Teorema de Moivre-Laplace lokal. 0 dan 1, maka probabilitas P t p itu, bahwa peristiwa A akan terjadi m kali dalam n percobaan independen untuk sejumlah n yang cukup besar, kira-kira sama dengan
- Fungsi Gauss dan
Semakin besar dan, semakin akurat rumus perkiraan (2.7), yang disebut dengan rumus lokal Moivre-Laplace. Perkiraan probabilitas R TPU diberikan oleh rumus lokal (2.7) digunakan dalam praktik sebagai yang tepat untuk pru orde dua puluhan atau lebih, yaitu mengingat bahwa pru > 20.
Untuk menyederhanakan perhitungan yang terkait dengan penggunaan rumus (2.7), tabel nilai fungsi /(x) telah disusun (Tabel I, diberikan dalam lampiran). Saat menggunakan tabel ini, perlu diingat sifat-sifat yang jelas dari fungsi f(x) (2.8).
- 1. Fungsi/(X) genap, yaitu /(-x) = /(x).
- 2. Fungsi/(X) - menurun secara monoton untuk nilai positif X, dan di x -> co /(x) -» 0.
- (Dalam praktiknya, kita dapat mengasumsikan bahwa genap untuk x > 4 /(x) « 0.)
[> Contoh 2.5. Di beberapa daerah, dari setiap 100 keluarga, 80 memiliki lemari es. Tentukan peluang bahwa dari 400 keluarga, 300 memiliki lemari es.
Keputusan. Peluang sebuah keluarga memiliki lemari es adalah p = 80/100 = 0,8. Sebagai P= 100 cukup besar (kondisi pru= = 100 0.8(1-0.8) = 64 > 20 puas), maka kita terapkan rumus lokal Moivre-Laplace.
Pertama, kita definisikan dengan rumus (2.9)
Kemudian dengan rumus (2.7)
(nilai /(2,50) ditemukan dari Tabel I lampiran). Nilai probabilitas yang agak kecil /300.400 tidak perlu diragukan lagi, karena terlepas dari kejadiannya
"tepatnya 300 keluarga dari 400 memiliki lemari es" 400 lebih banyak peristiwa mungkin terjadi: "0 dari 400", "1 dari 400",..., "400 dari 400" dengan probabilitasnya sendiri. Bersama-sama, peristiwa-peristiwa ini membentuk kelompok yang lengkap, yang berarti bahwa jumlah peluangnya sama dengan satu. ?
Misalkan, dalam kondisi Contoh 2.5, perlu untuk menemukan probabilitas bahwa dari 300 hingga 360 keluarga (termasuk) memiliki lemari es. Dalam hal ini, menurut teorema penjumlahan, peluang kejadian yang diinginkan
Pada prinsipnya, setiap suku dapat dihitung menggunakan rumus lokal Moivre-Laplace, tetapi jumlah suku yang banyak membuat penghitungan menjadi sangat rumit. Dalam kasus seperti itu, teorema berikut digunakan.
Teorema integral Moivre - Laplace. Jika peluang p terjadinya kejadian A pada setiap percobaan konstan dan berbeda dari 0 dan 1, maka peluang, bahwa jumlah m terjadinya peristiwa A dalam n percobaan bebas terletak di antara a dan b (inklusif), untuk jumlah yang cukup besar n kira-kira sama dengan
- fungsi(atau integral dari probabilitas) Laplace",
(Bukti teorema diberikan dalam Bagian 6.5.)
Rumus (2.10) disebut Rumus integral Moivre-Laplace. Lebih P, semakin akurat rumusnya. Ketika kondisi pru > > 20 rumus integral (2.10), serta rumus lokal, biasanya memberikan kesalahan dalam menghitung probabilitas yang memuaskan untuk praktik.
Fungsi (dg) ditabulasikan (lihat Tabel II dari lampiran). Untuk menggunakan tabel ini, Anda perlu mengetahui sifat-sifat fungsi (х).
1. Fungsi f(x) aneh, itu. F(-x) = -F(x).
?
Haruskah kita mengubah variabel? = -G. Kemudian (k =
= -(12. Batas integrasi untuk variabel 2 akan menjadi 0 dan X. Mendapatkan
karena nilai integral tertentu tidak bergantung pada penunjukan variabel integrasi. ?
