Mengajar tanpa paksaan

(Panduan ke dunia matematika yang menarik)

Matematika sudah kemudian perlu diajarkan, yang menertibkan pikiran. (M.V. Lomonosov)

Jadi bagaimana Anda belajar matematika?

Pertanyaan ini menarik minat banyak orang.

Langkah pertama adalah menutup celah dari masa lalu. Jika Anda melewatkan (tidak mengerti, tidak mempelajari prinsip, dll.) topik apa pun, cepat atau lambat Anda pasti akan menginjak penggaruk ini. Dengan hasil klasik... Begitulah cara kerja matematika.

Baik Anda mempelajari topik baru atau meninjau kembali topik lama, kuasai definisi dan istilah matematika! Perhatikan, saya tidak mengatakan - "belajar", tetapi saya katakan "tuan". Ini adalah hal yang berbeda. Anda harus memahami, misalnya, apa penyebut, diskriminan, atau arcsinus pada tingkat sederhana, bahkan primitif. Apa itu, mengapa itu dibutuhkan dan bagaimana menghadapinya. Hidup akan menjadi lebih mudah.

Jika saya bertanya bagaimana cara menggunakan perangkat transisi lingkungan terbatas padat, Anda akan merasa tidak nyaman menjawab, bukan? Dan jika Anda mengerti bahwa perangkat ini adalah pintu biasa? Ini sebenarnya lebih menyenangkan.

Dan, tentu saja, Anda harus memutuskan. Jika Anda tidak tahu bagaimana memutuskan, bukan masalah besar. Anda harus mencoba dan mencoba. Semua sekali tidak tahu bagaimana. Tetapi mereka yang mencoba dan mencoba, meskipun salah, dengan kesalahan, sekarang tahu bagaimana menyelesaikannya. Dan siapa yang tidak mencoba, tidak belajar - dia tidak pernah belajar.

Berikut adalah tiga komponen jawaban atas pertanyaan: "Bagaimana cara mengajar matematika?" Hilangkan kesenjangan, kuasai istilah pada tingkat yang dapat dipahami, dan selesaikan tugas dengan penuh arti.

Jika matematika bagi Anda tampak seperti hutan dari beberapa aturan, rumus, ekspresi yang tidak mungkin dinavigasi, maka saya akan menghibur Anda. Ada jalan dan bintang pemandu di sana! Anda akan menetap, terbiasa, dan Anda juga akan mulai mengagumi alam liar ini ...

Matematika kursus sekolah tidak memecahkan contoh kompleks, karena tidak tahu caranya. Dia juga dapat memecahkan sesuatu seperti 5x \u003d 10, persamaan kuadrat melalui diskriminan, dan persamaan sederhana yang sama dari trigonometri, logaritma, dll. Dan semua kekuatan matematika ditujukan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks. Untuk itulah diperlukan aturan dan rumus untuk berbagai transformasi. Mereka memungkinkan kita untuk menulis ekspresi asli dalam bentuk berbeda yang nyaman bagi kita tanpa mengubah esensinya.

"Matematika adalah seni menyebut hal-hal yang berbeda dengan nama yang sama." (A. Poincare)

Misal 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32 : 4. Masih sama dengan angka 8! Hanya direkam dalam berbagai bentuk. Jenis mana yang harus dipilih - kami yang memutuskan! Konsisten dengan tugas dan akal sehat.

Bintang pemandu utama dalam matematika adalah kemampuan untuk mengubah ekspresi. Hampir semua solusi dimulai dengan transformasi ekspresi asli. Dengan bantuan aturan dan formula, yang sama sekali bukan jumlah yang gila seperti yang Anda pikirkan.

Kita sering mengatakan "Semua rumus bekerja dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri." Katakanlah (a + b) hampir semua orang menuliskannya sebagai a + 2ab + b . Tetapi tidak semua orang (sayangnya) menyadari bahwa x + 2x + 1 dapat ditulis sebagai (x + 1) . Dan inilah yang perlu Anda ketahui! Rumus perlu tahu secara langsung! Untuk dapat mengenalinya dalam ekspresi yang dienkripsi oleh guru yang licik, untuk mengidentifikasi bagian dari formula, untuk membawanya, jika perlu, untuk menyelesaikannya.

Konversi ekspresi memang merepotkan pada awalnya. Membutuhkan tenaga kerja. Pada tahap awal, perlu untuk memeriksa, jika mungkin, kebenaran transformasi dengan transformasi terbalik. Difaktorkan - kalikan kembali dan bawa yang serupa. Ternyata ekspresi aslinya - hore! Ditemukan akar persamaan - ganti dengan ekspresi aslinya. Lihat apa yang terjadi. Dll.

Jadi, saya mengundang Anda ke dunia matematika yang indah. Dan mari kita mulai perjalanan kita dengan mengenal pecahan, karena ini mungkin tempat yang paling rentan bagi sebagian besar anak sekolah.

Semoga berhasil!

Pelajaran 1.

Jenis-jenis pecahan. Transformasi.

Siapa yang tahu pecahan, dia kuat, dia berani dalam matematika!

Pecahan terdiri dari tiga jenis.

1. pecahan biasa , Sebagai contoh: , , , .

Terkadang, alih-alih garis horizontal, mereka memberi garis miring: 1/2, 3/7, 19/5. Sebuah garis, baik horizontal (vinculium) dan miring (solidus) berarti operasi yang sama: membagi angka atas (pembilang) dengan angka bawah (penyebut). Dan itu saja! Alih-alih garis, sangat mungkin untuk meletakkan tanda pembagian - dua titik. 1/2 = 1:2.

Ketika pembagian mungkin sepenuhnya, itu harus dilakukan. Jadi, alih-alih pecahan 32/8, jauh lebih menyenangkan untuk menulis angka 4. Yaitu. 32 hanya dibagi 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Saya tidak berbicara tentang pecahan 4/1, yang juga sama dengan 4. Dan jika tidak habis dibagi, kita biarkan sebagai pecahan. Terkadang Anda harus melakukan kebalikannya. Buatlah pecahan dari bilangan bulat. Tapi lebih lanjut tentang itu nanti.

2. desimal , misalnya: 0,5; 3.28; 0,543; 23.32.

3. angka campuran , Sebagai contoh: , , , .

Angka campuran praktis tidak digunakan di sekolah menengah. Untuk bekerja dengan mereka, mereka harus dikonversi ke pecahan biasa. Tapi Anda pasti perlu tahu bagaimana melakukannya! Dan kemudian nomor seperti itu akan muncul dalam tugas dan menggantung ... Dari awal. Tapi kami ingat prosedur ini!

