Saya pikir kita harus mulai dengan sejarah alat matematika yang hebat seperti persamaan diferensial. Seperti semua kalkulus diferensial dan integral, persamaan ini ditemukan oleh Newton pada akhir abad ke-17. Dia menganggap penemuannya ini sangat penting sehingga dia bahkan mengenkripsi pesannya, yang saat ini dapat diterjemahkan seperti ini: “Semua hukum alam dijelaskan dengan persamaan diferensial.” Ini mungkin tampak berlebihan, tetapi ini benar. Hukum fisika, kimia, biologi apa pun dapat dijelaskan dengan persamaan ini.
Matematikawan Euler dan Lagrange memberikan kontribusi besar terhadap pengembangan dan penciptaan teori persamaan diferensial. Sudah pada abad ke-18 mereka menemukan dan mengembangkan apa yang sekarang mereka pelajari di program universitas senior.
Tonggak baru dalam studi persamaan diferensial dimulai berkat Henri Poincaré. Dia menciptakan "teori persamaan diferensial kualitatif", yang dikombinasikan dengan teori fungsi variabel kompleks, memberikan kontribusi signifikan terhadap dasar topologi - ilmu ruang dan sifat-sifatnya.
Apa itu persamaan diferensial?
Banyak orang yang takut dengan satu ungkapan. Namun, dalam artikel ini kami akan menguraikan secara rinci seluruh esensi dari peralatan matematika yang sangat berguna ini, yang sebenarnya tidak serumit yang terlihat dari namanya. Untuk mulai membahas persamaan diferensial orde pertama, Anda harus terlebih dahulu memahami konsep dasar yang secara inheren terkait dengan definisi ini. Dan kita akan mulai dengan perbedaannya.
Diferensial
Banyak orang sudah mengetahui konsep ini sejak bangku sekolah. Namun, mari kita lihat lebih dekat. Bayangkan grafik suatu fungsi. Kita dapat meningkatkannya sedemikian rupa sehingga setiap ruasnya akan berbentuk garis lurus. Mari kita ambil dua titik yang jaraknya sangat dekat satu sama lain. Perbedaan antara koordinatnya (x atau y) akan sangat kecil. Disebut diferensial dan dilambangkan dengan tanda dy (diferensial y) dan dx (diferensial x). Sangat penting untuk dipahami bahwa diferensial bukanlah besaran yang terbatas, dan inilah arti dan fungsi utamanya.
Sekarang kita perlu membahas elemen berikutnya, yang akan berguna bagi kita dalam menjelaskan konsep persamaan diferensial. Ini adalah turunan.
Turunan
Kita semua mungkin mendengar konsep ini di sekolah. Turunannya dikatakan sebagai laju kenaikan atau penurunan suatu fungsi. Namun, banyak hal yang menjadi tidak jelas dari definisi ini. Mari kita coba menjelaskan turunan melalui diferensial. Mari kita kembali ke segmen fungsi yang sangat kecil dengan dua titik yang berada pada jarak minimum satu sama lain. Namun bahkan pada jarak ini, fungsinya dapat berubah dalam jumlah tertentu. Dan untuk menggambarkan perubahan ini mereka menghasilkan turunan, yang dapat ditulis sebagai rasio diferensial: f(x)"=df/dx.
Sekarang ada baiknya mempertimbangkan sifat dasar turunannya. Hanya ada tiga di antaranya:
- Turunan dari suatu jumlah atau selisih dapat direpresentasikan sebagai jumlah atau selisih dari turunan: (a+b)"=a"+b" dan (a-b)"=a"-b".
- Sifat kedua berkaitan dengan perkalian. Turunan suatu hasil kali adalah jumlah hasil kali suatu fungsi dan turunan fungsi lainnya: (a*b)"=a"*b+a*b".
- Turunan selisihnya dapat dituliskan sebagai persamaan berikut: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .
Semua sifat ini akan berguna bagi kita untuk mencari solusi persamaan diferensial orde pertama.
Ada juga turunan parsial. Misalkan kita mempunyai fungsi z yang bergantung pada variabel x dan y. Untuk menghitung turunan parsial dari fungsi ini, katakanlah, terhadap x, kita perlu mengambil variabel y sebagai konstanta dan cukup membedakannya.
Integral
Konsep penting lainnya adalah integral. Faktanya, ini adalah kebalikan dari turunan. Ada beberapa jenis integral, tetapi untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang paling sederhana kita memerlukan persamaan yang paling sepele
Jadi, katakanlah kita mempunyai ketergantungan f pada x. Kita ambil integralnya dan dapatkan fungsi F(x) (sering disebut antiturunan), yang turunannya sama dengan fungsi aslinya. Jadi F(x)"=f(x). Hal ini juga berarti bahwa integral turunannya sama dengan fungsi aslinya.
Saat menyelesaikan persamaan diferensial, sangat penting untuk memahami arti dan fungsi integral, karena Anda harus sering menggunakannya untuk menemukan solusinya.