2. Fungsi (х) meningkat secara monoton, dan untuk x ->+co f(.g) -> 1 (dalam praktiknya, kita dapat mengasumsikan bahwa sudah di x > 4 (x)~ 1).
Karena turunan integral terhadap batas atas variabel sama dengan integral pada nilai batas atas, r.s.
, dan selalu positif, maka (х) meningkat secara monoton
sepanjang garis bilangan.
Kami membuat perubahan variabel, maka batas-batas integrasi tidak berubah dan
(karena integral dari fungsi genap
Mengingat bahwa 
(integral Euler - racun), kita mendapatkan
?
o Contoh 2.6. Dengan menggunakan data Contoh 2.5, hitung peluang bahwa dari 300 hingga 360 (termasuk) keluarga dari 400 keluarga memiliki lemari es.
Keputusan. Kami menerapkan teorema integral Moivre - Laplace (pr= 64 > 20). Pertama, kita definisikan dengan rumus (2.12)
Sekarang, menurut rumus (2.10), dengan mempertimbangkan sifat-sifat (.т), kita memperoleh
(menurut Tabel II lampiran?
Pertimbangkan konsekuensi dari teorema integral Moivre - Laplace. Konsekuensi. Jika peluang p terjadinya kejadian A pada setiap percobaan konstan dan berbeda dari 0 dan I, maka untuk sejumlah n percobaan independen yang cukup besar, peluang bahwa:
sebuah) jumlah m kemunculan peristiwa A berbeda dari hasil kali pr tidak lebih dari e > 0 (dalam nilai mutlak), itu.
b) frekuensi t/n kejadian A terletak di dalam dari a ke r ( termasuk- dengan hormat, yaitu
di) frekuensi kejadian A berbeda dari probabilitasnya p tidak lebih dari A > 0 (dalam nilai absolut), yaitu
A) Ketimpangan |/?7-7?/?| setara dengan pertidaksamaan ganda pr-e Oleh karena itu, dengan rumus integral (2.10)
- b) Ketimpangan dan ekuivalen dengan pertidaksamaan dan di a = pa dan b= /?r. Mengganti dalam rumus (2.10), (2.12) jumlahnya sebuah dan b diperoleh ekspresi, kami memperoleh rumus terbukti (2,14) dan (2,15).
- c) Ketimpangan mjn-p setara dengan pertidaksamaan t-pr Mengganti dalam rumus (2.13) r = Ap, kita peroleh rumus (2.16) untuk dibuktikan. ?
[> Contoh 2.7. Dengan menggunakan data pada Contoh 2.5, hitung peluang bahwa 280 hingga 360 keluarga dari 400 keluarga memiliki lemari es.
Keputusan. Hitung probabilitas 400 (280 t pr \u003d 320. Kemudian sesuai dengan rumus (2.13)
[> Contoh 2.8. Menurut statistik, rata-rata 87% bayi baru lahir hidup sampai usia 50 tahun.
- 1. Tentukan peluang bahwa dari 1000 bayi baru lahir, proporsi (frekuensi) dari mereka yang bertahan hidup sampai usia 50 tahun akan: a) berada dalam kisaran 0,9 hingga 0,95; b) akan berbeda dari probabilitas kejadian ini tidak lebih dari 0,04 (tetapi dalam nilai absolut).
- 2. Berapa banyak bayi baru lahir dengan reliabilitas 0,95 yang proporsi mereka yang bertahan hidup sampai usia 50 tahun berada dalam batas 0,86 sampai 0,88?
Keputusan. 1a) Probabilitas R bahwa bayi yang baru lahir akan hidup sampai 50 tahun adalah 0,87. Sebagai P= 1000 besar (kondisi prd=1000 0,87 0,13 = 113,1 > 20 puas), maka kita menggunakan akibat wajar dari teorema integral Moivre - Laplace. Pertama, kita definisikan dengan rumus (2.15)
Sekarang menurut rumus (2.14)
1, b) Dengan rumus (2.16)
Karena ketidaksetaraan 
setara dengan pertidaksamaan
hasil yang diperoleh berarti secara praktis dapat dipastikan bahwa dari 0,83 hingga 0,91 jumlah bayi baru lahir dari 1000 akan hidup hingga 50 tahun. ?