Pecahan biasa adalah yang paling serbaguna. Mari kita mulai dengan mereka. Omong-omong, jika ada semua jenis logaritma, sinus, dan huruf lain dalam pecahan, ini tidak mengubah apa pun. Dalam arti bahwa semua tindakan dengan ekspresi pecahan tidak berbeda dengan tindakan dengan pecahan biasa!

Jadi silakan! Seluruh variasi transformasi pecahan disediakan oleh satu properti! Itulah yang disebut sifat dasar pecahan. Ingat: jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, pecahan tersebut tidak akan berubah. Itu:

Dan kita membutuhkannya, semua transformasi ini? - Anda bertanya. Dan bagaimana! Sekarang Anda akan melihat sendiri. Pertama, mari kita gunakan sifat dasar pecahan untuk mereduksi pecahan. Tampaknya hal itu dasar. Kami membagi pembilang dan penyebut dengan angka yang sama dan hanya itu! Tidak mungkin salah! Tapi... manusia adalah makhluk yang kreatif. Anda dapat membuat kesalahan di mana-mana! Terutama jika Anda harus mengurangi bukan pecahan dari bentuk 5/10, tetapi ekspresi rasional pecahan.

Biasanya siswa tidak berpikir untuk membagi pembilang dan penyebut dengan angka (atau ekspresi) yang sama! Dia hanya mencoret semuanya sama dari atas dan bawah! Di sinilah kesalahan khas mengintai, kesalahan besar, jika Anda suka.

Misalnya, Anda perlu menyederhanakan ekspresi: .

Apa yang kita lakukan? Kami mencoret faktor a di atas dan derajat di bawah! Kita mendapatkan: .

Semuanya benar. Tapi sungguh kamu berbagi seluruh pembilang dan seluruh penyebut di pengganda a. Jika Anda terbiasa mencoret saja, maka, dengan tergesa-gesa, Anda dapat mencoret huruf a pada ekspresi dan mendapatkan lagi. Yang pasti salah: kesalahan yang tak termaafkan. Karena disini seluruh pembilang sudah tidak dibagikan! Pecahan ini tidak dapat direduksi.

Saat mengurangi, Anda perlu membagi seluruh pembilang dan seluruh penyebut!

Mengurangi pecahan membuat hidup jauh lebih mudah. Anda akan mendapatkan pecahan di suatu tempat, misalnya 375/1000. Dan bagaimana bekerja dengannya sekarang? Tanpa kalkulator? Kalikan, katakan, tambahkan, persegi!? Dan jika Anda tidak terlalu malas, tetapi hati-hati kurangi lima, dan bahkan lima, dan bahkan ... saat sedang dikurangi. Kami mendapatkan 3/8! Jauh lebih bagus, bukan?

Properti utama pecahan memungkinkan Anda mengubah pecahan biasa menjadi desimal dan sebaliknya, tanpa kalkulator! Ini penting di CT, kan?

Sangat mudah dengan desimal. Seperti yang didengar, demikian pula tertulis! Katakanlah 0,25. Ini titik nol, dua puluh lima perseratus. Jadi kita tulis: 25/100. Kami mengurangi (membagi pembilang dan penyebut dengan 25), kami mendapatkan pecahan biasa: 1/4. Semuanya. Itu terjadi, dan tidak ada yang dikurangi. Misalnya, 0,3. Ini adalah tiga persepuluh, yaitu. 3/10.

Bagaimana jika bilangan bulat bukan nol? Tidak apa-apa. Kami menulis seluruh pecahan tanpa koma di pembilangnya, dan di penyebutnya - apa yang terdengar. Misalnya: 3.17. Ini adalah tiga keseluruhan, tujuh belas perseratus. Kami menulis 317 di pembilang, dan 100 di penyebut, kami mendapatkan 317/100. Tidak ada yang dikurangi, itu berarti segalanya. Ini adalah jawabannya. Dari semua hal di atas, kesimpulan yang bermanfaat: Setiap pecahan desimal dapat diubah menjadi pecahan biasa.

Tetapi konversi terbalik, biasa ke desimal, beberapa tidak dapat dilakukan tanpa kalkulator. Tapi Anda harus! Bagaimana Anda akan menuliskan jawabannya? Kami dengan cermat membaca dan menguasai proses ini.

Apa itu pecahan desimal? Penyebutnya selalu 10, atau 100, atau 1000, atau 10.000, dan seterusnya. Jika pecahan biasa Anda memiliki penyebut seperti itu, tidak ada masalah. Misalnya, 4/10 = 0,4. Atau 7/100 = 0,07. Atau 12/10 = 1.2. Bagaimana jika hasilnya 1/2? Dan jawabannya harus ditulis dalam desimal ...

Kita ingat sifat dasar pecahan! Matematika memungkinkan Anda untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama. Untuk siapa pun, omong-omong! Kecuali nol, tentu saja. Mari gunakan fitur ini untuk keuntungan kita! Apa yang bisa dikalikan dengan penyebut, mis. 2 sehingga menjadi 10, atau 100, atau 1000 (lebih kecil lebih baik, tentu saja...)? 5, jelas. Jangan ragu untuk mengalikan penyebutnya dengan 5. Tapi kemudian pembilangnya juga harus dikalikan dengan 5. Kita mendapatkan 1/2 = 0,5. Itu saja.

Namun, penyebutnya mungkin berbeda. Misalnya, pecahan 3/16. Kemudian Anda cukup membagi 3 dengan 16. Jika tidak ada kalkulator, Anda harus membagi dengan sudut, seperti yang diajarkan di sekolah dasar. Kami mendapatkan 0,1875.

Dan ada beberapa penyebut yang sangat buruk. Misalnya, pecahan 1/3 tidak dapat diubah menjadi desimal yang baik. Dan pada kalkulator, dan ketika membagi dengan sudut, kami mendapatkan 0,33333333 ... Oleh karena itu, satu lagi kesimpulan yang berguna. Tidak setiap pecahan biasa dikonversi ke desimal!

