Persamaan di mana variabel berada di bawah tanda akar disebut irasional.
Metode untuk memecahkan persamaan irasional, sebagai suatu peraturan, didasarkan pada kemungkinan penggantian (dengan bantuan beberapa transformasi) persamaan irasional dengan persamaan rasional yang setara dengan persamaan irasional asli atau konsekuensinya. Paling sering, kedua sisi persamaan dipangkatkan dengan pangkat yang sama. Dalam hal ini, persamaan diperoleh, yang merupakan konsekuensi dari yang asli.
Dalam menyelesaikan persamaan irasional, hal-hal berikut harus diperhatikan:
1) jika indeks akar adalah bilangan genap, maka ekspresi radikal harus non-negatif; nilai akar juga non-negatif (definisi akar dengan eksponen genap);
2) jika indeks akar adalah bilangan ganjil, maka ekspresi radikal dapat berupa bilangan real apa pun; dalam hal ini, tanda akar sama dengan tanda ekspresi akar.
Contoh 1 selesaikan persamaannya
Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan.
x 2 - 3 \u003d 1;
Kami mentransfer -3 dari sisi kiri persamaan ke sisi kanan dan melakukan pengurangan suku yang serupa.
x 2 \u003d 4;
Persamaan kuadrat tidak lengkap yang dihasilkan memiliki dua akar -2 dan 2.
Mari kita periksa akar yang diperoleh, untuk ini kita akan mensubstitusi nilai variabel x ke dalam persamaan aslinya.
Penyelidikan.
Ketika x 1 \u003d -2 - benar:
Ketika x 2 \u003d -2- benar.
Oleh karena itu, persamaan irasional asli memiliki dua akar -2 dan 2.
Contoh 2 selesaikan persamaannya .
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang sama seperti pada contoh pertama, tetapi kita akan melakukannya secara berbeda.
Mari kita cari ODZ dari persamaan ini. Dari definisi akar kuadrat, maka dalam persamaan ini dua kondisi harus dipenuhi secara bersamaan:
ODZ dari persamaan yang diberikan: x.
Jawaban: tidak ada akar.
Contoh 3 selesaikan persamaannya =+ 2.
Menemukan ODZ dalam persamaan ini adalah tugas yang agak sulit. Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
Setelah memeriksa, kami menetapkan bahwa x 2 \u003d 0 adalah root tambahan.
Jawaban: x 1 \u003d 1.
Contoh 4 Selesaikan persamaan x =.
Dalam contoh ini, ODZ mudah ditemukan. ODZ dari persamaan ini: x[-1;).
Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan ini, sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan x 2 \u003d x + 1. Akar persamaan ini:
Sulit untuk memeriksa akar yang ditemukan. Namun, terlepas dari kenyataan bahwa kedua akar termasuk dalam ODZ, tidak mungkin untuk menyatakan bahwa kedua akar adalah akar dari persamaan asli. Ini akan menghasilkan kesalahan. Dalam hal ini, persamaan irasional setara dengan kombinasi dua pertidaksamaan dan satu persamaan:
x+10 dan x0 dan x 2 \u003d x + 1, yang berarti bahwa akar negatif untuk persamaan irasional adalah asing dan harus dibuang.
Contoh 5 . Selesaikan persamaan += 7.
Mari kuadratkan kedua sisi persamaan dan lakukan pengurangan suku yang serupa, pindahkan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain dan kalikan kedua bagian dengan 0,5. Akibatnya, kita mendapatkan persamaan
= 12, (*) yang merupakan konsekuensi dari yang asli. Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan lagi. Kami mendapatkan persamaan (x + 5) (20 - x) = 144, yang merupakan konsekuensi dari yang asli. Persamaan yang dihasilkan direduksi menjadi bentuk x 2 - 15x + 44 =0.
Persamaan ini (yang juga merupakan konsekuensi dari yang asli) memiliki akar x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Kedua akar, seperti yang ditunjukkan oleh pengujian, memenuhi persamaan asli.
Reputasi. x 1 = 4, x 2 = 11.
Komentar. Saat mengkuadratkan persamaan, siswa sering kali dalam persamaan seperti (*) mengalikan ekspresi akar, yaitu, alih-alih persamaan = 12, mereka menulis persamaan = 12. Ini tidak menyebabkan kesalahan, karena persamaan adalah konsekuensi dari persamaan. Namun, harus diingat bahwa dalam kasus umum, perkalian ekspresi radikal seperti itu memberikan persamaan yang tidak setara.
