Perkembangan aritmatika dan geometri
Informasi teoritis
Informasi teoritis
Kemajuan aritmatika |
Kemajuan geometris |
|
Definisi |
Kemajuan aritmatika sebuah adalah barisan yang tiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama D (D- perbedaan perkembangan) |
Kemajuan geometris bn adalah barisan bilangan bukan nol yang tiap sukunya dimulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan bilangan yang sama Q (Q- penyebut perkembangan) |
Rumus kekambuhan |
Untuk alam apa pun N |
Untuk alam apa pun N |
Rumus suku ke-n |
sebuah = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Properti karakteristik |  |
|
| Jumlah n suku pertama |  |
 |
Contoh tugas dengan komentar
Latihan 1
Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah) sebuah 1 = -6, sebuah 2
Menurut rumus suku ke-n:
sebuah 22 = sebuah 1+ d (22 - 1) = sebuah 1+ 21 d
Dengan syarat:
sebuah 1= -6, lalu sebuah 22= -6 + 21 d .
Penting untuk menemukan perbedaan perkembangan:
d = sebuah 2 – sebuah 1 = -8 – (-6) = -2
sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Menjawab : sebuah 22 = -48.
Tugas 2
Tentukan suku kelima barisan geometri: -3; 6;....
Metode 1 (menggunakan rumus suku n)
Berdasarkan rumus suku ke-n suatu barisan geometri:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Karena b 1 = -3,
Metode ke-2 (menggunakan rumus berulang)
Karena penyebut barisan tersebut adalah -2 (q = -2), maka:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Menjawab : b 5 = -48.
Tugas 3
Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah ) sebuah 74 = 34; sebuah 76= 156. Tentukan suku ketujuh puluh lima barisan ini.
Untuk barisan aritmatika, sifat karakteristiknya berbentuk 
.
Karena itu:
.
Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:
Jawaban: 95.
Tugas 4
Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah ) sebuah n= 3n - 4. Tentukan jumlah tujuh belas suku pertama.
Untuk mencari jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika, digunakan dua rumus:
.
Manakah yang lebih nyaman digunakan dalam kasus ini?
Dengan syarat, diketahui rumus suku ke-n barisan asal ( sebuah) sebuah= 3n - 4. Anda dapat segera menemukan dan sebuah 1, Dan sebuah 16 tanpa menemukan d. Oleh karena itu, kita akan menggunakan rumus pertama.
Jawaban: 368.
Tugas 5
Dalam perkembangan aritmatika( sebuah) sebuah 1 = -6; sebuah 2= -8. Temukan suku kedua puluh dua dari perkembangan tersebut.
Menurut rumus suku ke-n:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = sebuah 1+ 21d.
Dengan syarat, jika sebuah 1= -6, lalu sebuah 22= -6 + 21d . Penting untuk menemukan perbedaan perkembangan:
d = sebuah 2 – sebuah 1 = -8 – (-6) = -2
sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Menjawab : sebuah 22 = -48.
Tugas 6
Beberapa suku barisan geometri yang berurutan dapat dituliskan:
Tentukan suku barisan yang berlabel x.
Saat menyelesaikannya, kita akan menggunakan rumus suku ke-n b n = b 1 ∙ q n - 1 untuk perkembangan geometri. Istilah pertama dari perkembangan. Untuk mencari penyebut barisan q, Anda perlu mengambil salah satu suku barisan tertentu dan membaginya dengan suku sebelumnya. Dalam contoh kita, kita dapat mengambil dan membaginya. Kita peroleh bahwa q = 3. Alih-alih n, kita substitusikan 3 ke dalam rumus, karena kita perlu mencari suku ketiga suatu barisan geometri tertentu.
Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus, kita mendapatkan:
.
Menjawab : .
Tugas 7
Dari barisan aritmatika yang diberikan oleh rumus suku ke-n, pilihlah barisan yang kondisinya terpenuhi sebuah 27 > 9:
Karena kondisi yang diberikan harus dipenuhi untuk suku ke-27 dari perkembangan tersebut, kita substitusikan 27 sebagai ganti n pada masing-masing dari empat perkembangan tersebut. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapatkan:
.
Jawaban: 4.
Tugas 8
Dalam perkembangan aritmatika sebuah 1= 3, d = -1,5. Tentukan nilai n terbesar yang dimiliki pertidaksamaan tersebut sebuah > -6.
Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri, yaitu setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya sebanyak q kali. (Kami akan berasumsi bahwa q ≠ 1, jika tidak, semuanya terlalu sepele). Mudah untuk melihat bahwa rumus umum suku ke-n suatu barisan geometri adalah b n = b 1 q n – 1 ; suku dengan bilangan b n dan b m berbeda q n – m kali.Sudah di Mesir Kuno mereka tidak hanya mengetahui aritmatika, tetapi juga perkembangan geometri. Misalnya, berikut adalah soal dari papirus Rhind: “Tujuh wajah memiliki tujuh kucing; Setiap kucing memakan tujuh tikus, setiap tikus memakan tujuh bulir jagung, dan setiap bulir jelai dapat menumbuhkan tujuh takaran jelai. Berapa besar bilangan-bilangan pada deret tersebut dan jumlahnya?
 |
|
Beras. 1. Masalah perkembangan geometri Mesir kuno |
Tugas ini diulangi berkali-kali dengan variasi yang berbeda-beda antar bangsa pada waktu yang lain. Misalnya saja yang ditulis pada abad ke-13. “Kitab Sempoa” karya Leonardo dari Pisa (Fibonacci) mempunyai masalah dimana 7 wanita tua muncul dalam perjalanan ke Roma (jelas peziarah), yang masing-masing memiliki 7 bagal, masing-masing memiliki 7 tas, yang masing-masing berisi 7 tas. berisi 7 buah roti yang masing-masing mempunyai 7 pisau yang masing-masing mempunyai 7 sarung. Soal menanyakan berapa banyak objek yang ada.
Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Rumus ini dapat dibuktikan misalnya seperti ini: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Tambahkan angka b 1 q n ke S n dan dapatkan:
|
Dari sini S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), dan kita mendapatkan rumus yang diperlukan.
Sudah ada di salah satu lempengan tanah liat Babel Kuno, yang berasal dari abad ke-6. SM e., berisi jumlah 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Benar, seperti dalam beberapa kasus lainnya, kita tidak tahu bagaimana fakta ini diketahui orang Babilonia .
Peningkatan pesat perkembangan geometri di sejumlah kebudayaan, khususnya di India, berulang kali digunakan sebagai simbol visual dari luasnya alam semesta. Dalam legenda terkenal tentang kemunculan catur, penguasa memberikan kesempatan kepada penemunya untuk memilih sendiri hadiahnya, dan dia menanyakan jumlah butir gandum yang akan diperoleh jika satu ditempatkan di kotak pertama papan catur, dua di kotak pertama papan catur. yang kedua, empat pada yang ketiga, delapan pada yang keempat, dan seterusnya, setiap kali jumlahnya menjadi dua kali lipat. Vladyka mengira paling banyak yang kita bicarakan adalah beberapa tas, tapi dia salah perhitungan. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk seluruh 64 kotak papan catur, penemunya harus menerima (2 64 - 1) butir, yang dinyatakan sebagai angka 20 digit; bahkan jika seluruh permukaan bumi ditaburkan, dibutuhkan setidaknya 8 tahun untuk mengumpulkan jumlah biji-bijian yang dibutuhkan. Legenda ini terkadang ditafsirkan sebagai indikasi kemungkinan tak terbatas yang tersembunyi dalam permainan catur.
Sangat mudah untuk melihat bahwa angka ini sebenarnya terdiri dari 20 digit:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (perhitungan yang lebih akurat menghasilkan 1,84∙10 19). Tapi saya ingin tahu apakah Anda bisa mengetahui digit apa yang diakhiri dengan angka ini?
Suatu barisan geometri dapat bertambah jika penyebutnya lebih besar dari 1, atau berkurang jika penyebutnya kurang dari satu. Dalam kasus terakhir, bilangan q n untuk n yang cukup besar dapat menjadi kecil secara sembarang. Meskipun perkembangan geometri yang meningkat meningkat secara tidak terduga dengan cepat, perkembangan geometri yang menurun juga menurun dengan cepat.
Semakin besar n, semakin lemah bilangan q n berbeda dengan nol, dan semakin dekat jumlah n suku barisan geometri S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) dengan bilangan S = b 1 / ( 1 – q). (Misalnya, F. Viet beralasan seperti ini). Bilangan S disebut jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Namun, selama berabad-abad pertanyaan tentang apa arti menjumlahkan SELURUH barisan geometri, dengan jumlah sukunya yang tak terhingga, masih belum cukup jelas bagi para ahli matematika.
Perkembangan geometri yang menurun dapat dilihat, misalnya, dalam aporia Zeno “Setengah Divisi” dan “Achilles dan Kura-kura.” Dalam kasus pertama, terlihat jelas bahwa seluruh jalan (dengan asumsi panjang 1) adalah jumlah tak terhingga dari segmen 1/2, 1/4, 1/8, dan seterusnya. sudut pandang gagasan tentang jumlah terbatas perkembangan geometri tak terbatas. Namun - bagaimana ini bisa terjadi?
|
Beras. 2. Perkembangan dengan koefisien 1/2 |
Dalam aporia tentang Achilles, situasinya sedikit lebih rumit, karena di sini penyebut perkembangannya bukan 1/2, melainkan bilangan lain. Misalkan Achilles berlari dengan kecepatan v, kura-kura bergerak dengan kecepatan u, dan jarak awal antara keduanya adalah l. Achilles akan menempuh jarak ini dalam waktu l/v, dan selama waktu tersebut penyu akan menempuh jarak lu/v. Ketika Achilles menjalankan segmen ini, jarak antara dia dan kura-kura akan menjadi sama dengan l (u /v) 2, dst. Ternyata mengejar kura-kura berarti mencari jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama l dan penyebut u /v. Jumlah ini - segmen yang pada akhirnya akan dilalui Achilles ke tempat pertemuan dengan penyu - sama dengan l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Namun, sekali lagi, bagaimana hasil ini harus diinterpretasikan dan mengapa hal ini masuk akal masih belum jelas sejak lama.
|
Beras. 3. Perkembangan geometri dengan koefisien 2/3 |
Archimedes menggunakan jumlah barisan geometri untuk menentukan luas ruas parabola. Misalkan ruas parabola ini dibatasi oleh tali busur AB dan biarkan garis singgung di titik D parabola sejajar dengan AB. Misalkan C adalah titik tengah AB, E adalah titik tengah AC, F adalah titik tengah CB. Mari kita menggambar garis sejajar DC melalui titik A, E, F, B; Misalkan garis singgung yang ditarik di titik D memotong garis-garis tersebut di titik K, L, M, N. Mari kita menggambar juga segmen AD dan DB. Misalkan garis EL memotong garis AD di titik G, dan parabola di titik H; garis FM memotong garis DB di titik Q, dan parabola di titik R. Menurut teori umum penampang kerucut, DC adalah diameter parabola (yaitu segmen yang sejajar dengan sumbunya); itu dan garis singgung di titik D dapat berfungsi sebagai sumbu koordinat x dan y, dimana persamaan parabola ditulis sebagai y 2 = 2px (x adalah jarak dari D ke titik mana pun dengan diameter tertentu, y adalah panjang segmen yang sejajar dengan garis singgung tertentu dari titik diameter ini ke suatu titik pada parabola itu sendiri).