Jadi, dengan pecahan biasa dan desimal diurutkan. Masih berurusan dengan angka campuran. Untuk bekerja dengan mereka, mereka perlu dikonversi ke pecahan biasa. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menangkap siswa kelas lima dan bertanya padanya. Tetapi tidak selalu ada siswa kelas lima di dekat sini ... Anda harus melakukannya sendiri. Itu tidak sulit. Kalikan penyebut bagian pecahan dengan bagian bilangan bulat dan tambahkan pembilang bagian pecahan. Ini akan menjadi pembilang dari pecahan biasa. Bagaimana dengan penyebutnya? Penyebutnya akan tetap sama. Kedengarannya rumit, tetapi sebenarnya cukup sederhana. Mari kita lihat contohnya.

Misalkan dalam tugas Anda melihat angka dengan ngeri:

Dengan tenang, tanpa panik, kami berdebat. Seluruh bagian adalah 1. Satu. Bagian pecahan adalah 3/7. Oleh karena itu, penyebut bagian pecahan adalah 7. Penyebut ini akan menjadi penyebut pecahan biasa. Pertimbangkan: pembilang. Kami mengalikan 7 dengan 1 (bagian bilangan bulat) dan menambahkan 3 (pembilang bagian pecahan). Kami mendapatkan 10. Ini akan menjadi pembilang dari pecahan biasa. Itu saja. Itu terlihat lebih sederhana dalam notasi matematika:

Mudah? Kemudian amankan kesuksesan Anda! Ubahlah bilangan campuran ini , , menjadi pecahan biasa. Anda harus mendapatkan 10/3, 23/10 dan 21/4.

Yah, hampir semuanya. Anda ingat jenis pecahan dan mengerti bagaimana menerjemahkannya dari satu jenis ke jenis lainnya. Pertanyaannya tetap: mengapa melakukan ini? Di mana dan kapan harus menerapkan pengetahuan yang mendalam ini?

Setiap contoh itu sendiri menunjukkan tindakan yang diperlukan. Jika pada contoh pecahan biasa, desimal, dan bahkan bilangan campuran digabung menjadi satu, kita terjemahkan semuanya ke dalam pecahan biasa. Itu selalu bisa dilakukan. Nah, jika ditulis, misalnya, 0,8 + 0,3, maka kami menganggapnya demikian, tanpa terjemahan apa pun. Mengapa kita perlu kerja ekstra? Kami memilih cara untuk menyelesaikannya yang nyaman bagi kita!

Jika tugasnya penuh dengan pecahan desimal, tapi um ... beberapa yang menakutkan, pergi ke yang biasa, coba! Mungkin semuanya akan berhasil. Misalnya, Anda harus mengkuadratkan angka 0,125. Tidak begitu mudah jika Anda belum kehilangan kebiasaan menggunakan kalkulator! Anda tidak hanya perlu mengalikan angka dalam kolom, tetapi juga memikirkan di mana harus memasukkan koma! Itu pasti tidak bekerja dalam pikiran saya! Dan jika Anda pergi ke pecahan biasa? 0,125 = 125/1000. Kami mengurangi 5 (ini untuk permulaan). Kami mendapatkan 25/200. Sekali lagi pada 5. Kami mendapatkan 5/40. Masih menyusut! Kembali ke 5! Kami mendapatkan 1/8. Mudah persegi (dalam pikiran Anda!) dan dapatkan 1/64. Semuanya!

Mari kita simpulkan pelajaran kita.

1. Ada tiga jenis pecahan: bilangan biasa, desimal dan campuran.

2. Desimal dan bilangan campuran selalu dapat dikonversi ke pecahan biasa. Transfer terbalik tidak selalu memungkinkan.

3. Pilihan jenis pecahan untuk mengerjakan tugas tergantung pada tugas ini. Jika ada berbagai jenis pecahan dalam satu tugas, hal yang paling dapat diandalkan adalah beralih ke pecahan biasa.

Tip Praktis:

1. Hal terpenting saat bekerja dengan ekspresi pecahan adalah akurasi dan perhatian! Ini bukan kata-kata umum, bukan harapan baik! Ini adalah kebutuhan yang parah! Lebih baik menulis dua baris ekstra dalam draft daripada membuat kesalahan saat menghitung di kepala Anda.

2. Dalam contoh dengan berbagai jenis pecahan - buka pecahan biasa.

3. Kami mengurangi semua pecahan sampai berhenti.

4. Kami mengurangi ekspresi pecahan multi-level menjadi yang biasa menggunakan pembagian melalui dua titik (kami mengikuti urutan pembagian!).

5. Kami membagi unit menjadi pecahan dalam pikiran kami, cukup dengan membalik pecahan itu.

Sekarang coba praktekkan teorinya.

Jadi, mari kita selesaikan dalam mode ujian! Kami memecahkan sebuah contoh, kami memeriksa, kami memecahkan yang berikut ini. Kami memutuskan segalanya - kami memeriksa lagi dari contoh pertama hingga terakhir. Dan kemudian kita melihat jawabannya.

Diputuskan? Mencari jawaban yang cocok dengan Anda. Jawabannya ditulis dalam kekacauan, jauh dari godaan, sehingga untuk berbicara ...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

Dan sekarang kita menarik kesimpulan. Jika semuanya berhasil - senang untuk Anda! Perhitungan dasar dengan pecahan bukan masalah Anda! Anda dapat melakukan hal-hal yang lebih serius. Jika tidak... Kesabaran dan kerja keras akan menggiling segalanya.

Materi artikel ini adalah gambaran umum tentang transformasi ekspresi yang mengandung pecahan. Di sini kita akan mempertimbangkan transformasi dasar yang merupakan karakteristik ekspresi dengan pecahan.

Navigasi halaman.

Ekspresi pecahan dan ekspresi pecahan

Untuk memulainya, mari kita perjelas transformasi ekspresi seperti apa yang akan kita hadapi.

Judul artikel mengandung frase self-explanatory " ekspresi dengan pecahan". Artinya, di bawah ini kita akan berbicara tentang transformasi ekspresi numerik dan ekspresi dengan variabel, dalam catatan yang setidaknya ada satu fraksi.

Kami segera mencatat bahwa setelah publikasi artikel " Transformasi pecahan: pandangan umum"Kami tidak lagi tertarik pada pecahan individu. Jadi, selanjutnya kita akan mempertimbangkan jumlah, perbedaan, produk, ekspresi parsial dan lebih kompleks dengan akar, pangkat, logaritma, yang disatukan hanya dengan kehadiran setidaknya satu fraksi.

