KONSEP DASAR TEORI FUZZY SET DAN VARIABEL LINGUISTIK

1. Konsep dan sifat-sifat utama himpunan fuzzy

Definisi 1.1. Misalkan X adalah himpunan semesta. himpunan kabur A pada himpunan X (subset fuzzy A dari himpunan X ) adalah kumpulan pasangan

A = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

di mana x X ,μ A (x ) .X disebut domain definisi himpunan kabur A , dan A – fungsi keanggotaan set ini. Nilai fungsi keanggotaan A (x) untuk elemen tertentu x X disebut derajat keanggotaan elemen ini ke himpunan fuzzy A .

Interpretasi fungsi keanggotaan adalah ukuran subjektif tentang bagaimana elemen x X sesuai dengan konsep, yang artinya diformalkan oleh himpunan fuzzy A . Dalam hal ini, nilai sama dengan 1 berarti kepatuhan lengkap (mutlak), nilai sama dengan 0 - ketidakpatuhan lengkap (mutlak).

Definisi 1.2. Himpunan fuzzy dengan domain definisi diskrit disebut himpunan fuzzy diskrit, bukan-

himpunan tajam dengan domain definisi kontinu adalah kontinu

himpunan kabur.

Himpunan biasa (jelas) juga dapat dipertimbangkan dalam konteks fuzzy. Fungsi keanggotaan dari suatu himpunan biasa hanya dapat mengambil dua nilai: 0 jika elemen tersebut bukan anggota himpunan tersebut, dan 1 jika elemen tersebut termasuk dalam himpunan tersebut.

Dalam literatur, seseorang dapat menemukan berbagai bentuk penulisan himpunan fuzzy. Untuk domain diskrit X =(x 1 ,x 2 , …,x n ) (kasus n = juga dimungkinkan) terdapat bentuk-bentuk berikut:

A = ( , , …, };
A = (μ A (x 1 )/x 1 ,μ A (x 2 )/x 2 , …,μ A (x n )/x n );
A \u003d A (x 1) / x 1 + A (x 2) / x 2 + ... + A (x n) / x n \u003d∑ A (x j) / x j.

j = 1

di mana tanda integral masuk akal penyatuan pointwise pada X . Selain itu, untuk kasus diskrit dan kontinu, notasi umum digunakan:

B = (x x 2) adalah himpunan bilangan real, kira-kira sama 2, dan C = (x x >> 1) adalah himpunan bilangan real, pada

lebih dari 1. Bentuk yang mungkin dari fungsi keanggotaan dari himpunan ini secara skematis disajikan pada Gambar. 1.1 dan Gambar. 1.2, masing-masing.

Beras. 1.1. Fungsi keanggotaan							Beras. 1.2. Fungsi keanggotaan
himpunan bilangan kabur,								himpunan bilangan kabur,
		kira-kira sama dengan 2								jauh lebih besar 1

Sebagai contoh himpunan fuzzy diskrit, kita dapat menganggap D = (n n 1) - himpunan bilangan bulat yang mendekati 1,

kemungkinan bentuk penugasannya adalah sebagai berikut:

N = (0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5) (titik lain memiliki derajat keanggotaan nol) .

Bentuk khusus dari fungsi keanggotaan tergantung pada makna yang diberikan pada konsep yang diformalkan di bawah kondisi tugas tertentu, dan seringkali bersifat subjektif. Sebagian besar metode untuk membangun fungsi keanggotaan sampai batas tertentu didasarkan pada pemrosesan informasi yang diperoleh oleh seorang pakar.

Catatan 1. Di sini sup (supremum) adalah batas atas terkecil dari fungsi keanggotaan. Jika himpunan X (domain) tertutup, maka supremum fungsi tersebut bertepatan dengan maksimumnya.

Definisi 1.5. Jika h A = 1, maka himpunan fuzzy A disebut

normal, sebaliknya (hA< 1) – субнормальным.

Definisi 1.6. Pembawa himpunan fuzzy A adalah himpunan

elemen domain definisi, setidaknya sampai batas tertentu sesuai dengan konsep yang diformalkan.

Catatan 2. Sebutan sup dan Supp tidak boleh dikacaukan. Yang pertama adalah singkatan dari supremum, yang kedua adalah singkatan dari support.

Definisi 1.7. Set level (α -cut) dari fuzzy

Inti dari himpunan fuzzy, oleh karena itu, berisi semua elemen dari domain definisi yang sepenuhnya sesuai dengan konsep yang diformalkan.

dari mana dapat disimpulkan bahwa elemen yang termasuk dalam set level juga termasuk semua set level yang lebih rendah .

