Fungsi antiturunan dan integral tak tentu

Fakta 1. Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi, yaitu memulihkan suatu fungsi dari turunan yang diketahui dari fungsi tersebut. Fungsinya dipulihkan F(X) disebut antiturunan untuk fungsi F(X).

Definisi 1. Fungsi F(X F(X) pada interval tertentu X, jika untuk semua nilai X dari interval ini persamaan berlaku F "(X)=F(X), yaitu fungsi ini F(X) adalah turunan dari fungsi antiturunan F(X). .

Misalnya saja fungsinya F(X) = dosa X merupakan antiturunan dari fungsi tersebut F(X) = karena X pada seluruh garis bilangan, karena untuk sembarang nilai x (dosa X)" = (kos X) .

Definisi 2. Integral tak tentu suatu fungsi F(X) adalah himpunan semua antiturunannya. Dalam hal ini, notasi digunakan

∫

F(X)dx

,

dimana tandanya ∫ disebut tanda integral, fungsi F(X) – fungsi integrand, dan F(X)dx – ekspresi integran.

Jadi, jika F(X) – beberapa antiturunan untuk F(X) , Itu

∫

F(X)dx = F(X) +C

Di mana C - konstanta sembarang (konstanta).

Untuk memahami pengertian himpunan antiturunan suatu fungsi sebagai integral tak tentu, analogi berikut ini tepat. Biarlah ada pintu (pintu kayu tradisional). Fungsinya adalah “menjadi pintu”. Pintunya terbuat dari apa? Terbuat dari kayu. Artinya himpunan antiturunan dari integral fungsi “menjadi pintu”, yaitu integral tak tentu, adalah fungsi “menjadi pohon + C”, dimana C adalah konstanta, yang dalam konteks ini dapat menunjukkan, misalnya, jenis pohon. Seperti halnya sebuah pintu dibuat dari kayu dengan menggunakan beberapa alat, maka turunan suatu fungsi “dibuat” dari fungsi antiturunan dengan menggunakan rumus yang kita pelajari saat mempelajari turunannya .

Kemudian tabel fungsi benda-benda biasa dan antiturunannya yang sesuai (“menjadi pintu” - “menjadi pohon”, “menjadi sendok” - “menjadi logam”, dll.) mirip dengan tabel dasar integral tak tentu, yang akan diberikan di bawah ini. Tabel integral tak tentu mencantumkan fungsi-fungsi umum dengan indikasi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini “dibuat”. Pada bagian soal mencari integral tak tentu, diberikan integran yang dapat diintegrasikan secara langsung tanpa banyak usaha, yaitu dengan menggunakan tabel integral tak tentu. Dalam permasalahan yang lebih kompleks, integran harus ditransformasikan terlebih dahulu agar integral tabel dapat digunakan.

Fakta 2. Saat memulihkan suatu fungsi sebagai antiturunan, kita harus memperhitungkan konstanta sembarang (konstanta) C, dan agar tidak menulis daftar antiturunan dengan berbagai konstanta dari 1 hingga tak terhingga, Anda perlu menulis himpunan antiturunan dengan konstanta sembarang C, misalnya seperti ini: 5 X³+C. Jadi, konstanta sembarang (konstanta) termasuk dalam ekspresi antiturunan, karena antiturunan dapat berupa fungsi, misalnya 5 X³+4 atau 5 X³+3 dan ketika dibedakan, 4 atau 3, atau konstanta lainnya menjadi nol.

Mari kita ajukan masalah integrasi: untuk fungsi ini F(X) temukan fungsi seperti itu F(X), turunan siapa sama dengan F(X).

Contoh 1. Temukan himpunan antiturunan suatu fungsi

Larutan. Untuk fungsi ini, antiturunannya adalah fungsi tersebut

Fungsi F(X) disebut antiturunan untuk fungsi tersebut F(X), jika turunannya F(X) adalah sama dengan F(X), atau, yang merupakan hal yang sama, diferensial F(X) sama F(X) dx, yaitu

(2)

Oleh karena itu, fungsi tersebut merupakan antiturunan dari fungsi tersebut. Namun, ini bukan satu-satunya antiturunan untuk . Mereka juga berfungsi sebagai fungsi

Di mana DENGAN– konstanta sewenang-wenang. Hal ini dapat dibuktikan dengan diferensiasi.

Jadi, jika ada satu antiturunan untuk suatu fungsi, maka untuk fungsi tersebut terdapat antiturunan yang jumlahnya tak terhingga dan berbeda suku konstan. Semua antiturunan suatu fungsi ditulis dalam bentuk di atas. Ini mengikuti teorema berikut.

Teorema (pernyataan formal fakta 2). Jika F(X) – antiturunan untuk fungsi tersebut F(X) pada interval tertentu X, lalu antiturunan lainnya untuk F(X) pada interval yang sama dapat direpresentasikan dalam bentuk F(X) + C, Di mana DENGAN– konstanta sewenang-wenang.

Pada contoh berikut, kita beralih ke tabel integral, yang akan diberikan pada paragraf 3, setelah sifat-sifat integral tak tentu. Kami melakukan ini sebelum membaca keseluruhan tabel agar intisari di atas jelas. Dan setelah tabel dan properti, kami akan menggunakannya secara keseluruhan selama integrasi.

