Biarkan titik secara bersamaan berpartisipasi dalam dua osilasi harmonik dari periode yang sama, diarahkan sepanjang satu garis lurus.

Penambahan osilasi akan dilakukan dengan metode diagram vektor (Gbr. 2.2). Biarkan osilasi diberikan oleh persamaan

dan

(2.2.1)

Sisihkan dari intinya HAI sebuah vektor yang membentuk sudut 1 terhadap garis acuan dan sebuah vektor dengan sudut 2 . Kedua vektor berotasi berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan sudut yang sama , sehingga beda fasanya tidak bergantung pada waktu (). Getaran seperti itu disebut koheren.

Kita tahu bahwa proyeksi total suatu vektor sama dengan jumlah proyeksi pada sumbu yang sama. Oleh karena itu, osilasi yang dihasilkan dapat diwakili oleh vektor amplitudo yang berputar di sekitar titik HAI dengan kecepatan sudut yang sama sebagai , dan . Getaran yang dihasilkan juga harus harmonik dengan frekuensi :

.

Dengan aturan penjumlahan vektor, kami menemukan amplitudo total:

Amplitudo yang dihasilkan ditemukan dengan rumus

Jadi, benda yang berpartisipasi dalam dua osilasi harmonik dengan arah yang sama dan frekuensi yang sama, juga melakukan osilasi harmonik dalam arah yang sama dan dengan frekuensi yang sama dengan osilasi yang dijumlahkan.

Dari (2.2.2) berikut bahwa amplitudo TETAPI getaran yang dihasilkan tergantung pada perbedaan fase awal. Nilai yang mungkin TETAPI terletak dalam jangkauan (amplitudo tidak boleh negatif).

Mari kita pertimbangkan beberapa kasus sederhana.

1. Beda fasa sama dengan nol atau bilangan genap, yaitu dimana . Kemudian dan

,

(2.2.4)

sejak , yaitu amplitudo osilasi yang dihasilkan TETAPI sama dengan jumlah amplitudo dari osilasi yang ditambahkan (osilasi Dalam fase) (Gbr. 2.3).

2. Beda fase adalah bilangan ganjilπ , yaitu , di mana . Kemudian . Dari sini

.

(2.2.5)

pada gambar. 2.4 menunjukkan amplitudo osilasi yang dihasilkan TETAPI, sama dengan perbedaan amplitudo osilasi yang ditambahkan (osilasi dalam di luar fase).

3. Perbedaan fase berubah dalam waktu dengan cara yang sewenang-wenang:

(2.2.6)

Dari persamaan (2.2.6) maka dan akan berubah sesuai dengan nilai . Oleh karena itu, ketika menambahkan osilasi yang tidak koheren, tidak masuk akal untuk berbicara tentang penambahan amplitudo, tetapi dalam beberapa kasus pola yang cukup pasti diamati. Untuk latihan, yang menarik adalah kasus ketika dua osilasi tambahan dengan arah yang sama berbeda frekuensinya sedikit. Sebagai hasil dari penambahan osilasi ini, diperoleh osilasi dengan amplitudo yang berubah secara berkala.

Perubahan periodik dalam amplitudo osilasi yang timbul dari penambahan dua osilasi harmonik dengan frekuensi dekat, disebut ketukan . Sebenarnya, ini bukan lagi osilasi harmonik.

Biarkan amplitudo osilasi yang ditambahkan sama dengan TETAPI, dan frekuensi sama dengan dan , dan . Kami memilih titik referensi sehingga fase awal kedua osilasi sama dengan nol:

Kami menambahkan ekspresi ini, mengabaikan , karena .

Sifat ketergantungan (2.2.8) ditunjukkan pada Gambar. 2.5, di mana garis tebal padat memberikan grafik osilasi yang dihasilkan, dan selubungnya - grafik amplitudo yang berubah perlahan menurut persamaan (2.2.7).

Penentuan frekuensi nada (bunyi dengan ketinggian tertentu) dari ketukan antara referensi dan getaran terukur adalah metode yang paling banyak digunakan dalam praktik untuk membandingkan nilai terukur dengan referensi. Metode ketukan digunakan untuk menyetel alat musik, analisis pendengaran, dll.

Secara umum, osilasi suatu spesies disebut termodulasi . Kasus khusus: modulasi amplitudo dan modulasi fase atau frekuensi. mengalahkan adalah bentuk paling sederhana dari osilasi termodulasi.