Definisi 1.9. Misalkan A dan B adalah himpunan fuzzy pada himpunan X dengan fungsi keanggotaan A dan B berturut-turut. Bicara-

katakan bahwa A adalah himpunan bagian kabur dari B(B termasuk

A) jika kondisi berikut terpenuhi:

Di antara himpunan fuzzy dengan domain numerik, ada juga kelas bilangan fuzzy dan interval kabur. Untuk mendefinisikan kelas ini, konsep konveksitas himpunan fuzzy diperkenalkan.

Definisi 1.11. Subset fuzzy A dari sumbu nyata disebut cembung jika kondisi berikut dipenuhi:

pada gambar. 1.3 menunjukkan contoh himpunan fuzzy cembung (kiri) dan non-cembung (kanan).

Beras. 1.3. Tentang definisi konveksitas dari himpunan kabur

Konsep dasar teori himpunan kabur

Definisi 1.12. spasi kabur adalah himpunan fuzzy normal cembung pada domain numerik definisi, yang memiliki fungsi keanggotaan kontinu dan kernel tidak kosong. bilangan kabur adalah interval fuzzy yang kernelnya mengandung tepat satu elemen.

Untuk interval dan bilangan fuzzy, terdapat teorema representasi, yang menyatakan bahwa himpunan bagian fuzzy A dari sumbu real adalah interval fuzzy jika dan hanya jika fungsi keanggotaannya dapat direpresentasikan sebagai:

	LA (x), a0 x< a1 ,
	1, a1 x≤ b1
	(x)=			(x), b< u≤ b

Fungsi L A dan R A masing-masing disebut cabang kiri dan kanan dari fungsi keanggotaan bilangan fuzzy. Fungsi-fungsi ini kontinu, sedangkan L A pada segmen meningkat dari L A (a 0 ) = 0 menjadi

L A (a 1 ) = 1, dan R A pada segmen menurun dari R A (b 1 ) = 1 menjadi R A (b 0 ) = 0 (Gbr. 1.4).

Beras. 1.4. Untuk definisi interval fuzzy

Definisi 1.13. Misalkan A = (A 1 ,A 2 ,… ,A n ) merupakan keluarga himpunan fuzzy yang didefinisikan pada domain X .Г disebut partisi fuzzy X dengan parameter (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

x X j (1,… ,n )μ A j (x )≥

(yaitu, setiap elemen dari domain definisi milik setidaknya salah satu himpunan keluarga dengan derajat tidak kurang dari – Gambar 1.5).

Anotasi: Kuliah ini menyajikan metode untuk memodelkan masalah ekonomi menggunakan himpunan fuzzy di lingkungan Mathcad. Konsep dasar teori himpunan fuzzy diperkenalkan. Contoh menunjukkan operasi pada set, perhitungan properti. Masalah asli dipertimbangkan di mana pendekatan fuzzy-multiple diterapkan dalam proses pengambilan keputusan. Teknik pemodelan diimplementasikan menggunakan matriks program Mathcad.

Tujuan kuliah. Perkenalkan himpunan fuzzy. Untuk mengajarkan bagaimana menetapkan tugas untuk membangun model fuzzy-multiple. Tunjukkan bagaimana membangun himpunan fuzzy dan mengoperasikannya di Mathcad. Menyajikan metode untuk memecahkan model fuzzy-multiple dalam proses pemecahan masalah.

6.1 Pemodelan fuzzy-multiple

Saat memodelkan kelas yang luas dari objek nyata, menjadi perlu untuk membuat keputusan dalam kondisi informasi fuzzy yang tidak lengkap. Arah modern yang menjanjikan dalam pemodelan berbagai jenis ketidakpastian adalah teori himpunan fuzzy. Dalam kerangka teori himpunan fuzzy, metode telah dikembangkan untuk memformalkan dan memodelkan penalaran manusia, konsep seperti "inflasi kurang lebih tinggi", "posisi stabil di pasar", "lebih berharga", dll.