Dalam contoh yang dibahas di atas, adalah mungkin untuk terlebih dahulu mentransfer salah satu radikal ke ruas kanan persamaan. Kemudian satu radikal akan tetap berada di ruas kiri persamaan, dan setelah mengkuadratkan kedua ruas persamaan, akan diperoleh fungsi rasional di ruas kiri persamaan. Teknik ini (solitude of the radikal) cukup sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan irasional.
Contoh 6. Selesaikan persamaan-= 3.
Setelah mengisolasi radikal pertama, kita memperoleh persamaan
=+ 3, yang setara dengan yang asli.
Mengkuadratkan kedua sisi persamaan ini, kita mendapatkan persamaan
x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, yang setara dengan persamaan
4x - 5 = 3(*). Persamaan ini merupakan konsekuensi dari persamaan awal. Mengkuadratkan kedua sisi persamaan, kita sampai pada persamaan
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), atau
7x2 - 13x - 2 = 0.
Persamaan ini merupakan konsekuensi dari persamaan (*) (dan karenanya persamaan asli) dan memiliki akar. Akar pertama x 1 = 2 memenuhi persamaan awal, dan yang kedua x 2 =- tidak.
Jawab: x = 2.
Perhatikan bahwa jika kita segera, tanpa mengisolasi salah satu radikal, mengkuadratkan kedua bagian persamaan asli, kita harus melakukan transformasi yang agak rumit.
Saat menyelesaikan persamaan irasional, selain isolasi radikal, metode lain juga digunakan. Pertimbangkan contoh penggunaan metode penggantian yang tidak diketahui (metode pengenalan variabel tambahan).
Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Cukup sering, tanda akar ditemukan dalam persamaan, dan banyak yang keliru percaya bahwa persamaan seperti itu sulit untuk dipecahkan. Untuk persamaan seperti itu dalam matematika ada istilah khusus, yang disebut persamaan dengan akar - persamaan irasional.
Perbedaan utama dalam menyelesaikan persamaan dengan akar dari persamaan lain, misalnya, kuadrat, logaritmik, linier, adalah bahwa mereka tidak memiliki algoritma solusi standar. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan persamaan irasional, perlu dilakukan analisis data awal dan memilih solusi yang lebih sesuai.
Dalam kebanyakan kasus, untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, metode menaikkan kedua bagian persamaan ke pangkat yang sama digunakan.
Katakanlah persamaan berikut diberikan:
\[\sqrt((5x-16))=x-2\]
Kami kuadratkan kedua sisi persamaan:
\[\sqrt((5x-16)))^2 =(x-2)^2\], dimana berturut-turut kita peroleh:
Setelah menerima persamaan kuadrat, kami menemukan akarnya:
Menjawab: \
Jika kita mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan, kita akan mendapatkan persamaan yang benar, yang menunjukkan kebenaran data yang diperoleh.
Di mana saya bisa menyelesaikan persamaan dengan akar dengan pemecah online?
Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.
Persamaan irasional adalah setiap persamaan yang memiliki fungsi di bawah tanda akar. Sebagai contoh:
Persamaan seperti itu selalu diselesaikan dalam 3 langkah:
- Pisahkan akarnya. Dengan kata lain, jika ada bilangan atau fungsi lain di sebelah kiri tanda sama dengan selain akar, semua ini harus dipindahkan ke kanan dengan mengubah tandanya. Pada saat yang sama, hanya radikal yang harus tetap berada di sebelah kiri - tanpa koefisien apa pun.
- 2. Kita kuadratkan kedua sisi persamaan. Pada saat yang sama, ingatlah bahwa rentang akarnya adalah semua bilangan non-negatif. Oleh karena itu fungsi di sebelah kanan persamaan irasional juga harus non-negatif: g (x) 0.
- Langkah ketiga mengikuti secara logis dari yang kedua: Anda perlu melakukan pemeriksaan. Faktanya adalah bahwa pada langkah kedua kita dapat memiliki akar tambahan. Dan untuk memotongnya, perlu untuk mengganti nomor kandidat yang dihasilkan ke dalam persamaan asli dan memeriksa: apakah persamaan numerik yang benar benar-benar diperoleh?
