21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582< 0.

Jawaban 1; 2.

§6. Memecahkan persamaan dengan modul dan parameter

Mari kita perhatikan beberapa persamaan di mana variabel x muncul di bawah tanda modulus. Mari kita ingat hal itu

x, jika x ≥ 0,

x = − x jika x< 0.

Contoh 1: Selesaikan persamaan:

a) x − 2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X =1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x − 1

a) Jika modulus suatu bilangan adalah 3, maka bilangan tersebut sama dengan 3 atau (− 3),

yaitu x − 2 = 3, x = 5 atau x − 2 = − 3, x = − 1.

b) Dari definisi modul dapat disimpulkan bahwa

x+1

X + 1, untuk x + 1 ≥ 0,

yaitu untuk x ≥ − 1 dan

x+1

= − x − 1 di x< − 1. Выражение

2x − 3

2 x − 3 jika x ≥ 3

dan sama dengan − 2 x + 3 jika x< 3 .

X< −1

persamaannya

setara

persamaan

− x −1 −

(− 2 x + 3 ) = 1, maka berikut ini

x = 5. Namun angka 5 bukan

memenuhi kondisi x< − 1, следовательно,

di x< − 1 данное

persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

−1 ≤ x<

persamaannya

setara

persamaan

x + 1− (2x + 3) = 1, yang berarti x = 1;

nomor 1 puas-

memenuhi kondisi − 1 ≤ x<

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 5, kelas 8. Matematika. Persamaan kuadrat

x ≥

persamaannya

setara

persamaan

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, yang mempunyai solusi x = 3. Dan karena bilangan tersebut adalah 3

memenuhi kondisi x ≥

maka itu adalah solusi persamaan tersebut.

x+2

c) Jika pembilang dan penyebut pecahan

memiliki hal yang sama

x − 1

tandanya, maka pecahannya positif, dan jika berbeda, maka pecahannya negatif, yaitu.

x+2

x+2

Jika x ≤ − 2, jika x > 1,

x − 1

x − 1

x+2

Jika − 2< x < 1.

−1

Untuk x ≤ − 2

dan untuk x > 1

persamaan aslinya ekuivalen dengan persamaan tersebut

x+2

X =1, x+2

X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0.

x − 1

Persamaan terakhir tidak memiliki solusi.

Pada − 2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0.

x − 1

Mari kita cari akar persamaan ini:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13.

Ketimpangan

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Sledova-

Oleh karena itu, bilangan ini adalah solusi persamaan tersebut.

x ≥ 0 diberikan

persamaannya

setara

persamaan

x 2 − x −6 = 0,

yang akarnya adalah angka 3 dan – 2. Angka 3

memenuhi kondisi x > 0,

dan angka – 2 tidak memenuhi kondisi ini-

Oleh karena itu, hanya angka 3 yang merupakan penyelesaian dari bilangan asli

X< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 5, kelas 8. Matematika. Persamaan kuadrat
		x ≥ − 1 diberikan	persamaannya	setara				persamaan
6 x 2 − x − 1 = 0, carilah akar-akarnya: x = 1 ±				25, x = 1, x				= −1 .
Kedua akar memenuhi syarat x ≥ − 1,					oleh karena itu, memang demikian
adalah solusi dari persamaan ini. Pada				X< − 1 данное уравнение
setara dengan persamaan 6 x 2 + x + 1 = 0, yang tidak memiliki solusi.
Misalkan ekspresi f (x, a) dan g (x, a) diberikan,					bergantung pada perubahan
X	dan sebuah.	Lalu persamaannya	f (x, a) = g(x, a)		mengenai perubahan

Nuh X dipanggil persamaan dengan parameter A. Menyelesaikan persamaan dengan suatu parameter berarti, untuk setiap nilai parameter yang dapat diterima, menemukan semua solusi terhadap persamaan tertentu.

Contoh 2. Selesaikan persamaan untuk semua nilai valid parameter a:

a) kapak 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; b) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Ekspresi 4 a 2		3 > 0 untuk apa pun a ; untuk a > − 2 ada
	sebuah+2
kami memiliki dua solusi: x =			4a 2 + 3	dan x = −	4a 2		Jika	sebuah+2< 0, то
			sebuah+2		sebuah+2

ekspresi 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	Jawaban : x = ±	4a 2 + 3	Untuk a > − 2;	untuk a ≤ − 2 tidak ada solusi.
		sebuah+2
				maka x 2 = a + 3. Jika a + 3 = 0,
	b) Jika a = 3, maka x. Jika a ≠ 3,
	itu. jika a = − 3,	maka persamaan tersebut memiliki solusi unik x = 0. Ec-

apakah a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 dan a ≠ 3, maka persamaan tersebut mempunyai dua solusi: x 1 = a + 3 dan x 2 = − a + 3.