Untuk pertama kalinya, konsep himpunan fuzzy diusulkan oleh ilmuwan Amerika L.A. Zade (1965). Ide-idenya berfungsi untuk mengembangkan logika fuzzy. Tidak seperti logika standar dengan dua keadaan biner (1/0, Ya/Tidak, Benar/Salah), logika fuzzy memungkinkan Anda untuk menentukan nilai tengah antara skor standar. Contoh penilaian tersebut adalah: "lebih mungkin daripada tidak", "mungkin ya", "sedikit ke kanan", "ke kiri tajam" berbeda dengan yang standar: "ke kanan" atau "ke kiri", "Ya". Dalam teori himpunan fuzzy, bilangan fuzzy diperkenalkan sebagai himpunan bagian fuzzy dari tipe khusus, sesuai dengan pernyataan seperti "nilai variabel kira-kira sama dengan a". Sebagai contoh, pertimbangkan bilangan fuzzy segitiga , di mana tiga titik dibedakan: nilai minimum yang mungkin, yang paling diharapkan dan nilai maksimum yang mungkin dari faktor tersebut. Bilangan segitiga adalah jenis bilangan fuzzy yang paling umum digunakan dalam praktik, apalagi paling sering digunakan sebagai nilai parameter prediktif. Misalnya, nilai ekspektasi inflasi untuk tahun depan. Biarkan nilai yang paling mungkin menjadi 10%, nilai yang paling mungkin menjadi 5%, dan nilai yang paling mungkin adalah 20%, maka semua nilai ini dapat direduksi menjadi bentuk himpunan bagian fuzzy atau bilangan fuzzy A: A: ( 5, 10, 20)

Dengan diperkenalkannya bilangan fuzzy, ternyata dimungkinkan untuk memprediksi nilai parameter masa depan yang berubah dalam rentang kalkulasi yang ditetapkan. Serangkaian operasi pada bilangan fuzzy diperkenalkan, yang direduksi menjadi operasi aljabar dengan bilangan biasa ketika interval kepercayaan tertentu (tingkat keanggotaan) ditentukan. Penggunaan bilangan fuzzy memungkinkan Anda untuk mengatur perkiraan koridor nilai parameter yang diprediksi. Kemudian efek yang diharapkan juga diestimasi oleh ahli sebagai bilangan fuzzy dengan spread yang dihitung sendiri (derajat ketidakjelasan).

Logika fuzzy, sebagai model proses pemikiran manusia, dibangun ke dalam sistem kecerdasan buatan dan alat pendukung otomatis pengambilan keputusan(khususnya, dalam sistem kontrol proses).

6.2 Konsep dasar teori himpunan kabur

Himpunan adalah konsep matematika yang tidak dapat dijelaskan. Georg Kantor (1845 - 1918) - seorang matematikawan Jerman yang karyanya mendasari teori himpunan modern, memberikan konsep berikut: "... himpunan itu banyak, dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan."

Himpunan yang mencakup semua objek yang dipertimbangkan dalam masalah disebut himpunan universal. Paket universal biasanya dilambangkan dengan huruf. Paket universal adalah himpunan maksimal dalam arti bahwa semua objek adalah elemennya, mis. pernyataan dalam masalah selalu benar. himpunan minimal adalah set kosong- yang tidak mengandung unsur apapun. Semua himpunan lain dalam masalah yang sedang dipertimbangkan adalah himpunan bagian dari himpunan tersebut. Ingatlah bahwa suatu himpunan disebut himpunan bagian dari suatu himpunan jika semua elemen juga merupakan elemen dari . Penugasan suatu himpunan adalah aturan yang memungkinkan seseorang untuk menentukan dengan jelas, sehubungan dengan elemen apa pun dari himpunan universal, apakah itu milik himpunan atau tidak. Dengan kata lain, ini adalah aturan untuk menentukan mana dari dua pernyataan, atau , yang benar dan mana yang salah. Salah satu cara untuk mendefinisikan himpunan adalah dengan menggunakan fungsi karakteristik.

Fungsi karakteristik suatu himpunan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan semesta dan mengambil nilai satu pada elemen-elemen himpunan yang termasuk , dan nilai nol pada elemen-elemen yang bukan milik :

(6.1)

Sebagai contoh, pertimbangkan set universal dan dua himpunan bagiannya: - himpunan bilangan kurang dari 7, dan - himpunan bilangan sedikit kurang dari 7. Fungsi karakteristik himpunan berbentuk

(6.2)

Himpunan dalam contoh ini adalah himpunan biasa.