Memecahkan persamaan irasional
Mari kita berurusan dengan persamaan irasional kita yang diberikan di awal pelajaran. Di sini akarnya sudah terpencil: di sebelah kiri tanda sama dengan tidak ada apa-apa selain akarnya. Mari kita kuadratkan kedua sisinya:
2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0
Kami memecahkan persamaan kuadrat yang dihasilkan melalui diskriminan:
D = b 2 4ac = (−4) 2 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2
Tetap hanya untuk mengganti angka-angka ini dalam persamaan asli, yaitu. melakukan pemeriksaan. Tetapi bahkan di sini Anda dapat melakukan hal yang benar untuk menyederhanakan keputusan akhir.
Bagaimana menyederhanakan penyelesaiannya?
Mari kita berpikir: mengapa kita bahkan memeriksa di akhir penyelesaian persamaan irasional? Kami ingin memastikan bahwa ketika mengganti akar kami, akan ada bilangan non-negatif di sebelah kanan tanda sama dengan. Lagi pula, kita sudah tahu pasti bahwa itu adalah bilangan non-negatif di sebelah kiri, karena akar kuadrat aritmatika (karena persamaan kita disebut irasional) menurut definisi tidak boleh kurang dari nol.
Oleh karena itu, kita hanya perlu memeriksa bahwa fungsi g ( x ) = 5 x , yang di sebelah kanan tanda sama dengan, adalah non-negatif:
g(x) 0
Kami mengganti akar kami ke dalam fungsi ini dan mendapatkan:
g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 (−2) = 5 + 2 = 7 > 0
Dari nilai yang diperoleh berikut bahwa akar x 1 = 6 tidak cocok untuk kita, karena ketika mensubstitusi ke ruas kanan persamaan asli, kita mendapatkan bilangan negatif. Tetapi root x 2 \u003d 2 cukup cocok untuk kita, karena:
- Akar ini adalah solusi untuk persamaan kuadrat yang diperoleh dengan menaikkan kedua sisi persamaan irasional menjadi persegi.
- Ruas kanan persamaan irasional awal, ketika akar x 2 = 2 disubstitusi, berubah menjadi bilangan positif, mis. rentang akar aritmatika tidak dilanggar.
Itulah keseluruhan algoritma! Seperti yang Anda lihat, menyelesaikan persamaan dengan radikal tidak begitu sulit. Hal utama adalah jangan lupa untuk memeriksa root yang diterima, jika tidak, kemungkinan besar akan mendapatkan jawaban tambahan.
Setiap tindakan baru dalam matematika secara instan menghasilkan kebalikannya. Dahulu kala, orang Yunani kuno menemukan bahwa sebidang tanah persegi panjang 2 meter dan lebar 2 meter akan memiliki luas 2 * 2 = 4 meter persegi (selanjutnya disebut m^2). Dan sekarang, sebaliknya, jika orang Yunani tahu bahwa sebidang tanahnya berbentuk bujur sangkar dan luasnya 4 m^2, bagaimana dia tahu berapa panjang dan berapa luas tanahnya? Sebuah operasi diperkenalkan yang merupakan kebalikan dari operasi kuadrat dan dikenal sebagai ekstraksi akar kuadrat. Orang-orang mulai memahami bahwa 2 kuadrat (2^2) sama dengan 4. Sebaliknya, akar kuadrat dari 4 (selanjutnya disebut (4)) akan sama dengan dua. Model menjadi lebih kompleks, catatan yang menjelaskan proses dengan akar juga menjadi lebih rumit. Muncul pertanyaan berkali-kali bagaimana menyelesaikan persamaan dengan akar.
Biarkan beberapa nilai x, ketika dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, memberikan 9. Ini dapat ditulis sebagai x * x \u003d 9. Atau melalui derajat: x^2=9. Untuk menemukan x, Anda harus mengambil akar dari 9, yang sampai batas tertentu sudah merupakan persamaan dengan akar: x=√(9) . Akar dapat diekstraksi secara lisan atau menggunakan kalkulator untuk ini. Selanjutnya, pertimbangkan masalah kebalikannya. Nilai tertentu, ketika mengekstrak akar kuadrat darinya, memberikan nilai 7. Jika kita menulis ini sebagai persamaan irasional, kita mendapatkan: (x) = 7. Untuk menyelesaikan masalah seperti itu, kedua bagian dari ekspresi harus dikuadratkan . Diketahui (x) *√(x) =x, ternyata x = 49. Akar segera siap dalam bentuk murninya. Selanjutnya, kita harus menganalisis contoh persamaan yang lebih kompleks dengan akar.
