Cabang mekanika yang mempelajari kondisi keseimbangan benda disebut statika. Ini mengikuti dari hukum kedua Newton bahwa jika jumlah vektor dari semua gaya yang diterapkan pada tubuh adalah nol, maka tubuh mempertahankan kecepatannya tidak berubah. Khususnya, jika kecepatan awal adalah nol, tubuh tetap diam. Kondisi invarian kecepatan tubuh dapat ditulis sebagai:

atau dalam proyeksi pada sumbu koordinat:

.

Jelaslah bahwa suatu benda hanya dapat diam terhadap satu sistem koordinat tertentu. Dalam statika, kondisi keseimbangan benda dipelajari secara tepat dalam sistem seperti itu. Kondisi kesetimbangan yang diperlukan juga dapat diperoleh dengan mempertimbangkan gerakan pusat massa sistem titik material. Gaya internal tidak mempengaruhi pergerakan pusat massa. Percepatan pusat massa ditentukan oleh jumlah vektor gaya luar. Tetapi jika jumlah ini sama dengan nol, maka percepatan pusat massa, dan, akibatnya, kecepatan pusat massa. Jika pada momen awal , maka pusat massa benda tetap diam.

Dengan demikian, kondisi pertama untuk keseimbangan benda dirumuskan sebagai berikut: kecepatan benda tidak berubah jika jumlah gaya eksternal yang diterapkan pada setiap titik sama dengan nol. Kondisi diam yang dihasilkan untuk pusat massa adalah kondisi yang diperlukan (tetapi tidak cukup) untuk keseimbangan benda tegar.

Contoh

Mungkin semua gaya yang bekerja pada tubuh seimbang, tetapi tubuh akan berakselerasi. Misalnya, jika Anda menerapkan dua gaya yang sama besar dan berlawanan arah (disebut sepasang gaya) ke pusat massa roda, maka roda akan diam jika kecepatan awalnya nol. Jika gaya ini diterapkan pada titik yang berbeda, maka roda akan mulai berputar (Gbr. 4.5). Ini karena tubuh berada dalam keseimbangan ketika jumlah semua gaya adalah nol di setiap titik tubuh. Tetapi jika jumlah gaya eksternal sama dengan nol, dan jumlah semua gaya yang diterapkan pada setiap elemen tubuh tidak sama dengan nol, maka tubuh tidak akan berada dalam keseimbangan, mungkin (seperti dalam contoh yang dipertimbangkan) gerakan rotasi . Jadi, jika suatu benda dapat berputar pada sumbu tertentu, maka untuk keseimbangannya tidak cukup bahwa resultan semua gaya sama dengan nol.

Untuk mendapatkan kondisi kesetimbangan kedua, kita menggunakan persamaan gerak rotasi , di mana adalah jumlah momen gaya-gaya luar terhadap sumbu rotasi. Bila , maka b = 0, yang berarti kecepatan sudut benda tidak berubah . Jika pada momen awal w = 0, maka benda tidak akan berputar lebih jauh. Akibatnya, kondisi kedua untuk kesetimbangan mekanik adalah persyaratan bahwa jumlah aljabar momen semua gaya eksternal terhadap sumbu rotasi sama dengan nol:

Dalam kasus umum sejumlah gaya eksternal yang berubah-ubah, kondisi kesetimbangan dapat direpresentasikan sebagai berikut:

,

.

Kondisi ini perlu dan cukup.

Contoh

Keseimbangan adalah stabil, tidak stabil dan acuh tak acuh. Kesetimbangan stabil jika, dengan perpindahan kecil benda dari posisi setimbang, gaya yang bekerja padanya dan momen gaya cenderung mengembalikan benda ke posisi setimbang (Gbr. 4.6a). Kesetimbangan tidak stabil jika gaya yang bekerja pada saat yang sama membawa benda lebih jauh dari posisi setimbang (Gbr. 4.6b). Jika, pada perpindahan kecil tubuh, gaya yang bekerja masih seimbang, maka keseimbangannya tidak berbeda (Gbr. 4.6c). Sebuah bola yang terletak di permukaan horizontal yang datar berada dalam keadaan keseimbangan acuh tak acuh. Sebuah bola yang terletak di bagian atas langkan bulat adalah contoh dari keseimbangan yang tidak stabil. Akhirnya, bola di dasar rongga bola berada dalam keadaan setimbang yang stabil.

Contoh menarik dari keseimbangan benda pada penyangga adalah menara miring di kota Pisa Italia, yang menurut legenda, digunakan oleh Galileo ketika mempelajari hukum jatuh bebas benda. Menara tersebut berbentuk silinder dengan jari-jari 7 m. Puncak menara menyimpang dari vertikal sebesar 4,5 m.

Menara Miring Pisa terkenal dengan kemiringannya yang curam. Menara ini jatuh. Ketinggian menara adalah 55,86 meter dari tanah di sisi terendah dan 56,70 meter di sisi tertinggi. Bobotnya diperkirakan mencapai 14.700 ton. Kemiringan saat ini sekitar 5,5 °. Sebuah garis vertikal yang ditarik melalui pusat massa menara memotong alas kira-kira 2,3 m dari pusatnya. Dengan demikian, menara berada dalam keadaan setimbang. Keseimbangan akan terganggu dan menara akan jatuh ketika deviasi puncaknya dari vertikal mencapai 14 m. Rupanya, ini tidak akan terjadi dalam waktu dekat.

Diyakini bahwa kelengkungan menara pada awalnya dirancang oleh para arsitek - untuk menunjukkan keterampilan luar biasa mereka. Tetapi sesuatu yang lain jauh lebih mungkin: para arsitek tahu bahwa mereka sedang membangun di atas fondasi yang sangat tidak dapat diandalkan, dan karena itu meletakkan dalam desain kemungkinan sedikit penyimpangan.