Tidak mungkin untuk menulis fungsi karakteristik dari himpunan hanya menggunakan 0 dan 1. Misalnya, haruskah angka 1 dan 2 dimasukkan? Apakah 3 kurang dari 7 "banyak" atau "tidak banyak"? Jawaban untuk pertanyaan ini dan pertanyaan serupa dapat diperoleh tergantung pada kondisi masalah di mana himpunan dan digunakan, serta pada pandangan subjektif dari orang yang memecahkan masalah ini. Himpunan tersebut disebut himpunan fuzzy. Saat menyusun fungsi karakteristik himpunan fuzzy, pemecah masalah (ahli) dapat menyatakan pendapatnya tentang sejauh mana masing-masing bilangan dalam himpunan tersebut termasuk dalam himpunan tersebut. Sebagai tingkat keanggotaan, Anda dapat memilih nomor dari segmen. Pada saat yang sama, itu berarti keyakinan penuh ahli bahwa - adalah sama seperti keyakinan penuh, yang berarti bahwa ahli merasa sulit untuk menjawab pertanyaan apakah dia termasuk dalam himpunan atau tidak. Jika , maka pakar cenderung untuk mengatributkan himpunan , tetapi jika , maka dia tidak condong.

Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy adalah fungsi yang

Fungsi seperti ini disebut fungsi keanggotaan himpunan kabur. - Nilai maksimum dari fungsi keanggotaan yang ada dalam himpunan - batas atas - disebut supremum. Fungsi keanggotaan mencerminkan pandangan subjektif seorang spesialis tentang tugas, membawa individualitas ke solusinya.

Fungsi karakteristik dari himpunan biasa dapat dianggap sebagai fungsi keanggotaan dalam himpunan ini, tetapi tidak seperti himpunan fuzzy, yang dibutuhkan hanya dua nilai: 0 atau 1.

Suatu pasangan disebut himpunan kabur, di mana - set universal, - fungsi keanggotaan himpunan kabur.

Himpunan pembawa atau pembawa himpunan fuzzy adalah himpunan bagian dari himpunan yang terdiri dari elemen-elemen di mana .

Titik transisi himpunan fuzzy disebut mengatur elemen, di mana .

Dalam contoh yang dipertimbangkan, di mana , adalah himpunan bilangan yang kurang dari 7, adalah himpunan bilangan yang sedikit kurang dari 7, kita secara subyektif memilih nilai himpunan yang akan membentuk fungsi keanggotaan . Tabel 6.1 mencantumkan fungsi keanggotaan untuk dan untuk dan .

Tabel 6.1.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
	0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

Sebuah notasi yang lebih kompak dari himpunan fuzzy yang terbatas atau dapat dihitung sering digunakan. Jadi, alih-alih representasi tabular di atas dari himpunan bagian dan , himpunan bagian ini dapat ditulis sebagai berikut.

Menurut tradisi, himpunan yang jelas biasanya diilustrasikan dengan lingkaran dengan batas berkontur tajam. Himpunan kabur adalah lingkaran yang dibentuk oleh titik-titik individu: ada banyak titik di tengah lingkaran, dan lebih dekat ke pinggiran, kerapatannya berkurang menjadi nol; lingkaran tampaknya diarsir di tepinya. "Set kabur" seperti itu dapat dilihat... di lapangan tembak - di dinding tempat target digantung. Bentuk tanda peluru acak himpunan yang matematikanya diketahui. Ternyata peralatan himpunan acak yang dikembangkan lama cocok untuk beroperasi dengan himpunan fuzzy...

Konsep himpunan fuzzy adalah upaya untuk memformalkan informasi fuzzy secara matematis untuk digunakan dalam konstruksi model matematika dari sistem yang kompleks. Konsep ini didasarkan pada gagasan bahwa unsur-unsur yang membentuk himpunan tertentu dan memiliki sifat umum dapat memiliki sifat ini pada tingkat yang berbeda dan, oleh karena itu, termasuk dalam himpunan tertentu dengan tingkat yang berbeda.

Salah satu cara paling sederhana untuk menggambarkan suatu himpunan fuzzy secara matematis adalah dengan mengkarakterisasi derajat keanggotaan suatu elemen dalam suatu himpunan dengan suatu bilangan, misalnya dari interval . Membiarkan X- beberapa set elemen. Berikut ini, kita akan mempertimbangkan himpunan bagian dari himpunan ini.

Himpunan fuzzy A dalam X disebut himpunan pasangan bentuk ( x, m Kapak)), di mana xОX, saya TETAPI- fungsi x® , disebut fungsi keanggotaan himpunan kabur TETAPI. nilai m Kapak) fungsi ini untuk spesifik x disebut derajat keanggotaan elemen ini dalam himpunan fuzzy TETAPI.