© 2011, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 5, kelas 8. Matematika. Persamaan kuadrat

a = 1 persamaan ini berbentuk

4x − 1 = 0,

x = 1

adalah keputusannya. Pada

a ≠ 1 persamaan ini adalah

persegi, diskriminannya D 1 sama dengan

(Sebuah + 1 ) 2 − (Sebuah − 1 )(Sebuah − 2 ) = 5 Sebuah − 1.

Jika 5 a − 1< 0, т.е. a < 1 ,

maka persamaan ini tidak memiliki solusi.

Jika sebuah =

maka persamaan tersebut mempunyai solusi unik

sebuah+1

x = −

sebuah − 1

−1

Jika >

dan a ≠ 1,

maka persamaan ini memiliki dua solusi:

x = − (sebuah + 1 ) ± 5 sebuah − 1 .

sebuah − 1

−(Sebuah +1 ) ±

1 jam

sebuah = 1; x = 3

di a

; x =

5a − 1

sebuah − 1

untuk> 1

dan a ≠ 1; di a< 1

persamaan tersebut tidak memiliki solusi.

§7. Memecahkan sistem persamaan. Memecahkan masalah yang direduksi menjadi persamaan kuadrat

Pada bagian ini kita akan membahas sistem yang berisi persamaan derajat kedua.

Contoh 1. Memecahkan sistem persamaan

2x + 3 tahun = 8,

xy = 2.

Dalam sistem ini, persamaan 2 x + 3 y = 8 merupakan persamaan derajat satu, dan persamaan xy = 2 merupakan persamaan derajat kedua. Mari kita selesaikan sistem ini menggunakan metode ini

© 2011, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 5, kelas 8. Matematika. Persamaan kuadrat

pergantian pemain. Dari persamaan pertama sistem, kita nyatakan x melalui y dan substitusikan persamaan x ini ke persamaan kedua sistem:

	8 − 3 tahun	4 −
				kamu, 4			kamu kamu = 2.

Persamaan terakhir direduksi menjadi persamaan kuadrat

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Kami menemukan akarnya:

4 ± 4

4 ± 2

kamu=2,kamu

Dari kondisi x = 4 −

kita mendapatkan x = 1, x

Jawaban: (1;2) dan

Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + kamu 2 = 41,

xy = 20.

Kalikan kedua ruas persamaan kedua dengan 2 dan tambahkan ke persamaan pertama

persamaan sistem:	x 2 + kamu 2 + 2xy = 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, maka
maka x + y = 9 atau x + y = − 9.
Jika x + y = 9 maka	x = 9 − kamu. Mari kita gantikan ekspresi x ini menjadi
persamaan kedua sistem:
(9 − kamu ) kamu = 20, kamu 2 − 9 kamu + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1, y = 5, y				4, x = 4, x = 5.
Dari kondisi x + y = − 9 kita memperoleh solusi (− 4; − 5) dan (− 5; − 4).
Jawaban: (± 4;± 5) , (± 5;± 4) .
Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan:
		kamu = 1,
	x−
	x−y

Mari kita tulis persamaan kedua sistem dalam bentuk

( x − kamu )( x + kamu ) = 5.

© 2011, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 5, kelas 8. Matematika. Persamaan kuadrat

Dengan menggunakan persamaan x − y = 1, kita memperoleh: x + y = 5. Jadi, kita memperoleh sistem persamaan yang ekuivalen dengan persamaan yang diberikan

	x−	kamu = 1,
		kamu = 5.

Mari kita tambahkan persamaan ini, kita mendapatkan: 2 x = 6,		x = 3, x = 9.
Substitusikan x = 9 ke dalam persamaan pertama			sistem menerima
kita mempunyai 3 − y = 1, yang berarti y = 4.
Jawaban: (9;4).	(x + kamu)(x		kamu −4 ) = −4,
Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan: (x 2 + y 2 ) xy = − 160.
				xy = v;
Mari perkenalkan variabel baru	x + kamu = kamu
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
kamu (kamu −4 ) = −4,
sistem direduksi menjadi bentuk (u 2 − 2 v ) v = − 160.
Kami memecahkan persamaan:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Kami mengganti nilai u ini ke dalam persamaan:
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v ) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, ay= 10, ay						= −8.
Kami memecahkan dua sistem persamaan:
	X + kamu = 2,
X + kamu = 2,
	Dan
xy = 10	xy = − 8.
Kami menyelesaikan kedua sistem menggunakan metode substitusi. Untuk sistem pertama yang kami miliki:
X= 2 − kamu, ( 2 − kamu) kamu= 10, kamu2 − 2 kamu+ 10 = 0.

Persamaan kuadrat yang dihasilkan tidak memiliki solusi. Untuk sistem kedua kami memiliki: X= 2 − kamu, (2 − kamu) kamu= − 8, kamu2 − 2 kamu− 8 = 0.

kamu= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, kamu1 = 4, kamu2 = − 2. KemudianX1 = − 2 DanX2 = 4. Menjawab: (− 2;4 ) Dan(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

dikalikan 3, didapat:

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 5, kelas 8. Matematika. Persamaan kuadrat

Contoh 5. Selesaikan sistem persamaan:

X 2 + 4 xy = 3,

kamu 2 + 3 xy = 2.

