Ketika mempelajari aljabar di sekolah menengah (kelas 9), salah satu topik penting adalah studi tentang barisan numerik, yang meliputi progresi - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi.
Apa itu barisan aritmatika?
Untuk memahami hal ini, perlu diberikan definisi tentang perkembangan yang sedang dibahas, serta memberikan rumus-rumus dasar yang akan digunakan lebih lanjut dalam memecahkan masalah.
Deret aritmatika atau aljabar adalah seperangkat bilangan rasional yang teratur, yang masing-masing anggotanya berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, mengetahui anggota deret angka yang berurutan dan perbedaannya, Anda dapat memulihkan seluruh deret aritmatika.
Mari kita ambil contoh. Barisan bilangan selanjutnya adalah barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi himpunan angka 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi dikaitkan dengan jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, karena perbedaannya bukan nilai konstan (5 - 3 8 - 5 12 - 8 17 - 12).
Rumus Penting
Kami sekarang memberikan rumus dasar yang akan diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan deret aritmatika. Misalkan a n menyatakan anggota ke-n dari barisan, di mana n adalah bilangan bulat. Perbedaannya dilambangkan dengan huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini benar:
- Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumusnya cocok: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Untuk menentukan jumlah n suku pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.
Untuk memahami setiap contoh deret aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat dua rumus ini, karena masalah jenis apa pun dibangun berdasarkan penggunaannya. Juga, jangan lupa bahwa perbedaan perkembangan ditentukan oleh rumus: d = a n - a n-1 .
Contoh #1: Menemukan Anggota Tidak Dikenal
Kami memberikan contoh sederhana dari deret aritmatika dan rumus yang harus digunakan untuk menyelesaikannya.
Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, perlu untuk menemukan lima suku di dalamnya.
Sudah mengikuti dari kondisi masalah bahwa 4 suku pertama diketahui. Kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:
- Mari kita hitung selisihnya terlebih dahulu. Kami memiliki: d = 8 - 10 = -2. Demikian pula, seseorang dapat mengambil dua istilah lain yang berdiri bersebelahan. Misalnya, d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui bahwa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita mendapatkan: a 5 \u003d a 4 + d. Kami mengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Cara kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang selisih dari progresi yang bersangkutan, jadi Anda harus menentukannya terlebih dahulu, seperti gambar di atas (d = -2). Diketahui suku pertama a 1 = 10, kita gunakan rumus bilangan n barisan tersebut. Kami memiliki: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Seperti yang Anda lihat, kedua solusi menghasilkan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini perbedaan d dari progresi adalah negatif. Barisan demikian disebut menurun karena setiap suku yang berurutan lebih kecil dari suku sebelumnya.
Contoh #2: perbedaan perkembangan
Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas, berikan contoh caranya
Diketahui bahwa pada beberapa suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perlu dicari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.
Mari gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami mengganti data yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, yaitu angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ekspresi ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Jadi, bagian pertama dari soal telah terjawab.
Untuk mengembalikan barisan ke anggota ke-7, Anda harus menggunakan definisi deret aljabar, yaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kami mengembalikan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.
Contoh #3: membuat kemajuan
Mari kita semakin memperumit kondisi masalah. Sekarang Anda perlu menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan deret aritmatika. Kita dapat memberikan contoh berikut: dua angka diberikan, misalnya, 4 dan 5. Perlu untuk membuat deret aljabar agar tiga suku lagi cocok di antara keduanya.
Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu untuk memahami tempat apa yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke tugas yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n, kami menggunakan rumus, kami mendapatkan: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Dari: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini, selisihnya bukan bilangan bulat, melainkan bilangan rasional, sehingga rumus deret aljabar tetap sama.
Sekarang mari tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan pulihkan anggota progresi yang hilang. Kami mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, yang sesuai dengan kondisi masalah.
Contoh #4: Anggota pertama dari progresi
Kami terus memberikan contoh deret aritmatika dengan solusi. Pada semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari deret aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: biarkan dua angka diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Penting untuk menemukan dari nomor berapa urutan ini dimulai.
Rumus yang telah digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam kondisi masalah. Namun demikian, mari kita tuliskan ekspresi untuk setiap suku yang informasinya kita miliki: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier.
Sistem yang ditentukan paling mudah untuk diselesaikan jika Anda mengekspresikan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbedaannya d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,644 (hanya 3 tempat desimal yang diberikan).
Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1 . Misalnya, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56.496.
Jika ada keraguan tentang hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya, menentukan anggota ke-43 dari perkembangan, yang ditentukan dalam kondisi. Kami mendapatkan: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.
Contoh #5: Jumlah
Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika.
Biarkan deret angka dari bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 dari angka-angka ini?
Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, yaitu menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan segera dilakukan komputer, segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan secara mental jika Anda memperhatikan bahwa deret angka yang disajikan adalah deret aljabar, dan selisihnya adalah 1. Menerapkan rumus untuk jumlah, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Sangat mengherankan untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian", karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya dalam pikirannya dalam beberapa detik. Anak laki-laki itu tidak mengetahui rumus jumlah suatu deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menambahkan pasangan angka yang terletak di tepi barisan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup dengan mengalikan 50 dengan 101.
Contoh #6: jumlah suku dari n ke m
Contoh tipikal lain dari jumlah deret aritmatika adalah sebagai berikut: diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu menemukan jumlah sukunya dari 8 hingga 14.
Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena ada beberapa istilah, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk memecahkan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal.
Idenya adalah untuk mendapatkan rumus untuk jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus, kami menulis dua ekspresi untuk jumlah:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil perbedaan antara jumlah-jumlah ini, dan menambahkan istilah a m padanya (dalam kasus mengambil perbedaan, itu dikurangi dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk masalah ini. Kami memiliki: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Hal ini diperlukan untuk mengganti formula untuk n dan a m ke dalam ekspresi ini. Maka diperoleh: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kami, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mensubstitusikan angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301.
Seperti dapat dilihat dari solusi di atas, semua masalah didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum Anda mulai memecahkan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang ingin Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.
Tip lainnya adalah berusaha untuk kesederhanaan, yaitu, jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematika yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh deret aritmatika dengan solusi No. 6, seseorang dapat berhenti pada rumus S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan pisahkan tugas umum menjadi subtugas terpisah (dalam hal ini, pertama-tama temukan istilah a n dan a m).
Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana menemukan deret aritmatika, temukan. Setelah Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.
Matematika memiliki keindahannya sendiri, seperti halnya lukisan dan puisi.
Ilmuwan Rusia, mekanik N.E. Zhukovsky
Tugas yang sangat umum dalam tes masuk matematika adalah tugas yang berkaitan dengan konsep deret aritmatika. Untuk berhasil memecahkan masalah seperti itu, perlu mengetahui sifat-sifat deret aritmatika dengan baik dan memiliki keterampilan tertentu dalam penerapannya.
Mari kita ingat dulu sifat-sifat utama dari deret aritmatika dan menyajikan formula yang paling penting, terkait dengan konsep ini.
Definisi. Urutan numerik, di mana setiap istilah berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama, disebut barisan aritmatika. Pada saat yang sama, nomordisebut selisih perkembangan.
Untuk deret aritmatika, rumusnya valid
, (1)
di mana . Rumus (1) disebut rumus suku umum dari barisan aritmatika, dan rumus (2) adalah sifat utama dari barisan aritmatika: setiap anggota barisan bertepatan dengan rata-rata aritmatika anggota tetangganya dan .
Perhatikan bahwa justru karena properti inilah perkembangan yang sedang dipertimbangkan disebut "aritmatika".
Rumus (1) dan (2) di atas diringkas sebagai berikut:
(3)
Untuk menghitung jumlah pertama anggota barisan aritmatikarumus yang biasanya digunakan
(5) dimana dan .
Jika kita memperhitungkan rumus (1), maka rumus (5) menyiratkan
Jika kita menunjuk
di mana . Karena , maka rumus (7) dan (8) adalah generalisasi dari rumus (5) dan (6) yang bersesuaian.
Secara khusus , dari rumus (5) berikut ini, Apa
Di antara yang sedikit diketahui oleh sebagian besar siswa adalah sifat deret aritmatika, yang dirumuskan melalui teorema berikut.
Dalil. Jika kemudian
Bukti. Jika kemudian
Teorema telah terbukti.
Sebagai contoh , menggunakan teorema, dapat ditunjukkan bahwa
Mari beralih ke pertimbangan contoh tipikal penyelesaian masalah pada topik "Perkembangan aritmatika".
Contoh 1 Biarkan dan . Mencari .
Keputusan. Menerapkan rumus (6), kami memperoleh . Sejak dan , maka atau .
Contoh 2 Biarkan tiga kali lebih banyak, dan ketika membagi dengan hasil bagi, ternyata 2 dan sisanya adalah 8. Tentukan dan.
Keputusan. Sistem persamaan mengikuti dari kondisi contoh
Karena , , dan , maka dari sistem persamaan (10) diperoleh
Solusi dari sistem persamaan ini adalah dan .
Contoh 3 Cari jika dan .
Keputusan. Menurut rumus (5), kita memiliki atau . Namun, dengan menggunakan properti (9), kami memperoleh .
Sejak dan , maka dari persamaan persamaan berikut atau .
Contoh 4 Temukan jika .
Keputusan.Dengan rumus (5) kita memiliki
Namun, dengan menggunakan teorema, seseorang dapat menulis
Dari sini dan dari rumus (11) kita peroleh .
Contoh 5. Diberikan: . Mencari .
Keputusan. Dari dulu . Namun, oleh karena itu.
Contoh 6 Biarkan , dan . Mencari .
Keputusan. Dengan menggunakan rumus (9), kita peroleh . Oleh karena itu, jika , maka atau .
Sejak dan maka di sini kita memiliki sistem persamaan
Memecahkan yang, kita dapatkan dan .
Akar alami persamaan adalah .
Contoh 7 Cari jika dan .
Keputusan. Karena menurut rumus (3) kita memiliki , maka sistem persamaan mengikuti dari kondisi masalah
Jika kita mengganti ekspresike persamaan kedua sistem, maka diperoleh atau .
Akar persamaan kuadrat adalah dan .
Mari kita pertimbangkan dua kasus.
1. Biarkan , maka . Sejak dan , maka .
Dalam hal ini, menurut rumus (6), kita memiliki
2. Jika , maka , dan
Jawaban: dan.
Contoh 8 Diketahui bahwa dan Mencari .
Keputusan. Dengan mempertimbangkan rumus (5) dan kondisi contoh, kami menulis dan .
Ini menyiratkan sistem persamaan
Jika kita mengalikan persamaan pertama sistem dengan 2, dan kemudian menambahkannya ke persamaan kedua, kita mendapatkan
Menurut rumus (9), kita memiliki. Sehubungan dengan itu, dari (12) berikut ini: atau .
Sejak dan , maka .
Menjawab: .
Contoh 9 Cari jika dan .
Keputusan. Sejak , dan dengan kondisi , maka atau .
Dari rumus (5) diketahui, Apa . Dari dulu .
Karena itu , di sini kita memiliki sistem persamaan linier
Dari sini kita dapatkan dan . Dengan mempertimbangkan rumus (8), kami menulis .
Contoh 10 Memecahkan persamaan.
Keputusan. Ini mengikuti dari persamaan yang diberikan bahwa . Mari kita asumsikan bahwa , , dan . Pada kasus ini .
Menurut rumus (1), kita dapat menulis atau .
Karena , persamaan (13) memiliki akar unik yang cocok .
Contoh 11. Temukan nilai maksimum asalkan dan .
Keputusan. Karena , maka barisan aritmatika yang dianggap turun. Dalam hal ini, ekspresi mengambil nilai maksimum ketika itu adalah jumlah anggota positif minimum dari perkembangan.
Kami menggunakan rumus (1) dan fakta, yang dan . Kemudian kita mendapatkan itu atau .
Karena , maka atau . Namun, dalam ketidaksetaraan inibilangan asli terbesar, Itu sebabnya .
Jika nilai , dan disubstitusikan ke rumus (6), maka kita peroleh .
Menjawab: .
Contoh 12. Temukan jumlah semua bilangan asli dua digit yang, jika dibagi dengan 6, memiliki sisa 5.