Berdasarkan persamaan parabola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, dan karena DK = 2DL, maka KA = 4LH. Karena KA = 2LG, LH = HG. Luas ruas ADB parabola sama dengan luas segitiga ADB dan luas gabungan ruas AHD dan DRB. Pada gilirannya, luas segmen AHD sama dengan luas segitiga AHD dan sisa segmen AH dan HD, yang masing-masing dapat melakukan operasi yang sama - dipecah menjadi segitiga (Δ) dan dua segmen yang tersisa (), dll.:
Luas segitiga AHD sama dengan setengah luas segitiga ALD (mereka mempunyai alas yang sama AD, dan tingginya berbeda 2 kali), yang selanjutnya sama dengan setengah luas segitiga ΔAKD, sehingga setengah luas segitiga ΔACD. Jadi, luas segitiga ΔAHD sama dengan seperempat luas segitiga ΔACD. Demikian pula luas segitiga ΔDRB sama dengan seperempat luas segitiga ΔDFB. Jadi, luas segitiga ΔAHD dan ΔDRB jika digabungkan sama dengan seperempat luas segitiga ΔADB. Mengulangi operasi ini ketika diterapkan pada segmen AH, HD, DR dan RB akan memilih segitiga dari segmen tersebut, yang luasnya jika digabungkan akan 4 kali lebih kecil dari luas segitiga AHD dan DRB jika digabungkan, dan oleh karena itu 16 kali lebih kecil dari luas segitiga ADB. Dan seterusnya:
Dengan demikian, Archimedes membuktikan bahwa “setiap ruas antara garis lurus dan parabola merupakan empat pertiga segitiga yang mempunyai alas dan tinggi yang sama”.
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama. Perkembangan geometri dilambangkan dengan b1,b2,b3, …, bn, …
Sifat-sifat perkembangan geometri
Perbandingan suatu suku suatu galat geometri dengan suku sebelumnya sama dengan bilangan yang sama, yaitu b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ini mengikuti langsung dari definisi barisan aritmatika. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri. Biasanya penyebut suatu barisan geometri dilambangkan dengan huruf q.
Salah satu cara menentukan suatu barisan geometri adalah dengan menentukan suku pertamanya b1 dan penyebut kesalahan geometri q. Misalnya, b1=4, q=-2. Kedua kondisi ini menentukan barisan geometri 4, -8, 16, -32, ….
Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka barisan tersebut merupakan barisan monotonik. Misalnya barisan 2, 4,8,16,32, ... adalah barisan naik monoton (b1=2, q=2).
Jika penyebut suatu galat geometri adalah q=1, maka semua suku barisan geometri tersebut akan sama satu sama lain. Dalam kasus seperti ini, perkembangannya dikatakan sebagai barisan yang konstan.
Rumus suku ke-n dari perkembangan tersebut
Agar suatu barisan bilangan (bn) menjadi suatu barisan geometri, setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, harus merupakan rata-rata geometri dari anggota-anggota yang berdekatan. Artinya, persamaan berikut harus dipenuhi - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sembarang n>0, dimana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri adalah:
bn=b1*q^(n-1), di mana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.
Mari kita lihat contoh sederhana:
Pada barisan geometri b1=6, q=3, n=8 carilah bn.
Mari kita gunakan rumus suku ke-n suatu barisan geometri.
Perkembangan geometri adalah jenis barisan bilangan baru yang akan kita kenali. Agar kencan sukses, tidak ada salahnya setidaknya mengetahui dan memahami. Maka tidak akan ada masalah dengan perkembangan geometri.)
Apa itu perkembangan geometri? Konsep perkembangan geometri.
Kami memulai tur, seperti biasa, dengan dasar-dasarnya. Saya menulis urutan angka yang belum selesai:
1, 10, 100, 1000, 10000, …
Dapatkah Anda melihat polanya dan mengetahui angka mana yang akan muncul berikutnya? Ladanya bening, lalu menyusul angka 100.000, 1.000.000 dan seterusnya. Bahkan tanpa banyak usaha mental, semuanya jelas, bukan?)
OKE. Contoh lain. Saya menulis urutan ini:
1, 2, 4, 8, 16, …
Bisakah Anda mengetahui nomor mana yang akan muncul berikutnya, mengikuti nomor 16, dan namanya kedelapan anggota urutan? Jika Anda mengetahui bahwa itu adalah angka 128, maka bagus sekali. Jadi, separuh perjuangannya adalah pemahaman arti Dan poin-poin penting perkembangan geometri telah dilakukan. Anda dapat berkembang lebih jauh.)
Dan sekarang kita beralih lagi dari sensasi ke matematika yang ketat.
Poin-poin penting dari perkembangan geometri.
Poin Penting #1
Kemajuan geometris adalah urutan angka. Begitu pula dengan kemajuan. Tidak ada yang mewah. Hanya urutan ini yang diatur berbeda. Makanya tentu saja mempunyai nama yang berbeda ya...
Poin Penting #2
Dengan poin kunci kedua, pertanyaannya akan menjadi lebih rumit. Mari kita kembali sedikit dan mengingat sifat utama perkembangan aritmatika. Ini dia: setiap anggota berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Apakah mungkin untuk merumuskan sifat kunci serupa untuk suatu barisan geometri? Pikirkan sedikit... Perhatikan lebih dekat contoh yang diberikan. Apakah Anda dapat menebaknya? Ya! Dalam deret geometri (apa saja!), masing-masing anggotanya berbeda dengan anggota sebelumnya beberapa kali yang sama. Selalu!
Pada contoh pertama, angkanya adalah sepuluh. Anggota urutan mana pun yang Anda ambil, itu lebih besar dari yang sebelumnya sepuluh kali.
Pada contoh kedua, hasilnya adalah dua: setiap suku lebih besar dari suku sebelumnya dua kali.
Poin kunci inilah yang membedakan barisan geometri dengan barisan aritmatika. Dalam perkembangan aritmatika, setiap suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan nilai yang sama dengan suku sebelumnya. Dan di sini - perkalian periode sebelumnya dengan jumlah yang sama. Itulah perbedaannya.)
Poin Penting #3
Poin kunci ini benar-benar identik dengan perkembangan aritmatika. Yaitu: Setiap anggota barisan geometri berdiri pada tempatnya. Semuanya persis sama seperti pada perkembangan aritmatika dan komentar, menurut saya, tidak diperlukan. Ada suku pertama, ada suku pertama, dan seterusnya. Mari kita tukar setidaknya dua suku – polanya (dan bersamaan dengan itu perkembangan geometrinya) akan hilang. Yang tersisa hanyalah rangkaian angka tanpa logika apa pun.
Itu saja. Itulah inti dari perkembangan geometri.
Syarat dan sebutan.
Namun sekarang, setelah memahami arti dan poin-poin penting dari perkembangan geometri, kita dapat beralih ke teorinya. Kalau tidak, apalah artinya teori tanpa memahami maknanya, bukan?
Bagaimana cara menyatakan barisan geometri?
Bagaimana barisan geometri ditulis dalam bentuk umum? Tidak masalah! Setiap istilah perkembangan juga ditulis sebagai surat. Hanya untuk perkembangan aritmatika biasanya menggunakan huruf "A", untuk geometris – huruf "B". Nomor anggota, seperti biasa, ditunjukkan indeks di kanan bawah. Kami hanya mencantumkan anggota perkembangan itu sendiri, dipisahkan dengan koma atau titik koma.
Seperti ini:
b 1,B 2 , B 3 , B 4 , B 5 , B 6 , …
Secara singkat, perkembangan ini ditulis seperti ini: (bn) .
Atau seperti ini, untuk perkembangan terbatas:
b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.
b 1, b 2, …, b 29, b 30.
Atau, singkatnya:
(bn), N=30 .
Faktanya, itulah sebutannya. Semua sama, hanya hurufnya saja yang berbeda ya.) Dan sekarang kita langsung ke definisinya.
Pengertian barisan geometri.
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.
Itulah definisi keseluruhannya. Sebagian besar kata dan frasa jelas dan familier bagi Anda. Jika tentunya Anda memahami arti barisan geometri “di jari Anda” dan secara umum. Namun ada juga beberapa frasa baru yang ingin saya beri perhatian khusus.
Pertama, kata-kata: "anggota pertama yang mana bukan nol".
Pembatasan pada masa jabatan pertama ini tidak terjadi secara kebetulan. Menurut Anda apa yang akan terjadi jika anggota pertama B 1 akan sama dengan nol? Berapakah suku kedua jika setiap suku lebih besar dari suku sebelumnya? berapa kali sama? Katakanlah tiga kali? Mari kita lihat... Kalikan suku pertama (yaitu 0) dengan 3 dan dapatkan... nol! Lalu bagaimana dengan anggota ketiga? Juga nol! Dan suku keempat juga nol! Dan seterusnya…
Kami baru saja mendapatkan sekantong bagel, urutan angka nol:
0, 0, 0, 0, …
Tentu saja, urutan seperti itu mempunyai hak untuk hidup, tetapi tidak ada kepentingan praktisnya. Semuanya sudah jelas. Setiap anggotanya adalah nol. Jumlah sejumlah suku juga nol... Hal menarik apa yang dapat Anda lakukan dengannya? Tidak ada apa-apa…
Kata kunci berikut: "dikalikan dengan angka bukan nol yang sama."
Nomor yang sama ini juga memiliki nama khusus - penyebut barisan geometri. Mari kita mulai berkenalan.)
Penyebut suatu barisan geometri.
Semuanya sesederhana mengupas buah pir.
Penyebut suatu barisan geometri adalah bilangan (atau besaran) bukan nol yang menunjukkan berapa kalisetiap periode kemajuan lebih dari yang sebelumnya.
Sekali lagi, mirip dengan perkembangan aritmatika, kata kunci yang harus dicari dalam definisi ini adalah kata "lagi". Artinya setiap suku barisan geometri tersebut diperoleh perkalian ke penyebut ini anggota sebelumnya.
Biar saya jelaskan.
Untuk menghitungnya, katakanlah Kedua kontol, perlu mengambil Pertama anggota dan berkembang biak itu ke penyebutnya. Untuk perhitungan kesepuluh kontol, perlu mengambil kesembilan anggota dan berkembang biak itu ke penyebutnya.
Penyebut barisan geometri itu sendiri bisa berupa apa saja. Benar-benar siapa pun! Utuh, pecahan, positif, negatif, irasional - semuanya. Kecuali nol. Inilah yang disampaikan oleh kata “bukan nol” dalam definisi tersebut. Mengapa kata ini diperlukan di sini - lebih lanjut tentang itu nanti.
