Segera setelah saya bisa memberikan ceramah setelah operasi, pertanyaan pertama yang diajukan mahasiswa adalah:

Kapan Anda akan menggambar kubus 4 dimensi untuk kami? Ilyas Abdulkhaevich berjanji kepada kita!

Saya ingat teman-teman tersayang terkadang menyukai momen kegiatan pendidikan matematika. Oleh karena itu, saya akan menulis sebagian kuliah saya untuk ahli matematika di sini. Dan saya akan mencobanya tanpa merasa bosan. Tentu saja, di beberapa titik saya membaca ceramah dengan lebih ketat.

Mari kita sepakati terlebih dahulu. Ruang 4 dimensi, dan terlebih lagi 5-6-7- dan umumnya k-dimensi tidak diberikan kepada kita dalam sensasi indrawi.
“Kami malang karena kami hanya tiga dimensi,” seperti yang dikatakan guru Sekolah Minggu saya, yang pertama kali memberi tahu saya apa itu kubus 4 dimensi. Sekolah Minggu, tentu saja, sangat religius - matematis. Saat itu kami sedang mempelajari hiper-kubus. Seminggu sebelumnya, induksi matematika, seminggu setelah itu, siklus Hamilton dalam grafik - karenanya, ini adalah kelas 7.

Kita tidak bisa menyentuh, mencium, mendengar atau melihat kubus 4 dimensi. Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Kita bisa membayangkannya! Karena otak kita jauh lebih kompleks daripada mata dan tangan kita.

Jadi, untuk memahami apa itu kubus 4 dimensi, pertama-tama mari kita pahami apa saja yang tersedia bagi kita. Apa itu kubus 3 dimensi?

Oke oke! Saya tidak meminta Anda memberikan definisi matematis yang jelas. Bayangkan saja kubus tiga dimensi paling sederhana dan biasa. Diperkenalkan?

Bagus.
Untuk memahami cara menggeneralisasi kubus 3 dimensi menjadi ruang 4 dimensi, mari kita pahami apa itu kubus 2 dimensi. Ini sangat sederhana - itu persegi!

Sebuah persegi mempunyai 2 koordinat. Kubus memiliki tiga. Titik persegi adalah titik yang mempunyai dua koordinat. Yang pertama dari 0 sampai 1. Dan yang kedua dari 0 sampai 1. Titik-titik kubus mempunyai tiga koordinat. Dan masing-masing adalah angka apa pun dari 0 hingga 1.

Masuk akal untuk membayangkan kubus 4 dimensi adalah benda yang memiliki 4 koordinat dan semuanya dari 0 hingga 1.

/* Sangat logis untuk membayangkan sebuah kubus 1 dimensi, yang tidak lebih dari sebuah segmen sederhana dari 0 hingga 1. */

Jadi tunggu dulu, bagaimana cara menggambar kubus 4 dimensi? Lagi pula, kita tidak bisa menggambar ruang 4 dimensi di pesawat!
Tapi kita juga tidak menggambar ruang 3 dimensi pada sebuah bidang, kita menggambarnya proyeksi ke bidang gambar 2 dimensi. Kita letakkan koordinat ketiga (z) pada suatu sudut, bayangkan sumbu dari bidang gambar mengarah “ke arah kita”.

Sekarang sudah jelas cara menggambar kubus 4 dimensi. Dengan cara yang sama seperti kita memposisikan sumbu ketiga pada sudut tertentu, mari kita ambil sumbu keempat dan juga memposisikannya pada sudut tertentu.
Dan - voila! -- proyeksi kubus 4 dimensi ke bidang datar.

Apa? Apa ini sebenarnya? Saya selalu mendengar bisikan dari meja belakang. Izinkan saya menjelaskan lebih detail apa yang dimaksud dengan garis campur aduk ini.
Lihatlah dulu kubus tiga dimensi. Apa yang telah kita lakukan? Kami mengambil persegi dan menyeretnya sepanjang sumbu ketiga (z). Ini seperti banyak sekali kotak kertas yang direkatkan dalam satu tumpukan.
Sama halnya dengan kubus 4 dimensi. Mari kita sebut sumbu keempat, demi kenyamanan dan fiksi ilmiah, sebagai “sumbu waktu”. Kita perlu mengambil kubus tiga dimensi biasa dan menyeretnya melintasi waktu dari waktu “sekarang” ke waktu “satu jam lagi”.

Kami memiliki kubus "sekarang". Di gambar warnanya merah jambu.

Dan sekarang kita menyeretnya sepanjang sumbu keempat - sepanjang sumbu waktu (saya menunjukkannya dengan warna hijau). Dan kita mendapatkan kubus masa depan - biru.

Setiap simpul dari "kubus sekarang" meninggalkan jejak dalam waktu - sebuah segmen. Menghubungkan masa kini dengan masa depannya.

Singkatnya, tanpa lirik apa pun: kami menggambar dua kubus 3 dimensi yang identik dan menghubungkan simpul yang sesuai.
Persis sama seperti yang mereka lakukan dengan kubus 3 dimensi (gambar 2 kubus 2 dimensi yang identik dan hubungkan titik-titiknya).

Untuk menggambar kubus 5 dimensi, Anda harus menggambar dua salinan kubus 4 dimensi (kubus 4 dimensi dengan koordinat kelima 0 dan kubus 4 dimensi dengan koordinat kelima 1) dan menghubungkan simpul-simpul yang bersesuaian dengan tepinya. Benar, akan ada begitu banyak sisi di pesawat sehingga hampir mustahil untuk memahami apa pun.