Dan mari kita bicara tentang ekspresi pecahan. Ini tidak sama dengan ekspresi dengan pecahan. Ekspresi pecahan adalah konsep yang lebih umum. Tidak setiap ekspresi dengan pecahan adalah ekspresi pecahan. Misalnya, ekspresi bukan ekspresi pecahan, meskipun mengandung pecahan, itu adalah ekspresi rasional bilangan bulat. Jadi, jangan menyebut ekspresi dengan pecahan sebagai ekspresi pecahan tanpa benar-benar yakin.

Transformasi identik dasar dari ekspresi dengan pecahan

Contoh.

Sederhanakan ekspresi .

Keputusan.

Dalam hal ini, Anda dapat membuka tanda kurung, yang akan memberikan ekspresi , yang berisi suku yang sama dan , serta 3 dan 3 . Setelah pengurangan mereka, kami mendapatkan pecahan.

Mari kita tunjukkan bentuk singkat penulisan solusinya:

Menjawab:

.

Bekerja dengan pecahan individu

Ekspresi yang kita bicarakan tentang transformasi berbeda dari ekspresi lain terutama dengan adanya pecahan. Dan keberadaan pecahan membutuhkan alat untuk bekerja dengannya. Dalam paragraf ini, kita akan membahas transformasi pecahan individu yang termasuk dalam catatan ekspresi ini, dan pada paragraf berikutnya kita akan melanjutkan untuk melakukan operasi dengan pecahan yang membentuk ekspresi aslinya.

Dengan pecahan apa pun yang merupakan komponen dari ekspresi asli, Anda dapat melakukan salah satu transformasi yang ditunjukkan dalam artikel Konversi pecahan. Artinya, Anda dapat mengambil pecahan terpisah, bekerja dengan pembilang dan penyebutnya, menguranginya, membawanya ke penyebut baru, dll. Jelas bahwa dengan transformasi ini, pecahan yang dipilih akan digantikan oleh pecahan yang identik dengannya, dan ekspresi aslinya akan diganti dengan ekspresi yang identik dengannya. Mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh.

Ubah ekspresi dengan pecahan ke bentuk yang lebih sederhana.

Keputusan.

Mari kita mulai transformasi dengan mengerjakan pecahan. Pertama, buka tanda kurung dan berikan istilah yang mirip dalam pembilang pecahan: . Sekarang ini meminta pengurungan faktor persekutuan x dalam pembilang dan pengurangan berikutnya dari pecahan aljabar: . Tetap hanya untuk mengganti hasil yang diperoleh alih-alih pecahan dalam ekspresi aslinya, yang memberikan .

Menjawab:

.

Melakukan tindakan dengan pecahan

Bagian dari proses mengubah ekspresi dengan pecahan sering dilakukan aksi dengan pecahan. Mereka dilakukan sesuai dengan prosedur yang diterima untuk melakukan tindakan. Perlu juga diingat bahwa bilangan atau ekspresi apa pun selalu dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut 1.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi .

Keputusan.

Masalahnya dapat didekati dari sudut yang berbeda. Dalam konteks topik yang sedang dipertimbangkan, kita akan pergi dengan melakukan tindakan dengan pecahan. Mari kita mulai dengan mengalikan pecahan:

Sekarang kami menulis produk sebagai pecahan dengan penyebut 1, setelah itu kami mengurangi pecahan:

Jika diinginkan dan perlu, seseorang masih dapat menyingkirkan irasionalitas dalam penyebutnya , di mana Anda dapat menyelesaikan transformasi.

Menjawab:

Penerapan sifat-sifat akar, pangkat, logaritma, dll.

Kelas ekspresi dengan pecahan sangat luas. Ekspresi seperti itu, selain pecahan itu sendiri, dapat berisi akar, derajat dengan eksponen yang berbeda, modul, logaritma, fungsi trigonometri, dll. Secara alami, ketika mereka dikonversi, properti yang sesuai diterapkan.

Berlaku untuk pecahan, ada baiknya menyoroti sifat akar pecahan, sifat pecahan sampai derajat, sifat modulus hasil bagi dan sifat logaritma perbedaan .

Untuk lebih jelasnya, kami berikan beberapa contoh. Misalnya, dalam ekspresi Mungkin berguna, berdasarkan sifat-sifat derajat, untuk mengganti pecahan pertama dengan derajat, yang selanjutnya memungkinkan kita untuk merepresentasikan ekspresi sebagai perbedaan kuadrat. Saat mengonversi ekspresi logaritmik adalah mungkin untuk mengganti logaritma pecahan dengan perbedaan logaritma, yang selanjutnya memungkinkan kita untuk membawa istilah yang serupa dan dengan demikian menyederhanakan ekspresi: . Mengubah ekspresi trigonometri mungkin memerlukan penggantian rasio sinus ke kosinus dari sudut yang sama dengan garis singgung. Mungkin juga perlu untuk beralih dari argumen setengah menggunakan rumus yang sesuai ke argumen utuh, sehingga menghilangkan argumen pecahan, misalnya, .

Menerapkan sifat-sifat akar, derajat, dll. untuk transformasi ekspresi dibahas secara lebih rinci dalam artikel:

• Transformasi ekspresi irasional menggunakan sifat-sifat akar,
• Transformasi ekspresi menggunakan sifat-sifat kekuatan,
• Konversi ekspresi logaritma menggunakan sifat-sifat logaritma,
• Mengonversi ekspresi trigonometri.

Angka desimal seperti 0.2; 1,05; 3.017 dll. seperti yang didengar, demikian pula yang tertulis. Nol koma dua, kita mendapatkan pecahan. Satu seluruh lima ratus, kita mendapatkan pecahan. Tiga seluruh tujuh belas ribu, kita mendapatkan pecahan. Digit sebelum titik desimal dalam bilangan desimal adalah bagian bilangan bulat dari pecahan. Angka setelah koma adalah pembilang dari pecahan yang akan datang. Jika ada angka satu digit setelah titik desimal, penyebutnya adalah 10, jika dua digit - 100, tiga digit - 1000, dll. Beberapa pecahan yang dihasilkan dapat direduksi. Dalam contoh kami

Mengubah pecahan menjadi bilangan desimal

Ini adalah kebalikan dari transformasi sebelumnya. Apa itu pecahan desimal? Penyebutnya selalu 10, atau 100, atau 1000, atau 10.000, dan seterusnya. Jika pecahan biasa Anda memiliki penyebut seperti itu, tidak ada masalah. Misalnya, atau

Jika pecahan, misalnya . Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan sifat dasar pecahan dan mengubah penyebutnya menjadi 10 atau 100, atau 1000 ... Dalam contoh kita, jika kita mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 4, kita mendapatkan pecahan yang dapat ditulis sebagai bilangan desimal 0,12.