Penyebut barisan geometri paling sering ditunjukkan dengan surat itu Q.
Bagaimana menemukannya Q? Tidak masalah! Kita harus mengambil segala bentuk kemajuan dan dibagi dengan suku sebelumnya. Divisi adalah pecahan. Oleh karena itu namanya - "penyebut perkembangan". Penyebutnya, biasanya di pecahan ya...) Padahal, secara logika, nilainya Q harus dipanggil pribadi perkembangan geometri, mirip dengan perbedaan untuk perkembangan aritmatika. Tapi kami sepakat untuk menelepon penyebut. Dan kami juga tidak akan menemukan kembali rodanya.)
Mari kita tentukan, misalnya, kuantitasnya Q untuk perkembangan geometri ini:
2, 6, 18, 54, …
Semuanya dasar. Mari kita ambil setiap nomor urut. Kami mengambil apa pun yang kami inginkan. Kecuali yang pertama. Misalnya 18. Dan bagilah nomor sebelumnya. Artinya, jam 6.
Kita mendapatkan:
Q = 18/6 = 3
Itu saja. Ini adalah jawaban yang benar. Untuk barisan geometri ini, penyebutnya adalah tiga.
Sekarang mari kita cari penyebutnya Q untuk perkembangan geometri lainnya. Misalnya yang ini:
1, -2, 4, -8, 16, …
Semua sama. Apapun tanda yang dimiliki anggotanya, kami tetap ambil setiap nomor barisan (misalnya 16) dan bagi dengan nomor sebelumnya(yaitu -8).
Kita mendapatkan:
D = 16/(-8) = -2
Dan itu saja.) Kali ini penyebut perkembangannya ternyata negatif. Dikurangi dua. Terjadi.)
Sekarang mari kita ambil kemajuan ini:
1, 1/3, 1/9, 1/27, …
Dan lagi, terlepas dari jenis bilangan dalam barisan tersebut (baik bilangan bulat, pecahan genap, genap negatif, genap irasional), kita ambil bilangan apa saja (misalnya 1/9) dan membaginya dengan bilangan sebelumnya (1/3). Sesuai aturan bekerja dengan pecahan tentunya.
Kita mendapatkan:
Itu saja.) Di sini penyebutnya ternyata pecahan: Q = 1/3.
Apa pendapat Anda tentang “kemajuan” ini?
3, 3, 3, 3, 3, …
Jelas di sini Q = 1 . Secara formal, ini juga merupakan barisan geometri, hanya dengan anggota yang identik.) Namun kemajuan seperti itu tidak menarik untuk dipelajari dan diterapkan secara praktis. Sama seperti perkembangan dengan angka nol padat. Oleh karena itu, kami tidak akan mempertimbangkannya.
Seperti yang Anda lihat, penyebut suatu perkembangan bisa berupa apa saja - bilangan bulat, pecahan, positif, negatif - apa saja! Tidak mungkin hanya nol. Tidak bisa menebak alasannya?
Baiklah, mari kita gunakan beberapa contoh spesifik untuk melihat apa yang akan terjadi jika kita mengambil penyebutnya Q nol.) Mari kita, misalnya, punya B 1 = 2 , A Q = 0 . Lalu suku kedua akan sama dengan apa?
Kita menghitung:
B 2 = B 1 · Q= 2 0 = 0
Lalu bagaimana dengan anggota ketiga?
B 3 = B 2 · Q= 0 0 = 0
Jenis dan perilaku barisan geometri.
Semuanya kurang lebih jelas: apakah perkembangannya berbeda D positif, maka perkembangannya meningkat. Jika selisihnya negatif, maka perkembangannya menurun. Hanya ada dua pilihan. Tidak ada yang ketiga.)
Namun dengan perilaku deret geometri, semuanya akan jauh lebih menarik dan bervariasi!)
Tidak peduli bagaimana suku-suku tersebut berperilaku di sini: suku-suku tersebut bertambah, berkurang, dan mendekati nol tanpa batas waktu, dan bahkan mengubah tanda, secara bergantian melemparkan dirinya ke dalam “plus” dan kemudian ke “minus”! Dan dalam segala keberagaman ini kamu harus bisa memahaminya dengan baik ya...
Mari kita cari tahu?) Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana.
Penyebutnya positif ( Q >0)
Dengan penyebut positif, pertama-tama suku-suku suatu barisan geometri dapat berubah menjadi ditambah tak terhingga(yaitu meningkat tanpa batas) dan bisa masuk ke dikurangi tak terhingga(yaitu, berkurang tanpa batas). Kita sudah terbiasa dengan perilaku progresif ini.
Misalnya:
(bn): 1, 2, 4, 8, 16, …
Semuanya sederhana di sini. Setiap suku perkembangan diperoleh lebih dari sebelumnya. Apalagi setiap istilahnya ternyata perkalian anggota sebelumnya pada positif angka +2 (yaitu. Q = 2 ). Perilaku perkembangan seperti itu jelas: semua anggota perkembangan tumbuh tanpa batas, menuju ruang angkasa. Ditambah tak terbatas...
Dan sekarang inilah perkembangannya:
(bn): -1, -2, -4, -8, -16, …
Di sini juga, setiap suku perkembangan diperoleh perkalian anggota sebelumnya pada positif nomor +2. Namun perilaku deret tersebut justru sebaliknya: setiap suku dari deret tersebut diperoleh kurang dari sebelumnya, dan semua sukunya berkurang tanpa batas, hingga minus tak terhingga.
Sekarang mari kita berpikir: apa persamaan dari kedua perkembangan ini? Benar, penyebutnya! Di sana-sini Q = +2 . Nomor positif. Dua. Dan di sini perilaku Kedua perkembangan ini pada dasarnya berbeda! Tidak bisa menebak alasannya? Ya! Semua tentang anggota pertama! Dialah, seperti yang mereka katakan, yang menentukan nada.) Lihat sendiri.
Dalam kasus pertama, suku pertama perkembangannya positif(+1) dan, oleh karena itu, semua suku berikutnya diperoleh dengan mengalikannya positif penyebut Q = +2 , juga akan positif.
Namun dalam kasus kedua, istilah pertama negatif(-1). Oleh karena itu, semua suku perkembangan selanjutnya, diperoleh dengan mengalikan dengan positif Q = +2 , juga akan diperoleh negatif. Karena “minus” ke “plus” selalu menghasilkan “minus”, ya.)
Seperti yang Anda lihat, tidak seperti barisan aritmatika, barisan geometri dapat berperilaku sangat berbeda, tidak hanya bergantung dari penyebutnyaQ, tetapi juga tergantung dari anggota pertama, Ya.)
Ingat: perilaku suatu barisan geometri ditentukan secara unik oleh suku pertamanya B 1 dan penyebutQ .
Dan sekarang kita mulai menganalisis kasus-kasus yang kurang familiar, tetapi jauh lebih menarik!
Mari kita ambil contoh urutan ini:
(bn): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
Barisan ini juga merupakan barisan geometri! Setiap suku dari perkembangan ini juga berubah perkalian anggota sebelumnya, dengan nomor yang sama. Itu hanya angka - pecahan: Q = +1/2 . Atau +0,5 . Apalagi (penting!) nomornya kurang dari satu:Q = 1/2<1.
Mengapa perkembangan geometri ini menarik? Kemana tujuan para anggotanya? Mari kita lihat:
1/2 = 0,5;
1/4 = 0,25;
1/8 = 0,125;
1/16 = 0,0625;
…….
Hal menarik apa yang bisa kamu perhatikan di sini? Pertama, penurunan kemajuan segera terlihat: masing-masing anggotanya lebih sedikit persis yang sebelumnya 2 kali. Atau, menurut definisi barisan geometri, setiap suku lagi sebelumnya 1/2 kali, Karena penyebut perkembangan Q = 1/2 . Dan kalau dikalikan dengan bilangan positif kurang dari satu biasanya hasilnya berkurang ya...
Apa lagi dapat dilihat dalam perilaku perkembangan ini? Apakah anggotanya berkurang? tak terbatas, menuju minus tak terhingga? TIDAK! Mereka menghilang dengan cara yang khusus. Mula-mula penurunannya cukup cepat, dan kemudian semakin lambat. Dan sambil tetap tinggal sepanjang waktu positif. Meski sangat, sangat kecil. Dan apa yang mereka perjuangkan? Tidakkah kamu menebaknya? Ya! Mereka berusaha menuju nol!) Terlebih lagi, perhatikan, anggota perkembangan kita berasal dari nol tidak pernah mencapai! Hanya mendekatinya sangat dekat. Ini sangat penting.)
Situasi serupa akan terjadi pada perkembangan berikut:
(bn): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …
Di Sini B 1 = -1 , A Q = 1/2 . Semuanya sama, hanya sekarang sukunya akan mendekati nol di sisi lain, dari bawah. Tinggal sepanjang waktu negatif.)
Suatu barisan geometri yang syarat-syaratnya mendekati nol tanpa batas(tidak peduli dari sisi positif atau negatif), dalam matematika memiliki nama khusus - perkembangan geometri yang menurun tanpa batas. Perkembangan ini sangat menarik dan tidak biasa bahkan akan dibahas pelajaran terpisah .)
Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kemungkinan positif penyebutnya ada yang besar dan ada yang lebih kecil. Kami tidak menganggap satuan itu sendiri sebagai penyebut karena alasan yang disebutkan di atas (ingat contoh barisan kembar tiga...)
Mari kita rangkum:
positifDan lebih dari satu (Q>1), maka syarat perkembangannya:
A) meningkat tanpa batas (jikaB 1 >0);
b) berkurang tanpa batas (jikaB 1 <0).
Jika penyebut suatu barisan geometri positif Dan kurang dari satu (0< Q<1), то члены прогрессии:
a) sangat mendekati nol di atas(JikaB 1 >0);
b) sangat mendekati nol dari bawah(JikaB 1 <0).
Sekarang tinggal mempertimbangkan kasus ini penyebut negatif.
Penyebutnya negatif ( Q <0)
Kami tidak akan mengambil contoh yang jauh. Kenapa, tepatnya, nenek berbulu lebat?!) Misalkan, suku pertama dari perkembangannya adalah B 1 = 1 , dan ambil penyebutnya q = -2.
Kami mendapatkan urutan berikut:
(bn): 1, -2, 4, -8, 16, …
Dan seterusnya.) Setiap suku perkembangan diperoleh perkalian anggota sebelumnya pada angka negatif-2. Dalam hal ini, semua anggota yang berdiri di tempat ganjil (pertama, ketiga, kelima, dst.) akan menjadi positif, dan di tempat genap (kedua, keempat, dst.) – negatif. Tanda-tandanya bergantian. Plus-minus-plus-minus... Perkembangan geometri ini disebut - tanda naik bergantian.