Keputusan. Dilambangkan dengan himpunan semua bilangan asli bernilai dua, mis. . Selanjutnya, kita membangun subset yang terdiri dari elemen-elemen (angka) dari himpunan yang, ketika dibagi dengan angka 6, memberikan sisa 5.
Mudah dipasang, Apa . Jelas sekali , bahwa elemen-elemen himpunanmembentuk barisan aritmatika, di mana dan .
Untuk menentukan kardinalitas (jumlah elemen) dari himpunan, kita asumsikan bahwa . Sejak dan , maka rumus (1) menyiratkan atau . Dengan memperhatikan rumus (5), kita peroleh .
Contoh-contoh pemecahan masalah di atas sama sekali tidak dapat diklaim lengkap. Artikel ini ditulis berdasarkan analisis metode modern untuk memecahkan masalah tipikal pada topik tertentu. Untuk studi yang lebih dalam tentang metode untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret aritmatika, disarankan untuk merujuk ke daftar literatur yang direkomendasikan.
1. Kumpulan tugas matematika untuk pelamar ke universitas teknik / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Dunia dan Pendidikan, 2013. - 608 hal.
2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: bagian tambahan dari kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 hal.
3. Medynsky M.M. Kursus lengkap matematika dasar dalam tugas dan latihan. Buku 2: Urutan dan Progresi Angka. – M.: Editus, 2015. - 208 hal.
Apakah Anda memiliki pertanyaan?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
Apa inti dari rumus tersebut?
Rumus ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap DENGAN NOMORNYA" n" .
Tentu saja, Anda perlu tahu istilah pertama sebuah 1 dan perbedaan perkembangan d, nah, tanpa parameter ini, Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.
Tidaklah cukup untuk menghafal (atau menipu) rumus ini. Penting untuk mengasimilasi esensinya dan menerapkan formula dalam berbagai masalah. Ya, dan jangan lupa di waktu yang tepat ya…) Bagaimana tidak lupa- Aku tidak tahu. Dan di sini bagaimana cara mengingat Jika perlu, saya akan memberi Anda petunjuk. Bagi mereka yang menguasai pelajaran sampai akhir.)
Jadi, mari kita berurusan dengan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.
Apa rumus secara umum - kita bayangkan.) Apa itu deret aritmatika, nomor anggota, perbedaan progresi - dinyatakan dengan jelas dalam pelajaran sebelumnya. Lihatlah jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa anggota ke-n.
Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai serangkaian angka:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
sebuah 1- menunjukkan suku pertama dari deret aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga sebuah 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik dengan suku kelima, misalkan kita bekerja dengan sebuah 5, jika seratus dua puluh - dari 120.
Bagaimana mendefinisikan secara umum setiap anggota deret aritmatika, s setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:
sebuah
Itulah apa itu anggota ke-n dari deret aritmatika. Di bawah huruf n semua nomor anggota disembunyikan sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Dan apa yang diberikan catatan seperti itu kepada kita? Bayangkan saja, alih-alih angka, mereka menulis surat ...
Notasi ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan progresi aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukan setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan banyak tugas yang harus diselesaikan secara bertahap. Anda akan melihat lebih jauh.
Dalam rumus anggota ke-n dari deret aritmatika:
| a n = a 1 + (n-1)d |
sebuah 1- anggota pertama dari perkembangan aritmatika;
n- nomor anggota.
Rumus tersebut menghubungkan parameter kunci dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; d dan n. Di sekitar parameter ini, semua teka-teki berputar dalam perkembangan.
Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis progresi tertentu. Misalnya, dalam masalah dapat dikatakan bahwa perkembangan diberikan oleh kondisi:
a n = 5 + (n-1) 2.
Masalah seperti itu bahkan bisa membingungkan ... Tidak ada seri, tidak ada perbedaan ... Tapi, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah untuk mengetahui bahwa dalam perkembangan ini a 1 \u003d 5, dan d \u003d 2.
Dan itu bisa lebih marah!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya, buka kurung dan berikan yang serupa? Kami mendapatkan formula baru:
an = 3 + 2n.
Ini Hanya tidak umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah letak perangkapnya. Beberapa orang berpikir bahwa suku pertama adalah tiga. Meskipun pada kenyataannya anggota pertama adalah lima ... Sedikit lebih rendah kami akan bekerja dengan formula yang dimodifikasi.
Dalam tugas untuk kemajuan, ada notasi lain - n+1. Ini adalah, Anda dapat menebaknya, istilah "n ditambah yang pertama" dari perkembangan. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota perkembangan, yang jumlahnya lebih besar dari angka n per satu. Misalnya, jika dalam beberapa masalah kita ambil untuk sebuah suku kelima, maka n+1 akan menjadi anggota keenam. Dll.
Paling sering sebutan n+1 terjadi dalam rumus rekursif. Jangan takut dengan kata yang mengerikan ini!) Ini hanyalah cara untuk mengekspresikan suku dari deret aritmatika melalui yang sebelumnya. Misalkan kita diberikan deret aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:
a n+1 = a n +3
a2 = a1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Yang keempat - melalui yang ketiga, yang kelima - hingga yang keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana cara menghitung segera, ucapkan suku kedua puluh, 20? Tapi tidak mungkin!) Meskipun suku ke-19 tidak diketahui, suku ke-20 tidak dapat dihitung. Inilah perbedaan mendasar antara rumus rekursif dan rumus suku ke-n. Rekursif hanya bekerja melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n - melalui pertama dan mengizinkan langsung temukan anggota mana pun dengan nomornya. Tidak menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.
Dalam deret aritmatika, rumus rekursif dapat dengan mudah diubah menjadi rumus biasa. Hitung sepasang suku berurutan, hitung selisihnya d, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumus dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Di GIA, tugas seperti itu sering ditemukan.
Penerapan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.
Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung dari rumus tersebut. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:
Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Soal ini dapat diselesaikan tanpa rumus apapun, hanya berdasarkan arti dari deret aritmatika. Tambah, ya tambah... Satu atau dua jam.)
Dan menurut rumusnya, solusinya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Kami memutuskan.
Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Masih harus dilihat apa n. Tidak masalah! Kita perlu menemukan 121. Di sini kami menulis:
Mohon perhatian! Alih-alih indeks n angka tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota deret aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita n. Ini dia artinya n= 121 selanjutnya kita substitusikan ke dalam rumus, dalam kurung. Substitusikan semua angka dalam rumus dan hitung:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Itu saja. Secepatnya seseorang dapat menemukan lima ratus sepuluh anggota, dan seribu tiga, apa saja. Kami menempatkan sebagai gantinya n nomor yang diinginkan dalam indeks huruf " sebuah" dan dalam tanda kurung, dan kami pertimbangkan.
Biarkan saya mengingatkan Anda esensinya: formula ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap suku dari barisan aritmatika DENGAN NOMORNYA" n" .
Mari selesaikan masalah dengan lebih cerdas. Katakanlah kita memiliki masalah berikut:
Tentukan suku pertama barisan aritmatika (a n) jika a 17 = -2; d=-0,5.
Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan menyarankan langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika! Ya ya. Tulis tangan, tepat di buku catatan Anda:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf dalam rumus, kami memahami data apa yang kami miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas ... Semuanya? Jika Anda berpikir itu saja, maka Anda tidak dapat menyelesaikan masalah, ya ...
Kami juga memiliki nomor n! dalam kondisi a 17 =-2 tersembunyi dua pilihan. Ini adalah nilai anggota ketujuh belas (-2) dan nomornya (17). Itu. n=17."Hal kecil" ini sering melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "hal kecil", bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Meskipun ... dan tanpa kepala juga.)
Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Oh ya, 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita masukkan ke dalam:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Itu, pada dasarnya, adalah semua. Tetap mengungkapkan suku pertama deret aritmatika dari rumus, dan menghitung. Anda mendapatkan jawabannya: a1 = 6.
Teknik seperti itu - menulis formula dan hanya mengganti data yang diketahui - banyak membantu dalam tugas-tugas sederhana. Yah, tentu saja, Anda harus dapat mengekspresikan variabel dari rumus, tetapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika tidak dapat dipelajari sama sekali ...
Masalah populer lainnya:
Tentukan selisih dari barisan aritmatika (a n) jika a 1 =2; a 15 = 12.
Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami menulis rumusnya!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Pertimbangkan apa yang kita ketahui: a 1 = 2; a 15 = 12; dan (sorotan khusus!) n=15. Jangan ragu untuk mengganti dalam rumus:
12=2 + (15-1)d
Mari kita lakukan aritmatika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ini adalah jawaban yang benar.
Jadi, tugas a n , a 1 dan d diputuskan. Masih belajar bagaimana menemukan nomornya:
Bilangan 99 adalah anggota deret aritmatika (a n), di mana a 1 = 12; d=3. Temukan nomor anggota ini.
Kami mengganti jumlah yang diketahui ke dalam rumus suku ke-n:
a n = 12 + (n-1) 3
Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: sebuah n dan n. Tetapi sebuah adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor n... Dan anggota perkembangan ini yang kita kenal! Ini 99. Kami tidak tahu nomornya. n, jadi nomor ini juga perlu ditemukan. Substitusikan suku perkembangan 99 ke dalam rumus:
99 = 12 + (n-1) 3
Kami mengungkapkan dari rumus n, kami pikir. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.
Dan sekarang masalah pada topik yang sama, tetapi lebih kreatif):
Tentukan apakah bilangan 117 merupakan anggota barisan aritmatika (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Mari kita menulis rumus lagi. Apa, tidak ada pilihan? Hm... Mengapa kita membutuhkan mata?) Apakah kita melihat anggota pertama dari progresi? Kami melihat. Ini adalah -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: a 1 \u003d -3.6. Perbedaan d dapat ditentukan dari seri? Sangat mudah jika Anda tahu apa perbedaan dari deret aritmatika:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Ya, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih berurusan dengan nomor yang tidak dikenal n dan bilangan 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, paling tidak diketahui bahwa yang diberikan adalah suku dari barisan tersebut. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu itu ... Bagaimana menjadi!? Nah, bagaimana menjadi, bagaimana menjadi ... Nyalakan kemampuan kreatif Anda!)
Kami memperkirakan bahwa 117 adalah, setelah semua, anggota kemajuan kami. Dengan nomor tak dikenal n. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumus (ya-ya!)) dan mengganti nomor kami:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Sekali lagi kami ungkapkan dari rumusn, kami menghitung dan mendapatkan:
Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam progresi tidak bisa. Kesimpulan apa yang kita tarik? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kami. Itu adalah suatu tempat antara 101 dan 102 anggota. Jika jumlahnya ternyata alami, mis. bilangan bulat positif, maka nomor tersebut akan menjadi anggota perkembangan dengan nomor yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban untuk masalahnya adalah: tidak.
Tugas berdasarkan versi nyata GIA:
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi:
a n \u003d -4 + 6.8n
Tentukan suku pertama dan suku kesepuluh dari deret tersebut.
Di sini perkembangan diatur dengan cara yang tidak biasa. Semacam formula ... Itu terjadi.) Namun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus anggota ke-n dari deret aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan dengan nomornya.
Kami mencari anggota pertama. Yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat, adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal dimodifikasi. Suku pertama dari barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak ada, kita akan menemukannya sekarang.)
Sama seperti pada tugas sebelumnya, kami mengganti n=1 ke dalam rumus ini:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!
Demikian pula, kami mencari suku kesepuluh:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Itu saja.
Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca hingga baris ini, bonus yang dijanjikan.)
Misalkan, dalam situasi pertempuran yang sulit dari GIA atau Ujian Negara Terpadu, Anda lupa rumus yang berguna dari anggota ke-n dari perkembangan aritmatika. Sesuatu muncul dalam pikiran, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Apakah n di sana, atau n+1, atau t-1... Bagaimana menjadi!?
Tenang! Rumus ini mudah didapat. Tidak terlalu ketat, tapi pasti cukup untuk kepercayaan diri dan keputusan yang tepat!) Sebagai kesimpulan, cukup untuk mengingat arti dasar dari deret aritmatika dan memiliki beberapa menit waktu. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.
Kami menggambar sumbu numerik dan menandai yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dst. anggota. Dan perhatikan perbedaannya d antar anggota. Seperti ini:
Kami melihat gambar dan berpikir: apa yang sama dengan suku kedua? Kedua satu d:
sebuah 2 = a 1 + 1 d
Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua d.
sebuah 3 = a 1 + 2 d
Apakah kamu mendapatkannya? Saya tidak menempatkan beberapa kata dalam huruf tebal untuk apa-apa. Oke, satu langkah lagi.)
