Saya pikir Anda pantas mendapatkan lebih dari ini. Inilah kunci trigonometri saya:

• Gambarlah kubah, dinding, dan langit-langit
• Fungsi trigonometri tidak lain hanyalah persentase dari ketiga bentuk tersebut.

Metafora sinus dan kosinus: kubah

Daripada hanya melihat segitiga itu sendiri, bayangkan aksinya dengan menemukan contoh spesifik di kehidupan nyata.

Bayangkan Anda berada di tengah-tengah kubah dan ingin menggantung layar proyektor film. Anda mengarahkan jari Anda ke kubah pada sudut tertentu “x”, dan layar harus digantung dari titik ini.

Sudut yang Anda tunjuk menentukan:

• sinus(x) = sin(x) = tinggi layar (dari lantai ke titik pemasangan kubah)
• cosinus(x) = cos(x) = jarak dari Anda ke layar (menurut lantai)
• sisi miring, jarak dari Anda ke bagian atas layar, selalu sama, sama dengan jari-jari kubah

Apakah Anda ingin layarnya sebesar mungkin? Gantungkan tepat di atas Anda.

Apakah Anda ingin layar digantung sejauh mungkin dari Anda? Gantung lurus tegak lurus. Layar akan memiliki ketinggian nol pada posisi ini dan akan menggantung paling jauh, seperti yang Anda minta.

Tinggi dan jarak dari layar berbanding terbalik: semakin dekat layar digantung, semakin besar tingginya.

Sinus dan kosinus adalah persentase

Sayangnya, selama bertahun-tahun saya belajar, tidak ada seorang pun yang menjelaskan kepada saya bahwa fungsi trigonometri sinus dan kosinus tidak lebih dari persentase. Nilainya berkisar dari +100% hingga 0 hingga -100%, atau dari maksimum positif hingga nol hingga maksimum negatif.

Katakanlah saya membayar pajak sebesar 14 rubel. Anda tidak tahu berapa jumlahnya. Tetapi jika Anda mengatakan bahwa saya membayar pajak sebesar 95%, Anda akan mengerti bahwa saya hanya ditipu.

Tinggi mutlak tidak berarti apa-apa. Tetapi jika nilai sinusnya 0,95, maka saya mengerti bahwa TV tersebut tergantung hampir di atas kubah Anda. Segera ia akan mencapai ketinggian maksimumnya di tengah kubah, dan kemudian mulai menurun lagi.

Bagaimana cara menghitung persentase ini? Caranya sangat sederhana: bagilah tinggi layar saat ini dengan jumlah maksimum yang mungkin (jari-jari kubah, juga disebut sisi miring).

Itu sebabnya kita diberitahu bahwa “cosinus = sisi berlawanan / sisi miring.” Ini semua tentang mendapatkan minat! Yang terbaik adalah mendefinisikan sinus sebagai “persentase ketinggian saat ini dari ketinggian maksimum yang mungkin”. (Sinus menjadi negatif jika sudut Anda mengarah ke “bawah tanah.” Kosinus menjadi negatif jika sudut mengarah ke titik kubah di belakang Anda.)

Mari kita sederhanakan perhitungannya dengan mengasumsikan kita berada di pusat lingkaran satuan (radius = 1). Kita bisa melewati pembagian dan mengambil sinus sama dengan tingginya.

Setiap lingkaran pada dasarnya adalah satu lingkaran, yang diperbesar atau diperkecil sesuai ukuran yang diinginkan. Jadi tentukan koneksi lingkaran satuan dan terapkan hasilnya pada ukuran lingkaran spesifik Anda.

Eksperimen: ambil sudut mana pun dan lihat berapa persentase tinggi dan lebar yang ditampilkan:

Grafik pertumbuhan nilai sinus tidak sekedar garis lurus. 45 derajat pertama mencakup 70% ketinggian, namun 10 derajat terakhir (dari 80° hingga 90°) hanya mencakup 2%.

Hal ini akan memperjelas bagi Anda: jika Anda berjalan melingkar, pada suhu 0° Anda akan naik hampir secara vertikal, namun saat Anda mendekati puncak kubah, perubahan ketinggiannya semakin berkurang.

Garis singgung dan garis potong. Dinding

Suatu hari seorang tetangga membangun tembok tepat bersebelahan ke kubahmu. Menangis pemandangan Anda dari jendela dan harga bagus untuk dijual kembali!

Tetapi apakah mungkin untuk menang dalam situasi ini?

Tentu saja ya. Bagaimana jika kita menggantungkan layar film tepat di dinding tetangga kita? Anda menargetkan sudut (x) dan mendapatkan:

• tan(x) = tan(x) = tinggi layar di dinding
• jarakmu ke tembok: 1 (ini jari-jari kubahmu, tembok tidak bergerak kemana pun darimu kan?)
• garis potong(x) = detik(x) = “panjang tangga” dari Anda berdiri di tengah kubah hingga puncak layar gantung

Mari kita perjelas beberapa poin mengenai garis singgung, atau tinggi layar.

• itu dimulai dari 0, dan bisa menjadi sangat tinggi. Anda dapat meregangkan layar semakin tinggi di dinding untuk membuat kanvas tanpa akhir untuk menonton film favorit Anda! (Untuk yang sebesar itu tentunya harus mengeluarkan banyak uang).
• tangen hanyalah versi sinus yang lebih besar! Dan meskipun peningkatan sinus melambat saat Anda bergerak menuju puncak kubah, garis singgungnya terus bertambah!

Sekansu juga memiliki sesuatu untuk dibanggakan:

• Garis potong dimulai dari 1 (tangga ada di lantai, dari Anda ke dinding) dan mulai naik dari sana
• Garis potong selalu lebih panjang dari garis singgung. Tangga miring yang Anda gunakan untuk menggantung layar harus lebih panjang dari layar itu sendiri, bukan? (Dengan ukuran yang tidak realistis, ketika layarnya sangat panjang dan tangga harus ditempatkan hampir secara vertikal, ukurannya hampir sama. Namun potongannya akan sedikit lebih panjang).

Ingat, nilainya adalah persen. Jika Anda memutuskan untuk menggantung layar pada sudut 50 derajat, tan(50)=1,19. Layar Anda 19% lebih besar dari jarak ke dinding (radius kubah).

(Masukkan x=0 dan periksa intuisi Anda - tan(0) = 0 dan detik(0) = 1.)

Kotangen dan kosekan. Langit-langit

Hebatnya, tetangga Anda kini memutuskan untuk membangun atap di atas kubah Anda. (Ada apa dengan dia? Rupanya dia tidak ingin kamu memata-matainya saat dia berjalan telanjang di halaman...)

Nah, inilah waktunya membangun jalan keluar ke atap dan berbicara dengan tetangga Anda. Anda memilih sudut kemiringan dan memulai konstruksi:

• jarak vertikal antara outlet atap dan lantai selalu 1 (jari-jari kubah)
• kotangen(x) = cot(x) = jarak antara puncak kubah dan titik keluar
• cosecant(x) = csc(x) = panjang jalan menuju atap

Garis singgung dan garis potong menggambarkan dinding, sedangkan garis singgung dan garis potong CO menggambarkan langit-langit.

