Praktis seluruh kursus matematika didasarkan pada operasi dengan bilangan positif dan negatif. Lagi pula, begitu kita mulai mempelajari garis koordinat, angka-angka dengan tanda plus dan minus mulai menemui kita di mana-mana, di setiap topik baru. Tidak ada yang lebih mudah daripada menjumlahkan bilangan positif biasa bersama-sama, tidak sulit untuk mengurangi satu dari yang lain. Bahkan aritmatika dengan dua angka negatif jarang menjadi masalah.
Namun, banyak orang yang bingung dalam menjumlahkan dan mengurangkan bilangan dengan tanda yang berbeda. Ingat aturan di mana tindakan ini terjadi.
Penambahan angka dengan tanda yang berbeda
Jika untuk menyelesaikan masalah kita perlu menambahkan angka negatif "-b" ke angka tertentu "a", maka kita perlu bertindak sebagai berikut.
- Mari kita ambil modul dari kedua angka - |a| dan |b| - dan bandingkan nilai absolut ini satu sama lain.
- Catat modul mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil, dan kurangi nilai yang lebih kecil dari nilai yang lebih besar.
- Kami menempatkan sebelum angka yang dihasilkan tanda angka yang modulusnya lebih besar.
Ini akan menjadi jawabannya. Sederhananya: jika dalam ekspresi a + (-b) modulus angka "b" lebih besar dari modulus "a", maka kita mengurangi "a" dari "b" dan menempatkan "minus" " di depan hasil. Jika modulus "a" lebih besar, maka "b" dikurangi dari "a" - dan solusinya diperoleh dengan tanda "plus".
Itu juga terjadi bahwa modulnya sama. Jika demikian, maka Anda dapat berhenti pada titik ini - kita berbicara tentang angka yang berlawanan, dan jumlahnya akan selalu nol.
Pengurangan bilangan dengan tanda yang berbeda
Kami menemukan penambahan, sekarang pertimbangkan aturan pengurangan. Ini juga cukup sederhana - dan selain itu, ini sepenuhnya mengulangi aturan yang sama untuk mengurangkan dua angka negatif.
Untuk mengurangi dari angka tertentu "a" - arbitrer, yaitu, dengan tanda apa pun - angka negatif "c", Anda perlu menambahkan ke angka arbitrer kami "a" angka yang berlawanan dengan "c". Sebagai contoh:
- Jika "a" adalah bilangan positif, dan "c" adalah negatif, dan "c" harus dikurangi dari "a", maka kami menulisnya seperti ini: a - (-c) \u003d a + c.
- Jika "a" adalah angka negatif, dan "c" positif, dan "c" harus dikurangi dari "a", maka kami menulis sebagai berikut: (- a) - c \u003d - a + (-c).
Jadi, saat mengurangkan bilangan dengan tanda yang berbeda, kita akhirnya kembali ke aturan penjumlahan, dan saat menjumlahkan bilangan dengan tanda berbeda, kita kembali ke aturan pengurangan. Mengingat aturan ini memungkinkan Anda untuk memecahkan masalah dengan cepat dan mudah.
Aturan penjumlahan negatif
Jika Anda mengingat pelajaran matematika dan topik "Penambahan dan pengurangan angka dengan tanda berbeda", maka untuk menambahkan dua angka negatif yang Anda butuhkan:
- melakukan penambahan modul mereka;
- tambahkan tanda "-" ke jumlah yang diterima.
Menurut aturan penjumlahan, kita dapat menulis:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Aturan penjumlahan negatif berlaku untuk bilangan bulat negatif, bilangan rasional, dan bilangan real.
Contoh 1
Tambahkan angka negatif $−185$ dan $−23 \ 789.$
Keputusan.
Mari kita gunakan aturan penjumlahan bilangan negatif.
Mari kita temukan modul dari angka-angka ini:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Mari kita tambahkan angka yang dihasilkan:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Kami menempatkan tanda $"–"$ di depan nomor yang ditemukan dan mendapatkan $−23 \ 974$.
Solusi singkat: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Menjawab: $−23 \ 974$.
Saat menambahkan bilangan rasional negatif, mereka harus dikonversi ke bentuk bilangan asli, pecahan biasa atau desimal.