Setelah kita membayangkan kubus 4 dimensi dan bahkan bisa menggambarnya, kita bisa menjelajahinya dengan berbagai cara. Ingatlah untuk menjelajahinya baik dalam pikiran Anda maupun dari gambar.
Misalnya. Sebuah kubus 2 dimensi dibatasi pada 4 sisinya oleh kubus 1 dimensi. Ini logis: untuk masing-masing dari 2 koordinat tersebut memiliki awal dan akhir.
Sebuah kubus 3 dimensi dibatasi pada 6 sisinya oleh kubus 2 dimensi. Untuk masing-masing dari ketiga koordinat tersebut memiliki awal dan akhir.
Artinya sebuah kubus 4 dimensi harus dibatasi oleh delapan kubus 3 dimensi. Untuk masing-masing dari 4 koordinat - di kedua sisi. Pada gambar di atas kita melihat dengan jelas 2 wajah yang membatasinya sepanjang koordinat “waktu”.

Berikut adalah dua kubus (agak miring karena memiliki 2 dimensi yang diproyeksikan ke bidang pada suatu sudut), membatasi hypercube kita di kiri dan kanan.

Juga mudah untuk melihat “atas” dan “bawah”.

Hal tersulitnya adalah memahami secara visual di mana letak “depan” dan “belakang”. Bagian depan dimulai dari tepi depan "kubus sekarang" dan ke tepi depan "kubus masa depan" - warnanya merah. Bagian belakang berwarna ungu.

Mereka adalah yang paling sulit untuk diperhatikan karena kubus lain kusut di bawah kaki, sehingga membatasi hypercube pada proyeksi koordinat yang berbeda. Namun perlu diingat bahwa kubusnya masih berbeda! Ini lagi gambarnya, di mana “kubus masa kini” dan “kubus masa depan” disorot.

Tentu saja dimungkinkan untuk memproyeksikan kubus 4 dimensi ke dalam ruang 3 dimensi.
Model spasial pertama yang mungkin terlihat jelas: Anda perlu mengambil 2 bingkai kubus dan menghubungkan simpul yang sesuai dengan tepi baru.
Saya tidak memiliki stok model ini saat ini. Pada perkuliahan saya menunjukkan kepada siswa model 3 dimensi yang sedikit berbeda dari kubus 4 dimensi.

Anda tahu bagaimana sebuah kubus diproyeksikan ke bidang seperti ini.
Ini seperti kita sedang melihat sebuah kubus dari atas.

Tepi dekatnya, tentu saja, besar. Dan ujung yang jauh terlihat lebih kecil, kita melihatnya dari ujung yang dekat.

Beginilah cara memproyeksikan kubus 4 dimensi. Kubus sekarang lebih besar, kita melihat kubus masa depan di kejauhan, sehingga terlihat lebih kecil.

Di sisi lain. Dari sisi atas.

Tepatnya dari sisi tepi:

Dari sisi tulang rusuk:

Dan sudut terakhir, asimetris. Dari bagian “beri tahu saya bahwa saya melihat di antara tulang rusuknya”.

Nah, kalau begitu Anda bisa memikirkan apa saja. Misalnya saja seperti halnya pengembangan kubus 3 dimensi menjadi sebuah bidang (seperti menggunting selembar kertas sehingga bila dilipat menjadi kubus), demikian pula halnya dengan pengembangan kubus 4 dimensi menjadi ruang angkasa. Ibaratnya memotong sebatang kayu sehingga dengan melipatnya dalam ruang 4 dimensi kita mendapatkan tesseract.

Anda tidak hanya dapat mempelajari kubus 4 dimensi, tetapi kubus n dimensi secara umum. Misalnya, benarkah jari-jari bola yang dibatasi pada kubus berdimensi n lebih kecil dari panjang rusuk kubus tersebut? Atau inilah pertanyaan yang lebih sederhana: berapa banyak simpul yang dimiliki kubus berdimensi n? Berapa banyak sisi (wajah 1 dimensi)?

Mari kita mulai dengan menjelaskan apa itu ruang empat dimensi.

Ini adalah ruang satu dimensi, yaitu sumbu OX. Setiap titik di atasnya dicirikan oleh satu koordinat.

Sekarang mari kita menggambar sumbu OY tegak lurus terhadap sumbu OX. Jadi kita mendapatkan ruang dua dimensi, yaitu bidang XOY. Setiap titik di atasnya dicirikan oleh dua koordinat - absis dan ordinat.

Mari kita menggambar sumbu OZ tegak lurus terhadap sumbu OX dan OY. Hasilnya adalah ruang tiga dimensi di mana setiap titik memiliki absis, ordinat, dan aplikasi.

Adalah logis bahwa sumbu keempat, OQ, harus tegak lurus terhadap sumbu OX, OY dan OZ secara bersamaan. Namun kita tidak dapat secara akurat membangun sumbu seperti itu, dan oleh karena itu kita hanya dapat mencoba membayangkannya. Setiap titik dalam ruang empat dimensi memiliki empat koordinat: x, y, z dan q.

Sekarang mari kita lihat bagaimana kubus empat dimensi muncul.

Gambar menunjukkan gambar dalam ruang satu dimensi - sebuah garis.