Kesimpulan intuitif kami kali ini serupa dengan kesimpulan sebelumnya:

• Jika Anda mengambil sudut sama dengan 0°, jalan keluar Anda ke atap akan bertahan selamanya, karena tidak akan pernah mencapai langit-langit. Masalah.
• “Tangga” terpendek ke atap akan diperoleh jika Anda membangunnya dengan sudut 90 derajat ke lantai. Kotangennya akan sama dengan 0 (kita tidak bergerak di sepanjang atap sama sekali, kita keluar secara tegak lurus), dan kosekan akan sama dengan 1 (“panjang tangga” akan minimal).

Visualisasikan koneksi

Jika ketiga kasus tersebut digambar dalam kombinasi kubah-dinding-langit-langit, maka hasilnya adalah sebagai berikut:

Ya, masih segitiga yang sama, diperbesar ukurannya hingga mencapai dinding dan langit-langit. Kita mempunyai sisi vertikal (sinus, tangen), sisi horizontal (kosinus, kotangen) dan “sisi miring” (garis potong, kosekan). (Dengan panah Anda dapat melihat jangkauan setiap elemen. Kosekan adalah jarak total dari Anda ke atap).

Sedikit keajaiban. Semua segitiga mempunyai persamaan yang sama:

Dari teorema Pythagoras (a 2 + b 2 = c 2) kita melihat bagaimana sisi-sisi setiap segitiga dihubungkan. Selain itu, rasio “tinggi dan lebar” juga harus sama untuk semua segitiga. (Cukup berpindah dari segitiga terbesar ke segitiga lebih kecil. Ya, ukurannya telah berubah, tetapi proporsi sisi-sisinya akan tetap sama).

Mengetahui sisi mana pada setiap segitiga yang sama dengan 1 (jari-jari kubah), kita dapat dengan mudah menghitung bahwa “sin/cos = tan/1”.

Saya selalu berusaha mengingat fakta-fakta ini melalui visualisasi sederhana. Dalam gambar Anda dengan jelas melihat ketergantungan ini dan memahami dari mana asalnya. Teknik ini jauh lebih baik dibandingkan menghafal rumus kering.

Jangan lupakan sudut lainnya

Psst... Jangan terjebak pada satu grafik, mengira garis singgungnya selalu kurang dari 1. Jika sudutnya diperbesar, Anda bisa mencapai langit-langit tanpa mencapai dinding:

Koneksi Pythagoras selalu berhasil, tetapi ukuran relatifnya mungkin berbeda.

(Anda mungkin telah memperhatikan bahwa rasio sinus dan cosinus selalu yang terkecil karena keduanya terdapat di dalam kubah).

Ringkasnya: apa yang perlu kita ingat?

Bagi sebagian besar dari kita, menurut saya ini sudah cukup:

• trigonometri menjelaskan anatomi objek matematika seperti lingkaran dan interval berulang
• Analogi kubah/dinding/atap menunjukkan hubungan antara fungsi trigonometri yang berbeda
• Fungsi trigonometri menghasilkan persentase, yang kita terapkan pada skrip kita.

Anda tidak perlu menghafal rumus seperti 1 2 + cot 2 = csc 2 . Mereka hanya cocok untuk tes bodoh di mana pengetahuan tentang suatu fakta dianggap sebagai pemahaman. Luangkan waktu sebentar untuk menggambar setengah lingkaran dalam bentuk kubah, dinding dan atap, beri label pada elemen-elemennya, dan semua rumus akan muncul di atas kertas.

Aplikasi: Fungsi Invers

Fungsi trigonometri apa pun menggunakan sudut sebagai parameter masukan dan mengembalikan hasilnya sebagai persentase. dosa(30) = 0,5. Artinya sudut 30 derajat menempati 50% dari ketinggian maksimum.

Fungsi trigonometri terbalik dituliskan sebagai sin -1 atau arcsin. Asin juga sering ditulis dalam berbagai bahasa pemrograman.

Jika tinggi kita 25% dari tinggi kubah, berapakah sudut kita?

Dalam tabel proporsi kami, Anda dapat menemukan rasio di mana garis potong dibagi 1. Misalnya, garis potong dengan 1 (sisi miring terhadap horizontal) akan sama dengan 1 dibagi kosinus:

Katakanlah garis potong kita adalah 3,5, mis. 350% jari-jari lingkaran satuan. Berapa sudut kemiringan dinding yang sesuai dengan nilai ini?

Lampiran: Beberapa contoh

Contoh: Carilah sinus sudut x.

Sebuah tugas yang membosankan. Mari kita rumitkan “temukan sinus” yang dangkal menjadi “Berapa tinggi sebagai persentase maksimum (sisi miring)?”

Pertama, perhatikan bahwa segitiga itu diputar. Tidak ada yang salah dengan itu. Segitiga juga mempunyai tinggi, ditunjukkan dengan warna hijau pada gambar.

Berapakah sisi miringnya? Berdasarkan teorema Pythagoras, kita mengetahui bahwa:

3 2 + 4 2 = sisi miring 2 25 = sisi miring 2 5 = sisi miring

Bagus! Sinus adalah persentase tinggi sisi terpanjang segitiga, atau sisi miring. Dalam contoh kita, sinusnya adalah 3/5 atau 0,60.

Tentu saja, kita bisa menempuh beberapa cara. Sekarang kita tahu bahwa sinusnya adalah 0,60, kita dapat mencari arcsinusnya:

Asin(0,6)=36,9

Inilah pendekatan lain. Perhatikan bahwa segitiga tersebut “menghadap dinding”, jadi kita dapat menggunakan garis singgung sebagai pengganti sinus. Tingginya 3, jarak ke tembok 4, jadi garis singgungnya adalah ¾ atau 75%. Kita dapat menggunakan tangen busur untuk berpindah dari nilai persentase kembali ke suatu sudut:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Contoh: Maukah kamu berenang ke pantai?

Anda berada di dalam perahu dan memiliki cukup bahan bakar untuk menempuh jarak 2 km. Anda sekarang berada 0,25 km dari pantai. Pada sudut maksimum ke pantai berapakah Anda dapat berenang ke sana sehingga Anda memiliki cukup bahan bakar? Tambahan pada rumusan masalah: kita hanya mempunyai tabel nilai arc cosinus.

Apa yang kita miliki? Garis pantai dapat direpresentasikan sebagai “dinding” dalam segitiga terkenal kita, dan “panjang tangga” yang menempel pada dinding adalah jarak maksimum yang mungkin ditempuh perahu ke pantai (2 km). Sebuah garis potong muncul.

Pertama, Anda perlu melihat persentasenya. Kita mempunyai 2 / 0,25 = 8, yaitu kita dapat berenang dengan jarak 8 kali jarak lurus ke pantai (atau ke dinding).

Timbul pertanyaan: “Apa yang dimaksud dengan garis potong 8?” Tapi kita tidak bisa menjawabnya, karena kita hanya punya arc cosinus.