Persamaan bervariasi tergantung pada sifatnya. Pada bagian selanjutnya, kita akan melihat jenis-jenis persamaan diferensial orde pertama, dan kemudian mempelajari cara menyelesaikannya.
Kelas persamaan diferensial
"Diffurs" dibagi menurut urutan turunan yang terlibat di dalamnya. Jadi ada urutan pertama, kedua, ketiga dan seterusnya. Mereka juga dapat dibagi menjadi beberapa kelas: turunan biasa dan turunan parsial.
Pada artikel ini kita akan melihat persamaan diferensial biasa orde pertama. Kami juga akan membahas contoh dan cara menyelesaikannya pada bagian berikut. Kami hanya akan mempertimbangkan ODE, karena ini adalah jenis persamaan yang paling umum. Yang biasa dibagi menjadi subspesies: dengan variabel yang dapat dipisahkan, homogen dan heterogen. Selanjutnya, Anda akan mempelajari perbedaannya satu sama lain dan mempelajari cara menyelesaikannya.
Selain itu, persamaan-persamaan tersebut dapat digabungkan sehingga diperoleh sistem persamaan diferensial orde pertama. Kami juga akan mempertimbangkan sistem tersebut dan mempelajari cara mengatasinya.
Mengapa kami hanya mempertimbangkan pesanan pertama? Karena Anda harus memulai dengan sesuatu yang sederhana, dan tidak mungkin menjelaskan segala sesuatu yang berhubungan dengan persamaan diferensial dalam satu artikel.
Persamaan yang dapat dipisahkan
Ini mungkin persamaan diferensial orde pertama yang paling sederhana. Ini termasuk contoh yang dapat ditulis sebagai berikut: y"=f(x)*f(y). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita memerlukan rumus untuk menyatakan turunan sebagai rasio diferensial: y"=dy/dx. Dengan menggunakannya kita mendapatkan persamaan berikut: dy/dx=f(x)*f(y). Sekarang kita dapat beralih ke metode penyelesaian contoh standar: kita akan membagi variabel menjadi beberapa bagian, yaitu kita akan memindahkan semuanya dengan variabel y ke bagian di mana dy berada, dan melakukan hal yang sama dengan variabel x. Kita memperoleh persamaan berbentuk: dy/f(y)=f(x)dx, yang diselesaikan dengan mengambil integral dari kedua ruas. Jangan lupa tentang konstanta yang perlu ditetapkan setelah mengambil integral.
Solusi untuk setiap “perbedaan” adalah fungsi ketergantungan x pada y (dalam kasus kita) atau, jika ada kondisi numerik, maka jawabannya dalam bentuk angka. Mari kita lihat keseluruhan proses solusi menggunakan contoh spesifik:
Mari kita pindahkan variabel ke arah yang berbeda:
Sekarang mari kita ambil integralnya. Semuanya dapat ditemukan dalam tabel integral khusus. Dan kami mendapatkan:
ln(y) = -2*cos(x) + C
Jika diperlukan, kita dapat menyatakan "y" sebagai fungsi dari "x". Sekarang kita dapat mengatakan bahwa persamaan diferensial kita terpecahkan jika kondisinya tidak ditentukan. Suatu kondisi dapat ditentukan, misalnya y(n/2)=e. Kemudian kita cukup mensubstitusikan nilai-nilai variabel tersebut ke dalam solusi dan mencari nilai konstanta. Dalam contoh kita, nilainya adalah 1.
Persamaan diferensial homogen orde pertama
Sekarang mari kita beralih ke bagian yang lebih sulit. Persamaan diferensial homogen orde pertama dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut: y"=z(x,y). Perlu diperhatikan bahwa fungsi ruas kanan dua variabel adalah homogen, dan tidak dapat dibagi menjadi dua ketergantungan : z pada x dan z pada y. Periksa apakah persamaan tersebut homogen atau tidak cukup sederhana: kita melakukan penggantian x = k * x dan y = k * y , maka persamaannya homogen dan kita dapat mulai menyelesaikannya dengan aman, katakanlah: prinsip penyelesaian contoh-contoh ini juga sangat sederhana.
Kita perlu melakukan penggantian: y=t(x)*x, di mana t adalah fungsi tertentu yang juga bergantung pada x. Kemudian kita dapat menyatakan turunannya: y"=t"(x)*x+t. Mengganti semua ini ke dalam persamaan awal dan menyederhanakannya, kita mendapatkan contoh dengan variabel yang dapat dipisahkan t dan x. Kami menyelesaikannya dan mendapatkan ketergantungan t(x). Saat kita menerimanya, kita cukup mengganti y=t(x)*x ke pengganti sebelumnya. Maka kita mendapatkan ketergantungan y pada x.
Agar lebih jelas mari kita lihat contohnya: x*y"=y-x*e y/x .