2. Dengan kondisi 
atau
Menurut rumus (2.16)
di A = 0,01 
Menurut tabel II aplikasi F(G) = 0,95 pada G = 1,96, oleh karena itu,
di mana 
itu. kondisi (*) dapat dijamin dengan peningkatan yang signifikan dalam jumlah bayi baru lahir yang dipertimbangkan hingga P = 4345. ?
- Bukti teorema diberikan dalam Bagian 6.5. Arti probabilistik dari besaran pr, prs( ditetapkan dalam paragraf 4.1 (lihat catatan pada hal. 130).
- Arti probabilistik dari nilai pf/n ditetapkan dalam paragraf 4.1.
tekanan langsung di bawah permukaan cembung cairan lebih besar dari tekanan di bawah permukaan datar cairan, dan tekanan di bawah permukaan cekung cairan kurang dari tekanan di bawah permukaan datar.
Perhitungan tekanan di bawah permukaan bola cairan
Ini adalah lapisan tipis air, yang memiliki dua permukaan pembatas: internal dan eksternal. Jari-jari kelengkungan permukaan ini dapat dianggap sama, karena ketebalan film ribuan kali lebih kecil dari jari-jari gelembung. Air dari lapisan ini secara bertahap mengalir, lapisan menjadi lebih tipis dan akhirnya pecah. Jadi gelembung tidak mengapung di air untuk waktu yang lama: dari sepersekian detik hingga sepuluh detik. Perlu dicatat bahwa ketika lapisan air menjadi lebih tipis, ukuran gelembung praktis tidak berubah.
Mari kita hitung tekanan berlebih dalam gelembung seperti itu. Untuk mempermudah, pertimbangkan belahan satu lapis jari-jari r, yang terletak pada permukaan horizontal, kita juga akan mengasumsikan bahwa tidak ada udara di luar. Film ditahan pada permukaan yang diarsir karena pembasahan (Gbr. 2.3). Dalam hal ini, sepanjang batas kontak dengan permukaan, gaya tegangan permukaan sama dengan
dimana adalah koefisien tegangan permukaan cairan,
Panjang antarmuka film-permukaan sama dengan .
Artinya, kita memiliki:
.
Gaya yang bekerja pada film, dan melaluinya di udara, diarahkan tegak lurus ke permukaan (lihat Gambar 2.3). Jadi tekanan udara di permukaan dan di dalam gelembung dapat dihitung sebagai berikut:
Dimana F adalah gaya tegangan permukaan sama dengan,
S - luas permukaan: .
Mengganti nilai gaya F dan luas S dalam rumus untuk menghitung tekanan, kita mendapatkan:
dan akhirnya.
Dalam contoh kita dengan gelembung udara di permukaan air, filmnya berlipat ganda dan, oleh karena itu, tekanan berlebihnya adalah .
Gambar 2.4 menunjukkan contoh permukaan bola satu lapis yang dapat terbentuk pada permukaan cairan. Di atas zat cair terdapat gas yang memiliki tekanan.
Kapilaritas (dari bahasa Latin capillaris - rambut), efek kapiler - fenomena fisik, yang terdiri dari kemampuan cairan untuk mengubah level dalam tabung, saluran sempit dengan bentuk sewenang-wenang, badan berpori. Kenaikan zat cair terjadi bila saluran dibasahi dengan zat cair, misalnya air dalam tabung gelas, pasir, tanah, dll. Penurunan zat cair terjadi pada tabung dan saluran yang tidak dibasahi oleh zat cair, misalnya merkuri dalam suatu tabung kaca.