Kemana tujuan para anggotanya? Tapi tidak kemana-mana.) Ya, dalam nilai absolut (yaitu modulo) anggota kemajuan kami meningkat tanpa batas (karena itu dinamakan “bertambah”). Tetapi pada saat yang sama, setiap anggota perkembangan secara bergantian melemparkan Anda ke dalam panas atau dingin. Entah “plus” atau “minus”. Kemajuan kita goyah... Terlebih lagi, ruang lingkup fluktuasinya berkembang pesat di setiap langkah, ya.) Oleh karena itu, aspirasi para anggota kemajuan menuju ke suatu tempat. secara khusus Di Sini TIDAK. Tidak ke plus tak terhingga, atau ke minus tak terhingga, atau ke nol - tidak ada tempat.
Sekarang mari kita perhatikan beberapa penyebut pecahan antara nol dan minus satu.
Misalnya, biarkan saja B 1 = 1 , A q = -1/2.
Kemudian kita mendapatkan perkembangannya:
(bn): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …
Dan sekali lagi kita memiliki tanda-tanda yang bergantian! Namun, berbeda dengan contoh sebelumnya, di sini sudah terdapat kecenderungan yang jelas bahwa suku-sukunya mendekati nol.) Hanya saja kali ini suku-suku kami mendekati nol tidak hanya dari atas atau bawah, tetapi sekali lagi ragu-ragu. Secara bergantian mengambil nilai positif dan negatif. Tapi di saat yang sama mereka modul semakin dekat dan semakin dekat ke angka nol yang disayangi.)
Perkembangan geometri ini disebut tanda menurun tak terhingga, bergantian.
Mengapa kedua contoh ini menarik? Dan fakta bahwa dalam kedua kasus itu terjadi tanda-tanda bergantian! Trik ini hanya berlaku untuk barisan yang penyebutnya negatif ya.) Oleh karena itu, jika dalam suatu tugas kamu melihat barisan geometri yang suku-sukunya berselang-seling, kamu sudah tahu pasti bahwa penyebutnya 100% negatif dan kamu tidak akan membuat kesalahan. dalam tanda.)
Ngomong-ngomong, dalam kasus penyebut negatif, tanda suku pertama tidak mempengaruhi perilaku perkembangan itu sendiri. Terlepas dari tanda suku pertama perkembangannya, bagaimanapun juga, tanda suku tersebut akan diperhatikan. Satu-satunya pertanyaan adalah, di tempat apa(genap atau ganjil) akan ada anggota dengan tanda-tanda tertentu.
Ingat:
Jika penyebut suatu barisan geometri negatif , maka tanda-tanda syarat perkembangannya selalu bergantian.
Pada saat yang sama, para anggotanya sendiri:
a) meningkat tanpa batasmodulo, JikaQ<-1;
b) mendekati nol tanpa batas jika -1< Q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).
Itu saja. Semua kasus tipikal telah dianalisis.)
Dalam proses menganalisis berbagai contoh barisan geometri, saya secara berkala menggunakan kata-kata: "cenderung nol", "cenderung ditambah tak terhingga", "cenderung minus tak terhingga"... Tidak apa-apa.) Kiasan ini (dan contoh spesifiknya) hanyalah pengenalan awal perilaku berbagai urutan angka. Menggunakan contoh barisan geometri.
Mengapa kita perlu mengetahui perilaku perkembangan? Apa bedanya kemana dia pergi? Menuju nol, ke plus tak terhingga, ke minus tak terhingga… Apa pengaruhnya bagi kita?
Masalahnya adalah bahwa sudah di universitas, dalam mata kuliah matematika yang lebih tinggi, Anda akan memerlukan kemampuan untuk bekerja dengan berbagai macam barisan numerik (dengan apa pun, bukan hanya perkembangan!) dan kemampuan untuk membayangkan dengan tepat bagaimana barisan ini atau itu. berperilaku - apakah bertambah, apakah berkurang tanpa batas, apakah cenderung ke bilangan tertentu (dan belum tentu nol), atau bahkan tidak cenderung ke apa pun sama sekali... Seluruh bagian dikhususkan untuk topik ini dalam kursus matematika analisis - teori batasan. Dan sedikit lebih spesifik - konsepnya batas barisan bilangan. Sebuah topik yang sangat menarik! Masuk akal untuk pergi ke perguruan tinggi dan mencari tahu.)
Beberapa contoh dari bagian ini (deretan yang mempunyai limit) dan khususnya, perkembangan geometri yang menurun tanpa batas Mereka mulai terbiasa di sekolah. Kami mulai terbiasa.)
Selain itu, kemampuan mempelajari dengan baik perilaku barisan akan sangat bermanfaat bagi Anda di kemudian hari dan akan sangat berguna di masa depan penelitian fungsi. Yang paling beragam. Tetapi kemampuan untuk bekerja secara kompeten dengan fungsi (menghitung turunan, mempelajarinya secara lengkap, membuat grafiknya) telah meningkatkan level matematika Anda secara dramatis! Apakah Anda ragu? Tidak dibutuhkan. Ingat juga kata-kataku.)
Mari kita lihat perkembangan geometri dalam kehidupan?
Dalam kehidupan di sekitar kita, kita sangat sering menjumpai perkembangan geometri. Bahkan tanpa menyadarinya.)
Misalnya, berbagai mikroorganisme yang ada di mana-mana di sekitar kita dalam jumlah besar dan yang bahkan tidak dapat kita lihat tanpa mikroskop, berkembang biak secara eksponensial secara eksponensial.
Katakanlah satu bakteri berkembang biak dengan membelah diri menjadi dua, menghasilkan keturunan menjadi 2 bakteri. Pada gilirannya, masing-masing bakteri, ketika berkembang biak, juga membelah menjadi dua, menghasilkan keturunan umum yang terdiri dari 4 bakteri. Generasi selanjutnya akan menghasilkan 8 bakteri, kemudian 16 bakteri, 32, 64 dan seterusnya. Pada setiap generasi berikutnya, jumlah bakteri bertambah dua kali lipat. Contoh khas perkembangan geometri.)
Selain itu, beberapa serangga – kutu daun dan lalat – berkembang biak secara eksponensial. Dan terkadang kelinci juga.)
Contoh lain dari barisan geometri yang lebih dekat dengan kehidupan sehari-hari adalah apa yang disebut bunga majemuk. Fenomena menarik ini sering ditemukan pada deposito bank dan disebut kapitalisasi bunga. Apa itu?
Anda sendiri tentu saja masih muda. Anda pergi ke sekolah, jangan pergi ke bank. Tapi orang tuamu sudah dewasa dan mandiri. Mereka pergi bekerja, mencari uang untuk memenuhi kebutuhan sehari-hari, dan menyimpan sebagian uangnya di bank, lalu menabung.)
Misalkan ayah Anda ingin menabung sejumlah uang untuk liburan keluarga di Turki dan menyimpan 50.000 rubel di bank dengan bunga 10% per tahun untuk jangka waktu tiga tahun. dengan kapitalisasi bunga tahunan. Selain itu, selama periode ini tidak ada yang dapat dilakukan dengan deposit tersebut. Anda tidak dapat mengisi kembali deposit atau menarik uang dari akun. Berapa keuntungan yang didapatnya setelah tiga tahun ini?
Pertama-tama, kita perlu mencari tahu apa itu 10% per tahun. Artinya dalam setahun Bank akan menambahkan 10% ke jumlah setoran awal. Dari apa? Tentu saja dari jumlah setoran awal.
Kami menghitung ukuran akun setelah satu tahun. Jika jumlah setoran awal adalah 50.000 rubel (yaitu 100%), maka setelah satu tahun akan ada berapa bunga di akun tersebut? Benar, 110%! Dari 50.000 rubel.
Jadi kami menghitung 110% dari 50.000 rubel:
50.000·1.1 = 55.000 rubel.
Saya harap Anda memahami bahwa mencari 110% suatu nilai berarti mengalikan nilai tersebut dengan angka 1,1? Jika Anda tidak mengerti mengapa demikian, ingatlah kelas lima dan enam. Yaitu – hubungan antara persentase dan pecahan dan bagian.)
Dengan demikian, kenaikan untuk tahun pertama akan berjumlah 5.000 rubel.
Berapa banyak uang yang akan masuk ke rekening dalam dua tahun? 60.000 rubel? Sayangnya (atau lebih tepatnya, untungnya), semuanya tidak sesederhana itu. Seluruh trik kapitalisasi bunga adalah bahwa dengan setiap bunga baru yang diperoleh, kepentingan yang sama akan dianggap sudah dari jumlah baru! Dari orang yang sudah ada di akun Saat ini. Dan bunga yang diperoleh untuk periode sebelumnya ditambahkan ke jumlah setoran awal dan, dengan demikian, ikut serta dalam perhitungan bunga baru! Artinya, mereka menjadi bagian penuh dari keseluruhan akun. Atau umum modal. Maka nama - kapitalisasi bunga.
Itu di bidang ekonomi. Dan dalam matematika, persentase seperti itu disebut bunga majemuk. Atau persentase bunga.) Trik mereka adalah ketika menghitung secara berurutan, persentasenya dihitung setiap kali dari nilai baru. Dan bukan dari aslinya...
Oleh karena itu, untuk menghitung jumlahnya melalui dua tahun, kita perlu menghitung 110% dari jumlah yang akan ada di rekening dalam setahun. Artinya, sudah dari 55.000 rubel.
Kami menghitung 110% dari 55.000 rubel:
55000·1,1 = 60500 rubel.
Ini berarti persentase kenaikan untuk tahun kedua adalah 5.500 rubel, dan untuk dua tahun – 10.500 rubel.
Sekarang Anda sudah bisa menebak bahwa setelah tiga tahun jumlah di rekening akan menjadi 110% dari 60.500 rubel. Itu lagi 110% dari sebelumnya (tahun lalu) jumlah.
Di sini kami berpikir:
60500·1,1 = 66550 rubel.
Sekarang kita menyusun jumlah uang kita berdasarkan tahun secara berurutan:
50000;
55.000 = 50.000·1.1;
60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;
66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1
Jadi gimana? Mengapa bukan deret geometri? Anggota pertama B 1 = 50000 , dan penyebutnya Q = 1,1 . Setiap periode 1,1 kali lebih besar dari periode sebelumnya. Semuanya sesuai dengan definisinya.)
Dan berapa banyak bonus bunga tambahan yang akan “diakumulasi” ayah Anda sementara 50.000 rubelnya disimpan di rekening banknya selama tiga tahun?
Kita menghitung:
66550 – 50000 = 16550 rubel
Tentu saja tidak banyak. Namun ini jika jumlah setoran awal kecil. Bagaimana jika ada lebih banyak? Katakanlah, bukan 50, tapi 200 ribu rubel? Maka peningkatannya selama tiga tahun akan menjadi 66.200 rubel (jika Anda menghitungnya). Yang mana sudah sangat bagus.) Bagaimana jika kontribusinya lebih besar lagi? Itu dia...
Kesimpulan: semakin tinggi setoran awal, semakin menguntungkan kapitalisasi bunga. Itu sebabnya simpanan dengan kapitalisasi bunga disediakan bank untuk jangka waktu lama. Katakanlah selama lima tahun.