Jika Anda membuat translasi paralel dari garis ini sepanjang sumbu OY, dan kemudian menghubungkan ujung-ujung yang sesuai dari dua garis yang dihasilkan, Anda akan mendapatkan sebuah persegi.

Demikian pula, jika Anda membuat translasi paralel persegi sepanjang sumbu OZ dan menghubungkan simpul-simpul yang bersesuaian, Anda akan mendapatkan sebuah kubus.

Dan jika kita membuat translasi paralel kubus sepanjang sumbu OQ dan menghubungkan titik sudut kedua kubus tersebut, maka kita akan mendapatkan kubus empat dimensi. Ngomong-ngomong, itu namanya tesseract.

Untuk menggambar kubus di pesawat, Anda memerlukannya proyek. Secara visual terlihat seperti ini:

Bayangkan benda itu tergantung di udara di atas permukaan model rangka gambar kubus, seolah-olah “terbuat dari kawat”, dan di atasnya ada bola lampu. Jika Anda menyalakan bola lampu, menelusuri bayangan kubus dengan pensil, lalu mematikan bola lampu, proyeksi kubus akan tergambar di permukaan.

Mari beralih ke sesuatu yang sedikit lebih kompleks. Lihat lagi gambar bola lampu: seperti yang Anda lihat, semua sinar berkumpul di satu titik. Itu disebut titik hilang dan digunakan untuk membangun proyeksi perspektif(dan bisa juga sejajar, bila semua sinarnya sejajar satu sama lain. Hasilnya tidak tercipta sensasi volume, tapi lebih ringan, apalagi jika titik hilangnya cukup jauh dari objek yang diproyeksikan. , maka perbedaan antara kedua proyeksi ini sedikit terlihat). Untuk memproyeksikan suatu titik tertentu ke bidang tertentu menggunakan titik hilang, Anda perlu menggambar garis lurus yang melalui titik hilang dan titik tertentu, lalu mencari titik potong garis lurus yang dihasilkan dan bidang tersebut. Dan untuk memproyeksikan gambar yang lebih kompleks, katakanlah, sebuah kubus, Anda perlu memproyeksikan setiap simpulnya, dan kemudian menghubungkan titik-titik yang bersesuaian. Perlu dicatat bahwa algoritma untuk memproyeksikan ruang ke subruang dapat digeneralisasikan ke kasus 4D->3D, bukan hanya 3D->2D.

Seperti yang saya katakan, kita tidak dapat membayangkan secara pasti seperti apa sumbu OQ, seperti halnya Tesseract. Namun gambarannya terbatas jika kita memproyeksikannya ke dalam volume dan kemudian menggambarnya di layar komputer!

Sekarang mari kita bicara tentang proyeksi Tesseract.

Di sebelah kiri adalah proyeksi kubus ke bidang, dan di sebelah kanan adalah tesseract ke volume. Mereka sangat mirip: proyeksi sebuah kubus terlihat seperti dua kotak, kecil dan besar, satu di dalam yang lain, dan titik-titik yang bersesuaian dihubungkan oleh garis. Dan proyeksi tesseract terlihat seperti dua kubus, kecil dan besar, satu di dalam yang lain, dan simpul-simpul yang bersesuaian saling terhubung. Namun kita semua pernah melihat kubus, dan kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa persegi kecil dan persegi besar, serta keempat trapesium di atas, bawah, kanan dan kiri persegi kecil, sebenarnya adalah persegi, dan keduanya sama besar. . Dan tesseract memiliki hal yang sama. Dan sebuah kubus besar, dan sebuah kubus kecil, dan enam piramida terpotong di sisi-sisi kubus kecil - semuanya adalah kubus, dan keduanya sama besar.

Program saya tidak hanya dapat menggambar proyeksi tesseract ke suatu volume, tetapi juga memutarnya. Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan.

Pertama, saya akan memberi tahu Anda apa itu putaran sejajar bidang.

Bayangkan kubus berputar mengelilingi sumbu OZ. Kemudian masing-masing simpulnya menggambarkan lingkaran di sekitar sumbu OZ.

Lingkaran adalah bangun datar. Dan bidang-bidang dari masing-masing lingkaran ini sejajar satu sama lain, dan dalam hal ini sejajar dengan bidang XOY. Artinya, kita tidak hanya berbicara tentang rotasi pada sumbu OZ, tetapi juga tentang rotasi sejajar bidang XOY.Seperti yang bisa kita lihat, untuk titik-titik yang berputar sejajar sumbu XOY, hanya absis dan ordinatnya yang berubah, sedangkan penerapannya tetap Dan sebenarnya, kita hanya dapat membicarakan rotasi pada garis lurus jika kita berhadapan dengan ruang tiga dimensi. Dalam ruang dua dimensi segala sesuatu berputar mengelilingi suatu titik, dalam ruang empat dimensi segala sesuatu berputar mengelilingi suatu bidang, dalam ruang lima dimensi kita berbicara tentang rotasi pada suatu volume. Dan jika kita dapat membayangkan rotasi pada suatu titik, maka rotasi pada bidang dan volume adalah sesuatu yang tidak terpikirkan. Dan jika kita berbicara tentang rotasi sejajar bidang, maka dalam ruang berdimensi n mana pun suatu titik dapat berputar sejajar bidang.