Saat dicek dengan penggantian, semuanya berkurang. Artinya persamaan tersebut benar-benar homogen. Sekarang kita membuat pengganti lain yang kita bicarakan: y=t(x)*x dan y"=t"(x)*x+t(x). Setelah disederhanakan, kita memperoleh persamaan berikut: t"(x)*x=-et. Kita selesaikan contoh yang dihasilkan dengan variabel terpisah dan dapatkan: e -t =ln(C*x). Yang harus kita lakukan hanyalah mengganti t dengan y/x (jika y =t*x, maka t=y/x), dan kita mendapatkan jawabannya: e -y/x =ln(x*C).
Persamaan diferensial linier orde pertama
Saatnya untuk melihat topik luas lainnya. Kami akan menganalisis persamaan diferensial tak homogen orde pertama. Apa bedanya dengan dua sebelumnya? Mari kita cari tahu. Persamaan diferensial linier orde pertama dalam bentuk umum dapat ditulis sebagai berikut: y" + g(x)*y=z(x). Perlu dijelaskan bahwa z(x) dan g(x) dapat berupa besaran konstan.
Dan sekarang contohnya: y" - y*x=x 2 .
Ada dua solusi, dan kita akan melihat keduanya secara berurutan. Yang pertama adalah metode memvariasikan konstanta sembarang.
Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, pertama-tama Anda harus menyamakan ruas kanan dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan, yang setelah memindahkan bagian-bagiannya, akan berbentuk:
ln|y|=x 2 /2 + C;
y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .
Sekarang kita perlu mengganti konstanta C 1 dengan fungsi v(x), yang harus kita cari.
Mari kita ganti turunannya:
y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .
Dan substitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan aslinya:
v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .
Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri ada dua syarat yang dibatalkan. Jika dalam beberapa contoh hal ini tidak terjadi, berarti Anda melakukan kesalahan. Ayo lanjutkan:
v"*e x2/2 = x 2 .
Sekarang kita selesaikan persamaan biasa di mana kita perlu memisahkan variabel:
dv/dx=x 2 /e x2/2 ;
dv = x 2 *e - x2/2 dx.
Untuk mengekstrak integral, kita harus menerapkan integrasi per bagian di sini. Namun, ini bukan topik artikel kami. Jika Anda tertarik, Anda dapat mempelajari sendiri cara melakukan tindakan tersebut. Ini tidak sulit, dan dengan keterampilan serta kehati-hatian yang memadai, tidak memakan banyak waktu.
Mari kita beralih ke metode kedua untuk menyelesaikan persamaan tak homogen: metode Bernoulli. Pendekatan mana yang lebih cepat dan mudah terserah Anda.
Jadi, saat menyelesaikan persamaan menggunakan metode ini, kita perlu melakukan substitusi: y=k*n. Di sini k dan n adalah beberapa fungsi yang bergantung pada x. Maka turunannya akan terlihat seperti ini: y"=k"*n+k*n". Kita substitusikan kedua pengganti tersebut ke dalam persamaan:
k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .
Pengelompokan:
k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .
Sekarang kita perlu menyamakan dengan nol apa yang ada di dalam tanda kurung. Sekarang, jika kita menggabungkan dua persamaan yang dihasilkan, kita mendapatkan sistem persamaan diferensial orde pertama yang perlu diselesaikan:
Kami menyelesaikan persamaan pertama sebagai persamaan biasa. Untuk melakukan ini, Anda perlu memisahkan variabel:
Kita ambil integralnya dan mendapatkan: ln(n)=x 2 /2. Lalu, jika kita nyatakan n:
Sekarang kita substitusikan persamaan yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua sistem:
k"*e x2/2 =x 2 .
Dan dengan mentransformasikannya, kita mendapatkan persamaan yang sama seperti pada metode pertama:
dk=x 2 /e x2/2 .
Kami juga tidak akan membahas tindakan lebih lanjut. Patut dikatakan bahwa penyelesaian persamaan diferensial orde pertama pada awalnya menyebabkan kesulitan yang signifikan. Namun, dengan mendalami topik ini lebih dalam, hal itu mulai menjadi lebih baik dan lebih baik lagi.
Di mana persamaan diferensial digunakan?
Persamaan diferensial digunakan dengan sangat aktif dalam fisika, karena hampir semua hukum dasar ditulis dalam bentuk diferensial, dan rumus yang kita lihat adalah solusi dari persamaan tersebut. Dalam kimia mereka digunakan untuk alasan yang sama: hukum-hukum dasar diturunkan dengan bantuan mereka. Dalam biologi, persamaan diferensial digunakan untuk memodelkan perilaku sistem, seperti predator dan mangsa. Mereka juga dapat digunakan untuk membuat model reproduksi, katakanlah, koloni mikroorganisme.
Bagaimana persamaan diferensial dapat membantu Anda dalam hidup?