Atas dasar kapilaritas, aktivitas vital hewan dan tumbuhan, teknologi kimia, dan fenomena sehari-hari didasarkan (misalnya, menaikkan minyak tanah di sepanjang sumbu dalam lampu minyak tanah, menyeka tangan dengan handuk). Kapilaritas tanah ditentukan oleh laju kenaikan air di dalam tanah dan tergantung pada ukuran celah antar partikel tanah.
rumus Laplace
Pertimbangkan film cair tipis yang ketebalannya dapat diabaikan. Dalam upaya meminimalkan energi bebasnya, film menciptakan perbedaan tekanan dari sisi yang berbeda. Ini menjelaskan keberadaan gelembung sabun: film dikompresi sampai tekanan di dalam gelembung melebihi tekanan atmosfer dengan nilai tekanan tambahan dari film. Tekanan tambahan pada suatu titik di permukaan tergantung pada kelengkungan rata-rata pada titik itu dan diberikan oleh rumus Laplace:
Di sini R 1,2 adalah jari-jari kelengkungan utama di suatu titik. Mereka memiliki tanda yang sama jika pusat kelengkungan yang sesuai terletak pada sisi yang sama dari bidang singgung pada titik tersebut, dan mereka memiliki tanda yang berbeda jika terletak pada sisi yang berlawanan. Misalnya, untuk bola, pusat kelengkungan pada setiap titik di permukaan bertepatan dengan pusat bola, jadi
Untuk kasus permukaan silinder melingkar berjari-jari R, kita memiliki:
Diketahui bahwa permukaan cairan di dekat dinding bejana melengkung. Permukaan bebas dari cairan yang melengkung di dekat dinding pembuluh disebut meniskus.(Gbr. 145).
Pertimbangkan film cair tipis yang ketebalannya dapat diabaikan. Dalam upaya meminimalkan energi bebasnya, film menciptakan perbedaan tekanan dari sisi yang berbeda. Karena aksi gaya tegangan permukaan dalam tetesan cairan dan gelembung sabun di dalam, tekanan tambahan(film dikompresi sampai tekanan di dalam gelembung tidak melebihi tekanan atmosfer dengan nilai tekanan tambahan dari film).
 Beras. 146. |
Pertimbangkan permukaan cairan yang bertumpu pada beberapa kontur datar (Gbr. 146, sebuah). Jika permukaan zat cair tidak rata, maka kecenderungannya untuk berkontraksi akan menyebabkan munculnya tekanan, tambahan yang dialami zat cair dengan permukaan datar. Dalam kasus permukaan cembung, tekanan tambahan ini positif (Gbr. 146, b), dalam kasus permukaan cekung - negatif (Gbr. 146, di). Dalam kasus terakhir, lapisan permukaan, yang berusaha berkontraksi, meregangkan cairan.
Besarnya tekanan tambahan, jelas, harus meningkat dengan peningkatan koefisien tegangan permukaan dan kelengkungan permukaan.
 Beras. 147. |
.
Gaya ini menekan kedua belahan satu sama lain di sepanjang permukaan dan, oleh karena itu, menyebabkan tekanan tambahan: 
Kelengkungan permukaan bola adalah sama di mana-mana dan ditentukan oleh jari-jari bola. Jelas, semakin kecil , semakin besar kelengkungan permukaan bola.
Tekanan berlebih di dalam gelembung sabun dua kali lebih banyak, karena film memiliki dua permukaan:
Tekanan tambahan menyebabkan perubahan tingkat cairan dalam tabung sempit (kapiler), sehingga kadang-kadang disebut tekanan kapiler.
Kelengkungan permukaan sewenang-wenang biasanya ditandai dengan apa yang disebut kelengkungan rata-rata, yang mungkin berbeda untuk berbagai titik di permukaan.
Nilai memberikan kelengkungan bola. Dalam geometri, terbukti bahwa jumlah setengah dari jari-jari kelengkungan timbal balik untuk setiap pasangan bagian normal yang saling tegak lurus memiliki nilai yang sama:
. (1)
Nilai ini adalah kelengkungan rata-rata permukaan pada suatu titik tertentu. Dalam rumus ini, jari-jari adalah besaran aljabar. Jika pusat kelengkungan bagian normal di bawah permukaan tertentu, jari-jari kelengkungan yang sesuai adalah positif; jika pusat kelengkungan terletak di atas permukaan, jari-jari kelengkungan adalah negatif (Gbr. 148).
 Beras. 148. |
Misalnya, untuk bola, pusat kelengkungan pada setiap titik di permukaan bertepatan dengan pusat bola, dan karena itu . Untuk kasus permukaan silinder melingkar berjari-jari, kita memiliki: , dan .
