselamatan kekaisaran, martabatnya, dan kesucian aliansi,” katanya, untuk beberapa alasan terutama menekankan hal ini. kata “serikat pekerja”, seolah-olah itulah inti permasalahannya. Dan dengan karakteristik ingatan resminya yang sempurna, dia mengulangi kata-kata pembuka dari manifesto tersebut... “dan keinginan, satu-satunya tujuan kedaulatan yang tak tergantikan: untuk membangun perdamaian di Eropa dengan landasan yang kokoh - mereka sekarang memutuskan untuk mengirimkan sebagian dari tentara di luar negeri dan melakukan upaya baru untuk mencapai niat ini”. “Oleh karena itu, kami adalah negara berdaulat yang baik,” tutupnya, sambil meminum segelas anggur dan mengingat kembali penghitungan tersebut untuk memberikan semangat. – Connaissez vous le pepatah: [Anda tahu pepatah:] “Erema, Erema, sebaiknya kamu duduk di rumah, pertajam spindelmu,” kata Shinshin sambil meringis dan tersenyum. – Kami ingin merveille. [Ini berguna bagi kami.] Mengapa Suvorov - mereka memotongnya, sebuah piring couture, [di kepalanya,] dan di mana Suvorov kami sekarang? Je vous demande un peu, [saya bertanya kepada Anda,] - katanya, terus-menerus melompat dari bahasa Rusia ke bahasa Prancis. “Kita harus berjuang sampai titik darah penghabisan,” kata sang kolonel sambil memukul meja, “dan mati demi kaisar kita, dan semuanya akan baik-baik saja.” Dan untuk berdebat sebanyak-banyaknya (terutama dia bersuara pada kata “mungkin”), sesedikit mungkin,” dia mengakhiri, kembali beralih ke hitungan. “Begitulah cara kami menilai prajurit berkuda tua, itu saja.” Bagaimana Anda menilai, anak muda dan prajurit berkuda muda? - dia menambahkan, menoleh ke Nikolai, yang, setelah mendengar bahwa ini tentang perang, meninggalkan lawan bicaranya dan melihat dengan seluruh matanya dan mendengarkan kolonel dengan seluruh telinganya. “Saya sepenuhnya setuju dengan Anda,” jawab Nikolai, wajahnya memerah, memutar piring dan menata ulang gelasnya dengan tatapan tegas dan putus asa, seolah-olah saat ini dia sedang dalam bahaya besar, “Saya yakin Rusia harus mati. atau menang,” katanya sendiri, merasakan hal yang sama seperti yang lain, setelah kata itu diucapkan, bahwa itu terlalu antusias dan sombong untuk acara saat ini dan karena itu canggung. “C'est bien beau ce que vous venez de dire, [Hebat! Apa yang kamu katakan luar biasa],” kata Julie, yang duduk di sebelahnya sambil menghela nafas. Sonya gemetar dan tersipu di telinga, di belakang telinga dan ke leher dan bahu, sementara Nikolai berbicara, Pierre mendengarkan pidato sang kolonel dan menganggukkan kepalanya setuju. “Itu bagus,” katanya. “Seorang prajurit berkuda sejati, anak muda,” teriak sang kolonel sambil memukul meja lagi. -Apa yang membuatmu ribut di sana? – Suara bass Marya Dmitrievna tiba-tiba terdengar di seberang meja. -Mengapa kamu mengetuk meja? - dia menoleh ke prajurit berkuda, - siapa yang membuatmu bersemangat? benar, menurut Anda orang Prancis ada di depan Anda? “Saya mengatakan yang sebenarnya,” kata prajurit berkuda itu sambil tersenyum. “Segala sesuatu tentang perang,” teriak penghitungan di seberang meja. - Lagi pula, anakku akan datang, Marya Dmitrievna, anakku akan datang. - Dan saya memiliki empat putra di tentara, tapi saya tidak repot. Semuanya adalah kehendak Tuhan: kamu akan mati tergeletak di atas kompor, dan dalam pertempuran Tuhan akan mengasihani,” suara tebal Marya Dmitrievna terdengar tanpa