Beberapa pecahan lebih mudah dibagi daripada mengubah penyebutnya. Sebagai contoh,

Beberapa pecahan tidak dapat dikonversi ke angka desimal!
Sebagai contoh,

Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa

Pecahan campuran, seperti , mudah diubah menjadi pecahan biasa. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut (bawah) dan menambahkannya ke pembilang (atas), membiarkan penyebut (bawah) tidak berubah. Yaitu

Saat mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, ingatlah bahwa Anda dapat menggunakan penjumlahan pecahan

Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran (menyoroti seluruh bagian)

Pecahan biasa dapat diubah menjadi pecahan campuran dengan menyorot seluruh bagian. Perhatikan sebuah contoh, . Tentukan berapa kali bilangan bulat "3" yang cocok dengan "23". Atau kita bagi 23 dengan 3 pada kalkulator, bilangan bulat hingga titik desimal adalah yang diinginkan. Ini adalah "7". Selanjutnya, kami menentukan pembilang dari pecahan masa depan: kami mengalikan "7" yang dihasilkan dengan penyebut "3" dan mengurangi hasil dari pembilang "23". Bagaimana kita menemukan kelebihan yang tersisa dari pembilang "23", jika kita menghilangkan jumlah maksimum "3". Penyebutnya dibiarkan tidak berubah. Semuanya sudah selesai, tuliskan hasilnya

pecahan

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Pecahan di sekolah menengah tidak terlalu mengganggu. Untuk saat ini. Sampai Anda menemukan eksponen dengan eksponen rasional dan logaritma. Dan disana…. Anda menekan, Anda menekan kalkulator, dan itu menunjukkan semua papan skor penuh dari beberapa angka. Anda harus berpikir dengan kepala Anda, seperti di kelas tiga.

Mari kita berurusan dengan pecahan, akhirnya! Nah, berapa banyak Anda bisa bingung di dalamnya !? Selain itu, semuanya sederhana dan logis. Jadi, apa itu pecahan?

Jenis-jenis pecahan. Transformasi.

Pecahan terdiri dari tiga jenis.

1. pecahan biasa , Sebagai contoh:

Terkadang, alih-alih garis horizontal, mereka memberi garis miring: 1/2, 3/4, 19/5, well, dan seterusnya. Di sini kita akan sering menggunakan ejaan ini. Angka teratas disebut pembilang, lebih rendah - penyebut. Jika Anda terus-menerus mengacaukan nama-nama ini (itu terjadi ...), katakan pada diri sendiri frasa dengan ungkapan: " zzzz ingat! zzzz penyebut - keluar zzzz kamu!" Lihat, semuanya akan diingat.)

Tanda hubung, yang mendatar, yang miring, berarti divisi angka atas (pembilang) ke angka bawah (penyebut). Dan itu saja! Alih-alih tanda hubung, sangat mungkin untuk meletakkan tanda pembagian - dua titik.

Ketika pembagian mungkin sepenuhnya, itu harus dilakukan. Jadi, alih-alih pecahan "32/8", jauh lebih menyenangkan untuk menulis angka "4". Itu. 32 dibagi 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Saya tidak berbicara tentang pecahan "4/1". Yang juga hanya "4". Dan jika tidak habis dibagi, kita biarkan sebagai pecahan. Terkadang Anda harus melakukan kebalikannya. Buatlah pecahan dari bilangan bulat. Tapi lebih lanjut tentang itu nanti.

2. desimal , Sebagai contoh:

Dalam formulir inilah Anda perlu menuliskan jawaban untuk tugas "B".

3. angka campuran , Sebagai contoh:

Angka campuran praktis tidak digunakan di sekolah menengah. Untuk bekerja dengan mereka, mereka harus dikonversi ke pecahan biasa. Tapi Anda pasti perlu tahu bagaimana melakukannya! Dan kemudian nomor seperti itu akan muncul dalam teka-teki dan menggantung ... Dari awal. Tapi kami ingat prosedur ini! Sedikit lebih rendah.

Paling serbaguna pecahan biasa. Mari kita mulai dengan mereka. Omong-omong, jika ada semua jenis logaritma, sinus, dan huruf lain dalam pecahan, ini tidak mengubah apa pun. Dalam arti segalanya tindakan dengan ekspresi pecahan tidak berbeda dari tindakan dengan pecahan biasa!

Sifat dasar pecahan.

Jadi ayo pergi! Pertama-tama, saya akan mengejutkan Anda. Seluruh variasi transformasi pecahan disediakan oleh satu properti! Itulah yang disebut sifat dasar pecahan. Ingat: Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama, pecahan tersebut tidak akan berubah. Itu:

Jelas bahwa Anda dapat menulis lebih lanjut, sampai Anda membiru di wajah. Jangan biarkan sinus dan logaritma membingungkan Anda, kami akan membahasnya lebih lanjut. Hal utama yang harus dipahami adalah bahwa semua ekspresi yang berbeda ini adalah pecahan yang sama . 2/3.

Dan kita membutuhkannya, semua transformasi ini? Dan bagaimana! Sekarang Anda akan melihat sendiri. Pertama, mari kita gunakan sifat dasar pecahan untuk singkatan pecahan. Tampaknya hal itu dasar. Kami membagi pembilang dan penyebut dengan angka yang sama dan hanya itu! Tidak mungkin salah! Tapi... manusia adalah makhluk yang kreatif. Anda dapat membuat kesalahan di mana-mana! Apalagi jika Anda harus mengurangi bukan pecahan seperti 5/10, tetapi ekspresi pecahan dengan segala macam huruf.

Cara mengurangi pecahan dengan benar dan cepat tanpa melakukan pekerjaan yang tidak perlu dapat ditemukan di Bagian khusus 555.

Siswa normal tidak perlu repot membagi pembilang dan penyebut dengan angka (atau ekspresi) yang sama! Dia hanya mencoret semuanya sama dari atas dan bawah! Di sinilah kesalahan khas mengintai, kesalahan besar, jika Anda suka.