Contoh 2. Temukan kumpulan fungsi antiturunan:

Larutan. Kami menemukan kumpulan fungsi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini “dibuat”. Ketika menyebutkan rumus-rumus dari tabel integral, untuk saat ini terima saja rumus-rumus tersebut di sana, dan kita akan mempelajari tabel integral tak tentu itu sendiri lebih jauh.

1) Menerapkan rumus (7) dari tabel integral untuk N= 3, kita peroleh

2) Menggunakan rumus (10) dari tabel integral untuk N= 1/3, kita punya

3) Sejak

maka menurut rumus (7) dengan N= -1/4 kita temukan

Bukan fungsi itu sendiri yang ditulis di bawah tanda integral. F, dan produknya dengan diferensial dx. Hal ini dilakukan terutama untuk menunjukkan variabel mana yang dicari antiturunannya. Misalnya,

, ;

di sini dalam kedua kasus integrannya sama dengan , tetapi integral tak tentu dalam kasus yang dipertimbangkan ternyata berbeda. Dalam kasus pertama, fungsi ini dianggap sebagai fungsi variabel X, dan yang kedua - sebagai fungsi dari z .

Proses mencari integral tak tentu suatu fungsi disebut mengintegrasikan fungsi tersebut.

Arti geometris dari integral tak tentu

Misalkan kita perlu mencari kurva kamu=F(x) dan kita telah mengetahui bahwa garis singgung sudut singgung pada setiap titiknya merupakan fungsi tertentu f(x) absis titik ini.

Menurut arti geometri turunannya, garis singgung sudut kemiringan garis singgung pada suatu titik tertentu pada kurva kamu=F(x) sama dengan nilai turunannya F"(x). Jadi kita perlu menemukan fungsi seperti itu F(x), untuk itu F"(x)=f(x). Fungsi yang diperlukan dalam tugas F(x) adalah antiturunan dari f(x). Kondisi permasalahan dipenuhi bukan oleh satu kurva, namun oleh sekelompok kurva. kamu=F(x)- salah satu kurva ini, dan kurva lainnya dapat diperoleh darinya dengan translasi paralel sepanjang sumbu Oi.

Sebut saja grafik fungsi antiturunan dari f(x) kurva integral. Jika F"(x)=f(x), maka grafik fungsinya kamu=F(x) ada kurva integral.

Fakta 3. Integral tak tentu secara geometris diwakili oleh keluarga semua kurva integral , seperti pada gambar di bawah ini. Jarak setiap kurva dari titik asal koordinat ditentukan oleh konstanta integrasi sembarang C.

Sifat-sifat integral tak tentu

Fakta 4. Teorema 1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran, dan diferensialnya sama dengan integran.

Fakta 5. Teorema 2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi F(X) sama dengan fungsinya F(X) hingga suku konstan , yaitu

(3)

Teorema 1 dan 2 menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi merupakan operasi yang saling berbanding terbalik.

Fakta 6. Teorema 3. Faktor konstanta integran dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu , yaitu

Pelajaran 2. Kalkulus integral

Integral tak tentu dan makna geometrisnya. Sifat dasar integral tak tentu.

Metode dasar untuk mengintegrasikan integral tak tentu.

Integral pasti dan arti geometrinya.

Rumus Newton-Leibniz. Metode menghitung integral tertentu.

Mengetahui turunan atau diferensial suatu fungsi, Anda dapat mencari fungsi itu sendiri (mengembalikan fungsinya). Tindakan ini, kebalikan dari diferensiasi, disebut integrasi.

Fungsi antiturunan sehubungan dengan fungsi tertentu, fungsi berikut dipanggil
, yang turunannya sama dengan fungsi yang diberikan, yaitu.

Untuk fungsi ini Ada fungsi antiturunan yang jumlahnya tak terhingga, karena salah satu fungsinya
, juga merupakan antiturunan dari .

Himpunan semua antiturunan untuk suatu fungsi tertentu disebut nya integral tak tentu ditunjukkan dengan simbol:

, Di mana

disebut integran, fungsinya
- fungsi integral.

Arti geometris dari integral tak tentu. Secara geometris, integral tak tentu adalah sekumpulan kurva integral pada bidang yang diperoleh melalui transfer paralel grafik suatu fungsi
sepanjang sumbu ordinat (Gbr. 3).

Sifat dasar integral tak tentu

Sifat 1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran:

Sifat 2. Diferensial integral tak tentu sama dengan integran:

Sifat 3. Integral diferensial suatu fungsi sama dengan fungsi ini ditambah konstanta:

Sifat 4. Linearitas integral.

Tabel integral dasar

	Integral
kekuatan
indikatif
trigonometri
balik trigonometri

Metode integrasi dasar

Metode integrasi berdasarkan bagian adalah metode yang melibatkan penggunaan rumus:

.

Metode ini digunakan jika integral
lebih mudah dipecahkan daripada
. Biasanya, metode ini menyelesaikan integral bentuk
, Di mana
adalah polinomial, dan merupakan salah satu fungsi berikut:
,
,
, , ,
,
.