Selain itu, segala jenis penyakit buruk seperti influenza, campak, dan bahkan penyakit yang lebih mengerikan lagi (SARS yang sama di awal tahun 2000an atau wabah di Abad Pertengahan) suka menyebar secara eksponensial. Oleh karena itu skala epideminya, ya...) Dan semua karena fakta bahwa perkembangan geometrik dengan penyebut positif keseluruhan (Q>1) – sesuatu yang tumbuh sangat cepat! Ingat reproduksi bakteri: dari satu bakteri diperoleh dua, dari dua - empat, dari empat - delapan, dan seterusnya... Sama halnya dengan penyebaran infeksi apa pun.)
Masalah paling sederhana pada perkembangan geometri.
Mari kita mulai, seperti biasa, dengan masalah sederhana. Murni untuk memahami maknanya.
1. Diketahui suku kedua suatu barisan geometri sama dengan 6 dan penyebutnya sama dengan -0,5. Temukan suku pertama, ketiga, dan keempatnya.
Jadi kita diberikan tak ada habisnya perkembangan geometri, tetapi diketahui istilah kedua perkembangan ini:
b 2 = 6
Selain itu, kita juga tahu penyebut perkembangan:
q = -0,5
Dan Anda perlu menemukannya pertama, ketiga Dan keempat anggota perkembangan ini.
Jadi kami bertindak. Kita tuliskan urutannya sesuai dengan kondisi soal. Langsung dalam bentuk umum, suku kedua sama dengan enam:
b 1, 6,B 3 , B 4 , …
Sekarang mari kita mulai mencari. Kami memulai, seperti biasa, dengan yang paling sederhana. Anda dapat menghitung, misalnya, suku ketiga b 3? Bisa! Anda dan saya sudah mengetahui (secara langsung dalam pengertian barisan geometri) bahwa suku ketiga (b 3) lebih dari yang kedua (B 2 ) V "Q" sekali!
Jadi kami menulis:
b 3 =B 2 · Q
Kami mengganti enam ke dalam ekspresi ini sebagai gantinya b 2 dan -0,5 sebagai gantinya Q dan kami menghitung. Dan minusnya juga tidak kami abaikan tentunya…
b 3 = 6·(-0,5) = -3
Seperti ini. Suku ketiga ternyata negatif. Tidak heran: penyebut kita Q– negatif. Dan mengalikan plus dengan minus tentu saja akan menjadi minus.)
Sekarang kita menghitung suku keempat perkembangan berikutnya:
b 4 =B 3 · Q
b 4 = -3·(-0,5) = 1,5
Suku keempat lagi-lagi dengan nilai plus. Suku kelima lagi minus, suku keenam plus, dan seterusnya. Tanda-tandanya bergantian!
Jadi, istilah ketiga dan keempat ditemukan. Hasilnya adalah urutan berikut:
b 1 ; 6; -3; 1,5; ...
Sekarang yang tersisa hanyalah mencari suku pertama b 1 menurut yang kedua yang terkenal. Untuk melakukan ini, kita melangkah ke arah lain, ke kiri. Artinya dalam hal ini kita tidak perlu mengalikan suku kedua dari barisan tersebut dengan penyebutnya, tetapi membagi.
Kami membagi dan mendapatkan:
Itu saja.) Jawaban soalnya adalah seperti ini:
-12; 6; -3; 1,5; …
Seperti yang Anda lihat, prinsip penyelesaiannya sama seperti di . Kita tahu setiap anggota dan penyebut perkembangan geometri - kita dapat menemukan anggota lainnya. Kita cari yang kita mau.) Satu-satunya perbedaan adalah penjumlahan/pengurangan diganti dengan perkalian/pembagian.
Ingat: jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan penyebut suatu barisan geometri, maka kita selalu dapat menemukan anggota lain dari barisan tersebut.
Masalah berikut, menurut tradisi, berasal dari versi OGE yang sebenarnya:
2.
...; 150; X; 6; 1.2; ...
Jadi gimana? Kali ini tidak ada suku pertama, tidak ada penyebut Q, hanya diberi urutan angka saja.. Sudah familiar kan? Ya! Masalah serupa telah diselesaikan dalam perkembangan aritmatika!
Jadi kami tidak takut. Semua sama. Mari kita menoleh dan mengingat makna dasar perkembangan geometri. Kami memperhatikan barisan kami dengan cermat dan mencari tahu parameter barisan geometri mana dari tiga barisan utama (suku pertama, penyebut, nomor suku) yang tersembunyi di dalamnya.
Nomor anggota? Nomor keanggotaannya tidak ada ya... Tapi ada empat berurutan angka. Saya tidak melihat ada gunanya menjelaskan arti kata ini pada tahap ini.) Apakah ada dua dalam urutan ini? nomor tetangga yang diketahui? Makan! Ini adalah 6 dan 1.2. Jadi kita bisa menemukannya penyebut perkembangan. Jadi kita ambil angka 1.2 dan membaginya ke nomor sebelumnya. Ke enam.
Kita mendapatkan:
Kita mendapatkan:
X= 150·0,2 = 30
Menjawab: X = 30 .
Seperti yang Anda lihat, semuanya cukup sederhana. Kesulitan utama hanya pada perhitungannya. Hal ini sangat sulit terutama dalam kasus penyebut negatif dan pecahan. Jadi bagi yang punya masalah, ulangi perhitungannya! Cara mengerjakan pecahan, cara mengerjakan bilangan negatif, dan sebagainya... Jika tidak, Anda akan melambat tanpa ampun di sini.
Sekarang mari kita ubah sedikit masalahnya. Sekarang ini akan menjadi menarik! Mari kita hapus angka terakhir 1.2 darinya. Sekarang mari kita selesaikan masalah ini:
3. Beberapa suku barisan geometri yang berurutan dituliskan:
...; 150; X; 6; ...
Tentukan suku barisan yang dilambangkan dengan huruf x.
Semuanya sama, hanya dua yang berdekatan terkenal Kami sekarang tidak memiliki anggota kemajuan. Ini adalah masalah utama. Karena besarnya Q melalui dua suku yang bertetangga kita dapat dengan mudah menentukannya kita tidak bisa. Apakah kita memiliki kesempatan untuk mengatasi tugas tersebut? Tentu!
Mari kita tuliskan istilah yang tidak diketahui " X"secara langsung dalam arti perkembangan geometri! Secara umum.
Ya ya! Benar dengan penyebut yang tidak diketahui!
Di satu sisi, untuk X kita dapat menulis rasio berikut:
X= 150·Q
Di sisi lain, kami berhak mendeskripsikan X yang sama ini secara menyeluruh Berikutnya anggota, sampai enam! Bagilah enam dengan penyebutnya.
Seperti ini:
X = 6/ Q
Tentunya sekarang kita bisa menyamakan kedua rasio tersebut. Karena kami berekspresi sama besarnya (x), tetapi dua cara yang berbeda.
Kami mendapatkan persamaan:
Mengalikan semuanya dengan Q, menyederhanakan dan memperpendek, kita mendapatkan persamaan:
q2 = 1/25
Kami memecahkan dan mendapatkan:
q = ±1/5 = ±0,2
Ups! Penyebutnya ternyata dua kali lipat! +0,2 dan -0,2. Dan mana yang harus Anda pilih? Jalan buntu?
Tenang! Ya, masalahnya memang ada dua solusi! Tidak ada yang salah dengan itu. Itu terjadi.) Anda tidak terkejut ketika, misalnya, Anda mendapatkan dua akar saat menyelesaikan masalah biasa? Ceritanya sama di sini.)
Untuk q = +0,2 kita akan mendapatkan:
X = 150 0,2 = 30
Dan untuk Q = -0,2 akan:
X = 150·(-0,2) = -30
Kami mendapat jawaban ganda: X = 30; X = -30.
Apa maksud dari fakta menarik ini? Dan apa yang ada dua kemajuan, memenuhi kondisi masalah!
Seperti yang ini:
…; 150; 30; 6; …
…; 150; -30; 6; …
Keduanya cocok.) Menurut Anda mengapa jawaban kita berbeda? Hanya karena penghapusan anggota perkembangan tertentu (1,2), yang terjadi setelah enam. Dan hanya dengan mengetahui suku-suku sebelumnya (n-1) dan selanjutnya (n+1) dari barisan geometri tersebut, kita tidak dapat lagi mengatakan apa pun dengan jelas tentang suku ke-n yang berada di antara suku-suku tersebut. Ada dua opsi – dengan plus dan minus.
Tapi tidak masalah. Biasanya, dalam tugas perkembangan geometri terdapat informasi tambahan yang memberikan jawaban yang jelas. Katakanlah kata-kata: "perkembangan bergantian" atau "perkembangan dengan penyebut positif" dan seterusnya... Kata-kata inilah yang seharusnya menjadi petunjuk tanda plus atau minus mana yang harus dipilih saat mempersiapkan jawaban akhir. Jika tidak ada informasi seperti itu, maka ya, tugas akan ada dua solusi.)
Sekarang kami memutuskan sendiri.
4. Tentukan apakah bilangan 20 merupakan anggota suatu barisan geometri:
4 ; 6; 9; …
5. Diberikan tanda barisan geometri berselang-seling:
…; 5; X ; 45; …
Temukan istilah perkembangan yang ditunjukkan oleh surat itu X .
6. Tentukan suku positif keempat suatu barisan geometri:
625; -250; 100; …
7. Suku kedua suatu barisan geometri sama dengan -360, dan suku kelimanya sama dengan 23,04. Temukan suku pertama dari perkembangan ini.
Jawaban (tidak teratur): -15; 900; TIDAK; 2.56.
Selamat jika semuanya berhasil!
Ada yang tidak cocok? Di suatu tempat ada jawaban ganda? Bacalah ketentuan tugas dengan cermat!
Masalah terakhir tidak berhasil? Tidak ada yang rumit di sana.) Kami bekerja secara langsung sesuai dengan pengertian barisan geometri. Nah, Anda bisa menggambar. Itu membantu.)
Seperti yang Anda lihat, semuanya dasar. Jika perkembangannya singkat. Bagaimana jika itu panjang? Ataukah jumlah anggota yang dibutuhkan sangat banyak? Saya ingin, dengan analogi dengan perkembangan aritmatika, mendapatkan rumus yang mudah digunakan yang membuatnya mudah ditemukan setiap suku suatu barisan geometri dengan nomornya. Tanpa mengalikannya berkali-kali Q. Dan ada rumus seperti itu!) Detailnya ada di pelajaran berikutnya.
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri sangat sederhana. Baik secara makna maupun tampilannya secara umum. Namun ada berbagai macam masalah pada rumus suku ke-n - dari yang sangat primitif hingga yang cukup serius. Dan dalam proses perkenalan kami, kami pasti akan mempertimbangkan keduanya. Baiklah, mari berkenalan?)