Misalnya, Anda perlu menyederhanakan ekspresi:

Tidak ada yang perlu dipikirkan, kami mencoret huruf "a" dari atas dan deuce dari bawah! Kita mendapatkan:

Semuanya benar. Tapi sungguh kamu berbagi keseluruhan pembilang dan keseluruhan penyebut "a". Jika Anda terbiasa mencoret saja, maka, terburu-buru, Anda dapat mencoret "a" dalam ekspresi

dan dapatkan lagi

Yang pasti salah. Karena disini keseluruhan pembilang pada "a" sudah tidak dibagikan! Pecahan ini tidak dapat direduksi. Omong-omong, singkatan seperti itu, um ... tantangan serius bagi guru. Ini tidak dimaafkan! Ingat? Saat mengurangi, perlu untuk membagi keseluruhan pembilang dan keseluruhan penyebut!

Mengurangi pecahan membuat hidup jauh lebih mudah. Anda akan mendapatkan pecahan di suatu tempat, misalnya 375/1000. Dan bagaimana bekerja dengannya sekarang? Tanpa kalkulator? Kalikan, katakan, tambahkan, persegi!? Dan jika Anda tidak terlalu malas, tetapi dengan hati-hati kurangi lima, dan bahkan lima, dan bahkan ... saat sedang dikurangi, singkatnya. Kami mendapatkan 3/8! Jauh lebih bagus, bukan?

Sifat dasar pecahan memungkinkan Anda mengubah pecahan biasa menjadi desimal dan sebaliknya tanpa kalkulator! Ini penting untuk ujian, kan?

Cara mengubah pecahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

Sangat mudah dengan desimal. Seperti yang didengar, demikian pula tertulis! Katakanlah 0,25. Ini titik nol, dua puluh lima perseratus. Jadi kita tulis: 25/100. Kami mengurangi (membagi pembilang dan penyebut dengan 25), kami mendapatkan pecahan biasa: 1/4. Semuanya. Itu terjadi, dan tidak ada yang dikurangi. Seperti 0,3. Ini adalah tiga persepuluh, yaitu. 3/10.

Bagaimana jika bilangan bulat bukan nol? Tidak apa-apa. Tuliskan seluruh pecahan tanpa koma di pembilang, dan di penyebut - apa yang didengar. Misalnya: 3.17. Ini adalah tiga keseluruhan, tujuh belas perseratus. Kami menulis 317 di pembilang, dan 100 di penyebut, kami mendapatkan 317/100. Tidak ada yang dikurangi, itu berarti segalanya. Ini adalah jawabannya. Watson dasar! Dari semua hal di atas, kesimpulan yang bermanfaat: pecahan desimal apa pun dapat diubah menjadi pecahan biasa .

Tetapi konversi terbalik, biasa ke desimal, beberapa tidak dapat dilakukan tanpa kalkulator. Tapi Anda harus! Bagaimana Anda akan menuliskan jawaban pada ujian !? Kami dengan cermat membaca dan menguasai proses ini.

Apa itu pecahan desimal? Dia memiliki penyebut selalu bernilai 10 atau 100 atau 1000 atau 10.000 dan seterusnya. Jika pecahan biasa Anda memiliki penyebut seperti itu, tidak ada masalah. Misalnya, 4/10 = 0,4. Atau 7/100 = 0,07. Atau 12/10 = 1.2. Dan jika dalam jawaban tugas bagian "B" ternyata 1/2? Apa yang akan kita tulis sebagai tanggapan? desimal diperlukan...

Kita ingat sifat dasar pecahan ! Matematika memungkinkan Anda untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama. Untuk siapa pun, omong-omong! Kecuali nol, tentu saja. Mari gunakan fitur ini untuk keuntungan kita! Apa yang bisa dikalikan dengan penyebut, mis. 2 sehingga menjadi 10, atau 100, atau 1000 (lebih kecil lebih baik, tentu saja...)? 5, jelas. Jangan ragu untuk mengalikan penyebutnya (ini adalah kita perlu) dengan 5. Tapi, pembilangnya juga harus dikalikan 5. Ini sudah matematika tuntutan! Kami mendapatkan 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Itu saja.

Namun, segala macam penyebut muncul. Misalnya, pecahan 3/16 akan jatuh. Cobalah, cari tahu apa yang harus dikalikan 16 untuk mendapatkan 100, atau 1000... Tidak berhasil? Kemudian Anda cukup membagi 3 dengan 16. Jika tidak ada kalkulator, Anda harus membagi di sudut, di selembar kertas, seperti yang diajarkan di kelas dasar. Kami mendapatkan 0,1875.

Dan ada beberapa penyebut yang sangat buruk. Misalnya, pecahan 1/3 tidak dapat diubah menjadi desimal yang baik. Baik pada kalkulator dan selembar kertas, kami mendapatkan 0,33333333 ... Ini berarti bahwa 1/3 menjadi pecahan desimal yang tepat tidak menerjemahkan. Sama seperti 1/7, 5/6 dan seterusnya. Banyak dari mereka tidak dapat diterjemahkan. Oleh karena itu kesimpulan lain yang berguna. Tidak setiap pecahan biasa dikonversi ke desimal. !

Omong-omong, ini adalah informasi yang berguna untuk pemeriksaan diri. Di bagian "B" sebagai tanggapan, Anda perlu menuliskan pecahan desimal. Dan Anda mendapat, misalnya, 4/3. Pecahan ini tidak diubah ke desimal. Ini berarti bahwa di suatu tempat di sepanjang jalan Anda membuat kesalahan! Kembalilah, periksa solusinya.

Jadi, dengan pecahan biasa dan desimal diurutkan. Masih berurusan dengan angka campuran. Untuk bekerja dengan mereka, mereka semua harus dikonversi ke pecahan biasa. Bagaimana cara melakukannya? Anda dapat menangkap siswa kelas enam dan bertanya padanya. Tapi tidak selalu ada siswa kelas enam yang siap sedia... Kita harus melakukannya sendiri. Itu tidak sulit. Kalikan penyebut bagian pecahan dengan bagian bilangan bulat dan tambahkan pembilang bagian pecahan. Ini akan menjadi pembilang dari pecahan biasa. Bagaimana dengan penyebutnya? Penyebutnya akan tetap sama. Kedengarannya rumit, tetapi sebenarnya cukup sederhana. Mari kita lihat contohnya.