Dari persamaan pertama dikalikan 2, kurangi persamaan kedua,

2 X 2 − xy − 3 kamu 2 = 0.

Jika kamu= 0, lalu dan X= 0, tapi beberapa angka (0;0 ) bukanlah solusi untuk sistem asli. Mari kita bagi kedua ruas persamaan yang diperoleh

royalti aktif kamu2 ,

1 ± 5 , X = 2 kamu Dan X = − kamu .

−3

= 0,

kamu

Mari kita gantikan

arti

X =

3kamu

persamaan pertama

9 kamu2 + 6 kamu2 = 3, 11kamu2 = 4, kamu=

, X=

, X= −

Gantikan nilainya X= − kamu ke dalam persamaan pertama sistem: kamu2 − 4 kamu2 = 3, − 3 kamu2 = 3.

Tidak ada solusi.

Contoh 9. Temukan semua nilai parameter A, yang sistem persamaannya

X 2 + ( kamu − 2 ) 2 = 1,

kamu = kapak 2 .

memiliki setidaknya satu solusi.

Sistem ini disebut sistem dengan parameter. Mereka dapat diselesaikan secara analitis, yaitu. menggunakan rumus, atau Anda dapat menggunakan apa yang disebut metode grafis.

Perhatikan bahwa persamaan pertama mendefinisikan lingkaran yang berpusat di suatu titik (0;2 ) dengan jari-jari 1. Persamaan kedua di A≠ 0 mendefinisikan parabola dengan titik puncaknya di titik asal.

Jika A 2

Kasus a) parabola bersinggungan dengan lingkaran. Dari persamaan kedua sistem berikut:

ya itu X2 = kamu/ A,

gantikan nilai-nilai ini

X 2

ke dalam persamaan pertama:

1

+(kamu−2 )

= 1,

+ kamu

− 4 kamu+ 4 = 1, kamu

4 − Akamu+ 3

= 0.

Dalam kasus singgung, karena simetri, hanya ada satu nilai kamu, oleh karena itu diskriminan dari persamaan yang dihasilkan haruslah

sama dengan 0. Sejak ordinat kamu titik kontaknya positif, dll.

kamu = 2

− A

kita mendapatkan

> 0; D

1 2

4 − A

4 − A

− 12 = 0,

4 − A

> 0

kita mendapatkan: 4

= 2

= 4 −2

A =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Jika A> 2 + 2 3 , maka parabola tersebut akan memotong lingkaran di 4 titik -

© 2011, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 5, kelas 8. Matematika. Persamaan kuadrat

Oleh karena itu, sistem mempunyai paling sedikit satu solusi jika

A≥ 2 + 2 3 .

Contoh 10. Jumlah kuadrat angka-angka suatu bilangan asli dua angka adalah 9 lebih besar dari dua kali hasil kali angka-angka tersebut. Setelah membagi bilangan dua angka ini dengan jumlah angka-angkanya, hasil bagi adalah 4 dan sisanya adalah 3. Temukan bilangan dua angka ini.

Biarkan angka dua digit menjadi 10 A+ B, Di mana A Dan B- digit nomor ini. Kemudian dari kondisi masalah pertama kita peroleh: A2 + B2 = 9 + 2 ab, dan dari kondisi kedua kita peroleh: 10 A+ B= 4 (A+ B) + 3.

A 2 + B 2 = 9 + 2 ab ,

Kami memecahkan sistem persamaan: 6 A− 3 B= 3.

Dari persamaan kedua sistem kita peroleh

6A− 3B= 3, 2A− B= 1, B= 2A− 1.

Gantikan nilai ini dengan B ke persamaan pertama sistem:

A2 + ( 2A− 1) 2 = 9 + 2A( 2A− 1) , 5A2 − 4A+ 1 = 9 + 4A2 − 2A,

A2 − 2A− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, A= 1 ± 3, A1 = 4, A2 = − 2 < 0, B1 = 7.

Menjawab: 47.

Contoh 11. Setelah mencampurkan dua larutan, yang satu mengandung 48 g dan yang lainnya 20 g, kalium iodida anhidrat, diperoleh 200 g larutan baru. Tentukan konsentrasi masing-masing larutan awal jika konsentrasi larutan pertama 15% lebih besar dari konsentrasi larutan kedua.

Mari kita nyatakan dengan X% adalah konsentrasi larutan kedua, dan sesudahnya (X+ 15 ) % – konsentrasi larutan pertama.

(X+ 15 )%			X %
saya solusinya			solusi II

Dalam solusi pertama 48 g adalah (X+ 15 ) % berat total larutan,

oleh karena itu berat larutannya adalah X48 + 15 100. Dalam larutan kedua 20 g co-

© 2011, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Target:

• ulangi penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua variabel
• mendefinisikan sistem persamaan linear dengan parameter
• akan mengajari Anda cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan parameter.

Selama kelas

1. Pengorganisasian waktu
2. Pengulangan
3. Penjelasan topik baru
4. Konsolidasi
5. Ringkasan pelajaran
6. Pekerjaan rumah

2. Pengulangan:

I. Persamaan linier dengan satu variabel:

1. Mendefinisikan persamaan linear dengan satu variabel

[Persamaan yang berbentuk ax=b, dimana x adalah variabel, a dan b adalah beberapa bilangan, disebut persamaan linier dengan satu variabel]

2. Berapa banyak akar yang dimiliki suatu persamaan linier?

[- Jika a=0, b0, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi, x

Jika a=0, b=0, maka x R

Jika a0, maka persamaan tersebut mempunyai solusi unik, x =

3. Cari tahu berapa banyak akar persamaan tersebut (sesuai pilihan)

II. Persamaan linear dengan 2 variabel dan sistem persamaan linear dengan 2 variabel.

1. Mendefinisikan persamaan linear dua variabel. Berikan contoh.

[Persamaan linier dua variabel adalah persamaan berbentuk ax + by = c, dimana x dan y adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan. Misalnya, x-y=5]

2. Apa yang disebut menyelesaikan persamaan dengan dua variabel?

[Solusi persamaan dengan dua variabel adalah sepasang nilai variabel yang mengubah persamaan tersebut menjadi persamaan yang sebenarnya.]

3. Apakah pasangan nilai variabel x = 7, y = 3 merupakan solusi persamaan 2x + y = 17?

4. Grafik persamaan dua variabel disebut?

[Grafik persamaan dua variabel adalah himpunan semua titik pada bidang koordinat yang koordinatnya merupakan solusi persamaan tersebut.]

5. Cari tahu apa grafik persamaannya:

[Mari kita nyatakan variabel y melalui x: y=-1,5x+3

Rumus y=-1,5x+3 merupakan fungsi linier yang grafiknya berupa garis lurus. Karena persamaan 3x+2y=6 dan y=-1,5x+3 ekuivalen, garis ini juga merupakan grafik dari persamaan 3x+2y=6]

6. Berapakah grafik persamaan ax+bу=c dengan variabel x dan y, dimana a0 atau b0?

[Grafik persamaan linier dua variabel yang paling sedikit salah satu koefisien variabelnya bukan nol adalah garis lurus.]

7. Apa yang disebut penyelesaian sistem persamaan dua variabel?

[Solusi sistem persamaan dua variabel adalah sepasang nilai variabel yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan sejati]

8. Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan sistem persamaan?

[Menyelesaikan sistem persamaan berarti menemukan semua solusinya atau membuktikan bahwa tidak ada solusi.]

9. Cari tahu apakah sistem seperti itu selalu mempunyai solusi dan, jika ya, berapa banyak (secara grafis).

10. Berapa banyak solusi yang dapat dimiliki oleh sistem dua persamaan linear dengan dua variabel?

[Satu-satunya solusi adalah jika garis-garisnya berpotongan; tidak mempunyai solusi jika garis-garisnya sejajar; jumlahnya tak terhingga jika garis-garisnya bertepatan]

11. Persamaan apa yang biasanya mendefinisikan garis lurus?

12. Buatlah hubungan antara koefisien sudut dan suku bebas:

Opsi I: kamu=-x+2 kamu= -x-3, k 1 = k 2 , b 1 b 2, tidak ada penyelesaian;

Opsi II: kamu=-x+8 kamu=2x-1, k 1 k 2 , satu solusi;

Opsi III: kamu=-x-1 kamu=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, banyak solusi.

Kesimpulan:

1. Jika koefisien sudut garis-garis yang merupakan grafik fungsi-fungsi ini berbeda, maka garis-garis tersebut berpotongan dan sistem mempunyai solusi unik.
2. Jika koefisien sudut garis-garisnya sama, dan titik potongnya terhadap sumbu y berbeda, maka garis-garis tersebut sejajar dan sistem tidak mempunyai penyelesaian.
3. Jika koefisien sudut dan titik potong terhadap sumbu y sama, maka garis-garis tersebut berimpit dan sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tak terhingga.

Terdapat tabel di papan yang diisi secara bertahap oleh guru dan siswa.

AKU AKU AKU. Penjelasan topik baru.

Definisi: Lihat sistem

• SEBUAH 1 x+B 1 y=C
• SEBUAH 2 x+B 2 kamu=C 2

dimana A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 adalah ekspresi yang bergantung pada parameternya, dan x dan y tidak diketahui, disebut sistem dua persamaan aljabar linier dengan dua parameter yang tidak diketahui.

Kasus-kasus berikut mungkin terjadi:

1) Jika , maka sistem mempunyai solusi unik

2) Jika , maka sistem tidak mempunyai solusi

3) Jika , maka sistem tersebut mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya.

IV. Konsolidasi

Contoh 1.

Berapa nilai parameter a yang dilakukan sistem

• 2x - 3 tahun = 7
• ah - 6 tahun = 14

a) memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas;

b) mempunyai solusi unik

Menjawab:

a) jika a=4, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga;

b) jika a4, maka hanya ada satu solusi.

Contoh 2.

Selesaikan sistem persamaan

• x+(m+1)y=1
• x+2kamu=n

Solusi: a) , yaitu. untuk m1 sistem mempunyai solusi unik.

b), yaitu untuk m=1 (2=m+1) dan n1 sistem asli tidak memiliki solusi

c) , untuk m=1 dan n=1 sistem mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.

Jawaban: a) jika m=1 dan n1, maka tidak ada penyelesaian

b) m=1 dan n=1, maka penyelesaiannya adalah himpunan tak hingga

• kamu - apa saja
• x=n-2y

c) jika m1 dan n adalah sembarang, maka

Contoh 3.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Penyelesaian: Dari persamaan II kita mencari x = 1-аy dan substitusi persamaan I ke dalam persamaan

a(1-ау)-3ау=2а+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 tahun-3ау=а+3

SEBUAH(Sebuah+3)kamu=Sebuah+3

Kemungkinan kasus:

1) sebuah=0. Maka persamaannya terlihat seperti 0*y=3 [y]

Oleh karena itu, untuk a=0 sistem tidak mempunyai solusi

2) a=-3. Maka 0*y=0.

Oleh karena itu, kamu. Dalam hal ini x=1-ау=1+3у

3) a0 dan a-3. Maka y=-, x=1-a(-=1+1=2

Menjawab:

1) jika a=0, maka (x; y)

2) jika a=-3, maka x=1+3y, y

3) jika sebuah0 dan a?-3, maka x=2, y=-

Mari kita perhatikan metode kedua untuk menyelesaikan sistem (1).

Mari kita selesaikan sistem (1) menggunakan metode penjumlahan aljabar: pertama, kalikan persamaan pertama sistem dengan B 2, kedua dengan B 1 dan tambahkan persamaan ini suku demi suku, sehingga menghilangkan variabel y:

Karena A 1 B 2 -A 2 B 1 0, maka x =

Sekarang mari kita hilangkan variabel x. Caranya, kalikan persamaan pertama sistem (1) dengan A 2, dan persamaan kedua dengan A 1, lalu tambahkan kedua persamaan suku demi suku:

• SEBUAH 1 SEBUAH 2 x +A 2 B 1 kamu=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• kamu(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 -A 1 C 2

Karena A 2 B 1 -A 1 B 2 0 tahun =

Untuk kemudahan penyelesaian sistem (1), kami memperkenalkan notasi berikut:

- penentu utama

Sekarang solusi sistem (1) dapat ditulis menggunakan determinan:

Rumus yang diberikan disebut rumus Cramer.

Jika , maka sistem (1) mempunyai solusi unik: x=; kamu=

Jika , atau , maka sistem (1) tidak mempunyai penyelesaian

Jika , , , , maka sistem (1) mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga.

Dalam hal ini, sistem tersebut perlu diselidiki lebih lanjut. Dalam hal ini, sebagai suatu peraturan, persamaan tersebut direduksi menjadi satu persamaan linier. Dalam hal ini, seringkali lebih mudah untuk mempelajari sistem dengan cara berikut: dengan menyelesaikan persamaan, kita menemukan nilai spesifik dari parameter atau menyatakan salah satu parameter ke dalam parameter lain dan mengganti nilai parameter ini ke dalam sistem. Kemudian kita mendapatkan sistem dengan koefisien numerik tertentu atau dengan jumlah parameter yang lebih sedikit, yang perlu dipelajari.

Jika koefisien A 1 , A 2 , B 1 , B 2 dari sistem bergantung pada beberapa parameter, maka akan lebih mudah untuk mempelajari sistem menggunakan determinan sistem.

Contoh 4.

Untuk semua nilai parameter a, selesaikan sistem persamaannya

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Solusi: Temukan determinan sistem:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

Pelajaran “Menyelesaikan persamaan linier dengan parameter yang berisi modul.”

Tujuan: mengembangkan kemampuan menyelesaikan persamaan linear dengan parameter yang mengandung modul; mengembangkan pemikiran logis dan keterampilan kerja mandiri.

Peralatan: presentasi.

Selama kelas.

1. Untuk memperbaharui pengetahuan siswa, perlu mengulang kembali konsep modul dan menyelesaikan beberapa persamaan dengan modul: |x|=3; |x|= - 5; |x|=0.

Kemudian mintalah siswa menjawab pertanyaan: Berapa banyak akar yang dapat dimiliki suatu persamaan dengan modulus dan bergantung pada apa?

Kesimpulannya terdapat pada slide 2. Itu ditulis di buku catatan.

Analisis penyelesaian persamaan |x - 2 |= 3

Pekerjaan frontal dengan kelas: menyelesaikan persamaan 1. |x + 4 |= 0.

Memecahkan persamaan sendiri:

2. |x - 3 |= 5; 3. |4 - x |= 7; 4. |5 - x |= - 9. Periksa.