Setiap osilasi periodik kompleks dapat direpresentasikan sebagai superposisi dari osilasi harmonik yang terjadi secara bersamaan dengan amplitudo yang berbeda, fase awal, dan juga frekuensi yang merupakan kelipatan dari frekuensi siklik :

.

Representasi fungsi periodik dalam bentuk ini dikaitkan dengan konsep analisis harmonik dari osilasi periodik kompleks, atau ekspansi Fourier(yaitu, representasi osilasi termodulasi kompleks sebagai rangkaian (jumlah) dari osilasi harmonik sederhana). Suku deret Fourier yang menentukan getaran harmonik dengan frekuensi , 2ω, 3ω, ..., disebut pertama(atau utama), kedua, ketiga dll. harmonik osilasi periodik yang kompleks.

Seiring dengan gerakan translasi dan rotasi benda dalam mekanika, gerakan osilasi juga sangat menarik. Getaran mekanis disebut gerakan tubuh yang berulang persis (atau kira-kira) secara berkala. Hukum gerak benda yang berosilasi diberikan oleh beberapa fungsi periodik waktu x = f (t). Representasi grafis dari fungsi ini memberikan representasi visual dari jalannya proses osilasi dalam waktu.

Contoh sistem osilasi sederhana adalah beban pada pegas atau bandul matematis (Gbr. 2.1.1).

Osilasi mekanis, seperti proses osilasi dari sifat fisik lainnya, dapat Gratis dan dipaksa. Getaran gratis dibuat di bawah pengaruh kekuatan internal sistem setelah sistem dibawa keluar dari kesetimbangan. Getaran suatu beban pada pegas atau getaran bandul adalah getaran bebas. getaran di bawah aksi luar gaya yang berubah secara periodik disebut dipaksa .

Jenis proses osilasi yang paling sederhana adalah sederhana getaran harmonik , yang dijelaskan oleh persamaan

x = x m cos (ω t + φ 0).

Di Sini x- perpindahan tubuh dari posisi keseimbangan, x m - amplitudo osilasi, yaitu perpindahan maksimum dari posisi setimbang, - frekuensi siklik atau melingkar keraguan, t- waktu. Nilai di bawah tanda kosinus = t+ 0 disebut fase proses harmonik. Pada t= 0 = 0 , jadi 0 disebut tahap awal. Selang waktu minimum setelah gerakan tubuh diulang disebut periode getaran T. Besaran fisis yang berbanding terbalik dengan periode getaran disebut frekuensi osilasi:

Frekuensi osilasi f menunjukkan berapa banyak getaran yang dibuat dalam 1 sekon. Satuan frekuensi - hertz(Hz). Frekuensi osilasi f berhubungan dengan frekuensi siklik dan periode osilasi T rasio:

pada gambar. 2.1.2 menunjukkan posisi tubuh secara berkala dengan getaran harmonik. Gambar seperti itu dapat diperoleh secara eksperimental dengan menerangi benda yang berosilasi dengan kilatan cahaya periodik yang singkat ( pencahayaan stroboskopik). Panah mewakili vektor kecepatan tubuh pada titik waktu yang berbeda.

Beras. 2.1.3 mengilustrasikan perubahan yang terjadi pada grafik proses harmonik jika amplitudo osilasi berubah x m , atau periode T(atau frekuensi f), atau fase awal 0 .

Ketika tubuh berosilasi sepanjang garis lurus (sumbu SAPI) vektor kecepatan selalu diarahkan sepanjang garis lurus ini. Kecepatan = x gerakan tubuh ditentukan oleh ekspresi

Dalam matematika, prosedur untuk menemukan limit rasio pada t→ 0 disebut perhitungan turunan dari fungsi x (t) Oleh waktu t dan dilambangkan sebagai atau sebagai x"(t) atau akhirnya sebagai . Untuk hukum gerak harmonik Perhitungan turunan menghasilkan hasil sebagai berikut:

Munculnya suku + / 2 dalam argumen kosinus berarti perubahan pada fase awal. Nilai modulo maksimum kecepatan = x m dicapai pada saat-saat waktu ketika tubuh melewati posisi keseimbangan ( x= 0). Percepatan didefinisikan dengan cara yang sama sebuah = sebuahx benda dengan getaran harmonik:

maka percepatan sebuah sama dengan turunan dari fungsi ( t) Oleh waktu t, atau turunan kedua dari fungsi x (t). Perhitungannya memberikan:

Tanda minus pada ungkapan ini berarti percepatan sebuah (t) selalu memiliki tanda kebalikan dari offset x (t), dan, oleh karena itu, menurut hukum kedua Newton, gaya yang menyebabkan tubuh melakukan osilasi harmonik selalu diarahkan ke posisi setimbang ( x = 0).

sebuah) Tubuh berpartisipasi dalam dua osilasi harmonik dengan frekuensi melingkar yang samaw , tetapi dengan amplitudo dan fase awal yang berbeda.

