Sayangnya, tidak semua siswa dan anak sekolah mengetahui dan menyukai aljabar, tetapi setiap orang harus menyiapkan pekerjaan rumah, menyelesaikan tes, dan mengikuti ujian. Sangat sulit bagi banyak orang untuk menemukan tugas untuk merencanakan grafik fungsi: jika di suatu tempat Anda tidak memahami sesuatu, jangan selesaikan, lewatkan, kesalahan tidak dapat dihindari. Tapi siapa yang mau mendapat nilai jelek?
Apakah Anda ingin bergabung dengan kelompok tailers dan losers? Untuk melakukan ini, Anda memiliki 2 cara: duduk di buku teks dan mengisi kekosongan pengetahuan, atau menggunakan asisten virtual - layanan untuk secara otomatis merencanakan grafik fungsi sesuai dengan kondisi yang ditentukan. Dengan atau tanpa keputusan. Hari ini kami akan memperkenalkan Anda kepada beberapa di antaranya.
Hal terbaik tentang Desmos.com adalah antarmuka yang sangat dapat disesuaikan, interaktivitas, kemampuan untuk menyebarkan hasil ke dalam tabel dan menyimpan pekerjaan Anda di database sumber daya secara gratis tanpa batas waktu. Dan kerugiannya adalah layanan ini tidak sepenuhnya diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia.
Grafikus.ru
Grafikus.ru adalah kalkulator charting berbahasa Rusia yang patut diperhatikan. Selain itu, ia membangunnya tidak hanya dalam ruang dua dimensi, tetapi juga dalam ruang tiga dimensi.
Berikut adalah daftar tugas yang tidak lengkap yang berhasil ditangani oleh layanan ini:
- Menggambar grafik 2D fungsi sederhana: garis, parabola, hiperbola, trigonometri, logaritma, dll.
- Menggambar grafik 2D dari fungsi parametrik: lingkaran, spiral, angka Lissajous dan lain-lain.
- Menggambar grafik 2D dalam koordinat kutub.
- Konstruksi permukaan 3D dari fungsi sederhana.
- Konstruksi permukaan 3D fungsi parametrik.
Hasil akhir terbuka di jendela terpisah. Pengguna memiliki opsi untuk mengunduh, mencetak, dan menyalin tautan ke sana. Untuk yang terakhir, Anda harus masuk ke layanan melalui tombol jejaring sosial.
Bidang koordinat Grafikus.ru mendukung perubahan batas sumbu, labelnya, jarak kisi, serta lebar dan tinggi bidang itu sendiri dan ukuran font.
Kekuatan terbesar Grafikus.ru adalah kemampuan untuk membuat grafik 3D. Jika tidak, ia bekerja tidak lebih buruk dan tidak lebih baik dari sumber daya analog.
onlinecharts.ru
Asisten online Onlinecharts.ru tidak membuat bagan, tetapi bagan dari hampir semua jenis yang ada. Termasuk:
- linier.
- berbentuk kolom.
- Bundar.
- dengan daerah.
- radial.
- grafik XY.
- Gelembung.
- Titik.
- Banteng Kutub.
- Piramida.
- Speedometer.
- kolom-linier.
Sumber daya sangat mudah digunakan. Tampilan bagan (warna latar belakang, kisi, garis, penunjuk, bentuk sudut, font, transparansi, efek khusus, dll.) sepenuhnya ditentukan oleh pengguna. Data untuk bangunan dapat dimasukkan secara manual atau diimpor dari tabel dalam file CSV yang disimpan di komputer. Hasil akhir tersedia untuk diunduh di PC sebagai file gambar, PDF, CSV atau SVG, serta untuk disimpan secara online di hosting foto ImageShack.Us atau di akun pribadi Onlinecharts.ru Anda. Opsi pertama dapat digunakan oleh semua orang, yang kedua - hanya yang terdaftar.
