I bentuk trigonometri. Bentuk trigonometri dan eksponensial dari bilangan kompleks

3.1. Koordinat kutub

Sering digunakan di pesawat sistem koordinat kutub . Didefinisikan jika titik O diberikan, disebut tiang, dan sinar yang memancar dari tiang (bagi kami, ini adalah sumbu Ox) adalah sumbu kutub. Posisi titik M ditentukan oleh dua angka: radius (atau radius vektor) dan sudut antara sumbu kutub dan vektor . Sudut disebut sudut kutub; diukur dalam radian dan dihitung berlawanan arah jarum jam dari sumbu kutub.

Posisi suatu titik dalam sistem koordinat kutub diberikan oleh pasangan bilangan berurutan (r; ). Di tiang r = 0 dan tidak terdefinisi. Untuk semua poin lainnya r > 0 dan didefinisikan hingga kelipatan 2π. Dalam hal ini, pasangan angka (r; ) dan (r 1 ; 1) diberi titik yang sama jika .

Untuk sistem koordinat persegi panjang xOy koordinat Cartesian suatu titik dapat dengan mudah dinyatakan dalam koordinat kutubnya sebagai berikut:

3.2. Interpretasi geometris dari bilangan kompleks

Pertimbangkan di pesawat sistem koordinat persegi panjang Cartesian xOy.

Setiap bilangan kompleks z=(a, b) diberikan sebuah titik pada bidang dengan koordinat ( x, y), di mana koordinat x = a, mis. bagian real dari bilangan kompleks, dan koordinat y = bi adalah bagian imajiner.

Bidang yang titik-titiknya merupakan bilangan kompleks adalah bidang kompleks.

Pada gambar, bilangan kompleks z = (a, b) titik pertandingan M(x, y).

Latihan.Menggambar bilangan kompleks pada bidang koordinat:

3.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Bilangan kompleks pada bidang memiliki koordinat titik M(x; y). Di mana:

Menulis bilangan kompleks - bentuk trigonometri bilangan kompleks.

Bilangan r disebut modul bilangan kompleks z dan dilambangkan. Modul adalah bilangan real non-negatif. Untuk .

Modulus adalah nol jika dan hanya jika z = 0, yaitu a=b=0.

Bilangan disebut argumen z dan dilambangkan. Argumen z didefinisikan secara ambigu, seperti sudut kutub dalam sistem koordinat kutub, yaitu hingga kelipatan 2π.

Kemudian kami menerima: , di mana adalah nilai terkecil dari argumen. Jelas bahwa

Dengan studi topik yang lebih dalam, argumen tambahan * diperkenalkan, sehingga

Contoh 1. Menemukan bentuk trigonometri dari bilangan kompleks.

Keputusan. 1) kami mempertimbangkan modul: ;

2) mencari : ;

3) bentuk trigonometri:

Contoh 2 Menemukan bentuk aljabar dari bilangan kompleks .

Di sini cukup untuk mengganti nilai fungsi trigonometri dan mengubah ekspresi:

Contoh 3 Temukan modulus dan argumen dari bilangan kompleks ;

1) ;

2) ; - dalam 4 kuartal:

3.4. Operasi dengan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri

· Penambahan dan pengurangan lebih mudah untuk melakukan dengan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar:

· Perkalian– dengan bantuan transformasi trigonometri sederhana, dapat ditunjukkan bahwa saat mengalikan, modul angka dikalikan, dan argumen ditambahkan: ;

ANGKA KOMPLEKS XI

256. Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Biarkan bilangan kompleks a + bi vektor yang sesuai OA> dengan koordinat ( a, b ) (lihat Gambar 332).

Nyatakan panjang vektor ini dengan r , dan sudut yang dibentuknya dengan sumbu X , melalui φ . Menurut definisi sinus dan cosinus:

sebuah / r = cos φ , b / r = dosa φ .

Jadi sebuah = r karena φ , b = r dosa φ . Tetapi dalam hal ini bilangan kompleks a + bi dapat ditulis sebagai:

a + bi = r karena φ + saya dosa φ = r (karena φ + saya dosa φ ).

Seperti yang Anda ketahui, kuadrat panjang vektor apa pun sama dengan jumlah kuadrat koordinatnya. Jadi r 2 = sebuah 2 + b 2, dari mana r = a 2 + b 2

Jadi, bilangan kompleks apa pun a + bi dapat direpresentasikan sebagai :

a + bi = r (karena φ + saya dosa φ ), (1)

dimana r = a 2 + b 2 , dan sudut φ ditentukan dari kondisi:

Bentuk penulisan bilangan kompleks ini disebut trigonometri.

Nomor r dalam rumus (1) disebut modul, dan sudut φ - argumen, bilangan kompleks a + bi .

Jika bilangan kompleks a + bi tidak sama dengan nol, maka modulusnya positif; jika a + bi = 0, maka a = b = 0 dan kemudian r = 0.

Modulus bilangan kompleks ditentukan secara unik.

Jika bilangan kompleks a + bi tidak sama dengan nol, maka argumennya ditentukan oleh rumus (2) pastinya hingga kelipatan sudut 2 π . Jika a + bi = 0, maka a = b = 0. Dalam hal ini r = 0. Dari rumus (1) mudah dipahami bahwa sebagai argumen φ dalam hal ini, Anda dapat memilih sudut mana pun: bagaimanapun, untuk apa pun φ

0 (karena φ + saya dosa φ ) = 0.

Oleh karena itu, argumen nol tidak didefinisikan.

Modulus bilangan kompleks r terkadang menunjukkan | z |, dan argumen arg z . Mari kita lihat beberapa contoh representasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri.

Contoh. satu. 1 + saya .

Ayo temukan modulnya r dan argumen φ nomor ini.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Oleh karena itu dosa φ = 1 / 2 , cos φ = 1 / 2 , dari mana φ = π / 4 + 2nπ .

Dengan demikian,

1 + saya = √ 2 ,

di mana P - bilangan bulat apa pun. Biasanya, dari kumpulan nilai argumen bilangan kompleks yang tak terbatas, satu dipilih yaitu antara 0 dan 2 π . Dalam hal ini, nilai ini adalah π / 4 . Jadi

1 + saya = √ 2 (karena π / 4 + saya dosa π / 4)

Contoh 2 Tulis dalam bentuk trigonometri bilangan kompleks √ 3 - saya . Kita punya:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2

Oleh karena itu, hingga sudut yang habis dibagi 2 π , φ = 11 / 6 π ; karena itu,

√ 3 - saya = 2(cos 11 / 6 π + saya dosa 11 / 6 π ).

Contoh 3 Tulis dalam bentuk trigonometri bilangan kompleks saya .

bilangan kompleks saya vektor yang sesuai OA> berakhir di titik A dari sumbu pada dengan ordinat 1 (Gbr. 333). Panjang vektor semacam itu sama dengan 1, dan sudut yang dibentuknya dengan sumbu absis sama dengan π / 2. Jadi

saya = cos π / 2 + saya dosa π / 2 .

Contoh 4 Tulis bilangan kompleks 3 dalam bentuk trigonometri.

Nomor kompleks 3 sesuai dengan vektor OA > X absis 3 (Gbr. 334).

Panjang vektor tersebut adalah 3, dan sudut yang dibentuknya dengan sumbu x adalah 0. Oleh karena itu

3 = 3 (cos 0 + saya dosa 0),

Contoh 5 Tulis dalam bentuk trigonometri bilangan kompleks -5.

Bilangan kompleks -5 sesuai dengan vektor OA> berakhir di titik sumbu X dengan absis -5 (Gbr. 335). Panjang vektor tersebut adalah 5, dan sudut yang dibentuknya dengan sumbu x adalah π . Jadi

5 = 5(cos π + saya dosa π ).

Latihan

2047. Tulis bilangan kompleks ini dalam bentuk trigonometri, tentukan modul dan argumennya:

1) 2 + 2√3 saya , 4) 12saya - 5; 7).3saya ;

2) √3 + saya ; 5) 25; 8) -2saya ;

3) 6 - 6saya ; 6) - 4; 9) 3saya - 4.

2048. Tunjukkan pada bidang himpunan titik yang mewakili bilangan kompleks yang modul r dan argumennya memenuhi kondisi:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Bisakah bilangan menjadi modul bilangan kompleks secara bersamaan? r dan - r ?

2050. Dapatkah argumen bilangan kompleks menjadi sudut pada saat yang sama φ dan - φ ?

Sajikan bilangan kompleks ini dalam bentuk trigonometri dengan mendefinisikan modul dan argumennya:

2051*. 1 + cos α + saya dosa α . 2054*. 2(cos 20° - saya dosa 20 °).

2052*. dosa φ + saya karena φ . 2055*. 3(- cos 15° - saya dosa 15°).

2.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Biarkan vektor diberikan pada bidang kompleks dengan nomor .

Dilambangkan dengan sudut antara semi-sumbu positif Ox dan vektor (sudut dianggap positif jika dihitung berlawanan arah jarum jam, dan negatif jika sebaliknya).

Nyatakan panjang vektor dengan r. Kemudian . Kami juga menunjukkan

Menulis bilangan kompleks bukan nol z sebagai

disebut bentuk trigonometri dari bilangan kompleks z. Bilangan r disebut modulus bilangan kompleks z, dan bilangan disebut argumen bilangan kompleks ini dan dilambangkan dengan Arg z.

Bentuk trigonometri penulisan bilangan kompleks - (rumus Euler) - bentuk eksponensial penulisan bilangan kompleks:

Bilangan kompleks z memiliki banyak argumen yang tak terhingga: jika 0 adalah sembarang argumen dari bilangan z, maka semua argumen lainnya dapat ditemukan dengan rumus

Untuk bilangan kompleks, argumen dan bentuk trigonometri tidak didefinisikan.

Jadi, argumen bilangan kompleks bukan-nol adalah solusi apa pun untuk sistem persamaan:

(3)

Nilai dari argumen bilangan kompleks z yang memenuhi pertidaksamaan disebut nilai utama dan dilambangkan dengan arg z.

Argumen Arg z dan arg z dihubungkan dengan persamaan

, (4)

Rumus (5) adalah konsekuensi dari sistem (3), sehingga semua argumen bilangan kompleks memenuhi persamaan (5), tetapi tidak semua solusi dari persamaan (5) adalah argumen dari bilangan z.

Nilai utama dari argumen bilangan kompleks bukan nol ditemukan dengan rumus:

Rumus perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri adalah sebagai berikut:

. (7)

Saat menaikkan bilangan kompleks ke kekuatan alami, rumus de Moivre digunakan:

Saat mengekstraksi akar dari bilangan kompleks, rumus yang digunakan:

, (9)

dimana k=0, 1, 2, …, n-1.

Soal 54. Hitung , Dimana .

Mari kita nyatakan solusi dari ekspresi ini dalam bentuk eksponensial dari penulisan bilangan kompleks: .

Jika kemudian .

Kemudian , . Oleh karena itu, maka dan , di mana .

Menjawab: , pada .

Soal 55. Tulis bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri:

sebuah) ; b) ; di) ; G) ; e); e) ; g).

Karena bentuk trigonometri bilangan kompleks adalah , maka:

a) Dalam bilangan kompleks: .

Jadi

b) , di mana ,

G) , di mana ,

e) .

g) , sebuah , kemudian .

Jadi

Menjawab: ; 4; ; ; ; ; .

Soal 56. Temukan bentuk trigonometri dari bilangan kompleks

Biarlah, .

Kemudian , , .

Karena dan , , maka , dan

Oleh karena itu, oleh karena itu

Menjawab: , di mana .

Soal 57. Dengan menggunakan bentuk trigonometri bilangan kompleks, lakukan tindakan berikut: .

Bayangkan angka dan dalam bentuk trigonometri.

1) , dimana kemudian

Menemukan nilai argumen utama:

Substitusikan nilai dan ke dalam ekspresi , kita dapatkan

2) lalu dimana

Kemudian

3) Temukan hasil bagi

Dengan asumsi k=0, 1, 2, kami mendapatkan tiga nilai berbeda dari akar yang diinginkan:

Jika kemudian

jika kemudian

jika kemudian .

Menjawab: :

: .

Soal 58. Misalkan , , , adalah bilangan kompleks yang berbeda dan . Buktikan itu

sebuah angka adalah bilangan positif nyata;

b) persamaan terjadi:

a) Mari kita nyatakan bilangan kompleks ini dalam bentuk trigonometri:

Sebagai .

Mari kita berpura-pura itu. Kemudian

Ekspresi terakhir adalah angka positif, karena ada angka dari interval di bawah tanda sinus.

karena nomor nyata dan positif. Memang, jika a dan b adalah bilangan kompleks dan nyata dan lebih besar dari nol, maka .

Di samping itu,

maka persamaan yang diperlukan terbukti.

Soal 59. Tulislah bilangan tersebut dalam bentuk aljabar .

Kami mewakili nomor dalam bentuk trigonometri, dan kemudian menemukan bentuk aljabarnya. Kita punya . Untuk kita mendapatkan sistem:

Dari sini berikut persamaannya: .

Menerapkan rumus De Moivre:

kita mendapatkan

Bentuk trigonometri dari bilangan yang diberikan ditemukan.

Kami sekarang menulis nomor ini dalam bentuk aljabar:

Menjawab: .

Soal 60. Tentukan jumlah , ,

Pertimbangkan jumlah

Menerapkan rumus De Moivre, kami menemukan

Jumlah ini adalah jumlah n suku suatu barisan geometri dengan penyebut dan anggota pertama .

Dengan menerapkan rumus untuk jumlah suku-suku dari progresi seperti itu, kita memperoleh

Memisahkan bagian imajiner dalam ekspresi terakhir, kami menemukan

Memisahkan bagian nyata, kami juga memperoleh rumus berikut: , , .

Soal 61. Temukan jumlahnya:

sebuah) ; b) .

Menurut rumus Newton untuk menaikkan pangkat, kita memiliki

Menurut rumus De Moivre, kita menemukan:

Menyamakan bagian nyata dan imajiner dari ekspresi yang diperoleh untuk , Kami memiliki:

dan .

Rumus-rumus ini dapat ditulis dalam bentuk ringkas sebagai berikut:

, dimana adalah bagian bilangan bulat dari bilangan a.

Soal 62. Temukan semua yang .

Sejauh , kemudian, menerapkan rumus

, Untuk mengekstrak akar, kita mendapatkan ,

Karena itu, , ,

, .

Titik-titik yang bersesuaian dengan bilangan-bilangan tersebut terletak pada simpul-simpul bujur sangkar yang tertulis dalam lingkaran berjari-jari 2 yang berpusat pada titik (0;0) (Gbr. 30).

Menjawab: , ,

, .

Soal 63. Selesaikan persamaannya , .

Dengan syarat; oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki akar, dan, oleh karena itu, setara dengan persamaan.

Agar bilangan z menjadi akar persamaan ini, bilangan tersebut harus merupakan akar ke-n dari bilangan 1.

Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa persamaan asli memiliki akar yang ditentukan dari persamaan

Dengan demikian,

yaitu ,

Menjawab: .

Soal 64. Selesaikan persamaan dalam himpunan bilangan kompleks.

Karena bilangan tersebut bukan akar dari persamaan ini, maka untuk persamaan ini ekivalen dengan persamaan

Yaitu persamaan.

Semua akar persamaan ini diperoleh dari rumus (lihat masalah 62):

; ; ; ; .

Soal 65. Gambarlah pada bidang kompleks satu set titik yang memenuhi pertidaksamaan: . (cara kedua untuk menyelesaikan masalah 45)

Biarlah .

Bilangan kompleks dengan modul yang sama sesuai dengan titik-titik bidang yang terletak pada lingkaran yang berpusat di titik asal, sehingga pertidaksamaan memenuhi semua titik dari cincin terbuka yang dibatasi oleh lingkaran dengan pusat yang sama di titik asal dan jari-jari dan (Gbr. 31). Biarkan beberapa titik dari bidang kompleks sesuai dengan nomor w0. Nomor , memiliki modulus kali lebih kecil dari modulus w0, argumen yang lebih besar dari argumen w0. Dari sudut pandang geometris, titik yang sesuai dengan w1 dapat diperoleh dengan menggunakan homothety yang berpusat pada titik asal dan koefisien , serta rotasi berlawanan arah jarum jam relatif terhadap titik asal. Sebagai hasil dari penerapan dua transformasi ini ke titik-titik cincin (Gbr. 31), yang terakhir akan berubah menjadi cincin yang dibatasi oleh lingkaran dengan pusat dan jari-jari 1 dan 2 yang sama (Gbr. 32).

transformasi diimplementasikan menggunakan translasi paralel pada vektor . Mentransfer cincin yang berpusat pada suatu titik ke vektor yang ditunjukkan, kami memperoleh cincin dengan ukuran yang sama yang berpusat pada suatu titik (Gbr. 22).

Metode yang diusulkan, yang menggunakan ide transformasi geometris pesawat, mungkin kurang nyaman dalam deskripsi, tetapi sangat elegan dan efisien.

Soal 66. Temukan jika .

Biarkan , maka dan . Persamaan asli akan berbentuk . Dari kondisi persamaan dua bilangan kompleks, kita peroleh , , Dimana , . Dengan demikian, .

Mari kita tuliskan bilangan z dalam bentuk trigonometri:

, di mana , . Menurut rumus De Moivre, kita temukan .

Jawaban: - 64.

Soal 67. Untuk bilangan kompleks, temukan semua bilangan kompleks sehingga , dan .

Mari kita nyatakan bilangan dalam bentuk trigonometri:

. Karena itu , . Untuk nomor yang kita dapatkan , bisa sama dengan baik .

Dalam kasus pertama , di detik

Menjawab: , .

Soal 68. Tentukan jumlah bilangan sehingga . Tentukan salah satu dari angka-angka ini.

Perhatikan bahwa dari rumusan masalah dapat dipahami bahwa jumlah akar persamaan dapat ditemukan tanpa menghitung akarnya sendiri. Memang, jumlah akar persamaan adalah koefisien , diambil dengan tanda yang berlawanan (teorema Vieta umum), yaitu

Siswa, dokumentasi sekolah, menarik kesimpulan tentang tingkat asimilasi konsep ini. Meringkas studi tentang ciri-ciri berpikir matematis dan proses pembentukan konsep bilangan kompleks. Deskripsi metode. Diagnostik: I panggung. Wawancara dilakukan dengan seorang guru matematika yang mengajar aljabar dan geometri di kelas 10. Percakapan terjadi setelah beberapa waktu berlalu ...

Resonansi "(!)), yang juga mencakup penilaian terhadap perilaku sendiri. 4. Penilaian kritis terhadap pemahaman seseorang terhadap situasi (keraguan). 5. Terakhir, penggunaan rekomendasi psikologi hukum (memperhitungkan aspek psikologis dari tindakan profesional yang dilakukan oleh pengacara - kesiapan psikologis profesional). Sekarang mari kita pertimbangkan analisis psikologis fakta hukum. ...

Matematika substitusi trigonometri dan verifikasi efektivitas metodologi pengajaran yang dikembangkan. Tahapan pekerjaan: 1. Pengembangan kursus opsional dengan topik: "Penerapan substitusi trigonometri untuk memecahkan masalah aljabar" dengan siswa di kelas dengan studi matematika yang mendalam. 2. Melakukan kursus opsional yang dikembangkan. 3. Melakukan kontrol diagnostik...

Tugas kognitif dimaksudkan hanya untuk melengkapi alat bantu pengajaran yang ada dan harus dalam kombinasi yang tepat dengan semua sarana dan elemen tradisional dari proses pendidikan. Perbedaan antara masalah pendidikan dalam mengajar humaniora dari eksak, masalah matematika hanya bahwa tidak ada rumus, algoritma kaku, dll dalam masalah sejarah, yang memperumit solusi mereka. ...