Seperti yang dapat dilihat dari definisi ini, himpunan fuzzy dideskripsikan secara lengkap oleh fungsi keanggotaannya, sehingga kita akan sering menggunakan fungsi ini sebagai notasi untuk himpunan fuzzy.

Himpunan biasa merupakan subkelas dari kelas himpunan fuzzy. Memang, fungsi keanggotaan dari himpunan biasa BÌ X adalah fungsi karakteristiknya: m B(x)=1 jika xÎ B dan saya B(x)=0 jika xÏ b. Kemudian, sesuai dengan definisi himpunan fuzzy, himpunan biasa PADA juga dapat didefinisikan sebagai kumpulan pasangan bentuk ( x, m B(x)). Jadi, himpunan fuzzy adalah konsep yang lebih luas daripada himpunan biasa, dalam arti bahwa fungsi keanggotaan himpunan fuzzy dapat, secara umum, fungsi arbitrer atau bahkan pemetaan arbitrer.

Kami berbicara himpunan kabur. Satu set apa? Agar konsisten, kita harus menyatakan bahwa sebuah elemen dari himpunan fuzzy ternyata adalah... himpunan fuzzy baru dari himpunan fuzzy baru, dll. Mari kita ambil contoh klasik - tumpukan gandum. Elemen dari himpunan kabur ini adalah satu juta butir, Misalnya. Tapi sejuta butir tidak jelas elemen, dan baru himpunan kabur. Lagi pula, menghitung biji-bijian (secara manual atau otomatis), tidak mengherankan untuk membuat kesalahan - untuk mengambil satu juta 999.997 biji-bijian, misalnya. Di sini kita dapat mengatakan bahwa elemen 9999997 memiliki nilai fungsi keanggotaan dalam himpunan “juta”, sama dengan 0.999997. Selain itu, biji-bijian itu sendiri sekali lagi bukan elemen, tetapi himpunan kabur baru: ada biji-bijian yang lengkap, tetapi ada dua biji-bijian yang menyatu, biji-bijian yang kurang berkembang, atau hanya sekam. Menghitung biji-bijian, seseorang harus menolak beberapa, mengambil dua biji untuk satu, dan dalam kasus lain, satu biji untuk dua. Tidaklah mudah untuk memasukkan himpunan fuzzy ke dalam komputer digital dengan bahasa klasik: elemen dari sebuah array (vektor) harus berupa array dari array yang baru (vektor dan matriks bersarang, jika kita berbicara tentang Mathcad). Matematika klasik dari himpunan tegas (teori bilangan, aritmatika, dll.) adalah sebuah pengait dimana pria yang masuk akal memperbaiki (menentukan) dirinya sendiri di dunia sekitar yang licin dan kabur. Dan pengait, seperti yang Anda tahu, adalah alat yang agak kasar, sering merusak apa yang menempel. Istilah yang menampilkan himpunan fuzzy adalah “banyak”, “sedikit”, “sedikit”, dsb. dll. - Sulit untuk "mendorong" ke komputer juga karena mereka peka konteks. Adalah satu hal untuk mengatakan "Beri saya beberapa benih" kepada seseorang yang memiliki segelas benih, tetapi hal lain untuk dikatakan kepada seseorang yang mengendarai truk penuh benih.

himpunan bagian kabur TETAPI set X dicirikan oleh fungsi keanggotaan m SEBUAH:X →, yang cocok dengan setiap elemen xÎ X nomor m Kapak) dari interval yang mencirikan derajat keanggotaan elemen X himpunan bagian TETAPI. Selain itu, 0 dan 1 masing-masing mewakili tingkat kepemilikan terendah dan tertinggi dari suatu elemen ke subset tertentu.

Mari kita berikan definisi utama.

Nilai sup m SEBUAH(x) ditelepon tinggi himpunan kabur SEBUAH. himpunan kabur SEBUAH Bagus jika tingginya 1 , yaitu batas atas fungsi keanggotaannya adalah 1. Untuk sup mSEBUAH(x)<1 himpunan kabur disebut di bawah normal.

Himpunan fuzzy disebut kosong, jika fungsi keanggotaannya sama dengan nol pada seluruh himpunan X, yaitu m0 (x)= 0 " xÎ X.

himpunan kabur kosong , jika " xÎ E m A ( x)=0 . Himpunan subnormal tak kosong dapat dinormalisasi dengan rumus

(Gbr. 1).