Contoh 2
Tambahkan bilangan negatif $-\frac(1)(4)$ dan $−7.15$.
Keputusan.
Menurut aturan penambahan angka negatif, pertama-tama Anda harus menemukan jumlah modul:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Lebih mudah untuk mengurangi nilai yang diperoleh menjadi pecahan desimal dan melakukan penambahannya:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Mari kita letakkan tanda $"-"$ di depan nilai yang diterima dan dapatkan $-7,4$.
Ringkasan solusi:
$(-\frac(1)(4))+(−7.15)=−(\frac(1)(4)+7.15)=–(0.25+7.15)=−7, 4$.
Untuk menambahkan bilangan positif dan negatif:
- menghitung modul angka;
- jika mereka sama, maka angka aslinya berlawanan dan jumlahnya sama dengan nol;
- jika tidak sama, maka Anda perlu mengingat tanda angka yang modulusnya lebih besar;
kurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar;
- sebelum nilai yang diterima, beri tanda bilangan yang modulusnya lebih besar.
bandingkan angka yang diterima:
Penjumlahan bilangan dengan tanda yang berlawanan direduksi menjadi pengurangan bilangan negatif yang lebih kecil dari bilangan positif yang lebih besar.
Aturan penjumlahan bilangan dengan tanda yang berlawanan dilakukan untuk bilangan bulat, rasional, dan real.
Contoh 3
Tambahkan angka $4$ dan $−8$.
Keputusan.
Anda perlu menambahkan angka dengan tanda yang berlawanan. Mari kita gunakan aturan penjumlahan yang sesuai.
Mari kita temukan modul dari angka-angka ini:
Modulus bilangan $−8$ lebih besar dari modulus bilangan $4$, mis. ingat tanda $"-"$.
Kami meletakkan tanda $"–"$, yang kami hafal, di depan nomor yang dihasilkan, dan kami mendapatkan $−4.$
Ringkasan solusi:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Menjawab: $4+(−8)=−4$.
Untuk menjumlahkan bilangan rasional dengan tanda yang berlawanan, akan lebih mudah untuk menyatakannya sebagai pecahan biasa atau desimal.
Pengurangan bilangan dengan tanda berbeda dan negatif
Aturan pengurangan bilangan negatif:
Untuk mengurangkan bilangan negatif $b$ dari bilangan $a$, maka $a$ perlu ditambahkan bilangan $−b$, yang merupakan kebalikan dari pengurangan $b$.
Menurut aturan pengurangan, kita dapat menulis:
$a−b=a+(−b)$.
Aturan ini berlaku untuk bilangan bulat, rasional, dan real. Aturan dapat digunakan saat mengurangkan angka negatif dari angka positif, dari angka negatif, dan dari nol.
Contoh 4
Kurangi bilangan negatif $−28$ dengan bilangan negatif $−5$.
Keputusan.
Angka kebalikan dari angka $–5$ adalah angka $5.
Menurut aturan untuk mengurangkan angka negatif, kita mendapatkan:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Mari kita menjumlahkan bilangan dengan tanda yang berlawanan:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Menjawab: $(−28)−(−5)=−23$.
Saat mengurangkan bilangan pecahan negatif, Anda harus mengubah bilangan tersebut ke dalam bentuk pecahan biasa, pecahan campuran, atau pecahan desimal.
Penjumlahan dan pengurangan bilangan dengan tanda yang berbeda
Aturan pengurangan bilangan yang berlawanan tanda sama dengan aturan pengurangan bilangan negatif.
Contoh 5
Kurangi bilangan positif $7$ dari bilangan negatif $−11$.
Keputusan.
Angka kebalikan dari angka $7$ adalah angka $–7$.
Menurut aturan untuk mengurangkan bilangan dengan tanda yang berlawanan, kita mendapatkan:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Mari kita tambahkan angka negatif:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Solusi singkat: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Menjawab: $(−11)−7=−18$.
Saat mengurangkan bilangan pecahan dengan tanda yang berbeda, perlu untuk mengubah bilangan tersebut ke dalam bentuk pecahan biasa atau desimal.