Jawaban atas pertanyaan ini sederhana: tidak sama sekali. Jika Anda bukan seorang ilmuwan atau insinyur, kemungkinan besar mereka tidak akan berguna bagi Anda. Namun, untuk pengembangan secara umum, tidak ada salahnya untuk mengetahui apa itu persamaan diferensial dan cara penyelesaiannya. Lalu pertanyaan anak laki-laki atau perempuan adalah “apa itu persamaan diferensial?” tidak akan membingungkanmu. Nah, jika Anda seorang ilmuwan atau insinyur, maka Anda sendiri memahami pentingnya topik ini dalam sains apa pun. Namun yang terpenting sekarang adalah pertanyaan “bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama?” Anda selalu bisa memberikan jawaban. Setuju, selalu menyenangkan ketika Anda memahami sesuatu yang orang bahkan takut untuk memahaminya.
Masalah utama dalam belajar
Masalah utama dalam memahami topik ini adalah buruknya keterampilan dalam mengintegrasikan dan membedakan fungsi. Jika Anda tidak pandai mempelajari turunan dan integral, mungkin ada baiknya Anda mempelajari lebih lanjut, menguasai berbagai metode integrasi dan diferensiasi, dan baru kemudian mulai mempelajari materi yang dijelaskan dalam artikel.
Ada yang kaget ketika mengetahui dx dapat dibawa-bawa, karena sebelumnya (di sekolah) disebutkan pecahan dy/dx tidak dapat dibagi. Di sini Anda perlu membaca literatur tentang turunan dan memahami bahwa turunan adalah rasio besaran yang sangat kecil yang dapat dimanipulasi saat menyelesaikan persamaan.
Banyak orang tidak segera menyadari bahwa menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama seringkali merupakan fungsi atau integral yang tidak dapat diambil, dan kesalahpahaman ini menimbulkan banyak masalah bagi mereka.
Apa lagi yang bisa Anda pelajari untuk pemahaman yang lebih baik?
Yang terbaik adalah memulai perendaman lebih lanjut dalam dunia kalkulus diferensial dengan buku teks khusus, misalnya, tentang analisis matematika untuk siswa dari spesialisasi non-matematika. Kemudian Anda dapat beralih ke literatur yang lebih terspesialisasi.
Patut dikatakan bahwa, selain persamaan diferensial, ada juga persamaan integral, sehingga Anda akan selalu memiliki sesuatu untuk diperjuangkan dan dipelajari.
Kesimpulan
Kami berharap setelah membaca artikel ini Anda memiliki gambaran tentang apa itu persamaan diferensial dan cara menyelesaikannya dengan benar.
Bagaimanapun, matematika akan berguna bagi kita dalam kehidupan dalam beberapa hal. Ini mengembangkan logika dan perhatian, yang tanpanya setiap orang tidak memiliki tangan.
Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan diferensial linier orde pertama menggunakan metode Bernoulli.
1) y'=3x-y/x
Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk standar: y’+y/x=3x. Di sini p(x)=1/x, q(x)=3x.
1) Mari kita perkenalkan penggantian y=uv, di mana u=u(x) dan v=v(x) adalah beberapa fungsi baru dari x. Oleh karena itu y'=(uv)'=u'v+v'u. Kita substitusikan ekspresi y dan y’ yang dihasilkan ke dalam kondisi: u’v+v’u+uv/x=3x.
2) Mari kita kelompokkan suku-suku yang mengandung v: v+v'u=3x. (I) Sekarang kita mengharuskan ekspresi dalam tanda kurung sama dengan nol: u’+u/x=0. Kami telah memperoleh persamaan diferensial baru dengan variabel yang dapat dipisahkan untuk u dan x. Kita substitusikan u’=du/dx dan pisahkan variabelnya: du/dx= - u/x. Kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan membaginya dengan u≠0. Kita sampai pada persamaan dengan variabel terpisah: du/u= - dx/x. Mari kita integrasikan:
Karena ketika mencari u C kita ambil sama dengan nol, kita peroleh bahwa ln│u│=-ln│x│, kita menggunakan sifat logaritma: ln│u│= ln│1/x│maka u=1/x .
3) Pada persamaan (I) kita substitusikan =0 dan u=1/x. Kita mempunyai: v'/x=3x. Kita mengalikan kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan x≠0: v’=3x². Anda dapat membayangkan v’=dv/dx dan membagi variabelnya: dv/dx=3x², dari sini, mengalikan kedua ruas dengan dx, kita mendapatkan dv=3x²dx, integrasikan:
di sini kita tidak lagi mengabaikan C, dan kita sampai pada v=x³+C. (Atau Anda dapat mengintegrasikan kedua ruas persamaan: v’=3x²
dan segera dapatkan jawabannya v=x³+C).
4) Karena y=uv, dengan mensubstitusikan u dan v ke ekspresi yang ditemukan, kita mendapatkan: y=(x³+C)/x. Jika kita mentransformasikan jawabannya, kita mendapatkan: y=x²+C/x.
Jawab: y=x²+C/x.
2) y'+y=cosx.
Persamaan linier dalam bentuk standar. p(x)=1, q(x)=cosx.