Mari kita pertimbangkan beberapa fungsinya
, ditentukan pada interval
, beras. 4. Mari kita lakukan 5 operasi.

1. Mari kita bagi interval dengan titik-titik secara sembarang menjadi bagian. Mari kita tunjukkan
, dan panjang terbesar dari sebagian bagian ini akan dilambangkan dengan , kami akan menyebutnya peringkat yang menghancurkan.

2. Pada setiap petak parsial
mari kita ambil poin yang sewenang-wenang dan hitung nilai fungsi di dalamnya
.

3. Mari kita membuat sebuah karya

4. Mari kita jumlahkan
. Jumlah ini disebut jumlah integral atau jumlah Riemann.

5. Dengan mengurangi penghancuran (dengan menambah jumlah titik penghancuran) dan sekaligus mengarahkan peringkat penghancuran ke nol (
) yaitu (dengan menambah jumlah titik penghancuran, kami memastikan bahwa panjang seluruh bagian parsial berkurang dan cenderung nol
), kita akan mencari limit barisan jumlah integral

Jika batas ini ada dan tidak bergantung pada cara pembagian dan pemilihan titik, maka disebut integral tertentu dari suatu fungsi pada suatu interval dan dilambangkan sebagai berikut:
.

Arti geometris dari integral tertentu. Misalkan fungsi tersebut kontinu dan positif pada intervalnya. Perhatikan trapesium melengkung ABCD(Gbr. 4). Jumlah kumulatif
memberi kita jumlah luas persegi panjang dengan alas
dan ketinggian
. Ini dapat diambil sebagai nilai perkiraan luas trapesium lengkung ABCD , yaitu

,

Selain itu, persamaan ini akan semakin akurat, semakin halus penghancurannya, dan pada batasnya N→+∞ Dan λ → 0 kita akan mendapatkan:

.

Inilah arti geometri dari integral tertentu.

Sifat-sifat dasar integral tertentu

Sifat 1. Integral tertentu yang limitnya sama sama dengan nol.

Sifat 2. Apabila limit integrasi ditukar, integral tertentu berubah tanda ke kebalikannya.

Sifat 3. Linearitas integral.

Sifat 4. Berapapun bilangannya, jika fungsinya
dapat diintegrasikan pada setiap interval
,
,
(Gbr. 5), lalu:

Dalil. Jika suatu fungsi kontinu pada interval tersebut, maka integral tertentu dari fungsi tersebut pada interval tersebut sama dengan selisih nilai antiturunan dari fungsi tersebut pada batas atas dan batas bawah integrasi, yaitu.

(rumus Newton-Leibniz) .

Rumus ini mereduksi pencarian integral tertentu menjadi pencarian integral tak tentu. Perbedaan
disebut kenaikan antiturunan dan dilambangkan
.

Mari kita perhatikan cara utama menghitung integral tertentu: perubahan variabel (substitusi) dan integrasi per bagian.

Substitusi (perubahan variabel) pada integral tertentu - Anda perlu melakukan hal berikut:

Dan
;

Komentar. Saat mengevaluasi integral tertentu menggunakan substitusi, tidak perlu kembali ke argumen awal.

2. Integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu turun ke menggunakan rumus:

.

Contoh pemecahan masalah

Latihan 1. Temukan integral tak tentu dengan integrasi langsung.

1.
. Dengan menggunakan sifat integral tak tentu, kita keluarkan faktor konstanta dari tanda integral. Kemudian, dengan melakukan transformasi matematika dasar, kita mereduksi fungsi integran menjadi bentuk pangkat:

.

Tugas 2. Temukan integral tak tentu menggunakan metode perubahan variabel.

1.
. Mari kita membuat perubahan variabel
, Kemudian . Integral asal akan berbentuk:

Jadi, kita memperoleh integral tak tentu dari bentuk tabel: fungsi pangkat. Dengan menggunakan aturan untuk mencari integral tak tentu suatu fungsi pangkat, kita peroleh:

Setelah melakukan substitusi terbalik, kita mendapatkan jawaban akhir:

Tugas 3. Temukan integral tak tentu menggunakan metode integrasi bagian.

1.
. Mari kita perkenalkan notasi berikut: arti ... dasar konsep integral kalkulus– konsep tidak pasti integral ... tidak pasti integral Dasar properti tidak pasti integral Gunakan tabel utama tidak pasti ...

Program kerja disiplin akademik “Matematika Tinggi” Siklus

Program kerja

... dasar hukum... Integral kalkulus fungsi dari satu variabel Antiturunan. Tidak pasti integral Dan miliknya properti ... integral Dan miliknya geometris arti. Integral... koordinat. Tidak pasti integral dan... dan praktis kelas". Petrushko I.M., ...

Suatu fungsi yang dapat dipulihkan dari turunan atau diferensialnya disebut antiturunan.

Definisi. Fungsi F(x) ditelepon antiturunan untuk fungsi

f(x) pada interval tertentu, jika pada setiap titik interval ini

F"(x) = f(x)

atau, yang juga,

dF(x) = f(x)dx

Misalnya, F(x) = dosa x adalah antiturunan untuk f(x) = cosx pada seluruh garis bilangan HAIX, Karena

(dosa x)" = cos x

Jika fungsinya F(X) ada antiturunan untuk fungsi tersebut F(X) pada [ A; B], lalu fungsinya F(X) + C, Di mana C bilangan real apa pun juga merupakan antiturunan F(X) pada nilai berapa pun C. Benar-benar ( F(X) + C)" = F"(X) + C" = F(X).

Contoh.

Definisi. Jika F(x) salah satu antiturunan untuk fungsi tersebut f(x) pada [ A; B], lalu ekspresi F(x) + C, Di mana C konstanta sembarang disebut integral tak tentu dari fungsi f(x) dan dilambangkan dengan simbol ʃ F(X)dx(baca: integral tak tentu dari f(x) pada dx). Jadi,

ʃ F (X ) dx = F (X ) +C ,

Di mana f(x) disebut fungsi integran, f(x)dx- ekspresi integran, X adalah variabel integrasi, dan simbol ʃ adalah tanda integral tak tentu.

Sifat-sifat integral tak tentu dan sifat geometrinya.

Dari definisi integral tak tentu dapat disimpulkan bahwa:

1. Turunan integral tak tentu sama dengan integral:

Benar-benar, F"(X) = F(X) dan ʃ F(X)dx = F(X)+C. Kemudian

2. Diferensial integral tak tentu sama dengan integran

Benar-benar,

3. Integral tak tentu dari turunan sama dengan fungsi itu sendiri ditambah konstanta sembarang:

Benar-benar, F"(X) = F(X). Kemudian,

4. Integral tak tentu dari diferensial sama dengan fungsi terdiferensiasi ditambah konstanta sembarang:

Benar-benar, . Kemudian,

5. Pengganda konstan k(k≠ 0) dapat diambil sebagai tanda integral tak tentu:

6. Integral tak tentu dari jumlah aljabar suatu bilangan berhingga suatu fungsi sama dengan jumlah aljabar integral dari fungsi-fungsi ini:

Sebut saja grafik tersebut sebagai antiturunan F(x) dari kurva integral. Grafik antiturunan lainnya F(x) + C diperoleh dengan transfer paralel kurva integral F(x) sepanjang sumbu oh.

Contoh.

Tabel integral dasar

Teknik integrasi dasar

1. Integrasi langsung (tabel).

Integrasi langsung (tabel) adalah reduksi integral ke bentuk tabel dengan menggunakan sifat dasar dan rumus matematika dasar.

Contoh 1.

Larutan:

Contoh2 .

Larutan:

Contoh3 .

Larutan:

2. Metode membawa ke bawah diferensial.

Contoh 1.

Larutan:

Contoh2 .

Larutan:

Contoh3 .

Larutan:

Contoh4 .

Larutan:

Contoh5 .

Larutan:

Contoh6 .

Larutan:

Contoh7 .

Larutan:

Contoh8 .

Larutan:

Contoh9 .

Larutan:

Contoh10 .

Larutan:

3. Metode kedua menghubungkan ke diferensial.

Contoh 1.

Larutan:

Contoh2 .

Larutan:

4. Metode penggantian variabel (substitusi).

Contoh.

Larutan:

5. Metode integrasi per bagian.

Dengan menggunakan rumus ini, jenis integral berikut diambil:

1 jenis

, rumus berlaku N- sekali, sisanya dv.

2 jenis.

, Rumusnya diterapkan satu kali.

Contoh1 .

Larutan:

Contoh 2.

Larutan:

Contoh3 .

Larutan:

Contoh4 .

Larutan:

INTEGRASI FRAKSI RASIONAL.

Pecahan rasional adalah perbandingan dua polinomial - derajat M dan - derajat N,

Kasus-kasus berikut mungkin terjadi:

1. Jika , maka gunakan metode pembagian sudut untuk menghilangkan seluruh bagian.

2. Jika penyebutnya juga mempunyai trinomial kuadrat, maka digunakan metode penjumlahan kuadrat sempurna.

Contoh 1.

Larutan:

Contoh2 .

Larutan:

3. Metode koefisien tak tentu ketika menguraikan pecahan rasional biasa menjadi jumlah pecahan sederhana.

Pecahan rasional apa pun, di mana, dapat direpresentasikan sebagai jumlah pecahan sederhana:

Di mana A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ koefisien yang tidak pasti.

Untuk mencari koefisien tak tentu, ruas kanan harus direduksi menjadi penyebut yang sama. Karena penyebutnya bertepatan dengan penyebut pecahan di ruas kanan, maka penyebutnya dapat dibuang dan pembilangnya dapat disamakan. Kemudian, menyamakan koefisien-koefisien pada derajat yang sama X di sisi kiri dan kanan, kita memperoleh sistem persamaan linier dengan N- tidak dikenal. Setelah menyelesaikan sistem ini, kami menemukan koefisien yang diperlukan A, B, C, D dan seterusnya. Oleh karena itu, kita akan menguraikan pecahan rasional biasa menjadi pecahan yang lebih sederhana.

Mari kita lihat opsi yang memungkinkan menggunakan contoh:

1. Jika faktor penyebutnya linier dan berbeda:

2. Jika di antara faktor penyebutnya terdapat faktor pendek:

3. Jika di antara faktor penyebutnya terdapat trinomial persegi yang tidak dapat difaktorkan:

Contoh: Uraikan pecahan rasional menjadi jumlah pecahan paling sederhana. Mengintegrasikan.

Contoh 1.

Karena penyebut pecahannya sama, maka pembilangnya juga harus sama, yaitu.

Contoh 2.

Contoh3 .

Konsep integral tak tentu. diferensiasi adalah tindakan yang dengannya, jika diberikan fungsi tertentu, turunan atau diferensialnya ditemukan. Misalnya, jika F(x) = x 10, maka F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

Integrasi - Hal ini merupakan kebalikan dari diferensiasi. Dengan menggunakan integrasi pada turunan atau diferensial suatu fungsi, fungsi itu sendiri dapat ditemukan. Misalnya, jika F" (x) = 7x 6, maka F (x) == x 7, karena (x 7)" = 7x 6.

Fungsi terdiferensiasi F(x), xЄ]a; b[ dipanggil antiturunan untuk fungsi f(x) pada interval ]a; b[, jika F" (x) = f (x) untuk setiap xЄ]a; b[.

Jadi, untuk fungsi f(x) = 1/cos 3 x antiturunannya adalah fungsi F(x)= tan x, karena (tg x)"= 1/cos 2 x.

Himpunan semua fungsi antiturunan f(x) pada interval ]а; b[ dipanggil integral tak tentu dari fungsi f(x) pada interval ini dan tuliskan f (x)dx = F(x) + C. Di sini f(x)dx adalah integralnya;

F(x)-fungsi integral; variabel x integrasi: C adalah konstanta sembarang.

Misalnya, 5x 4 dx = x 5 + C, karena (x 3 + C)" = 5x 4.

Mari kita memberi sifat dasar integral tak tentu. 1. Diferensial integral tak tentu sama dengan integran:

D f(x)dx=f(x)dx.

2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi sama dengan fungsi ini yang ditambahkan ke konstanta sembarang, yaitu.

3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu:

af(x)dx = f(x)dx

4. Integral tak tentu dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar integral tak tentu setiap fungsi:

(f 1 (x) ±f 2 (x))dx = f 1 (x)dx ± f 2 (x)dx.

Rumus integrasi dasar

(integral tabel).

6.

Contoh 1. Menemukan

Larutan. Mari kita lakukan substitusi 2 - 3x 2 = t maka -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Selanjutnya, kita dapatkan

Contoh 3. Menemukan

Larutan. Misalkan 10x = t; maka 10dx = dt, maka dx=(1/10)dt.

3.

Jadi, untuk mencari sinl0xdx, Anda bisa menggunakan rumus sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, dimana k=10.

Maka sinl0xdx = -(1/10) os10х+С.

Soal dan latihan tes mandiri

1. Tindakan apa yang disebut integrasi?

2. Fungsi manakah yang disebut antiturunan dari fungsi f(x)?

3. Definisikan integral tak tentu.

4. Sebutkan sifat-sifat utama integral tak tentu.

5. Bagaimana cara memeriksa integrasi?

6. Tuliskan rumus dasar integrasi (integral tabel).

7. Temukan integral: a) b) c)

dimana a adalah batas bawah, b adalah batas atas, F(x) adalah suatu antiturunan dari fungsi f(x).

Dari rumus ini dapat diketahui tata cara menghitung integral tertentu: 1) mencari salah satu antiturunan F(x) dari suatu fungsi tertentu; 2) tentukan nilai F(x) untuk x = a dan x = b; 3) hitung selisih F (b) - F (a).

Contoh 1. Hitung integral

Larutan. Mari kita gunakan definisi pangkat dengan eksponen pecahan dan negatif dan menghitung integral tentu:

2. Segmen integrasi dapat dibagi menjadi beberapa bagian:

3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:

4. Integral jumlah fungsi sama dengan jumlah integral semua suku:

2) Mari kita tentukan batas integrasi variabel t. Untuk x=1 kita peroleh tn =1 3 +2=3, untuk x=2 kita peroleh tb =2 3 +2=10.

Contoh 3. Hitung integral

Larutan. 1) masukkan cos x=t; lalu – sinxdx =dt dan

sinxdx = -dt. 2) Mari kita tentukan limit integrasi variabel t: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0.

3) Menyatakan integran dalam bentuk t dan dt dan berpindah ke batas baru, kita peroleh

Mari kita hitung setiap integral secara terpisah:

Contoh 5. Hitung luas bangun yang dibatasi parabola y = x 2, garis lurus x = - 1, x = 2 dan sumbu absis (Gbr. 47).