Gambar.1. Normalisasi himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan. .

pembawa himpunan kabur TETAPI(notasi supp A) dengan fungsi keanggotaan m Kapak) disebut himpunan bentuk suppa={x|xÎ x, m A(x)> 0). Untuk aplikasi praktis, dukungan dari himpunan fuzzy selalu terbatas. Jadi, pembawa himpunan fuzzy dari mode yang dapat diterima untuk sistem dapat menjadi subset yang jelas (interval), yang derajat penerimaannya tidak sama dengan nol (Gbr. 2).

Beras. 3. Inti, pembawa dan α- bagian dari himpunan fuzzy

Arti α ditelepon α -tingkat. Dukungan (kernel) dapat dianggap sebagai bagian dari himpunan fuzzy pada nol (satuan) α -tingkat.

Beras. 3 mengilustrasikan definisi pembawa, inti,α - bagian danα - tingkat himpunan kabur.

Di bawah satu set yang jelas atau hanya satu set, mereka biasanya memahami satu set tertentu objek tertentu dan dibedakan dari intuisi dan kecerdasan kita, dibayangkan sebagai satu kesatuan. Dalam pernyataan ini, kami mencatat poin berikut: himpunan A adalah kumpulan objek tertentu. Ini berarti bahwa untuk sembarang x seseorang dapat dengan jelas mengatakan apakah ia termasuk dalam himpunan A atau tidak.

Kondisi suatu elemen x milik himpunan A dapat ditulis dengan menggunakan konsep fungsi keanggotaan m(x), yaitu

Oleh karena itu, himpunan dapat ditentukan sebagai himpunan pasangan: elemen dan nilai fungsi keanggotaannya

A = ((x|m(x))) (1)

Contoh 1. Jurusan menawarkan lima mata kuliah pilihan x 1 , x 2 , x 3 , x 4 dan x 5 . Sesuai dengan program, tiga kursus diperlukan. Mahasiswa tersebut memilih mata kuliah x 2 , x 3 dan x 5 . Kami menulis fakta ini menggunakan fungsi keanggotaan

di mana elemen pertama dari setiap pasangan berarti nama mata pelajaran, dan yang kedua menjelaskan fakta bahwa itu milik subset yang dipilih oleh siswa ini ("ya" atau "tidak").

Ada banyak contoh himpunan jelas yang tak terhingga: daftar siswa dalam kelompok belajar, kumpulan rumah di jalan kota tertentu, kumpulan molekul dalam setetes air, dan seterusnya.

Sementara itu, sejumlah besar pengetahuan dan hubungan manusia dengan dunia luar mencakup konsep-konsep seperti itu yang tidak dapat disebut himpunan dalam pengertian (1). Mereka lebih baik dianggap kelas dengan batas fuzzy, ketika transisi dari milik satu kelas menjadi milik lain terjadi secara bertahap, tidak tiba-tiba. Dengan demikian, diasumsikan bahwa logika penalaran manusia tidak didasarkan pada logika dua nilai klasik, tetapi pada logika dengan nilai kebenaran fuzzy - penghubung fuzzy dan aturan inferensi fuzzy. Berikut adalah beberapa contoh: panjang artikel sekitar 12 halaman, sebagian besar wilayah, keunggulan permainan yang luar biasa, sekelompok beberapa orang.

Mari kita lihat contoh terakhir. Jelas bahwa sekelompok orang yang terdiri dari 3, 5, atau 9 orang termasuk dalam konsep: "sekelompok orang yang terdiri dari beberapa orang." Namun, bagi mereka akan ada tingkat kepercayaan yang tidak sama untuk menjadi bagian dari konsep ini, yang tergantung pada berbagai, termasuk keadaan subjektif. Keadaan ini dapat diformalkan jika kita mengasumsikan bahwa fungsi keanggotaan dapat mengambil nilai sembarang pada interval . Selain itu, nilai ekstrem ditentukan jika elemen tersebut tentu saja tidak termasuk atau secara jelas termasuk dalam konsep ini. Secara khusus, satu set orang A dari beberapa orang dapat dijelaskan dengan ekspresi bentuk:

A = ((1½0), 2½0.1), 3½0.4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0.8), (8½0.3), (9½0.1), (a½0)

Mari kita berikan definisi himpunan fuzzy, yang diberikan oleh pendiri teori himpunan fuzzy, L.A. Zade. Misalkan x adalah elemen dari himpunan universal tertentu (disebut dasar) E. Maka kusut(kabur) set SEBUAH didefinisikan pada himpunan dasar E adalah himpunan pasangan terurut

SEBUAH= (xum SEBUAH((x)), "x E,

dimana saya SEBUAH(X) - fungsi keanggotaan, yang memetakan himpunan E ke interval satuan , yaitu m SEBUAH (x): E ® .