Banyak dari Anda mungkin pernah mendengar tentang matriks rotasi. Mengalikan titik dengan itu, kita mendapatkan sebuah titik yang diputar sejajar dengan bidang dengan sudut phi. Untuk ruang dua dimensi tampilannya seperti ini:

Cara mengalikan: x suatu titik yang diputar oleh sudut phi = kosinus sudut phi*ix titik asal dikurangi sinus sudut phi*ig titik asal;
ig suatu titik yang diputar membentuk sudut phi = sinus sudut phi * ix titik asal ditambah kosinus sudut phi * ig titik asal.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, dimana Xa dan Ya adalah absis dan ordinat dari titik yang akan diputar, Xa` dan Ya` adalah absis dan ordinat dari titik yang sudah diputar.

Untuk ruang tiga dimensi, matriks ini digeneralisasikan sebagai berikut:

Rotasi sejajar bidang XOY. Seperti yang Anda lihat, koordinat Z tidak berubah, hanya X dan Y yang berubah
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (intinya, Za`=Za)

Rotasi sejajar dengan bidang XOZ. Tidak ada yang baru,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (intinya, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

Dan matriks ketiga.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (intinya, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

Dan untuk dimensi keempat terlihat seperti ini:


Saya rasa Anda sudah paham harus mengalikan dengan apa, jadi saya tidak akan membahasnya secara detail lagi. Namun saya perhatikan bahwa ia melakukan hal yang sama seperti matriks untuk rotasi sejajar dengan bidang dalam ruang tiga dimensi! Keduanya hanya mengubah ordinat dan aplikasinya, dan tidak menyentuh koordinat lainnya, sehingga dapat digunakan dalam kasus tiga dimensi, cukup dengan mengabaikan koordinat keempat.

Namun dengan rumus proyeksi, tidak semuanya sesederhana itu. Tidak peduli berapa banyak forum yang saya baca, tidak ada metode proyeksi yang berhasil untuk saya. Yang paralel tidak cocok untuk saya, karena proyeksinya tidak terlihat tiga dimensi. Dalam beberapa rumus proyeksi, untuk menemukan suatu titik, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan (dan saya tidak tahu cara mengajari komputer untuk menyelesaikannya), yang lain saya tidak mengerti... Secara umum, saya memutuskan untuk datang dengan caraku sendiri. Untuk tujuan ini, pertimbangkan proyeksi 2D->1D.

pov berarti "Sudut pandang", ptp berarti "Titik ke proyek" (titik yang akan diproyeksikan), dan ptp` adalah titik yang diinginkan pada sumbu OX.

Sudut povptpB dan ptpptp`A sama besar (garis putus-putus sejajar sumbu OX, garis lurus povptp adalah garis potong).
X titik ptp` sama dengan x titik ptp dikurangi panjang ruas ptp`A. Ruas ini dapat dicari dari segitiga ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangen sudut ptpptp`A. Kita dapat mencari garis singgung ini dari segitiga povptpB: tangen ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Jawaban: Xptp`=Xptp-Yptp/tangen sudut ptpptp`A.

Saya tidak menjelaskan algoritma ini secara rinci di sini, karena ada banyak kasus khusus ketika rumusnya agak berubah. Jika ada yang tertarik, lihat kode sumber programnya, semuanya dijelaskan di komentar.

Untuk memproyeksikan suatu titik dalam ruang tiga dimensi ke sebuah bidang, kita cukup mempertimbangkan dua bidang - XOZ dan YOZ, dan menyelesaikan masalah ini untuk masing-masing bidang tersebut. Dalam kasus ruang empat dimensi, tiga bidang perlu dipertimbangkan: XOQ, YOQ dan ZOQ.

Dan terakhir, tentang programnya. Cara kerjanya seperti ini: inisialisasi enam belas simpul tesseract -> tergantung pada perintah yang dimasukkan oleh pengguna, putar -> proyeksikan ke volume -> tergantung pada perintah yang dimasukkan oleh pengguna, putar proyeksinya -> proyeksikan ke pesawat -> menggambar.

Saya sendiri yang menulis proyeksi dan rotasinya. Mereka bekerja sesuai dengan rumus yang baru saja saya jelaskan. Pustaka OpenGL menggambar garis dan juga menangani pencampuran warna. Dan koordinat simpul Tesseract dihitung dengan cara ini:

Koordinat titik-titik suatu garis yang berpusat di titik asal dan panjang 2 - (1) dan (-1);
- " - " - persegi - " - " - dan panjang rusuknya 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) dan (-1; -1);
- " - " - kubus - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Seperti yang Anda lihat, persegi adalah satu garis di atas sumbu OY dan satu garis di bawah sumbu OY; sebuah kubus terletak satu persegi di depan bidang XOY, dan satu lagi di belakangnya; Tesseract adalah satu kubus di sisi lain volume XOYZ, dan satu lagi di sisi ini. Tetapi akan lebih mudah untuk melihat pergantian satu dan minus ini jika ditulis dalam kolom

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Di kolom pertama, satu dan minus satu bergantian. Di kolom kedua, pertama ada dua plus, lalu dua minus. Yang ketiga - empat plus satu, dan kemudian empat minus. Ini adalah simpul kubus. Tesseract memilikinya dua kali lebih banyak, dan oleh karena itu perlu menulis loop untuk mendeklarasikannya, jika tidak maka akan sangat mudah untuk menjadi bingung.