Larutan. Menerapkan rumus (1), kita peroleh

itu. S=3 persegi. unit

Luas bangun ABCD (Gbr. 48), dibatasi oleh grafik fungsi kontinu y = f 1 (x) dan y f 2 = (x), dimana x Є[a, b], ruas garis x = a dan x = b, dihitung dengan rumus

		Volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu Oy trapesium lengkung aAB, dibatasi oleh kurva kontinu x=f(y), di mana y [a, b], ruas [a, b] sumbu Oy, ruas garis y = a dan y = b ( Gambar 53), dihitung dengan rumus Jalur yang diambil oleh suatu titik. Jika suatu titik bergerak lurus dan kecepatannya v=f(t) diketahui fungsi waktu t, maka lintasan yang ditempuh titik tersebut dalam selang waktu tertentu dihitung dengan rumus Pertanyaan tes mandiri 1. Memberikan definisi integral tertentu. 2. Sebutkan sifat-sifat utama integral tertentu. 3. Apa pengertian geometri integral tertentu? 4. Tuliskan rumus menentukan luas bangun datar dengan menggunakan integral tertentu. 5. Rumus apa yang digunakan untuk mencari volume suatu benda yang berputar? 6. Tuliskan rumus untuk menghitung jarak yang ditempuh benda. 7. Tuliskan rumus untuk menghitung usaha yang dilakukan oleh suatu gaya variabel. 8. Rumus apa yang digunakan untuk menghitung gaya tekanan zat cair pada pelat?

Kalkulus integral.

Fungsi antiturunan.

Definisi: Fungsi F(x) dipanggil fungsi antiturunan fungsi f(x) pada ruas tersebut jika persamaannya benar di sembarang titik pada ruas tersebut:

Perlu dicatat bahwa antiturunan untuk fungsi yang sama bisa berjumlah tak terhingga. Mereka akan berbeda satu sama lain dengan sejumlah angka yang konstan.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Integral tak tentu.

Definisi: Integral tak tentu fungsi f(x) adalah himpunan fungsi antiturunan yang didefinisikan oleh relasi:

Tuliskan:

Syarat adanya integral tak tentu pada suatu ruas tertentu adalah kontinuitas fungsi pada ruas tersebut.

Properti:

1.

2.

3.

4.

Contoh:

Menemukan nilai integral tak tentu terutama terkait dengan mencari antiturunan dari fungsi tersebut. Untuk beberapa fungsi, ini merupakan tugas yang cukup sulit. Di bawah ini kita akan mempertimbangkan metode untuk mencari integral tak tentu untuk kelas fungsi utama - rasional, irasional, trigonometri, eksponensial, dll.

Untuk memudahkan, nilai integral tak tentu dari sebagian besar fungsi dasar dikumpulkan dalam tabel integral khusus, yang terkadang cukup banyak. Mereka mencakup berbagai kombinasi fungsi yang umum digunakan. Namun sebagian besar rumus yang disajikan dalam tabel ini merupakan konsekuensi satu sama lain, oleh karena itu di bawah ini kami sajikan tabel integral dasar yang dapat digunakan untuk memperoleh nilai integral tak tentu dari berbagai fungsi.

Integral		Arti	Integral		Arti
		lnsinx+ C
		dalam

Metode integrasi.

Mari kita pertimbangkan tiga metode utama integrasi.

Integrasi langsung.

Metode integrasi langsung didasarkan pada asumsi kemungkinan nilai fungsi antiturunan dengan verifikasi lebih lanjut terhadap nilai tersebut dengan diferensiasi. Secara umum, kami mencatat bahwa diferensiasi adalah alat yang ampuh untuk memeriksa hasil integrasi.

Mari kita lihat penerapan metode ini menggunakan contoh:

Kita perlu mencari nilai integralnya . Berdasarkan rumus diferensiasi yang terkenal
kita dapat menyimpulkan bahwa integral yang dicari sama dengan
, di mana C adalah bilangan konstan. Namun, di sisi lain
. Jadi, kita akhirnya dapat menyimpulkan:

Perhatikan bahwa, berbeda dengan diferensiasi, yang menggunakan teknik dan metode yang jelas untuk mencari turunan, aturan untuk mencari turunan, dan terakhir definisi turunan, metode tersebut tidak tersedia untuk integrasi. Jika, ketika mencari turunan, kita menggunakan metode konstruktif, yang berdasarkan aturan tertentu, membuahkan hasil, maka ketika mencari antiturunan kita harus mengandalkan terutama pada pengetahuan tentang tabel turunan dan antiturunan.

Adapun metode integrasi langsung hanya berlaku untuk beberapa kelas fungsi yang sangat terbatas. Ada sangat sedikit fungsi yang dapat segera Anda temukan antiturunannya. Oleh karena itu, dalam banyak kasus, metode yang dijelaskan di bawah ini digunakan.

Metode substitusi (penggantian variabel).

Dalil: Jika Anda perlu mencari integralnya
, tetapi sulit mencari antiturunannya, maka dengan penggantian x = (t) dan dx = (t)dt kita peroleh:

Bukti : Mari kita bedakan persamaan yang diusulkan:

Menurut sifat No. 2 dari integral tak tentu yang dibahas di atas:

F(X) dx = F[  (T)]  (T) dt

yang, dengan memperhatikan notasi yang diperkenalkan, merupakan asumsi awal. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh. Temukan integral tak tentu
.