Apa istilah keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga d.
sebuah 4 = a 1 + 3 d
Saatnya menyadari bahwa jumlah kesenjangan, yaitu. d, selalu satu kurang dari jumlah anggota yang Anda cari n. Artinya, sampai nomor n, jumlah celah akan n-1. Jadi, rumusnya adalah (tidak ada opsi!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Secara umum, gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak masalah dalam matematika. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sulit untuk menggambar, maka ... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda untuk menghubungkan seluruh gudang senjata matematika yang kuat ke solusi - persamaan, ketidaksetaraan, sistem, dll. Anda tidak dapat menempatkan gambar dalam persamaan ...
Tugas untuk keputusan independen.
Untuk pemanasan:
1. Dalam deret aritmatika (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Temukan 3 .
Petunjuk: sesuai dengan gambar, masalahnya diselesaikan dalam 20 detik ... Menurut rumus, ternyata lebih sulit. Tetapi untuk menguasai rumus, itu lebih berguna.) Dalam Bagian 555, masalah ini diselesaikan baik dengan gambar maupun dengan rumus. Rasakan perbedaan nya!)
Dan ini bukan lagi pemanasan.)
2. Dalam deret aritmatika (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Carilah 3 .
Apa, keengganan untuk menggambar?) Masih! Lebih enak di rumus ya...
3. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Temukan suku keseratus dua puluh lima dari deret ini.
Dalam tugas ini, perkembangan diberikan secara berulang. Tapi menghitung sampai suku ke seratus dua puluh lima... Tidak semua orang bisa melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!
4. Diberikan barisan aritmatika (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Tentukan jumlah suku positif terkecil dari deret tersebut.
5. Sesuai dengan kondisi tugas 4, temukan jumlah anggota positif terkecil dan negatif terbesar dari perkembangan.
6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas dari suatu deret aritmatika meningkat adalah -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas adalah nol. Temukan 14 .
Bukan tugas termudah, ya ...) Di sini metode "di jari" tidak akan berfungsi. Anda harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.
Jawaban (berantakan):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Telah terjadi? Itu bagus!)
Tidak semuanya berhasil? Itu terjadi. Omong-omong, dalam tugas terakhir ada satu poin halus. Perhatian saat membaca masalah akan diperlukan. Dan logika.
Solusi untuk semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk keempat, dan momen halus untuk keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun untuk rumus suku ke-n - semuanya dilukis. Menyarankan.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Jumlah dari barisan aritmatika.
Jumlah dari deret aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik dalam arti maupun dalam rumus. Tetapi ada segala macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup padat.
Pertama, mari kita berurusan dengan arti dan rumus jumlah. Dan kemudian kami akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari penjumlahan sesederhana melenguh. Untuk menemukan jumlah deret aritmatika, Anda hanya perlu menambahkan semua anggotanya dengan hati-hati. Jika istilah ini sedikit, Anda dapat menambahkan tanpa rumus apa pun. Tetapi jika ada banyak, atau banyak ... penambahan itu mengganggu.) Dalam hal ini, rumusnya disimpan.
Rumus penjumlahannya sederhana:
Mari kita cari tahu jenis huruf apa yang termasuk dalam rumus. Ini akan menjernihkan banyak hal.
S n adalah jumlah dari barisan aritmatika. Hasil tambahan semua anggota, dengan pertama pada terakhir. Itu penting. Tambahkan dengan tepat semua anggota berturut-turut, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, mulai dari pertama. Dalam masalah seperti menemukan jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku lima sampai dua puluh, penerapan langsung rumus akan mengecewakan.)
sebuah 1 - pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana pertama nomor baris.
sebuah- terakhir anggota kemajuan. Nomor baris terakhir. Bukan nama yang sangat familiar, tapi bila diterapkan jumlahnya, sangat cocok. Kemudian Anda akan melihat sendiri.
n adalah nomor anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa dalam rumus angka ini sesuai dengan jumlah anggota yang ditambahkan.
Mari kita definisikan konsepnya terakhir anggota sebuah. Mengisi pertanyaan: anggota seperti apa yang akan terakhir, jika diberikan tak berujung deret aritmatika?
Untuk jawaban yang meyakinkan, Anda perlu memahami arti dasar dari deret aritmatika dan ... baca tugas dengan cermat!)
Dalam tugas mencari jumlah suatu deret aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang harus dibatasi. Jika tidak, jumlah tertentu yang terbatas hanya tidak ada. Untuk solusinya, tidak masalah jenis kemajuan apa yang diberikan: terbatas atau tak terbatas. Tidak masalah bagaimana itu diberikan: dengan serangkaian angka, atau dengan rumus anggota ke-n.
Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus bekerja dari suku pertama dari deret ke suku dengan angka n. Sebenarnya, nama lengkap rumusnya terlihat seperti ini: jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua informasi berharga ini sering dienkripsi, ya ... Tapi tidak ada, dalam contoh di bawah ini kami akan mengungkapkan rahasia ini.)
Contoh tugas untuk jumlah deret aritmatika.
Pertama-tama, informasi yang berguna:
Kesulitan utama dalam tugas untuk jumlah deret aritmatika adalah penentuan elemen-elemen rumus yang benar.
Penulis tugas mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup dengan menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara rinci. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA nyata.
1. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 suku pertama.
Kerja yang baik. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menurut rumus, apa yang perlu kita ketahui? Anggota pertama sebuah 1, istilah terakhir sebuah, ya jumlah suku terakhir n.
Di mana mendapatkan nomor anggota terakhir? n? Ya, di sana, dalam kondisi! Dikatakan temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, nomor berapa itu? terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya adalah kesepuluh!) Karena itu, alih-alih sebuah kita substitusikan ke rumus 10, melainkan n- sepuluh. Sekali lagi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.
Itu masih harus ditentukan sebuah 1 dan 10. Ini mudah dihitung dengan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukannya? Kunjungi pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tidak ada.
sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1.5
10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Kami menemukan arti dari semua elemen rumus untuk jumlah deret aritmatika. Tetap menggantikan mereka, dan menghitung:
Itu saja. Jawaban: 75.
Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:
2. Diketahui suatu barisan aritmatika (a n), selisihnya adalah 3,7; a 1 \u003d 2.3. Tentukan jumlah 15 suku pertama.
Kami segera menulis rumus jumlah:
Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari setiap anggota dengan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Tetap mengganti semua elemen dalam rumus untuk jumlah deret aritmatika dan menghitung jawabannya:
Jawaban: 423.
Omong-omong, jika dalam rumus jumlah bukannya sebuah substitusikan saja rumus suku ke-n, kita peroleh:
Kami memberikan yang serupa, kami mendapatkan formula baru untuk jumlah anggota deret aritmatika:
 |
Seperti yang Anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. sebuah. Dalam beberapa tugas, rumus ini sangat membantu, ya ... Anda dapat mengingat rumus ini. Dan Anda dapat menariknya pada waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, rumus jumlah dan rumus suku ke-n harus diingat dalam segala hal.)
Sekarang tugas dalam bentuk enkripsi singkat):
3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua angka yang merupakan kelipatan tiga.
Bagaimana! Tidak ada anggota pertama, tidak ada yang terakhir, tidak ada kemajuan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?
Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan menarik keluar dari kondisi semua elemen jumlah dari deret aritmatika. Apa itu angka dua digit - kita tahu. Mereka terdiri dari dua angka.) Berapa angka dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) hal terakhir dua digit angka? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya ...
Kelipatan tiga... Hm... Ini adalah bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah dapat menulis seri sesuai dengan kondisi masalah:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Apakah deret ini merupakan deret aritmatika? Tentu! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika 2, atau 4, ditambahkan ke istilah, katakanlah, hasilnya, yaitu. angka baru tidak akan lagi dibagi 3. Anda dapat langsung menentukan perbedaan dari deret aritmatika ke heap: d = 3. Berguna!)
Jadi, kita dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:
Apa yang akan menjadi nomor? n anggota terakhir? Siapapun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal ... Angka - mereka selalu berurutan, dan anggota kami melompati tiga besar. Mereka tidak cocok.
Ada dua solusi di sini. Salah satu caranya adalah untuk yang super pekerja keras. Anda dapat melukis kemajuan, seluruh rangkaian angka, dan menghitung jumlah istilah dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus untuk suku ke-n. Jika rumus diterapkan pada masalah kita, kita mendapatkan bahwa 99 adalah anggota ketiga puluh dari perkembangan. Itu. n = 30.
Kami melihat rumus untuk jumlah deret aritmatika:
Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk menghitung jumlah dari kondisi masalah:
sebuah 1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
Yang tersisa adalah aritmatika dasar. Substitusikan angka-angka dalam rumus dan hitung:
Jawaban: 1665
Jenis lain dari teka-teki populer:
4. Sebuah deret aritmatika diberikan:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Temukan jumlah suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.
Kami melihat rumus jumlah dan ... kami kesal.) Rumusnya, izinkan saya mengingatkan Anda, menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam masalah Anda perlu menghitung jumlahnya sejak dua puluh... Formulanya tidak akan bekerja.
Anda dapat, tentu saja, melukis seluruh perkembangan dalam satu baris, dan menempatkan istilah dari 20 menjadi 34. Tapi ... entah bagaimana ternyata bodoh dan untuk waktu yang lama, kan?)
Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita pecah seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama akan dari suku pertama sampai suku kesembilan belas. Bagian kedua - dua puluh sampai tiga puluh empat. Jelas bahwa jika kita menghitung jumlah suku bagian pertama S 1-19, mari kita tambahkan ke jumlah anggota bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama ke suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Ini menunjukkan bahwa untuk mencari jumlah S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Kedua jumlah di ruas kanan dianggap dari yang pertama anggota, yaitu rumus jumlah standar cukup berlaku untuk mereka. Apakah kita mulai?
Kami mengekstrak parameter perkembangan dari kondisi tugas:
d = 1,5.
sebuah 1= -21,5.
Untuk menghitung jumlah 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:
19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
sebuah 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Tidak ada yang tersisa. Kurangi jumlah 19 suku dari jumlah 34 suku:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Jawaban: 262,5
Satu catatan penting! Ada fitur yang sangat berguna dalam memecahkan masalah ini. Alih-alih perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung apa, tampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka menentukan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" seperti itu sering kali disimpan dalam teka-teki jahat.)
Dalam pelajaran ini, kami mempertimbangkan masalah yang solusinya cukup untuk memahami arti dari jumlah deret aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa formula.)
Saran praktis:
Saat memecahkan masalah apa pun untuk jumlah deret aritmatika, saya sarankan untuk segera menulis dua rumus utama dari topik ini.
Rumus suku ke-n:
Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari, ke arah mana berpikir untuk memecahkan masalah. Membantu.
Dan sekarang tugas untuk solusi independen.
5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.
Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan untuk masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.
6. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Tentukan jumlah 24 suku pertama.
Tidak biasa?) Ini adalah formula yang berulang. Anda dapat membacanya di pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan tautannya, teka-teki seperti itu sering ditemukan di GIA.
7. Vasya menabung uang untuk Liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling saya cintai (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal apa pun dari diri Anda sendiri. Belanjakan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih banyak pada setiap hari berikutnya daripada hari sebelumnya! Sampai uang habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?
Apakah sulit?) Rumus tambahan dari tugas 2 akan membantu.
Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")
Deret aritmatika adalah serangkaian angka di mana setiap angka lebih besar (atau lebih kecil) dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Topik ini seringkali sulit dan tidak dapat dipahami. Indeks huruf, anggota ke-n dari progresi, perbedaan progresi - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya ... Mari kita cari tahu arti dari deret aritmatika dan semuanya akan segera beres.)
Konsep deret aritmatika.
Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.
Saya akan menulis serangkaian angka yang belum selesai:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bisakah Anda memperpanjang garis ini? Nomor apa yang akan pergi selanjutnya, setelah lima? Semuanya ... eh ..., singkatnya, semua orang akan mengetahui bahwa angka 6, 7, 8, 9, dst. akan melangkah lebih jauh.