Biarkan 5 dikurangkan dari nilai tertentu, maka ekspresi dipangkatkan 1/2. Hasilnya, diperoleh angka 3. Sekarang kondisi ini harus ditulis sebagai persamaan: (x-5) =3. Selanjutnya, setiap bagian dari persamaan harus dikalikan dengan dirinya sendiri: x-5 = 3. Setelah dinaikkan ke pangkat kedua, ekspresi dibebaskan dari radikal. Sekarang ada baiknya memecahkan persamaan linier paling sederhana dengan memindahkan lima ke sisi kanan dan mengubah tandanya. x = 5+3. x = 8. Sayangnya, tidak semua proses kehidupan dapat digambarkan dengan persamaan sederhana seperti itu. Sangat sering Anda dapat menemukan ekspresi dengan beberapa radikal, terkadang tingkat akar bisa lebih tinggi dari yang kedua. Tidak ada algoritma solusi tunggal untuk identitas tersebut. Untuk setiap persamaan, ada baiknya mencari pendekatan khusus. Sebuah contoh diberikan di mana persamaan dengan akar memiliki derajat ketiga.
Akar pangkat tiga akan dilambangkan 3√. Hitunglah volume sebuah wadah yang berbentuk kubus dengan panjang rusuk 5 meter. Misal volumenya x m^3. Maka akar pangkat tiga volumenya akan sama dengan rusuk kubus dan sama dengan lima meter. Persamaan diperoleh: 3√(x) =5. Untuk menyelesaikannya, kedua bagian perlu dinaikkan ke pangkat ketiga, x = 125. Jawaban: 125 meter kubik. Di bawah ini adalah contoh persamaan dengan jumlah akar. (x) +√(x-1) =5. Pertama, Anda perlu mengkuadratkan kedua bagian. Untuk melakukan ini, perlu diingat rumus perkalian yang disingkat untuk kuadrat dari jumlah: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Menerapkan persamaan, ternyata: x + 2 * (x) * (x-1) + x-1 = 25. Selanjutnya, akar dibiarkan di sisi kiri, dan yang lainnya dipindahkan ke kanan : 2 * (x) * (x-1) = 26 - 2x. Lebih mudah untuk membagi kedua bagian ekspresi dengan 2: ((x) (x-1)) = 13 - x. Persamaan irasional yang lebih sederhana diperoleh.
Kemudian lagi, kedua bagian harus dikuadratkan: x * (x-1) \u003d 169 - 26x + x ^ 2. Penting untuk membuka tanda kurung dan membawa istilah serupa: x ^ 2 - x \u003d 169 - 26x + x ^ 2. pangkat kedua hilang, maka 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Setelah menyelesaikan pemeriksaan, mengganti akar yang dihasilkan ke dalam persamaan asli: (6.6) + (6.6-1) \u003d 2.6 + (5.6) \u003d 2.6 + 2.4 \u003d 5, Anda bisa mendapatkan jawaban yang memuaskan. Juga sangat penting untuk dipahami bahwa ekspresi dengan akar genap tidak boleh negatif. Memang, mengalikan angka apa pun dengan dirinya sendiri beberapa kali genap, tidak mungkin mendapatkan nilai yang kurang dari nol. Oleh karena itu, persamaan seperti (x ^ 2 + 7x-11) = -3 tidak dapat diselesaikan dengan aman, tetapi ditulis bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar. Seperti disebutkan di atas, solusi persamaan dengan radikal dapat mengambil berbagai bentuk.
Contoh sederhana persamaan di mana Anda perlu mengubah variabel. (y) - 5*4√(y) +6 = 0, di mana 4√(y) adalah akar keempat dari y. Penggantian yang diusulkan adalah sebagai berikut: x = 4√(y) . Setelah melakukan ini, ternyata: x ^ 2 - 5x + 6 = 0. Diperoleh persamaan kuadrat yang dihasilkan. Diskriminannya: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Akar pertama x1 akan sama dengan (5 + 1) /2 = 6/2 = 3. Akar kedua x2 = (5 - 1) / 2 = 4/ 2 = 2. Anda juga dapat mencari akar-akarnya menggunakan akibat wajar dari teorema Vieta. Akar ditemukan, penggantian terbalik harus dilakukan. 4√(y) = 3, maka y1 = 1.6. Juga 4√(y) = 2, dengan mengambil akar ke-4 ternyata y2 = 1.9. Nilai dihitung pada kalkulator. Tapi mereka tidak bisa melakukannya, meninggalkan jawaban dalam bentuk radikal.