Analisis solusi Latihan 1 :

Tentukan jumlah akar persamaan

||x| +5 - a |= 2. (slide 3)

Komentar guru: ini adalah persamaan dengan parameter, yaitu. dengan variabel a. Bergantung pada nilai variabel ini, bentuk persamaannya akan berubah. Artinya banyaknya akar persamaan bergantung pada a.

Ajaklah siswa untuk menjawab pertanyaan tugas “Temukan semua nilai a, yang masing-masing memiliki persamaan ||x| +5 - dan |= 2 memiliki tepat 3 akar. (Jika nilai a lebih dari satu, tuliskan jumlahnya pada formulir jawaban). Jawaban: 7. (slide 4)

Selesaikan di papan tulis tugas 2: Temukan semua nilai a, yang masing-masing memiliki persamaan ||x| - 3 + a |= 4 mempunyai tepat 3 akar. Jawaban 1.

Pekerjaan mandiri.Latihan 3 .Temukan semua nilai a, yang masing-masing memiliki persamaan ||x| -4+ dan |= 3 memiliki tepat 1 akar. Jawaban: 7.

Tugas 4 . Untuk nilai a berapakah persamaan tersebut

|a - 5 - |x||= 3 mempunyai jumlah akar ganjil (jika nilai a lebih dari satu, tuliskan jumlahnya pada lembar jawaban). Jawaban: 10.

Ajaklah siswa untuk mencari cara menyelesaikan masalah dengan menggunakan sifat paritas suatu fungsi dan metode grafis.

7. Ringkasan pelajaran. Apa yang kamu kerjakan di kelas hari ini? Apakah ada sesuatu yang baru dan mendidik bagi Anda? Apa yang ingin Anda kerjakan pada pelajaran berikutnya?

10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1,3 x − 4 y − 6 z = − 23.

Mari kita samakan koefisien x pada persamaan pertama dan kedua; untuk melakukannya, kalikan kedua ruas persamaan pertama dengan 6, dan persamaan kedua dengan 10, kita mendapatkan:

60x − 30 y − 18z = − 54,60x + 40 y − 50z = − 10.

Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dari sistem yang dihasilkan.

Jadi, kita peroleh: 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22.

Dari persamaan kedua sistem asal kita kurangi persamaan ketiga dikalikan 2, kita peroleh: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 tahun + 7z = 45.

Sekarang kita memecahkan sistem persamaan baru:

35y − 16z = 22,12y + 7z = 45.

Pada persamaan pertama sistem baru, dikalikan 7, kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan 16, kita peroleh:

35 7 tahun + 12 16 tahun = 22 7 + 45 16,

Sekarang kita substitusikan y = 2, z = 3 ke dalam persamaan pertama sistem aslinya

topik, kita mendapatkan: 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1.

Jawaban: (1; 2;3). ▲

§ 3. Solusi sistem dengan parameter dan modul

kapak + 4 y = 2 a,

Pertimbangkan sistem persamaan

x + ay = a.

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 3, kelas 8. Matematika. Sistem persamaan.

Variabel dalam sistem ini sebenarnya ada tiga, yaitu: a, x, y. x dan y dianggap tidak diketahui, a disebut parameter. Diperlukan untuk mencari solusi (x, y) dari sistem ini untuk setiap nilai parameter a.

Mari kita tunjukkan bagaimana sistem tersebut menyelesaikan masalah. Mari kita nyatakan variabel x dari persamaan kedua sistem: x = a − ay. Kita substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan pertama sistem, kita peroleh:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Jika a = 2, maka kita mendapatkan persamaan 0 y = 0. Persamaan ini dipenuhi oleh sembarang bilangan y, dan kemudian x = 2 − 2 y, yaitu untuk a = 2, pasangan bilangan (2 − 2 y; y) merupakan solusi sistem. Karena kamu bisa

bilangan berapa pun, maka sistem dengan a = 2 mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.

Jika a = − 2, maka diperoleh persamaan 0 y = 8. Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian.

Jika sekarang a ≠ ± 2,				maka kamu =		Sebuah (2 − Sebuah)
						(2 − Sebuah )(2 + Sebuah )		2+a
x = a − ay = a −
				2+a

Jawaban: Untuk a = 2, sistem mempunyai banyak solusi berbentuk (2 − 2 y; y), dimana y adalah bilangan apa pun;

untuk a = − 2 sistem tidak mempunyai solusi;
untuk ≠ ± 2, sistem mempunyai solusi unik						. ▲
		2+a		2+a

Kami memecahkan sistem ini dan menetapkan berapa nilai parameter a yang dimiliki sistem, kapan sistem tersebut memiliki banyak solusi tak terhingga, dan berapa nilai parameter a yang tidak memiliki solusi.

Contoh 1: Selesaikan sistem persamaan

© 2010, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 3, kelas 8. Matematika. Sistem persamaan.

−3

kamu − 1

3x − 2 tahun = 5.