Ketika ada ancaman nyata dari runtuhnya menara, insinyur modern mengambilnya. Itu ditarik ke dalam korset baja dari 18 kabel, fondasinya ditimbang dengan balok timah dan pada saat yang sama tanah diperkuat dengan memompa beton ke bawah tanah. Dengan bantuan semua tindakan ini, dimungkinkan untuk mengurangi sudut kemiringan menara jatuh hingga setengah derajat. Para ahli mengatakan bahwa sekarang itu akan dapat bertahan setidaknya selama 300 tahun lagi. Dari sudut pandang fisika, langkah-langkah yang diambil berarti bahwa kondisi keseimbangan menara menjadi lebih dapat diandalkan.

Untuk benda dengan sumbu rotasi tetap, ketiga jenis keseimbangan dimungkinkan. Kesetimbangan acuh tak acuh terjadi ketika sumbu rotasi melewati pusat massa. Dalam kesetimbangan stabil dan tidak stabil, pusat massa berada pada garis vertikal yang melewati sumbu rotasi. Dalam hal ini, jika pusat massa berada di bawah sumbu rotasi, keadaan kesetimbangan stabil (Gbr. 4.7a). Jika pusat massa terletak di atas sumbu, keadaan kesetimbangan tidak stabil (Gbr. 4.7b).

Kasus khusus dari keseimbangan adalah keseimbangan tubuh pada penyangga. Dalam hal ini, gaya elastis penyangga tidak diterapkan pada satu titik, tetapi didistribusikan di atas dasar tubuh. Benda berada dalam keseimbangan jika garis vertikal yang ditarik melalui pusat massa benda melewati daerah penyangga, yaitu di dalam kontur yang dibentuk oleh garis yang menghubungkan titik penyangga. Jika garis ini tidak melewati area penyangga, maka tubuh terbalik.

Dalam keadaan setimbang, benda dalam keadaan diam (vektor kecepatan sama dengan nol) dalam kerangka acuan yang dipilih, baik bergerak beraturan dalam garis lurus atau berputar tanpa percepatan tangensial.

Definisi melalui energi sistem[ | ]

Karena energi dan gaya dihubungkan oleh ketergantungan fundamental, definisi ini setara dengan definisi pertama. Namun, definisi dalam istilah energi dapat diperpanjang untuk memperoleh informasi tentang stabilitas posisi kesetimbangan.

Jenis keseimbangan [ | ]

Ada tiga jenis keseimbangan tubuh: stabil, tidak stabil dan acuh tak acuh. Kesetimbangan disebut stabil jika, setelah pengaruh eksternal kecil, tubuh kembali ke keadaan keseimbangan semula. Kesetimbangan disebut tidak stabil jika, dengan sedikit perpindahan tubuh dari posisi keseimbangan, resultan gaya yang diterapkan padanya tidak nol dan diarahkan dari posisi keseimbangan. Kesetimbangan disebut acuh tak acuh jika, dengan perpindahan kecil tubuh dari posisi keseimbangan, resultan gaya yang diterapkan padanya sama dengan nol.

Mari kita beri contoh untuk sistem dengan satu derajat kebebasan. Dalam hal ini, kondisi yang cukup untuk posisi kesetimbangan adalah adanya energi potensial ekstrem lokal pada titik yang diteliti. Seperti diketahui, syarat untuk ekstrem lokal dari fungsi terdiferensiasi adalah persamaan dengan nol dari turunan pertamanya . Untuk menentukan kapan titik ini minimum atau maksimum, perlu dilakukan analisis turunan kedua. Stabilitas posisi ekuilibrium ditandai dengan opsi berikut:

• keseimbangan tidak stabil;
• keseimbangan yang stabil;
• keseimbangan acuh tak acuh.

Kesetimbangan tidak stabil[ | ]

Dalam kasus ketika turunan kedua negatif, energi potensial sistem berada dalam keadaan maksimum lokal. Ini berarti bahwa posisi kesetimbangan tidak stabil. Jika sistem dipindahkan dengan jarak yang kecil, maka sistem akan melanjutkan gerakannya karena gaya yang bekerja pada sistem. Artinya, ketika tubuh diambil dari keseimbangan, ia tidak kembali ke posisi semula.

keseimbangan berkelanjutan[ | ]

Turunan kedua > 0: energi potensial pada minimum lokal, posisi kesetimbangan stabil(lihat teorema Lagrange tentang stabilitas kesetimbangan). Jika sistem dipindahkan jarak kecil, itu akan kembali ke keadaan setimbang. Kesetimbangan stabil jika pusat gravitasi tubuh menempati posisi terendah dibandingkan dengan semua kemungkinan posisi tetangga. Dengan keseimbangan seperti itu, tubuh yang tidak seimbang kembali ke tempat asalnya.

Keseimbangan acuh tak acuh[ | ]

Turunan kedua = 0: di daerah ini, energinya tidak berubah, dan posisi kesetimbangannya adalah cuek. Jika sistem dipindahkan sedikit jarak, itu akan tetap berada di posisi baru. Jika Anda membelokkan atau menggerakkan tubuh, itu akan tetap seimbang.

Stabilitas dalam sistem dengan sejumlah besar derajat kebebasan[ | ]

Jika sistem memiliki beberapa derajat kebebasan, maka mungkin ternyata dengan penyimpangan sepanjang arah tertentu, kesetimbangan stabil, tetapi jika kesetimbangan tidak stabil dalam setidaknya satu arah, maka itu juga tidak stabil secara umum. Contoh paling sederhana dari situasi seperti itu adalah titik ekuilibrium tipe "sadel" atau "lulus".