Dapat dibuktikan bahwa untuk permukaan dalam bentuk apa pun, relasinya benar:
Mengganti ekspresi (1) ke dalam rumus (2), kita memperoleh rumus untuk tekanan tambahan di bawah permukaan yang berubah-ubah, yang disebut rumus Laplace(Gbr. 148):
. (3)
Jari-jari dan rumus (3) adalah besaran aljabar. Jika pusat kelengkungan bagian normal di bawah permukaan tertentu, jari-jari kelengkungan yang sesuai adalah positif; jika pusat kelengkungan terletak di atas permukaan, jari-jari kelengkungan adalah negatif.
Contoh. Jika ada gelembung gas di dalam cairan, maka permukaan gelembung, yang mencoba mengecil, akan memberikan tekanan tambahan pada gas. .
Mari kita cari jari-jari gelembung dalam air di mana tekanan tambahannya adalah 1 ATM. .Koefisien tegangan permukaan air sama 
. Oleh karena itu, untuk nilai berikut diperoleh: .
Untuk ukuran yang cukup besar, rumus Bernoulli memberikan perhitungan yang rumit. Oleh karena itu, dalam kasus tersebut, teorema Laplace lokal digunakan.
Dalil(teorema Laplace lokal). Jika peluang p terjadinya kejadian A pada setiap percobaan adalah konstan dan berbeda dari 0 dan 1, maka peluang 
fakta bahwa kejadian A akan muncul tepat k kali dalam n percobaan bebas kira-kira sama dengan nilai fungsi:
,
.
Ada tabel yang berisi nilai-nilai fungsi 
, untuk nilai positif dari x.
Perhatikan bahwa fungsi 
bahkan.
Jadi, peluang kejadian A akan muncul tepat sebanyak k kali dalam n percobaan kira-kira sama dengan
, di mana 
.
Contoh. 1500 benih ditaburkan di lapangan percobaan. Tentukan peluang bibit akan menghasilkan 1200 biji jika peluang benih berkecambah adalah 0,9.
Keputusan. 
Teorema integral Laplace
Peluang bahwa dalam n percobaan bebas kejadian A akan terjadi paling sedikit k1 kali dan paling banyak k2 kali dihitung dengan teorema integral Laplace.
Dalil(Teorema integral Laplace). Jika peluang p terjadinya kejadian a pada setiap percobaan konstan dan berbeda dari 0 dan 1, maka peluang kejadian A dalam n percobaan akan muncul paling sedikit k 1 kali dan paling banyak k 2 kali kira-kira sama dengan nilai integral tertentu:
.
Fungsi 
disebut fungsi integral Laplace, ganjil dan nilainya ditemukan dalam tabel untuk nilai positif x.
Contoh. Di laboratorium, dari sekelompok benih dengan tingkat perkecambahan 90%, 600 benih ditaburkan, yang bertunas, tidak kurang dari 520 dan tidak lebih dari 570.
Keputusan.
Rumus Poisson
Biarkan n percobaan independen dilakukan, probabilitas terjadinya peristiwa A di setiap percobaan adalah konstan dan sama dengan p. Seperti yang telah kita katakan, peluang terjadinya peristiwa A dalam n percobaan bebas dengan tepat k kali dapat ditemukan dengan menggunakan rumus Bernoulli. Untuk n yang cukup besar, teorema Laplace lokal digunakan. Akan tetapi, rumus ini tidak cocok bila peluang terjadinya suatu kejadian pada setiap percobaan kecil atau mendekati 1. Dan bila p=0 atau p=1, rumus tersebut tidak berlaku sama sekali. Dalam kasus seperti itu, teorema Poisson digunakan.
Dalil(Teorema Poisson). Jika peluang p terjadinya kejadian A dalam setiap percobaan konstan dan mendekati 0 atau 1, dan jumlah percobaan cukup besar, maka peluang terjadinya n percobaan bebas kejadian A tepat k kali ditemukan oleh rumus:
.
Contoh. Naskah 1.000 halaman yang diketik mengandung 1.000 kesalahan ketik. Temukan probabilitas bahwa halaman yang dipilih secara acak berisi setidaknya satu kesalahan cetak.
Keputusan.
pertanyaan untuk tes diri
Merumuskan definisi klasik dari peluang suatu kejadian.
Merumuskan teorema penjumlahan dan perkalian peluang.