usaha apa pun dari ujung meja yang lain. - Ini benar. Dan pembicaraan kembali terfokus - para wanita di ujung meja, para pria di mejanya. “Tapi kamu tidak akan bertanya,” kata adik laki-laki itu kepada Natasha, “tetapi kamu tidak akan bertanya!” "Aku akan bertanya," jawab Natasha. Wajahnya tiba-tiba memerah, menunjukkan tekad putus asa dan ceria. Dia berdiri, mengundang Pierre, yang duduk di seberangnya, untuk mendengarkan, dan menoleh ke ibunya: - Ibu! – suaranya yang kekanak-kanakan dan serak terdengar di seberang meja. - Apa yang kamu inginkan? – Countess bertanya dengan ketakutan, tetapi, melihat dari wajah putrinya bahwa itu adalah sebuah lelucon, dia dengan tegas melambaikan tangannya, membuat gerakan mengancam dan negatif dengan kepalanya. Percakapan mereda. - Ibu! kue apa yang akan dibuat? – Suara Natasha terdengar lebih tegas, tanpa putus asa. Countess ingin mengerutkan kening, tapi tidak bisa. Marya Dmitrievna menggoyangkan jarinya yang tebal. "Cossack," katanya mengancam. Sebagian besar tamu memandangi para tetua, tidak tahu bagaimana melakukan trik ini. - Saya disini! - kata Countess. - Ibu! kue apa yang akan ada? - Natasha berteriak dengan berani dan ceria, yakin sebelumnya bahwa leluconnya akan diterima dengan baik. Sonya dan Petya yang gemuk bersembunyi dari tawa. “Itulah kenapa aku bertanya,” bisik Natasha kepada adik laki-lakinya dan Pierre, yang dia lihat lagi. “Es krim, tapi mereka tidak mau memberikannya padamu,” kata Marya Dmitrievna. Natasha melihat bahwa tidak ada yang perlu ditakutkan, oleh karena itu dia tidak takut pada Marya Dmitrievna. - Marya Dmitrievna? es krim apa! Saya tidak suka krim. - Wortel. - Tidak, yang mana? Marya Dmitrievna, yang mana? – dia hampir berteriak. - Saya ingin tahu! Marya Dmitrievna dan Countess tertawa, dan semua tamu mengikuti mereka. Semua orang tidak menertawakan jawaban Marya Dmitrievna, tetapi karena keberanian dan ketangkasan gadis ini yang tidak dapat dipahami, yang tahu caranya dan berani memperlakukan Marya Dmitrievna seperti itu. Natasha tertinggal hanya ketika dia diberitahu bahwa akan ada nanas. Sampanye disajikan sebelum es krim. Musik mulai diputar lagi, Count mencium Countess, dan para tamu berdiri dan memberi selamat kepada Countess, mendentingkan gelas di seberang meja bersama Count, anak-anak, dan satu sama lain. Para pelayan berlari masuk lagi, kursi-kursi bergetar, dan dalam urutan yang sama, tetapi dengan wajah yang lebih merah, para tamu kembali ke ruang tamu dan kantor penghitungan. Meja-meja di Boston dipindahkan, pesta-pesta disusun, dan para tamu Count ditempatkan di dua ruang tamu, ruang sofa, dan perpustakaan. Count, yang menyebarkan kartunya, hampir tidak bisa menahan kebiasaan tidur siang dan menertawakan segala hal. Para pemuda, yang dihasut oleh Countess, berkumpul di sekitar clavichord dan harpa. Julie adalah orang pertama, atas permintaan semua orang, memainkan lagu dengan variasi harpa dan, bersama dengan gadis-gadis lain, mulai meminta Natasha dan Nikolai, yang terkenal dengan musikalitas mereka, untuk menyanyikan sesuatu. Natasha yang disapa sebagai gadis bertubuh besar rupanya sangat bangga dengan hal tersebut, namun di saat yang sama ia juga merasa penakut. - Apa yang akan kita nyanyikan? - dia bertanya. “Kuncinya,” jawab Nikolai. - Baiklah, ayo cepat. Boris, kemarilah,” kata Natasha. - Dimana Sonya? Dia melihat sekeliling dan, melihat temannya tidak ada di kamar, berlari mengejarnya. Berlari ke kamar Sonya dan tidak menemukan temannya di sana, Natasha berlari ke kamar bayi - dan Sonya tidak ada di sana. Natasha menyadari bahwa Sonya ada di koridor di dada. Peti di koridor adalah tempat kesedihan generasi muda perempuan di rumah Rostov. Memang, Sonya, dalam gaun merah mudanya yang sejuk, meremukkannya, berbaring telungkup di atas tempat tidur bulu bergaris kotor milik pengasuhnya, di dada dan, menutupi wajahnya dengan jari-jarinya, menangis dengan sedihnya, menggoyangkan bahunya yang telanjang. Wajah Natasha yang bersemangat seharian berulang tahun tiba-tiba berubah: matanya berhenti, lalu lehernya yang lebar bergetar, sudut bibirnya terkulai. - Sonya! apa yang kamu?... Apa, ada apa denganmu? Wah wah!… Dan Natasha, membuka mulutnya yang besar dan menjadi sangat bodoh, mulai mengaum seperti anak kecil, tidak mengetahui alasannya dan hanya karena Sonya menangis. Sonya ingin mengangkat kepalanya, ingin menjawab, tapi dia tidak bisa dan semakin bersembunyi. teriak Natasha sambil duduk di ranjang bulu biru dan memeluk temannya. Setelah mengumpulkan kekuatannya, Sonya berdiri, mulai menyeka air matanya dan menceritakan kisahnya. - Nikolenka akan pergi seminggu lagi,... kertasnya... keluar... dia memberitahuku sendiri... Ya, aku tetap tidak mau menangis... (dia menunjukkan selembar kertas yang dia pegang tangannya: itu adalah puisi yang ditulis oleh Nikolai) Aku tetap tidak mau menangis, tapi kamu tidak bisa... tidak ada yang bisa mengerti... jiwa macam apa yang dia miliki. Dan dia kembali menangis karena jiwanya begitu baik. “Kamu merasa baik… Aku tidak iri padamu… Aku mencintaimu, dan Boris juga,” katanya, mengumpulkan sedikit kekuatan, “dia manis… tidak ada halangan untukmu.” Dan Nikolai adalah sepupuku... Aku membutuhkan... metropolitan itu sendiri... dan itu tidak mungkin. Dan kemudian, jika mama... (Sonya mempertimbangkan Countess dan menelepon ibunya), dia akan berkata bahwa aku menghancurkan karir Nikolai, aku tidak punya hati, bahwa aku tidak berterima kasih, tapi sungguh... demi Tuhan... (dia membuat tanda salib) Aku juga sangat mencintainya, dan kalian semua, hanya Vera... Untuk apa? Apa yang saya lakukan padanya? Saya sangat berterima kasih kepada Anda bahwa saya akan dengan senang hati mengorbankan segalanya, tetapi saya tidak punya apa-apa... Sonya tidak bisa lagi berbicara dan kembali menyembunyikan kepalanya di tangan dan kasur bulu. Natasha mulai tenang, namun wajahnya menunjukkan bahwa dia memahami pentingnya kesedihan temannya. - Sonya! - katanya tiba-tiba, seolah dia sudah menebak alasan sebenarnya kesedihan sepupunya. – Benar, Vera berbicara denganmu setelah makan malam? Ya? – Ya, Nikolai sendiri yang menulis puisi-puisi ini, dan saya menyalin puisi lainnya; Dia menemukannya di mejaku dan berkata bahwa dia akan menunjukkannya kepada mama, dan juga mengatakan bahwa aku tidak berterima kasih, bahwa mama tidak akan pernah mengizinkan dia menikah denganku, dan dia akan menikahi Julie. Anda lihat bagaimana dia bersamanya sepanjang hari... Natasha! Untuk apa?… Dan lagi-lagi dia menangis lebih sedih dari sebelumnya. Natasha mengangkatnya, memeluknya dan, sambil tersenyum di balik air matanya, mulai menenangkannya. - Sonya, jangan percaya padanya, sayang, jangan percaya padanya. Apakah Anda ingat bagaimana kami bertiga berbicara dengan Nikolenka di ruang sofa; ingat setelah makan malam? Bagaimanapun, kami memutuskan segalanya bagaimana jadinya. Saya tidak ingat bagaimana caranya, tetapi Anda ingat bagaimana segala sesuatunya baik dan segala sesuatunya mungkin. Kakak Paman Shinshin menikah dengan sepupunya, dan kami adalah sepupu kedua. Dan Boris mengatakan hal ini sangat mungkin terjadi. Kau tahu, aku menceritakan segalanya padanya. Dan dia sangat pintar dan baik,” kata Natasha... “Kamu, Sonya, jangan menangis, sayangku, Sonya.” - Dan dia menciumnya sambil tertawa. - Iman itu jahat, Tuhan memberkatinya! Tapi semuanya akan baik-baik saja, dan dia tidak akan memberi tahu mama; Nikolenka akan mengatakannya sendiri, dan dia bahkan tidak memikirkan Julie. Dan dia mencium kepalanya. Sonya berdiri, dan anak kucing itu menjadi bersemangat, matanya berbinar, dan dia tampak siap mengibaskan ekornya, melompat dengan cakarnya yang lembut dan bermain bola lagi, sebagaimana mestinya baginya. - Kamu pikir? Benar? Oleh Tuhan? – katanya sambil segera merapikan gaun dan rambutnya. - Sungguh, demi Tuhan! – Jawab Natasha sambil meluruskan sehelai rambut kasar di bawah kepang temannya. Dan mereka berdua tertawa. - Baiklah, ayo kita nyanyikan "The Key". - Mari pergi ke. “Kau tahu, Pierre gendut yang duduk di hadapanku ini lucu sekali!” – Natasha tiba-tiba berkata sambil berhenti. - Aku bersenang-senang! Dan Natasha berlari menyusuri koridor. Sonya, mengibaskan bulunya dan menyembunyikan puisi di dadanya, hingga lehernya dengan tulang dada yang menonjol, dengan langkah ringan dan ceria, dengan wajah memerah, berlari mengejar Natasha menyusuri koridor menuju sofa. Atas permintaan para tamu, kaum muda menyanyikan kuartet “Kunci”, yang sangat disukai semua orang; kemudian Nikolai menyanyikan kembali lagu yang telah dipelajarinya. Di malam yang menyenangkan, di bawah sinar bulan, Bayangkan diri Anda bahagia Bahwa masih ada seseorang di dunia ini, Siapa yang memikirkanmu juga! Saat dia, dengan tangannya yang indah, Berjalan di sepanjang harpa emas, Dengan harmoni yang penuh gairah Memanggil dirinya sendiri, memanggilmu! Satu atau dua hari lagi, dan surga akan datang... Tapi ah! temanmu tidak akan hidup! Dan dia belum selesai menyanyikan kata-kata terakhirnya ketika orang-orang muda di aula bersiap untuk menari dan dalam paduan suara para musisi mulai menghentakkan kaki dan batuk. Pierre sedang duduk di ruang tamu, di mana Shinshin, seperti pengunjung dari luar negeri, memulai percakapan politik dengannya yang membosankan bagi Pierre, yang diikuti oleh orang lain. Ketika musik mulai diputar, Natasha memasuki ruang tamu dan, langsung menemui Pierre, sambil tertawa dan tersipu, berkata: - Ibu menyuruhku mengajakmu berdansa. “Saya takut membingungkan angka-angkanya,” kata Pierre, “tetapi jika Anda ingin menjadi guru saya…” Dan dia mengulurkan tangannya yang tebal, menurunkannya rendah-rendah, kepada gadis kurus itu. Sementara pasangan-pasangan itu duduk dan para musisi bersiap, Pierre duduk bersama wanita kecilnya. Natasha sangat senang; dia menari dengan yang besar, dengan seseorang yang datang dari luar negeri. Dia duduk di depan semua orang dan berbicara dengannya seperti gadis besar. Dia memegang kipas angin di tangannya, yang diberikan oleh seorang wanita muda untuk dipegangnya. Dan, dengan mengambil pose paling sekuler (entah di mana dan kapan dia mengetahui hal ini), dia, mengipasi dirinya sendiri dan tersenyum melalui kipas angin, berbicara kepada suaminya. - Apaya apaya? Lihat, lihat,” kata Countess tua itu sambil melewati aula dan menunjuk ke arah Natasha. Natasha tersipu dan tertawa. - Nah, bagaimana denganmu, ibu? Nah, perburuan seperti apa yang sedang kamu cari? Apa yang mengejutkan di sini? Di tengah sesi ramah lingkungan ketiga, kursi-kursi di ruang tamu, tempat Count dan Marya Dmitrievna bermain, mulai bergerak, dan sebagian besar tamu kehormatan dan lelaki tua, meregangkan tubuh setelah lama duduk dan meletakkan dompet dan dompet di saku mereka, berjalan keluar pintu aula. Marya Dmitrievna berjalan di depan bersama hitungan - keduanya dengan wajah ceria. Count, dengan kesopanan yang lucu, seperti balet, mengulurkan tangannya yang bulat kepada Marya Dmitrievna. Dia menegakkan tubuh, dan wajahnya berseri-seri dengan senyuman yang sangat berani dan licik, dan segera setelah figur terakhir dari ecosaise ditarikan, dia bertepuk tangan kepada para musisi dan berteriak kepada paduan suara, berbicara kepada biola pertama: - Semyon! Tahukah kamu Danila Kupor? Ini adalah tarian favorit Count, yang ditarikan olehnya di masa mudanya. (Danilo Kupor sebenarnya adalah salah satu tokoh suku Anglese.) "Lihat ayah," teriak Natasha ke seluruh aula (benar-benar lupa bahwa dia sedang menari dengan yang besar), menundukkan kepala keritingnya hingga berlutut dan tertawa terbahak-bahak di seluruh aula. Memang, semua orang di aula memandang dengan senyum gembira pada lelaki tua yang ceria, yang, di samping wanita bermartabatnya, Marya Dmitrievna, yang lebih tinggi darinya, melingkarkan lengannya, menggoyangkannya tepat waktu, meluruskan bahunya, memutar lengannya. kakinya, sedikit menghentakkan kakinya, dan dengan senyuman yang semakin mekar di wajahnya yang bulat, dia mempersiapkan penonton untuk apa yang akan datang. Begitu suara Danila Kupor yang ceria dan menantang, mirip dengan obrolan ceria, terdengar, semua pintu aula tiba-tiba dipenuhi dengan wajah laki-laki di satu sisi dan wajah tersenyum para pelayan di sisi lain, yang keluar untuk lihatlah tuan yang ceria. - Ayah adalah milik kita! Burung rajawali! – kata pengasuh itu dengan keras dari satu pintu. Count menari dengan baik dan mengetahuinya, tetapi istrinya tidak tahu caranya dan tidak ingin menari dengan baik. Tubuhnya yang besar berdiri tegak, lengannya yang kuat digantung ke bawah (dia menyerahkan tas wanita itu kepada Countess); hanya wajahnya yang tegas namun cantik yang menari. Apa yang terekspresikan dalam sosok bulat seluruh count, dalam diri Marya Dmitrievna hanya terekspresikan dalam wajah yang semakin tersenyum dan hidung yang berkedut. Tetapi jika Count, yang semakin tidak puas, memikat penonton dengan kejutan dari gerakan cekatan dan lompatan ringan dari kaki lembutnya, Marya Dmitrievna, dengan sedikit semangat dalam menggerakkan bahunya atau memutar lengannya secara bergantian dan menghentak, tidak melakukan apa-apa. kurang kesan pantas, yang semua orang hargai karena obesitas dan tingkat keparahannya yang selalu ada. Tariannya menjadi semakin bersemangat. Rekan-rekan mereka tidak dapat menarik perhatian pada diri mereka sendiri selama satu menit pun dan bahkan tidak mencoba melakukannya. Semuanya ditempati oleh Count dan Marya Dmitrievna. Natasha menarik lengan baju dan gaun semua yang hadir, yang sudah mengawasi para penari, dan meminta agar mereka melihat ke arah ayah. Di