Kesetimbangan sistem dengan beberapa derajat kebebasan akan stabil hanya jika stabil ke segala arah.

Semua gaya yang diterapkan pada benda terhadap sumbu rotasi sembarang juga sama dengan nol.

Dalam keadaan setimbang, benda dalam keadaan diam (vektor kecepatan sama dengan nol) dalam kerangka acuan yang dipilih, baik bergerak beraturan dalam garis lurus atau berputar tanpa percepatan tangensial.

YouTube ensiklopedis

1 / 3

Fisika. Statika: Kondisi keseimbangan tubuh. Pusat Pembelajaran Online Foxford

KONDISI KESETIMBANGAN BADAN Grade 10 Romanov

Pelajaran 70. Jenis-jenis keseimbangan. Kondisi keseimbangan tubuh tanpa adanya rotasi.

Subtitle

Definisi melalui energi sistem

Karena energi dan gaya dihubungkan oleh ketergantungan fundamental , definisi ini setara dengan yang pertama. Namun, definisi dalam istilah energi dapat diperpanjang untuk memperoleh informasi tentang stabilitas posisi kesetimbangan.

Jenis keseimbangan

Mari kita berikan contoh untuk sistem dengan satu derajat kebebasan. Dalam hal ini, kondisi yang cukup untuk posisi kesetimbangan adalah adanya ekstrem lokal pada titik yang diteliti. Seperti diketahui, syarat untuk ekstrem lokal dari fungsi terdiferensiasi adalah persamaan dengan nol dari turunan pertamanya . Untuk menentukan kapan titik ini minimum atau maksimum, perlu dilakukan analisis turunan kedua. Stabilitas posisi ekuilibrium ditandai dengan opsi berikut:

• keseimbangan tidak stabil;
• keseimbangan yang stabil;
• keseimbangan acuh tak acuh.

Dalam kasus ketika turunan kedua negatif, energi potensial sistem berada dalam keadaan maksimum lokal. Ini berarti bahwa posisi kesetimbangan tidak stabil. Jika sistem dipindahkan dengan jarak yang kecil, maka sistem akan melanjutkan gerakannya karena gaya yang bekerja pada sistem. Artinya, ketika tubuh diambil dari keseimbangan, ia tidak kembali ke posisi semula.

keseimbangan berkelanjutan

Turunan kedua > 0: energi potensial pada minimum lokal, posisi kesetimbangan stabil(lihat teorema Lagrange tentang stabilitas kesetimbangan). Jika sistem dipindahkan jarak kecil, itu akan kembali ke keadaan setimbang. Kesetimbangan stabil jika pusat gravitasi tubuh menempati posisi terendah dibandingkan dengan semua kemungkinan posisi tetangga. Dengan keseimbangan seperti itu, tubuh yang tidak seimbang kembali ke tempat asalnya.

Keseimbangan acuh tak acuh

Turunan kedua = 0: di daerah ini, energinya tidak berubah, dan posisi kesetimbangannya adalah cuek. Jika sistem dipindahkan sedikit jarak, itu akan tetap berada di posisi baru. Jika Anda membelokkan atau menggerakkan tubuh, itu akan tetap seimbang.

• Jenis keberlanjutan

Kesetimbangan adalah keadaan sistem di mana gaya-gaya yang bekerja pada sistem seimbang satu sama lain. Keseimbangan bisa stabil, tidak stabil atau acuh tak acuh.

Konsep keseimbangan adalah salah satu yang paling universal dalam ilmu alam. Ini berlaku untuk sistem apa pun, apakah itu sistem planet yang bergerak dalam orbit stasioner di sekitar bintang, atau populasi ikan tropis di laguna atol. Tetapi cara termudah untuk memahami konsep keadaan setimbang suatu sistem adalah dengan contoh sistem mekanis. Dalam mekanika, dianggap bahwa sistem dalam kesetimbangan jika semua gaya yang bekerja padanya sepenuhnya seimbang satu sama lain, yaitu, mereka saling meniadakan. Jika Anda membaca buku ini, misalnya, sambil duduk di kursi, maka Anda hanya dalam keadaan seimbang, karena gaya gravitasi yang menarik Anda ke bawah sepenuhnya dikompensasi oleh tekanan kursi pada tubuh Anda, yang bekerja dari bawah ke atas. Anda tidak jatuh dan lepas landas justru karena Anda dalam keadaan seimbang.

Ada tiga jenis keseimbangan yang sesuai dengan tiga situasi fisik.

keseimbangan berkelanjutan

Inilah yang biasanya dipahami kebanyakan orang dengan "keseimbangan". Bayangkan sebuah bola di dasar mangkuk bulat. Saat istirahat, itu terletak tepat di tengah mangkuk, di mana aksi gaya tarik gravitasi Bumi diseimbangkan oleh gaya reaksi pendukung yang diarahkan secara ketat ke atas, dan bola berhenti di sana sama seperti Anda beristirahat. kursi Anda. Jika Anda memindahkan bola menjauh dari pusat, menggelindingkannya ke samping dan ke atas menuju tepi mangkuk, kemudian, segera setelah dilepaskan, ia segera meluncur kembali ke titik terdalam di tengah mangkuk - ke arah posisi kesetimbangan stabil.