Tentukan grup lengkap acara.
Tuliskan rumus peluang total.
Tuliskan rumus Bayes.
Tuliskan rumus Bernoulli.
Tuliskan rumus Poisson.
Tuliskan rumus lokal Laplace.
Tuliskan rumus integral Laplace.
Topik 13. Variabel acak dan karakteristik numeriknya
Literatur: ,,,,,.
Salah satu konsep dasar dalam teori probabilitas adalah konsep variabel acak. Jadi merupakan kebiasaan untuk memanggil variabel yang mengambil nilainya tergantung pada kasusnya. Ada dua jenis variabel acak: diskrit dan kontinu. Variabel acak biasanya dilambangkan dengan X,Y,Z.
Sebuah variabel acak X disebut kontinu (diskrit) jika hanya dapat mengambil sejumlah nilai yang terbatas atau dapat dihitung. Sebuah variabel acak diskrit X didefinisikan jika semua nilai yang mungkin dari x 1 , x 2 , x 3 ,…x n diberikan (jumlah yang dapat berupa hingga atau tak terbatas) dan probabilitas yang sesuai p 1 , p 2 , p 3 ,… hal.
Hukum distribusi variabel acak diskrit X biasanya diberikan oleh tabel:
Baris pertama berisi nilai yang mungkin dari variabel acak X, dan baris kedua berisi probabilitas nilai-nilai ini. Jumlah probabilitas dengan mana variabel acak X mengambil semua nilainya sama dengan satu, yaitu
p 1 + p 2 + p 3 + ... + p n \u003d 1.
Hukum distribusi variabel acak diskrit X dapat direpresentasikan secara grafis. Untuk melakukan ini, titik M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) dibangun dalam persegi panjang sistem koordinat dan menghubungkannya dengan segmen langsung. Angka yang dihasilkan disebut poligon distribusi dari variabel acak X.
Contoh. Nilai diskrit X diberikan oleh hukum distribusi berikut:
Diperlukan untuk menghitung: a) ekspektasi matematis M(X), b) varians D(X), c) standar deviasi .
Keputusan . a) Ekspektasi matematis dari M(X), variabel acak diskrit X adalah jumlah perkalian berpasangan dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas yang sesuai dari nilai-nilai yang mungkin ini. Jika variabel acak diskrit X diberikan menggunakan tabel (1), maka ekspektasi matematis M(X) dihitung dengan rumus
(Х)=х 1 1 +х 2 2 +х 3 3 +…+х n ∙p n . (2)
Ekspektasi matematis M(X) juga disebut nilai rata-rata dari variabel acak X. Dengan menerapkan (2), kita mendapatkan:
(Х)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.
b) Jika M(X) adalah ekspektasi dari variabel acak X, maka selisih X-M(X) disebut deviasi variabel acak X dari nilai rata-rata. Perbedaan ini mencirikan hamburan variabel acak.
penyebaran(hamburan) dari variabel acak diskrit X adalah ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dari deviasi kuadrat dari variabel acak dari ekspektasi matematisnya. Jadi, menurut definisi, kami memiliki:
D(X)=M2 . (3)
Kami menghitung semua nilai yang mungkin dari kuadrat deviasi.
2 =(48-54) 2 =36
2 =(53-54) 2 =1
2 =(57-54) 2 =9
2 =(61-54) 2 =49
Untuk menghitung varians D(X), kami menyusun hukum distribusi deviasi kuadrat dan kemudian menerapkan rumus (2).
D(X)= 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2.
Perlu diperhatikan bahwa sifat berikut sering digunakan untuk menghitung varians: varians D(X) sama dengan selisih antara ekspektasi matematis kuadrat variabel acak X dan kuadrat ekspektasi matematisnya, yaitu
D(X)-M(X 2)- 2 . (4)
Untuk menghitung varians menggunakan rumus (4), kami menyusun hukum distribusi variabel acak X 2:
Sekarang mari kita cari ekspektasi matematis M(X 2).
(Х 2)= (48) 2 0.2+(53) 2 0.4+(57) 2 0.3 +(61) 2 0.1=
460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.
Menerapkan (4), kita mendapatkan:
D(X)=2931,2-(54) 2=2931,2-2916=15,2.