Jadi, sebenarnya untuk memulainya rumusN
Ini dia:
bn = B 1 · qn -1
Rumusnya hanyalah rumus, tidak ada yang ghaib. Tampilannya bahkan lebih sederhana dan ringkas dibandingkan formula serupa. Arti rumusnya juga sesederhana sepatu bot felt.
Rumus ini memungkinkan Anda menemukan anggota barisan geometri APAPUN DENGAN NOMORNYA " N".
Seperti yang Anda lihat, maknanya adalah analogi lengkap dengan perkembangan aritmatika. Kita mengetahui bilangan n - kita juga dapat menghitung suku di bawah bilangan ini. Apapun yang kita inginkan. Tanpa berulang kali mengalikan dengan "q" berkali-kali. Itulah intinya.)
Saya memahami bahwa pada tingkat pengerjaan perkembangan ini, semua besaran yang termasuk dalam rumus seharusnya sudah jelas bagi Anda, tetapi saya tetap menganggap tugas saya untuk menguraikan masing-masing besaran tersebut. Untuk berjaga-jaga.
Jadi, ini dia:
B 1 – Pertama istilah barisan geometri;
Q – ;
N- nomor anggota;
bn – ke-n (Nth) suku suatu barisan geometri.
Rumus ini menghubungkan empat parameter utama dari setiap deret geometri - BN, B 1 , Q Dan N. Dan semua permasalahan perkembangan berkisar pada empat tokoh kunci ini.
“Bagaimana cara menghilangkannya?”– Saya mendengar pertanyaan aneh... Dasar! Lihat!
Apa yang setara dengan Kedua anggota kemajuan? Tidak masalah! Kami menulis langsung:
b 2 = b 1 ·q
Lalu bagaimana dengan anggota ketiga? Tidak masalah juga! Kami mengalikan suku kedua sekali lagi aktifQ.
Seperti ini:
B 3 = b 2 q
Sekarang mari kita ingat bahwa suku kedua, pada gilirannya, sama dengan b 1 ·q dan substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan kita:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Kita mendapatkan:
B 3 = b 1 ·q 2
Sekarang mari kita baca entri kami dalam bahasa Rusia: ketiga suku sama dengan suku pertama dikalikan q in Kedua derajat. Apa kau mengerti? Belum? Oke, satu langkah lagi.
Apa suku keempat? Semua sama! Berkembang biak sebelumnya(yaitu suku ketiga) pada q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Total:
B 4 = b 1 ·q 3
Dan sekali lagi kami menerjemahkan ke dalam bahasa Rusia: keempat suku sama dengan suku pertama dikalikan q in ketiga derajat.
Dan seterusnya. Jadi gimana? Apakah Anda menangkap polanya? Ya! Untuk suku apa pun dengan bilangan berapa pun, jumlah faktor identik q (yaitu derajat penyebutnya) akan selalu sama dengan satu kurang dari jumlah anggota yang diinginkanN.
Oleh karena itu, rumus kami adalah, tanpa opsi:
b n =B 1 · qn -1
Itu saja.)
Baiklah, mari kita selesaikan masalahnya, ya?)
Memecahkan masalah rumusNsuku ke suatu barisan geometri.
Mari kita mulai, seperti biasa, dengan penerapan rumus secara langsung. Inilah masalah umum:
Diketahui secara deret geometri B 1 = 512 dan Q = -1/2. Temukan suku kesepuluh dari perkembangan tersebut.
Tentu saja masalah ini bisa diselesaikan tanpa rumus sama sekali. Langsung dalam arti deret geometri. Tapi kita perlu pemanasan dulu dengan rumus suku ke-n kan? Di sini kita melakukan pemanasan.
Data kami untuk menerapkan rumus tersebut adalah sebagai berikut.
Anggota pertama diketahui. Ini 512.
B 1 = 512.
Penyebut perkembangannya juga diketahui: Q = -1/2.
Tinggal mencari tahu banyaknya anggota n. Tidak masalah! Apakah kita tertarik dengan semester kesepuluh? Jadi kita substitusikan sepuluh, bukan n ke dalam rumus umum.
Dan hati-hati menghitung aritmatika:
Jawaban 1
Seperti yang Anda lihat, suku kesepuluh dari perkembangan tersebut ternyata negatif. Tidak ada yang mengejutkan: penyebut perkembangan kita adalah -1/2, yaitu. negatif nomor. Dan ini memberitahu kita bahwa tanda-tanda kemajuan kita bergantian, ya.)
Semuanya sederhana di sini. Ini adalah soal serupa, tetapi sedikit lebih rumit dalam hal perhitungannya.
Diketahui secara deret geometri:
B 1 = 3
Temukan suku ketiga belas dari perkembangan tersebut.
Semuanya sama, hanya saja kali ini penyebut perkembangannya adalah irasional. Akar dari dua. Ya, tidak apa-apa. Rumusnya bersifat universal; dapat menangani angka apa pun.
Kami bekerja langsung sesuai rumus:
Rumusnya, tentu saja, berfungsi sebagaimana mestinya, tapi... di sinilah beberapa orang terjebak. Apa yang harus dilakukan selanjutnya dengan root? Bagaimana cara menaikkan root ke pangkat dua belas?
Bagaimana-bagaimana... Anda harus memahami bahwa rumus apa pun, tentu saja, adalah hal yang baik, tetapi pengetahuan tentang semua matematika sebelumnya tidak dibatalkan! Cara membangun? Ya, ingat sifat-sifat derajat! Mari kita ubah akarnya menjadi derajat pecahan dan – menurut rumus menaikkan derajat ke suatu derajat.
Seperti ini:
Jawaban: 192
Dan itu saja.)
Apa kesulitan utama dalam menerapkan rumus suku ke-n secara langsung? Ya! Kesulitan utamanya adalah bekerja dengan gelar! Yakni, menaikkan bilangan negatif, pecahan, akar, dan konstruksi serupa menjadi pangkat. Jadi bagi yang mempunyai masalah dengan hal ini, silakan ulangi derajat dan sifat-sifatnya! Kalau tidak, kamu juga akan memperlambat topik ini, ya...)
Sekarang mari kita selesaikan masalah pencarian yang umum salah satu elemen rumus, jika semua yang lain diberikan. Agar berhasil mengatasi masalah seperti itu, resepnya seragam dan sangat sederhana - tulis rumusnyaN-anggota secara umum! Tepatnya di buku catatan sebelah kondisinya. Lalu, dari kondisinya, kita mencari tahu apa yang diberikan kepada kita dan apa yang kurang. Dan kami menyatakan nilai yang diinginkan dari rumus. Semua!
Misalnya, masalah yang tidak berbahaya.
Suku kelima suatu barisan geometri yang penyebutnya 3 adalah 567. Tentukan suku pertama barisan tersebut.
Tidak ada yang rumit. Kami bekerja langsung sesuai mantra.
Mari kita tuliskan rumus suku ke-n!
bn = B 1 · qn -1
Apa yang telah diberikan kepada kita? Pertama, penyebut perkembangannya diberikan: Q = 3.
Apalagi kita diberikan anggota kelima: B 5 = 567 .
Semua? TIDAK! Kami juga telah diberi nomor n! Ini lima: n = 5.
Saya harap Anda sudah mengerti apa yang ada di rekaman itu B 5 = 567 dua parameter disembunyikan sekaligus - ini adalah suku kelima itu sendiri (567) dan nomornya (5). Saya sudah membicarakan hal ini dalam pelajaran serupa, namun menurut saya hal ini layak disebutkan di sini juga.)
Sekarang kita substitusikan data kita ke dalam rumus:
567 = B 1 ·3 5-1
Kami melakukan aritmatika, menyederhanakan dan mendapatkan persamaan linier sederhana:
81 B 1 = 567
Kami memecahkan dan mendapatkan:
B 1 = 7
Seperti yang Anda lihat, tidak ada masalah dalam menemukan suku pertama. Tapi saat mencari penyebutnya Q dan angka N Mungkin juga ada kejutan. Dan Anda juga perlu bersiap menghadapinya (kejutan), ya.)
Misalnya saja masalah ini:
Suku kelima suatu barisan geometri yang penyebutnya positif adalah 162, dan suku pertama barisan tersebut adalah 2. Tentukan penyebut barisan tersebut.
Kali ini kita diberikan suku pertama dan kelima, dan diminta mencari penyebut barisan tersebut. Ini dia.
Kami menulis rumusnyaNanggota ke-!
bn = B 1 · qn -1
Data awal kami adalah sebagai berikut:
B 5 = 162
B 1 = 2
N = 5
Nilai yang hilang Q. Tidak masalah! Mari kita cari sekarang.) Kita substitusikan semua yang kita ketahui ke dalam rumus.
Kita mendapatkan:
162 = 2Q 5-1
2 Q 4 = 162
Q 4 = 81
Persamaan sederhana derajat keempat. Dan sekarang - dengan hati-hati! Pada tahap penyelesaian ini, banyak siswa yang langsung dengan senang hati mengekstrak akar kata (derajat keempat) dan mendapatkan jawabannya Q=3 .
Seperti ini:
q4 = 81
Q = 3
Namun sebenarnya, ini adalah jawaban yang belum selesai. Lebih tepatnya, tidak lengkap. Mengapa? Intinya adalah jawabannya Q = -3 juga cocok: (-3) 4 juga akan menjadi 81!
Hal ini karena persamaan daya xn = A selalu begitu dua akar yang berlawanan pada bahkanN . Dengan plus dan minus:
Keduanya cocok.
Misalnya, ketika memutuskan (mis. Kedua derajat)
x 2 = 9
Entah kenapa Anda tidak kaget dengan penampilannya dua akar x=±3? Di sini sama saja. Dan dengan yang lainnya bahkan derajat (keempat, keenam, kesepuluh, dst.) akan sama. Detailnya ada di topik tentang
Oleh karena itu, solusi yang tepat adalah:
Q 4 = 81
Q= ±3
Oke, kami sudah memilah tanda-tandanya. Mana yang benar - plus atau minus? Baiklah, mari kita baca kembali rumusan masalahnya untuk mencari informasi tambahan. Tentu saja, mungkin tidak ada, tetapi dalam masalah ini informasi tersebut tersedia. Kondisi kami menyatakan dalam teks biasa bahwa perkembangan diberikan penyebut positif.
Oleh karena itu jawabannya jelas:
Q = 3
Semuanya sederhana di sini. Menurut Anda apa yang akan terjadi jika rumusan masalahnya seperti ini:
Suku kelima suatu barisan geometri adalah 162, dan suku pertama barisan tersebut adalah 2. Tentukan penyebut barisan tersebut.
Apa bedanya? Ya! Dalam kondisi Tidak ada tidak disebutkan tanda penyebutnya. Baik secara langsung maupun tidak langsung. Dan di sini masalahnya sudah ada dua solusi!
Q = 3 Dan Q = -3
Ya ya! Baik dengan plus maupun minus.) Secara matematis, fakta ini berarti ada dua kemajuan, yang sesuai dengan kondisi permasalahan. Dan masing-masing mempunyai penyebutnya sendiri. Hanya untuk bersenang-senang, berlatihlah dan tuliskan masing-masing lima suku pertama.)