Jelas, jika kisaran m SEBUAH (x) dibatasi pada dua angka 0 dan 1, maka definisi ini akan bertepatan dengan konsep himpunan biasa (jelas).

Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy dapat ditentukan tidak hanya dengan mendaftar semua nilainya untuk setiap elemen himpunan dasar, tetapi juga dalam bentuk ekspresi analitik. Misalnya, himpunan bilangan real Z yang sangat dekat dengan bilangan 2 dapat diberikan sebagai berikut:

Z= (xum Z(x)), "x R,

dimana saya Z(x) = .

Himpunan bilangan real Y yang cukup dekat dengan bilangan 2 adalah

kamu= (xum kamu(x)), "x R,

KU Z(x) = .

Sebuah representasi grafis dari dua fungsi keanggotaan ini diberikan pada Gambar 3.9.

Definisi. himpunan kabur SEBUAH disebut himpunan bagian fuzzy B, jika dan SEBUAH dan B didefinisikan pada himpunan dasar yang sama E dan "x E: m SEBUAH(x) £ m B(x), yang dinotasikan sebagai SEBUAHÌ B.

Syarat persamaan dua himpunan fuzzy SEBUAH dan B, yang didefinisikan pada himpunan dasar E yang sama, memiliki bentuk berikut:

SEBUAH = B atau "х E: m SEBUAH(x) = m B(x).

Komentar. Ada beberapa kesamaan antara konsep "ketidakjelasan" dan "probabilitas", yang pada dasarnya berbeda. Pertama, konsep-konsep ini digunakan dalam masalah di mana ada ketidakpastian atau ketidakakuratan pengetahuan kita atau ketidakmungkinan mendasar dari prediksi yang akurat dari hasil keputusan. Kedua, interval perubahan dan probabilitas dan fungsi keanggotaan adalah sama:

dan P dan m SEBUAH(x) .

Pada saat yang sama, probabilitas adalah karakteristik objektif, dan kesimpulan yang diperoleh berdasarkan penerapan teori probabilitas, pada prinsipnya, dapat diuji secara eksperimental.

Fungsi keanggotaan ditentukan secara subyektif, meskipun biasanya mencerminkan hubungan nyata antara objek yang dipertimbangkan. Efektivitas penerapan metode berdasarkan teori himpunan fuzzy biasanya dinilai setelah memperoleh hasil yang spesifik.

Jika dalam teori probabilitas diasumsikan bahwa probabilitas suatu kejadian tertentu sama dengan satu, yaitu.

maka jumlah yang sesuai dari semua nilai fungsi keanggotaan dapat mengambil nilai apa pun dari 0 hingga .

Jadi, untuk mendefinisikan himpunan fuzzy SEBUAH perlu menentukan himpunan dasar dari elemen E, dan membentuk fungsi keanggotaan m SEBUAH(x), yang merupakan ukuran kepercayaan subjektif yang dengannya setiap elemen x dari E termasuk dalam himpunan fuzzy yang diberikan SEBUAH.

Ilmu pengetahuan dan teknologi modern tidak dapat dibayangkan tanpa meluasnya penggunaan pemodelan matematika, karena eksperimen skala penuh jauh dari selalu mungkin, seringkali terlalu mahal dan membutuhkan banyak waktu, dalam banyak kasus mereka dikaitkan dengan risiko dan material yang tinggi atau biaya moral. Inti dari pemodelan matematika adalah untuk mengganti objek nyata dengan "gambar" - model matematika - dan studi lebih lanjut dari model dengan bantuan algoritma logika komputasi yang diterapkan pada komputer. Persyaratan paling penting untuk model matematika adalah kondisi kecukupannya (korespondensi yang benar) dengan objek nyata yang dipelajari sehubungan dengan sistem properti yang dipilih. Dengan ini, pertama-tama, dipahami deskripsi kuantitatif yang benar dari sifat-sifat objek yang dipertimbangkan. Konstruksi model kuantitatif seperti itu dimungkinkan untuk sistem sederhana.