1. Fungsi pecahan linier dan grafiknya
Fungsi berbentuk y = P(x) / Q(x), di mana P(x) dan Q(x) adalah polinomial, disebut fungsi rasional pecahan.
Anda mungkin sudah familiar dengan konsep bilangan rasional. Demikian pula fungsi rasional adalah fungsi yang dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua polinomial.
Jika fungsi rasional pecahan adalah hasil bagi dua fungsi linier - polinomial tingkat pertama, mis. fungsi tampilan
y = (ax + b) / (cx + d), maka disebut linear fraksional.
Perhatikan bahwa dalam fungsi y = (ax + b) / (cx + d), c 0 (jika tidak, fungsi menjadi linier y = ax/d + b/d) dan bahwa a/c b/d (jika tidak, fungsi adalah konstanta). Fungsi linear-fraksional didefinisikan untuk semua bilangan real, kecuali untuk x = -d/c. Grafik fungsi linear-fraksional tidak berbeda bentuknya dengan grafik yang diketahui y = 1/x. Kurva yang merupakan grafik fungsi y = 1/x disebut hiperbola. Dengan peningkatan nilai absolut x yang tidak terbatas, fungsi y = 1/x menurun tanpa batas dalam nilai absolut dan kedua cabang grafik mendekati sumbu absis: yang kanan mendekat dari atas, dan yang kiri mendekat dari bawah. Garis-garis yang didekati oleh cabang-cabang hiperbola disebut garis asimtot.
Contoh 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Keputusan.
Mari kita pilih bagian bilangan bulat: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Sekarang mudah untuk melihat bahwa grafik fungsi ini diperoleh dari grafik fungsi y = 1/x dengan transformasi berikut: bergeser sebanyak 3 unit segmen ke kanan, regangkan sepanjang sumbu Oy sebanyak 7 kali dan geser sebanyak 2 unit segmen ke atas.
Setiap pecahan y = (ax + b) / (cx + d) dapat ditulis dengan cara yang sama, dengan menyorot "seluruh bagian". Akibatnya, grafik semua fungsi fraksional linier adalah hiperbola, digeser sepanjang sumbu koordinat dengan berbagai cara dan diregangkan sepanjang sumbu Oy.
Untuk memplot grafik beberapa fungsi fraksional linier arbitrer, sama sekali tidak perlu mentransformasikan pecahan yang mendefinisikan fungsi ini. Karena kita tahu bahwa grafiknya adalah hiperbola, maka cukup untuk menemukan garis yang didekati cabang-cabangnya - hiperbola asimtot x = -d/c dan y = a/c.
Contoh 2
Tentukan asimtot dari grafik fungsi y = (3x + 5)/(2x + 2).
Keputusan.
Fungsi tidak terdefinisi, untuk x = -1. Oleh karena itu, garis x = -1 berfungsi sebagai asimtot vertikal. Untuk menemukan asimtot horizontal, mari kita cari tahu apa yang mendekati nilai fungsi y(x) ketika argumen x meningkat dalam nilai absolut.
Untuk melakukan ini, kita membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Karena x → pecahannya cenderung 3/2. Jadi, asimtot horizontalnya adalah garis lurus y = 3/2.
Contoh 3
Gambarkan fungsi y = (2x + 1)/(x + 1).
Keputusan.
Kami memilih "seluruh bagian" dari pecahan:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Sekarang mudah untuk melihat bahwa grafik fungsi ini diperoleh dari grafik fungsi y = 1/x dengan transformasi berikut: pergeseran 1 unit ke kiri, tampilan simetris terhadap Ox, dan pergeseran dari 2 unit interval di sepanjang sumbu Oy.
Domain definisi D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Rentang nilai E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Titik potong dengan sumbu: c Oy: (0; 1); c Lembu: (-1/2; 0). Fungsi meningkat pada setiap interval domain definisi.
Jawaban: gambar 1.
2. Fungsi pecahan-rasional
Pertimbangkan fungsi rasional pecahan dari bentuk y = P(x) / Q(x), di mana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dengan derajat lebih tinggi dari yang pertama.