1) y=uv, y'=u'v+v'u. Gantikan ke dalam kondisi:
u'v+v'u+uv=cosx. Kita mengelompokkan suku-suku tersebut dengan v: v+v’u=cosx. (II)
2) Sekarang kita memerlukan kondisi u'+u=0 dipenuhi. Kami telah memperoleh persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan u dan x. Karena u’=du/dx, maka du/dx+u=0, sehingga du/dx=-u. Kita mengalikan kedua ruas dengan dx dan membaginya dengan u≠0: du/u=-dx. Mari kita integrasikan persamaannya:
3) Dalam persamaan (II) kita substitusikan =0 dan
Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan:
Integral ini dicari dengan menggunakan rumus integrasi per bagian:
4) y=uv, gantikan ekspresi yang ditemukan untuk u dan v:
Mari kita lihat tugas menarik lainnya.
3) Temukan solusi persamaan (x+y)y’=1 yang memenuhi kondisi awal y(-1)=0.
Jika kita menganggap y sebagai fungsi dari x, maka persamaan tersebut tidak dapat ditulis dalam bentuk standar y’+p(x)y=q(x). Tetapi jika kita menganggap x sebagai fungsi dari y, maka dengan mempertimbangkan fakta bahwa y'=1/x', kita mendapatkan: (x+y) 1/x'=1, maka x'=x+y, sekarang kita menulis ulang persamaan ini dalam bentuk x'-x=y. (AKU AKU AKU)
Kita telah memperoleh persamaan diferensial linier orde satu dengan bentuk x'+p(y)=q(y). Di sini p(y)=-1, q(y)=y. Semua alasannya sangat mirip. Mari kita lihat semuanya.
1) Penggantian x=uv, dimana u=u(y), v=v(y). Oleh karena itu x'=u'v+v'u. Pengganti pada (III): u'v+v'u-uv=y.
2) Kelompokkan suku-suku tersebut dengan v: v+v’u=y. (IV) Kita mensyaratkan bahwa ekspresi dalam tanda kurung sama dengan nol: u’-u=0. Dan ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Ingatlah bahwa variabel kedua di sini adalah y, bukan x. Dengan mempertimbangkan fakta bahwa u’=du/dy, mari kita pisahkan variabelnya: du/dy=u. Kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan dy dan membaginya dengan u: du/u=dy. Sekarang mari kita integrasikan:
3) Pada (IV) kita substitusikan =0 dan
Integral ini juga dapat dicari dengan menggunakan rumus integrasi per bagian
Menggantinya, dengan menggunakan rumus integrasi per bagian, kita mendapatkan:
4) Karena x=uv, maka, dengan mensubstitusi fungsi u dan v ke ekspresi yang ditemukan, kita memperoleh:
5) Dalam solusi umum persamaan
kita substitusikan kondisi awal y(-1)=0 (yaitu, x=-1, y=0):
Oleh karena itu solusi khusus x=-y-1. Setelah menyatakan y sampai x, kita sampai pada jawaban akhir: y=-x-1.
Jawaban: y=-x-1.
Tugas tes mandiri:
1) y'-y=x. Di sini p(x)=-1, q(x)=x.
1) Masukkan pengganti y=uv, y’=u’v+v’u. Substitusikan ke dalam kondisi: u’v+v’u=x+uv, u’v+v’u- uv=x.
2) Kelompokkan suku-suku tersebut dengan v: v+v’u=x (*).
Kita mensyaratkan bahwa ekspresi dalam tanda kurung sama dengan nol: u’- u=0yu Dari kondisi ini kita mendapatkan u: du/dx=u, du/u=dx. Mari berintegrasi:
3) Dalam persamaan (*) kita substitusikan =0 dan
Kita akan mencari integral di ruas kanan persamaan menggunakan rumus integrasi per bagian: u=x, du=x’dx=dx.
Dari sini kita mendapatkannya
4) Karena y-uv, substitusikan:
2) Kita membagi kedua ruas persamaan dengan x: y’-(2/x)y=x. Di sini p(x)=-2/x, q(x)=x.
1) Penggantian y=uv, y'=u'v+v'u. Substitusikan ke dalam kondisi: xu’v+xv’u-2uv=x².
2) Kelompokkan suku-suku tersebut dengan v: v+xv’u=x² (**). Sekarang kita memerlukan kondisi xu'-2u=0 dipenuhi. Maka x·du/dx=2u, du/u=2dx/x. Mari berintegrasi.
Dalam topik ini, kita akan membahas cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen berbentuk y " = P (x) · y = Q (x). Mari kita mulai dengan metode variasi konstanta sembarang dan tunjukkan cara menggunakannya metode ini untuk menyelesaikan masalah Cauchy. Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan metode yang mengasumsikan representasi konstanta sembarang y sebagai produk dari dua fungsi u (x) dan v (x). topik dengan analisis rinci tentang solusinya.
Jika istilah dan konsep yang digunakan dalam analisis topik ternyata asing bagi Anda, kami sarankan untuk melihat bagian “Istilah dasar dan definisi teori persamaan diferensial.”
Metode variasi untuk konstanta sembarang untuk menyelesaikan LPDE orde pertama
Untuk singkatnya, kami akan menyatakan persamaan diferensial linier tidak homogen dengan singkatan LNDE, dan persamaan diferensial homogen linier (LODE).