Mari kita buat penggantinya T = dosa, dt = cosxdt.

Contoh.

Penggantian
Kita mendapatkan:

Di bawah ini kita akan melihat contoh lain penggunaan metode substitusi untuk berbagai jenis fungsi.

Integrasi berdasarkan bagian.

Metode ini didasarkan pada rumus terkenal untuk turunan suatu produk:

(uv) = uv + vu

dimana u dan v adalah beberapa fungsi dari x.

Dalam bentuk diferensial: d(uv) = udv + vdu

Mengintegrasikan, kita mendapatkan:
, dan sesuai dengan sifat-sifat integral tak tentu di atas:

atau
;

Kami telah memperoleh rumus untuk integrasi per bagian, yang memungkinkan kami menemukan integral dari banyak fungsi dasar.

Contoh.

Seperti yang Anda lihat, penerapan rumus integrasi per bagian secara konsisten memungkinkan Anda menyederhanakan fungsi secara bertahap dan membawa integral ke bentuk tabel.

Contoh.

Terlihat bahwa akibat penerapan integrasi per bagian yang berulang-ulang, fungsi tersebut tidak dapat disederhanakan ke dalam bentuk tabel. Namun integral terakhir yang diperoleh tidak berbeda dengan integral aslinya. Oleh karena itu, kami memindahkannya ke sisi kiri persamaan.

Dengan demikian, integral ditemukan tanpa menggunakan tabel integral sama sekali.

Sebelum membahas secara rinci metode pengintegrasian berbagai kelas fungsi, kami memberikan beberapa contoh lagi mencari integral tak tentu dengan mereduksinya menjadi integral tabel.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Contoh.

Integrasi pecahan dasar.

Definisi: Dasar Empat jenis pecahan berikut disebut:

SAYA.
AKU AKU AKU.

II.
IV.

m, n – bilangan asli (m  2, n  2) dan b 2 – 4ac<0.

Dua jenis integral pecahan elementer yang pertama dapat disajikan secara sederhana dengan substitusi t = ax + b.

Mari kita perhatikan metode pengintegrasian pecahan dasar tipe III.

Integral pecahan tipe III dapat direpresentasikan sebagai:

Di sini, secara umum, ditampilkan reduksi integral pecahan tipe III menjadi dua integral tabel.

Mari kita lihat penerapan rumus di atas dengan menggunakan contoh.

Contoh.

Secara umum, jika trinomial ax 2 + bx + c memiliki ekspresi b 2 – 4ac >0, maka pecahan tersebut, menurut definisinya, bukanlah pecahan dasar, namun tetap dapat diintegrasikan dengan cara yang ditunjukkan di atas.

Contoh.

Contoh.

Sekarang mari kita perhatikan metode pengintegrasian pecahan sederhana tipe IV.

Pertama, mari kita pertimbangkan kasus khusus dengan M = 0, N = 1.

Kemudian integral dari bentuk tersebut
dapat direpresentasikan dengan memilih kuadrat lengkap pada penyebutnya di formulir
. Mari kita lakukan transformasi berikut:

Kami akan mengambil bagian integral kedua yang termasuk dalam persamaan ini.

Mari kita nyatakan:

Untuk integral asal diperoleh:

Rumus yang dihasilkan disebut berulang. Jika Anda menerapkannya n-1 kali, Anda mendapatkan integral tabel
.

Sekarang mari kita kembali ke integral pecahan dasar tipe IV dalam kasus umum.

Pada persamaan yang dihasilkan, integral pertama menggunakan substitusi T = kamu 2 + S direduksi menjadi tabel , dan rumus perulangan yang dibahas di atas diterapkan pada integral kedua.

Meskipun pengintegrasian pecahan dasar tipe IV terlihat rumit, dalam praktiknya cukup mudah digunakan untuk pecahan dengan derajat kecil. N, dan universalitas serta keumuman pendekatan ini memungkinkan penerapan metode ini dengan sangat sederhana di komputer.

Contoh:

Integrasi fungsi rasional.

Mengintegrasikan pecahan rasional.

Untuk mengintegrasikan pecahan rasional, perlu menguraikannya menjadi pecahan elementer.

Dalil: Jika
- pecahan rasional sejati, yang penyebutnya P(x) direpresentasikan sebagai hasil kali faktor linier dan kuadrat (perhatikan bahwa polinomial apa pun dengan koefisien real dapat direpresentasikan dalam bentuk ini: P(X) = (X - A)  …(X - B)  (X 2 + piksel + Q)  …(X 2 + rx + S)  ), maka pecahan tersebut dapat diuraikan menjadi pecahan dasar menurut skema berikut:

dimana A i, B i, M i, N i, R i, S i adalah beberapa besaran tetap.

Saat mengintegrasikan pecahan rasional, mereka terpaksa menguraikan pecahan asli menjadi pecahan dasar. Untuk mencari besaran A i, B i, M i, N i, R i, S i, disebut metode koefisien tidak pasti, yang intinya adalah agar dua polinomial sama secara identik, koefisien-koefisien pada pangkat x yang sama harus sama.