Contoh fungsi rasional tersebut:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) atau y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Jika fungsi y = P(x) / Q(x) adalah hasil bagi dua polinomial yang derajatnya lebih tinggi dari yang pertama, maka grafiknya biasanya akan lebih rumit, dan terkadang sulit untuk membangunnya dengan tepat. , dengan semua detailnya. Namun, seringkali cukup untuk menerapkan teknik yang serupa dengan yang telah kita temui di atas.
Biarkan pecahannya tepat (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Jelas, grafik fungsi rasional pecahan dapat diperoleh sebagai jumlah grafik pecahan elementer.
Merencanakan fungsi rasional pecahan
Pertimbangkan beberapa cara untuk memplot fungsi pecahan-rasional.
Contoh 4
Gambarkan fungsi y = 1/x 2 .
Keputusan.
Kami menggunakan grafik fungsi y \u003d x 2 untuk memplot grafik y \u003d 1 / x 2 dan menggunakan metode "membagi" grafik.
Domain D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Rentang nilai E(y) = (0; +∞).
Tidak ada titik potong dengan sumbu. Fungsinya genap. Meningkat untuk semua x dari interval (-∞; 0), menurun untuk x dari 0 ke +∞.
Jawaban: gambar 2.
Contoh 5
Plotkan fungsi y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Keputusan.
Domain D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Di sini kami menggunakan teknik pemfaktoran, reduksi, dan reduksi ke fungsi linier.
Jawaban: gambar 3.
Contoh 6
Plot fungsi y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Keputusan.
Domain definisi adalah D(y) = R. Karena fungsinya genap, grafiknya simetris terhadap sumbu y. Sebelum memplot, kita kembali mengubah ekspresi dengan menyorot bagian integer:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Perhatikan bahwa pemilihan bagian bilangan bulat dalam rumus fungsi rasional fraksional adalah salah satu yang utama ketika merencanakan grafik.
Jika x → ±∞, maka y → 1, yaitu, garis y = 1 adalah asimtot mendatar.
Jawaban: gambar 4.
Contoh 7
Pertimbangkan fungsi y = x/(x 2 + 1) dan coba temukan dengan tepat nilai terbesarnya, mis. titik tertinggi di bagian kanan grafik. Untuk membuat grafik ini secara akurat, pengetahuan hari ini tidak cukup. Jelas bahwa kurva kita tidak dapat "memanjat" sangat tinggi, karena penyebut dengan cepat mulai "menyalip" pembilang. Mari kita lihat apakah nilai fungsinya bisa sama dengan 1. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Persamaan ini tidak memiliki akar real. Jadi asumsi kami salah. Untuk menemukan nilai terbesar dari fungsi, Anda perlu mencari A terbesar yang persamaan A \u003d x / (x 2 + 1) akan memiliki solusi. Mari kita ganti persamaan asli dengan persamaan kuadrat: Ax 2 - x + A \u003d 0. Persamaan ini memiliki solusi ketika 1 - 4A 2 0. Dari sini kita menemukan nilai terbesar A \u003d 1/2. 
Jawaban: Gambar 5, maks y(x) = .
Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara membuat grafik fungsi?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
"logaritma alami" - 0.1. logaritma natural. 4. "Panah logaritma". 0,04. 7.121.
"Fungsi daya kelas 9" - U. Parabola kubik. Y = x3. Guru kelas 9 Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n di mana n adalah bilangan asli yang diberikan. X. Eksponen adalah bilangan asli genap (2n).
"Fungsi kuadrat" - 1 Definisi fungsi kuadrat 2 Sifat-sifat fungsi 3 Grafik fungsi 4 Pertidaksamaan kuadrat 5 Kesimpulan. Properti: Pertidaksamaan: Disiapkan oleh Andrey Gerlitz, siswa kelas 8A. Rencana: Grafik: -Interval monotonisitas pada a > 0 pada a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
"Fungsi kuadrat dan grafiknya" - Keputusan y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-milik. Ketika a=1, rumus y=ax mengambil bentuk.