Program saya juga bisa menggambar anaglyph. Pemilik kacamata 3D yang bahagia dapat mengamati gambar stereoskopis. Tidak ada yang rumit dalam menggambar; Anda cukup menggambar dua proyeksi pada bidang, untuk mata kanan dan kiri. Namun program ini menjadi jauh lebih visual dan menarik, dan yang terpenting, memberikan gambaran yang lebih baik tentang dunia empat dimensi.

Fungsi yang kurang signifikan adalah penerangan salah satu tepinya dengan warna merah sehingga belokan dapat terlihat lebih baik, serta kemudahan kecil - pengaturan koordinat titik "mata", menambah dan mengurangi kecepatan belok.

Arsipkan dengan program, kode sumber, dan petunjuk penggunaan.

Jika kejadian yang tidak biasa terjadi pada Anda, Anda melihat makhluk aneh atau fenomena yang tidak dapat dipahami, Anda dapat mengirimkan cerita Anda kepada kami dan akan dipublikasikan di website kami ===> .

Doktrin ruang multidimensi mulai muncul pada pertengahan abad ke-19. Ide ruang empat dimensi dipinjam dari para ilmuwan oleh penulis fiksi ilmiah. Dalam karyanya, mereka menceritakan kepada dunia tentang keajaiban menakjubkan dari dimensi keempat.

Para pahlawan karyanya, dengan memanfaatkan sifat ruang empat dimensi, dapat memakan isi telur tanpa merusak cangkangnya, dan meminum minuman tanpa membuka tutup botol. Para pencuri mengambil harta karun dari brankas melalui dimensi keempat. Ahli bedah melakukan operasi pada organ dalam tanpa memotong jaringan tubuh pasien.

Tesseract

Dalam geometri, hiperkubus adalah analogi berdimensi n dari persegi (n = 2) dan kubus (n = 3). Analog empat dimensi dari kubus 3 dimensi biasa kita dikenal sebagai tesseract. Tesseractnya terhadap kubus seperti halnya kubus terhadap persegi. Secara lebih formal, tesseract dapat digambarkan sebagai polihedron empat dimensi cembung beraturan yang batasnya terdiri dari delapan sel kubik.

Setiap pasang permukaan 3D yang tidak sejajar berpotongan membentuk permukaan 2D (persegi), dan seterusnya. Terakhir, tesseract memiliki 8 permukaan 3D, 24 permukaan 2D, 32 tepi, dan 16 simpul.
Ngomong-ngomong, menurut Kamus Oxford, kata tesseract diciptakan dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853-1907) dalam bukunya A New Age of Thought. Belakangan, beberapa orang menyebut gambar yang sama sebagai tetracube (Yunani tetra - empat) - kubus empat dimensi.

Konstruksi dan deskripsi

Mari kita coba membayangkan seperti apa bentuk hypercube tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.
Dalam "ruang" satu dimensi - pada sebuah garis - kita memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kita menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujung-ujungnya. Hasilnya adalah CDBA persegi. Mengulangi operasi ini dengan bidang, kita memperoleh CDBAGHFE kubus tiga dimensi. Dan dengan menggeser kubus pada dimensi keempat (tegak lurus terhadap tiga dimensi pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.

Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan penalaran kita tentang hypercube dengan jumlah dimensi yang lebih besar, namun jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi.

Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan melihatnya dengan satu mata dari sisi tepinya. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (tepi dekat dan jauhnya), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua “kotak” kubik yang disisipkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan meregang ke arah sumbu keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus bukan dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.

Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser panjang sisinya, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang dalam perspektif akan terlihat seperti sosok yang agak rumit. Hypercube empat dimensi itu sendiri dapat dibagi menjadi kubus yang jumlahnya tak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi yang dapat “dipotong” menjadi kotak datar yang jumlahnya tak terhingga.

Dengan memotong enam sisi kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi bangun datar - sebuah pengembangan. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Dan pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang “tumbuh” darinya, ditambah satu lagi - “hyperface” terakhir.

Hypercube dalam seni

Tesseract adalah sosok yang sangat menarik sehingga berulang kali menarik perhatian para penulis dan pembuat film.
Robert E. Heinlein menyebutkan hypercubes beberapa kali. Dalam The House That Teal Built (1940), ia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun sebagai tesseract yang tidak terbungkus dan kemudian, akibat gempa bumi, "dilipat" dalam dimensi keempat menjadi tesseract yang "nyata". Novel Glory Road karya Heinlein menggambarkan sebuah kotak berukuran sangat besar yang bagian dalamnya lebih besar daripada bagian luarnya.

Kisah Henry Kuttner "All Tenali Borogov" menggambarkan mainan edukatif untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, strukturnya mirip dengan tesseract.

Plot Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.

Dunia paralel

Abstraksi matematika memunculkan gagasan tentang keberadaan dunia paralel. Hal ini dipahami sebagai realitas yang ada bersamaan dengan realitas kita, namun independen dari realitas tersebut. Dunia paralel dapat memiliki ukuran yang berbeda-beda: dari wilayah geografis yang kecil hingga seluruh alam semesta. Di dunia paralel, peristiwa terjadi dengan caranya sendiri; mungkin berbeda dari dunia kita, baik dalam detail individu maupun dalam hampir semua hal. Terlebih lagi, hukum fisika dunia paralel belum tentu sama dengan hukum alam semesta kita.

Topik ini merupakan lahan subur bagi para penulis fiksi ilmiah.