Dari persamaan kedua sistem kita nyatakan x melalui y, kita peroleh

2 tahun + 5

kita substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan pertama sistem

topik, kita mendapatkan:

2 tahun + 5

−3

kamu − 1

−3

−1

5 = 0

Ekspresi

kamu = −

kamu > −

; Jika

−5

= −y

Ekspresi y − 1 = 0,

jika y = 1. Jika

y > 1, lalu

kamu − 1

Y − 1, dan es-

apakah kamu< 1, то

kamu − 1

1 − kamu .

Jika y ≥ 1, maka

kamu − 1

Y−1 dan

kita mendapatkan persamaan:

−3(kamu

− 1) = 3,

−3 tahun

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Bilangan 2 > 1, maka pasangan (3;2) adalah kembali

mengubah sistem.

Biarkan sekarang

5 ≤ kamu<1,

kamu − 1

− kamu;

temuan

kita mendapatkan

persamaannya

3 tahun−3

4 tahun + 10

3 tahun = 6,

13 tahun = 8

© 2010, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 3, kelas 8. Matematika. Sistem persamaan.

(2 tahun + 5) =

Tapi kurang dari

jadi beberapa angka

adalah solusi untuk sistem.

kamu< −

maka kita mendapatkan persamaan:

3 tahun−3

4 tahun -

3 tahun = 6,

5 tahun =

28, kamu = 28.

arti

jadi tidak ada solusi.

Jadi, sistem memiliki dua solusi (3;2) dan 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Memecahkan masalah dengan menggunakan sistem persamaan

Contoh 1. Sebuah mobil menempuh perjalanan dari kota ke desa dalam waktu 2,5 jam. Jika ia menambah kecepatannya sebesar 20 km/jam, maka dalam waktu 2 jam ia akan menempuh jarak 15 km lebih jauh dari jarak kota ke desa. Temukan jarak ini.

Mari kita nyatakan dengan S jarak antara kota dan desa dan dengan V kecepatan mobil. Kemudian untuk mencari S kita memperoleh sistem dua persamaan

2.5V = S,

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 3, kelas 8. Matematika. Sistem persamaan.

ke dalam persamaan kedua:		S + 20 2	S+15,		S = 25,	S = 125.

Jawaban: 125 km. ▲

Contoh 2.Jumlah angka-angka suatu bilangan dua angka adalah 15. Jika angka-angka tersebut ditukar, maka diperoleh bilangan yang lebih banyak 27 dari bilangan aslinya. Temukan angka-angka ini.

Misalkan bilangan yang diberikan ab, yaitu. banyaknya puluhan adalah a, dan banyaknya satuan adalah b. Dari syarat pertama soal kita peroleh: a + b = 15. Jika kita mengurangkan bilangan ab dari bilangan ba, kita mendapatkan 27, maka kita memperoleh persamaan kedua: 10 b + a − (10 a + b) = 27.x

tahun ajaran 2010-2011 tahun., No. 3, kelas 8. Matematika. Sistem persamaan.

Kalikan kedua ruas persamaan dengan 20, kita peroleh: x + 8 y = 840. Untuk mencari x dan y kita memperoleh sistem persamaan

Jawaban: 40 ton, 100 ton

Contoh 4. Seorang operator komputer, yang bekerja dengan seorang siswa, memproses suatu tugas dalam waktu 2 jam 24 menit. Jika operator bekerja selama 2 jam, dan pelajar selama 1 jam, maka

anak-anak menyelesaikan 2 3 dari seluruh pekerjaan. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk beroperasi

ru dan siswa secara terpisah untuk memproses tugas?

Mari kita nyatakan semua pekerjaan dengan 1, produktivitas operator dengan x, dan produktivitas siswa dengan y. Kami memperhitungkan hal itu

2 jam 24 menit = 2 5 2 jam = 12 5 jam.

Dari soal syarat pertama didapat (x+y) 12 5 = 1. Dari syarat soal kedua didapat 2 x + y = 2 3. Kami menerima sistem persamaan

(x+y)

2 x + kamu =

Kami menyelesaikan sistem ini menggunakan metode substitusi:

− 2x ;

−2x

−x

− 1;

; x =

; kamu=

© 2010, FZFTSH di MIPT. Disusun oleh: Yakovleva Tamara Kharitonovna

1. Sistem persamaan linear dengan parameter

Sistem persamaan linier dengan parameter diselesaikan dengan metode dasar yang sama seperti sistem persamaan biasa: metode substitusi, metode penjumlahan persamaan, dan metode grafis. Pengetahuan tentang interpretasi grafis sistem linier memudahkan menjawab pertanyaan tentang jumlah akar dan keberadaannya.

Contoh 1.

Temukan semua nilai parameter a yang sistem persamaannya tidak memiliki solusi.

(x + (sebuah 2 – 3)kamu = sebuah,
(x + kamu = 2.

Larutan.

Mari kita lihat beberapa cara untuk menyelesaikan tugas ini.