Seperti yang Anda lihat, kami mendapatkan hasil yang sama.
c) Dimensi varians sama dengan kuadrat dari dimensi variabel acak. Oleh karena itu, untuk mengkarakterisasi dispersi nilai yang mungkin dari variabel acak di sekitar nilai rata-ratanya, lebih mudah untuk mempertimbangkan nilai yang sama dengan nilai aritmatika dari akar kuadrat varians, yaitu 
. Nilai ini disebut simpangan baku dari variabel acak X dan dilambangkan dengan . Dengan demikian
σ= 
. (5)
Menerapkan (5), kami memiliki: = 
.
Contoh. Variabel acak X didistribusikan menurut hukum normal. Ekspektasi matematis (Х)=5; varians D(X)=0.64. Temukan peluang bahwa, sebagai hasil dari pengujian, X akan mengambil nilai dalam interval (4; 7).
Keputusan Diketahui bahwa jika variabel acak X diberikan oleh fungsi diferensial f(x), maka probabilitas X mengambil nilai yang termasuk dalam interval (α,β) dihitung dengan rumus
. (1)
Jika nilai X didistribusikan menurut hukum normal, maka fungsi diferensial
,
di mana sebuah=M(X) dan = 
. Dalam hal ini, kita peroleh dari (1)
. (2)
Rumus (2) dapat ditransformasikan menggunakan fungsi Laplace.
Mari kita lakukan substitusi. Biarlah 
. Kemudian 
atau dx=σ∙
dt.
Karena itu 
, di mana t 1 dan t 2 adalah batas yang sesuai untuk variabel t.
Dikurangi dengan , kita memiliki
Dari substitusi input 
mengikuti itu 
dan 
.
Dengan demikian,
(3)
Menurut kondisi masalah, kita memiliki: a=5; = 
=0,8; = 4; = 7. Substitusikan data ini ke dalam (3), kita dapatkan:
=F(2.5)-F(-1.25)=
\u003d F (2,5) + F (1,25) \u003d 0,4938 + 0,3944 \u003d 0,8882.
Contoh. Diyakini bahwa penyimpangan panjang suku cadang yang diproduksi dari standar adalah variabel acak yang didistribusikan menurut hukum normal. Panjang standar (harapan) a = 40 cm, simpangan baku = 0,4 cm Carilah peluang bahwa simpangan panjang dari standar tidak lebih dari 0,6 cm dalam nilai absolut.
Keputusan.Jika X adalah panjang bagian, maka sesuai dengan kondisi masalah, nilai ini harus berada dalam interval (a-δ, a + ), di mana a=40 dan =0.6.
Masukkan ke dalam rumus (3) = a-δ dan = a+δ, kita peroleh
. (4)
Mengganti data yang tersedia ke dalam (4), kami memperoleh:
Oleh karena itu, probabilitas bahwa panjang suku cadang yang diproduksi akan berada dalam kisaran 39,4 hingga 40,6 cm adalah 0,8664.
Contoh. Diameter bagian yang diproduksi oleh pabrik adalah variabel acak yang didistribusikan menurut hukum normal. Panjang Diameter Standar: a = 2.5 cm, simpangan baku =0,01. Dalam batasan apa seseorang dapat secara praktis menjamin panjang diameter bagian ini, jika suatu peristiwa dengan probabilitas 0,9973 dianggap sebagai peristiwa yang dapat diandalkan?
Keputusan. Dengan kondisi masalah, kami memiliki:
a=2,5; =0,01; .
Menerapkan rumus (4), kami memperoleh persamaan:
atau 
.
Berdasarkan tabel 2, kita menemukan bahwa fungsi Laplace memiliki nilai seperti itu pada x=3. Karena itu, 
; dimana = 0,03.
Dengan demikian, dapat dipastikan bahwa panjang diameter akan bervariasi antara 2,47 dan 2,53 cm.
Pertimbangkan permukaan cairan yang bertumpu pada beberapa kontur datar. Jika permukaan zat cair tidak rata, maka kecenderungannya untuk berkontraksi akan menyebabkan munculnya tekanan, tambahan yang dialami zat cair dengan permukaan datar. Dalam kasus permukaan cembung, tekanan tambahan ini positif; dalam kasus permukaan cekung, itu negatif. Dalam kasus terakhir, lapisan permukaan, yang berusaha berkontraksi, meregangkan cairan. Bekerja sebagai guru kursus manajemen catatan SDM Moskow.