Persamaan osilasi ini akan ditulis sebagai berikut:

x 1 \u003d a 1 cos (wt + j 1)

x 2 \u003d a 2 cos (wt + j 2),

di mana x 1 dan x 2- offset; sebuah 1 dan sebuah 2- amplitudo; w- frekuensi melingkar dari kedua osilasi; j1 dan j2- fase awal osilasi.

Mari kita tambahkan fluktuasi ini menggunakan diagram vektor. Mari kita nyatakan kedua osilasi sebagai vektor amplitudo. Untuk melakukan ini, dari titik sembarang O yang terletak pada sumbu X, kami menyisihkan dua vektor 1 dan 2, masing-masing, pada sudut j1 dan j2 ke sumbu ini (Gbr. 2).

Proyeksi vektor-vektor ini ke sumbu X akan sama dengan perpindahan x 1 dan x 2 sesuai dengan ekspresi (2). Ketika kedua vektor berputar berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan sudut w proyeksi ujungnya ke sumbu X akan menghasilkan getaran harmonik. Karena kedua vektor berotasi dengan kecepatan sudut yang sama w, maka sudut antara keduanya j=j 1 -j 2 tetap konstan. Menambahkan kedua vektor 1 dan 2 sesuai dengan aturan jajaran genjang, kita mendapatkan vektor yang dihasilkan . Seperti dapat dilihat dari Gambar. 2, proyeksi vektor ini ke sumbu X sama dengan jumlah proyeksi suku-suku vektor x \u003d x 1 + x 2. Di sisi lain: x \u003d a cos (wt + j o).

Akibatnya, vektor berotasi dengan kecepatan sudut yang sama dengan vektor 1 dan 2 dan melakukan osilasi harmonik yang terjadi sepanjang garis lurus yang sama dengan suku osilasi, dan dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi osilasi asli. Di Sini j o - fase awal dari osilasi yang dihasilkan.

Seperti yang dapat dilihat dari Gambar 2, untuk menentukan amplitudo osilasi yang dihasilkan, Anda dapat menggunakan teorema kosinus, yang menurut kita memiliki:

a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a \u003d a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos (j 2 - j 1)(3)

Dapat dilihat dari ekspresi (3) bahwa amplitudo osilasi yang dihasilkan bergantung pada perbedaan fase awal ( j 2 - j 1) istilah osilasi. Jika fase awal sama ( j2 = j1), maka rumus (3) menunjukkan bahwa amplitudo sebuah sama dengan jumlah sebuah 1 dan sebuah 2. Jika beda fasa ( j 2 - j 1) sama dengan ±180 o (yaitu, kedua osilasi berada dalam antifase), maka amplitudo osilasi yang dihasilkan sama dengan nilai absolut dari perbedaan amplitudo suku osilasi : a = |a 1 - a 2 |.

b) Tubuh berpartisipasi dalam dua osilasi dengan amplitudo yang sama, fase awal sama dengan nol, dan frekuensi yang berbeda.

Persamaan untuk osilasi ini akan terlihat seperti:

x 1 \u003d a sinw 1 t,

x 2 \u003d a sinw 2 t.

Dengan demikian, diasumsikan bahwa w 1 sedikit berbeda dalam ukuran dari w 2. Menambahkan ekspresi ini, kita mendapatkan:

x \u003d x 1 + x 2 \u003d 2a cos[(w 1 -w 2)/2]t+sin[(w 1 +w 2)/2]t=

= 2a karena[(w 1 -w 2)/2]t dosa wt (4)

Gerak yang dihasilkan adalah osilasi kompleks yang disebut ketukan(Gbr. 3) Karena nilai w1-w2 kecil dibandingkan dengan ukuran w1+w2, maka gerak ini dapat dianggap sebagai osilasi harmonik dengan frekuensi sama dengan setengah jumlah frekuensi osilasi yang ditambahkan w=(w1+w2)/2, dan amplitudo variabel.