Lukisan Salvador Dali "Penyaliban" menggambarkan sebuah tesseract. “Penyaliban atau Tubuh Hiperkubik” adalah lukisan karya seniman Spanyol Salvador Dali, yang dilukis pada tahun 1954. Menggambarkan Yesus Kristus yang disalibkan pada pemindaian tesseract. Lukisan itu disimpan di Metropolitan Museum of Art di New York

Semuanya dimulai pada tahun 1895, ketika H.G. Wells, dengan ceritanya “The Door in the Wall,” membuka keberadaan dunia paralel ke dalam fiksi ilmiah. Pada tahun 1923, Wells kembali ke gagasan dunia paralel dan menempatkan di salah satunya sebuah negara utopis tempat karakter dalam novel Men Like Gods pergi.

Novel ini tidak luput dari perhatian. Pada tahun 1926, cerita G. Dent “Kaisar Negara “Jika”” muncul. Dalam cerita Dent, untuk pertama kalinya muncul gagasan bahwa mungkin ada negara (dunia) yang sejarahnya bisa berbeda dari sejarah negara sebenarnya. di dunia kita, dan dunia ini tidak kalah nyatanya dengan dunia kita.

Pada tahun 1944, Jorge Luis Borges menerbitkan cerita “The Garden of Forking Paths” dalam bukunya Fictional Stories. Di sini gagasan percabangan waktu akhirnya diungkapkan dengan sangat jelas.
Terlepas dari kemunculan karya-karya yang tercantum di atas, gagasan tentang banyak dunia mulai berkembang secara serius dalam fiksi ilmiah hanya pada akhir empat puluhan abad ke-20, kira-kira pada saat yang sama ketika gagasan serupa muncul dalam fisika.

Salah satu pelopor arah baru dalam fiksi ilmiah adalah John Bixby, yang mengemukakan dalam cerita “One Way Street” (1954) bahwa antar dunia Anda hanya dapat bergerak dalam satu arah - begitu Anda berpindah dari dunia Anda ke dunia paralel, Anda tidak akan kembali, tetapi Anda akan berpindah dari satu dunia ke dunia berikutnya. Namun, kembali ke dunianya sendiri juga tidak dikecualikan - untuk ini sistem dunia perlu ditutup.

Novel Clifford Simak, A Ring Around the Sun (1982) menggambarkan banyak planet di Bumi, masing-masing ada di dunianya sendiri, tetapi dalam orbit yang sama, dan dunia-dunia ini serta planet-planet ini berbeda satu sama lain hanya dengan sedikit pergeseran waktu (mikrodetik). Banyaknya Bumi yang dikunjungi oleh pahlawan novel ini membentuk satu sistem dunia.

Alfred Bester mengungkapkan pandangan menarik tentang percabangan dunia dalam ceritanya “The Man Who Killed Mohammed” (1958). “Dengan mengubah masa lalu,” sang pahlawan dalam cerita tersebut berpendapat, “Anda hanya mengubahnya untuk diri Anda sendiri.” Dengan kata lain, setelah terjadi perubahan di masa lalu, timbullah suatu cabang sejarah yang di dalamnya hanya bagi tokoh yang melakukan perubahan itulah perubahan itu ada.

Kisah Strugatsky bersaudara “Monday Begins on Saturday” (1962) menggambarkan perjalanan karakter ke berbagai versi masa depan yang dijelaskan oleh penulis fiksi ilmiah - berbeda dengan perjalanan ke berbagai versi masa lalu yang sudah ada dalam fiksi ilmiah.

Namun, bahkan membuat daftar sederhana semua karya yang menyentuh tema dunia paralel akan memakan banyak waktu. Dan meskipun penulis fiksi ilmiah, pada umumnya, tidak secara ilmiah mendukung postulat multidimensi, mereka benar tentang satu hal - ini adalah hipotesis yang berhak untuk ada.
Dimensi keempat Tesseract masih menunggu untuk kita kunjungi.

Victor Savinov

Jika Anda penggemar film Avengers, hal pertama yang mungkin terlintas di benak Anda saat mendengar kata "Tesseract" adalah wadah Batu Infinity berbentuk kubus transparan yang berisi kekuatan tak terbatas.

Bagi penggemar Marvel Universe, Tesseract adalah kubus biru bercahaya yang membuat orang-orang tidak hanya dari Bumi, tetapi juga planet lain menjadi gila. Itu sebabnya semua Avengers bersatu untuk melindungi penduduk bumi dari kekuatan Tesseract yang sangat merusak.

Namun, perlu diingat: Tesseract adalah konsep geometris yang sebenarnya, atau lebih spesifiknya, suatu bentuk yang ada dalam 4D. Ini bukan hanya kubus biru dari Avengers... itu adalah konsep nyata.

Tesseract adalah objek dalam 4 dimensi. Namun sebelum kita menjelaskannya secara detail, mari kita mulai dari awal.

Apa itu "pengukuran"?

Setiap orang pasti pernah mendengar istilah 2D dan 3D yang masing-masing mewakili objek dua dimensi atau tiga dimensi dalam ruang. Tapi apa pengukuran ini?

Dimensi hanyalah arah yang bisa Anda tuju. Misalnya, jika Anda menggambar garis pada selembar kertas, Anda dapat bergerak ke kiri/kanan (sumbu x) atau atas/bawah (sumbu y). Jadi kita katakan kertas itu dua dimensi karena Anda hanya bisa bergerak ke dua arah.

Ada kesan mendalam dalam 3D.