Besarnya tekanan tambahan, jelas, harus meningkat dengan peningkatan koefisien tegangan permukaan dan kelengkungan permukaan. Mari kita hitung tekanan tambahan untuk permukaan bola cairan. Untuk melakukan ini, kami memotong setetes cairan berbentuk bola dengan bidang diametral menjadi dua belahan (Gbr. 5).
Penampang setetes cairan berbentuk bola.
Karena tegangan permukaan, kedua belahan tertarik satu sama lain dengan gaya yang sama dengan:
Gaya ini menekan kedua belahan satu sama lain di sepanjang permukaan S=πR2 dan, oleh karena itu, menyebabkan tekanan tambahan:
p=F/S=(2πRα)/ R2=2α/R (4)
Kelengkungan permukaan bola adalah sama di mana-mana dan ditentukan oleh jari-jari bola R. Jelas, semakin kecil R, semakin besar kelengkungan permukaan bola. Kelengkungan permukaan sewenang-wenang biasanya ditandai dengan apa yang disebut kelengkungan rata-rata, yang mungkin berbeda untuk titik yang berbeda di permukaan.
Kelengkungan rata-rata ditentukan melalui kelengkungan penampang normal. Penampang normal suatu permukaan di suatu titik adalah garis perpotongan permukaan ini dengan bidang yang melalui garis normal ke permukaan pada titik yang ditinjau. Untuk bola, setiap bagian normal adalah lingkaran dengan jari-jari R (R adalah jari-jari bola). Nilai H=1/R memberikan kelengkungan bola. Secara umum, bagian yang berbeda yang ditarik melalui titik yang sama memiliki kelengkungan yang berbeda. Dalam geometri, terbukti bahwa setengah jumlah dari jari-jari kelengkungan timbal balik
H=0,5(1/R1+1/R2) (5)
untuk setiap pasangan bagian normal yang saling tegak lurus memiliki nilai yang sama. Nilai ini adalah kelengkungan rata-rata permukaan pada suatu titik tertentu.
Jari-jari R1 dan R2 dalam rumus (5) adalah besaran aljabar. Jika pusat kelengkungan bagian normal di bawah permukaan yang diberikan, jari-jari kelengkungan yang sesuai adalah positif, jika pusat kelengkungan terletak di atas permukaan, jari-jari kelengkungan negatif.
Untuk bola R1=R2=R, maka sesuai dengan (5) H=1/R. Mengganti 1/R melalui H dalam (4), kita mendapatkan bahwa
Laplace membuktikan bahwa rumus (6) berlaku untuk permukaan dalam bentuk apa pun, jika dengan H yang kami maksud adalah kelengkungan rata-rata permukaan pada titik ini, di mana tekanan tambahan ditentukan. Mengganti ekspresi (5) untuk kelengkungan rata-rata menjadi (6), kami memperoleh rumus untuk tekanan tambahan di bawah permukaan yang berubah-ubah:
p=α(1/R1+1/R2) (7)
Ini disebut rumus Laplace.
Tekanan tambahan (7) menyebabkan perubahan tingkat cairan di kapiler, sehingga kadang-kadang disebut tekanan kapiler.
Adanya sudut kontak menyebabkan kelengkungan permukaan cairan di dekat dinding bejana. Dalam kapiler atau di celah sempit antara dua dinding, seluruh permukaan melengkung. Jika cairan membasahi dinding, permukaannya berbentuk cekung, jika tidak basah, itu cembung (Gbr. 4). Permukaan cairan melengkung seperti itu disebut menisci.
Jika kapiler dicelupkan dengan salah satu ujungnya ke dalam cairan yang dituangkan ke dalam bejana lebar, maka di bawah permukaan melengkung di kapiler tekanan akan berbeda dari tekanan sepanjang permukaan datar di bejana lebar dengan nilai p yang ditentukan oleh rumus (7 ). Akibatnya, ketika kapiler dibasahi, tingkat cairan di dalamnya akan lebih tinggi daripada di bejana, dan ketika tidak dibasahi, itu akan lebih rendah.