Sebagai bagian dari materi ini, kita akan menyentuh topik penting seperti penambahan angka negatif. Di paragraf pertama, kami akan menjelaskan aturan dasar untuk tindakan ini, dan di paragraf kedua, kami akan menganalisis contoh spesifik untuk memecahkan masalah tersebut.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Aturan dasar untuk menambahkan bilangan asli
Sebelum menurunkan aturan, mari kita ingat kembali apa yang umumnya kita ketahui tentang bilangan positif dan negatif. Sebelumnya kami sepakat bahwa angka negatif harus dianggap sebagai hutang, kerugian. Modulus bilangan negatif menyatakan ukuran yang tepat dari kerugian ini. Kemudian penambahan angka negatif dapat dianggap sebagai penambahan dua kerugian.
Dengan menggunakan alasan ini, kami merumuskan aturan dasar untuk menambahkan angka negatif.
Definisi 1
Untuk memenuhi penjumlahan bilangan negatif, Anda perlu menambahkan nilai modulnya dan memberi tanda minus di depan hasilnya. Dalam bentuk literal, rumusnya terlihat seperti (− a) + (− b) = (a + b) .
Berdasarkan aturan ini dapat kita simpulkan bahwa penjumlahan bilangan negatif sama dengan penjumlahan bilangan positif, hanya saja pada akhirnya kita pasti mendapatkan bilangan negatif, karena kita harus meletakkan tanda minus di depan penjumlahan modul.
Bukti apa yang dapat diberikan untuk aturan ini? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat sifat dasar operasi dengan bilangan real (baik dengan bilangan bulat atau dengan bilangan rasional - semuanya sama untuk semua jenis bilangan ini). Untuk membuktikannya, kita hanya perlu menunjukkan bahwa selisih antara ruas kiri dan kanan persamaan (− a) + (− b) = (a + b) akan sama dengan 0 .
Mengurangi satu angka dari yang lain sama dengan menambahkan angka yang berlawanan dengannya. Jadi, (− a) + (− b) (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Ingatlah bahwa ekspresi numerik dengan penambahan memiliki dua sifat utama - asosiatif dan komutatif. Maka kita dapat menyimpulkan bahwa (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Karena, dengan menambahkan angka yang berlawanan, kami selalu mendapatkan 0, maka (− a + a) + (− b + b) \u003d 0 + 0, dan 0 + 0 \u003d 0. Persamaan kami dapat dianggap terbukti, yang berarti bahwa aturan untuk menambahkan angka negatif kami juga membuktikan.
Di paragraf kedua, kami akan mengambil masalah khusus di mana Anda perlu menambahkan angka negatif, dan mencoba menerapkan aturan yang dipelajari di dalamnya.
Contoh 1
Temukan jumlah dua bilangan negatif - 304 dan - 1807.
Keputusan
Mari kita lakukan langkah demi langkah. Pertama kita perlu menemukan modul dari angka yang akan ditambahkan: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . Selanjutnya, kita perlu melakukan tindakan penambahan, di mana kita menggunakan metode jumlah kolom:
Yang tersisa adalah menempatkan minus di depan hasil dan mendapatkan - 18 311 .
Menjawab: - - 18 311 .
Itu tergantung pada angka apa yang kita miliki, pada apa kita dapat mengurangi tindakan penjumlahan: untuk menemukan jumlah bilangan asli, untuk menambahkan pecahan biasa atau desimal. Mari kita menganalisis masalah dengan angka-angka seperti itu.
Contoh N
Tentukan jumlah dua bilangan negatif - 2 5 dan 4 , (12) .
Keputusan
Kami menemukan modul dari angka yang diinginkan dan mendapatkan 2 5 dan 4 , (12) . Kami memiliki dua fraksi yang berbeda. Kami mengurangi masalah menjadi penambahan dua fraksi biasa, di mana kami mewakili fraksi periodik dalam bentuk biasa:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Hasilnya, kami mendapatkan pecahan yang mudah dijumlahkan ke suku awal pertama (jika Anda lupa cara menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda dengan benar, ulangi materi yang sesuai).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Akibatnya, kami mendapat nomor campuran, di depannya kami hanya perlu memberi minus. Ini menyelesaikan perhitungan.