LNDE berbentuk y " = P (x) y = Q (x) sesuai dengan LDE berbentuk y " = P (x) y = 0 , dengan Q(x)=0. Jika kita melihat persamaan diferensial y " = P (x) y = 0, jelas bahwa kita berhadapan dengan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Kita dapat mengintegrasikannya: y " = P (x) y = 0 ⇔ d y y = - P (x) d x , y ≠ 0 ∫ d y y = - ∫ P (x) d x ⇔ ln y + C 1 = - ∫ P (x) d x ⇔ ln y = ln C - ∫ P (x) d x , ln C = - C 1 , C ≠ 0 ⇔ e ln y = e ln C - ∫ P (x) d x ⇔ y = C e - ∫ P (x) d x
Dapat dikatakan bahwa nilai variabel y = 0 juga merupakan penyelesaian, karena dengan nilai variabel tersebut persamaan y " = P (x) y = 0 menjadi suatu identitas. Kasus ini sesuai dengan penyelesaian y = C e - ∫ P (x ) d x pada nilai C=0.
Ternyata y = C e - ∫ P (x) d x merupakan solusi umum LODE, dimana DENGAN– konstanta sewenang-wenang.
y = C · e - ∫ P (x) d x adalah penyelesaian LOD y " = P (x) · y = 0 .
Untuk menemukan solusi umum persamaan tak homogen y " = P (x) y = Q (x), kita menganggap C bukan sebuah konstanta, tetapi fungsi dari argumen x. Faktanya, kita akan mengambil y = C (x) e - ∫ P (x) d x dengan solusi umum LNDE.
Mari kita substitusikan y = C (x) e - ∫ P (x) d x ke dalam persamaan diferensial y " = P (x) y = Q (x). Menjadi identitasnya:
y" = P (x) y = Q (x) C x e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x)
Sekarang mari kita beralih ke aturan diferensiasi produk. Kita mendapatkan:
C" (x) e - ∫ P (x) d x + C (x) e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q ( x)
Turunan fungsi kompleks e - ∫ P (x) d x " sama dengan e - ∫ P (x) d x · - ∫ P (x) d x " .
Sekarang mari kita mengingat kembali sifat-sifat integral tak tentu. Kita mendapatkan:
e - ∫ P(x) dx · - ∫ P(x) dx " = - e - ∫ P(x) dx · P(x)
Sekarang mari kita melakukan transisi:
C" (x) e - ∫ P (x) d x + C (x) e - ∫ P (x) d x " + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x) C " (x) e - ∫ P (x) d x - P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x + P (x) C (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x ) C" (x) e - ∫ P (x) d x = Q (x)
Jadi kita sampai pada persamaan diferensial orde pertama yang paling sederhana. Dalam menyelesaikan persamaan ini kita akan mendefinisikan fungsinya C(x). Ini akan memungkinkan kita untuk menulis solusi LPDE orde pertama yang asli sebagai berikut:
y = C (x) e - ∫ P (x) dx
Meringkaskan
Metode memvariasikan konstanta sembarang saat menyelesaikan LPDE melibatkan tiga tahap:
- menemukan solusi umum untuk LOD yang bersangkutan y " + P (x) · y = 0 dalam bentuk y = C · e - ∫ P (x) d x ;
- variasi dari konstanta sembarang C, yang terdiri dari penggantiannya dengan suatu fungsi C(x);
- mensubstitusi fungsi y = C (x) e - ∫ P (x) d x ke dalam persamaan diferensial awal, dari situ kita dapat menghitung C(x) dan tuliskan jawabannya.
Sekarang mari kita terapkan algoritma ini untuk memecahkan masalah tersebut.
Contoh 1
Tentukan penyelesaian soal Cauchy y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 , y (1) = 3 .
Larutan
Kita perlu mencari solusi partikular dari LNDDE y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 dengan kondisi awal y (1) = 3.
Dalam contoh kita P(x) = - 2 x 1 + x 2 dan Q (x) = x 2 + 1. Mari kita mulai dengan mencari solusi umum untuk LOD. Setelah ini, kita akan menerapkan metode variasi konstanta sembarang dan menentukan solusi umum LPDE. Ini akan memungkinkan kita menemukan solusi khusus yang diinginkan.
Solusi umum dari LOD y " - 2 x y 1 + x 2 = 0 yang bersesuaian adalah keluarga fungsi y = C · (x 2 + 1), dengan C adalah konstanta sembarang.
Kami memvariasikan konstanta sembarang y = C (x) · (x 2 + 1) dan substitusikan fungsi ini ke persamaan awal:
y" - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 C x · (x 2 + 1 " - 2 x · C (x) · (x 2 + 1) 1 + x 2 = 1 + x 2 C " ( x) · (x 2 + 1) + C (x) · 2 x - 2 x · C (x) = 1 + x 2 C " (x) = 1,
dari mana C (x) = ∫ d x = x + C 1 , dimana C 1– konstanta sewenang-wenang.
Artinya y = C (x) · (x 2 + 1) = (x + C 1) · (x 2 + 1) adalah penyelesaian umum persamaan tak homogen tersebut.
Sekarang mari kita mulai mencari solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal y (1) = 3.
Karena y = (x + C 1) · (x 2 + 1) , maka y (1) = (1 + C 1) · (1 2 + 1) = 2 · (1 + C 1) . Beralih ke kondisi awal, kita memperoleh persamaan 2 · (1 + C 1) = 3, maka C 1 = 1 2. Oleh karena itu, solusi yang diinginkan dari masalah Cauchy berbentuk y = x + 1 2 (x 2 + 1)
Sekarang pertimbangkan metode lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen y " + P (x) · y = Q (x) .
Metode lain untuk menyelesaikan LPDE orde pertama
Kita dapat menyatakan fungsi yang tidak diketahui sebagai hasil kali y = u ⋅ v, dengan u dan ay– fungsi argumen X.
Kita dapat mengganti fungsi ini menjadi LNDE orde pertama. Kita punya:
y " + P (x) y = Q (x) (u v) " + P (x) kamu v = Q (x) kamu " v + kamu v " + P (x) kamu v = Q (x) kamu " v + kamu (v " + P (x) v) = Q (x)
Jika kita menemukan v sehingga merupakan solusi parsial bukan nol dari persamaan diferensial v " + P (x) v = 0, maka kamu dapat ditentukan dari persamaan yang dapat dipisahkan u " · v = Q (x) .
Mari kita pertimbangkan algoritma solusi ini menggunakan contoh sebelumnya. Ini akan memungkinkan kita untuk fokus pada hal utama tanpa terganggu oleh detail kecil.
Contoh 2
Temukan solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen y " - 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 .
Larutan
Misal y = u ⋅ v
y " - 2 x y x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ (u v) - 2 x u v x 2 + 1 = x 2 + 1 u " v + u v " - 2 x u v x 2 + 1 = x 2 + 1 u " v + u v " - 2 x v x 2 + 1 = x 2 + 1
Kami menemukan ini ay, selain nol, sehingga ekspresi dalam tanda kurung menjadi nol. Dengan kata lain, kita menemukan solusi khusus persamaan diferensial v " - 2 x · v x 2 + 1 = 0.
v " - 2 x · v x 2 + 1 = 0 ⇔ d v d x = 2 x · v x 2 + 1 ⇒ d v v = 2 x d x x 2 + 1 ⇔ d v v = d (x 2 + 1) x 2 + 1 ∫ d v v = ∫ d ( x 2 + 1) x 2 + 1 ln v + C 1 = ln (x 2 + 1) + C 2
Mari kita ambil solusi tertentu v = x 2 + 1, yang bersesuaian dengan C 2 – C 1 = 0.
Untuk solusi khusus ini kami punya
u " v + u v " - 2 x v x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇔ u " (x 2 + 1) + u 0 = x 2 + 1 ⇔ u " = 1 ⇔ u = x +C
Oleh karena itu, solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen asli adalah y = u v = (x + C) (x 2 + 1)
Jawaban dalam kedua kasus tersebut sama. Artinya, kedua metode solusi yang kami sajikan di artikel tersebut setara. Terserah Anda untuk memilih mana yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Orde pertama, mempunyai bentuk standar $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, dengan $P\left(x\right)$ kontinu fungsi, disebut linier homogen. Nama "linier" dijelaskan oleh fakta bahwa fungsi $y$ dan fungsi pertamanya tidak diketahui turunan$y"$ dimasukkan ke dalam persamaan secara linier, yaitu sampai derajat pertama. Nama “homogen” dijelaskan oleh fakta bahwa ada nol di sisi kanan persamaan.
Persamaan diferensial seperti itu dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pemisahan variabel. Mari kita sajikan dalam bentuk standar metode ini: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, di mana $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\ kanan)$ dan $f_(2)\kiri(y\kanan)=y$.
Mari kita hitung integral $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Mari kita hitung integral $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right |$ .
Mari kita tuliskan solusi umum dalam bentuk $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$, di mana $ \ln \left |C_(1) \right|$ adalah konstanta sembarang, diambil dalam bentuk yang sesuai untuk transformasi lebih lanjut.
Mari kita lakukan transformasi:
\[\ln \kiri|y\kanan|-\ln \kiri|C_(1) \kanan|=-\int P\kiri(x\kanan)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]
Dengan menggunakan definisi logaritma, kita memperoleh: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Persamaan ini, pada gilirannya, setara dengan persamaan $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.
Mengganti konstanta sembarang $C=\pm C_(1) $, kita memperoleh solusi umum persamaan diferensial homogen linier: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.
Setelah menyelesaikan persamaan $f_(2) \left(y\right)=y=0$, kita menemukan solusi khusus. Dengan pemeriksaan biasa kita yakin bahwa fungsi $y=0$ adalah solusi khusus persamaan diferensial ini.
Namun, solusi yang sama dapat diperoleh dari solusi umum $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $, dengan memasukkan $C=0$ ke dalamnya.