Dari (4) maka amplitudo osilasi yang dihasilkan berubah sesuai dengan hukum kosinus periodik. Siklus penuh perubahan nilai fungsi kosinus terjadi ketika argumen berubah 360 0 , sedangkan fungsi meneruskan nilai dari +1 ke -1. Keadaan sistem yang berdetak pada saat waktu yang sesuai dengan nilai yang ditentukan dari fungsi kosinus dalam rumus (4) tidak berbeda dengan cara apa pun. Dengan kata lain, siklus ketukan terjadi dengan frekuensi yang sesuai dengan perubahan argumen kosinus dalam rumus (4) sebesar 180 0 . Jadi periodenya T a perubahan amplitudo selama ketukan (periode ketukan) ditentukan dari kondisi:

T a \u003d 2p / (w 1 - w 2).

Mengingat bahwa w=2pn, kita mendapatkan:

T a \u003d 2 p / 2 p (n 1 - n 2) \u003d 1 / (n 1 - n 2). (5)

Frekuensi perubahan amplitudo osilasi yang dihasilkan sama dengan perbedaan frekuensi osilasi yang ditambahkan:

n=1/T a =n 1 -n 2 .

Penambahan osilasi harmonik satu arah.

ketukan

Pertimbangkan sistem osilasi dengan satu derajat kebebasan, yang keadaannya ditentukan oleh ketergantungan beberapa kuantitas pada waktu. Biarkan osilasi dalam sistem ini menjadi jumlah dari dua osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama tetapi amplitudo dan fase awal berbeda, mis.

Karena "pergeseran" sistem osilasi dari posisi kesetimbangan terjadi sepanjang satu "arah", dalam hal ini kita berbicara tentang penambahan osilasi harmonik satu arah. Pada diagram vektor, osilasi yang ditambahkan akan ditampilkan sebagai dua vektor dan , diputar relatif satu sama lain dengan sudut (Gbr. 6.1). Karena frekuensi osilasi yang ditambahkan adalah sama, posisi timbal baliknya akan tetap tidak berubah setiap saat, dan osilasi yang dihasilkan akan diwakili oleh vektor yang sama dengan jumlah vektor dan . Menambahkan vektor sesuai dengan aturan jajaran genjang dan menggunakan teorema kosinus, kita mendapatkan

. (6.3)

Dengan demikian, ketika menambahkan dua osilasi harmonik dengan arah yang sama dengan frekuensi yang sama, diperoleh osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama, amplitudo dan fase awal yang ditentukan oleh ekspresi(6.2), (6.3).

Dua getaran harmonik yang terjadi pada frekuensi yang sama dan memiliki perbedaan fase yang konstan disebut koheren. Akibatnya, ketika menambahkan osilasi koheren, osilasi harmonik dengan frekuensi yang sama diperoleh, amplitudo dan fase awal ditentukan oleh amplitudo dan fase awal dari osilasi tambahan.

Jika getaran yang ditambahkan memiliki frekuensi yang berbeda dan , tetapi amplitudonya sama , kemudian, dengan menggunakan ekspresi yang diketahui dari trigonometri untuk jumlah cosinus dari dua sudut, kita memperoleh

Dapat dilihat dari ekspresi yang dihasilkan bahwa osilasi yang dihasilkan tidak harmonis.

Biarkan frekuensi osilasi ditambahkan menjadi dekat satu sama lain sehingga dan . Kasus ini disebut mengalahkan dua frekuensi.

menunjukkan , dan , dapat ditulis

. (6.5)

Ini mengikuti dari ekspresi (6.5) bahwa osilasi yang dihasilkan dapat direpresentasikan sebagai osilasi harmonik dengan frekuensi rata-rata tertentu , yang amplitudonya perlahan (dengan frekuensi ) berubah dalam waktu. Waktu ditelepon periode mengalahkan, sebuah – frekuensi ketukan. Grafik beat ditunjukkan pada Gambar 6.2. Ketukan terjadi ketika Bunyi dua garpu tala secara bersamaan pada kunci yang sama. Mereka dapat diamati menggunakan osiloskop ketika menambahkan osilasi harmonik dari dua generator yang disetel ke frekuensi yang sama. Dalam kedua kasus, frekuensi sumber osilasi akan sedikit berbeda, menghasilkan ketukan.