Kita menggunakan dependensi yang diturunkan sebelumnya untuk menghubungkan garis potong dengan kosinus: “sec/1 = 1/cos”

Garis potong dari 8 sama dengan kosinus dari ⅛. Sudut yang kosinusnya sama dengan acos(1/8) = 82,8. Dan ini adalah sudut terbesar yang mampu kita peroleh pada kapal dengan jumlah bahan bakar yang ditentukan.

Tidak buruk, bukan? Tanpa analogi langit-langit-dinding-kubah, saya akan tersesat dalam banyak rumus dan perhitungan. Memvisualisasikan masalah sangat menyederhanakan pencarian solusi, dan menarik juga untuk melihat fungsi trigonometri mana yang pada akhirnya akan membantu.

Untuk setiap soal, pikirkan seperti ini: Apakah saya tertarik dengan kubah (sin/cos), dinding (tan/detik), atau langit-langit (ranjang bayi/csc)?

Dan trigonometri akan menjadi lebih menyenangkan. Perhitungan mudah untuk Anda!

Salah satu bidang matematika yang paling sulit dikuasai siswa adalah trigonometri. Tidak mengherankan: untuk leluasa menguasai bidang ilmu ini, diperlukan pemikiran spasial, kemampuan mencari sinus, cosinus, garis singgung, kotangen dengan menggunakan rumus, menyederhanakan ekspresi, dan mampu menggunakan bilangan pi dalam perhitungan. Selain itu, Anda harus bisa menggunakan trigonometri saat membuktikan teorema, dan ini memerlukan memori matematika yang berkembang atau kemampuan untuk menyimpulkan rantai logika yang kompleks.

Asal usul trigonometri

Mengenal ilmu ini sebaiknya diawali dengan pengertian sinus, cosinus dan tangen suatu sudut, namun terlebih dahulu perlu dipahami terlebih dahulu apa fungsi trigonometri secara umum.

Secara historis, objek kajian utama cabang ilmu matematika ini adalah segitiga siku-siku. Kehadiran sudut 90 derajat memungkinkan untuk melakukan berbagai operasi yang memungkinkan seseorang untuk menentukan nilai semua parameter gambar yang bersangkutan dengan menggunakan dua sisi dan satu sudut atau dua sudut dan satu sisi. Di masa lalu, orang memperhatikan pola ini dan mulai menggunakannya secara aktif dalam konstruksi bangunan, navigasi, astronomi, dan bahkan seni.

Tahap pertama

Awalnya orang membicarakan hubungan sudut dan sisi hanya dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku. Kemudian ditemukan rumus-rumus khusus yang memungkinkan untuk memperluas batas-batas penggunaan cabang matematika ini dalam kehidupan sehari-hari.

Pembelajaran trigonometri di sekolah saat ini dimulai dengan segitiga siku-siku, setelah itu siswa menggunakan pengetahuan yang diperoleh dalam fisika dan menyelesaikan persamaan trigonometri abstrak, yang dimulai di sekolah menengah.

Trigonometri bola

Belakangan, ketika ilmu pengetahuan mencapai tingkat perkembangan berikutnya, rumus dengan sinus, cosinus, tangen, kotangen mulai digunakan dalam geometri bola, di mana aturan yang berbeda berlaku, dan jumlah sudut dalam segitiga selalu lebih dari 180 derajat. Bagian ini tidak dipelajari di sekolah, tetapi perlu diketahui keberadaannya setidaknya karena permukaan bumi, dan permukaan planet lain, berbentuk cembung, artinya setiap penandaan permukaan akan “berbentuk busur” menjadi tiga. ruang -dimensi.

Ambil globe dan utasnya. Pasangkan benang ke dua titik mana pun pada bola bumi agar kencang. Harap dicatat - itu berbentuk busur. Geometri bola berkaitan dengan bentuk-bentuk seperti itu, yang digunakan dalam geodesi, astronomi, dan bidang teoretis dan terapan lainnya.

Segitiga siku-siku

Setelah mempelajari sedikit tentang cara penggunaan trigonometri, mari kita kembali ke trigonometri dasar agar lebih memahami apa itu sinus, kosinus, tangen, perhitungan apa yang dapat dilakukan dengan bantuannya, dan rumus apa yang digunakan.

Langkah pertama adalah memahami konsep-konsep yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Pertama, sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Ini yang terpanjang. Kita ingat bahwa menurut teorema Pythagoras, nilai numeriknya sama dengan akar jumlah kuadrat dua sisi lainnya.

Misalnya, jika kedua sisinya masing-masing berukuran 3 dan 4 sentimeter, maka panjang sisi miringnya adalah 5 sentimeter. Ngomong-ngomong, orang Mesir kuno mengetahui hal ini sekitar empat setengah ribu tahun yang lalu.

Dua sisi sisanya yang membentuk sudut siku-siku disebut kaki. Selain itu, kita harus ingat bahwa jumlah sudut pada segitiga pada sistem koordinat persegi panjang adalah 180 derajat.

Definisi

Terakhir, dengan pemahaman yang kuat tentang dasar geometri, kita dapat beralih ke definisi sinus, kosinus, dan tangen suatu sudut.

Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (yaitu sisi yang berhadapan dengan sudut yang diinginkan) dengan sisi miring. Kosinus suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring.

Ingatlah bahwa sinus dan cosinus tidak boleh lebih besar dari satu! Mengapa? Karena sisi miring secara default adalah yang terpanjang. Tidak peduli berapa panjang kakinya, sisi miringnya akan lebih pendek dari sisi miringnya, yang berarti rasionya akan selalu kurang dari satu. Oleh karena itu, jika dalam jawaban suatu soal Anda mendapatkan sinus atau cosinus yang nilainya lebih besar dari 1, carilah kesalahan dalam perhitungan atau penalarannya. Jawaban ini jelas salah.

Terakhir, garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Membagi sinus dengan cosinus akan memberikan hasil yang sama. Lihat: sesuai rumus, kita membagi panjang sisi dengan sisi miring, lalu membaginya dengan panjang sisi kedua dan mengalikannya dengan sisi miring. Dengan demikian, kita memperoleh hubungan yang sama seperti pada definisi tangen.

Oleh karena itu, kotangen adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sudut dengan sisi yang berlawanan. Kita mendapatkan hasil yang sama dengan membagi satu dengan garis singgung.

Jadi, kita telah melihat definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, dan kita bisa beralih ke rumusnya.

Rumus paling sederhana

Dalam trigonometri Anda tidak dapat melakukannya tanpa rumus - bagaimana menemukan sinus, kosinus, tangen, kotangen tanpa rumus tersebut? Tapi inilah yang dibutuhkan ketika memecahkan masalah.

Rumus pertama yang perlu Anda ketahui saat mulai mempelajari trigonometri adalah jumlah kuadrat sinus dan cosinus suatu sudut sama dengan satu. Rumus ini merupakan konsekuensi langsung dari teorema Pythagoras, namun menghemat waktu jika Anda perlu mengetahui besar sudut, bukan sisinya.