Anda, duduk di kursi, sedang beristirahat karena fakta bahwa sistem yang terdiri dari tubuh dan kursi Anda berada dalam keadaan keseimbangan yang stabil. Oleh karena itu, ketika beberapa parameter sistem ini berubah - misalnya, ketika Anda menambah berat badan, jika, katakanlah, seorang anak duduk di pangkuan Anda - kursi, sebagai objek material, akan mengubah konfigurasinya sedemikian rupa sehingga reaksi kekuatan dukungan akan meningkat - dan Anda akan tetap dalam posisi keseimbangan yang stabil (yang paling mungkin terjadi adalah bantal di bawah Anda akan tenggelam sedikit lebih dalam).

Di alam, ada banyak contoh keseimbangan stabil dalam berbagai sistem (dan tidak hanya sistem mekanis). Pertimbangkan, misalnya, hubungan predator-mangsa dalam suatu ekosistem. Rasio jumlah populasi tertutup pemangsa dan mangsanya dengan cepat mencapai keadaan keseimbangan - begitu banyak kelinci di hutan dari tahun ke tahun terus menjelaskan begitu banyak rubah, secara relatif. Jika karena alasan tertentu populasi mangsa berubah secara dramatis (misalnya, karena lonjakan tingkat kelahiran kelinci), keseimbangan ekologis akan segera dipulihkan karena peningkatan pesat dalam jumlah pemangsa, yang akan mulai memusnahkan kelinci dengan kecepatan yang dipercepat sampai mereka mengembalikan jumlah kelinci ke normal dan mereka tidak akan mulai mati kelaparan sendiri, membawa ternak mereka sendiri kembali normal, sebagai akibatnya populasi kelinci dan rubah akan kembali ke norma yang diamati sebelum lonjakan tingkat kelahiran kelinci. Artinya, dalam ekosistem yang stabil, kekuatan internal juga beroperasi (walaupun tidak dalam arti kata fisik), berusaha mengembalikan sistem ke keadaan keseimbangan yang stabil jika sistem menyimpang darinya.

Efek serupa dapat diamati dalam sistem ekonomi. Penurunan tajam dalam harga barang menyebabkan lonjakan permintaan dari pemburu barang murah, penurunan persediaan berikutnya dan, sebagai akibatnya, kenaikan harga dan penurunan permintaan barang - dan seterusnya sampai sistem kembali ke keadaan keseimbangan harga yang stabil dari penawaran dan permintaan. (Tentu saja, dalam sistem nyata, baik ekologis dan ekonomi, mungkin ada faktor eksternal yang menyimpang dari sistem dari keadaan ekuilibrium - misalnya, penembakan musiman rubah dan / atau kelinci atau regulasi harga negara dan / atau kuota konsumsi. Intervensi semacam itu mengarah ke kesetimbangan bias, yang analognya dalam mekanika adalah, misalnya, deformasi atau kemiringan mangkuk.)

Kesetimbangan tidak stabil

Tidak setiap keseimbangan, bagaimanapun, adalah stabil. Bayangkan sebuah bola menyeimbangkan pada bilah pisau. Gaya gravitasi yang diarahkan secara ketat ke bawah dalam hal ini, tentu saja, juga sepenuhnya seimbang dengan gaya reaksi dari penyangga yang diarahkan ke atas. Tetapi segera setelah pusat bola dibelokkan dari titik istirahat, setidaknya sepersekian milimeter pada garis bilah (dan untuk ini efek gaya yang kecil sudah cukup), keseimbangan akan langsung terganggu dan gaya gravitasi akan mulai menyeret bola semakin jauh darinya.

Contoh dari keseimbangan alam yang tidak stabil adalah keseimbangan panas Bumi ketika periode pemanasan global digantikan oleh zaman es baru dan sebaliknya ( cm. siklus Milankovitch). Suhu permukaan tahunan rata-rata planet kita ditentukan oleh keseimbangan energi antara radiasi matahari total yang mencapai permukaan dan radiasi termal total Bumi ke luar angkasa. Keseimbangan panas ini menjadi tidak stabil sebagai berikut. Beberapa musim dingin mendapatkan lebih banyak salju dari biasanya. Musim panas berikutnya, tidak ada cukup panas untuk mencairkan kelebihan salju, dan musim panas juga lebih dingin dari biasanya, karena fakta bahwa, karena kelebihan salju, permukaan Bumi memantulkan kembali ke ruang angkasa dalam proporsi yang lebih besar. sinar matahari dari sebelumnya. Karena itu, musim dingin berikutnya menjadi lebih bersalju dan lebih dingin dari sebelumnya, dan musim panas berikutnya, lebih banyak salju dan es yang tersisa di permukaan, memantulkan energi matahari ke luar angkasa ... Sangat mudah untuk melihat bahwa semakin sistem iklim global menyimpang dari titik awal keseimbangan termal, semakin cepat proses yang membawa iklim semakin jauh darinya meningkat. Pada akhirnya, di permukaan Bumi di daerah kutub, selama bertahun-tahun pendinginan global, beberapa kilometer strata gletser terbentuk, yang tak terhindarkan bergerak menuju garis lintang yang lebih rendah, membawa serta zaman es lain ke planet ini. Jadi sulit membayangkan keseimbangan yang lebih genting daripada iklim global.

Disebutkan secara khusus layak mendapatkan semacam keseimbangan tidak stabil yang disebut metastabil atau keseimbangan kuasi-stabil. Bayangkan sebuah bola di alur yang sempit dan dangkal - misalnya, pada bilah sepatu roda terbalik. Sedikit - satu atau dua milimeter - penyimpangan dari titik keseimbangan akan menyebabkan munculnya gaya yang akan mengembalikan bola ke keadaan setimbang di tengah alur. Namun, sedikit lebih banyak kekuatan sudah cukup untuk mengeluarkan bola dari zona keseimbangan metastabil, dan itu akan jatuh dari bilah skate. Sistem metastabil, sebagai suatu peraturan, memiliki sifat untuk tetap berada dalam keadaan setimbang selama beberapa waktu, setelah itu mereka "keluar" darinya sebagai akibat dari beberapa fluktuasi pengaruh eksternal dan "jatuh" ke dalam proses yang tidak dapat diubah yang merupakan karakteristik dari ketidakstabilan. sistem.