Jadi hasil akhirnya adalah: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.
Metode umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial homogen linier orde pertama dapat direpresentasikan sebagai algoritma berikut:
- Untuk menyelesaikan persamaan ini, pertama-tama harus disajikan dalam bentuk standar metode $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$. Jika hal ini tidak tercapai, maka persamaan diferensial ini harus diselesaikan dengan metode yang berbeda.
- Kita menghitung integral $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
- Kami menulis solusi umum dalam bentuk $y=C\cdot e^(-I) $ dan, jika perlu, melakukan transformasi penyederhanaan.
Masalah 1
Temukan solusi umum persamaan diferensial $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$.
Kita mempunyai persamaan linear homogen orde pertama dalam bentuk standar, dengan $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.
Kita menghitung integral $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.
Solusi umum memiliki bentuk: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.
Persamaan diferensial linier tak homogen orde pertama
Definisi
Persamaan diferensial orde pertama yang dapat direpresentasikan dalam bentuk standar $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, dengan $P\left(x\right)$ dan $ Q\left(x\right)$ - fungsi kontinu yang diketahui, disebut persamaan diferensial linier tak homogen. Nama "tidak homogen" dijelaskan oleh fakta bahwa ruas kanan persamaan diferensial bukan nol.
Penyelesaian satu persamaan diferensial linier tak homogen yang kompleks dapat direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan diferensial yang lebih sederhana. Untuk melakukan ini, fungsi yang diperlukan $y$ harus diganti dengan produk dari dua fungsi tambahan $u$ dan $v$, yaitu, masukkan $y=u\cdot v$.
Kami membedakan pengganti yang diterima: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. Kita substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan diferensial ini: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ kiri(x\kanan)$ atau $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \kiri[\frac(dv)(dx) +P\kiri(x\kanan)\cdot v\ kanan] =Q\kiri(x\kanan)$.
Perhatikan bahwa jika $y=u\cdot v$ diterima, maka salah satu fungsi tambahan dapat dipilih secara sewenang-wenang sebagai bagian dari produk $u\cdot v$. Mari kita pilih fungsi bantu $v$ sehingga ekspresi dalam tanda kurung siku menjadi nol. Untuk melakukannya, cukup menyelesaikan persamaan diferensial $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ untuk fungsi $v$ dan memilih solusi partikular paling sederhana untuk fungsi tersebut $v=v\kiri(x \kanan)$, bukan nol. Persamaan diferensial ini linier homogen dan diselesaikan dengan metode yang dibahas di atas.
Kami mengganti solusi yang dihasilkan $v=v\left(x\right)$ ke dalam persamaan diferensial ini, dengan mempertimbangkan fakta bahwa sekarang ekspresi dalam tanda kurung siku sama dengan nol, dan kami memperoleh persamaan diferensial lain, tetapi sekarang dengan hormat ke fungsi bantu $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Persamaan diferensial ini dapat direpresentasikan sebagai $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, setelah itu menjadi jelas bahwa persamaan ini memungkinkan persamaan diferensial langsung integrasi. Untuk persamaan diferensial ini perlu dicari solusi umum dalam bentuk $u=u\left(x,\; C\right)$.
Sekarang kita dapat menemukan solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen orde pertama ini dalam bentuk $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.
Metode umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen orde pertama dapat direpresentasikan sebagai algoritma berikut:
- Untuk menyelesaikan persamaan ini, pertama-tama harus direpresentasikan dalam bentuk standar metode $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Jika hal ini tidak tercapai, maka persamaan diferensial ini harus diselesaikan dengan metode lain.
- Kita menghitung integral $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, tulis solusi tertentu dalam bentuk $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, jalankan transformasi yang disederhanakan dan pilih opsi bukan nol yang paling sederhana untuk $v\left(x\right)$.
- Kita menghitung integral $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, setelah itu kita menulis ekspresi dalam bentuk $u \kiri(x, C\kanan)=I_(2) +C$.
- Kita tuliskan solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen ini dalam bentuk $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ dan, jika perlu, lakukan transformasi penyederhanaan.
Masalah 2
Temukan solusi umum persamaan diferensial $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.
Kita mempunyai persamaan linier tak homogen orde pertama dalam bentuk standar, dengan $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ dan $Q\left(x\right)=3\cdot x $.
Kita menghitung integral $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.
Kami menulis solusi tertentu dalam bentuk $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ dan melakukan transformasi penyederhanaan: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ kanan|) $; $\ln v\kiri(x\kanan)=\ln \kiri|x\kanan|$; $v\kiri(x\kanan)=\kiri|x\kanan|$. Untuk $v\left(x\right)$ kita memilih opsi bukan nol yang paling sederhana: $v\left(x\right)=x$.
Kita menghitung integral $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x ) \ cdot dx=3\cdot x $.
Kita menulis ekspresi $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$.
Kami akhirnya menuliskan solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen ini dalam bentuk $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, yaitu $y=\left( 3\cdot x+C \kanan)\cdot x$.