Banyak siswa yang tidak dapat mengingat rumus kedua, yang juga sangat populer ketika menyelesaikan soal sekolah: jumlah satu dan kuadrat garis singgung suatu sudut sama dengan satu dibagi kuadrat kosinus sudut. Perhatikan lebih dekat: ini adalah pernyataan yang sama seperti pada rumus pertama, hanya kedua ruas identitasnya dibagi dengan kuadrat kosinus. Ternyata operasi matematika sederhana membuat rumus trigonometri tidak bisa dikenali sama sekali. Ingat: mengetahui apa itu sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, aturan transformasi, dan beberapa rumus dasar, Anda kapan saja dapat memperoleh rumus yang lebih kompleks yang diperlukan pada selembar kertas.

Rumus sudut ganda dan penjumlahan argumen

Dua rumus lagi yang perlu Anda pelajari terkait dengan nilai sinus dan cosinus jumlah dan selisih sudut. Mereka disajikan pada gambar di bawah ini. Harap dicatat bahwa dalam kasus pertama, sinus dan kosinus dikalikan dua kali, dan dalam kasus kedua, hasil kali berpasangan dari sinus dan kosinus ditambahkan.

Ada juga rumus yang terkait dengan argumen sudut ganda. Mereka sepenuhnya berasal dari yang sebelumnya - sebagai latihan, cobalah mendapatkannya sendiri dengan mengambil sudut alfa sama dengan sudut beta.

Terakhir, perhatikan bahwa rumus sudut ganda dapat disusun ulang untuk mengurangi pangkat sinus, kosinus, tangen alfa.

Teorema

Dua teorema utama dalam trigonometri dasar adalah teorema sinus dan teorema kosinus. Dengan menggunakan teorema ini, Anda dapat dengan mudah memahami cara mencari sinus, kosinus, dan tangen, dan luas bangun, ukuran setiap sisinya, dll.

Teorema sinus menyatakan bahwa membagi panjang masing-masing sisi segitiga dengan sudut yang berhadapan akan menghasilkan bilangan yang sama. Selain itu, bilangan ini akan sama dengan dua jari-jari lingkaran yang dibatasi, yaitu lingkaran yang memuat semua titik pada segitiga tertentu.

Teorema kosinus menggeneralisasi teorema Pythagoras dengan memproyeksikannya ke segitiga mana pun. Ternyata dari jumlah kuadrat kedua sisinya, kurangi hasil kali keduanya dengan kosinus ganda dari sudut yang berdekatan - nilai yang dihasilkan akan sama dengan kuadrat sisi ketiga. Jadi, teorema Pythagoras ternyata merupakan kasus khusus dari teorema kosinus.

Kesalahan yang ceroboh

Walaupun mengetahui apa itu sinus, cosinus, dan tangen, kita mudah saja melakukan kesalahan karena linglung atau kesalahan dalam perhitungan yang paling sederhana. Untuk menghindari kesalahan seperti itu, mari kita lihat kesalahan yang paling populer.

Pertama, Anda tidak boleh mengubah pecahan menjadi desimal sampai Anda mendapatkan hasil akhir - Anda juga dapat membiarkan jawabannya sebagai pecahan kecuali dinyatakan lain dalam ketentuan. Transformasi seperti itu tidak bisa disebut kesalahan, tetapi harus diingat bahwa pada setiap tahap masalah mungkin muncul akar-akar baru, yang menurut gagasan penulis, harus dikurangi. Dalam hal ini, Anda akan membuang waktu untuk operasi matematika yang tidak perlu. Hal ini terutama berlaku untuk nilai-nilai seperti akar tiga atau akar dua, karena nilai-nilai tersebut ditemukan dalam masalah di setiap langkah. Hal yang sama berlaku untuk pembulatan angka “jelek”.

Selanjutnya, perhatikan bahwa teorema kosinus berlaku untuk sembarang segitiga, tetapi tidak berlaku untuk teorema Pythagoras! Jika Anda secara keliru lupa mengurangi dua kali hasil kali sisi-sisinya dikalikan dengan kosinus sudut di antara keduanya, Anda tidak hanya akan mendapatkan hasil yang sepenuhnya salah, tetapi Anda juga akan menunjukkan kurangnya pemahaman tentang subjek tersebut. Ini lebih buruk daripada kesalahan yang ceroboh.

Ketiga, jangan bingung antara nilai sudut 30 dan 60 derajat untuk sinus, cosinus, garis singgung, kotangen. Ingatlah nilai-nilai ini, karena sinus 30 derajat sama dengan kosinus 60, dan sebaliknya. Sangat mudah untuk membingungkan mereka, akibatnya Anda pasti akan mendapatkan hasil yang salah.

Aplikasi

Banyak siswa yang tidak terburu-buru untuk mulai mempelajari trigonometri karena belum memahami makna praktisnya. Apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen bagi seorang insinyur atau astronom? Ini adalah konsep yang memungkinkan penghitungan jarak ke bintang-bintang jauh, memprediksi jatuhnya meteorit, atau mengirim wahana penelitian ke planet lain. Tanpa mereka, mustahil membangun gedung, merancang mobil, menghitung beban pada suatu permukaan atau lintasan suatu benda. Dan ini hanyalah contoh yang paling nyata! Bagaimanapun, trigonometri dalam satu atau lain bentuk digunakan di mana-mana, mulai dari musik hingga kedokteran.

Akhirnya

Jadi kamu sinus, kosinus, tangen. Anda dapat menggunakannya dalam perhitungan dan berhasil menyelesaikan masalah sekolah.

Inti dari trigonometri adalah bahwa dengan menggunakan parameter segitiga yang diketahui, Anda perlu menghitung yang tidak diketahui. Ada total enam parameter: panjang tiga sisi dan ukuran tiga sudut. Satu-satunya perbedaan dalam tugas terletak pada kenyataan bahwa data masukan yang diberikan berbeda.

Anda sekarang tahu cara mencari sinus, kosinus, tangen berdasarkan panjang kaki atau sisi miring yang diketahui. Karena istilah-istilah ini tidak lebih dari suatu rasio, dan rasio adalah pecahan, tujuan utama dari soal trigonometri adalah menemukan akar-akar persamaan biasa atau sistem persamaan. Dan di sini matematika sekolah reguler akan membantu Anda.

Kosinus– salah satu fungsi trigonometri dasar. Kosinus oh pedas sudut dalam segitiga siku-siku perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi miring disebut. Pengertian cosinus terikat pada segitiga siku-siku, namun seringkali sudut yang perlu ditentukan cosinusnya tidak ditempatkan pada segitiga siku-siku. Cara mengetahui nilai kosinus suatu benda sudut ?

instruksi

1. sudut dalam segitiga siku-siku, Anda perlu menggunakan definisi kosinus dan mencari perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring: cos? = a/c, dimana a adalah panjang kaki, c adalah panjang sisi miring.

2. Jika Anda perlu mendeteksi kosinus sudut dalam segitiga sembarang, Anda perlu menggunakan teorema kosinus: jika sudutnya lancip: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab); jika sudut tumpul: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), dimana a, b adalah panjang sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut, c adalah panjang sisi yang berhadapan dengan sudut.