Mari kita memperumit tugas. Saya memberikan serangkaian angka yang belum selesai:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Anda dapat menangkap polanya, memperpanjang seri, dan memberi nama ketujuh nomor baris?
Jika Anda mengetahui bahwa angka ini adalah 20 - saya ucapkan selamat! Anda tidak hanya merasa poin-poin penting dari deret aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda tidak mengerti, baca terus.
Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin kunci dari sensasi ke dalam matematika.)
Poin kunci pertama.
Deret aritmatika berkaitan dengan deret bilangan. Ini membingungkan pada awalnya. Kami terbiasa memecahkan persamaan, membuat grafik, dan semua itu ... Dan kemudian perpanjang deretnya, temukan jumlah deretnya ...
Tidak apa-apa. Hanya saja progresi adalah perkenalan pertama dengan cabang matematika baru. Bagian ini disebut "Rangkaian" dan berfungsi dengan rangkaian angka dan ekspresi. Terbiasalah.)
Poin kunci kedua.
Dalam deret aritmatika, bilangan apa pun berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Dalam contoh pertama, perbedaan ini adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu satu lebih banyak dari yang sebelumnya. Di kedua - tiga. Setiap nomor tiga kali lebih besar dari yang sebelumnya. Sebenarnya, momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk menangkap pola dan menghitung angka-angka berikutnya.
Poin kunci ketiga.
Momen ini tidak mencolok ya... Tapi sangat-sangat penting. Itu dia: setiap nomor perkembangan ada di tempatnya. Ada angka pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda membingungkan mereka secara sembarangan, polanya akan hilang. Deret aritmatika juga akan hilang. Itu hanya deretan angka.
Itulah intinya.
Tentu saja, istilah dan notasi baru muncul di topik baru. Mereka perlu tahu. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugas tersebut. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:
Tuliskan enam suku pertama dari barisan aritmatika (a n) jika a 2 = 5, d = -2.5.
Apakah itu menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, omong-omong, tidak bisa lebih mudah. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan notasinya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.
Istilah dan sebutan.
Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Nilai ini disebut . Mari kita bahas konsep ini secara lebih rinci.
Selisih barisan aritmatika.
Selisih deret aritmatika adalah jumlah di mana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.
Satu poin penting. Tolong perhatikan kata "lagi". Secara matematis, ini berarti bahwa setiap angka kemajuan diperoleh menambahkan perbedaan deret aritmatika dengan bilangan sebelumnya.
Untuk menghitung, katakanlah kedua nomor baris, perlu untuk pertama nomor Menambahkan perbedaan ini sangat dari perkembangan aritmatika. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu Menambahkan ke keempat baik, dll.
Selisih deret aritmatika mungkin positif maka setiap nomor seri akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut meningkat. Sebagai contoh:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Di sini setiap nomor adalah menambahkan angka positif, +5 ke yang sebelumnya.
Perbedaannya bisa negatif maka setiap bilangan pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.
Sebagai contoh:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Di sini setiap nomor diperoleh juga menambahkan ke angka sebelumnya, tetapi sudah negatif, -5.
Omong-omong, ketika bekerja dengan progres, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah itu meningkat atau menurun. Ini sangat membantu untuk menemukan bantalan Anda dalam keputusan, untuk mendeteksi kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.
Selisih deret aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf d.
Bagaimana menemukan d? Sangat sederhana. Hal ini diperlukan untuk mengurangi dari sejumlah seri sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)
Mari kita definisikan, misalnya, d untuk deret aritmatika yang meningkat:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kami mengambil sejumlah baris yang kami inginkan, misalnya, 11. Kurangi dari itu nomor sebelumnya itu. delapan:
Ini adalah jawaban yang benar. Untuk barisan aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.
Anda hanya dapat mengambil sejumlah kemajuan, karena untuk kemajuan tertentu d-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak dapat mengambil hanya nomor pertama. Hanya karena nomor pertama tidak ada sebelumnya.)
Ngomong-ngomong, mengetahui itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangat sederhana. Kami menambahkan 3 ke angka kelima - kami mendapatkan yang keenam, itu akan menjadi 17. Kami menambahkan tiga ke angka keenam, kami mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.
Mari kita definisikan d untuk deret aritmatika menurun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Saya mengingatkan Anda bahwa, terlepas dari tanda-tandanya, untuk menentukan d dibutuhkan dari nomor berapapun singkirkan yang sebelumnya. Kami memilih sejumlah perkembangan, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Perbedaan deret aritmatika dapat berupa bilangan apa saja: bilangan bulat, pecahan, irasional, apa saja.
Istilah dan sebutan lainnya.
Setiap bilangan dalam deret tersebut disebut anggota deret aritmatika.
Setiap anggota perkembangan memiliki nomornya. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dst. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah anggota pertama, lima adalah yang kedua, sebelas adalah yang keempat, yah, Anda mengerti ...) Harap dipahami dengan jelas - angka itu sendiri bisa benar-benar apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa pun, tapi penomoran- benar-benar teratur!
Bagaimana cara menulis progresi dalam bentuk umum? Tidak masalah! Setiap nomor dalam seri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan deret aritmatika, sebagai aturan, huruf digunakan sebuah. Nomor anggota ditunjukkan oleh indeks di kanan bawah. Anggota ditulis dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
sebuah 1 adalah angka pertama sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang rumit. Anda dapat menulis seri ini secara singkat seperti ini: (sebuah).
Ada kemajuan terbatas dan tak terbatas.
terakhir progresi memiliki jumlah anggota yang terbatas. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.
tak berujung perkembangan - memiliki jumlah anggota yang tidak terbatas, seperti yang Anda duga.)
Anda dapat menulis progresi akhir melalui rangkaian seperti ini, semua anggota dan sebuah titik di akhir:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Atau seperti ini, jika ada banyak anggota:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Dalam entri singkat, Anda juga harus menunjukkan jumlah anggota. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:
(a n), n = 20
Sebuah kemajuan tak terbatas dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.
Sekarang Anda sudah dapat menyelesaikan tugas. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti dari deret aritmatika.
Contoh tugas untuk deret aritmatika.