Sekarang mari kita latihan mencari nomor anggotanya. Masalah ini paling sulit ya. Tapi juga lebih kreatif.)
Diketahui barisan geometri:
3; 6; 12; 24; …
Berapakah angka dalam perkembangan ini yang merupakan angka 768?
Langkah pertama masih sama: tulis rumusnyaNanggota ke-!
bn = B 1 · qn -1
Dan sekarang, seperti biasa, kami mengganti data yang kami ketahui ke dalamnya. Hm... tidak berhasil! Dimana suku pertamanya, dimana penyebutnya, dimana sisanya?!
Dimana, dimana... Mengapa kita membutuhkan mata? Mengepakkan bulu mata Anda? Kali ini perkembangannya diberikan kepada kita langsung dalam bentuk urutan. Bisakah kita melihat anggota pertama? Kami melihat! Ini adalah rangkap tiga (b 1 = 3). Bagaimana dengan penyebutnya? Kami belum melihatnya, tapi sangat mudah untuk menghitungnya. Jika, tentu saja, Anda mengerti...
Jadi kami menghitung. Langsung menurut arti suatu barisan geometri: kita ambil salah satu sukunya (kecuali suku pertama) dan membaginya dengan suku sebelumnya.
Setidaknya seperti ini:
Q = 24/12 = 2
Apa lagi yang kita ketahui? Kita juga mengetahui suku tertentu dari perkembangan ini, sama dengan 768. Di bawah bilangan tertentu n:
bn = 768
Kami tidak tahu nomornya, tapi tugas kami justru menemukannya.) Jadi kami mencari. Kami telah mengunduh semua data yang diperlukan untuk substitusi ke dalam rumus. Tanpa Anda sadari.)
Di sini kami mengganti:
768 = 3 2N -1
Mari kita lakukan hal dasar - bagi kedua ruas dengan tiga dan tulis ulang persamaannya dalam bentuk biasa: yang tidak diketahui ada di sebelah kiri, yang diketahui ada di sebelah kanan.
Kita mendapatkan:
2 N -1 = 256
Ini adalah persamaan yang menarik. Kita perlu menemukan "n". Apa yang tidak biasa? Ya, saya tidak membantah. Sebenarnya ini adalah hal yang paling sederhana. Disebut demikian karena tidak diketahui (dalam hal ini adalah bilangan N) biaya masuk indikator derajat.
Pada tahap belajar barisan geometri (ini kelas sembilan), mereka tidak mengajarkan cara menyelesaikan persamaan eksponensial ya... Ini topik untuk SMA. Tapi tidak ada yang menakutkan. Meskipun Anda tidak tahu cara menyelesaikan persamaan tersebut, mari kita coba mencari persamaan kita N, dipandu oleh logika sederhana dan akal sehat.
Mari kita mulai berbicara. Di sebelah kiri kita memiliki deuce sampai tingkat tertentu. Kami belum tahu apa sebenarnya gelar ini, tapi itu tidak menakutkan. Tapi kita tahu pasti bahwa derajat ini sama dengan 256! Jadi kita ingat berapa angka dua yang memberi kita 256. Apakah Anda ingat? Ya! DI DALAM kedelapan derajat!
256 = 2 8
Kalau kamu tidak ingat atau kesulitan mengenali derajatnya, maka tidak apa-apa juga: berurutan saja kuadrat dua, kubus, keempat, kelima, dan seterusnya. Seleksi sebenarnya, tetapi pada level ini akan bekerja dengan cukup baik.
Dengan satu atau lain cara, kita mendapatkan:
2 N -1 = 2 8
N-1 = 8
N = 9
Jadi 768 adalah kesembilan anggota kemajuan kita. Itu saja, masalah terpecahkan.)
Jawaban: 9
Apa? Membosankan? Bosan dengan hal-hal dasar? Setuju. Dan aku juga. Mari kita pindah ke level berikutnya.)
Tugas yang lebih kompleks.
Sekarang mari kita selesaikan masalah yang lebih menantang. Tidak terlalu keren, tapi membutuhkan sedikit usaha untuk mendapatkan jawabannya.
Misalnya yang ini.
Tentukan suku kedua suatu barisan geometri jika suku keempatnya -24 dan suku ketujuhnya 192.
Ini adalah genre klasik. Ada dua istilah perkembangan yang berbeda yang diketahui, namun istilah lain perlu ditemukan. Apalagi semua anggota BUKAN bertetangga. Yang awalnya membingungkan, ya...
Untuk mengatasi masalah seperti itu kita akan mempertimbangkan dua metode. Metode pertama bersifat universal. Aljabar. Bekerja sempurna dengan data sumber apa pun. Jadi di situlah kita akan mulai.)
Kami menjelaskan setiap istilah sesuai dengan rumus Nanggota ke-!
Semuanya persis sama dengan perkembangan aritmatika. Hanya kali ini kami bekerja sama lain rumus umum. Itu saja.) Tapi intinya sama: kita ambil dan satu per satu Kita substitusikan data awal kita ke dalam rumus suku ke-n. Untuk setiap anggota - miliknya sendiri.
Untuk suku keempat kami menulis:
B 4 = B 1 · Q 3
-24 = B 1 · Q 3
Makan. Satu persamaan sudah siap.
Untuk suku ketujuh kami menulis:
B 7 = B 1 · Q 6
192 = B 1 · Q 6
Secara total, kami mendapat dua persamaan perkembangan yang sama .
Kami merakit sistem dari mereka:
Meski terlihat mengancam, sistemnya cukup sederhana. Solusi yang paling jelas adalah substitusi sederhana. Kami mengungkapkan B 1 dari persamaan atas dan substitusikan ke persamaan bawah:
Setelah mengutak-atik sedikit persamaan yang lebih rendah (mengurangi pangkat dan membaginya dengan -24), kita mendapatkan:
Q 3 = -8
Omong-omong, persamaan yang sama ini dapat dicapai dengan cara yang lebih sederhana! Yang mana? Sekarang saya akan menunjukkan kepada Anda rahasia lain, tetapi cara yang sangat indah, kuat dan berguna untuk memecahkan sistem seperti itu. Sistem seperti itu, yang persamaannya meliputi hanya berfungsi. Setidaknya dalam satu. Ditelepon metode pembagian satu persamaan ke persamaan lainnya.
Jadi, kami memiliki sistem di depan kami:
Dalam kedua persamaan di sebelah kiri - bekerja, dan di sebelah kanan hanyalah angka. Ini pertanda baik.) Mari kita ambil dan... bagilah, katakanlah, persamaan bawah dengan persamaan atas! Apa artinya, mari kita bagi satu persamaan dengan persamaan lainnya? Sangat sederhana. Mari kita ambil sisi kiri satu persamaan (lebih rendah) dan membagi dia aktif sisi kiri persamaan lain (atas). Sisi kanannya serupa: sisi kanan satu persamaan membagi pada sisi kanan lain.
Seluruh proses pembagian terlihat seperti ini:
Sekarang, dengan mengurangi segala sesuatu yang dapat dikurangi, kita mendapatkan:
Q 3 = -8
Apa kelebihan metode ini? Ya, karena dalam proses pembagian seperti itu, segala sesuatu yang buruk dan tidak menyenangkan dapat dikurangi dengan aman dan persamaan yang sama sekali tidak berbahaya tetap ada! Inilah mengapa sangat penting untuk memilikinya perkalian saja dalam setidaknya satu persamaan sistem. Tidak ada perkalian – tidak ada yang dikurangi ya…
Secara umum, metode ini (seperti banyak metode penyelesaian sistem non-sepele lainnya) bahkan layak mendapat pelajaran tersendiri. Saya pasti akan memeriksanya lebih detail. Suatu hari nanti…
Namun, tidak masalah bagaimana tepatnya Anda menyelesaikan sistemnya, bagaimanapun juga, sekarang kita perlu menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:
Q 3 = -8
Tidak masalah: ekstrak akar pangkat tiga dan selesai!
Harap dicatat bahwa tidak perlu memberi tanda plus/minus di sini saat mengekstraksi. Kami memiliki akar derajat ganjil (ketiga). Dan jawabannya juga sama, ya.)
Jadi, penyebut perkembangannya telah ditemukan. Dikurangi dua. Besar! Prosesnya sedang berlangsung.)
Untuk suku pertama (katakanlah dari persamaan teratas) kita mendapatkan:
Besar! Kita tahu suku pertamanya, kita tahu penyebutnya. Dan sekarang kami memiliki kesempatan untuk menemukan anggota perkembangan mana pun. Termasuk yang kedua.)
Untuk semester kedua semuanya cukup sederhana:
B 2 = B 1 · Q= 3·(-2) = -6
Jawaban: -6
Jadi, kami telah menguraikan metode aljabar untuk menyelesaikan masalah tersebut. Sulit? Tidak juga, saya setuju. Panjang dan membosankan? Iya tentu saja. Namun terkadang Anda bisa mengurangi jumlah pekerjaan secara signifikan. Untuk ini ada metode grafis. Bagus dan akrab bagi kami dari .)
Mari kita menggambar sebuah masalah!
Ya! Tepat. Sekali lagi kami menggambarkan perkembangan kami pada sumbu bilangan. Tidak perlu mengikuti penggaris, tidak perlu menjaga interval yang sama antar suku (yang, omong-omong, tidak akan sama, karena perkembangannya geometris!), tetapi cukup secara skematis Mari menggambar urutan kita.
Saya mendapatkannya seperti ini:
Sekarang lihat gambarnya dan cari tahu. Berapa banyak faktor identik "q" yang terpisah keempat Dan ketujuh anggota? Benar, tiga!
Oleh karena itu, kami berhak menulis:
-24·Q 3 = 192
Dari sini sekarang mudah untuk menemukan q:
Q 3 = -8
Q = -2
Bagus sekali, kami sudah memiliki penyebutnya di saku kami. Sekarang mari kita lihat lagi gambarnya: berapa banyak penyebut yang berada di antara keduanya Kedua Dan keempat anggota? Dua! Oleh karena itu, untuk mencatat hubungan antara suku-suku tersebut, kita akan membuat penyebutnya kuadrat.
Jadi kami menulis:
B 2 · Q 2 = -24 , Di mana B 2 = -24/ Q 2
Kami mengganti penyebut yang kami temukan ke dalam ekspresi b 2, menghitung dan mendapatkan:
Jawaban: -6
Seperti yang Anda lihat, semuanya jauh lebih sederhana dan lebih cepat dibandingkan melalui sistem. Terlebih lagi, di sini kita bahkan tidak perlu menghitung suku pertama sama sekali! Sama sekali.)