3. Jika Anda perlu mendeteksi kosinus sudut dalam bangun geometri sembarang, Anda perlu menentukan nilainya sudut dalam derajat atau radian, dan kosinus sudut deteksi berdasarkan nilainya dengan dukungan kalkulator teknik, tabel Bradis, atau aplikasi matematika lainnya.

Kosinus adalah fungsi trigonometri dasar sudut. Mengetahui cara menentukan kosinus akan berguna dalam aljabar vektor saat menentukan proyeksi vektor ke sumbu yang berbeda.

instruksi

1. Kosinus Ohm suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sudut terhadap sisi miring. Artinya pada segitiga siku-siku ABC (ABC siku-siku), kosinus sudut BAC sama dengan perbandingan AB dan AC. Sudut ACB: cos ACB = BC/AC.

2. Namun suatu sudut tidak selalu termasuk dalam segitiga; selain itu, ada sudut tumpul yang jelas-jelas tidak dapat menjadi bagian dari segitiga siku-siku. Mari kita perhatikan kasus ketika sudut ditentukan oleh sinar. Untuk menghitung kosinus sudut dalam kasus ini, lakukan sebagai berikut. Sebuah sistem koordinat dipasang pada sudut, koordinat dihitung dari titik sudut, sumbu X sepanjang salah satu sisi sudut, sumbu Y dibuat tegak lurus terhadap sumbu X. Setelah itu, dibuat lingkaran berjari-jari satuan dibangun dengan pusat di titik sudut. Sisi kedua sudut tersebut memotong lingkaran di titik A. Jatuhkan garis tegak lurus dari titik A ke sumbu X, tandai titik potong tegak lurus tersebut dengan sumbu Ax. Maka diperoleh segitiga siku-siku AAxO, dan kosinus sudutnya adalah AAx/AO. Karena lingkaran berjari-jari satuan, maka AO = 1 dan kosinus sudut secara primitif sama dengan AAx.

3. Dalam kasus sudut tumpul, konstruksi yang sama dilakukan. Kosinus Sudut tumpulnya negatif, tetapi juga sama dengan Ax.

Video tentang topik tersebut

Catatan!
Kosinus beberapa sudut disajikan dalam tabel Bradis.

Konsep seperti sinus, cosinus, tangen sepertinya tidak akan sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Namun, jika Anda duduk untuk memecahkan masalah matematika dengan putra sekolah menengah Anda, ada baiknya untuk mengingat apa representasi ini dan bagaimana mendeteksi, misalnya, kosinus.

instruksi

Video tentang topik tersebut

Seringkali dalam soal geometri (trigonometri) diperlukan pencarian kosinus sudut masuk segi tiga, Karena kosinus sudut memungkinkan Anda menentukan dengan jelas ukuran sudut itu sendiri.

instruksi

1. Untuk menemukan kosinus sudut masuk segi tiga, panjang sisinya diketahui, kita dapat menggunakan teorema kosinus ov. Menurut teorema ini, kuadrat panjang salah satu sisi suatu segitiga sembarang sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya tanpa dua kali hasil kali panjang sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut antara keduanya: a?=b?+c?-2*b*c*cos?, dimana: a, b, c adalah sisi-sisi segitiga (atau lebih tepatnya panjangnya),? – sudut yang berhadapan dengan sisi a (nilainya). Dari persamaan di atas mudah dicari cos?:сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c) Contoh 1. Ada segitiga dengan sisi a, b , dengan masing-masing sama dengan 3, 4, 5 mm kosinus sudut yang tertutup di antara sisi-sisi besarnya. Penyelesaian: Berdasarkan kondisi soal, kita mempunyai: a = 3, b = 4, c = 5. Mari kita nyatakan sudut yang berhadapan dengan sisi a dengan ?, lalu menurut persamaannya. rumus yang diturunkan di atas, kita memiliki: cos? = (b? + c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16 +25-9)/40=32/40=0, 8Jawaban: 0,8.

2. Jika segitiga tersebut siku-siku, maka carilah kosinus dan sebuah sudut cukup untuk mengetahui panjang kedua sisinya ( kosinus sudut siku-siku adalah 0). Misalkan ada segitiga siku-siku dengan sisi a, b, c, dengan c adalah sisi miringnya. Mari kita lihat semua pilihannya: Contoh 2. Tentukan cos jika panjang sisi a dan b (kaki-kakinya). segitiga) diketahui. Mari kita gunakan juga teorema Pythagoras: c?=b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2* b*c)=(b?+b?+a? -a?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b? +a?))=b/v(b?+a ?)Untuk memeriksa kebenaran rumus yang dihasilkan, kita substitusikan ke dalamnya nilai dari contoh 1, yaitu a = 3, b = 4. Setelah melakukan perhitungan dasar, kita mendapatkan: cos? = 0,8.

3. Lokasi serupa berada kosinus dalam persegi panjang segi tiga dalam kasus lain: Contoh 3. A dan c yang terkenal (sisi miring dan sisi berlawanan), carilah cos?b?=с?-а?,b=v(c?-а?)сos?=(b?+c?- a?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а ?)/(2*c*v(c?-a?))=v(c?-a?)/c. Mengganti nilai a=3 dan c=5 dari contoh pertama, kita mendapatkan: cos ?=0,8 .

4. Contoh 4. Vestims b dan c (sisi miring dan kaki yang berdekatan). Deteksi cos? Setelah melakukan reformasi serupa (ditunjukkan pada contoh 2 dan 3), kita temukan bahwa dalam kasus ini kosinus V segi tiga dihitung menggunakan rumus yang sangat mudah: cos? = b/c. Kesederhanaan rumus turunan tersebut dijelaskan secara sederhana: benarkah, berdekatan dengan sudut? kaki merupakan proyeksi sisi miring, oleh karena itu panjangnya sama dengan panjang sisi miring dikalikan cos?. Mengganti nilai b = 4 dan c = 5 dari contoh pertama, kita mendapatkan: cos = 0,8 Ini berarti semua rumus kita sudah benar.

Tip 5: Cara mendeteksi sudut lancip pada segitiga siku-siku

Secara langsung karbonat segitiga, rupanya, adalah salah satu figur geometris yang paling terkenal, dari sudut pandang sejarah. “Celana” Pythagoras hanya bisa bersaing dengan “Eureka!” Archimedes.

Anda akan perlu

• – menggambar segitiga;
• - penggaris;
• – busur derajat

instruksi

1. Seperti biasa, titik sudut suatu segitiga ditandai dengan huruf latin kapital (A, B, C), dan sisi yang berhadapan dengan huruf latin kecil (a, b, c) atau dengan nama titik sudut segitiga. membentuk sisi ini (AC, BC, AB).

2. Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 derajat. Dalam bentuk persegi panjang segi tiga satu sudut (lurus) akan selalu 90 derajat, dan sisanya lancip, mis. kurang dari 90 derajat sepanjang jalan. Untuk menentukan sudut pada suatu persegi panjang segi tiga lurus, ukurlah sisi-sisi segitiga tersebut dengan bantuan penggaris dan tentukan yang terbesar. Disebut sisi miring (AB) dan letaknya berhadapan dengan sudut siku-siku (C). Dua sisi sisanya membentuk sudut siku-siku dan disebut kaki (AC, BC).