Menjawab: - 4 86 105 .
Bilangan negatif real dijumlahkan dengan cara yang sama. Hasil dari tindakan seperti itu biasanya ditulis sebagai ekspresi numerik. Nilainya tidak dapat dihitung atau terbatas pada perkiraan perhitungan. Jadi, misalnya, jika kita perlu mencari jumlah - 3 + (− 5) , maka kita tulis jawabannya sebagai - 3 5 . Kami mencurahkan materi terpisah untuk penambahan bilangan real, di mana Anda dapat menemukan contoh lain.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Penambahan bilangan negatif.
Jumlah bilangan negatif adalah bilangan negatif. Modul jumlah sama dengan jumlah modul istilah.
Mari kita lihat mengapa jumlah bilangan negatif juga akan menjadi bilangan negatif. Garis koordinat akan membantu kita dalam hal ini, di mana kita akan melakukan penambahan angka -3 dan -5. Mari kita tandai sebuah titik pada garis koordinat yang sesuai dengan angka -3.
Untuk angka -3 kita perlu menambahkan angka -5. Ke mana kita pergi dari titik yang sesuai dengan angka -3? Itu benar, ke kiri! Untuk 5 segmen tunggal. Kami menandai titik dan menulis nomor yang sesuai dengannya. Angka ini adalah -8.
Jadi, ketika menjumlahkan bilangan negatif menggunakan garis koordinat, kita selalu berada di sebelah kiri titik acuan, sehingga jelas bahwa hasil penjumlahan bilangan negatif juga merupakan bilangan negatif.
Catatan. Kami menambahkan angka -3 dan -5, mis. menemukan nilai ekspresi -3+(-5). Biasanya, ketika menjumlahkan bilangan rasional, mereka hanya menuliskan angka-angka ini dengan tanda-tandanya, seolah-olah mencantumkan semua angka yang perlu ditambahkan. Notasi seperti itu disebut jumlah aljabar. Terapkan (dalam contoh kami) catatan: -3-5=-8.
Contoh. Temukan jumlah bilangan negatif: -23-42-54. (Setuju bahwa entri ini lebih pendek dan lebih nyaman seperti ini: -23+(-42)+(-54))?
Kami memutuskan sesuai dengan aturan penambahan angka negatif: kami menambahkan modul dari istilah: 23+42+54=119. Hasilnya akan dengan tanda minus.
Mereka biasanya menuliskannya seperti ini: -23-42-54 \u003d -119.
Penjumlahan bilangan dengan tanda yang berbeda.
Jumlah dua bilangan yang berbeda tanda memiliki tanda penjumlahan dengan modulus yang besar. Untuk menemukan modulus penjumlahan, Anda perlu mengurangi modulus yang lebih kecil dari modulus yang lebih besar.
Mari kita lakukan penjumlahan bilangan dengan tanda yang berbeda menggunakan garis koordinat.
1) -4+6. Diperlukan untuk menambahkan angka -4 ke angka 6. Kami menandai angka -4 dengan sebuah titik pada garis koordinat. Angka 6 positif, artinya dari titik koordinat -4 kita harus ke kanan sebanyak 6 unit segmen. Kami berakhir di sebelah kanan asal (dari nol) sebanyak 2 unit segmen.
Hasil penjumlahan bilangan -4 dan 6 adalah bilangan positif 2:
— 4+6=2. Bagaimana Anda bisa mendapatkan nomor 2? Kurangi 4 dari 6, mis. kurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar. Hasilnya memiliki tanda yang sama dengan istilah dengan modulus besar.
2) Mari kita hitung: -7+3 menggunakan garis koordinat. Kami menandai titik yang sesuai dengan angka -7. Kami pergi ke kanan dengan 3 unit segmen dan mendapatkan titik dengan koordinat -4. Kami dulu dan tetap di sebelah kiri asal: jawabannya adalah angka negatif.
— 7+3=-4. Kita bisa mendapatkan hasil ini sebagai berikut: kita kurangi yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, yaitu. 7-3=4. Akibatnya, tanda istilah dengan modul yang lebih besar ditetapkan: |-7|>|3|.
Contoh. Menghitung: sebuah) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.