Situasinya berbeda dengan sistem yang kompleks. Untuk mendapatkan kesimpulan yang signifikan tentang perilaku sistem yang kompleks, perlu untuk meninggalkan akurasi dan ketelitian yang tinggi dalam konstruksi model dan untuk terlibat dalam pendekatan konstruksi yang bersifat perkiraan. Salah satu pendekatan ini dikaitkan dengan pengenalan variabel linguistik yang menggambarkan refleksi kabur seseorang di seluruh dunia. Agar variabel linguistik menjadi objek matematika yang lengkap, konsep himpunan fuzzy diperkenalkan.

Dalam teori himpunan tegas, fungsi karakteristik himpunan tegas dalam ruang semesta dipertimbangkan , sama dengan 1 jika elemen memenuhi properti dan, oleh karena itu, termasuk dalam himpunan , dan sama dengan 0 sebaliknya. Jadi, kami berbicara tentang dunia yang jelas (aljabar Boolean), di mana ada atau tidak adanya properti tertentu ditentukan oleh nilai 0 atau 1 ("tidak" atau "ya").

Namun, segala sesuatu di dunia tidak dapat dibagi hanya menjadi putih dan hitam, kebenaran dan kebohongan. Jadi, bahkan Sang Buddha melihat dunia yang penuh dengan kontradiksi, hal-hal bisa benar sampai batas tertentu dan, sampai batas tertentu, salah pada saat yang sama. Plato meletakkan dasar untuk apa yang akan menjadi logika fuzzy dengan menunjukkan bahwa ada alam ketiga (di luar Kebenaran dan Kepalsuan) di mana kontradiksi ini relatif.

Profesor Universitas California Zadeh menerbitkan pada tahun 1965 artikel "Set Fuzzy", di mana ia memperluas estimasi dua nilai dari 0 atau 1 ke estimasi multi-nilai tak terbatas di atas 0 dan di bawah 1 dalam interval tertutup dan pertama kali memperkenalkan konsep "set kabur". Alih-alih istilah "fungsi karakteristik" Zadeh menggunakan istilah "fungsi keanggotaan". himpunan kabur (notasi yang sama dipertahankan seperti untuk himpunan tegas) di ruang universal
melalui fungsi keanggotaan (notasi yang sama untuk fungsi karakteristik) didefinisikan sebagai berikut:

Fungsi keanggotaan paling sering diartikan sebagai berikut: nilai berarti penilaian subjektif dari derajat keanggotaan suatu elemen dalam himpunan fuzzy, misalnya, itu berarti bahwa 80% milik . Oleh karena itu, “fungsi keanggotaan saya”, “fungsi keanggotaan Anda”, “fungsi keanggotaan spesialis”, dll. harus ada. 1. Fungsi keanggotaan himpunan fuzzy memiliki grafik berbentuk lonceng, berbeda dengan fungsi karakteristik persegi panjang dari himpunan tegas gambar. satu.

Perhatian harus diberikan pada hubungan antara himpunan tegas dan himpunan kabur. Dua nilai (0,1) dari fungsi karakteristik termasuk dalam interval tertutup dari nilai-nilai fungsi keanggotaan. Oleh karena itu, himpunan tegas adalah kasus khusus dari himpunan kabur, dan konsep himpunan kabur merupakan konsep perluasan yang mencakup konsep himpunan tegas. Dengan kata lain, himpunan tegas juga merupakan himpunan kabur.

Himpunan fuzzy didefinisikan secara ketat menggunakan fungsi keanggotaan dan tidak mengandung ketidakjelasan apapun. Faktanya adalah bahwa himpunan fuzzy didefinisikan secara ketat menggunakan nilai perkiraan interval tertutup , dan ini adalah fungsi keanggotaan. Jika himpunan semesta terdiri dari himpunan elemen hingga yang diskrit, maka, untuk alasan praktis, tunjukkan nilai fungsi keanggotaan dan elemen yang bersesuaian dengan menggunakan tanda pisah / dan +. Sebagai contoh, misalkan himpunan semesta terdiri dari bilangan bulat kurang dari 10, maka himpunan fuzzy “bilangan kecil” dapat direpresentasikan sebagai

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Di sini, misalnya, 0,8/2 berarti . Tanda + menunjukkan persatuan. Saat menulis himpunan fuzzy dalam bentuk di atas, elemen himpunan universal dengan nilai fungsi keanggotaan sama dengan nol dihilangkan. Biasanya, semua elemen himpunan semesta ditulis dengan nilai yang sesuai dari fungsi keanggotaan. Notasi himpunan fuzzy digunakan, seperti dalam teori probabilitas,

Definisi. Secara umum, himpunan bagian fuzzy dari himpunan universal didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut