Tingkat pertama

Persamaan linear. Panduan Lengkap (2019)

Apa itu "persamaan linier"

atau secara lisan - tiga orang teman masing-masing diberi apel, berdasarkan fakta bahwa Vasya memiliki semua apel.

Dan sekarang Anda telah memutuskan persamaan linier
Sekarang mari kita beri istilah ini definisi matematika.

Persamaan Linier - adalah persamaan aljabar yang derajat total polinomial penyusunnya adalah. Ini terlihat seperti ini:

Dimana dan adalah sembarang bilangan dan

Untuk kasus kami dengan Vasya dan apel, kami akan menulis:

- "Jika Vasya memberi ketiga temannya jumlah apel yang sama, dia tidak akan memiliki apel yang tersisa"

Persamaan linear "tersembunyi", atau pentingnya transformasi identik

Terlepas dari kenyataan bahwa pada pandangan pertama semuanya sangat sederhana, ketika menyelesaikan persamaan, Anda harus berhati-hati, karena persamaan linier tidak hanya disebut persamaan bentuk, tetapi juga persamaan apa pun yang direduksi menjadi bentuk ini dengan transformasi dan penyederhanaan. Sebagai contoh:

Kami melihat bahwa itu di sebelah kanan, yang, secara teori, sudah menunjukkan bahwa persamaan itu tidak linier. Selain itu, jika kita membuka kurung, kita akan mendapatkan dua suku lagi yang akan menjadi, tapi jangan langsung menyimpulkan! Sebelum menilai apakah persamaan tersebut linier, perlu dilakukan semua transformasi dan dengan demikian menyederhanakan contoh aslinya. Dalam hal ini, transformasi dapat mengubah tampilan, tetapi bukan inti dari persamaan.

Dengan kata lain, transformasi ini harus identik atau setara. Hanya ada dua transformasi seperti itu, tetapi mereka memainkan peran yang sangat, SANGAT penting dalam memecahkan masalah. Mari kita pertimbangkan kedua transformasi pada contoh konkret.

Pindah ke kiri - kanan.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

Kembali di sekolah dasar, kami diberitahu: "dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan." Apa ekspresi dengan x di sebelah kanan? Benar, tidak bagaimana tidak. Dan ini penting, karena jika pertanyaan yang tampaknya sederhana ini disalahpahami, jawaban yang salah akan keluar. Dan apa ekspresi dengan x di sebelah kiri? Benar, .

Sekarang kita telah berurusan dengan ini, kita mentransfer semua istilah dengan yang tidak diketahui ke kiri, dan semua yang diketahui ke kanan, mengingat bahwa jika tidak ada tanda di depan angka, misalnya, maka angkanya positif, itu adalah, didahului dengan tanda " ".

Terharu? Apa yang kamu dapatkan?

Semua yang masih harus dilakukan adalah membawa istilah yang sama. Kami menyajikan:

Jadi, kami telah berhasil menguraikan transformasi identik pertama, meskipun saya yakin Anda sudah mengetahuinya dan secara aktif menggunakannya tanpa saya. Hal utama - jangan lupa tentang tanda-tanda angka dan ubah menjadi kebalikannya saat mentransfer melalui tanda sama dengan!

Perkalian-pembagian.

Mari kita mulai segera dengan sebuah contoh

Kami melihat dan berpikir: apa yang tidak kami sukai dalam contoh ini? Yang tidak diketahui ada di satu bagian, yang diketahui ada di bagian lain, tetapi ada sesuatu yang menghentikan kita ... Dan ini adalah sesuatu - empat, karena jika tidak ada, semuanya akan sempurna - x sama dengan angka - persis seperti yang kita butuhkan!

Bagaimana Anda bisa menyingkirkannya? Kami tidak dapat mentransfer ke kanan, karena dengan demikian kami perlu mentransfer seluruh pengganda (kami tidak dapat mengambilnya dan merobeknya), dan mentransfer seluruh pengganda juga tidak masuk akal ...

Saatnya untuk mengingat tentang pembagian, sehubungan dengan itu kami akan membagi semuanya menjadi! Semua - ini berarti sisi kiri dan kanan. Jadi dan hanya begitu! Apa yang kita dapatkan?

Inilah jawabannya.

Sekarang mari kita lihat contoh lain:

Tebak apa yang harus dilakukan dalam kasus ini? Itu benar, kalikan bagian kiri dan kanan dengan! Apa jawaban yang Anda dapatkan? Benar. .

Tentunya Anda sudah tahu segalanya tentang transformasi identik. Pertimbangkan bahwa kami baru saja menyegarkan pengetahuan ini dalam ingatan Anda dan inilah saatnya untuk sesuatu yang lebih - Misalnya, untuk memecahkan contoh besar kami:

Seperti yang kami katakan sebelumnya, melihatnya, Anda tidak dapat mengatakan bahwa persamaan ini linier, tetapi kami perlu membuka tanda kurung dan melakukan transformasi yang identik. Jadi mari kita mulai!

Untuk memulainya, kita mengingat rumus untuk perkalian yang disingkat, khususnya, kuadrat dari jumlah dan kuadrat dari selisihnya. Jika Anda tidak ingat apa itu dan bagaimana tanda kurung dibuka, saya sangat menyarankan untuk membaca topik ini, karena keterampilan ini akan berguna bagi Anda saat menyelesaikan hampir semua contoh yang ditemukan dalam ujian.
Terungkap? Membandingkan:

Sekarang saatnya untuk membawa istilah seperti. Apakah Anda ingat bagaimana kami diberitahu di kelas dasar yang sama "kami tidak menaruh lalat dengan irisan daging"? Di sini saya mengingatkan Anda tentang ini. Kami menambahkan semuanya secara terpisah - faktor yang memiliki, faktor yang memiliki, dan faktor lain yang tidak memiliki yang tidak diketahui. Saat Anda membawa suku yang sama, pindahkan semua yang tidak diketahui ke kiri, dan semua yang diketahui ke kanan. Apa yang kamu dapatkan?

Seperti yang Anda lihat, kotak-x telah menghilang, dan kami melihat yang benar-benar biasa persamaan linier. Tetap hanya untuk menemukan!

Dan akhirnya, saya akan mengatakan satu hal lagi yang sangat penting tentang transformasi identik - transformasi identik tidak hanya berlaku untuk persamaan linier, tetapi juga untuk kuadrat, pecahan rasional, dan lainnya. Anda hanya perlu ingat bahwa ketika mentransfer faktor melalui tanda sama dengan, kami mengubah tanda menjadi kebalikannya, dan ketika membagi atau mengalikan dengan beberapa angka, kami mengalikan / membagi kedua sisi persamaan dengan angka yang sama.

Apa lagi yang Anda ambil dari contoh ini? Bahwa dengan melihat suatu persamaan tidak selalu mungkin untuk menentukan secara langsung dan akurat apakah persamaan tersebut linier atau tidak. Anda harus terlebih dahulu menyederhanakan ekspresi, dan baru kemudian menilai apa itu.

Persamaan linear. Contoh.

Berikut adalah beberapa contoh lagi untuk Anda praktikkan sendiri - tentukan apakah persamaannya linier dan jika ya, temukan akarnya:

Jawaban:

1. Adalah.

2. Tidak.

Mari kita buka tanda kurung dan berikan istilah serupa:

Mari kita membuat transformasi yang identik - kita membagi bagian kiri dan kanan menjadi:

Kita melihat bahwa persamaan tersebut tidak linier, sehingga tidak perlu dicari akar-akarnya.

3. Adalah.

Mari kita buat transformasi yang identik - kalikan bagian kiri dan kanan dengan untuk menghilangkan penyebutnya.

Pikirkan mengapa begitu penting untuk? Jika Anda tahu jawaban untuk pertanyaan ini, kami beralih ke penyelesaian persamaan lebih lanjut, jika tidak, pastikan untuk melihat topik agar tidak membuat kesalahan dalam contoh yang lebih kompleks. By the way, seperti yang Anda lihat, situasi di mana tidak mungkin. Mengapa?
Jadi mari kita lanjutkan dan atur ulang persamaannya:

Jika Anda mengatasi semuanya tanpa kesulitan, mari kita bicara tentang persamaan linier dengan dua variabel.

Persamaan Linier dengan Dua Variabel

Sekarang mari kita beralih ke yang sedikit lebih rumit - persamaan linier dengan dua variabel.

Persamaan linear dengan dua variabel terlihat seperti:

Dimana, dan adalah setiap nomor dan.

Seperti yang Anda lihat, satu-satunya perbedaan adalah bahwa satu variabel lagi ditambahkan ke persamaan. Jadi semuanya sama - tidak ada x kuadrat, tidak ada pembagian dengan variabel, dll. dll.

Apa contoh hidup untuk memberi Anda ... Mari kita sama Vasya. Misalkan dia memutuskan bahwa dia akan memberikan masing-masing dari 3 temannya jumlah apel yang sama, dan menyimpan apel untuk dirinya sendiri. Berapa banyak apel yang harus dibeli Vasya jika dia memberi masing-masing temannya sebuah apel? Bagaimana dengan? Bagaimana jika oleh?

Ketergantungan jumlah apel yang akan diterima setiap orang pada jumlah apel yang perlu dibeli akan dinyatakan dengan persamaan:

• - jumlah apel yang akan diterima seseorang (, atau, atau);
• - jumlah apel yang akan diambil Vasya untuk dirinya sendiri;
• - berapa banyak apel yang perlu dibeli Vasya, dengan mempertimbangkan jumlah apel per orang.

Memecahkan masalah ini, kita mendapatkan bahwa jika Vasya memberi satu teman sebuah apel, maka dia perlu membeli potongan, jika dia memberi apel - dan seterusnya.

Dan secara umum. Kami memiliki dua variabel. Mengapa tidak memplot ketergantungan ini pada grafik? Kami membangun dan menandai nilai kami, yaitu, poin, dengan koordinat, dan!

Seperti yang Anda lihat, dan saling bergantung secara linier, maka nama persamaan - “ linier».

Kami abstrak dari apel dan mempertimbangkan persamaan grafis yang berbeda. Perhatikan baik-baik dua grafik yang dibangun - garis lurus dan parabola, yang diberikan oleh fungsi arbitrer:

Temukan dan tandai titik yang sesuai pada kedua gambar.
Apa yang kamu dapatkan?

Anda dapat melihatnya pada grafik fungsi pertama sendiri sesuai satu, yaitu, dan bergantung satu sama lain secara linier, yang tidak dapat dikatakan tentang fungsi kedua. Tentu saja, Anda dapat menolak bahwa pada grafik kedua, x juga sesuai dengan - , tetapi ini hanya satu titik, yaitu kasus khusus, karena Anda masih dapat menemukan satu yang sesuai dengan lebih dari satu. Dan grafik yang dibangun tidak menyerupai garis dengan cara apa pun, tetapi merupakan parabola.

Saya ulangi, sekali lagi: grafik persamaan linier harus berupa garis LURUS.

Dengan fakta bahwa persamaan tersebut tidak akan linier, jika kita melangkah sejauh mana pun - ini dapat dimengerti dengan menggunakan contoh parabola, meskipun untuk Anda sendiri Anda dapat membuat beberapa grafik yang lebih sederhana, misalnya atau. Tapi saya jamin - tidak satupun dari mereka akan menjadi GARIS LURUS.

Tidak percaya? Bangun lalu bandingkan dengan yang saya dapatkan:

Dan apa yang terjadi jika kita membagi sesuatu dengan, misalnya, beberapa angka? Apakah akan ada ketergantungan linier dan? Kami tidak akan berdebat, tetapi kami akan membangun! Sebagai contoh, mari kita plot grafik fungsi.

Entah bagaimana itu tidak terlihat seperti garis lurus yang dibangun ... karenanya, persamaannya tidak linier.
Mari kita rangkum:

1. Persamaan Linier - adalah persamaan aljabar yang derajat total polinomial penyusunnya sama.
2. Persamaan Linier dengan satu variabel terlihat seperti:
   , di mana dan adalah sembarang angka;
   Persamaan Linier dengan dua variabel:
   , di mana, dan adalah bilangan apa saja.
3. Tidak selalu mungkin untuk menentukan apakah suatu persamaan linier atau tidak. Terkadang, untuk memahami hal ini, Anda perlu melakukan transformasi yang identik, memindahkan suku-suku serupa ke kiri / kanan, tidak lupa mengubah tandanya, atau mengalikan / membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.

PERSAMAAN LINEAR. SINGKAT TENTANG UTAMA

1. Persamaan linier

Ini adalah persamaan aljabar di mana derajat total polinomial penyusunnya sama.

2. Persamaan linier dengan satu variabel seperti:

Di mana dan adalah nomor apa saja;

3. Persamaan linier dengan dua variabel seperti:

Dimana, dan adalah bilangan apa saja.

4. Transformasi identitas

Untuk menentukan apakah persamaan tersebut linier atau tidak, perlu dilakukan transformasi yang identik:

• pindah ke kiri/kanan seperti istilah, tidak lupa mengubah tanda;
• mengalikan/membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.

Belajar memecahkan persamaan adalah salah satu tugas utama yang diberikan aljabar kepada siswa. Dimulai dengan yang paling sederhana, ketika terdiri dari satu yang tidak diketahui, dan beralih ke yang lebih kompleks. Jika Anda belum menguasai tindakan yang akan dilakukan dengan persamaan dari kelompok pertama, akan sulit untuk berurusan dengan orang lain.

Untuk melanjutkan percakapan, kita perlu menyepakati notasi.

Bentuk umum persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui dan prinsip penyelesaiannya

Persamaan apa saja yang dapat ditulis seperti ini:

a * x = dalam,

ditelepon linier. Ini adalah rumus umumnya. Namun seringkali dalam tugas, persamaan linier ditulis dalam bentuk implisit. Kemudian diperlukan untuk melakukan transformasi identik untuk mendapatkan notasi yang diterima secara umum. Tindakan ini meliputi:

• kurung buka;
• memindahkan semua suku dengan nilai variabel ke sisi kiri persamaan, dan sisanya ke kanan;
• pengurangan istilah serupa.

Dalam kasus ketika nilai yang tidak diketahui ada dalam penyebut pecahan, perlu untuk menentukan nilainya yang ekspresinya tidak masuk akal. Dengan kata lain, ia seharusnya mengetahui domain persamaan.

Prinsip penyelesaian semua persamaan linier adalah membagi nilai di ruas kanan persamaan dengan koefisien di depan variabel. Artinya, "x" akan sama dengan / a.

Kasus khusus persamaan linear dan penyelesaiannya

Selama penalaran, mungkin ada saat-saat ketika persamaan linier mengambil salah satu bentuk khusus. Masing-masing dari mereka memiliki solusi khusus.

Dalam situasi pertama:

a * x = 0, dan 0.

Solusi persamaan ini akan selalu x = 0.

Dalam kasus kedua, "a" mengambil nilai yang sama dengan nol:

0 * x = 0.

Jawaban dari persamaan ini adalah bilangan apa saja. Artinya, ia memiliki jumlah akar yang tak terbatas.

Situasi ketiga terlihat seperti ini:

0*x=dalam, dimana dalam 0.

Persamaan ini tidak masuk akal. Karena tidak ada akar yang memuaskannya.

Bentuk umum persamaan linear dengan dua variabel

Dari namanya menjadi jelas bahwa sudah ada dua besaran yang tidak diketahui di dalamnya. Persamaan Linier dengan Dua Variabel terlihat seperti ini:

a * x + b * y = c.

Karena ada dua yang tidak diketahui dalam entri, jawabannya akan terlihat seperti sepasang angka. Artinya, tidak cukup hanya menentukan satu nilai. Ini akan menjadi jawaban yang tidak lengkap. Pasangan besaran yang persamaannya menjadi identitas adalah penyelesaian persamaan tersebut. Selain itu, dalam jawaban, variabel yang didahulukan dalam alfabet selalu ditulis terlebih dahulu. Kadang-kadang dikatakan bahwa angka-angka ini memuaskannya. Selain itu, pasangan semacam itu bisa berjumlah tak terbatas.

Bagaimana menyelesaikan persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui?

Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu mengambil sepasang angka yang ternyata benar. Untuk mempermudah, Anda dapat mengambil salah satu yang tidak diketahui yang sama dengan beberapa bilangan prima, dan kemudian menemukan yang kedua.

Saat menyelesaikan, Anda sering kali harus melakukan tindakan untuk menyederhanakan persamaan. Mereka disebut transformasi identik. Selain itu, sifat-sifat berikut selalu benar untuk persamaan:

• setiap istilah dapat dipindahkan ke bagian yang berlawanan dari persamaan dengan mengganti tandanya dengan yang berlawanan;
• sisi kiri dan kanan persamaan apa pun diizinkan untuk dibagi dengan angka yang sama, jika tidak sama dengan nol.

Contoh tugas dengan persamaan linier

Tugas pertama. Memecahkan persamaan linier: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Dalam persamaan yang muncul pertama dalam daftar ini, cukup dengan membagi 20 dengan 4. Hasilnya adalah 5. Ini jawabannya: x \u003d 5.

Persamaan ketiga mengharuskan transformasi identitas dilakukan. Ini akan terdiri dari kurung buka dan membawa istilah serupa. Setelah tindakan pertama, persamaan akan berbentuk: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Maka Anda perlu mentransfer semua yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, dan sisanya ke kanan. Persamaannya akan terlihat seperti ini: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Setelah membawa suku-suku serupa: 14x \u003d 16. Sekarang tampilannya sama dengan yang pertama, dan solusinya mudah ditemukan. Jawabannya adalah x=8/7. Tetapi dalam matematika seharusnya mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa. Kemudian hasilnya akan diubah, dan "x" akan sama dengan satu keseluruhan dan satu ketujuh.

Dalam contoh yang tersisa, variabel-variabelnya ada dalam penyebut. Ini berarti Anda harus terlebih dahulu mencari tahu untuk nilai apa persamaan didefinisikan. Untuk melakukan ini, Anda harus mengecualikan angka yang penyebutnya menjadi nol. Pada contoh pertama adalah "-4", yang kedua adalah "-3". Artinya, nilai-nilai ini harus dikeluarkan dari jawabannya. Setelah itu, Anda perlu mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi dalam penyebut.

Buka kurung dan bawa suku yang sejenis, persamaan pertama menjadi: 5x + 15 = 4x + 16, dan persamaan kedua 5x + 15 = 4x + 12. Setelah transformasi, solusi persamaan pertama adalah x = -1. Yang kedua ternyata sama dengan "-3", yang berarti yang terakhir tidak memiliki solusi.

Tugas kedua. Selesaikan persamaan: -7x + 2y = 5.

Misalkan x \u003d 1 pertama yang tidak diketahui, maka persamaan akan berbentuk -7 * 1 + 2y \u003d 5. Mentransfer pengali "-7" ke sisi kanan persamaan dan mengubah tandanya menjadi plus, ternyata keluar itu 2y \u003d 12. Jadi, y =6. Jawaban: salah satu solusi dari persamaan x = 1, y = 6.

Bentuk umum pertidaksamaan dengan satu variabel

Semua kemungkinan situasi ketidaksetaraan disajikan di sini:

• a * x > b;
• kapak< в;
• a*x v;
• a * x c.

Secara umum, sepertinya persamaan linier paling sederhana, hanya tanda sama dengan yang diganti dengan pertidaksamaan.

Aturan untuk transformasi pertidaksamaan yang identik

Sama seperti persamaan linier, pertidaksamaan dapat dimodifikasi menurut hukum tertentu. Mereka sampai pada ini:

1. ekspresi literal atau numerik apa pun dapat ditambahkan ke bagian kiri dan kanan pertidaksamaan, dan tanda pertidaksamaan akan tetap sama;
2. juga dimungkinkan untuk mengalikan atau membagi dengan bilangan positif yang sama, dari sini lagi tandanya tidak berubah;
3. ketika mengalikan atau membagi dengan angka negatif yang sama, persamaan akan tetap benar, asalkan tanda pertidaksamaan dibalik.

Bentuk umum pertidaksamaan ganda

Dalam tugas, varian ketidaksetaraan berikut dapat disajikan:

• di< а * х < с;
• c a * x< с;
• di< а * х ≤ с;
• c a * x c.

Disebut rangkap karena dibatasi oleh tanda pertidaksamaan di kedua sisinya. Ini diselesaikan dengan menggunakan aturan yang sama seperti pertidaksamaan biasa. Dan menemukan jawabannya bermuara pada serangkaian transformasi yang identik. Sampai diperoleh yang paling sederhana.

Fitur penyelesaian pertidaksamaan ganda

Yang pertama adalah gambarnya pada sumbu koordinat. Tidak perlu menggunakan metode ini untuk pertidaksamaan sederhana. Tetapi dalam kasus-kasus sulit, itu mungkin hanya perlu.

Untuk menggambarkan ketidaksetaraan, perlu untuk menandai pada sumbu semua titik yang diperoleh selama penalaran. Ini adalah nilai yang tidak valid, yang dilambangkan dengan titik, dan nilai dari ketidaksetaraan yang diperoleh setelah transformasi. Di sini juga, penting untuk menarik poin dengan benar. Jika pertidaksamaannya tegas, maka< или >, lalu nilai-nilai ini ditusuk. Dalam ketidaksetaraan non-ketat, poin harus dilukis.

Maka perlu untuk menunjukkan arti dari ketidaksetaraan. Ini dapat dilakukan dengan penetasan atau busur. Persimpangan mereka akan menunjukkan jawabannya.

Fitur kedua terkait dengan perekamannya. Dua opsi ditawarkan di sini. Yang pertama adalah ketidaksetaraan tertinggi. Yang kedua adalah dalam bentuk celah. Di sinilah dia mendapat masalah. Jawaban di celah selalu terlihat seperti variabel dengan tanda kepemilikan dan tanda kurung dengan angka. Terkadang ada beberapa celah, maka Anda perlu menulis simbol "dan" di antara tanda kurung. Tanda-tanda ini terlihat seperti ini: dan . Tanda kurung jarak juga berperan. Bulat ditempatkan ketika titik dikeluarkan dari jawaban, dan persegi panjang termasuk nilai ini. Tanda tak terhingga selalu dalam tanda kurung.

Contoh penyelesaian pertidaksamaan

1. Selesaikan pertidaksamaan 7 - 5x 37.

Setelah transformasi sederhana, ternyata: -5x 30. Membagi dengan "-5", Anda bisa mendapatkan ekspresi berikut: x -6. Ini sudah merupakan jawaban, tetapi dapat ditulis dengan cara lain: x (-∞; -6].

2. Selesaikan pertidaksamaan ganda -4< 2x + 6 ≤ 8.

Pertama, Anda perlu mengurangi 6 di mana-mana, ternyata: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Sistem persamaan banyak digunakan dalam industri ekonomi dalam pemodelan matematika dari berbagai proses. Misalnya, ketika memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, rute logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam bidang matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linear adalah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang perlu dicari penyelesaiannya. Barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan sejati atau membuktikan bahwa barisan itu tidak ada.

Persamaan Linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang tidak diketahui, yang nilainya harus dicari, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan.
Memecahkan persamaan dengan memplot grafiknya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya adalah solusi dari polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling sederhana adalah contoh sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, di mana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Memecahkan sistem persamaan - itu berarti menemukan nilai-nilai seperti itu (x, y) yang sistemnya menjadi persamaan sejati, atau untuk menetapkan bahwa tidak ada nilai x dan y yang cocok.

Sepasang nilai (x, y), yang ditulis sebagai koordinat titik, disebut solusi sistem persamaan linier.

Jika sistem memiliki satu solusi umum atau tidak ada solusi, mereka disebut setara.

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol. Jika bagian kanan setelah tanda "sama dengan" memiliki nilai atau dinyatakan dengan fungsi, sistem seperti itu tidak homogen.

Jumlah variabel bisa lebih dari dua, maka kita harus berbicara tentang contoh sistem persamaan linier dengan tiga variabel atau lebih.

Dihadapkan dengan sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui, tetapi tidak demikian. Jumlah persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabel, bisa ada sejumlah besar variabel secara sewenang-wenang.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada cara analitis umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu, semua metode didasarkan pada solusi numerik. Kursus matematika sekolah menjelaskan secara rinci metode seperti permutasi, penambahan aljabar, substitusi, serta metode grafis dan matriks, solusi dengan metode Gauss.

Tugas utama dalam mengajar metode pemecahan adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritme solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi untuk memahami prinsip-prinsip penerapan metode tertentu.

Solusi dari contoh sistem persamaan linier kelas 7 program sekolah pendidikan umum cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat rinci. Dalam setiap buku teks tentang matematika, bagian ini diberikan perhatian yang cukup. Solusi contoh sistem persamaan linier dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari secara lebih rinci di kursus pertama lembaga pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan metode substitusi

Tindakan metode substitusi ditujukan untuk mengekspresikan nilai dari satu variabel melalui yang kedua. Ekspresi disubstitusikan ke persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk variabel tunggal. Tindakan diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita beri contoh sistem persamaan linier kelas 7 dengan metode substitusi:

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu untuk mendapatkan satu variabel Y dalam persamaan ke-2 . Solusi dari contoh ini tidak menyebabkan kesulitan dan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir adalah memeriksa nilai yang diperoleh.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linear dengan substitusi. Persamaan bisa rumit dan ekspresi variabel dalam hal yang tidak diketahui kedua akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Ketika ada lebih dari 3 yang tidak diketahui dalam sistem, solusi substitusi juga tidak praktis.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaian menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem dengan metode penjumlahan, penjumlahan suku demi suku dan perkalian persamaan dengan berbagai bilangan dilakukan. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dengan satu variabel.

Penerapan metode ini membutuhkan latihan dan pengamatan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode penjumlahan dengan jumlah variabel 3 atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar berguna jika persamaan mengandung pecahan dan bilangan desimal.

Algoritma tindakan solusi:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan beberapa angka. Sebagai hasil dari operasi aritmatika, salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
2. Tambahkan istilah ekspresi yang dihasilkan dengan istilah dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
3. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 dari sistem untuk menemukan variabel yang tersisa.

Metode solusi dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem perlu menemukan solusi untuk tidak lebih dari dua persamaan, jumlah yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode ini digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan sehubungan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Dapat dilihat dari contoh bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat direduksi menjadi trinomial kuadrat standar. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Penting untuk mencari nilai diskriminan dengan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah pengali polinomial. Dalam contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan lebih kecil dari nol, maka hanya ada satu solusi: x= -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penambahan.

Sebuah metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk sistem dengan 3 persamaan. Metode ini terdiri dari plotting grafik dari setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva akan menjadi solusi umum sistem.

Metode grafis memiliki sejumlah nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linier secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik dibangun untuk setiap baris, nilai variabel x dipilih secara acak: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai y ditemukan: 3 dan 0. Titik-titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulang untuk persamaan kedua. Titik potong garis adalah solusi dari sistem.

Dalam contoh berikut, diperlukan untuk menemukan solusi grafis untuk sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, sistem tidak memiliki solusi, karena grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang panjangnya.

Sistem dari Contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun, menjadi jelas bahwa solusi mereka berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah sistem memiliki solusi atau tidak, selalu perlu untuk membangun grafik.

Matriks dan varietasnya

Matriks digunakan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Matriks adalah jenis tabel khusus yang diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks dikatakan bujur sangkar jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Suatu matriks dengan satuan sepanjang salah satu diagonal dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks terbalik adalah matriks seperti itu, ketika dikalikan dengan yang asli menjadi satu unit, matriks seperti itu hanya ada untuk kuadrat asli.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, koefisien dan anggota bebas dari persamaan ditulis sebagai bilangan matriks, satu persamaan adalah satu baris matriks.

Baris matriks disebut bukan nol jika setidaknya satu elemen baris tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabel berbeda, maka perlu untuk memasukkan nol di tempat yang tidak diketahui yang hilang.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Ini berarti bahwa koefisien variabel x hanya dapat ditulis dalam satu kolom, misalnya yang pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya di kolom kedua.

Saat mengalikan matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan angka.

Opsi untuk menemukan matriks terbalik

Rumus untuk mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 adalah matriks invers dan |K| - penentu matriks. |K| tidak harus sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi.

Determinan mudah dihitung untuk matriks dua kali dua, hanya perlu mengalikan elemen secara diagonal satu sama lain. Untuk opsi "tiga per tiga", ada rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom sehingga nomor kolom dan baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan pengurangan entri yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar variabel dan persamaan.

Dalam contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriks adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Solusi sistem dengan metode Gauss

Dalam matematika yang lebih tinggi, metode Gauss dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses menemukan solusi untuk sistem disebut metode penyelesaian Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel dari sistem dengan sejumlah besar persamaan linier.

Metode Gaussian sangat mirip dengan solusi substitusi dan penambahan aljabar, tetapi lebih sistematis. Dalam kursus sekolah, solusi Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk membawa sistem ke bentuk trapesium terbalik. Dengan transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - dengan 3 dan 4 variabel, masing-masing.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah untuk kelas 7, contoh solusi Gaussian dijelaskan sebagai berikut:

Seperti dapat dilihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Solusi dari salah satu persamaan akan memungkinkan Anda untuk menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5, yang disebutkan dalam teks, mengatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan yang setara, maka sistem yang dihasilkan juga akan setara dengan yang asli.

Metode Gauss sulit dipahami oleh siswa sekolah menengah, tetapi merupakan salah satu cara yang paling menarik untuk mengembangkan kecerdasan anak-anak yang belajar di program studi lanjutan di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan perhitungan pencatatan, biasanya dilakukan hal-hal berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks bersesuaian dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka Romawi menunjukkan jumlah persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menuliskan matriks yang digunakan untuk bekerja, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan terus melakukan operasi aljabar yang diperlukan hingga hasilnya tercapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu diagonalnya adalah 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat perhitungan dengan jumlah kedua sisi persamaan.

Notasi ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu oleh penghitungan banyak hal yang tidak diketahui.

Aplikasi gratis dari metode solusi apa pun akan membutuhkan perawatan dan sejumlah pengalaman. Tidak semua metode diterapkan. Beberapa cara untuk menemukan solusi lebih disukai di bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pembelajaran.

Belajar memecahkan persamaan adalah salah satu tugas utama yang diberikan aljabar kepada siswa. Dimulai dengan yang paling sederhana, ketika terdiri dari satu yang tidak diketahui, dan beralih ke yang lebih kompleks. Jika Anda belum menguasai tindakan yang akan dilakukan dengan persamaan dari kelompok pertama, akan sulit untuk berurusan dengan orang lain.

Untuk melanjutkan percakapan, kita perlu menyepakati notasi.

Bentuk umum persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui dan prinsip penyelesaiannya

Persamaan apa saja yang dapat ditulis seperti ini:

a * x = dalam,

ditelepon linier. Ini adalah rumus umumnya. Namun seringkali dalam tugas, persamaan linier ditulis dalam bentuk implisit. Kemudian diperlukan untuk melakukan transformasi identik untuk mendapatkan notasi yang diterima secara umum. Tindakan ini meliputi:

• kurung buka;
• memindahkan semua suku dengan nilai variabel ke sisi kiri persamaan, dan sisanya ke kanan;
• pengurangan istilah serupa.

Dalam kasus ketika nilai yang tidak diketahui ada dalam penyebut pecahan, perlu untuk menentukan nilainya yang ekspresinya tidak masuk akal. Dengan kata lain, ia seharusnya mengetahui domain persamaan.

Prinsip penyelesaian semua persamaan linier adalah membagi nilai di ruas kanan persamaan dengan koefisien di depan variabel. Artinya, "x" akan sama dengan / a.

Kasus khusus persamaan linear dan penyelesaiannya

Selama penalaran, mungkin ada saat-saat ketika persamaan linier mengambil salah satu bentuk khusus. Masing-masing dari mereka memiliki solusi khusus.

Dalam situasi pertama:

a * x = 0, dan 0.

Solusi persamaan ini akan selalu x = 0.

Dalam kasus kedua, "a" mengambil nilai yang sama dengan nol:

0 * x = 0.

Jawaban dari persamaan ini adalah bilangan apa saja. Artinya, ia memiliki jumlah akar yang tak terbatas.

Situasi ketiga terlihat seperti ini:

0*x=dalam, dimana dalam 0.

Persamaan ini tidak masuk akal. Karena tidak ada akar yang memuaskannya.

Bentuk umum persamaan linear dengan dua variabel

Dari namanya menjadi jelas bahwa sudah ada dua besaran yang tidak diketahui di dalamnya. Persamaan Linier dengan Dua Variabel terlihat seperti ini:

a * x + b * y = c.

Karena ada dua yang tidak diketahui dalam entri, jawabannya akan terlihat seperti sepasang angka. Artinya, tidak cukup hanya menentukan satu nilai. Ini akan menjadi jawaban yang tidak lengkap. Pasangan besaran yang persamaannya menjadi identitas adalah penyelesaian persamaan tersebut. Selain itu, dalam jawaban, variabel yang didahulukan dalam alfabet selalu ditulis terlebih dahulu. Kadang-kadang dikatakan bahwa angka-angka ini memuaskannya. Selain itu, pasangan semacam itu bisa berjumlah tak terbatas.

Bagaimana menyelesaikan persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui?

Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu mengambil sepasang angka yang ternyata benar. Untuk mempermudah, Anda dapat mengambil salah satu yang tidak diketahui yang sama dengan beberapa bilangan prima, dan kemudian menemukan yang kedua.

Saat menyelesaikan, Anda sering kali harus melakukan tindakan untuk menyederhanakan persamaan. Mereka disebut transformasi identik. Selain itu, sifat-sifat berikut selalu benar untuk persamaan:

• setiap istilah dapat dipindahkan ke bagian yang berlawanan dari persamaan dengan mengganti tandanya dengan yang berlawanan;
• sisi kiri dan kanan persamaan apa pun diizinkan untuk dibagi dengan angka yang sama, jika tidak sama dengan nol.

Contoh tugas dengan persamaan linier

Tugas pertama. Memecahkan persamaan linier: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Dalam persamaan yang muncul pertama dalam daftar ini, cukup dengan membagi 20 dengan 4. Hasilnya adalah 5. Ini jawabannya: x \u003d 5.

Persamaan ketiga mengharuskan transformasi identitas dilakukan. Ini akan terdiri dari kurung buka dan membawa istilah serupa. Setelah tindakan pertama, persamaan akan berbentuk: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Maka Anda perlu mentransfer semua yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, dan sisanya ke kanan. Persamaannya akan terlihat seperti ini: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Setelah membawa suku-suku serupa: 14x \u003d 16. Sekarang tampilannya sama dengan yang pertama, dan solusinya mudah ditemukan. Jawabannya adalah x=8/7. Tetapi dalam matematika seharusnya mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa. Kemudian hasilnya akan diubah, dan "x" akan sama dengan satu keseluruhan dan satu ketujuh.

Dalam contoh yang tersisa, variabel-variabelnya ada dalam penyebut. Ini berarti Anda harus terlebih dahulu mencari tahu untuk nilai apa persamaan didefinisikan. Untuk melakukan ini, Anda harus mengecualikan angka yang penyebutnya menjadi nol. Pada contoh pertama adalah "-4", yang kedua adalah "-3". Artinya, nilai-nilai ini harus dikeluarkan dari jawabannya. Setelah itu, Anda perlu mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi dalam penyebut.

Buka kurung dan bawa suku yang sejenis, persamaan pertama menjadi: 5x + 15 = 4x + 16, dan persamaan kedua 5x + 15 = 4x + 12. Setelah transformasi, solusi persamaan pertama adalah x = -1. Yang kedua ternyata sama dengan "-3", yang berarti yang terakhir tidak memiliki solusi.

Tugas kedua. Selesaikan persamaan: -7x + 2y = 5.

Misalkan x \u003d 1 pertama yang tidak diketahui, maka persamaan akan berbentuk -7 * 1 + 2y \u003d 5. Mentransfer pengali "-7" ke sisi kanan persamaan dan mengubah tandanya menjadi plus, ternyata keluar itu 2y \u003d 12. Jadi, y =6. Jawaban: salah satu solusi dari persamaan x = 1, y = 6.

Bentuk umum pertidaksamaan dengan satu variabel

Semua kemungkinan situasi ketidaksetaraan disajikan di sini:

• a * x > b;
• kapak< в;
• a*x v;
• a * x c.

Secara umum, sepertinya persamaan linier paling sederhana, hanya tanda sama dengan yang diganti dengan pertidaksamaan.

Aturan untuk transformasi pertidaksamaan yang identik

Sama seperti persamaan linier, pertidaksamaan dapat dimodifikasi menurut hukum tertentu. Mereka sampai pada ini:

1. ekspresi literal atau numerik apa pun dapat ditambahkan ke bagian kiri dan kanan pertidaksamaan, dan tanda pertidaksamaan akan tetap sama;
2. juga dimungkinkan untuk mengalikan atau membagi dengan bilangan positif yang sama, dari sini lagi tandanya tidak berubah;
3. ketika mengalikan atau membagi dengan angka negatif yang sama, persamaan akan tetap benar, asalkan tanda pertidaksamaan dibalik.

Bentuk umum pertidaksamaan ganda

Dalam tugas, varian ketidaksetaraan berikut dapat disajikan:

• di< а * х < с;
• c a * x< с;
• di< а * х ≤ с;
• c a * x c.

Disebut rangkap karena dibatasi oleh tanda pertidaksamaan di kedua sisinya. Ini diselesaikan dengan menggunakan aturan yang sama seperti pertidaksamaan biasa. Dan menemukan jawabannya bermuara pada serangkaian transformasi yang identik. Sampai diperoleh yang paling sederhana.

Fitur penyelesaian pertidaksamaan ganda

Yang pertama adalah gambarnya pada sumbu koordinat. Tidak perlu menggunakan metode ini untuk pertidaksamaan sederhana. Tetapi dalam kasus-kasus sulit, itu mungkin hanya perlu.

Untuk menggambarkan ketidaksetaraan, perlu untuk menandai pada sumbu semua titik yang diperoleh selama penalaran. Ini adalah nilai yang tidak valid, yang dilambangkan dengan titik, dan nilai dari ketidaksetaraan yang diperoleh setelah transformasi. Di sini juga, penting untuk menarik poin dengan benar. Jika pertidaksamaannya tegas, maka< или >, lalu nilai-nilai ini ditusuk. Dalam ketidaksetaraan non-ketat, poin harus dilukis.

Maka perlu untuk menunjukkan arti dari ketidaksetaraan. Ini dapat dilakukan dengan penetasan atau busur. Persimpangan mereka akan menunjukkan jawabannya.

Fitur kedua terkait dengan perekamannya. Dua opsi ditawarkan di sini. Yang pertama adalah ketidaksetaraan tertinggi. Yang kedua adalah dalam bentuk celah. Di sinilah dia mendapat masalah. Jawaban di celah selalu terlihat seperti variabel dengan tanda kepemilikan dan tanda kurung dengan angka. Terkadang ada beberapa celah, maka Anda perlu menulis simbol "dan" di antara tanda kurung. Tanda-tanda ini terlihat seperti ini: dan . Tanda kurung jarak juga berperan. Bulat ditempatkan ketika titik dikeluarkan dari jawaban, dan persegi panjang termasuk nilai ini. Tanda tak terhingga selalu dalam tanda kurung.

Contoh penyelesaian pertidaksamaan

1. Selesaikan pertidaksamaan 7 - 5x 37.

Setelah transformasi sederhana, ternyata: -5x 30. Membagi dengan "-5", Anda bisa mendapatkan ekspresi berikut: x -6. Ini sudah merupakan jawaban, tetapi dapat ditulis dengan cara lain: x (-∞; -6].

2. Selesaikan pertidaksamaan ganda -4< 2x + 6 ≤ 8.

Pertama, Anda perlu mengurangi 6 di mana-mana, ternyata: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Dan seterusnya, adalah logis untuk berkenalan dengan persamaan jenis lain. Baris berikutnya adalah persamaan linear, studi tujuan yang dimulai pada pelajaran aljabar di kelas 7.

Jelas bahwa pertama-tama Anda perlu menjelaskan apa itu persamaan linier, memberikan definisi persamaan linier, koefisiennya, menunjukkan bentuk umumnya. Kemudian Anda dapat mengetahui berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan linier tergantung pada nilai koefisien, dan bagaimana akarnya ditemukan. Ini akan memungkinkan Anda untuk beralih ke pemecahan contoh, dan dengan demikian mengkonsolidasikan teori yang dipelajari. Pada artikel ini kita akan melakukan ini: kita akan membahas secara rinci semua poin teoretis dan praktis mengenai persamaan linier dan solusinya.

Katakanlah segera bahwa di sini kita hanya akan mempertimbangkan persamaan linier dengan satu variabel, dan dalam artikel terpisah kita akan mempelajari prinsip-prinsip penyelesaian persamaan linear dua variabel.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan linier?

Definisi persamaan linier diberikan oleh bentuk notasinya. Selain itu, dalam buku teks matematika dan aljabar yang berbeda, rumusan definisi persamaan linier memiliki beberapa perbedaan yang tidak mempengaruhi esensi masalah.

Misalnya, dalam buku teks aljabar untuk kelas 7 oleh Yu.N. Makarycheva dan lainnya, persamaan linier didefinisikan sebagai berikut:

Definisi.

Ketik persamaan kapak = b, di mana x adalah variabel, a dan b adalah beberapa angka, disebut persamaan linear dengan satu variabel.

Mari kita berikan contoh persamaan linier yang sesuai dengan definisi bersuara. Misalnya, 5 x=10 adalah persamaan linier dengan satu variabel x , di sini koefisien a adalah 5 , dan angka b adalah 10 . Contoh lain: 2.3 y=0 juga merupakan persamaan linier, tetapi dengan variabel y , di mana a=−2.3 dan b=0 . Dan pada persamaan linier x=−2 dan x=3.33 a tidak ada secara eksplisit dan masing-masing sama dengan 1 dan 1, sedangkan pada persamaan pertama b=−2 dan persamaan kedua - b=3.33 .

Dan setahun sebelumnya, dalam buku teks matematika oleh N. Ya. Vilenkin, persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui, selain persamaan bentuk a x = b, juga dianggap persamaan yang dapat direduksi menjadi bentuk ini dengan mentransfer suku dari satu bagian dari persamaan ke yang lain dengan tanda yang berlawanan, serta dengan mengurangi suku yang sama. Menurut definisi ini, persamaan bentuk 5 x=2 x+6 , dll. juga linier.

Pada gilirannya, definisi berikut diberikan dalam buku teks aljabar untuk 7 kelas oleh A. G. Mordkovich:

Definisi.

Persamaan linier dengan satu variabel x adalah persamaan berbentuk a x+b=0 , di mana a dan b adalah beberapa bilangan, yang disebut koefisien persamaan linier.

Misalnya, persamaan linier semacam ini adalah 2 x−12=0, di sini koefisien a sama dengan 2, dan b sama dengan 12, dan 0,2 y+4.6=0 dengan koefisien a=0.2 dan b =4.6. Tetapi pada saat yang sama, ada contoh persamaan linier yang bentuknya bukan a x+b=0 , tetapi a x=b , misalnya 3 x=12 .

Mari, agar kita tidak memiliki perbedaan di masa depan, di bawah persamaan linier dengan satu variabel x dan koefisien a dan b kita akan memahami persamaan bentuk a x+b=0 . Jenis persamaan linier ini tampaknya menjadi yang paling dibenarkan, karena persamaan linier adalah persamaan aljabar gelar pertama. Dan semua persamaan lain yang ditunjukkan di atas, serta persamaan yang direduksi menjadi bentuk a x+b=0 dengan bantuan transformasi yang setara, akan disebut persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier. Dengan pendekatan ini, persamaan 2 x+6=0 adalah persamaan linier, dan 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, dst. adalah persamaan linier.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear?

Sekarang saatnya untuk mencari tahu bagaimana persamaan linear a x+b=0 diselesaikan. Dengan kata lain, inilah saatnya untuk mengetahui apakah persamaan linear memiliki akar, dan jika demikian, berapa banyak dan bagaimana menemukannya.