Contoh khas dari keseimbangan kuasi-stabil diamati pada atom-atom zat kerja dari beberapa jenis sistem laser. Elektron dalam atom dari badan kerja laser menempati orbit atom metastabil dan tetap di atasnya sampai berlalunya kuantum cahaya pertama, yang "mengetuk" mereka dari orbit metastabil ke orbit stabil yang lebih rendah, sambil memancarkan kuantum cahaya baru. , koheren dengan yang lewat, yang, pada gilirannya, menjatuhkan elektron dari atom berikutnya dari orbit metastabil, dll. Akibatnya, reaksi seperti longsoran emisi foton koheren membentuk sinar laser diluncurkan, yang, sebenarnya, mendasari pengoperasian laser apa pun.

Keseimbangan acuh tak acuh

Kasus peralihan antara keseimbangan stabil dan tidak stabil adalah apa yang disebut keseimbangan acuh tak acuh, di mana setiap titik sistem adalah titik keseimbangan, dan penyimpangan sistem dari titik istirahat awal tidak mengubah apa pun dalam keseimbangan gaya di dalamnya. dia. Bayangkan sebuah bola di atas meja horizontal yang sangat halus - ke mana pun Anda memindahkannya, bola itu akan tetap dalam keadaan seimbang.

Cabang mekanika yang mempelajari kondisi keseimbangan benda disebut statika. Cara termudah adalah dengan mempertimbangkan kondisi keseimbangan untuk benda yang benar-benar kaku, yaitu benda seperti itu, yang dimensi dan bentuknya dapat dianggap tidak berubah. Konsep benda yang benar-benar kaku adalah abstraksi, karena semua benda nyata, di bawah pengaruh gaya yang diterapkan padanya, berubah bentuk sampai tingkat tertentu, yaitu, mengubah bentuk dan ukurannya. Besarnya deformasi tergantung pada gaya yang diterapkan pada benda dan pada sifat benda itu sendiri - bentuknya dan sifat bahan dari mana benda itu dibuat. Dalam banyak kasus yang praktis penting, deformasinya kecil, dan penggunaan konsep benda yang benar-benar kaku dibenarkan.

Model tubuh kaku sempurna. Namun, kecilnya deformasi tidak selalu merupakan kondisi yang cukup bagi benda untuk dianggap benar-benar kaku. Untuk memperjelasnya, perhatikan contoh berikut. Papan yang bertumpu pada dua penyangga (Gbr. 140a) dapat dianggap sebagai benda yang benar-benar kaku, meskipun faktanya papan tersebut sedikit menekuk di bawah pengaruh gravitasi. Memang, dalam hal ini, kondisi keseimbangan mekanis memungkinkan untuk menentukan gaya reaksi pendukung tanpa memperhitungkan deformasi papan.

Tetapi jika papan yang sama terletak pada penyangga yang sama (Gbr. 1406), maka gagasan tentang benda yang benar-benar kaku tidak dapat diterapkan. Memang, biarkan dukungan ekstrem berada pada garis horizontal yang sama, dan yang tengah sedikit lebih rendah. Jika papan benar-benar kokoh, yaitu tidak menekuk sama sekali, maka sama sekali tidak memberikan tekanan pada penyangga tengah.Jika papan ditekuk, maka ia menekan penyangga tengah, dan semakin kuat, semakin besar deformasi. Kondisi

Kesetimbangan benda yang benar-benar kaku dalam hal ini tidak memungkinkan penentuan gaya reaksi penyangga, karena mereka mengarah ke dua persamaan untuk tiga besaran yang tidak diketahui.

Beras. 140. Gaya reaksi yang bekerja pada papan yang bertumpu pada dua (a) dan tiga (b) tumpuan

Sistem seperti ini disebut statis tak tentu. Untuk menghitungnya, perlu memperhitungkan sifat elastis benda.

Contoh yang diberikan menunjukkan bahwa penerapan model benda tegar mutlak dalam statika ditentukan tidak begitu banyak oleh sifat-sifat benda itu sendiri, tetapi oleh kondisi di mana ia berada. Jadi, dalam contoh yang dipertimbangkan, bahkan sedotan tipis dapat dianggap sebagai benda yang benar-benar padat jika terletak pada dua penyangga. Tetapi bahkan balok yang sangat kaku tidak dapat dianggap sebagai benda yang benar-benar kaku jika bertumpu pada tiga penyangga.

Kondisi keseimbangan. Kondisi keseimbangan untuk benda yang benar-benar kaku adalah kasus khusus persamaan dinamis ketika tidak ada percepatan, meskipun secara historis statika muncul dari kebutuhan peralatan konstruksi hampir dua milenium lebih awal dari dinamika. Dalam kerangka acuan inersia, benda tegar berada dalam kesetimbangan jika jumlah vektor semua gaya luar yang bekerja pada benda dan jumlah vektor momen gaya-gaya ini sama dengan nol. Ketika kondisi pertama terpenuhi, percepatan pusat massa benda sama dengan nol. Ketika kondisi kedua terpenuhi, tidak ada percepatan sudut rotasi. Oleh karena itu, jika pada saat awal tubuh dalam keadaan istirahat, maka selanjutnya akan tetap diam.