Biarkan masalah yang Anda lihat dengan ngeri nomornya:

Tenang, tanpa panik, kami mengerti. Seluruh bagian adalah 1. Satu. Bagian pecahan adalah 3/7. Oleh karena itu, penyebut bagian pecahan adalah 7. Penyebut ini akan menjadi penyebut pecahan biasa. Kami menghitung pembilangnya. Kami mengalikan 7 dengan 1 (bagian bilangan bulat) dan menambahkan 3 (pembilang bagian pecahan). Kami mendapatkan 10. Ini akan menjadi pembilang dari pecahan biasa. Itu saja. Itu terlihat lebih sederhana dalam notasi matematika:

Jelas? Kemudian amankan kesuksesan Anda! Ubah ke pecahan biasa. Anda harus mendapatkan 10/7, 7/2, 23/10 dan 21/4.

Operasi terbalik - mengubah pecahan biasa menjadi bilangan campuran - jarang diperlukan di sekolah menengah. Nah, jika... Dan jika Anda - tidak di sekolah menengah - Anda dapat melihat ke Bagian 555 khusus. Omong-omong, di tempat yang sama, Anda akan belajar tentang pecahan biasa.

Yah, hampir semuanya. Anda ingat jenis pecahan dan mengerti sebagai mengubahnya dari satu jenis ke jenis lainnya. Pertanyaannya tetap: mengapa lakukan? Di mana dan kapan harus menerapkan pengetahuan yang mendalam ini?

Saya menjawab. Setiap contoh itu sendiri menunjukkan tindakan yang diperlukan. Jika pada contoh pecahan biasa, desimal, dan bahkan bilangan campuran digabung menjadi satu, kita terjemahkan semuanya ke dalam pecahan biasa. Itu selalu bisa dilakukan. Nah, jika sesuatu seperti 0,8 + 0,3 ditulis, maka kami berpikir begitu, tanpa terjemahan apa pun. Mengapa kita perlu kerja ekstra? Kami memilih solusi yang nyaman kita !

Jika tugasnya penuh dengan pecahan desimal, tapi um ... semacam yang jahat, pergi ke yang biasa, coba! Lihat, semuanya akan baik-baik saja. Misalnya, Anda harus mengkuadratkan angka 0,125. Tidak begitu mudah jika Anda belum kehilangan kebiasaan menggunakan kalkulator! Anda tidak hanya perlu mengalikan angka dalam kolom, tetapi juga memikirkan di mana harus memasukkan koma! Itu pasti tidak bekerja dalam pikiran saya! Dan jika Anda pergi ke pecahan biasa?

0,125 = 125/1000. Kami mengurangi 5 (ini untuk permulaan). Kami mendapatkan 25/200. Sekali lagi pada 5. Kami mendapatkan 5/40. Oh, itu menyusut! Kembali ke 5! Kami mendapatkan 1/8. Mudah persegi (dalam pikiran Anda!) dan dapatkan 1/64. Semuanya!

Mari kita simpulkan pelajaran ini.

1. Ada tiga jenis pecahan. Bilangan biasa, desimal, dan campuran.

2. Desimal dan bilangan campuran selalu dapat diubah menjadi pecahan biasa. Terjemahan Terbalik tidak selalu tersedia.

3. Pilihan jenis pecahan untuk mengerjakan tugas tergantung pada tugas ini. Jika ada berbagai jenis pecahan dalam satu tugas, hal yang paling dapat diandalkan adalah beralih ke pecahan biasa.

Sekarang Anda bisa berlatih. Pertama, ubah pecahan desimal ini menjadi pecahan biasa:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Anda harus mendapatkan jawaban seperti ini (berantakan!):

Pada ini kita akan selesai. Dalam pelajaran ini, kami memoles poin-poin penting tentang pecahan. Namun, kebetulan tidak ada yang istimewa untuk disegarkan ...) Jika seseorang benar-benar lupa, atau belum menguasainya ... Mereka dapat pergi ke Bagian 555 khusus. Semua dasar-dasarnya dirinci di sana. Banyak tiba-tiba mengerti segalanya mulai. Dan mereka memecahkan pecahan dengan cepat).

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Menyederhanakan ekspresi aljabar adalah salah satu kunci untuk mempelajari aljabar dan keterampilan yang sangat berguna untuk semua matematikawan. Penyederhanaan memungkinkan Anda untuk mengurangi ekspresi kompleks atau panjang menjadi ekspresi sederhana yang mudah digunakan. Keterampilan penyederhanaan dasar baik bahkan bagi mereka yang tidak antusias dengan matematika. Dengan mengikuti beberapa aturan sederhana, banyak jenis ekspresi aljabar yang paling umum dapat disederhanakan tanpa pengetahuan matematika khusus.

Langkah

Definisi penting

1. Anggota Serupa . Ini adalah anggota dengan variabel dengan urutan yang sama, anggota dengan variabel yang sama, atau anggota bebas (anggota yang tidak mengandung variabel). Dengan kata lain, suku-suku sejenis mencakup satu variabel pada tingkat yang sama, mencakup beberapa variabel yang identik, atau tidak memasukkan variabel sama sekali. Urutan istilah dalam ekspresi tidak masalah.

   • Misalnya, 3x 2 dan 4x 2 adalah suku sejenis karena mengandung variabel "x" dari orde kedua (dalam pangkat kedua). Namun, x dan x 2 bukanlah anggota yang serupa, karena mengandung variabel "x" dengan ordo yang berbeda (pertama dan kedua). Demikian pula, -3yx dan 5xz bukan anggota yang sama karena mengandung variabel yang berbeda.

2. Faktorisasi . Ini adalah menemukan angka-angka seperti itu, produk yang mengarah ke angka aslinya. Setiap nomor asli dapat memiliki beberapa faktor. Misalnya, bilangan 12 dapat diuraikan menjadi barisan faktor berikut: 1 × 12, 2 × 6 dan 3 × 4, sehingga dapat dikatakan bahwa bilangan 1, 2, 3, 4, 6 dan 12 adalah faktor dari bilangan 12. Faktor-faktornya sama dengan pembagi , yaitu bilangan-bilangan yang habis dibagi bilangan asli.

   • Misalnya, jika Anda ingin memfaktorkan angka 20, tuliskan seperti ini: 4×5.
   • Perhatikan bahwa ketika memfaktorkan, variabel diperhitungkan. Misalnya, 20x = 4(5x).
   • Bilangan prima tidak dapat difaktorkan karena hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1.

3. Ingat dan ikuti urutan operasi untuk menghindari kesalahan.

   • Tanda kurung
   • Derajat
   • Perkalian
   • Divisi
   • Tambahan
   • Pengurangan

   Casting Seperti Anggota

   1. Tuliskan ekspresinya. Ekspresi aljabar paling sederhana (yang tidak mengandung pecahan, akar, dan sebagainya) dapat diselesaikan (disederhanakan) hanya dalam beberapa langkah.