Karena osilasi terjadi pada frekuensi yang berbeda, perbedaan fasa dari osilasi yang ditambahkan berubah seiring waktu, oleh karena itu, osilasi tidak koheren. Perubahan waktu amplitudo osilasi yang dihasilkan merupakan konsekuensi karakteristik dari inkoherensi osilasi yang ditambahkan.

Penambahan osilasi sangat sering diamati di sirkuit listrik dan, khususnya, pada perangkat komunikasi radio. Dalam beberapa kasus, ini dilakukan dengan sengaja untuk mendapatkan sinyal dengan parameter tertentu. Jadi, misalnya pada penerima heterodyne, sinyal yang diterima ditambahkan (dicampur) dengan sinyal osilator lokal untuk mendapatkan osilasi frekuensi menengah sebagai hasil dari pemrosesan selanjutnya. Dalam kasus lain, penambahan osilasi terjadi secara spontan ketika beberapa jenis gangguan diterima pada input perangkat, selain sinyal yang berguna. Padahal, seluruh ragam bentuk sinyal listrik tersebut merupakan hasil penambahan dua atau lebih getaran harmonik.

Tubuh yang sama dapat secara bersamaan berpartisipasi dalam dua atau lebih gerakan. Contoh sederhana adalah gerakan bola yang dilempar membentuk sudut terhadap horizontal. Kita dapat mengasumsikan bahwa bola berpartisipasi dalam dua gerakan independen yang saling tegak lurus: seragam secara horizontal dan sama-sama bervariasi secara vertikal. Satu dan tubuh yang sama (titik material) dapat berpartisipasi dalam dua (atau lebih) gerakan dari jenis osilasi.

Di bawah penambahan getaran memahami definisi hukum osilasi yang dihasilkan, jika sistem osilasi secara bersamaan berpartisipasi dalam beberapa proses osilasi. Ada dua kasus yang membatasi - penambahan osilasi satu arah dan penambahan osilasi yang saling tegak lurus.

2.1. Penambahan osilasi harmonik satu arah

1. Penambahan dua getaran dengan arah yang sama(getaran searah)

dapat dilakukan dengan menggunakan metode diagram vektor (Gambar 9) daripada menambahkan dua persamaan.

Gambar 2.1 menunjukkan vektor amplitudo TETAPI 1(t) dan TETAPI 2 (t) penjumlahan osilasi pada waktu t yang berubah-ubah, ketika fase osilasi ini masing-masing sama dan . Penambahan osilasi direduksi menjadi definisi . Mari kita gunakan fakta bahwa dalam diagram vektor, jumlah proyeksi dari vektor-vektor yang ditambahkan sama dengan proyeksi jumlah vektor dari vektor-vektor ini.

Getaran yang dihasilkan sesuai pada diagram vektor dengan vektor amplitudo dan fase.

Gambar 2.1 - Penambahan osilasi co-directional.

Besaran vektor TETAPI(t) dapat dicari dengan menggunakan teorema kosinus:

Fase osilasi yang dihasilkan diberikan oleh rumus:

.

Jika frekuensi osilasi yang ditambahkan 1 dan 2 tidak sama, maka fasa (t) dan amplitudo TETAPI(t) Fluktuasi yang dihasilkan akan berubah seiring waktu. Getaran tambahan disebut kacau pada kasus ini.

2. Dua getaran harmonik x 1 dan x 2 disebut koheren, jika beda fasenya tidak bergantung pada waktu:

Tetapi karena , maka untuk memenuhi syarat koherensi kedua osilasi ini, frekuensi sikliknya harus sama.

Amplitudo osilasi yang dihasilkan diperoleh dengan menambahkan osilasi codirectional dengan frekuensi yang sama (osilasi koheren) adalah sama dengan:

Fase awal dari osilasi yang dihasilkan dapat dengan mudah ditemukan dengan memproyeksikan vektor TETAPI 1 dan TETAPI 2 pada sumbu koordinat OX dan OY (lihat Gambar 9):

.

Jadi, osilasi yang dihasilkan diperoleh dengan menambahkan dua osilasi harmonik searah dengan frekuensi yang sama juga merupakan osilasi harmonik.

3. Kami menyelidiki ketergantungan amplitudo osilasi yang dihasilkan pada perbedaan antara fase awal osilasi tambahan.

Jika , di mana n adalah sembarang bilangan bulat non-negatif

(n = 0, 1, 2…), maka minimum. Getaran tambahan pada saat penambahan ada di di luar fase. Pada , amplitudo yang dihasilkan adalah nol.