sela-sela tarian, Count menarik napas dalam-dalam, melambai dan berteriak kepada para pemusik agar segera bermain. Lebih cepat, lebih cepat dan lebih cepat, lebih cepat dan lebih cepat dan lebih cepat, penghitungan berlangsung, sekarang berjinjit, sekarang bertumit, bergegas mengelilingi Marya Dmitrievna dan, akhirnya, membalikkan wanita itu ke tempatnya, mengambil langkah terakhir, mengangkat kaki lembutnya ke atas dari di belakang sambil menundukkan kepalanya yang berkeringat dengan wajah tersenyum dan melambaikan tangan kanannya secara bulat di tengah gemuruh tepuk tangan dan tawa, terutama dari Natasha. Kedua penari itu berhenti, mengambil napas dalam-dalam dan menyeka diri dengan saputangan cambric. “Beginilah cara mereka menari di zaman kita, ma chere,” kata penghitung itu. - Oh ya Danila Kupor! - kata Marya Dmitrievna sambil mengeluarkan semangatnya dengan berat dan lama, sambil menyingsingkan lengan bajunya. Sementara keluarga Rostov menari anglaise keenam di aula dengan suara musisi yang lelah dan tidak selaras, dan para pelayan serta juru masak yang lelah sedang menyiapkan makan malam, pukulan keenam menimpa Count Bezukhy. Para dokter menyatakan bahwa tidak ada harapan untuk sembuh; pasien diberikan pengakuan dosa dan komuni secara diam-diam; mereka sedang membuat persiapan untuk pengurapan, dan di dalam rumah ada kesibukan dan kegelisahan akan penantian, yang biasa terjadi pada saat-saat seperti itu. Di luar rumah, di luar gerbang, para pengurus pemakaman berkerumun, bersembunyi dari gerbong yang mendekat, menunggu perintah kaya untuk pemakaman bangsawan. Panglima Moskow, yang terus-menerus mengirim ajudan untuk menanyakan posisi Pangeran, malam itu sendiri datang untuk mengucapkan selamat tinggal kepada bangsawan Catherine yang terkenal, Pangeran Bezukhim. Ruang resepsi yang megah itu penuh. Semua orang berdiri dengan hormat ketika Panglima Tertinggi, yang telah sendirian dengan pasien selama sekitar setengah jam, keluar dari sana, sedikit membungkuk dan berusaha secepat mungkin untuk melewati tatapan para dokter, pendeta, dan kerabat. tertuju padanya. Pangeran Vasily, yang berat badannya turun dan menjadi pucat selama beberapa hari ini, mengantar panglima tertinggi dan diam-diam mengulangi sesuatu kepadanya beberapa kali. Setelah mengantar panglima tertinggi, Pangeran Vasily duduk sendirian di kursi di aula, menyilangkan kaki tinggi-tinggi, menyandarkan siku di lutut dan menutup mata dengan tangan. Setelah duduk seperti ini selama beberapa waktu, dia berdiri dan dengan langkah tergesa-gesa yang tidak biasa, melihat sekeliling dengan mata ketakutan, berjalan melalui koridor panjang ke bagian belakang rumah, menuju putri tertua. Mereka yang berada di ruangan yang remang-remang itu berbicara dengan suara yang tidak rata satu sama lain dan terdiam setiap saat dan, dengan mata penuh pertanyaan dan harapan, melihat kembali ke pintu yang menuju ke kamar orang yang sekarat itu dan mengeluarkan suara samar ketika seseorang keluar. darinya atau memasukinya. “Batas manusia,” kata lelaki tua itu, seorang pendeta, kepada wanita yang duduk di sebelahnya dan dengan naif mendengarkannya, “batasnya telah ditetapkan, Anda tidak dapat melewatinya.” “Saya bertanya-tanya apakah sudah terlambat untuk melakukan pengurapan?” - menambahkan gelar spiritual, wanita itu bertanya, seolah-olah dia tidak punya pendapat sendiri tentang masalah ini.