Mari kita pertimbangkan penggunaan metode ini dengan menggunakan contoh spesifik.

Contoh.

Direduksi menjadi penyebut yang sama dan menyamakan pembilang yang bersesuaian, kita mendapatkan:

Contoh.

Karena Jika pecahannya tidak wajar, Anda harus memilih seluruh bagiannya terlebih dahulu:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Mari kita faktorkan penyebut pecahan yang dihasilkan. Terlihat bahwa pada x = 3 penyebut pecahan menjadi nol. Kemudian:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Jadi 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Kemudian:

Untuk menghindari membuka tanda kurung, mengelompokkan dan menyelesaikan sistem persamaan (yang dalam beberapa kasus mungkin menjadi cukup besar) ketika mencari koefisien tak tentu, yang disebut metode nilai sewenang-wenang. Inti dari metode ini adalah bahwa beberapa (sesuai dengan jumlah koefisien yang tidak dapat ditentukan) nilai x yang berubah-ubah disubstitusikan ke dalam ekspresi di atas. Untuk menyederhanakan penghitungan, biasanya mengambil titik nilai sembarang yang penyebut pecahannya sama dengan nol, mis. dalam kasus kami – 3, -2, 1/3. Kita mendapatkan:

Akhirnya kita mendapatkan:

=

Contoh.

Mari kita cari koefisien yang belum ditentukan:

Maka nilai integral yang diberikan:

Integrasi beberapa trigonometri

fungsi.

Integral dari fungsi trigonometri dapat berjumlah tak terhingga. Sebagian besar integral ini tidak dapat dihitung sama sekali secara analitis, jadi kita akan membahas beberapa jenis fungsi terpenting yang selalu dapat diintegrasikan.

Integral dari formulir
.

Di sini R adalah sebutan dari beberapa fungsi rasional dari variabel sinx dan cosx.

Integral jenis ini dihitung dengan menggunakan substitusi
. Substitusi ini memungkinkan Anda mengubah fungsi trigonometri menjadi fungsi rasional.

,

Kemudian

Dengan demikian:

Transformasi yang dijelaskan di atas disebut substitusi trigonometri universal.

Contoh.

Keuntungan yang tidak diragukan lagi dari substitusi ini adalah dengan bantuannya Anda selalu dapat mengubah fungsi trigonometri menjadi fungsi rasional dan menghitung integral yang sesuai. Kerugiannya termasuk fakta bahwa transformasi dapat menghasilkan fungsi rasional yang agak rumit, yang integrasinya akan memakan banyak waktu dan tenaga.

Namun, jika tidak mungkin menerapkan penggantian variabel yang lebih rasional, metode ini adalah satu-satunya metode yang efektif.

Contoh.

Integral dari formulir
Jika

fungsiRkarena.

Meskipun ada kemungkinan untuk menghitung integral seperti itu menggunakan substitusi trigonometri universal, lebih rasional menggunakan substitusi T = dosa.

Fungsi
dapat memuat cosx hanya dalam pangkat genap, dan oleh karena itu dapat diubah menjadi fungsi rasional terhadap sinx.

Contoh.

Secara umum, untuk menerapkan metode ini, yang diperlukan hanyalah keanehan suatu fungsi relatif terhadap kosinus, dan derajat sinus yang termasuk dalam fungsi tersebut dapat berupa apa saja, baik bilangan bulat maupun pecahan.

Integral dari formulir
Jika

fungsiRganjil dibandingkan dengandosa.

Dengan analogi kasus di atas, dilakukan substitusi T = karena.

Contoh.

Integral dari formulir

fungsiRbahkan relatifdosaDankarena.

Untuk mengubah fungsi R menjadi fungsi rasional, gunakan substitusi

t = tgx.

Contoh.

Integral hasil kali sinus dan cosinus

berbagai argumen.

Tergantung pada jenis pekerjaannya, salah satu dari tiga rumus akan diterapkan:

Contoh.

Contoh.

Terkadang, saat mengintegrasikan fungsi trigonometri, akan lebih mudah menggunakan rumus trigonometri yang terkenal untuk mengurangi urutan fungsi.

Contoh.

Contoh.

Terkadang beberapa teknik non-standar digunakan.

Contoh.

Integrasi beberapa fungsi irasional.

Tidak semua fungsi irasional dapat mempunyai integral yang dinyatakan dengan fungsi elementer. Untuk mencari integral fungsi irasional, Anda harus menggunakan substitusi yang memungkinkan Anda mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi rasional, yang integralnya dapat dicari, seperti yang selalu diketahui.

Mari kita lihat beberapa teknik untuk mengintegrasikan berbagai jenis fungsi irasional.

Integral dari formulir
Di manaN- bilangan asli.

Menggunakan substitusi
fungsinya dirasionalisasikan.

Contoh.

Jika komposisi fungsi irasional mencakup akar-akar dengan derajat yang berbeda-beda, maka sebagai variabel baru adalah rasional untuk mengambil akar dari suatu derajat yang sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari derajat akar-akar yang termasuk dalam ekspresi.

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan sebuah contoh.

Contoh.

Integrasi diferensial binomial.