"Fungsi kuadrat kelas 8" - 1) Bangun bagian atas parabola. Memplot fungsi kuadrat. x. -7. Gambarkan fungsinya. Aljabar Kelas 8 Guru 496 sekolah Bovina TV -1. Rencana konstruksi. 2) Bangun sumbu simetri x=-1. y.
Panjang segmen pada sumbu koordinat ditemukan dengan rumus:
Panjang segmen pada bidang koordinat dicari dengan rumus:
Untuk menemukan panjang segmen dalam sistem koordinat tiga dimensi, rumus berikut digunakan:
Koordinat tengah segmen (untuk sumbu koordinat hanya rumus pertama yang digunakan, untuk bidang koordinat - dua rumus pertama, untuk sistem koordinat tiga dimensi - ketiga rumus) dihitung dengan rumus:
Fungsi adalah korespondensi dari bentuk kamu= f(x) antar variabel, karena masing-masing mempertimbangkan nilai beberapa variabel x(argumen atau variabel independen) sesuai dengan nilai tertentu dari variabel lain, kamu(variabel dependen, terkadang nilai ini hanya disebut nilai fungsi). Perhatikan bahwa fungsi mengasumsikan bahwa satu nilai argumen X hanya ada satu nilai variabel terikat pada. Namun, nilai yang sama pada dapat diperoleh dengan berbagai X.
Lingkup fungsi adalah semua nilai dari variabel independen (argumen fungsi, biasanya X) yang fungsinya didefinisikan, mis. maknanya ada. Domain definisi ditunjukkan D(kamu). Pada umumnya, Anda sudah akrab dengan konsep ini. Cakupan suatu fungsi disebut sebagai domain nilai yang valid, atau ODZ, yang telah lama Anda temukan.
Rentang fungsi: adalah semua nilai yang mungkin dari variabel dependen dari fungsi ini. Dilambangkan E(pada).
Fungsi naik pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Fungsi Penurunan pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.
Interval fungsi adalah interval variabel independen di mana variabel dependen mempertahankan tanda positif atau negatifnya.
fungsi nol adalah nilai-nilai argumen yang nilai fungsinya sama dengan nol. Pada titik-titik ini, grafik fungsi memotong sumbu absis (sumbu OX). Sangat sering, kebutuhan untuk menemukan nol dari suatu fungsi berarti hanya menyelesaikan persamaan. Juga, seringkali kebutuhan untuk menemukan interval tanda konstan berarti kebutuhan untuk menyelesaikan pertidaksamaan.
Fungsi kamu = f(x) disebut bahkan X
Ini berarti bahwa untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi genap adalah sama. Grafik fungsi genap selalu simetris terhadap sumbu y dari op-amp.
Fungsi kamu = f(x) disebut aneh, jika didefinisikan pada himpunan simetris dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan terpenuhi:
Ini berarti bahwa untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi ganjil juga berlawanan. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.
Jumlah akar fungsi genap dan ganjil (titik potong sumbu absis OX) selalu sama dengan nol, karena untuk setiap akar positif X memiliki akar negatif X.
Penting untuk dicatat bahwa beberapa fungsi tidak harus genap atau ganjil. Ada banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Fungsi seperti itu disebut fungsi umum, dan tidak ada persamaan atau properti di atas yang berlaku untuk mereka.