Berikut ini, kita membatasi diri pada studi sistem yang relatif sederhana di mana semua gaya yang bekerja terletak pada bidang yang sama. Dalam hal ini, kondisi vektor

direduksi menjadi dua skalar:

jika sumbu bidang aksi gaya berada. Beberapa gaya luar yang termasuk dalam kondisi kesetimbangan (1) yang bekerja pada benda dapat diberikan, yaitu modul dan arahnya diketahui. Adapun gaya reaksi dari ikatan atau penyangga yang membatasi kemungkinan pergerakan benda, sebagai suatu peraturan, tidak ditentukan sebelumnya dan dengan sendirinya tunduk pada penentuan. Dengan tidak adanya gesekan, gaya reaksi tegak lurus terhadap permukaan kontak benda.

Beras. 141. Untuk menentukan arah gaya reaksi

kekuatan reaksi. Terkadang keraguan muncul dalam menentukan arah gaya reaksi ikatan, seperti, misalnya, pada Gambar. 141, yang menunjukkan sebuah batang beristirahat di titik A pada permukaan cekung yang halus dari cangkir dan di titik B di tepi tajam cangkir.

Untuk menentukan arah gaya reaksi dalam hal ini, Anda dapat secara mental menggerakkan batang sedikit tanpa mengganggu kontaknya dengan cangkir. Gaya reaksi akan diarahkan tegak lurus ke permukaan di mana titik kontak meluncur. Jadi, di titik A, gaya reaksi yang bekerja pada batang tegak lurus permukaan cangkir, dan di titik B tegak lurus batang.

Momen kekuasaan. Momen gaya M relatif terhadap suatu titik

O disebut produk vektor jari-jari-vektor yang ditarik dari O ke titik penerapan gaya, oleh vektor gaya

Vektor M dari momen gaya tegak lurus terhadap bidang di mana vektor-vektor tersebut berada

Persamaan momen. Jika beberapa gaya bekerja pada tubuh, maka kondisi keseimbangan kedua yang terkait dengan momen gaya ditulis sebagai:

Dalam hal ini, titik O, dari mana vektor jari-jari ditarik, harus dipilih bersama untuk semua gaya yang bekerja.

Untuk sistem gaya datar, vektor momen dari semua gaya diarahkan tegak lurus terhadap bidang di mana gaya berada, jika momen dianggap relatif terhadap titik yang terletak pada bidang yang sama. Oleh karena itu, kondisi vektor (4) untuk momen-momen direduksi menjadi satu skalar: pada posisi setimbang, jumlah aljabar momen-momen semua gaya kerja eksternal sama dengan nol. Modul momen gaya relatif terhadap titik O sama dengan produk modul

gaya pada jarak dari titik O ke garis di mana gaya itu bekerja Dalam hal ini, momen yang cenderung memutar tubuh searah jarum jam diambil dengan satu tanda, berlawanan arah jarum jam - dengan sebaliknya. Pilihan titik yang relatif terhadap momen gaya yang dipertimbangkan dibuat semata-mata untuk alasan kenyamanan: persamaan momen akan menjadi lebih sederhana, semakin banyak gaya yang memiliki momen sama dengan nol.

Contoh keseimbangan. Untuk mengilustrasikan penerapan kondisi kesetimbangan untuk benda tegar sempurna, perhatikan contoh berikut. Tangga pijakan ringan terdiri dari dua bagian yang identik, berengsel di bagian atas dan diikat dengan tali di bagian dasarnya (Gbr. 142). Mari kita tentukan berapa gaya tegangan tali, dengan gaya apa setengah tangga berinteraksi di engsel, dan dengan gaya apa yang mereka tekan di lantai, jika seseorang dengan berat P berdiri di tengah salah satu dari mereka .

Sistem yang dipertimbangkan terdiri dari dua benda tegar - bagian tangga, dan kondisi kesetimbangan dapat diterapkan baik pada sistem secara keseluruhan maupun pada bagian-bagiannya. Dengan menerapkan kondisi kesetimbangan ke seluruh sistem secara keseluruhan, orang dapat menemukan gaya reaksi lantai dan (Gbr. 142). Dengan tidak adanya gesekan, gaya-gaya ini diarahkan secara vertikal ke atas, dan syarat bahwa jumlah vektor gaya eksternal (1) sama dengan nol berbentuk

Kondisi kesetimbangan untuk momen gaya eksternal relatif terhadap titik A ditulis sebagai berikut:

dimana - panjang tangga, sudut yang dibentuk oleh tangga dengan lantai. Memecahkan sistem persamaan (5) dan (6), kami menemukan

Beras. 142. Jumlah vektor gaya luar dan jumlah momen gaya luar dalam kesetimbangan adalah nol

Tentu saja, alih-alih persamaan momen (6) terhadap titik A, kita dapat menulis persamaan momen terhadap titik B (atau titik lainnya). Ini akan menghasilkan sistem persamaan yang setara dengan sistem (5) dan (6) yang digunakan.

Gaya tegangan tali dan gaya interaksi pada engsel untuk sistem fisis yang dipertimbangkan adalah internal dan oleh karena itu tidak dapat ditentukan dari kondisi kesetimbangan seluruh sistem secara keseluruhan. Untuk menentukan gaya-gaya ini, perlu untuk mempertimbangkan kondisi keseimbangan masing-masing bagian dari sistem. Di mana

Dengan pilihan yang baik dari titik relatif yang persamaan momen gaya dikompilasi, adalah mungkin untuk mencapai penyederhanaan sistem aljabar persamaan. Jadi, misalnya, dalam sistem ini, kita dapat mempertimbangkan kondisi kesetimbangan untuk momen gaya yang bekerja pada setengah kiri tangga, relatif terhadap titik C, di mana engsel berada.