Nah, di dunia nyata, selain dua arah yang disebutkan di atas (kiri/kanan dan atas/bawah), Anda juga bisa menuju "ke/dari". Akibatnya, kesan kedalaman ditambahkan ke ruang 3D. Itu sebabnya kami mengatakan bahwa kehidupan nyata adalah 3 dimensi.

Titik dapat mewakili 0 dimensi (karena tidak bergerak ke segala arah), garis mewakili 1 dimensi (panjang), persegi mewakili 2 dimensi (panjang dan lebar), dan kubus mewakili 3 dimensi (panjang, lebar, dan tinggi). ).

Ambil kubus 3D dan ganti setiap sisinya (yang saat ini berbentuk persegi) dengan kubus. Dan sebagainya! Bentuk yang Anda dapatkan adalah tesseract.

Apa itu tesseract?

Sederhananya, tesseract adalah sebuah kubus dalam ruang 4 dimensi. Anda juga dapat mengatakan bahwa ini adalah analog 4D dari sebuah kubus. Ini adalah bentuk 4D yang setiap wajahnya berbentuk kubus.

Proyeksi 3D tesseract yang melakukan rotasi ganda di sekitar dua bidang ortogonal.
Gambar: Jason Hise

Berikut cara sederhana untuk mengkonsep dimensi: persegi adalah dua dimensi; oleh karena itu, setiap sudutnya mempunyai 2 garis yang memanjang darinya dengan sudut 90 derajat satu sama lain. Kubus itu 3D, jadi tiap sudutnya ada 3 garis yang berasal darinya. Begitu pula tesseract yang bentuknya 4D, jadi setiap sudutnya terdapat 4 garis yang memanjang.

Mengapa sulit membayangkan tesseract?

Karena kita sebagai manusia telah berevolusi untuk memvisualisasikan objek dalam tiga dimensi, apa pun yang masuk ke dimensi tambahan seperti 4D, 5D, 6D, dll. tidak masuk akal bagi kita karena kita tidak dapat memperkenalkannya sama sekali. Otak kita tidak dapat memahami dimensi ke-4 di luar angkasa. Kami tidak bisa memikirkannya.

Namun, hanya karena kita tidak dapat memvisualisasikan konsep ruang multidimensi bukan berarti konsep tersebut tidak ada.

Secara matematis, tesseract memiliki bentuk yang sangat presisi. Demikian pula, segala bentuk dalam dimensi yang lebih tinggi, yaitu 5D dan 6D, juga masuk akal secara matematis.

Sama seperti sebuah kubus yang dapat diperluas menjadi 6 kotak dalam ruang 2D, sebuah tesseract dapat diperluas menjadi 8 kubus dalam ruang 3D.

Mengejutkan dan tidak bisa dimengerti, bukan?

Jadi tesseract adalah "konsep nyata" yang benar-benar masuk akal secara matematis, bukan hanya kubus biru mengkilap yang diperebutkan di film Avengers.

Hypercube dan padatan Platonis

Modelkan ikosahedron terpotong (“bola sepak”) dalam sistem “Vektor”.
di mana setiap segi lima dibatasi oleh segi enam

Icosahedron terpotong dapat diperoleh dengan memotong 12 simpul hingga membentuk permukaan berbentuk segi lima beraturan. Dalam hal ini, jumlah simpul polihedron baru bertambah 5 kali lipat (12×5=60), 20 sisi segitiga berubah menjadi segi enam beraturan (total wajah menjadi 20+12=32), A jumlah sisinya bertambah menjadi 30+12×5=90.

Langkah-langkah membuat ikosahedron terpotong dalam sistem Vektor

Angka dalam ruang 4 dimensi.

--à

--à ?

Misalnya diberi kubus dan hypercube. Sebuah hypercube memiliki 24 wajah. Artinya, segi delapan 4 dimensi mempunyai 24 titik sudut. Meskipun tidak, hypercube memiliki 8 sisi kubus - masing-masing memiliki pusat di titik sudutnya. Artinya oktahedron 4 dimensi akan memiliki 8 simpul, yang lebih ringan lagi.

segi delapan 4 dimensi. Ini terdiri dari delapan tetrahedra sama sisi dan sama,
dihubungkan oleh empat titik pada setiap titik.

Beras. Sebuah upaya untuk melakukan simulasi
hipersfer-hipersfer dalam sistem Vektor

Wajah depan - belakang - bola tanpa distorsi. Enam bola lainnya dapat ditentukan melalui ellipsoid atau permukaan kuadrat (melalui 4 garis kontur sebagai generator) atau melalui permukaan (pertama kali ditentukan melalui generator).

Lebih banyak teknik untuk “membangun” hipersfer
- “bola sepak” yang sama dalam ruang 4 dimensi

Lampiran 2

Untuk polihedra cembung, terdapat sifat yang menghubungkan jumlah simpul, rusuk, dan mukanya, dibuktikan pada tahun 1752 oleh Leonhard Euler, dan disebut teorema Euler.