1 cara. Kita menggunakan sifat: sistem tidak mempunyai solusi jika rasio koefisien di depan x sama dengan rasio koefisien di depan y, tetapi tidak sama dengan rasio suku bebas (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Lalu kita punya:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 atau sistem

(dan 2 – 3 = 1,
(sebuah ≠ 2.

Oleh karena itu, dari persamaan pertama a 2 = 4, dengan memperhatikan syarat a ≠ 2, kita memperoleh jawabannya.

Jawaban: a = -2.

Metode 2. Kita menyelesaikannya dengan metode substitusi.

(2 – kamu + (sebuah 2 – 3)kamu = sebuah,
(x = 2 – kamu,

((sebuah 2 – 3)kamu – kamu = a – 2,
(x = 2 – kamu.

Setelah mengeluarkan faktor persekutuan y dari tanda kurung pada persamaan pertama, kita memperoleh:

((Sebuah 2 – 4)kamu = Sebuah – 2,
(x = 2 – kamu.

Sistem tidak memiliki solusi jika persamaan pertama tidak memiliki solusi

(dan 2 – 4 = 0,
(Sebuah – 2 ≠ 0.

Jelasnya a = ±2, namun dengan memperhatikan kondisi kedua, jawabannya hanya muncul jawaban minus.

Menjawab: sebuah = -2.

Contoh 2.

Temukan semua nilai parameter a yang sistem persamaannya memiliki jumlah solusi tak terhingga.

(8x + ay = 2,
(kapak + 2y = 1.

Larutan.

Berdasarkan sifat tersebut, jika perbandingan koefisien x dan y sama, dan sama dengan perbandingan anggota bebas sistem, maka sistem mempunyai jumlah penyelesaian yang tak terhingga (yaitu a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Oleh karena itu 8/a = a/2 = 2/1. Menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan, kita menemukan bahwa a = 4 adalah jawabannya dalam contoh ini.

Menjawab: sebuah = 4.

2. Sistem persamaan rasional dengan parameter

Contoh 3.

(3|x| + kamu = 2,
(|x| + 2y = a.

Larutan.

Mari kalikan persamaan pertama sistem dengan 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita mendapatkan 5|x| = 4 – sebuah. Persamaan ini akan mempunyai solusi unik untuk a = 4. Dalam kasus lain, persamaan ini akan mempunyai dua solusi (untuk a< 4) или ни одного (при а > 4).

Jawaban: a = 4.

Contoh 4.

Temukan semua nilai parameter a yang sistem persamaannya mempunyai solusi unik.

(x + kamu = a,
(kamu – x 2 = 1.

Larutan.

Kami akan menyelesaikan sistem ini menggunakan metode grafis. Jadi, grafik persamaan kedua sistem tersebut adalah parabola yang ditinggikan sepanjang sumbu Oy ke atas sebesar satu satuan segmen. Persamaan pertama menentukan himpunan garis yang sejajar dengan garis y = -x (gambar 1). Terlihat jelas dari gambar bahwa sistem mempunyai penyelesaian jika garis lurus y = -x + a bersinggungan dengan parabola di suatu titik dengan koordinat (-0,5, 1,25). Substitusikan koordinat-koordinat ini ke persamaan garis lurus sebagai ganti x dan y, kita cari nilai parameter a:

1,25 = 0,5 + a;

Jawaban: a = 0,75.

Contoh 5.

Dengan menggunakan metode substitusi, cari tahu berapa nilai parameter a, sistem mempunyai solusi unik.

(kapak – y = a + 1,
(kapak + (a + 2)y = 2.

Larutan.

Dari persamaan pertama kita nyatakan y dan substitusikan ke persamaan kedua:

(y = kapak – a – 1,
(kapak + (a + 2)(kapak – a – 1) = 2.

Mari kita turunkan persamaan kedua menjadi bentuk kx = b, yang akan mempunyai solusi unik untuk k ≠ 0. Kita mempunyai:

kapak + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Kita menyatakan trinomial persegi a 2 + 3a + 2 sebagai hasil kali tanda kurung

(a + 2)(a + 1), dan di sebelah kiri kita keluarkan x dari tanda kurung:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Jelasnya, a 2 + 3a tidak boleh sama dengan nol, oleh karena itu,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, artinya a ≠ 0 dan ≠ -3.

Menjawab: sebuah ≠ 0; ≠ -3.

Contoh 6.

Dengan menggunakan metode solusi grafis, tentukan berapa nilai parameter a sistem yang memiliki solusi unik.

(x 2 + kamu 2 = 9,
(kamu – |x| = sEBUAH.

Larutan.

Berdasarkan kondisi tersebut, kita buatlah sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal dan berjari-jari 3 satuan ruas, hal ini ditentukan oleh persamaan pertama sistem tersebut.

x 2 + y 2 = 9. Persamaan kedua sistem (y = |x| + a) adalah garis putus-putus. Dengan menggunakan Gambar 2 Kami mempertimbangkan semua kemungkinan kasus lokasinya relatif terhadap lingkaran. Sangat mudah untuk melihat bahwa a = 3.

Jawaban: a = 3.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan sistem persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.