POLYGON TERTULIS DAN LINGKARAN,

§ 106. SIFAT-SIFAT SETENGAH YANG TERTULIS DAN DIJELASKAN.

Teorema 1. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat siklik adalah 180°.

Misalkan sebuah segi empat ABCD tertulis dalam lingkaran dengan pusat O (Gbr. 412). Hal ini diperlukan untuk membuktikannya / SEBUAH+ / C = 180° dan / B+ / D = 180°.

/ A, seperti tertulis pada lingkaran O, berukuran 1/2 BCD.
/ C, seperti yang tertulis di lingkaran yang sama, berukuran 1/2 BURUK.

Akibatnya, jumlah sudut A dan C diukur dengan setengah jumlah busur BCD dan BAD; jika dijumlahkan, busur-busur ini membentuk lingkaran, yaitu 360°.
Dari sini / SEBUAH+ / C = 360°: 2 = 180°.

Demikian pula terbukti / B+ / D = 180°. Namun, hal ini dapat disimpulkan dengan cara lain. Kita tahu bahwa jumlah sudut dalam suatu segi empat cembung adalah 360°. Jumlah sudut A dan C sama dengan 180°, artinya jumlah dua sudut lainnya pada segi empat juga tetap 180°.

Teorema 2(balik). Jika pada suatu segiempat jumlah dua sudut yang berhadapan sama besar 180° , maka sebuah lingkaran dapat digambarkan mengelilingi segi empat tersebut.

Misalkan jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat ABCD sama dengan 180°, yaitu
/ SEBUAH+ / C = 180° dan / B+ / D = 180° (gambar 412).

Mari kita buktikan bahwa sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar segiempat tersebut.

Bukti. Melalui 3 titik sudut pada segi empat ini dapat dibuat sebuah lingkaran, misalnya melalui titik A, B, dan C. Dimana letak titik D?

Titik D hanya dapat mengambil salah satu dari tiga posisi berikut: berada di dalam lingkaran, berada di luar lingkaran, berada di keliling lingkaran.

Misalkan titik sudut berada di dalam lingkaran dan menempati posisi D" (Gbr. 413). Maka pada segi empat ABCD" kita akan mendapatkan:

/ B+ / D" = 2 D.

Melanjutkan sisi AD" ke perpotongan dengan lingkaran di titik E dan menghubungkan titik E dan C, kita memperoleh segi empat siklik ABCE, di mana, dengan teorema langsung

/ B+ / E = 2 D.

Dari kedua persamaan tersebut berikut ini:

/ D" = 2 D - / B;
/ E = 2 D - / B;

/ D" = / E,

tapi ini tidak mungkin, karena / D", karena berada di luar segitiga CD"E, harus lebih besar dari sudut E. Oleh karena itu, titik D tidak boleh berada di dalam lingkaran.

Terbukti juga bahwa titik D tidak dapat mengambil posisi D" di luar lingkaran (Gbr. 414).

Perlu diketahui bahwa titik sudut D harus terletak pada keliling lingkaran, yaitu bertepatan dengan titik E, yang berarti bahwa sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar segiempat ABCD.

Konsekuensi. 1. Sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekitar persegi panjang apa pun.

2. Sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekitar trapesium sama kaki.

Dalam kedua kasus tersebut, jumlah sudut yang berhadapan adalah 180°.

Teorema 3. Pada segi empat berbatas, jumlah sisi-sisi yang berhadapan adalah sama. Misalkan segi empat ABCD digambarkan di sekitar lingkaran (Gbr. 415), yaitu sisi-sisinya AB, BC, CD dan DA bersinggungan dengan lingkaran tersebut.

Perlu dibuktikan bahwa AB + CD = AD + BC. Mari kita nyatakan titik singgung dengan huruf M, N, K, P. Berdasarkan sifat-sifat garis singgung lingkaran dari satu titik (§ 75), kita peroleh:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Mari kita tambahkan persamaan ini suku demi suku. Kita mendapatkan:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

yaitu AB + CD = AD + BC yang perlu dibuktikan.

Latihan.

1. Pada suatu segi empat bertulisan, dua sudut berhadapan mempunyai perbandingan 3:5,
dan dua sudut lainnya mempunyai perbandingan 4:5. Tentukan besar sudut-sudut tersebut.

2. Pada suatu segi empat, jumlah dua sisi yang berhadapan adalah 45 cm. Perbandingan dua sisi sisanya adalah 0,2: 0,3. Temukan panjang sisi-sisi ini.