Tindakan pada bilangan kompleks ditulis dalam bentuk aljabar

Bentuk aljabar dari bilangan kompleks z =(sebuah,b) disebut ekspresi aljabar dari bentuk

z = sebuah + dua.

Operasi aritmatika pada bilangan kompleks z 1 = 1 +b 1 saya dan z 2 = 2 +b 2 saya, ditulis dalam bentuk aljabar, dilakukan sebagai berikut.

1. Jumlah (selisih) bilangan kompleks

z 1 ±z 2 = (sebuah 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)i,

itu. penjumlahan (pengurangan) dilakukan menurut aturan penjumlahan polinomial dengan pengurangan suku-suku yang sejenis.

2. Hasil kali bilangan kompleks

z 1 z 2 = (sebuah 1 a 2 -b 1 b 2) + (sebuah 1 b 2 + a 2 b 1)i,

itu. perkalian dilakukan menurut aturan biasa untuk perkalian polinomial, dengan mempertimbangkan fakta bahwa saya 2 = 1.

3. Pembagian dua bilangan kompleks dilakukan menurut aturan berikut:

, (z 2 ≠ 0),

itu. pembagian dilakukan dengan mengalikan dividen dan pembagi dengan konjugat dari pembagi.

Eksponensial bilangan kompleks didefinisikan sebagai berikut:

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa

Contoh.

1. Temukan jumlah bilangan kompleks z 1 = 2 – saya dan z 2 = – 4 + 3saya.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)i)+ (–4 + 3saya) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) saya = –2+2saya.

2. Temukan produk dari bilangan kompleks z 1 = 2 – 3saya dan z 2 = –4 + 5saya.

= (2 – 3saya) ∙ (–4 + 5saya) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3saya)+ 2∙5saya– 3saya 5saya = 7+22saya.

3. Temukan pribadi z dari divisi z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – saya.

z= .

4. Selesaikan persamaan :, x dan kamu Î R.

(2x+y) + (x+y)saya = 2 + 3saya.

Berdasarkan persamaan bilangan kompleks, kita memiliki:

di mana x=–1 , kamu= 4.

5. Hitung: saya 2 ,saya 3 ,saya 4 ,saya 5 ,saya 6 ,saya -1 , saya -2 .

6. Hitung jika .

7. Menghitung kebalikan dari suatu bilangan z=3-saya.

Bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri

pesawat yang kompleks disebut bidang dengan koordinat Cartesius ( x, y), jika setiap titik dengan koordinat ( a, b) diberi bilangan kompleks z = a + bi. Dalam hal ini, sumbu absis disebut sumbu nyata, dan sumbu y adalah imajiner. Maka setiap bilangan kompleks a+bi direpresentasikan secara geometris pada bidang sebagai titik A (a, b) atau vektor .

Oleh karena itu, posisi titik TETAPI(dan karenanya bilangan kompleks z) dapat diatur dengan panjang vektor | | = r dan sudut j dibentuk oleh vektor | | dengan arah positif dari sumbu nyata. Panjang suatu vektor disebut modulus bilangan kompleks dan dilambangkan dengan | z|=r, dan sudut j ditelepon argumen bilangan kompleks dan dilambangkan j = argz.

Jelas bahwa | z| 0 dan | z | = 0 Û z= 0.

Dari gambar. 2 menunjukkan bahwa.

Argumen bilangan kompleks didefinisikan secara ambigu, dan hingga 2 pk, kÎ Z.

Dari gambar. 2 juga menunjukkan bahwa jika z=a+bi dan j=argz, kemudian

karena j =, dosa j =, tg j = .

Jika sebuah zОR dan z > 0 lalu argz = 0 +2pk;

jika zR dan z< 0 lalu argz = p + 2pk;

jika z= 0,argz tidak ditentukan.

Nilai utama argumen ditentukan pada interval 0 £argz£2 p,

atau -p£ arg z £ p.

Contoh:

1. Temukan modulus bilangan kompleks z 1 = 4 – 3saya dan z 2 = –2–2saya.