Mari kita lihat lebih dekat tugas di atas:
1. Tuliskan enam anggota pertama dari deret aritmatika (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.
Kami menerjemahkan tugas ke dalam bahasa yang dapat dimengerti. Mengingat perkembangan aritmatika tak terbatas. Angka kedua dari perkembangan ini diketahui: a2 = 5. Perbedaan perkembangan yang diketahui: d = -2,5. Kita perlu menemukan anggota pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.
Untuk kejelasan, saya akan menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi masalah. Enam anggota pertama, di mana anggota kedua adalah lima:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....
sebuah 3 = sebuah 2 + d
Kami mengganti dalam ekspresi a2 = 5 dan d=-2,5. Jangan lupa minusnya!
sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Suku ketiga lebih kecil dari suku kedua. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilai, sehingga nomor itu sendiri akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Progresi semakin menurun. Oke, mari kita pertimbangkan.) Kami mempertimbangkan anggota keempat dari seri kami:
sebuah 4 = sebuah 3 + d
sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
sebuah 5 = sebuah 4 + d
sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5
sebuah 6 = sebuah 5 + d
sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Jadi, istilah dari ketiga hingga keenam telah dihitung. Ini menghasilkan serangkaian:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Tetap mencari suku pertama sebuah 1 menurut detik terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Oleh karena itu, perbedaan dari deret aritmatika d tidak harus ditambahkan ke sebuah 2, sebuah bawa pulang:
sebuah 1 = sebuah 2 - d
sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Itu saja. Tanggapan tugas:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Secara sepintas, saya perhatikan bahwa kami menyelesaikan tugas ini berulang jalan. Kata mengerikan ini berarti, hanya, pencarian anggota progresi dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Cara lain untuk bekerja dengan perkembangan akan dibahas nanti.
Satu kesimpulan penting dapat ditarik dari tugas sederhana ini.
Ingat:
Jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, kita dapat menemukan setiap anggota dari deret ini.
Ingat? Kesimpulan sederhana ini memungkinkan kita untuk memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah tentang topik ini. Semua tugas berkisar pada tiga parameter utama: anggota deret aritmatika, selisih deret, jumlah anggota deret. Semuanya.
Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain yang melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai perkembangannya- semuanya berkisar pada tiga parameter.
Misalnya, pertimbangkan beberapa tugas populer tentang topik ini.
2. Tulis barisan aritmatika akhir sebagai deret jika n=5, d=0.4, dan a 1=3.6.
Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota deret aritmatika dihitung, dihitung, dan ditulis. Disarankan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: "final" dan " n=5". Agar tidak menghitung sampai wajahmu benar-benar biru.) Hanya ada 5 (lima) anggota dalam perkembangan ini:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Tetap menuliskan jawabannya:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Tugas lain:
3. Tentukan apakah bilangan 7 merupakan anggota barisan aritmatika (a n) jika a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hm... Siapa yang tahu? Bagaimana mendefinisikan sesuatu?
Bagaimana-bagaimana... Ya, tuliskan progresi dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada tujuh atau tidak! Kami percaya:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sekarang jelas terlihat bahwa kita hanya tujuh menyelinap melalui antara 6,5 dan 7,7! Tujuh tidak masuk ke rangkaian angka kami, dan, oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota dari perkembangan yang diberikan.
Jawaban: tidak.
Dan inilah tugas berdasarkan versi nyata dari GIA:
4. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:
...; limabelas; X; sembilan; 6; ...
Berikut adalah seri tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan d. Tidak apa-apa. Untuk mengatasi masalah tersebut, cukup memahami arti dari deret aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang kita bisa menemukan dari baris ini? Apa parameter dari tiga yang utama?
Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.
Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "berurutan" dalam kondisi. Ini berarti bahwa angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya saya punya! Ini adalah 9 dan 6. Jadi kita bisa menghitung selisih dari barisan aritmatika! Kami kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:
Ada ruang kosong yang tersisa. Nomor berapa yang akan menjadi yang sebelumnya untuk x? Limabelas. Jadi x dapat dengan mudah ditemukan dengan penjumlahan sederhana. Untuk 15 menambahkan perbedaan dari deret aritmatika:
Itu saja. Menjawab: x=12
Kami memecahkan masalah berikut sendiri. Catatan: teka-teki ini bukan untuk rumus. Semata-mata untuk memahami arti dari deret aritmatika.) Kami hanya menuliskan serangkaian angka-huruf, melihat dan berpikir.
5. Tentukan suku positif pertama dari barisan aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.
6. Diketahui bilangan 5.5 merupakan anggota barisan aritmatika (a n), dimana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan jumlah n dari anggota ini.
7. Diketahui bahwa pada suatu deret aritmatika a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Temukan 3 .
8. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x.
9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, secara bertahap meningkatkan kecepatannya sebesar 30 meter per menit. Berapakah kecepatan kereta api dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.
10. Diketahui bahwa pada suatu barisan aritmatika a 2 = 5; a6 = -5. Temukan 1.
Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; sembilan; 0,3; 4.
Semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat mempelajari perkembangan aritmatika pada tingkat yang lebih tinggi dalam pelajaran berikut.
Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Dalam Bagian Khusus 555, semua masalah ini dipecah menjadi beberapa bagian.) Dan, tentu saja, teknik praktis sederhana dijelaskan yang segera menyoroti solusi tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, seperti di telapak tangan Anda!
Ngomong-ngomong, dalam teka-teki tentang kereta ada dua masalah yang sering membuat orang tersandung. Satu - murni dengan perkembangan, dan yang kedua - umum untuk tugas apa pun dalam matematika, dan fisika juga. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.
Dalam pelajaran ini, kami memeriksa arti dasar dari deret aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah tentang topik ini. Menambahkan d ke nomor, menulis seri, semuanya akan diputuskan.
Solusi jari bekerja dengan baik untuk bagian yang sangat pendek dari seri, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika seri lebih panjang, perhitungan menjadi lebih rumit. Misalnya, jika dalam masalah 9 dalam pertanyaan, gantilah "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)
Dan ada juga tugas-tugas yang pada dasarnya sederhana, tetapi sama sekali tidak masuk akal dalam hal perhitungan, misalnya:
Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Dan apa, kami akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Apakah mungkin untuk bunuh diri!?
Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana yang dengannya Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas seperti itu dalam satu menit. Rumus ini akan ada di pelajaran berikutnya. Dan masalah itu selesai di sana. Dalam semenit.)
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