Fungsi linear disebut fungsi yang dapat diberikan dengan rumus:
Grafik fungsi linier adalah garis lurus dan dalam kasus umum terlihat seperti ini (contoh diberikan untuk kasus ketika k> 0, dalam hal ini fungsi bertambah; untuk kasus ini k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)
Grafik parabola diberikan oleh fungsi kuadrat:
Fungsi kuadrat, seperti fungsi lainnya, memotong sumbu OX di titik-titik akarnya: ( x satu ; 0) dan ( x 2; 0). Jika tidak ada akar, maka fungsi kuadrat tidak memotong sumbu OX, jika ada satu akar, maka di titik ini ( x 0; 0) fungsi kuadrat hanya menyentuh sumbu OX, tetapi tidak memotongnya. Fungsi kuadrat selalu berpotongan dengan sumbu OY pada suatu titik dengan koordinat: (0; c). Grafik fungsi kuadrat (parabola) mungkin terlihat seperti ini (gambar menunjukkan contoh yang jauh dari semua jenis parabola yang mungkin):
Di mana:
- jika koefisien sebuah> 0, dalam fungsi kamu = kapak 2 + bx + c, maka cabang parabola diarahkan ke atas;
- jika sebuah < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinat titik parabola dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut. atasan X (p- pada gambar di atas) dari parabola (atau titik di mana trinomial persegi mencapai nilai maksimum atau minimumnya):
Atasan Y (q- pada gambar di atas) dari parabola atau maksimum jika cabang parabola diarahkan ke bawah ( sebuah < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (sebuah> 0), nilai trinomial kuadrat:
Grafik fungsi lainnya
fungsi daya
Berikut adalah beberapa contoh grafik fungsi daya:
Ketergantungan berbanding terbalik panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
Tergantung pada tanda nomor k Grafik berbanding terbalik dapat memiliki dua opsi mendasar:
asimtot adalah garis di mana garis grafik fungsi mendekati dekat tak terhingga, tetapi tidak berpotongan. Asimtot untuk grafik proporsionalitas terbalik yang ditunjukkan pada gambar di atas adalah sumbu koordinat, di mana grafik fungsi mendekati sangat dekat, tetapi tidak memotongnya.
Fungsi eksponensial dengan dasar sebuah panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
sebuah grafik fungsi eksponensial dapat memiliki dua opsi mendasar (kami juga akan memberikan contoh, lihat di bawah):
fungsi logaritma panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:
Tergantung pada apakah jumlahnya lebih besar atau lebih kecil dari satu sebuah Grafik fungsi logaritmik dapat memiliki dua opsi mendasar:
Grafik Fungsi kamu = |x| sebagai berikut:
Grafik fungsi periodik (trigonometri)
Fungsi pada = f(x) disebut berkala, jika ada angka bukan nol seperti itu T, Apa f(x + T) = f(x), untuk siapa saja X di luar ruang lingkup fungsi f(x). Jika fungsi f(x) periodik dengan periode T, maka fungsi:
di mana: A, k, b adalah bilangan konstan, dan k tidak sama dengan nol, juga periodik dengan periode T 1 , yang ditentukan dengan rumus:
Sebagian besar contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Berikut adalah grafik fungsi trigonometri utama. Gambar berikut menunjukkan bagian dari grafik fungsi: kamu= dosa x(seluruh grafik berlanjut ke kiri dan kanan tanpa batas), grafik fungsi kamu= dosa x ditelepon sinusoida:
Grafik Fungsi kamu= cos x ditelepon gelombang kosinus. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Karena grafik sinus, itu berlanjut tanpa batas di sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan:
Grafik Fungsi kamu=tg x ditelepon tangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.
Dan akhirnya, grafik fungsi kamu=ctg x ditelepon kotangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik dan trigonometri lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.
Implementasi yang sukses, rajin dan bertanggung jawab dari ketiga poin ini akan memungkinkan Anda untuk menunjukkan hasil yang sangat baik pada CT, maksimal dari apa yang Anda mampu.
Menemukan kesalahan?
Jika Anda, seperti yang Anda lihat, menemukan kesalahan dalam materi pelatihan, silakan tulis melalui surat. Anda juga dapat menulis tentang kesalahan di jejaring sosial (). Dalam surat itu, tunjukkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau tes, nomor tugas, atau tempat dalam teks (halaman) di mana, menurut Anda, ada kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahan itu. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.