Jika sebuah , kemudian , yaitu amplitudo yang dihasilkan adalah maksimum. Pada saat penambahan, osilasi yang ditambahkan adalah dalam satu fase, yaitu berada dalam fase. Jika amplitudo osilasi yang ditambahkan adalah sama , kemudian .

4. Penambahan getaran searah dengan frekuensi yang tidak sama tetapi dekat.

Frekuensi osilasi yang ditambahkan tidak sama, tetapi perbedaan frekuensi baik 1 dan 2 jauh lebih kecil. Kondisi kedekatan frekuensi yang ditambahkan ditulis oleh relasi .

Contoh penambahan osilasi searah dengan frekuensi dekat adalah gerakan pendulum pegas horizontal, yang kekakuan pegasnya sedikit berbeda k 1 dan k 2 .

Biarkan amplitudo osilasi yang ditambahkan sama , dan fase awal sama dengan nol. Maka persamaan getaran yang ditambahkan memiliki bentuk:

, .

Osilasi yang dihasilkan dijelaskan oleh persamaan:

Persamaan osilasi yang dihasilkan tergantung pada produk dari dua fungsi harmonik: satu dengan frekuensi , yang lain - dengan frekuensi , di mana dekat dengan frekuensi osilasi tambahan (ω 1 atau 2). Getaran yang dihasilkan dapat dilihat sebagai getaran harmonik dengan amplitudo berubah harmonik. Proses osilasi ini disebut ketukan. Tegasnya, osilasi yang dihasilkan umumnya bukan osilasi harmonik.

Nilai mutlak cosinus diambil karena amplitudonya bernilai positif. Sifat ketergantungan x res. untuk ketukan ditunjukkan pada Gambar 2.2.

Gambar 2.2 - Ketergantungan perpindahan pada waktu selama ketukan.

Amplitudo ketukan berubah perlahan dengan frekuensi. Nilai absolut dari pengulangan kosinus, jika argumennya berubah sebesar , maka nilai amplitudo yang dihasilkan akan berulang setelah periode waktu b, yang disebut periode mengalahkan(Lihat Gambar 12). Nilai periode ketukan dapat ditentukan dari hubungan berikut:

Nilainya adalah periode ketukan.

Nilai adalah periode osilasi yang dihasilkan (Gambar 2.4).

2.2. Penambahan getaran yang saling tegak lurus

1. Model yang dapat mendemonstrasikan penambahan getaran yang saling tegak lurus ditunjukkan pada Gambar 2.3. Sebuah bandul (titik material bermassa m) dapat berosilasi sepanjang sumbu OX dan OY di bawah aksi dua gaya elastis yang diarahkan saling tegak lurus.

Gambar 2.3

Getaran yang dijumlahkan memiliki bentuk:

Frekuensi osilasi didefinisikan sebagai , , Dimana , adalah koefisien kekakuan pegas.

2. Pertimbangkan kasus penambahan dua getaran yang saling tegak lurus dengan frekuensi yang sama , yang sesuai dengan kondisi (pegas yang sama). Maka persamaan osilasi yang ditambahkan akan berbentuk:

Ketika sebuah titik berpartisipasi dalam dua gerakan secara bersamaan, lintasannya bisa berbeda dan cukup kompleks. Persamaan lintasan getaran yang dihasilkan pada bidang OXY ketika menambahkan dua getaran yang saling tegak lurus dengan frekuensi yang sama dapat ditentukan dengan mengecualikan waktu t dari persamaan awal untuk x dan y:

Jenis lintasan ditentukan oleh perbedaan fase awal dari osilasi tambahan, yang bergantung pada kondisi awal (lihat 1.1.2). Pertimbangkan opsi yang memungkinkan.

dan jika , di mana n = 0, 1, 2…, yaitu getaran yang dijumlahkan sefasa, maka persamaan lintasannya akan berbentuk:

(Gambar 2.3a).

Gambar 2.3.a	Gambar 2.3 b

b) Jika (n = 0, 1, 2…), yaitu getaran yang dijumlahkan berada dalam antifase, maka persamaan lintasannya ditulis sebagai berikut:

(Gambar 2.3b).

Dalam kedua kasus (a, b), gerakan titik yang dihasilkan akan berosilasi sepanjang garis lurus yang melewati titik O. Frekuensi osilasi yang dihasilkan sama dengan frekuensi osilasi tambahan 0 , amplitudo ditentukan oleh rasio.