      • Misalnya, sederhanakan ekspresi 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Tentukan anggota serupa (anggota dengan variabel dengan ordo yang sama, anggota dengan variabel yang sama, atau anggota bebas).

      • Temukan istilah serupa dalam ungkapan ini. Suku 2x dan 4x mengandung variabel dengan ordo yang sama (pertama). Juga, 1 dan -3 adalah anggota bebas (tidak mengandung variabel). Jadi, dalam ungkapan ini, istilah 2x dan 4x serupa, dan anggotanya 1 dan -3 juga mirip.

   3. Berikan istilah serupa. Ini berarti menambah atau menguranginya dan menyederhanakan ekspresinya.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Tulis ulang ekspresi dengan mempertimbangkan istilah yang diberikan. Anda akan mendapatkan ekspresi sederhana dengan istilah yang lebih sedikit. Ekspresi baru sama dengan aslinya.

      • Dalam contoh kita: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, yaitu, ekspresi asli disederhanakan dan lebih mudah digunakan.

   5. Amati urutan operasi yang dilakukan saat casting istilah yang sama. Dalam contoh kami, mudah untuk membawa istilah serupa. Namun, dalam kasus ekspresi kompleks di mana anggota diapit dalam tanda kurung dan ada pecahan dan akar, tidak mudah untuk membawa istilah seperti itu. Dalam kasus ini, ikuti urutan operasi.

      • Misalnya, perhatikan ekspresi 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Di sini akan menjadi kesalahan untuk segera mendefinisikan 3x dan 2x sebagai istilah serupa dan mengutipnya, karena pertama-tama Anda perlu memperluas tanda kurung. Oleh karena itu, lakukan operasi sesuai urutannya.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Sekarang, ketika ekspresi hanya berisi operasi penjumlahan dan pengurangan, Anda dapat mentransmisikan suku-suku serupa.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x2 + 12x + 3

   Mengkurung pengali

   1. Menemukan pembagi persekutuan terbesar(GCD) dari semua koefisien ekspresi. GCD adalah bilangan terbesar yang semua koefisien ekspresinya habis dibagi.

      • Sebagai contoh, perhatikan persamaan 9x 2 + 27x - 3. Dalam kasus ini, gcd=3, karena setiap koefisien dari ekspresi ini habis dibagi 3.

   2. Bagilah setiap suku ekspresi dengan gcd. Istilah yang dihasilkan akan berisi koefisien yang lebih kecil daripada ekspresi aslinya.

      • Dalam contoh kita, bagi setiap suku ekspresi dengan 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ternyata ekspresinya 3x2 + 9x-1. Itu tidak sama dengan ekspresi aslinya.

   3. Tulis ekspresi asli sama dengan produk dari gcd kali ekspresi yang dihasilkan. Yaitu, lampirkan ekspresi yang dihasilkan dalam tanda kurung, dan keluarkan GCD dari tanda kurung.

      • Dalam contoh kita: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Menyederhanakan ekspresi pecahan dengan menghilangkan pengali dari tanda kurung. Mengapa hanya mengambil pengali dari tanda kurung, seperti yang dilakukan sebelumnya? Kemudian, untuk mempelajari cara menyederhanakan ekspresi kompleks, seperti ekspresi pecahan. Dalam hal ini, mengeluarkan faktor dari kurung dapat membantu menghilangkan pecahan (dari penyebut).

      • Misalnya, perhatikan ekspresi pecahan (9x 2 + 27x - 3)/3. Gunakan tanda kurung untuk menyederhanakan ekspresi ini.
        • Faktorkan faktor 3 (seperti yang Anda lakukan sebelumnya): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Perhatikan bahwa pembilang dan penyebut sekarang memiliki angka 3. Ini dapat dikurangi, dan Anda mendapatkan ekspresi: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Karena setiap pecahan yang memiliki angka 1 pada penyebutnya sama dengan pembilangnya, ekspresi pecahan asli disederhanakan menjadi: 3x2 + 9x-1.

   Teknik Penyederhanaan Tambahan

   1. Menyederhanakan ekspresi pecahan. Seperti disebutkan di atas, jika pembilang dan penyebutnya mengandung istilah yang sama (atau bahkan ekspresi yang sama), maka keduanya dapat direduksi. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil faktor persekutuan dari pembilang atau penyebut, atau pembilang dan penyebut keduanya. Atau Anda dapat membagi setiap suku pembilang dengan penyebut dan dengan demikian menyederhanakan ekspresi.

      • Misalnya, perhatikan ekspresi pecahan (5x 2 + 10x + 20)/10. Di sini, cukup bagi setiap suku pembilang dengan penyebut (10). Tetapi perhatikan bahwa suku 5x2 tidak habis dibagi 10 (karena 5 kurang dari 10).
        • Jadi tulis ekspresi yang disederhanakan seperti ini: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Penyederhanaan ekspresi radikal. Ekspresi di bawah tanda radikal disebut ekspresi radikal. Mereka dapat disederhanakan melalui dekomposisi mereka menjadi faktor-faktor yang sesuai dan selanjutnya penghapusan satu faktor dari bawah akar.

      • Pertimbangkan contoh sederhana: (90). Angka 90 dapat diuraikan menjadi faktor-faktor berikut: 9 dan 10, dan dari 9, ambil akar kuadrat (3) dan keluarkan 3 dari bawah akar.
        • √(90)
        • (9×10)
        • (9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan. Dalam beberapa ekspresi, ada operasi perkalian atau pembagian istilah dengan gelar. Dalam kasus perkalian suku dengan satu basis, derajatnya ditambahkan; dalam hal pembagian suku dengan alas yang sama, derajatnya dikurangi.

      • Misalnya, perhatikan ekspresi 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Dalam kasus perkalian, tambahkan eksponen, dan dalam kasus pembagian, kurangi.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Berikut ini adalah penjelasan tentang aturan perkalian dan pembagian suku dengan derajat.
        • Mengalikan suku dengan pangkat sama dengan mengalikan suku dengan sendirinya. Misalnya, karena x 3 = x × x × x dan x 5 = x × x × x × x × x, maka x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), atau x8 .
        • Demikian pula, membagi istilah dengan kekuatan sama dengan membagi istilah itu sendiri. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Karena suku-suku serupa yang ada di pembilang dan penyebutnya dapat direduksi, hasil kali dua "x", atau x 2, tetap di pembilangnya.