Dengan pilihan titik C ini, gaya yang bekerja pada engsel tidak akan masuk ke dalam kondisi ini, dan kita segera menemukan gaya tarik tali T:

dari mana, mengingat kita mendapatkan

Kondisi (7) berarti bahwa resultan gaya T dan melewati titik C, yaitu diarahkan sepanjang tangga. Oleh karena itu, keseimbangan setengah tangga ini hanya mungkin jika gaya yang bekerja padanya di engsel juga diarahkan sepanjang tangga (Gbr. 143), dan modulusnya sama dengan modulus gaya resultan T dan

Beras. 143. Garis kerja ketiga gaya yang bekerja pada separuh kiri tangga melewati satu titik

Nilai mutlak gaya yang bekerja pada engsel pada separuh tangga lainnya, berdasarkan hukum III Newton, adalah sama dengan dan arahnya berlawanan dengan arah vektor. Arah gaya dapat ditentukan langsung dari gambar . 143, mengingat bahwa ketika sebuah benda berada dalam keseimbangan di bawah aksi tiga gaya, garis-garis di mana gaya-gaya ini bekerja berpotongan di satu titik. Memang, pertimbangkan titik perpotongan garis aksi dua dari tiga gaya ini dan buat persamaan momen tentang titik ini. Momen dari dua gaya pertama tentang titik ini sama dengan nol; karenanya, momen gaya ketiga juga harus sama dengan nol, yang, sesuai dengan (3), hanya mungkin jika garis aksinya juga melewati titik ini.

Aturan emas mekanik. Kadang-kadang masalah statika dapat diselesaikan tanpa mempertimbangkan kondisi kesetimbangan sama sekali, tetapi menggunakan hukum kekekalan energi dalam kaitannya dengan mekanisme tanpa gesekan: tidak ada mekanisme yang menghasilkan kerja. hukum ini

disebut aturan emas mekanik. Untuk mengilustrasikan pendekatan ini, perhatikan contoh berikut: beban berat berbobot P digantungkan pada engsel tanpa bobot dengan tiga penghubung (Gbr. 144). Berapa tegangan yang harus dipertahankan oleh benang penghubung titik A dan B?

Beras. 144. Untuk penentuan gaya tarik ulir dalam engsel tiga mata rantai yang menopang beban berat P

Mari kita coba menggunakan mekanisme ini untuk mengangkat beban P. Setelah melepaskan utas di titik A, kami menariknya ke atas sehingga titik B perlahan naik jarak. Jarak ini dibatasi oleh fakta bahwa gaya tarik utas T harus tetap tidak berubah selama gerakan. Dalam hal ini, seperti yang akan terlihat dari jawaban, gaya T tidak bergantung sama sekali pada seberapa besar engsel ditekan atau diregangkan. Sebuah pekerjaan dilakukan dengan baik. Akibatnya, beban P naik ke ketinggian yang, seperti yang jelas dari pertimbangan geometris, sama dengan.Karena tanpa gesekan tidak ada kehilangan energi yang terjadi, dapat dikatakan bahwa perubahan energi potensial beban sama dengan to ditentukan oleh kerja yang dilakukan selama pengangkatan. Jadi

Jelas, untuk engsel yang berisi sejumlah tautan identik yang berubah-ubah,

Tidak sulit untuk menemukan gaya tarik benang, dan dalam kasus ketika diperlukan untuk memperhitungkan berat engsel itu sendiri, pekerjaan yang dilakukan selama pengangkatan harus disamakan dengan jumlah perubahan energi potensial dari beban dan engsel. Untuk engsel dari mata rantai yang identik, pusat massanya naik ke Oleh karena itu

Prinsip yang dirumuskan ("aturan mekanika emas") juga berlaku ketika tidak ada perubahan energi potensial dalam proses perpindahan, dan mekanisme tersebut digunakan untuk mengubah gaya. Gearbox, transmisi, gerbang, sistem tuas dan balok - dalam semua sistem seperti itu, gaya yang ditransformasikan dapat ditentukan dengan menyamakan kerja gaya yang ditransformasikan dan diterapkan. Dengan kata lain, tanpa adanya gesekan, rasio gaya-gaya ini hanya ditentukan oleh geometri perangkat.

Pertimbangkan dari sudut pandang ini contoh di atas dengan tangga. Tentu saja, sangat tidak disarankan untuk menggunakan tangga sebagai mekanisme pengangkatan, yaitu, untuk mengangkat seseorang dengan menyatukan kedua bagian dari tangga tersebut. Namun, ini tidak dapat mencegah kita untuk menerapkan metode yang dijelaskan untuk menemukan tegangan pada tali. Menyamakan pekerjaan yang dilakukan ketika bagian-bagian dari anak tangga mendekati perubahan energi potensial seseorang pada anak tangga dan menghubungkan dari pertimbangan geometris gerakan ujung bawah tangga dengan perubahan ketinggian beban (Gbr. .145), kami memperoleh, seperti yang diharapkan, hasil yang diberikan sebelumnya:

Seperti yang telah dicatat, perpindahan harus dipilih sedemikian rupa sehingga gaya yang bekerja dapat dianggap konstan selama prosesnya. Mudah untuk melihat bahwa dalam contoh dengan engsel, kondisi ini tidak membatasi gerakan, karena tegangan ulir tidak bergantung pada sudut (Gbr. 144). Sebaliknya, dalam masalah tangga, perpindahan harus dipilih kecil, karena tegangan pada tali tergantung pada sudut a.