3. Setelah Anda menentukan sudut mana yang lancip, Anda dapat mengukur sudut tersebut menggunakan busur derajat atau menghitungnya menggunakan rumus matematika.

4. Untuk menentukan besar sudut dengan menggunakan busur derajat, sejajarkan titik sudutnya (dilambangkan dengan huruf A) dengan tanda khusus pada penggaris di tengah busur derajat; Tandai pada bagian setengah lingkaran busur derajat titik yang dilalui sisi miring AB. Nilai pada titik ini sesuai dengan sudut dalam derajat. Jika ada 2 nilai yang ditunjukkan pada busur derajat, maka untuk sudut lancip Anda harus memilih yang lebih kecil, untuk sudut tumpul - yang lebih besar.

6. Temukan nilai yang dihasilkan dalam tabel referensi Bradis dan tentukan sudut mana yang sesuai dengan nilai numerik yang dihasilkan. Nenek kami menggunakan metode ini.

7. Saat ini cukup membawa kalkulator yang berfungsi menghitung rumus trigonometri. Katakanlah kalkulator bawaan Windows. Luncurkan aplikasi “Kalkulator”, di item menu “Tampilan”, pilih item “Teknik”. Hitung sinus sudut yang diinginkan, misalkan sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

8. Alihkan kalkulator ke mode fungsi invers dengan mengklik tombol INV pada tampilan kalkulator, lalu klik tombol untuk menghitung fungsi arcsinus (ditunjukkan pada tampilan sebagai sin ke minus pangkat pertama). Prasasti selanjutnya akan muncul di jendela perhitungan: asd (0,5) = 30. Yaitu. sudut yang diinginkan adalah 30 derajat.

Teorema kosinus dalam matematika paling sering digunakan ketika Anda perlu mendeteksi sisi ketiga dari suatu sudut dan dua sisi. Namun, terkadang kondisi masalahnya justru sebaliknya: diperlukan untuk mendeteksi sudut dengan 3 sisi yang diberikan.

instruksi

1. Bayangkan Anda diberi sebuah segitiga yang panjang 2 sisinya dan nilai salah satu sudutnya diketahui. Semua sudut segitiga ini tidak sama besar, dan ukuran sisi-sisinya juga berbeda. Sudut? terletak di seberang sisi segitiga yang diberi tanda AB, yang merupakan alas gambar ini. Melalui sudut ini, serta melalui sisi AC dan BC yang tersisa, sisi segitiga yang tidak diketahui dapat dideteksi dengan menggunakan teorema kosinus, berdasarkan rumus yang disajikan di bawah ini: a^2=b^2 +c^2-2bc*cos?, dimana a=BC, b=AB, c=ACTeorema kosinus, sebaliknya, disebut teorema Pythagoras umum.

2. Sekarang bayangkan ketiga sisi gambar tersebut diberikan, tetapi pada saat yang sama sudutnya? tidak dikenal Mengetahui bahwa rumusnya berbentuk a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, ubah persamaan ini sehingga nilai yang diinginkan menjadi sudut?: b^2+c^2=2bc*cos?+ a ^2.Setelah ini, ubah persamaan di atas ke bentuk yang sedikit berbeda: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?.Setelah ini, persamaan ini harus diubah menjadi persamaan di bawah ini: cos?= ?b^2+c ^2-a^2/2bc. Yang tersisa hanyalah mengganti angka-angka tersebut ke dalam rumus dan melakukan perhitungan.

3. Untuk mencari kosinus sudut suatu segitiga yang diberi tanda ?, maka harus dinyatakan melalui fungsi trigonometri invers yang disebut arc cosinus. Kosinus busur bilangan m adalah nilai sudut? sama dengan m. Fungsi y=arccos m menurun. Bayangkan, katakanlah, berapakah cosinus sudutnya? sama dengan satu ke-2. Lalu sudutnya? dapat didefinisikan melalui arc cosinus sebagai berikut :? = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, dimana m = 1/2. Dengan cara yang sama, kita dapat mendeteksi sisa sudut sebuah segitiga dengan 2 sisi lain yang tidak diketahui.

4. Jika sudut dinyatakan dalam radian, ubahlah menjadi derajat menggunakan perbandingan berikut :? radian = 180 derajat. Ingatlah bahwa sebagian besar kalkulator teknik dilengkapi dengan kemampuan untuk mengganti satuan sudut.

Sinus dan kosinus adalah dua fungsi trigonometri yang disebut “langsung”. Merekalah yang harus dihitung lebih sering daripada yang lain, dan untuk mengatasi masalah ini saat ini kita masing-masing memiliki banyak pilihan. Berikut adalah beberapa metode yang sangat primitif.

instruksi

1. Gunakan busur derajat, pensil, dan selembar kertas jika tidak tersedia alat hitung lain. Salah satu definisi kosinus diberikan dalam sudut lancip pada segitiga siku-siku - nilainya sama dengan rasio antara panjang kaki yang berhadapan dengan sudut ini dan panjang sisi miring. Gambarlah sebuah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku (90°), dan sudut lainnya sama dengan sudut yang kosinusnya ingin Anda hitung. Panjang sisinya tidak menjadi masalah - gambarlah sesuai keinginan Anda untuk mengukurnya. Ukur panjang kaki dan sisi miring yang diperlukan, lalu bagi yang pertama dengan yang kedua menggunakan metode apa pun yang mudah digunakan.

2. Manfaatkan kemampuan menentukan nilai fungsi trigonometri dengan dukungan kalkulator yang ada di mesin pencari Nigma, jika Anda memiliki akses ke Internet. Katakanlah, jika Anda perlu menghitung kosinus sudut 20°, maka dengan memuat halaman layanan utama http://nigma.ru, ketik "cosinus 20 derajat" ke dalam kolom permintaan pencarian dan klik tombol "Deteksi!" tombol. Anda dapat menghilangkan kata "derajat" dan mengganti kata "cosinus" dengan cos - bagaimanapun, mesin pencari akan menampilkan hasil yang akurat hingga 15 tempat desimal (0,939692620785908).

3. Buka program kalkulator standar yang diinstal dengan sistem operasi Windows jika Anda tidak memiliki akses ke Internet. Hal ini dapat dilakukan, misalnya dengan menekan tombol win dan r secara bersamaan, lalu memasukkan perintah calc dan mengklik tombol OK. Untuk menghitung fungsi trigonometri, terdapat antarmuka yang telah dirancang sebelumnya yang disebut "insinyur" atau "ilmuwan" (tergantung pada versi OS) - pilih item yang diperlukan di bagian "Tampilan" pada menu kalkulator. Kemudian masukkan nilai sudut dalam derajat dan klik tombol cos di antarmuka program.