Inilah cara yang sederhana dan visual. Namun ia juga mempunyai kelemahan yang serius. Apakah Anda dapat menebaknya? Ya! Ini hanya bagus untuk kemajuan yang sangat singkat. Dimana jarak antar anggota yang kami minati tidak terlalu jauh. Tapi di kasus lain udah susah buat ngambil gambarannya ya... Lalu kita selesaikan masalahnya secara analitis, lewat sistem.) Dan sistem adalah sesuatu yang universal. Mereka dapat menangani nomor apa pun.
Tantangan epik lainnya:
Suku kedua suatu barisan geometri lebih besar 10 dari suku pertama, dan suku ketiga lebih besar 30 dari suku kedua. Temukan penyebut perkembangannya.
Apa keren? Sama sekali tidak! Semua sama. Sekali lagi kami menerjemahkan pernyataan masalah ke dalam aljabar murni.
1) Kami menjelaskan setiap istilah sesuai dengan rumus Nanggota ke-!
Suku kedua: b 2 = b 1 q
Suku ketiga: b 3 = b 1 q 2
2) Kita tuliskan hubungan antar anggota dari rumusan masalah.
Kita membaca syaratnya: Suku kedua suatu barisan geometri 10 lebih besar dari suku pertama. Berhenti, ini berharga!
Jadi kami menulis:
B 2 = B 1 +10
Dan kami menerjemahkan frasa ini ke dalam matematika murni:
B 3 = B 2 +30
Kami mendapat dua persamaan. Mari kita gabungkan mereka ke dalam sebuah sistem:
Sistemnya terlihat sederhana. Tapi ada terlalu banyak indeks berbeda untuk huruf-hurufnya. Mari kita gantikan suku kedua dan ketiga dengan suku pertama dan penyebutnya! Apakah sia-sia kita mengecatnya?
Kita mendapatkan:
Tapi sistem seperti itu bukan lagi sebuah anugerah ya.. Bagaimana cara mengatasinya? Sayangnya, tidak ada mantra rahasia universal untuk memecahkan masalah rumit nonlinier Tidak ada sistem dalam matematika dan tidak mungkin ada. Ini luar biasa! Tetapi hal pertama yang harus terlintas dalam pikiran Anda ketika mencoba memecahkan masalah yang sulit adalah mencari tahu Namun bukankah salah satu persamaan sistem direduksi menjadi bentuk indah yang memungkinkan, misalnya, dengan mudah menyatakan salah satu variabel ke dalam variabel lain?
Mari kita cari tahu. Persamaan pertama dari sistem ini jelas lebih sederhana daripada persamaan kedua. Kami akan menyiksanya.) Bukankah sebaiknya kita mencoba dari persamaan pertama sesuatu mengungkapkan melalui sesuatu? Karena kita ingin mencari penyebutnya Q, maka akan sangat menguntungkan bagi kita untuk berekspresi B 1 melalui Q.
Jadi mari kita coba melakukan prosedur ini dengan persamaan pertama, menggunakan persamaan lama yang bagus:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Semua! Jadi kami mengungkapkannya tidak perlu beri kami variabel (b 1) sampai diperlukan(Q). Ya, itu bukanlah ekspresi paling sederhana yang kami dapatkan. Semacam pecahan... Tapi sistem kami berada pada level yang layak, ya.)
Khas. Kami tahu apa yang harus dilakukan.
Kami menulis ODZ (Perlu!) :
q ≠ 1
Kami mengalikan semuanya dengan penyebut (q-1) dan menghapus semua pecahan:
10 Q 2 = 10 Q + 30(Q-1)
Kami membagi semuanya dengan sepuluh, membuka tanda kurung, dan mengumpulkan semuanya dari kiri:
Q 2 – 4 Q + 3 = 0
Kami menyelesaikan hasilnya dan mendapatkan dua akar:
Q 1 = 1
Q 2 = 3
Hanya ada satu jawaban akhir: Q = 3 .
Jawaban: 3
Seperti yang Anda lihat, jalur untuk menyelesaikan sebagian besar masalah yang melibatkan rumus suku ke-n suatu barisan geometri selalu sama: baca dengan penuh perhatian kondisi masalah dan menggunakan rumus suku ke-n kami menerjemahkan semua informasi berguna ke dalam aljabar murni.
Yaitu:
1) Kami menjelaskan secara terpisah setiap istilah yang diberikan dalam soal sesuai dengan rumusNanggota ke-th.
2) Dari kondisi soal kita terjemahkan hubungan antar anggota ke dalam bentuk matematika. Kami menyusun persamaan atau sistem persamaan.
3) Selesaikan persamaan atau sistem persamaan yang dihasilkan, temukan parameter perkembangan yang tidak diketahui.
4) Jika jawaban Anda ambigu, bacalah ketentuan tugas dengan cermat untuk mencari informasi tambahan (jika ada). Kami juga memeriksa respon yang diterima dengan ketentuan DL (jika ada).
Sekarang mari kita daftar masalah utama yang paling sering menimbulkan kesalahan dalam proses penyelesaian masalah deret geometri.
1. Aritmatika dasar. Operasi dengan pecahan dan bilangan negatif.
2. Jika ada masalah dengan setidaknya satu dari tiga poin ini, maka Anda pasti akan membuat kesalahan dalam topik ini. Sayangnya... Jadi jangan malas dan ulangi apa yang telah disebutkan di atas. Dan ikuti tautannya - pergi. Terkadang itu membantu.)
Rumus yang dimodifikasi dan berulang.
Sekarang mari kita lihat beberapa soal ujian yang umum dengan penyajian kondisi yang kurang familiar. Ya, ya, Anda dapat menebaknya! Ini diubah Dan berulang rumus suku ke-n. Kami telah menemukan rumus seperti itu dan mengerjakan perkembangan aritmatika. Semuanya serupa di sini. Intinya sama.
Misalnya, soal dari OGE ini:
Perkembangan geometri diberikan oleh rumus bn = 3 2 N . Tentukan jumlah suku pertama dan suku keempatnya.
Kali ini perkembangannya tidak seperti biasanya bagi kami. Berupa semacam rumus. Terus? Rumus ini adalah juga sebuah rumusNanggota ke-! Anda dan saya tahu bahwa rumus suku ke-n dapat ditulis baik dalam bentuk umum, menggunakan huruf, maupun untuk kemajuan tertentu. DENGAN spesifik suku pertama dan penyebutnya.
Dalam kasus kita, sebenarnya kita diberikan rumus suku umum untuk barisan geometri dengan parameter berikut:
B 1 = 6
Q = 2
Mari kita periksa?) Mari kita tuliskan rumus suku ke-n dalam bentuk umum dan substitusikan ke dalamnya B 1 Dan Q. Kita mendapatkan:
bn = B 1 · qn -1
bn= 6 2N -1
Kita sederhanakan menggunakan faktorisasi dan sifat-sifat pangkat, dan kita peroleh:
bn= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N
Seperti yang Anda lihat, semuanya adil. Namun tujuan kami bukan untuk mendemonstrasikan turunan dari rumus tertentu. Ini benar, penyimpangan liris. Murni untuk pemahaman.) Tujuan kami adalah menyelesaikan masalah sesuai dengan rumus yang diberikan kepada kami dalam kondisi. Apakah Anda mengerti?) Jadi kami langsung mengerjakan rumus yang dimodifikasi.
Kami menghitung suku pertama. Mari kita gantikan N=1 ke dalam rumus umum:
B 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Seperti ini. Ngomong-ngomong, saya tidak akan malas dan sekali lagi menarik perhatian Anda pada kesalahan umum dalam perhitungan suku pertama. JANGAN, lihat rumusnya bn= 3 2N, segera buru-buru menulis bahwa suku pertama adalah tiga! Ini adalah kesalahan besar, ya...)
Ayo lanjutkan. Mari kita gantikan N=4 dan hitung suku keempat:
B 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Dan terakhir, kami menghitung jumlah yang dibutuhkan:
B 1 + B 4 = 6+48 = 54
Jawaban: 54
Masalah lain.
Perkembangan geometri ditentukan oleh kondisi:
B 1 = -7;
bn +1 = 3 bn
Temukan suku keempat dari perkembangan tersebut.
Di sini perkembangannya diberikan oleh rumus berulang. Baiklah.) Cara bekerja dengan rumus ini – kami juga tahu.
Jadi kami bertindak. Selangkah demi selangkah.
1) Hitung dua berurutan anggota kemajuan.
Istilah pertama telah diberikan kepada kita. Dikurangi tujuh. Namun suku kedua berikutnya, dapat dengan mudah dihitung menggunakan rumus perulangan. Tentu saja, jika Anda memahami prinsip pengoperasiannya.)
Jadi kita menghitung suku kedua menurut yang terkenal pertama:
B 2 = 3 B 1 = 3·(-7) = -21
2) Hitung penyebut barisan tersebut
Tidak masalah juga. Lurus, mari kita bagi Kedua aktifkan Pertama.
Kita mendapatkan:
Q = -21/(-7) = 3
3) Tuliskan rumusnyaNanggota dalam bentuk biasa dan menghitung anggota yang dibutuhkan.
Jadi, kita tahu suku pertama dan penyebutnya juga. Jadi kami menulis:
bn= -7·3N -1
B 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Jawaban: -189
Seperti yang Anda lihat, mengerjakan rumus seperti itu untuk barisan geometri pada dasarnya tidak berbeda dengan rumus barisan aritmatika. Penting untuk memahami esensi umum dan arti dari rumus-rumus ini. Nah, kamu juga perlu paham tentang pengertian barisan geometri ya.) Agar tidak terjadi kesalahan bodoh.
Baiklah, mari kita putuskan sendiri?)
Tugas yang sangat mendasar untuk pemanasan:
1. Diberikan barisan geometri dimana B 1 = 243, sebuah Q = -2/3. Temukan suku keenam dari perkembangan tersebut.
2. Suku umum barisan geometri diberikan oleh rumus bn = 5∙2 N +1 . Temukan bilangan suku tiga digit terakhir dari perkembangan ini.
3. Perkembangan geometri diberikan oleh kondisi:
B 1 = -3;
bn +1 = 6 bn
Temukan suku kelima dari perkembangan tersebut.
Sedikit lebih rumit:
4. Diketahui barisan geometri:
B 1 =2048; Q =-0,5
Suku negatif keenam sama dengan apa?
Apa yang tampaknya sangat sulit? Sama sekali tidak. Logika dan pemahaman tentang arti barisan geometri akan menyelamatkan Anda. Nah, rumus suku ke-n tentunya.
5. Suku ketiga suatu barisan geometri adalah -14, dan suku kedelapan adalah 112. Tentukan penyebut barisan tersebut.
6. Jumlah suku pertama dan kedua suatu barisan geometri adalah 75, dan jumlah suku kedua dan ketiga adalah 150. Tentukan suku keenam barisan tersebut.
Jawaban (berantakan): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Itu hampir semuanya. Yang perlu kita lakukan hanyalah belajar berhitung jumlah n suku pertama suatu barisan geometri ya temukan perkembangan geometri yang menurun tanpa batas dan jumlahnya. Omong-omong, hal yang sangat menarik dan tidak biasa! Lebih lanjut tentang ini dalam pelajaran berikutnya.)