Pada artikel ini kita akan berbicara tentang penjumlahan bilangan negatif. Pertama, kami memberikan aturan untuk menambahkan angka negatif dan membuktikannya. Setelah itu, kami akan menganalisis contoh tipikal penambahan angka negatif.
Navigasi halaman.
Aturan penjumlahan negatif
Sebelum memberikan rumusan aturan penjumlahan bilangan negatif, mari kita beralih ke materi artikel bilangan positif dan negatif. Di sana kami menyebutkan bahwa angka negatif dapat dianggap sebagai hutang, dan dalam hal ini menentukan jumlah hutang ini. Oleh karena itu, penambahan dua angka negatif adalah penambahan dua hutang.
Kesimpulan ini memungkinkan untuk dipahami aturan penjumlahan negatif. Untuk menambahkan dua angka negatif, Anda perlu:
- susun modul mereka;
- beri tanda minus di depan jumlah yang diterima.
Mari kita tuliskan aturan penjumlahan bilangan negatif a dan b dalam bentuk literal: (−a)+(−b)=−(a+b).
Jelas bahwa aturan bersuara mengurangi penambahan bilangan negatif ke penambahan bilangan positif (modulus bilangan negatif adalah bilangan positif). Juga jelas bahwa hasil penjumlahan dua bilangan negatif adalah bilangan negatif, dibuktikan dengan tanda minus yang diletakkan di depan jumlah modulus.
Aturan penjumlahan bilangan negatif dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat tindakan dengan bilangan real(atau sifat operasi yang sama dengan bilangan rasional atau bilangan bulat). Untuk melakukannya, cukup ditunjukkan bahwa selisih antara bagian kiri dan kanan persamaan (−a)+(−b)=−(a+b) sama dengan nol.
Karena mengurangkan suatu bilangan sama dengan menjumlahkan bilangan yang berlawanan (lihat aturan pengurangan bilangan bulat), maka (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif dari penjumlahan, kami memiliki (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Karena jumlah bilangan yang berlawanan sama dengan nol, maka (−a+a)+(−b+b)=0+0 , dan 0+0=0 karena sifat menjumlahkan suatu bilangan menjadi nol. Ini membuktikan persamaan (−a)+(−b)=−(a+b) , dan karenanya aturan untuk menjumlahkan bilangan negatif.
Tetap hanya mempelajari cara menerapkan aturan penambahan angka negatif dalam praktik, yang akan kita lakukan di paragraf berikutnya.
Contoh Penjumlahan Bilangan Negatif
Mari kita analisis contoh penjumlahan bilangan negatif. Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - penambahan bilangan bulat negatif, penambahan akan dilakukan sesuai dengan aturan yang dibahas pada paragraf sebelumnya.
Contoh.
Tambahkan angka negatif -304 dan -18007 .
Keputusan.
Mari ikuti semua langkah aturan penjumlahan bilangan negatif.
Pertama, kami menemukan modul dari angka yang ditambahkan: dan 
. Sekarang Anda perlu menambahkan angka yang dihasilkan, di sini lebih mudah untuk melakukan penambahan kolom: 
Sekarang kita menempatkan tanda minus di depan angka yang dihasilkan, sebagai hasilnya kita memiliki 18 311 .
Mari kita tuliskan seluruh solusi dalam bentuk pendek: (−304)+(−18 007)= (304+18 007)=−18 311 .
Menjawab:
−18 311 .
Penjumlahan bilangan rasional negatif, tergantung pada bilangan itu sendiri, dapat direduksi menjadi penjumlahan bilangan asli, atau pada penjumlahan pecahan biasa, atau pada penjumlahan pecahan desimal.
Contoh.
Tambahkan angka negatif dan angka negatif 4,(12) .
Keputusan.
Menurut aturan penambahan angka negatif, Anda harus terlebih dahulu menghitung jumlah modul. Modul dari bilangan negatif yang ditambahkan masing-masing adalah 2/5 dan 4, (12). Penambahan bilangan yang dihasilkan dapat direduksi menjadi penjumlahan pecahan biasa. Untuk melakukan ini, kami menerjemahkan pecahan desimal periodik menjadi pecahan biasa :. Jadi 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Sekarang mari kita jalankan