Video tentang topik tersebut

Tip 8: Cara Menentukan Sudut pada Segitiga Siku-siku

Segitiga siku-siku dicirikan oleh hubungan tertentu antara sudut dan sisinya. Mengetahui nilai beberapa di antaranya, Anda dapat menghitung yang lain. Untuk tujuan ini, rumus digunakan, yang pada gilirannya didasarkan pada aksioma dan teorema geometri.

instruksi

1. Dari namanya saja segitiga siku-siku sudah jelas bahwa salah satu sudutnya siku-siku. Terlepas dari apakah segitiga siku-siku sama kaki atau tidak, segitiga selalu memiliki satu sudut yang sama dengan 90 derajat. Jika Anda diberi segitiga siku-siku yang simultan dan sama kaki, maka berdasarkan fakta bahwa pada gambar tersebut terdapat sudut siku-siku, carilah dua sudut pada alasnya. Sudut-sudut tersebut besarnya sama besar, sehingga masing-masing sudutnya mempunyai nilai sebesar:? = 180° - 90°/2 = 45°

2. Selain yang dibahas di atas, kami juga mengizinkan kasus lain ketika segitiga tersebut siku-siku, tetapi tidak sama kaki. Dalam banyak soal, sudut sebuah segitiga adalah 30°, dan pada soal lain adalah 60°, jadi jumlah semua sudut dalam sebuah segitiga harus sama dengan 180°. Jika diketahui hipotenusa suatu segitiga siku-siku dan kaki-kakinya, maka besar sudut dapat dicari dari korespondensi kedua sisi berikut: sin ?=a/c, dengan a adalah kaki yang berhadapan dengan sisi miring segitiga, c adalah Oleh karena itu, sudut ?=arcsin(a/c ) juga dapat ditentukan dengan menggunakan rumus mencari kosinus: cos ?=b/c, dengan b adalah kaki yang berdekatan dengan sisi miring segitiga.

3. Jika hanya diketahui dua kaki, maka sudutnya? dapat dicari dengan menggunakan rumus tangen. Garis singgung sudut ini sama dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan: tg ? = a/b Dari sini maka = arctg (a/b) Bila sudut siku-siku dan salah satu sudut ditemukan oleh metode di atas diberikan, yang ke-2 ditemukan sebagai berikut:? = 180°-(90°+?)

Kata “cosinus” mengacu pada salah satu fungsi trigonometri, yang bila ditulis dinyatakan sebagai cos. Hal ini sangat umum untuk ditangani ketika memecahkan masalah menemukan parameter bangun datar dalam geometri. Dalam soal seperti itu, nilai sudut pada simpul poligon ditunjukkan, seperti biasa, dengan huruf kapital alfabet Yunani. Jika kita berbicara tentang segitiga siku-siku, maka dari huruf yang satu ini terkadang kita bisa mengetahui sudut mana yang dimaksud.

instruksi

1. Jika nilai sudut yang ditunjukkan dengan huruf ? diketahui dari kondisi soal, maka untuk mencari nilai yang sesuai dengan kosinus alfa, Anda dapat menggunakan kalkulator standar OS Windows. Ini diluncurkan melalui menu utama sistem operasi - tekan tombol Win, perluas bagian "Semua program" di menu, buka subbagian "Khusus", dan kemudian ke bagian "Utilitas". Di sana Anda akan menemukan baris "Kalkulator" - klik untuk meluncurkan aplikasi.

2. Tekan kombinasi tombol Alt + 2 untuk mengalihkan antarmuka aplikasi ke opsi "rekayasa" (di versi OS lain – "ilmuwan"). Setelah itu masukkan nilai sudutnya? dan klik tombol bertanda huruf cos dengan penunjuk tetikus Anda - kalkulator akan menghitung fungsi dan menampilkan hasilnya.

3. Jika Anda menghitung kosinus suatu sudut? diperlukan dalam segitiga siku-siku, maka kemungkinan besar itu adalah salah satu dari 2 sudut lancip. Jika sisi-sisi segitiga tersebut ditentukan dengan benar, maka sisi miring (sisi terpanjang) dilambangkan dengan huruf c, dan sudut siku-siku yang berhadapan dengannya dilambangkan dengan huruf Yunani?. Dua sisi (kaki) lainnya ditandai dengan huruf a dan b, dan sudut lancip yang berhadapan dengannya adalah ? Dan?. Untuk nilai sudut lancip segitiga siku-siku, terdapat hubungan yang memungkinkan Anda menghitung kosinus, bahkan tanpa mengetahui nilai sudut itu sendiri.

4. Jika pada segitiga siku-siku diketahui panjang sisi b (kaki yang berdekatan dengan sudut?) dan c (sisi miring), lalu menghitung kosinusnya? bagilah panjang kaki ini dengan panjang sisi miring: cos(?)=b/c.

5. Pada segitiga sembarang, berapakah nilai cosinus sudutnya? Besaran yang tidak diketahui dapat dihitung jika panjang semua sisinya diberikan dalam kondisi. Untuk melakukan ini, pertama-tama kuadratkan panjang semua sisinya, lalu nilai yang dihasilkan untuk 2 sisi yang berdekatan dengan sudut? tambahkan, dan kurangi nilai yang dihasilkan untuk sisi yang berlawanan dari total. Setelah itu, bagilah nilai yang dihasilkan dengan dua kali hasil kali panjang yang berdekatan dengan sudut? sisi - ini akan menjadi kosinus sudut yang diinginkan?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Solusi ini mengikuti teorema kosinus.

Saran yang bermanfaat
Notasi matematika untuk cosinus adalah cos. Nilai cosinus tidak boleh lebih besar dari 1 dan kurang dari -1.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah sumbu positif (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari).

Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sumbu dan koordinat sumbu. Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Pertimbangkan sebuah segitiga. Berbentuk persegi panjang karena tegak lurus terhadap sumbunya.

Segitiga itu sama dengan apa? Itu benar. Selain itu kita mengetahui bahwa itu adalah jari-jari lingkaran satuan yang artinya . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:

Segitiga itu sama dengan apa? Tentu saja! Gantikan nilai radius ke dalam rumus ini dan dapatkan:

Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik yang termasuk dalam lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadarinya dan itu hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai? Tentu saja koordinatnya! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Benar, koordinat! Jadi, titik.

Lalu apa yang dimaksud dan disamakan? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai dari tangen dan kotangen dan dapatkan, a.

Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:

Apa yang berubah dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga siku-siku: sudut (yang berdekatan dengan sudut). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:

Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.

Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah sumbu positif. Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.

Jadi, kita mengetahui bahwa seluruh putaran vektor jari-jari mengelilingi lingkaran adalah atau. Apakah mungkin untuk memutar vektor jari-jari ke atau ke? Ya, tentu saja bisa! Oleh karena itu, dalam kasus pertama, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.

Dalam kasus kedua, yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.

Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar atau (jika ada bilangan bulat) berhubungan dengan posisi vektor jari-jari yang sama.

Gambar di bawah menunjukkan sebuah sudut. Gambar yang sama berhubungan dengan sudut, dll. Daftar ini tidak ada habisnya. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum atau (dimana bilangan bulatnya)

Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:

Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:

Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:

Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut di berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat, oleh karena itu:

Tidak ada;

Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudut di masing-masing bersesuaian dengan titik-titik dengan koordinat. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.