Sebelum merumuskannya, perhatikan polihedra yang kita kenal dan isi tabel berikut, di mana B adalah jumlah simpul, P - sisi dan G - permukaan polihedron tertentu:

Nama polihedron
Piramida segitiga
Piramida segi empat
Prisma segitiga
Prisma segi empat
N-piramida batubara	N+1	2N	N+1
N-prisma karbon	2N	3N	n+2
N-batubara terpotong piramida	2N	3N	n+2

Dari tabel ini langsung terlihat jelas bahwa untuk semua polihedra yang dipilih persamaan B - P + G = 2. Ternyata persamaan ini berlaku tidak hanya untuk polihedra tersebut, tetapi juga untuk polihedron cembung sembarang.

teorema Euler. Untuk polihedron cembung apa pun, persamaannya berlaku

B - P + G = 2,

dimana B adalah jumlah simpul, P adalah jumlah sisi dan G adalah jumlah sisi suatu polihedron tertentu.

Bukti. Untuk membuktikan persamaan ini, bayangkan permukaan polihedron yang terbuat dari bahan elastis. Mari kita hapus (potong) salah satu wajahnya dan regangkan permukaan yang tersisa ke bidang. Kami memperoleh poligon (dibentuk oleh tepi permukaan polihedron yang dihilangkan), dibagi menjadi poligon yang lebih kecil (dibentuk oleh sisa permukaan polihedron).

Perhatikan bahwa poligon dapat diubah bentuknya, diperbesar, diperkecil, atau bahkan dibengkokkan sisi-sisinya, selama tidak ada celah di sisi-sisinya. Jumlah simpul, tepi, dan permukaan tidak akan berubah.

Mari kita buktikan bahwa hasil pembagian poligon menjadi poligon yang lebih kecil memenuhi persamaan

(*)B - P+G" = 1,

di mana B adalah jumlah total simpul, P adalah jumlah total sisi, dan Г " adalah jumlah poligon yang termasuk dalam partisi. Jelas bahwa Г " = Г - 1, di mana Г adalah jumlah sisi suatu titik tertentu polihedron.

Mari kita buktikan bahwa persamaan (*) tidak berubah jika sebuah diagonal digambar pada beberapa poligon dari partisi tertentu (Gbr. 5, a). Memang benar, setelah menggambar diagonal seperti itu, partisi baru akan memiliki simpul B, sisi P+1 dan jumlah poligon akan bertambah satu. Oleh karena itu, kami punya

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

Dengan menggunakan properti ini, kami menggambar diagonal yang membagi poligon masuk menjadi segitiga, dan untuk partisi yang dihasilkan kami menunjukkan kelayakan persamaan (*) (Gbr. 5, b). Untuk melakukan ini, kita akan menghapus tepi luar secara berurutan, mengurangi jumlah segitiga. Dalam hal ini, ada dua kemungkinan yang mungkin terjadi:

a) untuk menghilangkan segitiga ABC perlu untuk menghapus dua tulang rusuk, dalam kasus kami AB Dan SM;

b) untuk menghapus segitigaMKNperlu untuk menghapus satu sisi, dalam kasus kamiM N.

Dalam kedua kasus tersebut, persamaan (*) tidak akan berubah. Misalnya, dalam kasus pertama, setelah segitiga dihilangkan, grafiknya akan terdiri dari B - 1 simpul, P - 2 sisi dan G " - 1 poligon:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

Pertimbangkan sendiri kasus kedua.

Jadi, menghilangkan satu segitiga tidak mengubah persamaan (*). Melanjutkan proses menghilangkan segitiga ini, pada akhirnya kita akan sampai pada partisi yang terdiri dari satu segitiga. Untuk partisi seperti itu, B = 3, P = 3, Г " = 1 dan, oleh karena itu, B – Р + Г " = 1. Ini berarti bahwa persamaan (*) juga berlaku untuk partisi asli, yang akhirnya kita dapatkan bahwa untuk partisi persamaan poligon (*) ini benar. Jadi, untuk polihedron cembung asal, persamaan B - P + G = 2 benar.

Contoh polihedron yang tidak memiliki relasi Euler, ditunjukkan pada Gambar 6. Polihedron ini memiliki 16 simpul, 32 sisi, dan 16 sisi. Jadi, untuk polihedron ini persamaan B – P + G = 0 berlaku.

Lampiran 3.

Film Cube 2: Hypercube merupakan sebuah film fiksi ilmiah sekuel dari film Cube.

Delapan orang asing terbangun di ruangan berbentuk kubus. Kamar-kamarnya terletak di dalam hypercube empat dimensi. Ruangan terus bergerak melalui “teleportasi kuantum”, dan jika Anda naik ke ruangan berikutnya, kecil kemungkinannya untuk kembali ke ruangan sebelumnya. Dunia paralel berpotongan di hypercube, waktu mengalir berbeda di beberapa ruangan, dan beberapa ruangan adalah jebakan maut.

Plot film ini sebagian besar mengulangi kisah bagian pertama, yang juga tercermin dalam gambar beberapa karakter. Peraih Nobel Rosenzweig, yang menghitung waktu pasti penghancuran hypercube, meninggal di kamar hypercube..

Kritik

Jika di bagian pertama orang-orang yang dipenjara di labirin berusaha membantu satu sama lain, di film ini setiap orang adalah dirinya sendiri. Ada banyak efek khusus yang tidak perlu (alias jebakan) yang sama sekali tidak menghubungkan bagian film ini dengan bagian sebelumnya secara logis. Artinya, ternyata film Cube 2 adalah semacam labirin masa depan 2020-2030, tapi bukan tahun 2000. Pada bagian pertama, semua jenis jebakan secara teori bisa dibuat oleh seseorang. Pada bagian kedua, jebakan ini adalah sejenis program komputer, yang disebut “Virtual Reality”.