Stabilitas keseimbangan. Keseimbangan adalah stabil, tidak stabil dan acuh tak acuh. Kesetimbangan stabil (Gbr. 146a), jika, dengan perpindahan kecil tubuh dari posisi keseimbangan, gaya yang bekerja cenderung mengembalikannya kembali, dan tidak stabil (Gbr. 1466), jika gaya membawanya lebih jauh dari posisi keseimbangan .

Beras. 145. Pergerakan ujung bawah tangga dan pergerakan kargo ketika bagian tangga saling mendekat

Beras. 146. Stabil (a), tidak stabil (b) dan acuh tak acuh (c) keseimbangan

Jika, pada perpindahan kecil, gaya-gaya yang bekerja pada benda dan momen-momennya masih seimbang, maka kesetimbangannya tidak berubah (Gbr. 146c). Dengan keseimbangan acuh tak acuh, posisi tetangga tubuh juga dalam keseimbangan.

Mari kita perhatikan contoh studi stabilitas keseimbangan.

1. Kesetimbangan yang stabil sesuai dengan energi potensial minimum tubuh dalam kaitannya dengan nilainya di posisi tetangga tubuh. Seringkali lebih mudah untuk menggunakan sifat ini dalam mencari posisi kesetimbangan dan dalam mempelajari sifat kesetimbangan.

Beras. 147. Stabilitas keseimbangan tubuh dan posisi pusat massa

Sebuah kolom berdiri bebas vertikal berada dalam kesetimbangan stabil, karena pusat massanya naik pada kemiringan kecil. Hal ini terjadi sampai proyeksi vertikal pusat massa melampaui area pendukung, yaitu sudut deviasi dari vertikal tidak melebihi nilai maksimum tertentu. Dengan kata lain, wilayah stabilitas terbentang dari energi potensial minimum (dalam posisi vertikal) hingga maksimum yang paling dekat dengannya (Gbr. 147). Ketika pusat massa terletak tepat di atas batas area tumpuan, kolom juga dalam keadaan setimbang, tetapi tidak stabil. Kolom yang terletak secara horizontal sesuai dengan wilayah stabilitas yang jauh lebih luas.

2. Ada dua pensil bundar dengan jari-jari dan salah satunya terletak horizontal, yang lain diseimbangkan di atasnya dalam posisi horizontal sehingga sumbu pensil saling tegak lurus (Gbr. 148a). Pada rasio antara jari-jari berapa kesetimbangan stabil? Pada sudut maksimum berapa pensil atas dapat dibelokkan dari horizontal? Koefisien gesekan pensil satu sama lain sama dengan

Sepintas, mungkin tampak bahwa keseimbangan pensil atas umumnya tidak stabil, karena pusat massa pensil atas terletak di atas sumbu di mana pensil dapat berputar. Namun disini posisi sumbu rotasi tidak tetap, oleh karena itu kasus ini memerlukan kajian khusus. Karena pensil atas seimbang dalam posisi horizontal, pusat massa pensil terletak pada vertikal ini (Gbr. ).

Simpan pensil atas pada beberapa sudut dari horizontal. Dengan tidak adanya gesekan statis, itu akan segera meluncur ke bawah. Agar tidak memikirkan kemungkinan selip untuk saat ini, kita akan menganggap bahwa gesekannya cukup besar. Dalam hal ini, pensil atas "menggulung" di sepanjang pensil bawah tanpa tergelincir. Titik tumpu dari posisi A bergerak ke posisi baru C, dan titik di mana pensil atas bertumpu pada pensil bawah sebelum penyimpangan

bergerak ke posisi B. Karena tidak ada slip, panjang busur sama dengan panjang segmen

Beras. 148. Pensil atas seimbang dalam posisi horizontal pada pensil bawah (a); untuk studi stabilitas keseimbangan (b)

Pusat massa pensil atas bergerak ke posisi . Jika garis vertikal yang ditarik melewati ke kiri titik tumpu baru C, maka gravitasi cenderung mengembalikan pensil atas ke posisi setimbangnya.

Mari kita nyatakan kondisi ini secara matematis. Menggambar garis vertikal melalui titik B, kita melihat bahwa kondisinya harus dipenuhi

Sejak itu dari kondisi (8) kita peroleh

Karena gravitasi akan cenderung mengembalikan pensil atas ke posisi keseimbangan hanya pada Oleh karena itu, keseimbangan stabil pensil atas pada pensil bawah hanya mungkin jika jari-jarinya lebih kecil dari jari-jari pensil bawah.

Peran gesekan. Untuk menjawab pertanyaan kedua, perlu diketahui alasan apa yang membatasi sudut deviasi yang diizinkan. Pertama, pada sudut defleksi yang besar, garis vertikal yang ditarik melalui pusat massa pensil atas dapat melewati ke kanan titik tumpuan C. Dari kondisi (9) dapat dilihat bahwa untuk rasio jari-jari pensil yang diberikan, maksimum sudut defleksi

Apakah kondisi kesetimbangan benda tegar selalu cukup untuk menentukan gaya reaksi?

Bagaimana cara praktis menentukan arah gaya reaksi tanpa adanya gesekan?

Bagaimana aturan emas mekanika dapat digunakan dalam analisis kondisi kesetimbangan?

Jika di engsel ditunjukkan pada Gambar. 144, dengan benang yang menghubungkan bukan titik A dan B, melainkan titik L dan C, maka berapakah gaya tariknya?

Bagaimana stabilitas keseimbangan sistem terkait dengan energi potensialnya?

Kondisi apa yang menentukan sudut defleksi maksimum sebuah benda yang bertumpu pada sebuah bidang di tiga titik agar kestabilannya tidak hilang?