Jawaban:

Tidak ada

Tidak ada

Tidak ada

Tidak ada

Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:

Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:

Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan pada tabel di bawah, harus diingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan satu contohnya cukup sederhana untuk mengingat nilai-nilai yang sesuai:

Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, memulihkan seluruh tabel cukup sederhana - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:

Mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya. Pembilang " " akan cocok dan penyebut " " akan cocok. Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat semua nilai dari tabel.

Koordinat suatu titik pada lingkaran

Apakah mungkin menemukan suatu titik (koordinatnya) pada sebuah lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya dan sudut putarannya?

Ya, tentu saja bisa! Mari kita keluarkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik.

Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:

Diketahui bahwa titik adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Koordinat suatu titik perlu dicari dengan memutar titik tersebut sebesar derajat.

Terlihat dari gambar, koordinat titik sesuai dengan panjang ruas. Panjang ruas sesuai dengan koordinat pusat lingkaran, yaitu sama. Panjang suatu segmen dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:

Lalu kita punya itu untuk koordinat titik.

Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik tersebut. Dengan demikian,

Jadi, secara umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:

Koordinat pusat lingkaran,

Jari-jari lingkaran,

Sudut rotasi jari-jari vektor.

Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:

Baiklah, mari kita coba rumus-rumus tersebut dengan berlatih mencari titik pada lingkaran?

1. Temukan koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

2. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

3. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

4. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.

5. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.

Kesulitan mencari koordinat suatu titik pada lingkaran?

Pecahkan lima contoh ini (atau jadilah ahli dalam memecahkannya) dan Anda akan belajar menemukannya!

1.

Anda bisa memperhatikannya. Tapi kita tahu apa yang berhubungan dengan revolusi penuh dari titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:

2. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Anda bisa memperhatikannya. Kita tahu apa yang berhubungan dengan dua putaran penuh pada titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:

Sinus dan kosinus adalah nilai tabel. Kami mengingat maknanya dan mendapatkan:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

3. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Anda bisa memperhatikannya. Mari kita gambarkan contoh yang dimaksud pada gambar:

Jari-jari membuat sudut sama dengan dan terhadap sumbu. Mengetahui bahwa nilai tabel cosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahwa kosinus di sini bernilai negatif dan sinus bernilai positif, kita memperoleh:

Contoh-contoh tersebut dibahas lebih rinci ketika mempelajari rumus-rumus pengurangan fungsi trigonometri pada topik.

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

4.

Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi)

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang bersesuaian, kita membuat lingkaran dan sudut satuan:

Seperti yang Anda lihat, nilainya positif, dan nilainya negatif. Mengetahui nilai tabel dari fungsi trigonometri yang bersesuaian, kita memperoleh bahwa:

Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus kita dan temukan koordinatnya:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan rumus dalam bentuk umum, dimana

Koordinat pusat lingkaran (dalam contoh kita,

Jari-jari lingkaran (sesuai kondisi)

Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi).

Mari kita substitusikan semua nilai ke dalam rumus dan dapatkan:

dan - nilai tabel. Mari kita ingat dan substitusikan ke dalam rumus:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (jauh) dengan sisi miring.

Kosinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Kotangen suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan (dekat) dengan sisi yang berhadapan (jauh).

Kosinus merupakan fungsi trigonometri yang terkenal, yang juga merupakan salah satu fungsi utama trigonometri. Kosinus suatu sudut pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi-sisi yang berdekatan dengan sisi miring segitiga. Paling sering, definisi kosinus dikaitkan dengan segitiga persegi panjang. Tetapi juga terjadi bahwa sudut yang diperlukan untuk menghitung kosinus dalam segitiga siku-siku tidak terletak di segitiga siku-siku ini. Lalu apa yang harus dilakukan? Bagaimana cara mencari kosinus sudut suatu segitiga?

Jika Anda perlu menghitung kosinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku, maka semuanya sangat sederhana. Anda hanya perlu mengingat kembali pengertian cosinus yang berisi solusi dari permasalahan tersebut. Anda hanya perlu mencari hubungan yang sama antara sisi yang berdekatan dan sisi miring segitiga. Memang tidak sulit untuk menyatakan kosinus sudut di sini. Rumusnya sebagai berikut: - cosα = a/c, di sini “a” adalah panjang kaki, dan sisi “c” adalah panjang sisi miring. Misalnya, kosinus sudut lancip segitiga siku-siku dapat dicari menggunakan rumus ini.

Jika Anda tertarik dengan kosinus suatu sudut dalam segitiga sembarang, maka teorema kosinus akan membantu, yang harus digunakan dalam kasus seperti itu. Teorema kosinus menyatakan bahwa kuadrat salah satu sisi suatu segitiga secara apriori sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang tersisa dari segitiga yang sama, tetapi tanpa menggandakan hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut yang terletak di antara keduanya.

1. Jika Anda ingin mencari kosinus sudut lancip dalam sebuah segitiga, Anda perlu menggunakan rumus berikut: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Jika Anda ingin mencari cosinus sudut tumpul dalam sebuah segitiga, Anda perlu menggunakan rumus berikut: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Sebutan dalam rumus - a dan b - adalah panjang sisi yang berdekatan dengan sudut yang diinginkan, c - adalah panjang sisi yang berhadapan dengan sudut yang diinginkan.

Kosinus suatu sudut juga dapat dihitung dengan menggunakan teorema sinus. Dinyatakan bahwa semua sisi suatu segitiga sebanding dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan. Dengan menggunakan teorema sinus, Anda dapat menghitung sisa elemen segitiga, dengan informasi hanya tentang dua sisi dan sudut yang berhadapan dengan satu sisi, atau dari dua sudut dan satu sisi. Pertimbangkan ini dengan sebuah contoh. Kondisi masalah: a=1; b=2; c=3. Sudut yang berhadapan dengan sisi “A” dilambangkan dengan α, maka berdasarkan rumusnya diperoleh: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Jawaban 1.

Jika kosinus suatu sudut perlu dihitung bukan pada segitiga, tetapi pada bangun geometri sembarang lainnya, maka semuanya menjadi sedikit lebih rumit. Besarnya sudut terlebih dahulu harus ditentukan dalam radian atau derajat, baru kemudian kosinus harus dihitung dari nilai tersebut. Kosinus berdasarkan nilai numerik ditentukan menggunakan tabel Bradis, kalkulator teknik, atau aplikasi matematika khusus.

Aplikasi matematika khusus mungkin memiliki fungsi seperti menghitung kosinus sudut pada bangun tertentu secara otomatis. Keindahan dari aplikasi semacam itu adalah mereka memberikan jawaban yang benar, dan pengguna tidak membuang waktu untuk memecahkan masalah yang terkadang cukup rumit. Di sisi lain, dengan penggunaan terus-menerus secara eksklusif aplikasi untuk memecahkan masalah, semua keterampilan dalam menyelesaikan masalah matematika dalam mencari kosinus sudut dalam segitiga, serta bangun sembarang lainnya, hilang.