Kehadiran akar persamaan linier tergantung pada nilai koefisien a dan b. Dalam hal ini, persamaan linear a x+b=0 memiliki

• satu-satunya akar di a≠0 ,
• tidak memiliki akar untuk a=0 dan b≠0 ,
• memiliki banyak akar tak hingga untuk a=0 dan b=0 , dalam hal ini bilangan apa pun adalah akar persamaan linier.

Mari kita jelaskan bagaimana hasil ini diperoleh.

Kita tahu bahwa untuk menyelesaikan persamaan, adalah mungkin untuk beralih dari persamaan asli ke persamaan yang setara, yaitu, ke persamaan dengan akar yang sama atau, seperti persamaan asli, tanpa akar. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan transformasi setara berikut:

• transfer istilah dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan tanda yang berlawanan,
• dan juga mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Jadi, dalam persamaan linier dengan satu variabel berbentuk a x + b=0, kita dapat memindahkan suku b dari ruas kiri ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan. Dalam hal ini, persamaan akan berbentuk a x = b.

Dan kemudian pembagian kedua bagian persamaan dengan angka a menunjukkan dirinya sendiri. Tetapi ada satu hal: angka a bisa sama dengan nol, dalam hal ini pembagian seperti itu tidak mungkin. Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama kita akan mengasumsikan bahwa angka a berbeda dari nol, dan kemudian mempertimbangkan kasus nol secara terpisah.

Jadi, ketika a tidak sama dengan nol, maka kita dapat membagi kedua bagian persamaan a x=−b dengan a , setelah itu diubah menjadi bentuk x=(−b): a , hasil ini dapat ditulis menggunakan a garis padat sebagai.

Jadi, untuk a≠0, persamaan linier a·x+b=0 ekuivalen dengan persamaan , dari mana akarnya terlihat.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa akar ini unik, yaitu, persamaan linier tidak memiliki akar lain. Ini memungkinkan Anda untuk melakukan metode sebaliknya.

Mari kita nyatakan akarnya sebagai x 1 . Misalkan ada akar lain dari persamaan linier, yang kita nyatakan x 2, dan x 2 x 1, yang karena definisi bilangan yang sama melalui selisih ekuivalen dengan kondisi x 1 x 2 0 . Karena x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan linear a x+b=0, maka persamaan numerik a x 1 +b=0 dan a x 2 +b=0 terjadi. Kita dapat mengurangi bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan-persamaan ini, yang mana sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita untuk melakukannya, kita memiliki a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , dari mana a (x 1 x 2)+( b−b)=0 dan kemudian a (x 1 x 2)=0 . Dan persamaan ini tidak mungkin, karena keduanya a≠0 dan x 1 x 2 0. Jadi kita sampai pada suatu kontradiksi, yang membuktikan keunikan akar persamaan linear a·x+b=0 untuk a≠0 .

Jadi kita telah menyelesaikan persamaan linear a x+b=0 dengan a≠0 . Hasil pertama yang diberikan pada awal subbagian ini dibenarkan. Ada dua lagi yang memenuhi syarat a=0 .

Untuk a=0 persamaan linear a·x+b=0 menjadi 0·x+b=0 . Dari persamaan ini dan sifat mengalikan bilangan dengan nol, dapat disimpulkan bahwa berapa pun bilangan yang kita ambil sebagai x, ketika kita mensubstitusikannya ke dalam persamaan 0 x+b=0, kita mendapatkan persamaan numerik b=0. Persamaan ini benar ketika b=0 , dan dalam kasus lain ketika b≠0 persamaan ini salah.

Oleh karena itu, dengan a=0 dan b=0, bilangan apa pun adalah akar dari persamaan linier a x+b=0, karena dalam kondisi ini, mensubstitusikan bilangan apa pun sebagai ganti x memberikan persamaan numerik yang benar 0=0. Dan untuk a=0 dan b≠0, persamaan linear a x+b=0 tidak memiliki akar, karena dalam kondisi ini, mensubstitusikan bilangan apa pun sebagai ganti x menghasilkan persamaan numerik yang salah b=0.

Pembenaran di atas memungkinkan untuk membentuk urutan tindakan yang memungkinkan penyelesaian persamaan linier apa pun. Jadi, algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear adalah:

• Pertama, dengan menulis persamaan linier, kita menemukan nilai koefisien a dan b.
• Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan ini memiliki banyak akar tak terhingga, yaitu, bilangan apa pun adalah akar dari persamaan linier ini.
• Jika a berbeda dari nol, maka
• koefisien b dipindahkan ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan, sedangkan persamaan linier diubah menjadi bentuk a x=−b ,
• setelah itu kedua bagian persamaan yang dihasilkan dibagi dengan angka bukan nol a, yang memberikan akar persamaan linier asli yang diinginkan.

Algoritma tertulis adalah jawaban lengkap untuk pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan persamaan linier.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, perlu dikatakan bahwa algoritma serupa digunakan untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x=b. Perbedaannya terletak pada kenyataan bahwa ketika a≠0, kedua bagian persamaan langsung dibagi dengan angka ini, di sini b sudah berada di bagian persamaan yang diinginkan dan tidak perlu dipindahkan.

Untuk menyelesaikan persamaan bentuk a x=b, algoritma berikut digunakan:

• Jika a=0 dan b=0 , maka persamaan tersebut memiliki banyak akar tak terhingga, yang merupakan bilangan apa pun.
• Jika a=0 dan b≠0 , maka persamaan awal tidak memiliki akar.
• Jika a bukan nol, maka kedua ruas persamaan dibagi dengan bilangan bukan nol a, dari mana akar persamaan yang sama dengan b / a ditemukan satu-satunya.

Contoh penyelesaian persamaan linear

Mari kita lanjutkan untuk berlatih. Mari kita menganalisis bagaimana algoritma untuk memecahkan persamaan linier diterapkan. Mari kita sajikan solusi dari contoh tipikal yang sesuai dengan nilai koefisien persamaan linier yang berbeda.

Contoh.

Selesaikan persamaan linear 0 x−0=0 .

Keputusan.

Dalam persamaan linier ini, a=0 dan b=−0 , yang sama dengan b=0 . Oleh karena itu, persamaan ini memiliki banyak akar tak terhingga, bilangan apa pun adalah akar dari persamaan ini.

Menjawab:

x adalah bilangan apa saja.

Contoh.

Apakah persamaan linear 0 x+2.7=0 memiliki solusi?

Keputusan.

Dalam hal ini, koefisien a sama dengan nol, dan koefisien b dari persamaan linier ini sama dengan 2,7, yaitu berbeda dari nol. Oleh karena itu, persamaan linier tidak memiliki akar.